đề cương ôn thi hk1 môn toán lớp 11 chuyên
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.26 MB, 22 trang )
Tài liệu lấy từ: . Liên hệ:
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯ
ỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI - AMSTERDAM
ĐỀ THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2009 – 2010
THỜI GIAN LÀM BÀI 120 PHÚT
Câu 1. (2 điểm) Giải phương trình
2
cot tan 4sin 2 .
sin 2
x x x
x
Câu 2. Trên mặt phẳng toạ độ
Oxy
cho tam giác ABC với
1 2 1 0 3 4
A ; , B ; ,C ; .
a) (0.5 điểm) Gọi
A', B',C'
tương ứng là ảnh của điểm
A,B,C
qua phép tịnh tiến theo
vectơ
1 2
u , .
Hãy tìm toạ độ trọng tâm
G'
của tam giác
A' B' C' .
b) (1 điểm) Gọi
P,Q, R
tương ứng là ảnh của các điểm
A,B,C
qua phép vị tự tâm
0 1
I ; ,
tỷ số
2
k .
Tìm toạ độ các điểm
P,Q, R.
Câu 3. a) (1 điểm) Tính hệ số của
8
x
trong khai triển nhị thức Newton của
5
3
1
n
x
x
biết rằng
1
4 3
7 3
n n
n n
C C n .
b) (1.5 điểm) Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 hỏi có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số đôi một
khác nhau và nhỏ hơn 245.
Câu 4. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình thang, đáy lớn AD. Gọi
M , N, E
lần lượt là trung
điểm của các đoạn thẳng
AB,CD, SA.
a) (0.5 điểm) Dựng thiết diện hình chóp
S.ABCD
khi cắt bởi mặt phẳng
MNE .
b) (1 điểm) Chứng minh rằng
SC
song song với mặt phẳng
MNE .
Gọi
F
là giao điểm
mặt phẳng
MNE
với
SD,
đường thẳng
AF
có song song với mặt phẳng
SBC
hay không?
c) (1.5 điểm) Cho
M , N
là hia điểm cố định lần lượt nẳm trên các cạnh
AB,CD
sao cho
MN
song song với
AD
và
E, F
là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh
SA, SD
sao cho
EF
song song với
AD.
Gọi
I
là giao điểm của
ME
và
NF
thì
I
di động trên đường nào?
Câu 5. (1 điểm) Tìm m để phương trình
cos2 4sin 1 0
x x m
có nghiệm thoả mãn 0
2
x .
Ghi chú: Học sinh các lớp 11A1; 11A2; 11S; 11N-T; 11V; 11Đ; 11P1; 11P2 không phải làm
Câu 5. Khi đó biểu điểm các câu 3a) là 1.5 điểm, câu 3b) là 2 điểm. Các câu còn lại giữ nguyên.
Tài liệu lấy từ: . Liên hệ:
2
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN LỚP 11
Câu 1. (2 điểm) Điều kiện
sin 2 0 .
2
k
x x
Phương trình
2 2
cos sin 2
4sin 2
sin cos sin 2
x x
x
x x x
cos 1
1 2
cos2 cos
2 3
x l
x
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình
3
x k
.
Câu 2. a) (0.5 điểm) Gọi
G
và
G'
tương ứng là trọng tâm
ABC
và
A' B' C' .
Ta có:
3
1 0
3
6
2 4
3
G'
G'
x
GG' u .
y
Vậy
0 4
G' ,
Hướng dẫn chấm: Nếu đi tính
A';B';C'
sau đó mới suy ra tọa độ
G'
thì bị trừ 0.25 điểm.
Chú ý: Nếu học sinh coi đề là
3 4
C ;
thì vẫn cho điểm tối đa nếu làm đúng.
b) (1 điểm) Ta có
2
2
2
2
2
2
I ,
I ,
I ,
V A P
IP IA
V B Q IQ IB .
IR IC
V C R
Do đó
2 3
2 1
6 7
P ;
Q ;
R ;
.
