Đường và mặt trong không gian R4: Khóa luận tốt nghiệp toán học

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN NGỌC THẮNG
ĐƯỜNG VÀ MẶT
TRONG KHÔNG GIAN R
4
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
BỘ MÔN
HÌNH HỌC VI PHÂN
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
PGS.TS. ĐOÀN THẾ HIẾU
HUẾ, THÁNG 5-2011
LỜI CẢM ƠN
Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của
Thầy giáo, PGS.TS. Đoàn Thế Hiếu. Tôi xin gửi đến Thầy sự
kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc cũng như nguyện vọng được
tiếp tục tìm hiểu Toán học dưới sự hướng dẫn của Thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Hoàng -
Trường Đại Học Kiến Trúc Đà Nẵng vì sự tận tình giúp đỡ,
góp ý trong suốt thời gian làm khóa luận.
Xin gửi sự biết ơn đến nhóm Seminar bộ môn Hình học,
nơi tôi đã học hỏi được nhiều điều. Tôi cũng xin bày tỏ lòng
biết ơn chân thành tới toàn thể quý Thầy Cô trong khoa Toán,
Đại học Sư phạm, Đại học Huế, những người đã dạy bảo
chúng tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi gửi sự biết ơn đến tất cả người thân, bạn bè
vì sự quan tâm, động viên, giúp đỡ trong quá trình học tập
vừa qua.
Ngày 05 tháng 5 năm 2011
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Ngọc Thắng

i
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN i
MỤC LỤC ii
MỞ ĐẦU 1
1 ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN R
4
2
1.1 Đường tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Công thức Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Điều kiện để đường thuộc một siêu cầu . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Một số đường đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Đường chỉnh lưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 Đường xoắn xiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3 Đường B
2
-xoắn xiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 MẶT TRONG KHÔNG GIAN R
4
27
2.1 Mặt chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Ellipse độ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Các bất biến địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 Mặt tròn xoay loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Mặt tròn xoay loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Mặt cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.1 Mặt tròn xoay loại 1 cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.2 Mặt tròn xoay loại 2 cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

KẾT LUẬN 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO 45
ii
MỞ ĐẦU
Đường tham số và mặt chính quy là những đối tượng cơ bản của hình học vi phân.
Liệu rằng trong không gian R
4
, những đối tượng đó có các tính chất tương tự
như trong không gian R
3
hay không? Được sự hướng dẫn của Thầy giáo, PGS.TS.
Đoàn Thế Hiếu, tôi chọn đề tài "Đường và mặt trong không gian R
4
" để tiến
hành khảo sát.
Nội dung của khóa luận được chia thành hai chương.
Chương 1 giới thiệu về đường tham số, trường mục tiêu Frenet, từ đó xây dựng
công thức Frenet của đường tham số trong không gian R
4
. Sau đó, chúng tôi tổng
quan điều kiện để đường thuộc một siêu cầu và một số đường đặc biệt có các tính
chất tương tự như trong không gian R
3
, đó là đường chỉnh lưu, đường xoắn xiên,
đường B
2
-xoắn xiên.
Việc khảo sát các đường đặc biệt trong không gian R
4
đang được quan tâm nhiều

hiện nay. Năm 2008, K.
˙
Ilarslan, E. Neˇsovi´c khảo sát đường chỉnh lưu trong không
gian R
4
[16]. Đường xoắn trụ trong không gian R
4
được tìm hiểu bởi A. T. Ali,
R. L´opez năm 2009 và tổng quát trong không gian R
n
vào năm 2010. Đường xoắn
xiên trong không gian R
4
được khảo sát bởi A. T. Ali, R. L´opez (2009) [2] và được
A. T. Ali, M. Turgut tổng quát cho trường hợp R
n
(2010) [3]. Đường B
2
-xoắn xiên
trong không gian R
4
được khảo sát bởi M.
¨
Onder, M. Kazaz, H. Kocayiˇgit, O. Kilic
(2008) [25] và được
˙
I. G¨ok, C. Cami, H. H. Hacisalihoˇglu tổng quát cho trường hợp
R
n
(2009) [13].

Chương 2 giới thiệu sơ lược về mặt chính quy trong không gian R
4
, trình bày khái
niệm ellipse độ cong, một số bất biến địa phương trong không gian R
4
. Sau đó,
chúng tôi khảo sát các loại mặt tròn xoay và mặt tròn xoay cực tiểu trong không
gian R
4
. Từ năm 2008 đến nay, lớp mặt tròn xoay trong không gian R
4
đang được
quan tâm khá nhiều bởi G. Ganchev, V. Milousheva [8, 9, 10, 11, 12, 21].
1
Chương 1
ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN
R
4
Chúng ta đã khá quen thuộc với đường tham số trong không gian R
3
. Một đường
cong được đặc trưng bởi độ cong và độ xoắn của nó. Người ta đã xây dựng một
trường mục tiêu Frenet dọc đường cong, từ đó xây dựng công thức Frenet để khảo
sát các đường tham số trong không gian R
3
.
Tương tự như vậy, đường cong trong không gian R
4
được đặc trưng bởi các độ
cong của chúng. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu về đường tham số, trường

mục tiêu Frenet và công thức Frenet của đường tham số trong không gian R
4
. Cuối
chương, chúng tôi giới thiệu một số đường cong trong không gian R
4
có các tính
chất tương tự như các đường đặc biệt trong không gian R
3
.
1.1 Đường tham số
Định nghĩa 1.1.1. Cho ánh xạ
c : I −→ R
4
t −→ c(t) = (x
1
(t), x
2
(t), x
3
(t), x
4
(t)),
với I là một khoảng trên R, các hàm thành phần x
i
: I −→ R, i = 1, 4. Gọi
C = c(I) là ảnh của toàn bộ tập I qua ánh xạ c. Khi đó, (C, c) được gọi là đường
tham số với tham số hóa c và tham số t trong không gian R
4
và C được gọi là vết
của đường tham số.

Nếu ánh xạ c là hàm khả vi, liên tục lớp C
k
thì ta nói c là đường tham số khả vi,
liên tục lớp C
k
.
Từ đây trở về sau, ta luôn giả sử các đường tham số khả vi, liên tục đến lớp cần
thiết. Để đơn giản, thay vì dùng ký hiệu đầy đủ (C, c) để chỉ đường tham số, ta có
thể nói C là đường tham số nếu tham số hóa đã biết. Khái niệm đường cong trong
khóa luận này được hiểu là vết của một đường tham số nào đó.
2
Ví dụ 1.1.2. Cho hai điểm rời nhau P và Q trong không gian R
4
, đặt v =
−→
P Q.
Xét đường tham số với tham số hóa
α : R −→ R
4
t −→ α(t) = P + vt.
Khi đó α(0) = P, α(1) = Q. Ta gọi α là đường thẳng qua điểm P nhận v làm
vector chỉ phương hay α là tham số hóa của đường thẳng P Q.
Ví dụ 1.1.3. Cho đường tham số với tham số hóa
α : [0, 2π) −→ R
4
t −→ α(t) =
1
√
2
(sin t, cos t, sin t, cos t).

