Bài giảng Vật lí lượng tử

Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

VẬT LÝ NGUYÊN TỬ



Lời Giới thiệu

Vật lý nguyên tử và hạt nhân là một học phần cuối của vật lý đại cương trong chương trình đào
tạo đại học ngành Vật lý và kỹ thuật. Học phần này gồm hai phần lớn khá độc lập (mà trong nhiều
trường đại học đã phân thành hai môn học riêng biệt), đó là vật lý nguyên tử và vật lý hạt nhân. Trong
giáo trình này chúng tôi trình bày về phần thứ nhất, đó là Vật lý nguyên tử.
Vật lý nguyên tử nhằm nghiên cứu các tính chất và cấu trúc lớp electron của nguyên tử, các
tính chất của nguyên tử và các bài toán xây dựng mô hình, cấu trúc nguyên tử.
Vật lý nguyên tử được phát triển trong một quá trình lâu dài, bởi nó có những đặc trưng sớm
phát hiện cũng như những bản chất lượng tử chỉ được giải thích thấu đáo khi đã có vật lý lượng tử hiện
đại.
Nguyên tử được biết đến từ đầu thế kỷ 19. Các mẫu nguyên tử đã được đề xướng trong thời
gian này như mẫu Thomson, mẫu Rutherford, đều dưạ trên các định luật vật lý cổ điển, nên được gọi là
các mẫu nguyên tử theo thuyết cổ điển. Mặc dù các mẫu này giải thích được khá nhiều các đặc trưng
của nguyên tử, nhưng chúng đều bị mâu thuẫn trước những biểu hiện lượng tử của nguyên tử. Mẫu
nguyên tử Bohr với các định đề đã giải thích được tính chất lượng tử mới mẻ này của nguyên tử, nhưng
lại không nhất quán với nền tảng mà Bohr vẫn dùng là lý thuyết cổ điển. Vì vậy, mẫu Bohr được coi là
bán cổ điển, là chiếc cầu nối sang vật lý lượng tử. Hai định đề của Bohr về nguyên tử thực chất đã có
tính lượng tử, chỉ chưa được bản chất hoá và xây dựng thành quy luật thống nhất.
Từ thế kỷ 20, cơ học lượng tử đã hình thành dần và bài toán nguyên tử Hidro đã được xây dựng
dần từng bước, cho tới hoàn thiện.

Trong khuôn khổ của giáo trình, chúng tôi cố gắng đề cập các vấn đề sao cho người học (mà
phần lớn sẽ đi dạy vật lý phổ thông hoặc nghiên cứu cơ bản) đạt được các tiêu chí sau:
+Nắm vững các cơ sở về cấu trúc nguyên tử từ cách nhìn cổ điển đến cách nhìn lượng tử, giải
quyết được các bài tập và các vấn đề áp dụng.
+ Có cập nhật các kết quả hiện đại của lĩnh vực vật lý nguyên tử, (người đọc có thể tham khảo
thêm, ngoài chương trình đào tạo bắt buộc).
+ Sau mỗi chương lớn đều có bài tập giải mẫu và bài tập tự giải để người học có thể tự áp dụng
kiến thực và kiểm tra kiến thức của mình.
Để có thể tiến hành hiệu quả quá trình học tập, người học cần có kiến thức về toán cao cấp, vật
lý đại cương (cơ, nhiệt, điện, quang) và vật lý lượng tử.

Bài giảng gồm 4 chương, chương đầu điểm qua về cấu trúc vật chất và giới thiệu về nguyên tử
theo thuyết cổ điển; 3 chương sau xem xét các vấn đề để giải quyết bài toán nguyên tử Hidro và nguyên
tử phức tạp theo thuyết cơ học lượng tử.
Bài giảng điện tử được ra mắt lần đầu nên không thể tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được
các ý kiến quý báu của đồng nghiệp và đọc giả để bài giảng hoàn thiện hơn.


3
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Hà nội 12-2009
Các tác giả
Nguyễn Minh Thuỷ và Phạm Khánh Hội


Mục lục

TT Tên
Lời giới thiệu
1 Chương 1. Cấu trúc nguyên tử theo thuyết cổ điển
2 Chương 2. Cơ sở của cơ học lượng tử
3 Chương 3. Nguyên tử hiđrô và các ion tương tự
4 Chương 4. Nguyên tử nhiều electron- Bảng tuần hoàn
Menđeleev
5 Chương 5. Cấu trúc Phân tử
6 Chương 6. Laser- máy phát lượng tử


4
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Chương 1
Cấu trúc nguyên tử theo thuyết cổ điển

1.1 Mở đầu: Cấu tạo vật chất
Thiên nhiên là muôn hình vạn trạng, nhìn thấy được cũng như không nhìn thấy được
song đều được cấu tạo từ các chất khác nhau. Phân tử là phần nhỏ nhất của một chất
mà vẫn giữ nguyên những đặc tính của chất đó. Phân tử gồm các nguyên tử hợp thành.
Cho đến ngày nay, người ta thừa nhận rằng nguyên tử có phần trung tâm là hạt nhân
mang điện dương và các êlectron mang điện âm ở bên ngoài. Hạt nhân nguyên tử được
cấu tạo bởi những nuclon (proton và nơtron). Đến lượt mình, các nuclon được tạo
thành bởi những hạt quark. Dãy các cấu trúc vật chất được mô tả bằng hình vẽ bên.