Câu 3. a) (1 điểm) Ta có
1
4 3
2 3
7 3 7 3
2!
n n
n n
n n
C C n n
12
n
.
Số hạng tổng quát của khai triển là
12
5 60 11
3
2 2
12 12
60 11
8 4
2
k
k
k
k k
k
C . x x C .x k .
Vậy hệ số của
8
x
là
4
12
495
C
.
b) (1.5 điểm) Gọi số phải tìm là
1 2 3 1
245 1
a a a a
hoặc
2
2
a
Trường hợp 1 : Nếu
1
1
a
thì
2 3
1x a a
có
2
4
12
A
( số).
Trường hợp 2 : Nếu
2
2
a
thì
2 3
2x a a
có 2 khả năng chọn
2
a :
Khả năng 1 :
2
1 3a ,
có 6 số.
Khả năng 2:
2 3
4
a a
có 2 cách chọn suy ra có 2 số.
Tài liệu lấy từ: . Liên hệ:
3
Vậy tổng có
12 6 2 20
số.
Câu 4. a) (0.5 điểm) Cách 1(Áp dụng định lý giao tuyến): Xét 3 mặt phẳng (AMND), (MNFE),
(ADFE) cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt MN, AD, EF. Nhưng do MN và AD song song với
nhau nên chúng cũng song song với EF
Cách 2 (Áp dụng hệ quả của định lý giao tuyến): Hai mặt phẳng (MNFE) và (ADFE) lần
lượt chứa 2 đường thẳng MN và AD song song nên giao tuyến của chúng là EF cũng song song với
2 đường thẳng này.
b) (0.5 điểm) * Chứng minh SC song song với (MNE):
Cách 1: Dễ chứng minh F là trung điểm của SD nên NF song song với SC. Suy ra điều phải
chứng minh.
Cách 2: Dễ thấy hai mặt phẳng (SBC) và (MNFE) song song với nhau nên suy ra điều phải
chứng minh.
* Chứng tỏ AF không song song với (SBC):
Cách 1: Chứng tỏ AF cắt đường thẳng Sx (qua S và song song với BC).
Cách 2: Phản chứng giả sử AF song song với (SBC). Mặt khác AD cũng song song với
(SBC). Do vậy 2 mặt phẳng (SBC) và (SAD) song song với nhau. Vô lý vì chúng có điểm chung S.
Vậy AF không song song với (SBC).
c) (1.5 điểm) Gọi J là giao điểm của AB và CD. Suy ra J, S, I thẳng hàng (vì chúng cùng
nằm trên 2 mặt phẳng phân biệt (SAB) và (SCD)). Suy ra I luôn nằm trên đường thẳng SJ cố định.
Giới hạn quỹ tích: I chạy trên đường thẳng SJ trừ đoạn thẳng SJ.
Hướng dẫn chấm: Thiếu phần giới hạn trừ 0.5 điểm.
Câu 5. (1 điểm) Phương trình
2
2sin 4sin 2 .
x x m
Đặt
sin 0;1 .
t x
Ta xét hàm số
2
2 4 2 , 0;1 .
f t t t m t Lập bảng biến thiên ta thu được
2 4
m
.
Hướng dẫn chấm: Nếu so sánh các nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực mà vẫn
đúng thì trừ 0.25 điểm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI - AMSTERDAM
ĐỀ THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. Cho phương trình:
2
2
1 tan 3 1 0 1
cos
m x m
x
với m là tham số.
a) Giải phương trình
1
khi
1
.
2
m
b) Tìm các giá trị của m để phương trình
1
có đúng hai nghiệm phân biệt
0; .
2
x
Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
cho hai đường thẳng
: 2 3 5 0
x y
và
: 2 1 0.
d x y
Hãy tìm ảnh
'
của đường thẳng
qua phép đối xứng trục qua
đường thẳng
.
d
Câu 3. Cho tập hợp
0, 1, 2, 3, 4, 5 .
X Hỏi từ
X
có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số, các
chữ số đôi một khác nhau, mà số đó không chia hết cho 3.