Khi đó, α là đường tham số có vết nằm trên siêu cầu đơn vị
S
3
= {x(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) ∈ R
4
: x, x = 1}.
Định nghĩa 1.1.4. Đường tham số c : I ⊂ R → R
4
được gọi là đường tham số
chính quy nếu
c

(t) = 0, ∀t ∈ I.
Với mỗi t mà c

(t) = 0, ta gọi tiếp tuyến của c tại t là đường thẳng qua điểm c(t)
nhận c

(t) làm vector chỉ phương.
Đường tham số chính quy c : I ⊂ R → R
4
được gọi là đường tham số độ dài cung

nếu
c

(t) = 1, ∀ t ∈ I.
Từ đây trở về sau, ta luôn xét các đường tham số chính quy.
Định nghĩa 1.1.5. Cho c : I ⊂ R → R
4
là đường tham số độ dài cung. Không
gian vector trong R
4
sinh bởi {c

(s), , c
(k)
(s)} được gọi là không gian mật tiếp
Φ
k
(s) thứ k của đường cong c tại s, k =
1, 3;
Φ
k
(s) = Lin{c

(s), , c
(k)
(s)}, k = 1, 3,
với Lin là ký hiệu của không gian vector sinh bởi.
k-phẳng mật tiếp của đường cong c tại s là phẳng trong không gian R
4
đi qua điểm

c(s) và có phương Φ
k
(s), k = 1, 3.
Nhận xét 1.1.6. Tại mọi s, ta có Φ
1
(s) ⊂ Φ
2
(s) ⊂ Φ
3
(s) ⊂ R
4
.
Định nghĩa 1.1.7. Đường tham số độ dài cung c : I ⊂ R → R
4
được gọi là song
chính quy nếu
dim Φ
2
(s) = 2, ∀s ∈ I;
tức là hệ gồm hai vector {c

, c

} độc lập tuyến tính tại mọi s.
3
Định nghĩa 1.1.8. Đường tham số độ dài cung c : I ⊂ R → R
4
được gọi là tam
chính quy nếu
dim Φ

3
(s) = 3, ∀s ∈ I;
tức là hệ gồm ba vector {c

, c

, c

} độc lập tuyến tính tại mọi s.
Nhận xét 1.1.9. Đường tham số tam chính quy thì song chính quy và chính quy.
1.2 Công thức Frenet
Trong không gian R
3
, người ta đã xây dựng công thức Frenet của đường, đây là
một công cụ quan trọng để khảo sát các đường tham số. Tương tự như vậy, chúng
tôi giới thiệu khái niệm trường mục tiêu Frenet và công thức Frenet của đường
tham số trong không gian R
4
.
Mệnh đề 1.2.1 ([19, p. 13]). Cho c : I ⊂ R → R
4
là đường tham số tam chính quy.
Khi đó qua mỗi điểm s, tồn tại duy nhất một hệ vector {T (s), N(s), B
1
(s), B
2
(s)}
trực chuẩn, xác định dương, thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) T (s) = c


(s), N(s) =
c

(s)
c

(s)
, B
1
(s) ∈ Φ
3
(s),
(ii) c

(s), T (s) > 0, c

(s), N(s) > 0, c

(s), B
1
(s) > 0.
Chứng minh. Đặt T(s) = c

(s), khi đó

c

(s), T (s)

=


c

(s), c

(s)

> 0.
Vì c là tham số độ đài cung nên T (s) = 1.
Ta có c

(s) = 1, suy ra

c

(s), c

(s)

= 0 hay c

(s) ⊥ c

(s).
Đặt N(s) =
c

(s)
c


(s)
, khi đó
N(s) ⊥ T (s), N(s) = 1
và

c

(s), N(s)

=
1
c

(s)

c

(s), c

(s)

> 0.
Xét vector đơn vị
B
1
(s) ∈ Φ
3
(s) = Lin{c

(s), c


(s), c

(s)}
sao cho B
1
(s) ⊥ Φ
2
(s). Khi đó c

(s), B
1
(s) = 0. Chọn vector B
1
(s) sao cho nó
được xác định bởi điều kiện c

(s), B
1
(s) > 0; vector B
1
(s) được chọn là duy
nhất.
Chọn vector B
2
(s) ∈ R
4
sao cho {T (s), N(s), B
1
(s), B

2
(s)} là hệ hệ vector trực
chuẩn, xác định dương; vector B
2
(s) được chọn là duy nhất.
4
Định nghĩa 1.2.2. Hệ vector {T, N, B
1
, B
2
} được xác định duy nhất trong mệnh
đề trên được gọi là trường mục tiêu Frenet dọc c trong không gian R
4
. Ta gọi T (s)
là vector tiếp xúc đơn vị, N (s) là vector pháp chính, B
1
(s) là vector trùng pháp thứ
nhất, B
2
(s) là vector trùng pháp thứ hai tại s của đường cong.
Định lí 1.2.3 ([19, p. 27]). (Công thức Frenet của đường trong không gian R
4
)
Cho c : I → R
4
là một đường tam chính quy trong không gian R
4
với {T, N, B
1
, B

2
}
là trường mục tiêu Frenet dọc c. Khi đó, tồn tại các hàm k
1
, k
2
, k
3
với k
1
, k
2
> 0
sao cho






T

N

B

1
B

2







=






0 k
1
0 0
−k
1
0 k
2
0
0 −k
2
0 k
3
0 0 −k
3
0













T
N
B
1
B
2






.
Các hàm k
1
= T

, N, k
2
= N


, B
1
, k
3
= B

1
, B
2
 tương ứng được gọi là độ cong
thứ nhất, độ cong thứ hai và độ cong thứ ba của đường tam chính quy c.
Chứng minh. Ta có
T

