Chương 3 Vật lí lượng tử

Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN


Chương 3
Nguyên tử hiđrô và các ion tương tự

Chương này gồm các phần sau:
1. Phương trình chuyển động của electron trong nguyên tử hiđro.
2. Lời giải của phương trình Schrödinger.
3. Kết luận về các trạng thái của điện tử trong nguyên tử.
4. Ý nghĩa vật lý của các số lượng tử xuất hiện từ việc giải phương trình
Schrödinger.
5. Xác xuất tìm thấy electron tại một điểm trong nguyên tử.
6. Mômen từ của nguyên tử hidro.
7. Hiệu ứng Zeeman.
8. Thí nghiệm Stern-Gerlach.
9. Spin của electron. Mômen từ riêng.
10. Mômen động lượng tổng cộng.
11. Kết luận về các trạng thái lượng tử của electron trong nguyên tử.
12. Nguyên tử trong từ trường.
13. Tương tác spin - quỹ đạo.
14. Bài tập ví dụ và bài tập.


3.1. Phương trình chuyển động của electron trong nguyên tử hiđro

a. Phương trình Schrödinger đối với electron trong nguyên tử hyđro

Trong nguyên tử hiđro, electron chuyển động trong một trường xuyên tâm là
trường tĩnh điện của hạt nhân. Thế năng tĩnh điện là một hàm phụ thuộc khoảng cách

từ hạt nhân đến electron. Để thuận tiện, ta chọn hệ toạ độ cầu có gốc tại hạt nhân coi
như một điểm, như hình 3.1.

32
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN


Hình 3.1. Toạ độ cầu và các biến của nó.


Phương trình Schrödinger của electron là:

() ( ) ( )
ϕθψϕθψ
,,,,].
2
[
2
rErrU
m
=+Δ−
h
(3.1)
trong đó
()
2
Z
e
Ur k

r
=− ; (3.2)

0
1
4
k
π
ε
=
, Z là nguyên tử số, Z(hiđro) = 1
Theo chương 2, toán tử Laplace trong hệ toạ độ cầu có dạng sau:

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂

∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=Δ
2
2
22
2
2
sin
1
sin
sin
111
ϕθ
θ
θ
θθ
r
r

r
r
r


θϕ
Δ+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
2
2
2
11
r
r
r
r
r
(3.3)
trong đó
⎥

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=Δ
2
2
2
sin
1
sin
sin
1
ϕθ
θ
θ

θθ
θϕ

Theo (2.22) ta có
θϕ
Δ−=
22
h
)
r
L , trong đó dấu mũ (^) trên L
2
chỉ rõ đó là một toán
tử, là một phép lấy đạo hàm riêng theo
θ
và
ϕ
. Ta viết lại toán tử như sau : Δ

{ }
2
2
2
2
11
L
r
r
r
r

)
h
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=Δ
(3. 4)

3.2. Lời giải của phương trình Schrödinger

Thay (3.4) vào (3.1), sau vài biến đổi đơn giản, ta được :

()
0
2111
2
2
22
2
2
=−+
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
ψψψ
UE
m
L
r
r
r
r
r h
)
r
h
(3.5)

33
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Phương trình (3.5) là phương trình Schrödinger cho electron trong nguyên tử, với thế
năng U có dạng (3.2). Nghiệm của phương trình là hàm sóng của electron trong
nguyên tử một electron.

Phương trình (3.5) có nghiệm duy nhất khi nghiệm
ψ
thỏa mãn các điều kiện sau:
1. Hàm sóng
()
ϕ
θ
ψ
,,r
phải hữu hạn khi r = 0 để tránh trường hợp hàm sóng tiến tới
vô hạn (tức là xác suất tìm thấy hạt bằng vô cùng lớn)
2. Hàm sóng
()
ϕ
θ
ψ
,,r
phải đơn giá và liên tục tại mọi vị trí.
3. Hàm sóng
()
ϕ

θ
ψ
,,r
phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa.
Ta sẽ không giải một cách đầy đủ mà chỉ trình bày phương pháp giải và nêu một vài
kết quả.
Ta dùng phương pháp tách biến để giải bài toán. Trước hết ta đặt hàm
()()()
ϕ
θ
ϕ
θ
ψ
,,, YrRr =
, với hàm R chỉ phụ thuộc biến r, còn hàm Y chỉ phụ thuộc hai
biến
θ
và
ϕ
. Ta thay
ψ
bằng tích RY trong phương trình (3.5), rồi chia phương trình
đó cho RY và chuyển các số hạng cùng biến sang một vế, ta được :

()
[]
YL
Y
rUEr
m

dr
dR
r
dr
d
R
〉〈=−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
2
2
2
2
1121
)
r
hh
(3.6)
Chú ý là ta đã thay đạo hàm riêng phần
r
∂
∂
bằng đạo hàm toàn phần
d
r

d
vì ở vế trái
chỉ có một biến r duy nhất .
Do vế trái chỉ phụ thuộc r, vế phải chỉ phụ thuộc
ϕ
θ
,
mà hai vế lại bằng nhau nên
chúng phải bằng một hằng số, kí hiệu là
λ
, phương trình (3.6) viết được như sau :

()
22
2
12 11ddRm
rrEUr
Rdr dr Y
⎛⎞
2
2
LY
+
−=〈
⎡⎤
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
〉
)

r
hh
=
λ
. (3.7)
Phương trình (3.7) viết tách thành hai phương trình sau :

()
[]
RRrrUE
m
dr
dR
r
dr
d
λ
=−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
2
2
2
h
(3.8)

() (
ϕθλϕθ
,,
1
2
2
YYL =
)
)
r
h
(3.9)

Như vậy, thay cho phương trình (3.5), ta có hai phương trình (3.8) và (3.9).


34
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Ta lần lượt giải hai phương trình trên. Lời giải của mỗi phương trình là một hệ các
hàm thỏa mãn phương trình ứng với hệ các trị riêng tương ứng.
Trước hết ta hãy xét phương trình (3.9). Thay
θϕ
Δ−=
22
h
)

r
L , ta được :

θϕ
Δ
[]
ϕ
θ
,Y
= -
λ
[
]
ϕ
θ
,Y
(3.10)

Dạng đầy đủ của (3.10) là :


() (
ϕθλϕθ
ϕθ
θ
θ
θθ
,,
sin
1

sin
sin
1
2
2
2
YY −=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
)
(3.11)

Phương trình (3.11) giải bằng phép phân li biến số. Đây là một bài toán đã được giải
chính xác trong các giáo trình về phương trình vi phân, nghiệm có dạng sau :

[
]
()
(
)
,,cos
m
lm l
YY P .
im
e
ϕ
θϕ θϕ θ
≡ 
(3.12)
trong đó, l là những số nguyên còn m nhận (2l+1) giá trị
m = - l, - l +1. – l + 2, . . ,0, . . ., l – 1, l ,