Câu 4. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình bình hành. Gọi M, N là hai điểm lần lượt di động
trên các cạnh
AD
và
SC
sao cho
MA NS
x
MD NC
với
0.
x
a) Chứng minh rằng MN luôn song song với mặt phẳng
SAB
và xác định giao điểm I của
đường thẳng
MN
với mặt phẳng
.
SBD
b) Một mặt phẳng
qua M và song song với mặt phẳng
SAB
cắt hình chóp theo một
thiết diện và cắt BD tại điểm P. Chứng minh rằng IP luôn song song với một đường thẳng
cố định và tìm x để NP song song với mặt phẳng
.
SAD
c) Tìm x để diện tích thiết diện bằng một nửa diện tích tam giác SAB.
Câu 5. Với
n
là số nguyên dương, ta gọi
3 3
n
a
là hệ số của
3 3
n
x
trong khai triển thành đa thức của
biểu thức
2
2 2 .
n
n
x x Hãy tìm số
n
biết rằng
3 3
26.
n
a
Ghi chú và thang điểm:
1. Học sinh các lớp 11A1, A2; 11S; 11N-T; 11V; 11Đ; 11P1, P2 không làm Câu 5. Thang
điểm: Câu 1: 3 điểm (2 + 1); Câu 2: 2 điểm; Câu 3: 2 điểm; Câu 4: 3 điểm (1,5 + 1 + 0,5).
2. Học sinh các lớp còn lại làm tất cả các câu. Thang điểm: Câu 1: 3 điểm (2 + 1); Câu 2: 1,5
điểm; Câu 3: 1,5 điểm; Câu 4: 3 điểm (1,5 + 1 + 0,5); Câu 5: 1 điểm.
1
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN LỚP 11 NĂM HỌC 2010 – 2011
Câu 1. Cho phương trình:
2
2
1 tan 3 1 0 1
cos
m x m
x
với m là tham số.
a) Giải phương trình
1
khi
1
.
2
m
b) Tìm các giá trị của m để phương trình
1
có hai nghiệm phân biệt
0; .
2
x
Giải:
Phương trình
2
1 2
1 1 3 1 0.
cos cos
m m
x x
Đặt
1
cos
t
x
thì phương trình trở thành
2
1 1 2 3 1 0
m t t m
hay
2
1 2 4 0.
m t t m
a) Khi
1
,
2
m
ta được
2
4 4 0
t t
hay
2.
t
Suy ra:
1
cos
2
x
2
3
x k
b) Chú ý rằng: mỗi
0;
2
x
tương ứng với một và chỉ một
1
t
của
2
1 2 4 0.
m t t m
Do đó để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
0;
2
x
thì
2
1 2 4 0
m t t m
phải có hai
nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Mặt khác
2
2
1 2 4 0 .
1 2 0
t
m t t m
m t m
Do vậy
2
1 2
1
m
m
1
1
3
1
2
m
m
Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
cho hai đường thẳng
: 2 3 5 0
x y
và
: 2 1 0.
d x y
Hãy tìm ảnh
'
của đường thẳng
qua phép đối xứng trục qua đường thẳng
.
d
Giải:
Tọa độ giao điểm A của
: 2 3 5 0
x y
và
: 2 1 0
d x y
là nghiệm của hệ phương trình:
2 3 5 0 1
1;1 .
2 1 0 1
x y x
A
x y y
Lấy điểm
4; 1 .
B
Ta sẽ tìm điểm
'
B
đối xứng với điểm B qua
.
d
2
Gọi
a
là đường thẳng qua B và vuông góc với
2;1 .
a d
d n u
Do đó phương trình đường
thẳng
a
có dạng
2 4 1 0
x y
hay
: 2 7 0.
a x y
Gọi H là giao điểm của
a
và
.
d
Tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình:
13
2 7 0
13 9
5
; .
2 1 0 9
5 5
5
x
x y
H
x y
y
Ta có
'
B
đối xứng với điểm B qua
.
d
Do đó
'
B
đối xứng với B qua H.