=

T

, T

T +

T

, N

N +

T


, B
1

B
1
+

T

, B
2

B
2
.
Mặt khác
T  = 1 ⇒

T

, T

= 0;
T = c

⇒ T

∈ Lin{c


, c

} = Lin{T, N}
⇒

T

, B
1
 = 0
T

, B
2
 = 0
.
Đặt k
1
= T

, N, khi đó dấu của k
1
cùng dấu với c

, N. Do đó
T

= k
1
N, k

1
> 0. (1.2.1)
Ta có
N

=

N

, T

T +

N

, N

N +

N

, B
1

B
1
+

N


, B
2

B
2
.
Mặt khác
N = 1; ⇒

N

, N

= 0;
N =
c

c


⇒ N

∈ Lin{c

, c

} = Lin{T, N, B
1
}
⇒


N

, B
2

= 0;
N, T  = 0 ⇒

N

, T

= −

N, T


= −k
1
.
Đặt k
2
= N

, B
1
, khi đó dấu của k
2
cùng dấu với c


, B
1
. Do đó
N

= −k
1
T + k
2
B
1
, k
2
> 0. (1.2.2)
5
Ta có
B

1
=

B

1
, T

T +

B


1
, N

N +

B

1
, B
1

B
1
+

B

1
, B
2

B
2
.
Mặt khác
B
1
 = 1 ⇒


B

1
, B
1

= 0;
B
1
, T  = 0 ⇒

B

1
, T

= −

B
1
, T


= 0;
B
1
, N = 0 ⇒

B


1
, N

= −

B
1
, N


= −k
2
.
Đặt k
3
= B

1
, B
2
. Khi đó
B

1
= −k
2
N + k
3
B
2

. (1.2.3)
Ta có
B

2
=

B

2
, T

T +

B

2
, N

N +

B

2
, B
1

B
1
+


B

2
, B
2

B
2
.
Mặt khác
B
2
 = 1 ⇒

B

2
, B
2

= 0;
B
2
, T  = 0 ⇒

B

2
, T


= −

B
2
, T


= 0;
B
2
, N = 0 ⇒

B

2
, N

= −

B
2
, N


= 0;
B
2
, B
1

 = 0 ⇒

B

2
, B
1

= −

B
2
, B

1

= −k
3
.
Vì vậy
B

2
= −k
3
B
1
. (1.2.4)
Từ (1.2.1), (1.2.2), (1.2.3) và (1.2.4) ta được công thức trên.
Nhận xét 1.2.4. Nếu c là đường tham số không là độ dài cung thì công thức

Frenet được viết lại






T

N

B

1
B

2






= c









0 k
1
0 0
−k
1
0 k
2
0
0 −k
2
0 k
3
0 0 −k
3
0












T

N
B
1
B
2






.
Nhận xét 1.2.5. Trong không gian R
3
, công thức Frenet của đường tham số độ
dài cung là



T

N

B




=




0 k
1
0
−k
1
0 k
2
0 −k
2
0






T
N
B



,
với k
1
là độ cong và k
2
là độ xoắn của đường cong. Như vậy, công thức Frenet

của đường trong không gian R
4
là mở rộng của công thức Frenet của đường trong
không gian R
3
.
6
Nhận xét 1.2.6. Nếu k
3
= 0 thì đường cong c nằm trong siêu phẳng 3 chiều trực
giao với trường vector cố định B
2
.
Thật vậy, giả sử đường cong c có độ cong k
3
= 0. Khi đó, theo công thức Frenet
ta có B

2
= −k
3
B
1
= 0. Suy ra, B
2
là một trường vector hằng và c nằm trong siêu
phẳng 3 chiều trực giao với B
2
.
Ví dụ 1.2.7. Một đường cong α : I ⊂ R → R

4
trong không gian R
4
là đường
thẳng khi và chỉ khi hàm độ cong thứ nhất k
1
(s) bằng 0 tại mọi điểm.
Thật vậy, xét đường thẳng tổng quát có tham số hóa dộ dài cung cho bởi
α(t) = a + vs, s ∈ R,
với a là một điểm và v là vector đơn vị cố định trong không gian R
4
. Ta có
α

(s) = T (s) = v = const.
Theo công thức Frenet, ta có
0 = T

(s) = k
1
(s)N(s).
Suy ra k
1
(s) = 0 tại mọi s.
Ngược lại, giả sử đường tham số độ dài cung α có độ cong thứ nhất k
1
= 0. Khi
đó
T


= k
1
N = 0.
Suy ra T = T
0
là một trường vector hằng. Do đó
α(s) =

s
0
T (u)du + α(0) = s T
0
+ α(0)
là tham số hóa của đường thẳng.
Định lí 1.2.8 ([27, p. 11]). (Định lý cơ bản của lý thuyết địa phương về đường)
Cho k
1
(s), k
2
(s), k
3
(s) là các hàm khả vi với k
1
, k
2
> 0. Khi đó, tồn tại duy nhất
một đường tham số tam chính quy c : I → R
4
nhận các hàm k
i

(s) làm các độ cong
tại s.
1.3 Điều kiện để đường thuộc một siêu cầu
Điều kiện cần và đủ để một đường cong nằm trên mặt cầu trong không gian R
3
được nhiều tác giả nghiên cứu như P. do Carmo [5], L. Haizhong, C. Weihuan [14].
Gần đây, J. Monterde cũng đưa đưa được điều kiện cần và đủ để một đường cong
nằm trên siêu cầu trong không gian R
4
[22].
7
Mệnh đề 1.3.1 ([5, p. 25]). Cho α : I ∈ R → R
3
là đường tham số độ dài cung
trong không gian R
3
với các hàm độ cong k
1
, k
2
; k
1
> 0, k
2
= 0 tại mọi s ∈ I. Khi
đó, α nằm trên mặt cầu S
2
có bán kính r ∈ R
+
nếu và chỉ nếu

1
k
2
1
+

k

1
k
2
1
k
2

2
= r
2
.
Mệnh đề 1.3.2 ([22, p. 7]). Cho α : I ∈ R → R
4
là đường tham số độ dài cung
trong không gian R
4
với các hàm độ cong k
1
, k
2
, k
3

; k
1
, k
2
> 0, k
3
= 0 tại mọi
s ∈ I. Khi đó, α nằm trên siêu cầu S
3
có bán kính r ∈ R
+
nếu và chỉ nếu
1
k
2
1
+

k

1
k
2
1
k
2

2
+
1

k
2
3


k

1
k
2
1
k
2


−
k
2
k
1

2
= r
2
.
Chứng minh. Nếu

k

1

k
2
1
k
2


−
k
2
k
1
= 0 thì điều kiện trên trở thành
1
k
2
1
+

k

1
k
2
1
k
2

2
= r

2
.
Đây là điều kiện cần và đủ để đường cong α nằm trên mặt cầu S
2
có bán kính r,
khi đó α cũng nằm trên siêu cầu S
3
có bán kính r. Do đó, ta chỉ xét trường hợp

k

1
k
2
1
k
2


−
k
2
k
1
= 0.
Giả sử α là một đường tham số độ dài cung nằm trên siêu cầu S
3
có tâm m bán
kính r ∈ R
+

. Khi đó
α(s) −m, α(s) −m = r
2
, ∀s ∈ I. (1.3.1)
Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên, ta được

α

, α −m

+

α −m, α


= 0
⇒T, α −m = 0. (1.3.2)
Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên, ta được