Phân tử nước H
2
O gồm một nguyên tử oxy và hai nguyên tử hiđro. Nguyên tử hiđro

có cấu trúc gồm một hạt nhân mang điện dương (là hạt proton) nằm ở trung tâm và một
electron mang điện âm chuyển động
quay quanh hạt nhân. Các nguyên tử
của các nguyên tố khác thì phức tạp
hơn. Nhân của nó gồm nhiều hạt
proton và hạt nơtron. Tổng số các
electron trên các lớp vỏ bằng số
proton trong hạt nhân. Vì thế
nguyên tử ở trạng thái cơ bản là trung hoà điện. Proton được cấu tạo bởi hai quark u và
một quark d; nơtron được cấu tạo từ một quark u và hai quark d. Tổng điện tích của các
hạt quark thành phần đúng bằng điện tích của proton (bằng +1e) hoặc bằng điện tích
nơtron (bằng 0).
Hình 1.1
Từ vật chất đến nguyên tử, cấu trúc nguyên tử, hạt nhân nguyên tử và
cấu trúc nuclon.



Chúng ta đã biết các thành phần cấu tạo nguyên tử. Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào
mà các thành phần đó có thể gắn với nhau tạo thành nguyên tử được? Nói cách khác,
chúng tương tác như thế nào trong nguyên tử?
Để trả lời, trước hết ta hãy xem có các loại tương tác nào tác dụng trong nguyên tử.

5
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN


1.2 Các lực tương tác bên trong nguyên tử
Trong tự nhiên có bốn lực cơ bản mà ba trong chúng có tác dụng giữ cho các nguyên

tử bền vững hoặc xác định cách thức phân rã của một nguyên tử không bền. Đó là lực
điện từ, lực tương tác mạnh và lực tương tác yếu. Lực điện từ giữ các electron gắn với
nguyên tử. Lực tương tác mạnh gắn các proton và nơtron với nhau trong hạt nhân. Lực
tương tác yếu điều khiển cách thức nguyên tử phân rã. Lực hấp dẫn chỉ thể hiện rõ trong
các vật thể lớn hơn các hạt thành phần của nguyên tử. Chúng ta sẽ lần lượt nói đến các
lực này.
1.2.1 Lực điện từ trong nguyên tử
Lực điện từ là quen thuộc nhất. Đó là lực đẩy giữa hai vật mang điện cùng dấu, là lực
hút giữa hai vật mang điện trái dấu. Trong nguyên tử các electron mang điện âm bị các
proton ở hạt nhân mang điện dương hút nên không tách ra khỏi nguyên tử được. Chúng
quay xung quanh hạt nhân. Điều làm các nhà vật lí băn khoăn trong thời gian khá lâu là
theo lí thuyết điện từ thì electron phải bức xạ nghĩa là mất dần năng lượng và chuyển
động theo đường xoắn ốc rồi rơi vào hạt nhân mà như vậy thì nguyên tử không tồn tại
được. Ngày nay, người ta hiểu rằng các hạt vi mô như electron có tính chất sóng. Chính
do tính chất này mà electron không bị rơi vào hạt nhân nguyên tử. Bản chất sóng của
electron sẽ được nói tới trong các phần sau.
Lực điện từ còn làm các electron trong nguyên tử đẩy nhau ra xa. Tuy nhiên do hạt
nhân hút chúng lại mạnh hơn nhiều nên electron không bị “đẩy ra khỏi” nguyên tử. Các
proton trong hạt nhân cũng đẩy nhau nhưng chúng không bị tách rời nhau vì còn chịu tác
dụng của lực tương tác mạnh sẽ nói dưới đây.
1.2.2 Lực tương tác mạnh
Trong hạt nhân giữa các hạt proton có lực tương tác mạnh hút chúng lại với nhau. Lực
này mạnh hơn lực đẩy Coulomb rất nhiều. Nhờ vậy mà các proton cố kết với nhau trong
hạt nhân. Lực tương tác mạnh tác động lên proton không phải chỉ do proton gây ra mà
còn có phần đóng góp của một loại hạt khác. Đó là các hạt nơtron. Các nơtron trung hòa
điện, giữa chúng chỉ có lực tương tác mạnh.

6
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Lực tương tác mạnh trong hạt nhân, gọi là lực hạt nhân, có đặc tính qui định số lượng
tương đối giữa proton và nơtron trong hạt nhân. Nếu số proton trong hạt nhân quá nhiều
thì lực tương tác mạnh không đủ vượt qua lực đẩy tĩnh điện giữa các proton, hạt nhân bị
phân rã, ngược lại nếu số nơtron quá nhiều thì lực tương tác mạnh dư thừa sẽ bó chặt
hơn các nuclon lại. Vì thế trong hầu hết các hạt nhân bền, số nơtron chiếm tỉ lệ lớn hơn
so với proton. Các nhân nhẹ bền có số proton và nơtron bằng nhau, như C
12
có 6 proton,
6 nơtron, O
16
có 8 proton và 8 nơtron. Các nhân bền nặng hơn có số nơtron nhiều hơn số
proton, thí dụ Bismuth Bi
209
tỉ lệ proton/nơtron là 40/60.
1.2.3 Lực tương tác yếu
Lực tương tác yếu đúng như tên gọi, yếu hơn rất nhiều lực điện từ và lực tương tác
mạnh. Cũng như tương tác mạnh, tương tác yếu chỉ tác dụng trong một bán kính rất nhỏ,
cỡ 0,01 fm. Tuy nhiên khác với các tương tác khác, tương tác yếu xảy ra đối với mọi hạt
trong nguyên tử, mang điện hay không mang điện. Khi một hạt nhân có quá nhiều
proton, lực tương tác mạnh không thể giữ chúng lại được, hoặc khi hạt nhân có quá
nhiều nơtron đến nỗi lực nén chúng quá chặt, thì tương tác yếu có tác dụng làm đổi một
hạt loại này thành một hạt loại khác và hạt nhân phân rã dưới dạng phóng xạ bê-ta.
Chẳng hạn phóng xạ bê-ta trừ ( ) tương ứng với biến đổi một nơtron thành một proton,
một electron và một phản nơtrino.
−
β
1.3 Mẫu nguyên tử cổ điển Thomson và thí nghiệm Rutherford
Vào năm 1903, J.J. Thomson (1856-1940) đã đưa ra mô hình nguyên tử đầu tiên.
Nguyên tử được coi là hình cầu đường kính d cỡ 10