Ta có
'
'
4
2
6 23
5
' ; .
23
5 5
2
5
B H B
B H B
x x x
B
y y y
Đường thẳng
'
đi qua hai điểm
A
và
'.
B
Do đó
' :18 17 0
x y
Câu 3. Cho tập hợp
0, 1, 2, 3, 4, 5 .
X Hỏi từ
X
có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số, các chữ số
đôi một khác nhau, mà số đó không chia hết cho 3.
Giải:
Số có ba chữ số khác nhau là 5.5.4 = 100 số.
Các tập con của X có tổng ba số chia hết cho 3 là
1 2 3
X 0, 1, 2 , X 0, 1, 5 , X 0, 2, 4 ,
4
X 0, 4, 5 ,
5
X 1, 2, 3 ,
6 7 8
X 1, 3, 5 , X 2, 3, 4 , X 3, 4, 5 .
Số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 3 chọn từ các tập hợp này là 4.4 + 6.4 = 40 số. Đáp số là 100 – 40 =
60
số.
Câu 4. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình bình hành. Gọi M, N là hai điểm lần lượt di động trên hai
cạnh
AD
và
SC
sao cho
MA NS
x
MD NC
với
0.
x
a) Chứng minh rằng MN luôn song song với
SAB
và xác định giao điểm I của
MN
với
.
SBD
b) Mặt phẳng qua M và song song với
SAB
cắt hình chóp theo một thiết diện và cắt BD tại P. Chứng minh
rằng IP luôn song song với một đường thẳng cố định và tìm x để NP song song với
.
SAD
c) Tìm x để diện tích thiết diện bằng một nửa diện tích tam giác SAB.
Giải:
a) * Chứng minh
MN
song song với
:
SAB
3
Lấy K trên đoạn BC sao cho
.
MA KB NS
MD KC NC
Suy ra
,
MK KN
lần lượt song song với
, .
AB BC
Từ đó suy
ra hai mặt phẳng
MKN
và
ABS
song song. Vậy
MN
song song với
.
SAB
* Tìm giao điểm I của MN và
:
SBD
Gọi ;
P MK BD NH
song song với MK với
.
H SD
Suy ra
HP MN I
và I là giao điểm cần tìm.
b) * Chứng minh IP song song với
:
SB
Ta có
NH SN BK PK
NH PK
CD SC BC DC
mà NH song song với PK. Do đó IP song song với NK mà NK
song song với SB. Vậy IP song song với SB.
* Tìm x để NP song song với
:
SAD
Đáp số: Khi
1
x
thì NP song song với
.
SAD
c) Đáp số: Với
1 2
x
thì diện tích thiết diện bằng một nửa diện tích tam giác SAB.
Câu 5. Với
n
là số nguyên dương, ta gọi
3 3
n
a
là hệ số của
3 3
n
x
trong khai triển thành đa thức của biểu thức
2
2 2 .
n
n
x x Hãy tìm số
n
biết rằng
3 3
26.
n
a
Giải:
Ta có
2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 3 4 2 6
2 2 2 2
n
n n n n n
n n n n n
x C x C x C x C x C
và
0 1 1 2 2 2 3 3 3 0
2 2 2 2 2 .
n
n n n n n
n n n n n
x C x C x C x C x C
Xét
1; 2
n n
thấy không thỏa mãn.
Xét
3,
n
suy ra hệ số
3 3
n
a
là của
3 3
n
x
trong khai triển
2
2 2
n
n
x x thành đa thức là
0 3 3 1 1
3 3
2 2 2
n n n n n
a C C C C
Giải phương trình
0 3 3 1 1
2 2 2 26.
n n n n
C C C C Ta có:
0 3 3 1 1 2
2 2 3
1 2
2 2 2 26 8 4 26
6
2 2 6 39 0 2 4 39 0
n n n n
n n n
C C C C n
n n n n n n
Mặt khác
3
n
nên
3
2 4 39 0.