T

, α −m

+

T, α


= 0
⇒k

1
N, α −m + T, T  = 0
⇒N, α −m = −
1
k
1
. (1.3.3)
Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên, ta được

N

, α −m

+

N, α


=
k

1
k
2
1
⇒−k
1
T + k
2
B

1
, α −m + N, T  =
k

1
k
2
1
⇒ −k
1
T, α −m + k
2
B
1
, α −m =
k

1
k
2
1
⇒B
1
, α −m =
k

1
k
2
1

k
2
. (1.3.4)
8
Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên, ta được

B

1
, α −m

+

B
1
, α


=

k

1
k
2
1
k
2



⇒−k
2
N + k
3
B
2
, α −m + B
1
, T  =

k

1
k
2
1
k
2


⇒ −k
2
N, α −m + k
3
B
2
, α −m =

k


1
k
2
1
k
2


⇒
k
2
k
1
+ k
3
B
2
, α −m =

k

1
k
2
1
k
2


⇒B

1
, α −m =
1
k
3


k

1
k
2
1
k
2


−
k
2
k
1

. (1.3.5)
Ta viết
α −m = m
1
T + m
2
N + m

3
B
1
+ m
4
B
2
, (1.3.6)
với m
1
, m
2
, m
3
, m
4
là các hàm tùy ý xác định trên I.
Từ (1.3.2)-(1.3.6), suy ra
m
1
= 0, m
2
= −
1
k
1
, m
3
=
k


1
k
2
1
k
2
, m
4
=
1
k
3


k

1
k
2
1
k
2


−
k
2
k
1


.
Từ (1.3.1) và (1.3.6), ta có
α −m, α −m = r
2
⇒ m
2
1
+ m
2
2
+ m
2
3
+ m
2
4
= r
2
⇒
1
k
2
1
+

k

1
k

2
1
k
2

2
+
1
k
2
3


k

1
k
2
1
k
2


−
k
2
k
1

2

= r
2
.
Ngược lại, giả sử đẳng thức trên xảy ra, lấy đạo hàm hai vế ta được
−
k

1
k
3
1
+
k

1
k
2
1
k
2

k

1
k
2
1
k
2



+
1
k
3


k

1
k
2
1
k
2


−
k
2
k
1


1
k
3


k


1
k
2
1
k
2


−
k
2
k
1


= 0
⇒
k

1
k
2
1

1
k
2

k


1
k
2
1
k
2


−
1
k
1

+
k
2
k
3

1
k
2

k

1
k
2
1

k
2


−
1
k
1


1
k
3


k

1
k
2
1
k
2


−
k
2
k
1



= 0
⇒

1
k
2

k

1
k
2
1
k
2


−
1
k
1

k

1
k
2
1

+
k
2
k
3

1
k
3


k

1
k
2
1
k
2


−
k
2
k
1



= 0

⇒
k

1
k
2
1
+
k
2
k
3

1
k
3


k

1
k
2
1
k
2


−
k

2
k
1


= 0

vì

k

1
k
2
1
k
2


−
k
2
k
1
= 0

. (1.3.7)
Xét vector m trong không gian R
4
cho bởi

m = α +
1
k
1
N −
k

1
k
2
1
k
2
B
1
−
1
k
3


k

1
k
2
1
k
2



−
k
2
k
1

B
2
. (1.3.8)
9
Khi đó
m

= T −
k

1
k
2
1
N +
1
k
1
(−k
1
T + k
2
B

1
) −

k

1
k
2
1
k
2


B
1
−
k

1
k
2
1
k
2
(−k
2
N + k
3
B
2

)
−

1
k
3


k

1
k
2
1
k
2


−
k
2
k
1


B
2
−
1
k

3


k

1
k
2
1
k
2


−
k
2
k
1

(−k
3
B
1
)
=

−
k

1

k
3
k
2
1
k
2
−

1
k
3


k

1
k
2
1
k
2


−
k
2
k
1




B
2
.
Từ (1.3.7), suy ra m

= 0 hay m là một vector hằng. Theo (1.3.8), ta có
α −m, α −m = r
2
.
Vì vậy, đường cong α nằm trên siêu cầu S
3
có tâm m bán kính r.
1.4 Một số đường đặc biệt
Trong mục này, chúng tôi tổng quan một số đường đặc biệt trong không gian R
4
có các tính chất tương tự như trong không gian R
3
, đó là đường chỉnh lưu, đường
xoắn xiên, đường B
2
-xoắn xiên.
1.4.1 Đường chỉnh lưu
Trong không gian R
3
, đường chỉnh lưu α : I ⊂ R → R
3
được Bang-Yen Chen giới
thiệu (2003) là đường cong có vector

−−−→
Oα(s) luôn nằm trong mặt phẳng trực đạc,
sinh bởi trường vector pháp T và trường vector trùng pháp tuyến B của đường
cong α. Khi đó
α(s) = λ(s) T (s) + µ(s) B(s),
với λ(s) và µ(s) là các hàm khả vi tùy ý xác định trên I.
Tương tự như trong R
3
, Kazim
˙
Ilarslan và Emilija Neˇsovi´c đưa ra khái niệm đường
chỉnh lưu α trong không gian R
4
(2008), đó là đường cong có vector
−−−→
Oα(s) luôn
nằm trong không gian bù trực giao của trường vector pháp chính N [16].
Định nghĩa 1.4.1. Cho α : I ⊂ R → R
4
là một đường tham số độ dài cung trong
không gian R
4
. Khi đó, α được gọi là đường chỉnh lưu nếu
α(s), N(s) = 0, ∀s ∈ I.
Nhận xét 1.4.2. Xét {T, N, B
1
, B
2
} là trường mục tiêu Frenet dọc α, khi đó đường
chỉnh lưu α có vector

−−−→
Oα(s) nằm trong không gian con 3 chiều N
⊥
= {W ∈ R
4
|
W, N = 0}, sinh bởi các trường vector T, B
1
, B
2
. Do đó
α(s) = λ(s) T (s) + µ(s) B
1
(s) + ν(s) B
2
(s), (1.4.1)
với λ(s), µ(s), ν(s) là các hàm số khả vi tùy ý xác định trên I.
10
Định lý sau mô tả đường chỉnh lưu α qua các hàm độ cong k
1
(s), k
2
(s), k
3
(s) và
đưa ra điều kiện cần và đủ để một đường bất kỳ trong không gian R
4
là đường
chỉnh lưu.
Định lí 1.4.3 ([16, p. 24]). Cho α : I ⊂ R → R

4
là một đường tham số độ dài
cung trong không gian R
4
với các độ cong k
1
(s), k
2
(s), k
3
(s) khác không tại mọi s.
Khi đó, α là một đường chỉnh lưu nếu và chỉ nếu
k
1
(s) k
3
(s) (s + c)
k
2
(s)
+

k
1
(s) k
2
(s) + (s + c) [k

1
(s) k

2
(s) −k
1
(s) k

2
(s)]
k
2
2
(s) k
3
(s)


= 0, c ∈ R.
Chứng minh. Giả sử α là một đường chỉnh lưu. Khi đó, từ (1.4.1) ta có
α

= λ

T + λ T

+ µ

B
1
+ µ B

1

+ ν

B
2
+ ν B
2
⇒ α

= λ

T + λ k
1
N + µ

B
1
+ µ (−k
2
N + k
3
B
2
) + ν

B
2
+ ν (−k
3
B
1

)
⇒ T = λ

T + (λk
1
− µk
2
) N + (µ

− νk
3
) B
1
+ (µk
3
+ ν

) B
2
.
Do đó
λ

= 1,
λk
1
− µk
2
= 0,
µ


− νk
3
= 0,
µk
3
+ ν

= 0.
(1.4.2)
Suy ra
λ(s) = s + c,
µ(s) =
k
1
(s) (s + c)
k
2
(s)
,
ν(s) =
k
1
(s) k
2
(s) + (s + c) [k