(
θ
cos
m
l
P
)
là một đa thức của cos
θ

. Đa thức
(
)
m
l
Px
gọi là đa thức Legendre liên kết
với biến là x.
Các hàm (3.12) là nghiệm của phương trình (3.11) ứng với
λ
là trị riêng, có các giá
trị bằng:

(
1+= ll
)
λ
(3.13)
với l là số nguyên không âm.
Vậy (3.12) và (3.14) là các hàm riêng và trị riêng cuả toán tử và là lời giải của
phương trình (3.11).
θϕ
Δ

Trở lại phương trình (3.9)

() (
ϕθλϕθ
,,
1

2
2
YYL =
)
)
r
h

ta nhận thấy đối với toán tử bình phương động lượng
2
L
)
r
, các hàm riêng cũng là

[
]
()
(
)
,,cos
mi
lm l
YY P .
m
e
ϕ
θϕ θϕ θ
≡ 

còn các trị riêng tương ứng là
(
)
22 2
1Ll
λ
l
=
=+hh


35
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Vậy momen động lượng có giá trị L là:

() ()
2
1Lll ll=+=+hh1 (3.14)
Cũng vì thế, chỉ số l của hàm sóng được gọi là số lượng tử quĩ đạo.

Chú thích
Một vài biểu thức của đa thức Legendre liên kết
(
)
θ
cos
m
l

P


() ()
(
)
(
)
()
() ()
() ()
01 0 1
01 1 1
221 0
222
122
22
cos 1, cos (1/ 2)sin ; cos cos ; cos
113
cos 3sin ; cos sin 3 ; cos (1/ 2)(3cos 1);
1.2.3.4 6 2
cos 3 cos ; cos 3
PP P Psin
PPP
PsinPsin
θθθθθθθ
θθθθθ
θθθ θ θ
−
−−

==− = =
==−=
==
2
θ
−

Công thức tổng quát của đa thức Legendre :
()
() ()
n
nm
nm
n
m
m
n
z
dz
d
n
zzP 1
!.2
1
1
2
2
2
−−=
+

+

Dùng hàm Legendre thay vào (3.12) ta có :
()
(2 1)( )!
,(
4( )!
im m
lm l
llm
Ye
lm
φ
)Pcos
θ
ϕε θ
π
±
+−
=
+

với
(1) 0; 1 0
m
khi m khi m
εε
=− ≥ = <
Ví dụ một vài hàm
(

)
,
m
l
Y
θ
ϕ


1/2 1/2 1/2
00 1
01 1
13 3
;cos; s
44 8
i
YY Y in
.;e
φ
θθ
ππ π
±±
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
== =
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
m

Bây giờ ta tìm lời giải của phương trình (3.8).
Ta thay (3.14)
λ
= l(l +1) vào phương trình (3.8), tức là :

()
[]
RllRrrUE
m
dr
dR
r
dr
d
)1(
2
2
2
2
+=−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
h
(3.15)
hay là
{ ()

[]
}
0)1(
2
2
2
2
2
2
=+−−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Rll
m
rrUE
m
dr
dR
r
dr
d h
h

Lấy đạo hàm theo r rồi viết lại phương trình trên trong đó thay U bằng biểu thức
(3.2). Ta có :

36
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN


(
)
2
22
22 2
1
22
0
2
ll
dR dR m kZe
E
dr r dr r mr
⎡
+
R
⎤
+
++−
⎢
⎣⎦
h
h
=
⎥

(3.16)
Lời giải của phương trình (3.15) được trình bày chi tiết trong các giáo trình toán
học. Lời giải hữu hạn ở r = 0 và r =
∞
của phương trình trên là :

() ()
21
1
exp .
2
l
n
nl n l
R
ρ
L
ρ
ρ
+
−−
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

ρ
(3.17)
với
r

mE
2
2
2
h
−
=
ρ
, nhớ rằng E<0, vì điện tử còn ở trong nguyên tử) và
là đa thức Laguerre suy rộng.
()
ρ
12
1
+
−−
n
ln
L
Dưới đây là một vài dạng hàm cụ thể của hàm
(
)
nl
R
ρ
cho nguyên tử Hidro:

()
()
()

()
()
()
()
()
()
3/2 3/2
1,0 2,0
3/2 3/2 2
2,1 3,0
3/2 2
3,1
111
2exp; 1exp ;
2
2
11 21 2 2
exp ; 1 exp ;
23
327
24 27
81
1exp
3
6
27 6
r
rr
Rr Rr
aa

aaa
rr
rr
Rr Rr
aa
aa a a a
rr
r
Rr
aaa
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞
=−=−−
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
=−=−+
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞ ⎡ ⎤⎛⎞
=−−
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎣ ⎦⎝⎠
r
−
()

10
; 0,529.10am
a
−
=

a được gọi là bán kính quỹ đạo Bohr thứ nhất của nguyên tử hidro. Trong trường hợp
các iôn tương tự hidro (Z khác 1) thì a giảm đi Z lần.
Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình Schrödinger (3.1) là tích của một hằng
số chuẩn hoá với các hàm R và Y:
() ()
,
,, .
mim
nlm n l l
rARrPe
ϕ
ψ
θϕ
=

A được xác định từ điều kiện chuẩn hoá.

Bây giờ ta tìm trị riêng của (3.1), hay chính là giá trị năng lượng ứng với mỗi hàm
sóng.
Hàm (3.17) là nghiệm riêng của phương trình (3.16) với các trị riêng tương ứng là
các giá trị năng lượng E
n
:

22 2
22
2
n
Z
emk
E
n
=−
h
, n = 1 , 2 , 3 , . . . (3.18)
Giá trị của l trong biểu thức (3.17) bằng :
l = 0, 1, 2, 3 , n – 1, gồm n giá trị.
n là các số nguyên dương n= 1, 2, 3, 4 . . . .
1−≤ nl

37
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN


3.3. Kết luận về các trạng thái của electron trong nguyên tử tương tự
hiđro

Sau khi giải phương trình Schrödinger cho nguyên tử tương tự Hidro, ta có
thể tóm tắt lại như sau:
 Hàm sóng ứng với các trạng thái dừng của electron chuyển động trong
nguyên tử hiđro là

()

(
)
,
,,
mim
nlm n l l
rRrPe
ϕ
ψ
θϕ


với n = 1, 2, 3, . . .
l = 0, 1 , 2, . . ., n -1
m = - l, - l + 1, - l + 2, . . .,0, . . ., l – 1, l (3.19)
 Năng lượng tương ứng với các trạng thái đó là

22 2
22
2
n
Z
emk
E
n
=−
h
(3.20)
Chú ý: 3 số lượng tử trên chưa đủ để xác định một trạng thái của điện tử trong
nguyên tử. Thực nghiệm cấu trúc tinh vi của vạch phổ cho thấy mỗi vạch phổ ứng

với một trạng thái với 3 số lượng tử trên thực ra là hai vạch kép xít nhau, tức là ứng
với hai trạng thái khác nhau (với hai giá trị khác nhau của một số lượng tử thứ tư
nữa, gọi là số lượng tử spin mà ta sẽ xét đến sau).