n n
Vậy không có giá trị của n nào thỏa mãn.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2011 - 2012
I/ Đại số:
1. Lượng giác:
- Giải phương trình lượng giác cơ bản, bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số
lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sinx và cos x, phương trình đẳng cấp
bậc hai, phương trình đối xứng, phản đối xứng, phương trình đưa về dạng tích ,
- Biện luận phương trình chứa tham số m (dành cho học sinh ban nâng cao):
dạng pt lượng giác bậc 2, phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
- Các bài toán cực trị về hàm số lượng giác: tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của biểu thức lượng giác (dành cho hs ban nâng cao)
- Nhận dạng tam giác (dành cho hs ban nâng cao)
2. Đại số tổ hợp:
- Các bài toán về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, hai quy tắc đếm: Bài toán chọn;
giải pt, bpt, hệ pt,
- Nhị thức Newton: Tìm hệ số của khai triển, tính tổng,
3. Xác suất:
- Công thức tính xác xuất cổ điển
- Các công thức liên quan đến xác suất
II. Hình học:
1. Phép biến hình: Phép vị tự, tịnh tiến, đối xứng,…
2. Hình học không gian:
- Xác định giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.
- Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy.
- Các bài toán về dựng thiết diện, xác định hình dạng thiết diện, tính diện tích
thiết diện
- Tìm tập hợp điểm ( ban nâng cao)
- Chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt
phẳng, hai mặt phẳng song song.
Tr−êng THPT Chuyªn Hµ Néi-Amsterdam Đề cương ôn tập môn Toán lớp 11 - HKI
Năm học 2011 – 2012 2
Đề số 1:
Bài 1: Giải phương trình lượng giác:
a)
5
cos2 x 4 cos x
3 6 2
π π
+ + − =
b)
− +
=
−
3
2 sin x cos2x cos x
0
2cos x 2
Bài 2:
1. Trong một bài thi toán, một học sinh phải trả lời 10 câu hỏi trong số 20 câu hỏi:
a) Có bao nhiêu cách chọn số câu hỏi để bạn học sinh đó trả lời?
b) Có bao nhiêu cách chọn nếu phải bắt buộc phải trả lời 5 câu hỏi đầu tiên trong thứ tự 20
câu hỏi đưa ra ban đầu?
c) Có bao nhiêu cách chọn nếu phải trả lời ít nhất 4 trong 5 câu hỏi đầu tiên?
2. Gieo một con xúc sắc bốn lần liên tiếp. Tính xác suất để
a) Không có lần nào xuất hiện mặt chẵn.
b) Mặt chẵn xuất hiện đúng một lần.
c) Mặt chẵn xuất hiện ít nhất một lần.
Bài 3: a) Tìm hệ số của số hạng chứa ݔ
ଽ
trong khai triển nhị thức Newton
n
2
3
5
x
x
−
.
Biết rằng: C
୬ାସ
୬ାଵ
− C
୬ାଷ
୬
= 7(n + 3).
b) Cho góc ݔܱݕ
cố định, một điểm A cố định nằm trong góc ݔܱݕ
đó. Dựng đường tròn tâm
(ܫ) qua A và tiếp xúc với hai tia ܱݔ,ܱݕ.
Nêu cách dựng đường tròn tâm (I) ở trên? Có bao nhiêu điểm ܫ thỏa mãn? Vẽ hình.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD, mp(P) là mặt phẳng qua MN và song
song với SA. G
ଵ
,G
ଶ
lần lượt là trọng tâm tam giác SBD và tam giác SAB.
a) CMR: G
ଵ
G
ଶ
// mp (ABCD).
b) Tìm giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC)?
Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).
c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang?