-10
m, trong đó, điện tích dương
phân bố đều, xung quanh là các electron. Tổng các điện tích dương của hạt nhân
bằng tổng các điện tích âm của các electron. Nguyên tử trung hoà về điện.

Mẫu này bị thực nghiệm phủ định sau 8 năm tồn tại bởi thí nghiệm của Rutherford và
Geiger. Cũng chính thí nghiệm này là cơ sở thực nghiệm cho mẫu nguyên tử hành tinh
và tạo ra ý tưởng về hạt nhân nguyên tử.


7
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

1.3.1 Thí nghiệm Rutherford
Mục đích của thí nghiệm là để chứng minh mẫu Thomson bằng thực nghiệm, tuy nhiên
kết quả cuối cùng lại không phải như vậy.
Thí nghiệm này được xuất phát từ ý tưởng bắn phá nguyên tử bằng đạn có năng lượng
cao, sao cho khi tương tác với nguyên tử, sự mát năng lượng được coi là không đáng kể;
sau đó dùng lí thuyết tán xạ, tính các thông số tương tác để tìm hiểu cấu trúc nguyên tử.
Đây là phương pháp cơ bản trong các thí nghiệm nghiên cứu nguyên tử - hạt nhân.
Điều kiện thí nghiệm:
- Chùm hạt tới (gọi là đạn) phải có cùng động năng, cỡ MeV.
- Bia (chứa các nguyên tử) đủ mỏng để coi đạn tương tác 1-1 với nguyên tử trong bia.
- Có máy đếm các hạt tán xạ theo mọi phương.
Sơ đồ thí nghiệm như hình 2.1.
Hình 1.2. Sơ đồ thí nghiệm

Đạn là chùm hạt nhân He(+2e) gọi là hạt alpha (có từ nguồn phóng xạ tự nhiên).
Chùm tới bắn vuông góc với bia là lá kim loại Au mỏng. Màn hứng là màn huỳnh quang

ZnS, phát sáng tại điểm khi có hạt mang điện chạm vào, nối với máy đếm ghi nhận số
hạt, theo các phương tán xạ.
Kết quả thí nghiệm của Rutherford cho thấy: Phần lớn các hạt đi thẳng, tuy nhiên
có một số hạt bị tán xạ, lệch khỏi hướng bay ban đầu.
Nếu theo mẫu nguyên tử Thomson, do điện tích hạt nhân (+Ze) phân bố đều trong
nguyên tử nên điện trường yếu và không thể làm lệch hướng của hạt anpha, mặt khác,
khối lượng electron quá bé nên cũng không có khả năng làm lệch hạt anpha khỏi phương
chuyển động ban đầu.

8
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Kết quả thí nghiệm ngược lại với dự kiến của mẫu Thomson, có một số hạt bị tán
xạ với góc lớn. Điều này chứng tỏ có một điện trường rất mạnh trong nguyên tử. Điều
này chỉ có thể giải thích được khi cho rằng toàn bộ điện tích +Ze phải tập trung trong
một thể tích rất nhỏ. (Người học có thể chứng minh được rằng góc tán xạ càng lớn khi
phần thể tích mang điện dương càng nhỏ).
α
Rutherford đã gọi toàn bộ điện tích dương tập trung tại tâm của nguyên tử là hạt
nhân của nguyên tử.
1.3.2 Các công thức từ thí nghiệm Rutherford.
Ta tính toán định lượng kết quả thí nghiệm. Hạt alpha có khối lượng M
α
lớn
(=7300 lần m
e
), vì vậy nó bị tán xạ là do tương tác Coulomb với hạt nhân (+Ze). Hạt
chuyển động theo quỹ đạo hyperbol, xem hình 1.3.
• Gọi khoảng cách tới gần a là khoảng cách giữa hạt alpha và hạt nhân khi hạt α tới

gần hạt nhân nhất.

• Khoảng cách tới gần cực tiểu a
o
ứng với khi va chạm xuyên tâm: hạt alpha tới gần
nhất, dừng lại và quay ngược trở lại 180 độ, khi đó động năng ban đầu hoàn toàn
chuyển thành thế năng Coulomb, ta có:
2
0
0
2kZe
a
E
= (1.1)
với
9
1
9.10 /
4
km
πε
0
==
F
(1.2)
• Khoảng nhằm hay thông số va chạm p là khoảng cách giữa trục chuyển động và
đường song song với trục đi qua tâm hạt nhân :
0
cot
2

a
p
g
θ
=
2
(1.3)

• Với quá trình bất kỳ, có :
2
0
()
22
a
ap=+ +
2
0
a
(1.4)
• Góc tán xạ theta là góc giữa 2 phương chuyển động trước và sau tán xạ
• Mô men động lượng ban đầu:
000 0
2
0
vp E
μμ
==lp (1.5)
với
00
,v

μ
là khối lượng rút gọn và vận tốc tương đối ban đầu.
Có thể chứng minh công thức (1.3), xem phụ lục.