3.4. Ý nghĩa của các số lượng tử xuất hiện từ việc giải phương trình
Schrödinger

a. Lượng tử số chính n.
Từ (3.20) ta thấy, giá trị của n xác định giá trị năng lượng, đúng như tiên đề Bohr đã
tiên đoán. Nguyên tử chỉ tồn tại ở những trạng thái dừng có năng lượng xác định và
gián đoạn. Thông số n cho ta đặc trưng quan trọng nhất của trạng thái, nên được gọi
là số lượng tử chính, nó chỉ số thứ tự của trạng thái dừng khả dĩ. Số lượng tử chính n
thể hiện tính chất lượng tử hoá của năng lượng.
n=1,2,3,4,


38
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

b. Lượng tử số quỹ đạo l.
Số lượng tử l xuất hiện khi ta giải phương trình với điều kiện có chuyển động xuyên
tâm (chuyển động trên một quỹ đạo dừng theo mô tả bán lượng tử), còn theo lượng tử
thì l xuất hiện trong giá trị riêng của toán tử mômen động lượng L (liên quan đến
chuyển động theo quỹ đạo) và có giá trị theo (3.14) là:
() ()
2
1Lll ll=+=+hh1, với l=0, 1, 2, , n-1
Vì vậy, l được gọi là số lượng tử quỹ đạo (mặc dù vi hạt không có quỹ đạo). Với giá
trị n đã cho, nguyên tử chỉ có thể có n giá trị khả dĩ của mômen động lượng tính theo

công thức trên. Điều này cho thấy mômen động lượng được bảo toàn và lượng tử hoá.

c. Lượng tử số từ m
Như trên ta thấy, lượng tử số quỹ đạo l xác định độ lớn của vectơ mômen động lượng
L
ur
, nhưng không nói được thông tin về hướng của vectơ này. Khi giải phương trình
của thành phần góc (3.11) đã xuất hiện số lượng tử m. Thành phần này cho biết
hướng của vectơ
L
ur
, thông qua việc cho biết hình chiếu của
L
u
r
lên một phương xác
định (kí hiệu là phương z). Thông thường người ta dùng từ trường để đánh dấu một
phương xác định trong không gian đang xét.
Với giá trị l đã cho, vectơ mômen động lượng có thể nhận tối đa là 2l+1 phương khả
dĩ thoả mãn điều kiện về hình chiếu xuống trục z như sau:
z
L
, 1, ,0,1, , 1,
z
Lm mll l==−−+h l− (3.21)
m gọi là lượng tử số từ.
Góc giữa phương của vectơ
L
ur
và trục z được xác định theo:

)1l(l
m
)1l(l
m
L
L
cos
z
+
=
+
==θ
h
h
r
(3.22)
Hình sau mô tả các phương khả dĩ của vectơ
L
u
r
trong các trường hợp l=0, l=1, l=2 và
l=3. Phương z (thẳng đứng) cho thấy độ lớn của hình chiếu của chúng.

39
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



Hình 3.2. Các phương khả dĩ của vectơ

L
u
r
trong các trường hợp l=0, l=1, l=2 và l=3
Ta thấy phương của
L
u
r
không thể tuỳ ý, mà chỉ có thể nhận một số phương xác định.
Điều này chứng tỏ sự lượng tử hoá không gian, cũng phù hợp với hệ quả từ thuyết
Bohr như đã xét ở chương 1.

3.5. Nhận xét chung

a. Năng lượng của electron trong nguyên tử hidro cũng như các ion tương tự với nó
bị gián đoạn thành các mức năng lượng rời rạc, phụ thuộc vào số nguyên n. Ta nói
năng lượng của e trong nguyên tử bị lượng tử hoá.
Từ công thức năng lượng E
n
ở (3.20) ta có nhận xét sau: mức năng lượng thấp nhất
của electron trong nguyên tử ứng với n = 1 bằng :

22 2
1
2
2
Z
emk
E =−
h

Thay các giá trị của e, m, k, vào và đặt Z = 1 cho trường hợp nguyên tử hiđro,
ta có : E
h
1
= - 13,6 eV.

Do E
n
tỉ lệ nghịch với n
2
nên các mức năng lượng càng cao càng xít vào nhau, khi n
lớn tới một mức nào đó ta có thể coi năng lượng là liên tục.
Năng lượng E
n
luôn có giá trị âm, điều này chỉ ra rằng điện tử vẫn đang bị nhốt
trong nguyên tử (định xứ). Khi n tăng thì E
n
tăng và tiến dần đến 0 khi n tiến đến vô
cùng. Khi E bằng hay lớn hơn 0 thì các mức là liên tục, khi đó điện tử đã không còn
thuộc về nguyên tử nữa.

40
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Mức ứng với n=1 gọi là mức K, n=2 gọi là mức L, n=3 là mức M, n=4 là mức N,
n=5 là mức O.
Năng lượng ion hoá của nguyên tử là năng lượng cần thiết để cho 1e bứt ra ra
khỏi nguyên tử, nghĩa là electron chuyển lên mức có năng lượng bằng 0. Như vậy,

năng lượng ion hoá nguyên tử hidro ở trạng thái cơ bản là: E
ion
= 0- E
1
= 13,6 eV.

b. Theo kết quả thu được khi giải phương trình Schrödinger của electron chuyển
động trong nguyên tử, ta nhận thấy ứng với một mức năng lượng E
n
có một bộ các
hàm sóng
nlm
ψ
khác nhau (với các giá trị khác nhau của l và m). Ta bảo rằng có sự
trùng sinh (hay sự suy biến) các hàm sóng của hạt. Mỗi hàm sóng ứng với một trạng
thái khác nhau của electron có cùng năng lượng E
n
nhưng khác nhau về giá trị của
momen động lượng L và về hình chiếu momen động lượng. Số các trạng thái trùng
sinh có thể tính được như sau: ứng với mỗi giá trị n, ta có l = 0, 1, 2, … , n – 1 và
mỗi giá trị l, ta có m = -l,-l+1, … ,l-1,l (tức la 2l + 1 giá trị). Vậy tổng cộng ta có
(3.23)
()
2
1
0
12 nl
nl
l
=+

∑
−=
=
Thí dụ :
Mức năng lượng E
1
, n = 1

2
222
1
2h
mKeZ
E −= ,
có một hàm sóng
100
ψ
.
Mức năng lượng E
2
, n = 2

22
222
2
22h
mKeZ
E −=
,
có 4 hàm với 4 trạng thái sau :