1
(s) k
2

(s) −k
1
(s) k

2
(s)]
k
2
2
(s) k
3
(s)
,
(1.4.3)
với c ∈ R.
Kết hợp phương trình µk
3
+ ν

= 0 trong (1.4.2) và (1.4.3), ta được
k
1
(s) k
3
(s) (s + c)
k
2
(s)
+


k
1
(s) k
2
(s) + (s + c) [k

1
(s) k
2
(s) −k
1
(s) k

2
(s)]
k
2
2
(s) k
3
(s)


= 0, c ∈ R.
(1.4.4)
Ngược lại, giả sử đường tham số hóa tự nhiên α với các độ cong k
1
(s), k
2
(s), k

3
(s)
thỏa mãn phương trình trên. Xét vector X trong không gian R
4
cho bởi
X(s) = α(s) −(s + c) T(s) −
k
1
(s) (s + c)
k
2
(s)
B
1
(s)
−
k
1
(s) [k
2
(s) −(s + c) k

2
(s)] + k

1
(s) k
2
(s) (s + c)
k

2
2
(s) k
3
(s)
B
2
(s).
11
Khi đó
X

= α

− T − (s + c) T

−

k
1
(s + c)
k
2


B
1
−
k
1

(s + c)
k
2
B

1
−

k
1
[k
2
− (s + c) k

2
] + k

1
k
2
(s + c)
k
2
2
k
3


B
2

−
k
1
[k
2
− (s + c) k

2
] + k

1
k
2
(s + c)
k
2
2
k
3
B

2
= T − T − (s + c) k
1
N −

k
1
(s + c)
k

2


B
1
−
k
1
(s + c)
k
2
(−k
2
N + k
3
B
2
)
−

k
1
[k
2
− (s + c) k

2
] + k

1

k
2
(s + c)
k
2
2
k
3


B
2
−
k
1
[k
2
− (s + c) k

2
] + k

1
k
2
(s + c)
k
2
2
k

3
(−k
3
B
1
)
=

−

k
1
(s + c)
k
2


+
k
1
[k
2
− (s + c) k

2
] + k

1
k
2

(s + c)
k
2
2

B
1
−

k
1
k
3
(s + c)
k
2
+

k
1
k
2
+ (s + c) [k

1
k
2
− k
1
k


2
]
k
2
2
k
3



B
2
=

−

k
1
(s + c)
k
2


+ k
1

s + c
k
2



+ k

1

s + c
k
2


B
1
+ 0.B
2
= 0.
Suy ra X là một vector hằng. Vậy α là đường chỉnh lưu (được tịnh tiến bởi vectơ
X).
Mệnh đề 1.4.4 ([16, p. 24]). Không tồn tại đường chỉnh lưu trong không gian R
4
với các độ cong hằng k
1
, k
2
, k
3
khác không tại mọi s.
Chứng minh. Giả sử α là một đường chỉnh lưu với các độ cong hằng k
1
, k

2
, k
3
khác
không tại mọi s. Theo Định lý trên, ta có
k
1
k
3
k
2
(s + c) = 0
⇒ s = −c.
Khi đó α là một điểm, mâu thuẫn.
Nếu hai trong ba độ cong là hằng số thì điều kiện của độ cong còn lại là gì để thu
được đường chỉnh lưu? Đó chính là nội dung của mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.4.5. Cho α : I → R
4
là một đường tham số độ dài cung trong không
gian R
4
với các độ cong k
1
, k
2
, k
3
. Khi đó α là đường chỉnh lưu nếu một trong các
điều kiện sau thỏa mãn:
12

(a) k
1
(s) = const. > 0, k
2
(s) = const. > 0 và
k
3
(s) =
±1

|−s
2
− 2cs −2c
1
|
; c
0
, c là hằng số.
(b) k
2
(s) = const. > 0, k
3
(s) = k
3
= const. = 0 và
k
1
(s) =
cos(|k
3

|s −c
0
)
s + c
; c
0
, c là hằng số.
(c) k
1
(s) = const. > 0, k
3
(s) = k
3
= const. = 0 và
k
2
(s) =
s + c
cos(|k
3
|s −c
0
)
; c
0
, c là hằng số.
Chứng minh. (a) Giả sử k
1
(s) = k
1

= const. > 0, k
2
(s) = k
2
= const. >
0, k
3
(s) khác hàm hằng. Từ Định lý 1.4.3 ta có
k
1
k
2
k
3
(s)(s + c) +

k
1
k
2
k
2
2
k
3
(s)


= 0
⇔ k

3
(s)(s + c) −
k

3
k
2
3
(s)
= 0
⇔ k

3
(s) −k
3
3
(s) (s + c) = 0.
Giải phương trình trên ta được
k
3
(s) =
±1

|−s
2
− 2cs −2c
1
|
; c
1

, c là hằng số.
(b) Giả sử k
2
(s) = k
2
= const. > 0, k
3
(s) = k
3
= const. = 0, k
1
(s) khác hàm
hằng. Từ Định lý 1.4.3 ta có
k
3
k
2
k
1
(s)(s + c) +

k
2
k
1
(s) + (s + c)k
2
k

1

(s)
k
2
2
k
3


= 0
⇔ k
2
3
k
1
(s)(s + c) + [k
1
(s) + (s + c)k

1
(s)]

= 0
⇔ k
2
3
k
1
(s)(s + c) + [k
1
(s)(s + c)]


= 0. (1.4.5)
Giải phương trình trên ta được
k
1
(s)(s + c) = c
1
sin |k
3
|s + c
2
cos |k
3
|x; c
1
, c
2
là hằng số
hay
k
1
(s) =
cos(|k
3
|s −c
0
)
s + c
; c
0

, c là hằng số.
13
(c) Giả sử k
1
(s) = const. > 0, k
3
(s) = k
3
= const. = 0, k
2
(s) khác hằng số.
Theo Định lý 1.4.3 ta có
k
1
k
3
s + c
k
2
(s)
+

k
1
k
2
(s) −(s + c)k
1
k


2
(s)
k
3
k
2
2
(s)


= 0
⇔ k
2
3
s + c
k
2
(s)
+

k
2
(s) −(s + c)k

2
(s)
k
2
2
(s)



= 0
⇔ k
2
3
s + c
k
2
(s)
+

s + c
k
2
(s)


= 0. (1.4.6)
Giải phương trình trên ta được
k
2
(s) =
s + c
cos(|k
3
|s −c
0
)
; c