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
ݕ = sin
2ݔ
1 + ݔ
ଶ
+ cos
4ݔ
1 + ݔ
ଶ
+ 1
Đề số 2:
Bài 1: Giải phương trình lượng giác:
a) cos
ଶ
ݔ −
√
3.sinݔ .cosݔ =
ଷ
ଶ
ܾ)1 + tan2ݔ =
(
ଵିୱ୧୬ଶ௫
)
ୡ୭ୱ
మ
ଶ௫
Bài 2:
1. M
ột lớp học có 13 bạn nữ và 17 bạn nam
Tr−êng THPT Chuyªn Hµ Néi-Amsterdam Đề cương ôn tập môn Toán lớp 11 - HKI
Năm học 2011 – 2012 3
a) Có bao nhiêu cách lập một ban cán sự của lớp gồm có 5 bạn?
b) Có bao nhiêu cách lập một ban cán sự gồm có 5 bạn trong đó có ít nhất một bạn nam?
c) Có bao nhiêu cách lập một ban cán sự gồm có 5 bạn trong đó có đúng một bạn nam?
2. Một máy bay cũ có bốn động cơ hoạt động độc lập. Xác suất hoạt động của bốn động cơ này lần
lượt là 0,95 ; 0,90 ; 0,85 và 0,80. Tính xác suất để :
a) Cả bốn động cơ cùng hoạt động tốt.
b) Có đúng một động cơ hoạt động tốt.
c) Cả bốn động cơ cùng không hoạt động được.
Bài 3: a) Biết rằng C
୬
୬
+ C
୬
୬ିଵ
+ C
୬
୬ିଶ
= 79. Tìm hệ số không chứa ݔ (hệ số tự do) trong khai triển:
n
5
2
x
x
−
.
b) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B
(
0;4
)
, C
(
−6;0
)
. Một điểm A thay đổi chạy trên đường
tròn (C) có phương trình:
(
x − 1
)
ଶ
+
(
y + 3
)
ଶ
= 5. Khi điểm A chạy trên đường tròn (C) thì trọng
tâm G của tam giác ABC chạy trên đường có hình gì? Viết phương trình đường đó?
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang ABCD (BC//AD) có đáy lớn ܤܥ = 2ܽ, ܣܦ =
ܽ,ܣܤ = ܾ. Mặt bên SAD là tam giác đều, mp(ߙ) qua M trên cạnh AB và song song với SA, BC;
݉(ߙ) cắt CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q
a) Chứng minh rằng: PN // mp(SAD).
b) Tứ giác MNPQ là hình gì?
c) Tính diện tích thiết diện tạo bởi mp
(
α
)
với hình chóp theo a và ݔ = ܣܯ(0 < ݔ < ܾ).
Tính giá trị lớn nhất của diện tích?
d) Khi điểm M di động trên cạnh AB (0 < ݔ < ܾ). Tìm tập hợp giao điểm của MQ và NP
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
ݕ = sin
ଶଵଶ
ݔ + cos
ଶଵଶ
ݔ
Đề số 3:
Bài 1: Giải phương trình lượng giác:
a) sinቀ
గ
ଶ
+ 2ݔቁ −
√
3sin
(
ߨ − 2ݔ
)
= 1 b) sin2ݔ − 3
√
3cosቀݔ −
గ
ସ
ቁ + 4 = 0
Bài 2:
1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
a) Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
b) Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số mà các chữ số của số đó đôi một khác nhau?
c) Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số ở câu b) trong đó có chữ số 8?
2. Một hộp chứa 16 viên bi, trong đó có 7 bi trắng, 6 bi xanh và 3 bi đỏ.
a) Lấy ngẫu nhiên ba bi. Tính xác suất để: Cả ba bi đỏ? Cả ba bi không đỏ? Cả ba bi là ba màu khác
nhau?
b) L
ấy ngẫu nhiên bốn bi. Tính xác suất để: Có đúng một bi trắng ? Đúng hai bi trắng ?
c) Lấy ngẫu nhiên mười bi. Tính xác suất để có 5 bi trắng 3 bi xanh và 2 bi đỏ ?