211121210200
,,,
ψ
ψ
ψ
ψ
−

v .v . . .
c. Ba chỉ số của hàm sóng ứng với cùng một mức năng lượng E
n
là các số lượng tử :
n gọi là số lượng tử chính, l gọi là số lượng tử quỹ đạo, m gọi là số lượng tử từ (vì
có liên quan đến momen từ của hạt, sẽ nói đến ở phần sau).

d. Từ (3.20) ta thiết lập được hệ thức của bước sóng λ của photon phát xạ (hay hấp
thụ) giữa các trạng thái năng lượng n
1
và n
2
, bằng :

41
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN


⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
−
=
∞
2
2
2
1
2
12
111
nn
ZR
hc
EE
nn
λ
(3.24)
trong đó
()( )
()
22
2
3
2

2
1,09787.10
ke mc
R
hc
π
−
∞
==Å
-1
.
e. Bài toán hiệu chỉnh khi xét chuyển động của hạt nhân:
Trên đây ta thiết lập các công thức với giả thiết hạt nhân đủ nặng đối với electron
để có thể xem như khối lượng của nhân là vô cùng lớn so với electron. Nếu coi khối
lượng M của hạt nhân là hữu hạn thì ta đưa về bài toán một hạt có khối lượng rút
gọn
M
m
m
Mm
mM
+
=
+
=
1
μ
chuyển động quay quanh khối tâm. Trong các công thức
trên, ta thay m bằng
μ

, còn các đại lượng khác vẫn giữ nguyên (nhưng phải hiểu r
là khoảng cách từ khối tâm của hệ đến khối lượng rút gọn, gốc tọa độ nằm ở khối
tâm). Lời giải vẫn như trước, và thay cho R
∞
là hằng số Rydberg R
H
có giá trị
bằng :

=
+
=
∞
M
m
R
R
H
1
1.0968.10
-3
Å
-1
.
Giá trị này phù hợp với thực nghiệm.

3.6. Xác suất tìm thấy electron tại một điểm trong nguyên tử

Theo thuyết Bohr, electron chuyển động trên các quỹ đạo với bán kính Bohr
r

n
=n
2
.a
o
(=a
o
, 4a
o
, 9a
o
, với a
o
=0,53Å). Cơ học lượng tử cho thấy electron
không có quỹ đạo xác định, mật độ xác suất tìm thấy không phụ thuộc t, chỉ liên
quan đến biên độ hàm sóng.

()()()(
nlm nl lm m
rRr )
θ
ϕθ
Ψ,,= ΘΦ
ϕ

Theo ý nghĩa của hàm sóng ở chương trước, xác suất tìm thấy electron trong một
đơn vị thể tích tỷ lệ với bình phương biên độ hàm sóng, viết gọn lại như sau :
222
RΨ= ΘΦ
2

Ta xét từng thành phần của hàm sóng.
2
Φ
xác định xác suất tìm thấy electron theo hướng có góc ϕ

42
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

vì
im
e
ϕ
ϕ
π
1
Φ( ) =
2
nên mật độ xác suất theo góc ϕ là như nhau và không đổi.

2
Θ
xác định xác suất tìm thấy electron theo hướng có góc θ trên mặt phẳng
kinh tuyến. Bài toán này nói chung là phức tạp, ta xét cho các trạng thái đơn giản, ví
dụ trạng thái s.
Với trạng thái s, l=m=0 =>
2
Θ=

const, nghĩa là mật độ xác suất chỉ phụ thuộc
vào r hay ta có phân bố electron với đối xứng cầu.
L
u
r
đối xứng cầu thì trung bình L
= 0 phù hợp với l=0 ở trạng thái s). Trong trường hợp này, ta chỉ cần tìm hàm
xuyên tâm R(r) phụ thuộc n, l. Kết hợp với điều kiện chuẩn hoá, ta tìm được dạng
của hàm R.
Ví dụ với n = 1, l = 0 ta thu được:
3/2
1,0
1
() 2
o
r
a
o
Rr e
a
−
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠


Xác suất tìm thấy electron trong vùng không gian (r, r+dr) là
2
2

,
()
nl
dw R r r dr=
. Như
vậy với trạng thái 1s ta có:
2
3
2
2
1,0
1
() 4 .
o
r
a
o
dw R r r dr e dr
a
−
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠

Hàm này có một cực đại tại r=a
0
chính là bán kính Bohr thứ nhất.
Với trạng thái 2s, tương tự như vậy ta tìm được hàm dw có hai cực đại.
Tại các vị trí r cho mật độ xác suất dw cực đại, electron xuất hiện nhiều nhất, điều

này dẫn đến hình ảnh đám mây điện tử thay cho khái niệm quỹ đạo trong lý thuyết
cổ điển, được mô tả như hình 3.3.


43
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN


Hình 3.3. Đồ thị 3 chiều của biên độ hàm sóng (trái) và mật độ xác suất tìm thấy
electron (phải) trong nguyên tử hidro.

3.7. Mômen từ của nguyên tử Hidro

Ta đã biết trong lí thuyết điện từ, một dòng điện kín có tác dụng như một nam châm.
Hai mặt khác nhau của dòng điện là hai cực Bắc, Nam của nam châm đó.Vì thế dòng
điện có một momen từ
μ
r
.
Trong nguyên tử, electron chuyển động trên quỹ đạo tròn. Do electron mang điện
nên khi chuyển động như vậy với một tần số lớn thì sự chuyển động đó tương đương
với một dòng điện có cường độ được tính bằng tích số của điện tích electron (e) nhân
với số lần electron đi qua một điểm cho trước trong một giây (f). Ta có:
I = e.f
Dòng điện này tạo ra một momen từ. Momen từ
μ
r
là một vectơ cùng phương và
ngược chiều với vectơ momen động lượng của electron, về độ lớn bằng :

2
. refIS
πμ
==
với I là cường độ dòng điện , S- diện tích mạch (gần đúng là diện tích của phần giới
hạn trong quỹ đạo của electron).
Như vậy, theo điện động lực học cổ điển, điện tử chuyển động trên quỹ đạo quanh
hạt nhân có tác dụng tương tự như dòng điện, nó gây ra một mômen từ quỹ đạo.
Momen động lượng có giá trị bằng :

44
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

mvrL =
r
()
rrfm
π
2=
frm
2
2
π
=
μ
r
e
m2

=

Vậy, mômen từ được tính từ mômen động lượng theo biểu thức sau:

2
e
L
m
μ
=−
r
r
(3.25)


μ
r
L
r

Hình 3.4
Mômen từ
μ
r
cùng phương với
L
r
, nhưng trái chiều vì điện tích của electron nhỏ hơn
không (e<0). Tỷ số giữa độ lớn của
μ

r
và
L
r
không đổi và được gọi là tỷ số từ hồi
chuyển, hay tỉ số từ cơ. Tỷ số từ cơ của mômen động lượng có giá trị bằng
2
e
m
.
Do điều kiện lượng tử hoá ta có:
00
,
22
ee
e
Ln n n
mm
μμμ
=→= = =
h
h
eh
−
(3.26)
24 5
0
9,273.10 / 5,788.10 /JT eVT
μ
−