9
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN




Hình 1.3



Bây giờ ta xét sự tán xạ của một chùm hạt alpha khi đi qua một lá kim loại mỏng, như
trên hình 1.4.

Hình 1.4.

Vì khoảng cách p không như nhau nên góc lệch θ cũng khác nhau. Giả sử trong một
đơn vị thời gian và qua một đơn vị tiết diện của chùm tới có n
o
hạt α, ta đi tính số hạt α
bị lệch trong một đơn vị thời gian và nằm trong góc giữa θ và θ+dθ (hình 1.4). Góc θ và
θ+dθ ứng với khoảng cách p và (p-dp) tương ứng. Như vậy nếu chỉ tán xạ trên một
nguyên tử tại A, thì những hạt α đi qua diện tích hình vành khăn có tâm ở A, bán kính p
và chiều rộng dp sẽ bị lệch một góc nằm giữa
, d
θ

θθ
+
. Số hạt đó bằng n
0
dS, trong đó
dS là diện tích hình vành khăn.


10
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Nếu như trong một đơn vị diện tích của lá kim loại có N nguyên tử và mỗi hạt α chỉ
tán xạ 1-1 với các nguyên tử, thì số hạt α bị lệch trong đơn vị thời gian, trong khoảng
góc
, d
θ
θ
+
θ
là: dn=n
o
NdS. Diện tích hình vành khăn là 2dS p dp
π
= . Thay vào ta có:
0
2dn n Np dp
π
= (1.6a)
Để tìm dp ta sử dụng công thức tính góc tán xạ (xem phụ lục):

p
eZek
Mv
ctg
22
2
=
θ
(1.6b)
Lấy đạo hàm (1.6b), thu được:
2
0
2
4
2sin
()
2sin
eZe d
dn n N
Mv
θ
θ
π
θ
=
2
(1.6c)
Công thức (1.6c) cho ta số hạt bay qua không gian giữa hai hình nón có góc mở là 2θ
và 2(θ+dθ) trong một đơn vị thời gian (hình 1.5). Các hạt này sẽ tới màn quan sát đập
trên hình vành khăn có diện tích là:

2
2 sin 2 sinrrd r d
π
θθ π θθ
= .

Hình 1.5.

Do đó số hạt tới màn trên một đơn vị diện tích là:
2
0
22
4
1
'()
sin
nN
eZe
n
rMv
θ
Δ=
2
(1.6)
Công thức (1.6) đã được thực nghiệm kiểm chứng.

1.4 Mô hình nguyên tử Rutherford
Từ kết quả thí nghiệm, Rutherford đưa ra kết luận sau.
Nguyên tử có dạng hình cầu, trong đó:

11
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

- Điện tích +Ze tập trung ở tâm nguyên tử, chiếm thể tích nhỏ, nhưng mang hầu
như toàn bộ khối lượng của nguyên tử.
- Electron chuyển động quanh hạt nhân.
- Điện tích âm và dương trung hoà.
Theo Rutherford, lực tương tác giữa electron và hạt nhân giống như lực tương tác
giữa các hành tinh và Mặt Trời trong hệ Mặt Trời. Điều này khiến cho chuyển động của
electron quanh hạt nhân giống như chuyển động của các hành tinh trên quỹ đạo xung
quanh mặt trời. Vì vậy mẫu nguyên tử Rutherford còn được gọi là mẫu hành tinh nguyên
tử.
Mẫu này phù hợp với nhiều kết quả thực nghiệm, nhưng vẫn có những mâu thuẫn.
Mâu thuẫn thứ nhất: Rutherford cho rằng nguyên tử bền vững được, nghĩa là hệ
electron - hạt nhân phải ở trạng thái cân bằng, khi electron chuyển động liên tục quanh
hạt nhân.Về cơ học thì hệ này bền vững nhưng về động lực học thì nguyên tử cấu trúc
như vậy sẽ không bền vững. Thực vậy, theo lí thuyết của Maxwell thì vì electron chuyển
động có gia tốc (hướng tâm) quanh hạt nhân, nên nó luôn bức xạ sóng điện từ. Kết quả
là năng lượng của electron giảm dần theo thời gian và bán kính quỹ đạo của nó cũng
giảm. Tính toán cho thấy chỉ cần 10
-8
s là đủ để cho electron rơi vào hạt nhân và nguyên
tử biến mất! Thực nghiệm chứng tỏ rằng ở trạng thái cơ bản, nguyên tử hiđro không bức
xạ và các nguyên tử bền vững hàng triệu năm. Với nhiều nguyên tử khác cũng vậy.
Mẫu thuẫn thứ hai: Nếu electron khi chuyển động trong nguyên tử liên tục bức xạ thì
phổ của nguyên tử phát ra phải là liên tục, trong khi thực nghiệm ghi được phổ các
nguyên tử là các vạch rời rạc.
Những mâu thuẫn này của mẫu nguyên tử hành tinh không thể giải quyết được nếu
chỉ dựa trên những cơ sở của vật lí cổ điển đã biết. Chúng ta cần tìm kiếm một cơ sở để

thoả mãn những tính chất mới này của nguyên tử.
I.5 Quang phổ hiđro
Trước tiên chúng ta xem một cơ sở thực nghiệm: Quang phổ hiđro

Thực nghiệm thu được cho thấy các bước sóng trong phổ phát xạ của nguyên tử hiđro
hợp thành một dãy vạch gián đoạn (hình 1.6).