0
, c là hằng số.
Nhận xét 1.4.6. Trong [16, p. 25], K.
˙
Ilarslan, E. Neˇsovi´c đưa ra Định lý tương
tự như Mệnh đề trên. Tuy nhiên, các tính toán của ông chưa chính xác. Trong
trường hợp b) và c), các ông dẫn tới các phương trình
k
2
3
k
1
(s)(s + c) + [k
1
(s)(s + c)]

= 0,
k
2
3
s + c
k
2
(s)
+

s + c
k
2
(s)



= 0.
Các phương trình này không giống (1.4.5), (1.4.6) như ở chứng minh trên.
Dưới đây là các điều kiện cần và đủ để một đường cong trong không gian R
4
là
đường chỉnh lưu.
Mệnh đề 1.4.7 ([16, p. 25]). Cho α : I → R
4
là một đường tham số độ dài cung
trong không gian R
4
với các độ cong k
1
, k
2
, k
3
khác không tại mọi s. Khi đó, α là
một đường chỉnh lưu nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) α(s)
2
= s
2
+ c
1
s + c
2
, c

1
∈ R, c
2
∈ R
0
.
(ii) α(s), T (s) = s + c, c ∈ R.
(iii) α
N
(s) = a, a ∈ R
+
0
, với α
N
(s) = µ(s) B
1
(s) + ν(s) B
2
(s)
sao cho α(s) = λ(s) T(s) + µ(s) B
1
(s) + ν(s) B
2
(s);
và α(s) khác hàm hằng.
(iv)
α(s), B
1
(s) =
k

1
(s) (s + c)
k
2
(s)
,
α(s), B
2
(s) =
k
1
(s) k
2
(s) + (s + c) [k

1
(s) k
2
(s) −k
1
(s) k

2
(s)]
k
2
2
(s) k
3
(s)

, c ∈ R.
14
Chứng minh. (i) Giả sử α là một đường chỉnh lưu. Khi đó, α(s) thỏa mãn đẳng
thức (1.4.1) và (1.4.2). Nhân phương trình thứ ba trong (1.4.2) với −ν

(s)
và phương trình cuối cùng trong (1.4.2) với µ

(s), sau đó cộng vế theo vế ta
được
k
3
(s) [µ(s) µ

(s) + ν(s) ν

(s)] = 0
⇒ µ(s) µ

(s) + ν(s) ν

(s) = 0
⇒ µ
2
(s) + ν
2
(s) = a
2
, a ∈ R
+

o
. (1.4.7)
Từ (1.4.1) ta có α(s), α(s) = λ
2
(s) + µ
2
(s) + ν
2
(s). Sử dụng (1.4.3) và
(1.4.7), ta được
α(s), α(s) = (s + c)
2
+ a
2
⇒ α(s)
2
= s
2
+ c
1
s + c
2
, c
1
∈ R, c
2
∈ R
0
.
Ngược lại, giả sử α(s), α(s) = s

2
+ c
1
s + c
2
, c
1
∈ R, c
2
∈ R
0
. Khi đó
2

α

(s), α(s)

= 2s + c
1
⇒ 2

α

(s), α(s)

+ 2

α


(s), α

(s)

= 2
⇒

T

(s), α(s)

= 0
⇒ k
1
(s)N(s), α(s) = 0
⇒ N(s), α(s) = 0.
Do đó, α là một đường chỉnh lưu.
(ii) Giả sử α là một đường chỉnh lưu. Từ (1.4.1) và (1.4.3), ta có α(s), T (s) =
s + c, c ∈ R.
Ngược lại, giả sử α(s), T (s) = s + c, c ∈ R. Khi đó

α

(s), T (s)

+

α(s), T

(s)


= 1
⇒

α(s), T

(s)

= 0
⇒ α(s), k
1
(s) N(s) = 0
⇒ α(s), N(s) = 0.
Do đó, α là một đường chỉnh lưu.
(iii) Giả sử α là một đường chỉnh lưu. Ta có
α
N
(s) = µ(s) B
1
(s) + ν(s) B
2
(s)
⇒

α
N
(s), α
N
(s)


= µ
2
(s) + ν
2
(s) = a
2
, a ∈ R
+
0
(theo (1.4.7))
⇒ α
N
(s) = a, a ∈ R
+
0
.
15
Từ (i), suy ra α(s) khác hàm hằng.
Ngược lại, giả sử

α
N
(s), α
N
(s)

= b là một hằng số. Ta có
α(s) = λ(s) T (s) + α
N
(s) ⇒ λ(s) = α(s), T (s).

Vì α(s) khác hàm hằng nên α(s), α

(s) = 0 hay α(s), T (s) = 0.
b =

α
N
(s), α
N
(s)

= α(s) −λ(s)T (s), α(s) − λ(s)T(s)
= α(s), α(s) −2λ(s) α(s), T (s) + λ
2
(s) T (s), T (s)
= α(s), α(s) −2 α(s), T (s)
2
+ α(s), T (s)
2
= α(s), α(s) −α(s), T (s)
2
.
Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức trên, ta được
2

α

(s), α(s)

− 2 α(s), T (s)(


α

(s), T (s)

+

α(s), T

(s)

) = 0
⇒ α(s), T (s) −α(s), T (s)
(
1 + α(s), k
1
(s)N(s)
)
= 0
⇒ k
1
(s) α(s), T (s) α(s), N(s) = 0
⇒ α(s), N(s) = 0.
Do đó α là một đường chỉnh lưu.
(iv) Giả sử α là một đường chỉnh lưu. Từ (1.4.1) và (1.4.3), ta có
α(s), B
1
(s) = µ(s) =
k
1

(s) (s + c)
k
2
(s)
,
α(s), B
2
(s) = ν(s) =
k
1
(s) k
2
(s) + (s + c) [k

1
(s) k
2
(s) −k
1
(s) k

2
(s)]
k
2
2
(s) k
3
(s)
, c ∈ R.

Ngược lại, giả sử hai đẳng thức trên xảy ra. Khi đó
α(s), B
1
(s)

y =

k
1
(s) (s + c)
k
2
(s)


⇒

α

(s), B
1
(s)

+

α(s), B

1
(s)


=

k
1
(s) (s + c)
k
2
(s)


⇒ T (s), B
1
(s) + α(s), −k
2
(s) N(s) + k
3
(s) B
2
(s) =

k
1
(s) (s + c)
k
2
(s)


⇒ −k
2

(s) α(s), N(s) + k
3
(s) α(s), B
2
(s) =

k
1
(s) (s + c)
k
2
(s)


⇒ −k
2
(s) α(s), N(s)+
k
3
(s)
k
1
(s) k
2
(s) + (s + c) [k

1
(s) k
2
(s) −k

1
(s) k

2
(s)]
k
2
2
(s) k
3
(s)
=

k
1
(s) (s + c)
k
2
(s)


⇒ α(s), N (s) = 0.
Do đó, α là một đường chỉnh lưu.
16
Trong định lý tiếp theo, chúng ta tìm điều kiện của một đường có tính chất đặc
biệt để nó là một đường chỉnh lưu.
Định lí 1.4.8 ([16, p. 27]). Cho α : I → R
4
là một đường cong trong không gian
R