==
gọi là manheton Bohr, (được coi như là đơn vị
đo mômen từ trong nguyên tử).
Mômen từ ứng với mỗi n đã cho có giá trị tính theo (3.26), tức là bằng số nguyên lần
manheton Bohr.
Như vậy, khi điện tử chuyển động trên những quỹ đạo dừng thì mômen từ của
nguyên tử bằng số nguyên lần manhêton Bohr. Do quan hệ trùng phương nhưng trái
chiều của hai vectơ mômen động lượng và mômen từ nên từ tính chất lượng tử hoá
mômen động lượng (đã xét ở chương 1 và chương 3) ta cũng suy ra tính chất lượng tử
hoá mômen từ. Ta thấy mômen từ chỉ nhận những giá trị xác định gián đoạn, tính
chất này cũng giống như ở mômen quỹ đạo L.
Sự tồn tại mômen từ của nguyên tử cũng như hiện tượng lượng tử hoá không gian đã
được kiểm chứng bằng thí nghiệm Stern-Gelach.

Cho tới đây ta mới chỉ dùng điều kiện lượng tử hoá Bohr, chưa dùng cơ học lượng tử
để tính mômen từ.

45
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Sử dụng kết quả của cơ học lượng tử cho toán tử mômen động lượng (xem 3.14) ta có
giá trị của mômen động lượng (quỹ đạo) là:
0
(1) (1) (1)
2
e
e
Lll ll ll
m

μ
μ
=+→=+ =+
h
h
(3.27)
Công thức (3.27) cho ta giá trị của mômen từ của nguyên tử hidro theo cơ học lượng
tử, được xác định theo số lượng tử quỹ đạo l.

3.8. Hiệu ứng Zeeman
Do nguyên tử có mômen từ nên việc nghiên cứu sự tương tác của nguyên tử với từ
trường ngoài là một vấn đề lý thú. Từ năm 1862, Faraday đã tìm kiếm sự ảnh
hưởng của từ trường lên các vạch quang phổ, nhưng không thu được hiệu ứng.
Mãi tới năm 1896, nhờ từ trường mạnh, máy quang phổ tinh vi, nhà vật lí người
Hà lan Pieter Zeeman (1865-1943) đã tiến hành một thí nghiệm nghiên cứu ảnh
hưởng của từ trường ngoài lên quang phổ phát xạ của nguyên tử hiđro và thu được
kết quả như sau:
khi nguyên tử phát sáng đặt trong từ trường, vạch quang phổ
nguyên tử bị tách thành nhiều vạch xít nhau.
Thí nghiệm được bố trí như sau: Đặt nguyên tử hidro giữa 2 cực nam châm,
đón bức xạ vuông góc với từ trường. Zeeman so sánh các vạch quang phổ của
nguyên tử hiđro khi không có từ trường ngoài và khi đặt trong từ trường ngoài.
Kết quả thu được là: từ 1 vạch phổ trở thành 3 vạch gần nhau.
Lorentz đã dùng thuyết điện từ để giải thích và thấy phù hợp với kết quả thực
nghiệm. Đó là hiệu ứng Zeeman thường.
Sau đó không lâu, năm 1897, T.Preston đã ghi nhận được có trường hợp tách
vạch phức tạp hơn, và không thể giải thích bằng thuyết điện từ cổ điển. Người ta
gọi trường hợp này là hiệu ứng Zeeman dị thường. Phải tới năm 1920 hiệu ứng
này mới được làm rõ cơ chế bằng sự tham gia của spin của electron.
Sự tách vạch quang phổ nói trên chỉ có thể do tương tác giữa momen từ của

nguyên tử hiđro với từ trường ngoài. Năng lượng tương tác này dẫn đến xuất hiện
các mức năng lượng phụ và do đó các vạch quang phổ bị tách ra thành nhiều vạch.
Sau đây ta xem xét sự tương tác đó.


46
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

a. Momen lưỡng cực từ cổ điển
Theo (3.25) ta đã thấy nguyên tử hidro có mômen từ
L
m
e
r
r
2
−=
μ
.
Nguyên tử như một lưỡng cực từ. Khi đặt nó trong từ trường
B
v
, mômen từ sẽ chịu
một mômen lực, lái sao cho mômen từ song song với từ trường. Lúc đó, hệ sẽ có
thêm một thế năng có giá trị bằng:

BE
B
r

r
.
μ
−=
BL
m
e
r
r
.
2
=
(3.28)
độ biến thiên của thế năng này biểu diễn công mà lực thực hiện để thay đổi sự định
hướng của mômen từ.
Theo thuyết lượng tử, các mức năng lượng ban đầu sẽ bị dịch đi do có năng lượng
phụ này.
Chọn trục Oz dọc theo
B
r
, do điều kiện lượng tử hoá mômen từ, ta có :

(.) cos
, 1, ,0, , 1,
Bz
z
zB
E
BB m
mll ll

B
μ
μθ μ
=− =− =−
=− − + −
ur ur
(3.29)
Công thức (3.29) cho ta biết khoảng cách giữa các mức năng lượng bị tách ra khi có
từ trường ngoài, trong hiệu ứng Zeeman thường.

b. Momen lưỡng cực từ lượng tử.

Chuyển sang cơ học lượng tử, đại lượng momen lưỡng cực từ được biểu diễn bằng
toán tử momen lưỡng cực từ.

L
m
e
)
r
)
r
2
−=
μ
(3.30)
Khi đặt lưỡng cực từ trong từ trường ngoài thì lưỡng cực từ có một thế năng. Chọn
truc OZ trùng với vectơ từ trường
B
r

, Thế năng đó biểu diễn bằng toán tử sau :

zB
LB
m
e
E
)
)
2
=
(3.31)
Trong hệ tọa độ cầu, biểu thức của
z
L
)
là (xem chương 2)

z
L
)
=
ϕ
∂
∂
− hi
Nếu cho toán tử
zB
LB
m

e
E
)
)
2
=
tác dụng lên hàm thì chỉ có
θϕ
Y
z
L
)
tác dụng lên thừa
số của :
ϕ
im
e
θϕ
Y

47
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN


z
LY imY
θ
ϕ
=

θϕ
)

Vì lí do trên, số lượng tử m được gọi là số lượng tử từ.