12
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN


Hình 1.6


Năm 1885, nhà toán học Balmer đưa ra công thức bán thực nghiệm xác định các
bước sóng của dãy phổ khả kiến của H:

24
32 2 2 2
1111
42 2
kme
R
cn
λπ
⎛⎞⎛
=−=−
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝⎠

h
1
n
⎞
⎟
(1.7)
n=3,4,5 trong đó R là hằng số Rydberg.
24
71
3
1,096776.10
4
kme
R
m
c
π
−
==
h
(1.8).
Dãy này đã ghi nhận được 25 vạch, trong vùng khả kiến và hồng ngoại gần.

Tổng quát cho các dãy phổ khác, ta có:
24
32 2
11
4
ik
kme

cnn
λπ
⎛⎞
=−
⎜
⎝⎠
h
1
⎟
(1.9)
n
i
= 1, 2, 3, 4, tương ứng với dãy Lyman, Balmer, Paschen, Brakett, và n
k
> n
i
.
Với các kim loại kiềm thì vạch phổ của chúng có thể xếp thành 3 dãy: dãy chính, dãy
phụ thứ nhất và dãy phụ thứ hai. Dãy chính gồm những vạch khá mạnh và dễ kích thích,
vạch đầu là vạch đặc trưng cho nguyên tố đang xét, ví dụ như ở Na là 5896 và 5890 Å,
ở
Li là vạch đỏ 6708 và 6704 Å. Số sóng của các dãy chính, dãy phụ thứ nhất và dãy phụ
thứ hai có thể biểu diễn theo các công thức (1.10), (1.11), (1.12) tương ứng:
2
1
2,3,4 (1.10)
()
R
An
np

λ
⎛⎞
=− =
⎜⎟
+
⎝⎠

2
1
3,4,5 (1.11)
()
R
Bn
nd
λ
⎛⎞
=− =
⎜⎟
+
⎝⎠

2
1
2,3,4, (1.12)
()
R
Bn
ns
λ
⎛⎞

=− =
⎜⎟
+
⎝⎠

trong đó A, B là giới hạn của dãy chính và dãy phụ. p, d, s là các số hiệu chỉnh.

13
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Đối với kim loại kiềm có thể viết lại các công thức như sau:
22
22
22
1
2,3,4
(1 ) ( )
1
3,4,5 (1.13)
(2 ) ( )
1
2,3,4,
(2 ) ( )
RR
n
snp
RR
n
pnd

RR
n
pns
λ
λ
λ
⎛⎞
=− =
⎜⎟
++
⎝⎠
⎛⎞
=− =
⎜⎟
++
⎝⎠
⎛⎞
=− =
⎜⎟
++
⎝⎠

Công thức (1.13) cho thấy số sóng của các vạch quang phổ của nguyên tử Hidro và các
kim loại kiềm có thể biểu diễn bằng hiệu số của hai số hạng quang phổ, điều này chỉ có
thể lí giải bằng thuyết lượng tử.

1.6 Thuyết Bohr
Nghiên cứu phổ nguyên tử cho thấy số sóng là hiệu của hai số hạng:

() ()

11 2 2
1
Tn T n
λ
=−
Phát triển từ công thức Planck đối với lượng tử năng lượng ánh sáng, Bohr cho rằng
giá trị của mỗi lượng tử năng lượng do nguyên tử bức xạ bằng:

[]
11 2 2
( ) ( ) (1.14)
c
hh hcTnTn
εν
λ
== = −
Hiệu số trong ngoặc vuông ở (1.14) thay đổi gián đoạn và xác định với mỗi loại
nguyên tử, nên nguyên tử chỉ có thể bức xạ năng lượng theo từng lượng tử có giá trị xác
định. Nói cách khác: nội năng của nguyên tử chỉ có thể thay đổi một cách rời rạc, không
liên tục. Từ những tính chất đặc biệt này, Bohr đưa ra hai định đề sau:

*/
Định đề 1 về trạng thái dừng: Nguyên tử chỉ có thể tồn tại khá lâu ở những trạng thái
có năng lượng xác định, gọi là trạng thái dừng E
1
, E
2
, E
3
,

Ở những trạng thái dừng, electron vẫn chuyển động trên quỹ đạo xung quanh hạt nhân
nhưng không bức xạ, các quỹ đạo có bán kính thoả mãn điều kiện về mômen xung
lượng:
n
Lmvr n
=
= h (1.15)

14
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

s
với là hằng số Planck rút gọn, v là vận tốc chuyển động của
electron trên quỹ đạo đó, m là khối lượng của electron.
/2 .hJ
π
−34
= = 1,05.10h
Khi bị kích thích, nguyên tử có thể chuyển từ trạng thái dừng này sang trạng thái dừng
khác để bức xạ hay hấp thụ năng lượng.

*/
Định đề 2 về tần số và cơ chế hấp thụ hay bức xạ: Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái
dừng này sang trang thái dừng khác nguyên tử sẽ bức xạ hay hấp thụ dưới dạng sóng
điện từ. Tần số của ánh sáng bức xạ hay hấp thụ được xác định bởi:

ik
EE
h

ν
−
=
(1.16)
với E
i
và E
k
là năng lượng của trạng thái đầu và trạng thái cuối.

Sự tồn tại các trạng thái dừng theo thuyết Bohr đã được kiểm chứng bằng thí nghiệm
phát quang cộng hưởng (hình 1.7).