4
cho bởi α(t) = ρ(t)y(t), với ρ(t) là hàm dương tùy ý và y(t) là đường tham số
độ dài cung nằm trong siêu cầu đơn vị S
3
. Khi đó, α là một đường chỉnh lưu nếu
và chỉ nếu
ρ(t) =
a
cos(t + t
0
)
, a ∈ R
0
, t
0
∈ R.
Chứng minh. Xét α(t) = ρ(t)y(t), với ρ(t) là hàm dương tùy ý và y(t) là đường
tham số độ dài cung nằm trong siêu cầu đơn vị S
3
. Khi đó
α

(t) = ρ

(t)y(t) + ρ(t)y

(t)
⇒T (t) =
ρ


(t)
v(t)
y(t) +
ρ(t)
v(t)
y

(t),
với v(t) = α

(t).
Suy ra
T

=

ρ

v


y +
ρ

v
y

+
ρ


v − ρv

v
2
y

+
ρ
v
y

. (1.4.8)
Xét Y là một trường vector đơn vị trong không gian R
4
thỏa mãn
Y, y =

Y, y


=

Y, y ∧ y


= 0.
Khi đó {y, y

, y ∧ y


, Y } là một hệ trực chuẩn trong không gian R
4
. Ta có
y

=

y

, y

y +

y

, y


y

+

y

, y ∧ y


y ∧ y

+


y

, Y

Y (1.4.9)
Ta có
y, y =

y

, y


= 1
⇒

y

, y

= −1 và

y

, y


= 0.
Do đó, (1.4.9) được viết lại

y

= −y +

y

, y ∧ y


y ∧ y

+

y

, Y

Y,
thay vào (1.4.8) ta được
vk
1
N =


ρ

v


−

ρ

v

y+

2ρ

v
−
ρv

v
2

y

+
1
v

y

, y ∧ y


α∧y

+
ρ

v

y

, Y

Y. (1.4.10)
Ta có
y, y = 1
⇒

y, y


= 0
⇒

α, y


= 0
⇒α, Y  = 0.
17
Do đó, sau khi nhân cả hai vế của (1.4.10) với α, ta có α, N = 0 nếu và chỉ nếu

ρ

v



−
ρ
v
= 0
⇒ ρρ

− 2ρ
2
− ρ
2
= 0.
Giải phương trình trên, ta được
ρ(t) =
a
cos(t + t
0
)
, a ∈ R
0
, t
0
∈ R.
Từ Định lý 1.4.8, ta có ví dụ minh họa sau.
Ví dụ 1.4.9. Xét đường cong trong không gian R
4
cho bởi
α(s) =
a
√
2 cos(s + s

0
)
(sin s, cos s, sin s, cos s), a ∈ R
0
, s
0
∈ R.
Đường cong này có dạng
α(s) = ρ(s)y(s),
với ρ(s) =
a
√
2 cos(s + s
0
)
và y(s) =
1
√
2
(sin s, cos s, sin s, cos s) là đường cong
nằm trên siêu cầu S
3
.
Do đó, α là đường chỉnh lưu trong không gian R
4
.
1.4.2 Đường xoắn xiên
Đường xoắn ốc tổng quát (curves of constant slope, general helices hay inclined
curves) được nghiên cứu nhiều trong không gian R
3

. Chúng được định nghĩa bởi
tính chất các tiếp tuyến của đường tạo một góc không đổi với một đường thẳng
cố định (gọi là trục của đường xoắn ốc tổng quát).
Gần đây, Izumiya và Takeuchi đã đưa ra khái niệm đường xoắn xiên (slant helix)
trong không gian R
3
được đặc trưng bởi trường vector pháp chính N tạo một góc
không đổi với một hướng cố định [17]. Các ông đã tìm điều kiện cần và đủ để một
đường tham số độ dài cung là một đường xoắn xiên, đó là
k
2
1
(k
2
1
+ k
2
2
)
3
2

k
2
k
1


là một hàm hằng,
với hàm độ cong k

1
(s) khác 0 tại mọi điểm s [17, p. 155]. Đường xoắn xiên trong
không gian R
3
cũng được nghiên cứu nhiều bởi Ali [1]; Kula, Ekmekci, Yayli và
˙
Ilarslan [18]; Babaarslan [4].
Trong mục này, ta sử dụng khái niệm độ cong điều hòa loại hai của đường để tìm
điều kiện cần và đủ để một đường là đường xoắn xiên trong không gian R
4
nhờ
vào các hàm độ cong của đường.
18
Định nghĩa 1.4.10. Cho α : I ⊂ R → R
4
là một đường tham số độ dài cung trong
không gian R
4
với {T, N, B
1
, B
2
} là trường mục tiêu Frenet dọc theo α. Đường cong
α được gọi là đường xoắn xiên nếu trường vector N hợp với một hướng cố định
một góc ϕ không đổi, tức là
N, X = cos ϕ, ϕ =
π
2
, ϕ = const.,
với X là trường vector đơn vị cố định trong R

4
và được gọi là trục của đường xoắn
xiên.
Định lí 1.4.11 ([3, p. 329]). Cho α : I ⊂ R → R
4
đường tham số độ dài cung
trong không gian R
4
. Khi đó, α là một đường xoắn xiên nếu và chỉ nếu tồn tại các
hàm G
i
(s), i = 1, 4 thỏa mãn
G
i
=

















k
1
ds, i = 1,
1, i = 2,
k
1
k
2
G
1
, i = 3,
1
k
3
(k
2
+ G

3
), i = 4,
(1.4.11)
và điều kiện
G

4
(s) = −k
3
(s)G
3

(s). (1.4.12)
Chứng minh. Giả sử α là một đường xoắn xiên có tham số độ dài cung trong không
gian R
4
. Gọi U là vector cố định tạo với N một góc không đổi θ với cos θ = 0.
Không mất tính tổng quát, giả sử U, U = 1.
Xét các hàm khả vi a
i
, i = 1, 4 xác định trên I, thỏa mãn
U = a
1
(s)T (s) + a
2
(s)T (s) + a
3
(s)B
1
(s) + a
4
B
2
(s), s ∈ I.
Khi đó
a
1
= T, U
⇒ a