Thay điều kiện lượng tử của L vào (3.30) ta thu được giá trị của mômen từ ứng với
bộ số (n, l):

0
(1) (1) (1)
2
e
e
Lll ll ll
m
μ
μ
=+→=+ =+
h
h

Đây chính là công thức (3.27).

c. Giải thích hiệu ứng Zeeman thường

Khi nguyên tử một electron được đặt trong từ trường ngoài thì năng lượng của hệ
sẽ tăng thêm một lượng bằng thế năng của mômen lưỡng cực từ. Chọn trục Oz trùng
với vectơ từ trường ngoài
B
r

. Biểu thức toán tử Hamilton của hệ gồm phần
0
H
)
đã
biết và thêm toán tử thế năng momen lưỡng cực từ
B
E
)
(3.31) :

ZB
L
m
eB
HEHH
)
)
)
)
)
2
00
+=+=

Phương trình Schrödinger dừng bây giờ là :

() () (
0
,, ,, ,,

22
z nlm n nlm z nlm
ee
HBL r Er m r
mm
)
B
ψ
θϕ ψ θϕ ψ θϕ
⎛⎞
+=+
⎜⎟
⎝⎠
))
h
(3.32)
trong đó m
z
nhận 2l +1 giá trị từ – l đến l. Nói khác đi, mỗi mức E(n,l) được tách ra
làm 2l + 1 mức con cách đều nhau và có khoảng cách tuỳ thuộc độ lớn của từ
trường ngoài B:
() (,) (,)
, 1, ,0, , 1,
zz
z
Em Enl W Enl m B
mll ll
B
μ
=+Δ=+

=− − + −
(3.33)

Những kết quả lí thuyết dự đoán trên đây hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm quan
sát được của hiệu ứng Zeeman thông thường. Xét mức năng lượng 2p, ta thấy rằng
trong từ trường mức năng lượng này bị tách ra làm 3 mức. Khi có sự chuyển mức
thoả mãn điều kiện của quy tắc lọc lựa:
(3.34)
0, 1
z
mΔ=±
thì có photon phát ra và người ta quan sát được 3 vạch quang phổ.

48
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN


Việc tách các vạch phổ là một bằng chứng về hiện tượng lượng tử hoá momen động
lượng quỹ đạo bởi vì nếu momen động lượng quỹ đạo không bị lượng tử hoá thì hình
chiếu của nó lên trục Oz sẽ nhận giá trị bất kì.

3.9. Thí nghiêm Stern-Gerlach
a. Thí nghiệm Stern-Gerlach.
Năm 1921 hai ông Stern và Gerlach tiến hành một thí nghiệm nhằm khảo sát tác
dụng của từ trường
B
phụ thuộc tọa độ lên chuyển động của nguyên tử có mômen
động lượng quỹ đạo tổng cộng của các electron bằng không (L=0). Hai ông cho
phóng một chùm nguyên tử bạc trung hoà đi qua một khe chuẩn trực tới màn chắn

là một phim ảnh. Trên phim ghi lai một vết của chùm nguyên tử bạc. Khi cho chùm
nguyên tử bạc đi qua một từ trường không đều trước khi tới màn chắn thì ảnh trên
phim tách thành hai vết đối xứng với vết cũ.(xem hình 4.6). Sự tách một vết thành
hai vết như vậy là rất khó hiểu bởi vì các nguyên tử bạc đã được xử lí để cho
momen động lượng của nguyên tử bằng không, tức là nguyên tử bạc có momen từ
quĩ đạo bằng không.


Hình 3.5 Thí nghiệm Stern-Gerlach

b. Giải thích.
Hiện tượng chùm nguyên tử bạc bị tách ra trong từ trường không đều chỉ có thể
do lực từ tác dụng lên một momen từ có trong nguyên tử đó. Kí hiệu momen từ
đó là
s
μ
r
để khỏi lẫn với mômen từ quĩ đạo
μ
(mà ở trên đã nói là bằng không ở
nguyên tử Ag). Tốc độ biến đổi của từ trường
B
r
theo phương Oz (vuông góc với

49
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

vết trên phim) là

dz
dB
. Khi đó lực từ trường ngoài tác dụng lên mômen từ
s
μ
r
theo
phương Oz bằng:

dz
dB
F
sz
θμ
cos=
(3.35)
trong đó
θ
là góc giữa
s
μ
r
và
B
r
.
Như vậy do lực F tác dụng mà các nguyên tử bạc bị lệch đi. Một điều cần nói
nữa là nếu như các mômen từ
s
μ

r
của tất cả các nguyên tử bạc có cùng một hướng
thì góc
θ
là như nhau với mọi nguyên tử và ta chỉ có một vết lệch trên phim. Tuy
nhiên thực nghiệm cho ta hai vết đối xứng nhau qua vết cũ. Điều đó chứng tỏ
vectơ mômen từ
s
μ
r
của các nguyên tử bạc có hai hướng ngược nhau, do đó có
những nguyên tử bị làm lệch lên trên và có những nguyên tử bị lệch xuống dưới
tạo thành hai vết.
Nhưng điều cần bàn là nguồn gốc mômen từ ta nói đến là gì ? Tại sao mômen từ
lại có hai hướng ngược nhau như vậy? Rõ ràng là mômen từ này không phải là
mômen từ quỹ đạo như đã nói ở trên. Chính Stern và Gerlach cũng không giải
thích được điều này, vì lúc đó spin chưa được biết đến.

3.10. Spin - mômen động lượng riêng của electron. Mômen từ riêng.

Như đã nói ở 3.6, kết quả của việc giải phương trình Schrödinger chỉ cho phép
giải thích được trạng thái với 3 số lượng tử n, l và m, còn hiện tượng cấu trúc tinh
vi của vạch phổ Hidro vẫn là một câu hỏi. Thí nghiệm Stern-Gelach và hiệu ứng
Zeeman dị thường cũng cần một điều giải thích mới.

Hình 3.6

Năm 1925, S.A.Gousmith và G.E. Uhlenbeck đề ra giả thiết là electron có một
momen động lượng riêng gọi là spin (ở tiếng Anh spin nghĩa là quay) do electron
quay quanh trục của nó giống như Trái Đất quay quanh trục Bắc - Nam. Do

electron có spin nên nó có một momen từ riêng
s
μ
r
. Chính nhờ có momen từ riêng

50
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

này mà từ trường ngoài đã tác dụng và làm lệch các nguyên tử bạc. Nghiên cứu
tiếp spin của electron, ta thấy tương tự momen động lượng
L
r
có 2l + 1 hình
chiếu trên trục Oz, spin cũng có 2s + 1 hình chiếu trên trục Oz. Trong thí nghiệm
Stern-Gerlach ta có hai vết lệch tức là số hình chiếu là 2, từ đó suy ra s = 1/2. Ta
nói số lượng tử spin của electron bằng 1/2.
Tiếp tục làm tương tự, với số lượng tử quỹ đạo bằng l thì độ lớn của vectơ
momen động lượng
L
r
có giá trị
(
)
h
r
1+= llL , vậy ta có độ lớn của vectơ mômen
động lượng riêng
s

r
là :

()
hhh
r
2
3
1
2
1
2
1
1 =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+= sss
(3.37)
và thành phần dọc theo trục Oz (hình chiếu của
s
r
theo phương Oz) có giá trị là:

,h
sz
ms =

2
1
,
2
1
1,
−=−= ssm
s
(3.38)
Spin là một trong các đặc trưng cơ bản của electron. Việc đưa vào đại lượng spin
của electron như vậy mới đầu không dựa trên một lí thuyết nào, nhưng được thừa
nhận. Về sau, năm 1932, P. Dirac (1902-1984) lần đầu tiên đã giải thích spin của
electron bằng cách kết hợp các nguyên lí của cơ học lượng tử với thuyết tương
đối trong lí thuyết cơ học lượng tử tương đối tính. Khi đó sự xuất hiện số lượng
tử spin của electron là hoàn toàn tự nhiên.
Cần chú ý rằng không chỉ electron có spin mà tất cả các hạt cơ bản khác cũng
có spin. Người ta nói rằng spin là một trong các đặc trưng cơ bản của các hạt cơ
bản.
Tương tự như mômen động lượng L, mômen từ riêng
s
μ
r
cũng tỷ lệ với mômen
động lượng riêng
s
r
, giữa chúng có mối quan hệ sau:

s
e

S
m
μ
=−
ur
r
(3.39)
Công thức (3.39) phù hợp với kết quả tính giá trị mômen từ riêng khi đo góc lệch
của chùm tia trong thí nghiệm Stern-Gelach.
So (3.39) với (3.25) ta thấy tỷ số từ cơ của mômen động lượng riêng lớn hơn hai
lần so với ở mômen động lượng quỹ đạo. Điều này còn được gọi là tính dị hướng
của tỷ số từ cơ.


51
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

3.11. Mômen động lượng tổng cộng
J
u
r


Do có mômen động lượng riêng của điện tử, mômen động lượng tổng cộng của
nguyên tử một điện tử lúc này sẽ là tổng của mômen quỹ đạo và mômen spin:
JLS=+
ururur
(3.40)
Tổng này được lấy theo mẫu véctơ, cũng áp dụng được cho nguyên tử có nhiều điện

tử. Ta ký hiệu như sau: các số lượng tử đặc trưng cho trạng thái của electron riêng lẻ
được ký hiệu như trước đây là các chữ thường, còn các số lượng tử đặc trưng cho
trạng thái của nguyên tử được ký hiệu bằng các chữ in hoa. Riêng trong trường hợp
nguyên tử một electron thì trạng thái của electron cũng là trạng thái của nguyên tử và
sẽ được ký hiệu là chữ in hoa.
Tương tự như với các mômen động lượng
L
u
r
và
S
u
r
, cơ học lượng tử chứng minh được
rằng độ lớn của bị lượng tử hoá và được tính theo:
J
ur
(1)JJJ=+
ur
h (3.41)
với J là số lượng tử ứng với mômen động lượng tổng cộng, các giá trị khả dĩ của số
lượng tử J là :
, 1, ,JLSLS LS=+ +− −
(3.42)
với L, S là số lượng tử mômen động lượng quỹ đạo và spin của nguyên tử.
Cũng như trường hợp mômen động lượng quỹ đạo và spin, thành phần của
J
u
r
trên

trục z cũng bị lượng tử hoá :
; , 1, ,
zj J
J
MMJJ==−h J−
(3.43)
M
J
là số lượng tử từ của nguyên tử.
Ví dụ, đối với nguyên tử giống hidro, S=1/2 ta có:
J=L+1/2 và L-1/2 với L>0, riêng khi L=0 thì chỉ có 1 giá trị của J=S.
3.12. Kết luận về các trạng thái lượng tử. Ký hiệu trạng thái của nguyên
tử.

Theo công thức (3.24), ứng với một mức năng lượng E
n
ta có n
2
hàm sóng
nlm
ψ
có ba số lượng tử n, l, m. Nếu kể cả spin của electron thì ta phải thêm một
số lượng tử nữa, kí hiệu là m
s
. Khi đó các hàm sóng ứng với mức năng lượng E
n

được kí hiệu là
s
nlmm

ψ
với một bộ bốn số lượng tử. Ta bảo rằng một bộ bốn số
lượng tử (n, l, m, m
s
) đặc trưng cho các trạng thái suy biến của một mức năng

52
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

lượng E
n
. Thực ra mức năng lượng E
n
được tách thành các mức con ứng với các
trị số khác nhau của n, l, m, m
s
. Do đó ta có thể nói là mỗi hàm sóng
s
nlmm
ψ
ứng với
một mức năng lượng E
nlmms
. Giữa các số lượng tử n, l, m, m
s
này có mối liện hệ
sau :
n = 1, 2, 3, . . . là các số tự nhiên nguyên dương khác không.
l = 0, 1, 2, 3 …, n – 1,

gồm n giá trị khác nhau một đơn vị từ 0 đến n – 1
m = - l, - l + 1, . . . ,0, . . ., l – 1 ,+l ,
gồm 2l + 1 giá trị khác nhau một đơn vị từ – l đến + l.
m
s
= 1/2 , -1/2 gồm hai giá trị. (3.44)

Người ta kí hiệu như sau :
n = 1 2 3 4 5
Tên vỏ
K L M N O

Và

l = 0 1 2 3 4 5
s p d f g h
Tên vỏ
con

Thí dụ, electron lớp K chỉ electron ở trạng thái có năng lượng E
1
còn kí hiệu là
trạng thái 1s; 2p chỉ trạng thái năng lượng của electron với n = 2 , l = 1.

Kết luận:

1. Nguyên tử hiđro là một hệ điện gồm một hạt nhân mang điện dương (là hạt
proton) và một hạt electron chuyển động quay quanh hạt nhân. Các trạng thái
dừng và các mức năng lượng tương ứng được xác định từ phương trình
Schrödinger dừng. Trong hệ tọa độ cầu, toán tử Hamilton của hệ có liên quan đến

toán tử bình phương momen động lượng của electron trong chuyển động quĩ đạo
của nó.