Hình 1.7


1.7 Nguyên tử hidro theo thuyết Bohr


15
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Trong nguyên tử hiđro, electron chuyển động tròn quanh hạt nhân. Lực hút Coulomb
là lực hướng tâm (hình 1.8).
Năng lượng của nguyên tử:
2222
22
mv ke ke ke ke
E

rrr
−−
=+ =+ =−
2
2
r


Từ thuyết Bohr ta có điều kiện lượng tử hóa:

hnmvr
n
=
Quỹ đạo có bán kính và vận tốc được xác định bởi biểu thức:

22 2
2
;
nn
n
rv
Kme n
==
h
h
ke
(1.17)
Năng lượng của các trạng thái dừng được tính theo:

24

22
2
n
kme
E
n
=−
h
(1.17')
Như vậy r
n
= n
2
.r
o

; v
n
~ 1/n (ứng với E
n
xác định)
E
r
-13,6 eV
r
v
H
ình
1.
8.

n=1, 2, 3 là số lượng tử năng lượng.
Khi n=1, thì r
o
=0,5292 nm là bán kính Borh thứ nhất.
Nhận xét :
 Công thức (1.17) cho giá trị năng lượng, chính là năng lượng của các trạng
thái dừng trong nguyên tử. Thay vào công thức quang phổ của hiđro, ta có
thể tính được hằng số Rydberg, giá trị này phù hợp với thực nghiệm đã thu
được.
 Bài toán hiệu chỉnh khi xét chuyển động của hạt nhân:


16
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN


Hình 1.9

Trên đây, ta thiết lập các công thức với giả thiết hạt nhân đủ nặng đối với electron để
có thể xem như khối lượng của nhân là vô cùng lớn so với electron . Nếu coi khối lượng
M của hạt nhân là hữu hạn thì ta đưa về bài toán một hạt có khối lượng rút gọn
M
m
m
Mm
mM
+
=
+

=
1
μ
chuyển động quay quanh khối tâm. Trong các công thức trên, ta
thay m bằng
μ
, còn các đại lượng khác vẫn giữ nguyên (nhưng phải hiểu r là khoảng
cách từ khối tâm của hệ đến khối lượng rút gọn, gốc tọa độ nằm ở khối tâm). Lời giải
vẫn như trước, và thay cho R
∞
là hằng số Rydberg R
H
thì R
H
có giá trị bằng :

=
+
=
∞
M
m
R
R
H
1
1.0968.10
-3
Å
-1

.
Giá trị này phù hợp với thực nghiệm hơn. Điều này giải thích được nguyên nhân sự
khác nhau khi xác định hằng số R từ dãy Balmer của hidro và hằng số R từ các vạch phổ
của iôn He
+
.

17
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN


Hình 1.10.
1.8 Cấu trúc của các ion tương tự hidro

Cấu trúc nguyên tử H là đơn giản nhất vì chỉ có một electron duy nhất. Các nguyên tử
khác nói chung là phức tạp hơn nhiều.
Có thể áp dụng bài toán H cho các ion có 1e chuyển động tròn quanh hạt nhân, ví dụ
như He
+
, Li
++
Bài toán giải tương tự như với trường hợp nguyên tử hiđro, chỉ thay
giá trị của điện tích hạt nhân 1e của hidro bằng Ze, là điện tích hạt nhân của các ion
tương tự hiđro.
ừ đó ta có kết quả:
T
22 4
22
2

n
kZme
E
n
=
h

Quỹ đạo có bán kính và vận tốc tương ứng được tính theo:

22
2
n
n
r
kZme
=
h
;
2
n
kZe
v
n
=
h
(1.18)
với n=1, 2, 3 , nhận các giá trị gián đoạn, gọi là số lượng tử chính.


18

Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

1.9 Sự ion hoá nguyên tử

Theo thuyết Bohr, thông thường, nguyên tử tồn tại ở trạng thái cơ bản là E
1
. Khi nhận
đủ năng lượng, nó có thể chuyển lên mức cao hơn E
2
, E
3
là các mức kích thích.
Nguyên tử ở các trạng thái kích thích này không bền, thời gian sống chỉ cỡ 10
-8
s, sau
đó nó chuyển về mức có năng lượng thấp hơn và phát xạ ra photon.
Người ta thường kích thích nguyên tử bằng cách cho nó va chạm với hạt khác, hạt đó
truyền cho nguyên tử động năng của mình (nếu động năng của hạt tới E
đ
< E
2
- E
1
thì ta
không kích thích được nguyên tử). Cũng có thể cho nguyên tử hấp thụ một photon có
năng lượng E = E
2
- E
1

.
Nếu năng lượng kích thích đủ lớn, electron có thể chuyển lên mức cao nhất (khi n tiến ra
vô cùng) và vượt ra khỏi nguyên tử. Khi nguyên tử mất electron và trở thành ion, ta nói,
nguyên tử bị ion hoá.
E
ion hoá
= E
∞
- E
1
= 0 - E
1

Năng lượng ion hoá chính bằng năng lượng liên kết electron trong nguyên tử.
1.10.*(tham khảo) Sự lượng tử hoá không gian

Từ điều kiện lượng tử của Bohr (1.15) có thể suy ra tính chất lượng tử hoá không
gian.
Khi giải bài toán quỹ đạo, ta thu được chuyển động của electron trong nguyên tử tổng
quát được coi như trên các quỹ đạo phẳng hình ellip (ở đây ta vẫn chưa dùng kiến thức
gì ngoài lí thuyết cổ điển).
Để xem tính chất của không gian ta phải đưa một phương cố định vào hệ toạ độ trong
nguyên tử. Muốn vậy, ta đặt nguyên tử vào từ trường ngoài. Do tác dụng của từ trường
mà quỹ đạo của electron không còn phẳng nữa, chuyển động lúc này thành có 3 bậc tự
do.