1
=


T

, U

= k
1
N, U 
⇒ a

1
− k
1
a
2
= 0
⇒ a
1
= a
2

k
1
ds (vì a
2
= const.) (1.4.13)
a
2
= N, U = const.
⇒ a


2
=

N

, U

= −k
1
T + k
2
B
1
, U = 0
⇒ k
1
a
1
− k
2
a
3
= 0. (1.4.14)
19
a
3
= B
1
, U

⇒ a

3
=

B

1
, U

= −k
2
N + k
3
B
2
, U = 0
⇒ a

3
+ k
2
a
2
− k
3
a
4
= 0. (1.4.15)
a

4
= B
2
, U
⇒ a

4
=

B

2
, U

= −k
3
B
2
, U = 0
⇒ a

4
+ k
3
a
3
= 0. (1.4.16)
Vì a
2
= 0 nên tồn tại các hàm G

i
(s), i = 1, 4 sao cho
G
i
(s) =
a
i
(s)
a
2
, 1 ≤ i ≤ 4.
Từ (1.4.13)-(1.4.16) ta có
G
1
=

k
1
ds,
G
2
= 1,
G
3
=
a
3
a
2
=

k
1
a
1
k
2
a
2
=
k
1
k
2
G
1
,
G
4
=
a
4
a
2
=
1
k
3
(k
2
+

a

3
a
2
) =
1
k
3
(k
2
+ G

3
),
G

4
=
a

4
a
2
= −k
3
a
3
a
2

= −k
3
G
3
.
Ngược lại, giả sử α là đường tham số độ dài cung với các hàm G
i
thỏa mãn (1.4.11)
và (1.4.12). Xét vector đơn vị U cho bởi
U = cos θ [G
1
T + G
2
N + G
3
B
1
+ G
4
B
2
],
với θ là một góc không đổi thỏa mãn cos θ = 0. Khi đó
U

= G

1
T + G
1

T

+ G

2
N + G
2
N

+ G

3
B
1
+ G
3
B

1
+ G

4
B
2
+ G
4
B

2
= k

1
T + G
1
k
1
N + 0N + 1(−k
1
T + k
2
B
1
) +

k
1
k
2
G
1


B
1
+ G
3
(−k
2
N + k
3
B

2
) + (−k
3
G
3
)B
2
+ G
4
(−k
3
B
1
)
=

k
2
+

k
1
k
2
G
1


− k
3

G
4

B
1
=

k
2
+ G

3
− k
3
1
k
3
(k
2
+ G

3
)

B
1
= 0.
Suy ra U là một vector hằng và N, U = G
2
cos θ = cos θ. Do đó, α là một đường

xoắn xiên.
20
Định nghĩa 1.4.12. Cho α : I ⊂ R → R
4
là một đường tham số độ dài cung
trong không gian R
4
. Các độ cong điều hòa loại hai của α là các hàm G
i
: I →
R
4
, i = 1, 2, 3, 4 thỏa mãn
G
i
=

















k
1
ds, i = 1,
1, i = 2,
k
1
k
2
G
1
, i = 3,
1
k
3
(k
2
+ G

3
), i = 4.
Hệ quả 1.4.13. Cho α : I ⊂ R → R
4
là một đường tham số độ dài cung trong
không gian R
4
. Khi đó α là một đường xoắn xiên nếu và chỉ nếu các độ cong điều
hòa loại hai G
3

, G
4
thỏa mãn
G

4
(s) = −k
3
(s)G
3
(s).
Định lí 1.4.14 ([3, p. 331]). Cho α : I ⊂ R → R
4
là một đường tham số độ dài
cung trong không gian R
4
. Khi đó α là một đường xoắn xiên nếu và chỉ nếu điều
kiện sau được thỏa mãn
G
3
(s) =

A −


k
2
G
2
sin


k
3
ds

ds

sin

s
k
3
(u)du
−

B +


k
2
G
2
cos

k
3
ds

ds


cos

s
k
3
(u)du,
với A, B là các hằng số.
Định lí 1.4.15 ([3, p. 331]). Cho α : I ⊂ R → R
4
là một đường tham số độ dài
cung trong không gian R
4
. Nếu α là một đường xoắn xiên thì
G
2
1
+ G
2
2
+ G
2
3
+ G
2
4
= C,
với C là hằng số khác 0.
Mệnh đề 1.4.16 ([3, p. 333]). Không tồn tại đường xoắn xiên với độ cong hằng
trong không gian R
4

.
Mệnh đề 1.4.17 ([3, p. 334]). Không tồn tại đường xoắn xiên với các tỷ số độ
cong bằng hằng số trong không gian R
4
.
1.4.3 Đường B
2
-xoắn xiên
Năm 2008,
¨
Onder là người đầu tiên đưa ra khái niệm đường B
2
-xoắn xiên trong
không gian R
4
[25]. Đường B
2
-xoắn xiên được đặc trưng bởi trường vector B
2
tạo
một góc không đổi với một hướng cố định. Năm 2009, G¨ok đã khảo sát đường
V
n
-xoắn xiên (trong không gian R
n
) bằng cách sử dụng độ cong điều hòa tựa B
2
và khái niệm vector Darboux [13]. Theo đó, với n = 4 thì ta thu được các kết quả
cho đường B
2

-xoắn xiên.
21
Định nghĩa 1.4.18. Cho α : I ⊂ R → R
4
là một đường tham số độ dài cung với
các hàm độ cong k
1
(s), k
2
(s), k
3
(s) khác không tại mọi s ∈ I và {T, N, B
1
, B
2
} là
trường mục tiêu Frenet dọc α. Đường cong α được gọi là đường B
2
-xoắn xiên nếu
trường vector B
2
hợp với một hướng cố định X một góc ϕ không đổi (ϕ =
π
2
), tức
là
B
2
, X = cos ϕ, ϕ =
π

2
, ϕ = const.,
với X là trường vector đơn vị cố định trong R
4
và được gọi là trục của B
2
-xoắn
xiên.
Định nghĩa 1.4.19. Cho α : I ⊂ R → R
4
là đường tham số độ dài cung với các
hàm độ cong k
1
(s), k
2
(s), k
3
(s) khác không tại mọi s ∈ I. Ta gọi H
1
, H
2
là các hàm
độ cong điều hòa tựa B
2
của α cho bởi H
i
: I ⊂ R → R, i = 1, 2, sao cho
H
i
=






k
3
k
2
, i = 1
−
1
k
1
H

1
, i = 2
.
Mệnh đề 1.4.20 ([13, p. 320]). Cho α : I ⊂ R → R
4
là đường tham số độ dài
cung với các hàm độ cong k
1
(s), k
2
(s), k
3
(s) khác không tại mọi s ∈ I, X là trường
vector đơn vị cố định trong R

4
, {T, N, B
1
, B
2
} là trường mục tiêu Frenet dọc α và
H
1
, H
2
là các hàm độ cong điều hòa tựa B
2
của α. Giả sử α : I → R
4
là đường
B
2
-xoắn xiên có trục X, khi đó
B
1
, X = 0; N, X = H
1
B
2
, X; T, X = H
2
B
2
, X.
Chứng minh. Vì X là vector đơn vị cố định nên

B
2
, X = const.
⇒

B

2
, X

= 0
⇒−k
3
B
1
, X = 0
⇒B
1
, X = 0.
Do đó

B

1
, X

= 0
⇒−k
2
N + k

3
B
2
, X = 0
⇒ −k
2
N, X + k
3
B
2
, X = 0
⇒N, X =
k
3
k
2
B
2
, X = H
1
B
2
, X.
22