53
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

2. Khi giải phương trình Schrödinger, ta thu được các hàm trạng thái ứng với các
năng lượng khác nhau đặc trưng bởi một bộ các số lượng tử n, l, m lần lượt là số
lượng tử chính, số lượng tử quĩ đạo và số lượng tử từ. Người ta còn dùng bộ ba số
lượng tử đó để chỉ trạng thái của nguyên tử hiđro.
3. Phổ năng lượng nguyên tử hiđro là phổ vạch, ứng với các mức năng lượng
gián đoạn của nguyên tử. Năng lượng nguyên tử hiđro tỉ lệ ngược với n
2
(n là số
tự nhiên nguyên dương khác 0). Ở mức thấp nhất, giá trị năng lượng bằng -13,6
eV. Càng lên cao, các mức năng lượng càng xít lại gần nhau. Năng lượng nguyên
tử bằng 0 khi electron tách ra khỏi nguyên tử.
4. Khi nguyên tử chuyển từ mức năng lượng cao E
m
xuống mức năng lượng cơ
bản hay mức năng lượng thấp hơn thì nguyên tử bức xạ một photon có tần số thỏa
mãn công thức :
h
EE
f
nm
−
=

Ngược lại, khi nguyên tử ở mức năng lượng E
n
nhận bức xạ có tần số f thỏa mãn
công thức trên thì nó nhảy lên mức năng lượng E
m
.
5. Khi nguyên tử đặt trong từ trường ngoài thì có hiện tượng tách các mức năng
lượng. Hiện tượng này còn gọi là hiệu ứng Zeeman.
6. Các hạt cơ bản có momen động lượng riêng gọi là spin. Spin là một đặc trưng
cơ bản của tất cả các hạt vi mô. Spin của electron bằng 1/2 và có hai hình chiếu
lên trục Oz. Do electron có spin nên mỗi vạch quang phổ nguyên tử hiđrô bị tách
thành hai vạch khi có từ trường ngoài.
7. Bộ các số lượng tử đặc trưng cho trạng thái của electron trong nguyên tử hidro
gồm bốn số n, l, m, m
s
.

Cấu hình electron của nguyên tử không cho phép ta biết trạng thái của nguyên tử
đó. Để ghi lại trạng thái của nguyên tử ta cần biết momen động lượng quỹ đạo
∑
=
i
i
sS
r
r
∑
=
i

i
LL
r
r
là tổng các momen động lượng của từng electron, spin tổng là
tổng các spin của các electron của nguyên tử và vectơ momen động lượng tổng
SLJ
r
r
v
+=
(ở đây, ta bỏ qua tương tác spin – quỹ đạo, sẽ xét đến sau).
L
r
Giá trị L của momen động lượng tổng
của một trạng thái cho trước được kí
hiệu như sau :
Giá trị của L : 0 1 2 3 4 5

54
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Kí hiệu băng chữ : S P D F G H

Các trạng thái của nguyên tử được ghi bằng kí hiệu chữ của L, với giá trị của 2S+1
ở phía trên bên trái và giá trị J ở phía dưới bên phải:
21S
J
L

+
, ta sẽ quay trở lại vấn
đề này kỹ hơn ở chương sau.

Chú ý: Đọc thêm về Quy tắc lọc lựa
Khi nguyên tử nhận được năng lượng đủ lớn, nó sẽ chuyển lên trạng thái với năng
lượng cao hơn- trạng thái kích thích của nguyên tử (ta có sự hấp thụ); nguyên tử
đang ở trạng thái kích thích sẽ chuyển về trạng thái với năng lượng thấp hơn và
phát xạ ra photon (ta có sự phát xạ). Phổ hấp thụ và phổ phát xạ quan sát được
thường ứng với các chuyển dời mạnh, có xác suất chuyển dời lớn hơn hẳn so với
các chuyển dời khác. Bằng cơ học lượng tử, có thể tính được các hệ số hấp thụ và
hệ số phát xạ của các chuyển dời. Trong bài toán xem xét các chuyển dời, người ta
tính các phần tử ma trận của momen lưỡng cực điện; tìm điều kiện cho các phần
tử của ma trận có giá trị khác 0, tương ứng với các chuyển dời lưỡng cực điện
mạnh. Người ta tìm ra điều kiện để có các chuyển dời lưỡng cực điện mạnh, ứng
với các điều kiện về sự thay đổi các số lượng tử l, m, j (của trạng thái đầu và trạng
thái cuối) tuân theo một số quy tắc, được gọi là các quy tắc lọc lựa.
Quy tắc lọc lựa này được tóm tắt như sau: Các chuyển dời mạnh có các số lượng tử
thay đổi thoả mãn điều kiện sau: . Nếu chỉ có 1electron
tham gia chuyển dời lưỡng cực điện thì L không đổi. Nếu tính đến số lượng tử J, ta có
thêm điều kiện sau: ; nếu
0, 1; 0; 0, 1LSMΔ=±Δ=Δ =±
0J
=
thì và khi
0, 1JΔ= ±
0, 0
J
JM
Δ

==
0J
Δ
≠
thì
.
0
J
MΔ≠
Trong thực nghiệm, ta chỉ ghi nhận được các phổ ứng với các chuyển dời có xác suất
mạnh, thoả mãn quy tắc lọc lựa.


3.13*. Nguyên tử trong từ trường theo mô hình tổng quát (xét theo
phương pháp bán lượng tử)

a. Khi không tính spin

55
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Trong hiệu ứng Zeeman thường, khi chưa biết đến spin, mômen từ của nguyên tử
được tính theo
L
ur
là mômen quỹ đạo của electron trong nguyên tử.
L
ur
bị lượng tử hoá dẫn đến mômen từ cũng bị lượng tử hoá:

Theo cơ học lượng tử,
(1) (1)
lo
Lll ll
μμ
=+=>= +h

Hình chiếu của mômen từ lên trục z là:

, 1, , 1,
zol l
mmllll
μ
μ
==−−+−
B


Nguyên tử có mômen từ khi đặt trong từ trường sẽ có năng lượng phụ là:
(.)
ol
l
WBm
μμ
Δ=− =
ur ur


Để hiểu cơ chế này một cách trực quan, ta xét sự tiến động của mômen từ quanh
phương của từ trường:

Lưỡng cực từ đặt trong từ trường chịu tác dụng của mômen quay như ngẫu lực, có
xu hướng quay lưỡng cực dọc theo phương
B
u
r
, tuy nhiên, việc đó bị ngăn cản bởi sự
có mặt của mômen động lượng L trong nguyên tử, vì vậy nó chuyển động giống như
con quay. Theo định luật chuyển động con quay, sau thời gian dt, mômen của nguyên
tử tăng thêm là
l
dt B
μ
⎡⎤
×
⎣
uurur
l
μ
u
r
⎦
. Lượng này vuông góc với nên dẫn đến sự tiến động
của các mômen
l
μ
u
r
L
ur
B

u
r
và quanh phương .

b. Tính cả spin
s
r
Bây giờ ta xét trường hợp tổng quát, khi tính cả spin
của điện tử. Mômen động
lượng tổng cộng của nguyên tử là:

JLS=+
ururur

Sử dụng (3.25) và (3.39), ta có:

00
(2) (
22
LS
ee
)
J
LS L S JS
mm
μμ μ
=+⇒= + =− + =− +
u
r
rr

rr r
rr r
r
(3.45)
μ
ur
Biểu thức (3.45) cho ta thấy quan hệ của mômen từ tổng cộng
với mômen động
lượng tổng cộng của nguyên tử. Dễ thấy là hai vectơ này trong trường hợp tổng
quát không còn song song với nhau, chúng chỉ song song khi spin của nguyên tử
bằng 0.
J
ur

56