19
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Hình 1.11.
Ta xét từ trường ngoài không quá lớn. Quỹ đạo chỉ bị coi là bị nhiễu loạn, xem gần
đúng như quỹ đạo hình ellip nhưng mặt phẳng của nó bị nghiêng đi một góc đối với
phương của từ trường (là ON). OM là pháp tuyến của mặt phẳng quỹ đạo AB, AB làm
một góc alpha đối với mặt phẳng xích đạo CD (vuông góc với từ trường ON). Dùng toạ
độ cầu
,,r
θ
ϕ
, gọi
φ
là góc phương vị tính trong mặt phẳng quỹ đạo.
Do quỹ đạo vẫn còn là hình ellip nên trong mặt phẳng quỹ đạo, ta có:
LLn
φ
φ
==h (1.19)
Điều kiện lượng tử của Bohr lúc này là:
(1.20)
rr
Ldr nh
Ld nh
Ld nh
θθ
ϕϕ
θ
ϕ
=
=
=

∫
∫
∫

với
L
ϕ
là mômen động lượng ứng với góc phương vị tính trong mặt phẳng xích đạo, còn
L
φ
là mômen động lượng ứng với góc phương vị tính trong mặt phẳng quỹ đạo. Do đó,
vectơ
L
φ
uur
nằm trên phương OM (pháp tuyến của mặt quỹ đạo), còn L
ϕ
uur
nằm trên phương
ON và là hình chiếu của
L
φ
uur
lên phương từ trường. Ta có:
α
ϕ
cosLL
=
.
Vì mômen động lượng L bảo toàn trong suốt thời gian chuyển động nên hình chiếu của

nó cũng không đổi. Do đó với điều kiện lượng tử (1.20), ta suy ra:
cos cosLn L n nn
ϕ
ϕφϕφ
α
α
== = →=hh h (1.21)
Đặt
cos ,
m
nm L
nn
ϕϕ
φφ
α
=→ = =
m
L
(1.22)

20
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Do hàm cosin không lớn hơn 1 nên: m nhận các giá trị nguyên có trị tuyệt đối nhỏ
hơn hoặc bằng
n
φ
, có
2

giá trị khác nhau của m, cũng là số giá trị khác nhau của
góc alpha.
1n
φ
+
Tóm lại: Khi đặt nguyên tử trong từ trường ngoài, mặt phẳng quỹ đạo không phải bị
nghiêng đi những góc tuỳ ý đối với phương của từ trường mà là những phương xác định
theo (1.22). Rõ ràng không gian lúc này đã không còn liên tục mà chỉ có các phương
gián đoạn, ta gọi đây là hiện tượng lượng tử hoá không gian.
Tính chất lượng tử hoá không gian cũng được chứng minh bằng cơ học lượng tử và ta
sẽ quay lại kỹ hơn ở chương 3.
1.11. Bài tập mẫu
Bài 1. Dựa vào mẫu Thomson, tính bán kính nguyên tử hidro và bước sóng ánh sáng do
nó phát ra nếu biết năng lượng Ion hóa của nguyên tử là
eVE 6.13
=
.
Giải:
a)Theo mẫu nguyên tử Thomson thì điện tích dương e phân bố đều trong hình cầu bán
kính
R
nên ta có lực của điện tích dương tác dụng lên electron:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤−

≥−
=
Rr
R
re
Rr
r
e
F
,
4
1
,
4
1
3
2
0
2
2
0
πε
πε

Mà
⇒ hay gradWF −=
∫
−= FdrW
⎪
⎪

⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤+
≥+−
=
RrC
R
re
RrC
r
e
W
,
4
1
2
1
,
4
1
2
3
22
0
1
2
0

πε
πε

Do điều kiện liên tục của W và do
0
=
W ở vô cùng nên
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
=
R
e
C
C
0
2
2
1
42
3
0
πε

Cuối cùng ta được:

21

Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤−
≥−
=
Rr
R
e
R
re
Rr
r
e
W
,
42
3
4
1
2
1
,

4
1
0
2
3
22
0
2
0
πεπε
πε

Từ biểu thức trên ta thấy
ion
E
R
e
W −=−=
0
2
min
42
3
πε
⇒
ion
E
e
R
0

2
42
3
πε
=
b)Tần số chuyển động của electron trên quỹ đạo bán kính
r
:
2
0
2
2
4 r
e
rm
πε
ω
=
⇒
mrr
e
0
4
1
πε
ω
=
⇒Bước sóng mà nguyên tử Hidro phát ra:
ω
π

λ
c
f
c 2
==

Hay:
3
0
4
2
mr
e
c
πε
π
λ
=
⇒
3
2
2
4
3
2
2
0
e
E
f

ion
π
πε
=

Bài 2. Một hạt
α
có động năng bị tán xạ bởi một lá vàng dưới một góc .
Tìm giá trị tương ứng của tham số ngắm.
MeV27.0
o
60
Giải:
Từ công thức liên hệ giữa tham số ngắm và góc tán xạ:
2
cot
8
1
2
cot
2
0
2
0
0
θ
πε
θ
g
E

zZe
g
a
b ==
Thay số ta được:
pmb 73.0=
Bài 3. Một chùm hạt
α
hẹp có động năng MeVT 5.0
=
đập vuông góc lên một lá vàng có
mật độ khối lượng trên một đơn vị diện tích là cường độ chùm hạt này là
3
/5.1 cmmgd =
ρ

22
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

5
0
100.5 ×=I
hạt/s. Tìm số hạt
α
; bị tán xạ bởi lá vàng sau 30
=
τ
phút trong các khoảng
góc:

a) ;
oo
6159 −
b)Trên .
0
60
Giải:
Ta có:
A
d
ndnA
ρ
ρ
=⇒=
Thế vào biểu thức xác định mật độ dòng tán xạ ta được:
2
sin16
)4(
1
42
0
422
2
0
2
θ
πε
ρ
E
eZz