Tr−êng THPT Chuyªn Hµ Néi-Amsterdam Đề cương ôn tập môn Toán lớp 11 - HKI
Năm học 2011 – 2012 4
Bài 3: Cho khai triển:
(
5 − 2ݔ
)
ଵହ
= ܽ
+ ܽ
ଵ
ݔ + ܽ
ଶ
ݔ
ଶ
+ ⋯+ ܽ
ଵହ
ݔ
ଵହ
a) Tìm ܽ
? b) Tính tổng: ܵ = ܽ
+ ܽ
ଵ
+ ܽ
ଶ
+ ⋯ + ܽ
ଵହ
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 2x – 3y + 4 = 0. Xác định ảnh của đường
thẳng d qua phép dời hình có được nhờ thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I với I( 1,-2) và phép
đối xứng trục Ox.
Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh ܽ, S là một điểm không thuộc mặt phẳng (ABCD) sao cho tam
giác SAB đều. Cho ܵܥ = ܵܦ. Gọi H,K lần lượt là trung điểm SA, SB. M là một điểm trên AD. Mặt
phẳng (HKM) cắt BC tại N
a) Chứng minh rằng: KH // mp(SCD).
b) Chứng minh rằng: HKNM là hình thang cân.
c) Đặt ܣܯ = ݔ (0 ≤ ݔ ≤ ܽ), tính diện tích tứ giác HKNM theo ܽ và ݔ. Tìm x để diện tích này
nhỏ nhất trong hai trường hợp:
1. ܵܥ = ܵܦ = ܽ
√
3 2. ܵܥ = ܵܦ = ܽ
d) Khi điểm M di động trên AD. Tìm tập hợp giao điểm của HM và KN; của HN và KM
Đề số 4:
Bài 1:
a) Tìm tổng các nghiệm của phương trình:
x
x
cos22
1
sin
−
=
trên [0, 2
π
] ?
b) Giải phương trình lượng giác:
sin 2ݔ + 2 cos ݔ − sin ݔ − 1
tan ݔ +
√
3
= 0
Bài 2:
1. Trên một đường tròn, cho 20 điểm: ܣ, ܤ, ܥ, ܦ, …
a) Có bao nhiêu đoạn thẳng có các đầu mút là 2 trong 20 điểm ở trên?
b) Có bao nhiêu tam giác được tạo ra có các đỉnh từ 20 điểm ở trên?
c) Trong các tam giác ở câu b/ có bao nhiêu tam giác chứa điểm A?
d) Trong các tam giác ở câu b/ có bao nhiêu tam giác chứa cạnh AC?
2. Bốn dàn tên lửa hoạt động độc lập cùng bắn vào một mục tiêu là máy bay địch. Biết xác suất bắn
trúng đạn lần lượt là 0,3; 0,4; 0,5; 0,6. Tính xác suất máy bay đó trúng đạn?
Bài 3: a) Giải bất phương trình, hệ phương trình sau:
1)
1
2
2
2 2
A A
x x
−
≤
10
6
3
+
x
C
x
2)
=−
=+
80.2.5
90.5.2
y
x
y
x
y
x
y
x
CA
CA
b) Cho đường thẳng
(
݀
)
: 6ݔ − 4ݕ + 3 = 0; Đường tròn (C) có phương tr
ình:
(
ݔ + 2
)
ଶ
+
(
ݕ − 3
)
ଶ
= 5. Tìm các điểm ܯ ∈
(
݀
)
; ܰ ∈ (ܥ) sao cho ܯܰ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
(−1;
ସ
).
Bài 4: Cho hình chóp ܵ. ܣܤܥܦ có đáy ܣܤܥܦ là hình bình hành.
1. a) Tìm các giao tuy
ến ݀
ଵ
=
(
ܵܣܤ
)
∩ (ܵܥܦ), ݀
ଶ
=
(
ܵܣܦ
)
∩ (ܵܤܥ) và chứng minh rằng ݀
ଵ
, ݀
ଶ
nằm trong một mặt phẳng song song với mp (ABCD)
Tr−êng THPT Chuyªn Hµ Néi-Amsterdam Đề cương ôn tập môn Toán lớp 11 - HKI
Năm học 2011 – 2012 5
b) Gọi G, K và J lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, tam giác SAB và tam giác BAD. Chứng
minh rằng mp(GKJ)//mp(SCD).