AR
dI
j =

Do đó, ta có: Số hạt tán xạ trên diện tích
S
Δ
trong khoảng thời gian
τ

τ
θ
πε
ρ
2
sin16
)4(
1
42
0
422
2
0
2
E
eZz
AR
SdI
N
Δ

=Δ

Mặt khác ta lại có: Công thức tính diện tích đới cầu:
θ
θ
θ
πθθππ
dRdRRdhdS
2
cos
2
sin4sin22
22
===
Cuối cùng ta được:
θ
θ
θ
πε
τρπ
d
E
geZz
A
dI
N
2
sin4
2
cot

)4(
1
22
0
422
2
0
=Δ (*)
a) Thay số ta được:
6
106.1 ×=ΔN
b) Tích phân biểu thức (*) trên từ
π
θ
→ ta được:
τ
θ
πε
πρ
I
E
geZz
A
d
N
2
0
2422
2
0

4
2
cot
)4(
1
=
1.12. Bài tập

1.1.
Với một khoảng cách cực tiểu bằng bao nhiêu, khi một hạt
α
có động năng
(khi va chạm trực diện) đến gần:
MeVT 50.0=
a)Một hạt nhân nguyên tử chì (nặng) đứng nghỉ;

23
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

b)Một hạt nhân Li
7
(nhẹ), tự do ban đầu đứng nghỉ?
1.2. Một hạt
α
có động năng MeVT 50.0
=
bị tán xạ dưới góc trong trường
Coulomb của một hạt nhân nguyên tử thủy ngân đứng yên. Tìm:
o

90=
ϑ
a)Bán kính cong nhỏ nhất của quỹ đạo của hạt;
b)Khoảng cách cực tiểu mà hạt
α
lại gần hạt nhân.
1.3. Một proton có động năng
T
và tham số ngắm , bị tán xạ trong trường Coulomb
của một hạt nhân nguyên tử vàng đứng yên. Tìm xung truyền cho hạt nhân này do sự tán
xạ.
b
1.4. Một hạt có động năng
T
bị tán xạ bởi một giếng thế năng hình cầu có bán kính
R

và độ sâu , tức là trường mà trong đó thế năng của hạt có dạng:
0
U
⎩
⎨
⎧
<−
>
=
RrU
Rr
U
,

,0
0

Trong đó
r
là khoảng cách từ tâm của giếng. Tìm sự liên hệ giữa tham số ngắm (như
trong thí nghiệm Rutherford) của hạt và góc
b
θ
mà hạt lệch khỏi phương chuyển động
ban đầu.
1.5. Người ta chiếu một chùm song song các hạt có bán kính
r
, vào một quả cầu đứng
yên có bán kính
R
. Giả thử sự va chạm của hạt với quả cầu là đàn hồi, tìm:
a)Góc lệch
θ
của hạt phụ thuộc vào tham số ngắm b của nó;
b)Tỉ phần hạt tán xạ tán xạ trong khoảng từ
θ
đến
θ
θ
d
+
;
c)Xác suất tán xạ hạt ở bán cầu trước (
2

π
θ
< ).
1.6. Một chùm hạt
α
hẹp có động năng MeVT 0.1
=
đập vuông góc lên một lá platin dày
m
μ
0.1 . Quan sát các hạt tán xạ theo góc với phương của chum tới bằng một máy
đếm có lỗ vào hình tròn có diện tích ; lỗ đặt cách khu vực tán xạ của lá một khoảng
. Phần các hạt
o
60
2
1cm
cm10
α
đập vào lỗ của máy đếm bằng bao nhiêu?
1.7. Một chùm hạt
α
hẹp có động năng MeVT 5.0
=
và cường độ hạt/s đập
vuông góc lên một lá vàng. Tìm bề dày của lá, nếu cách khu vực tán xạ một khoảng
và dưới một góc với phương của chùm tới mật độ dòng hạt tán xạ là
.
5
100.5 ×=I

cmr 15=
o
60=
θ
2
/40 scmpj =

24
Bài giảng Vật lý nguyên tử, chương 1
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

1.8. Một chùm hạt
α
hẹp đập vuông góc lên một lá bạc. Sau lá bạc đặt một máy đếm ghi
các hạt tán xạ ứng với công thức Rutherford. Khi thay lá bạc bằng một lá Platin có cùng
diện tích khối lượng, thì số hạt
α
ghi được trong một đơn vị thời gian tăng lên
52.1
=
η

lần. Tìm số thứ tự của Platin, giả sử rằng đã biết số thứ tự của bạc và trọng lượng của cả
hai nguyên tố.
1.9. Một chùm hẹp các proton có vận tốc đập vuông góc lên một lá bạc có
độ dày
smv /106
6
×=
md

μ
0.1= tìm xác suất tán xạ của các hạt proton ở bán cầu sau ( ).
o
90>
θ
1.10. Đối với nguyên tử hidro và ion He
+
hãy tính:
a)Bán kính quỹ đạo Bohr thứ nhất và vận tốc của electron trên quỹ đạo đó;
b)Động năng và năng lượng liên kết của electron ở trạng thái cơ bản;
c)Thế Ion hóa, thế kích thích thứ nhất và bước sóng của vạch cộng hưởng
( ).
12 =→=
′
nn
1.11. Tính vận tốc góc của electron trên quỹ đạo Bohr thứ hai của ion He
+
.



25