2. P là trung điểm của SC, M là một điểm di động trên đoạn SA (ܯ ≢ ܵ), ݉(ߙ) là mặt phẳng di
động chứa ܲܯ và song song với ܥܦ.
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng
(
α
)
và mặt phẳng
(
SCD
)
.
b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp(α)?
c) Xác định những hình dạng có thể có của thiết diện?
d) Trong trường hợp thiết diện là hình thang. Gọi I là giao điểm của hai cạnh bên của hình
thang. Chứng minh rằng: I di động trên một đường cố định?
Bài 5: Tìm số lớn nhất trong dãy sau:
a) C
ଶଵଵ
,C
ଶଵଵ
ଵ
,C
ଶଵଵ
ଶ
,…,C
ଶଵଵ
ଶଵଵ
b) C
ଶଵଶ
,C
ଶଵଶ
ଵ
,C
ଶଵଶ
ଶ
,…,C
ଶଵଶ
ଶଵଶ
Đề số 5
Bài 1:
a) Giải phương trình: 3cosx + cos2x – cos3x = 2sinx.sin2x – 1
b) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho tương đương với phương trình:
m.cos3x + 4(1 – 2m)sin
2
x + (7m – 4)cosx + 4(2m – 1) = 0
Bài 2:
a) Có 30 bài toán khác nhau, gồm 5 bài toán khó 15 bài toán trung bình, 10 bài toán dễ. Từ 30
bài toán đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra biết mỗi đề gồm 5 bài toán khác nhau, sao
cho trong mỗi đề phải có đủ 3 loại bài toán (khó, trung bình, dễ) và số bài toán dễ không ít
hơn 2?
b) Tính giá trị của :
4 3
n 1 n
A 3A
A
(n 1)!
+
+
=
+
biết
2 2 2 2
n 1 n 2 n 3 n 4
C 2C 2C C 149
+ + + +
+ + + =
.
Bài 3:
a) Tìm hệ số của x
5
có trong khai triển của (1 + x)
n
, biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển
trên bằng 1024.
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(3; -2) và điểm A(4; 5).
1) Tìm ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k = 3.
2) Tìm ảnh của đường thẳng d: 2x – 5y + 3 = 0 qua phép vị tự tâm I tỉ số k = - 3.
3) Tìm ảnh của đường tròn (C): (x – 4)
2
+ (y + 3)
2
= 4 qua phép vị tự tâm I tỉ số k = 2.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M và N theo thứ tự là trung
điểm của AB và SC.
a) Xác định các giao điểm I và J của mặt phẳng (SBD) với các đường thẳng AN và MN.
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MIN) với mặt phẳng (SAD),và với mặt phẳng (SCD).
Tìm thiết diện của mp (MIN) với hình chóp S.ABCD.
c) Tính các t
ỉ số:
IA
IN
,
JM
JN
,
JB
IJ
. Chứng minh B, I, J thẳng hàng.
Tr−êng THPT Chuyªn Hµ Néi-Amsterdam Đề cương ôn tập môn Toán lớp 11 - HKI
Năm học 2011 – 2012 6
Bài 5: Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu nó thỏa mãn
a) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC
b)
sin B sin C
1 1
cos B cos C
+
+
= sinA.cosB.cosC
Đề số 6:
Bài 1:
1. Cho phương trình: sin
2
x + (2m - 2)sinx.cosx – (m +1)cos
2
x = m (1)
a) Giải phương trình (1) với
1
m
2
= −
.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.
2. a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y =
4
sin
cos
2
3sin2cos
+−
−
+
x
x
xx
b) Chứng minh đẳng thức sau:
1
cos
sin
1cossin
66
44
−
+
−+
x
x
xx
=
3
2
.
Bài 2: Cho 6 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
a) Lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau.
b) Lập được bao nhiêu số có 3 chữ số, mà trong mỗi số đó thì các chữ số xếp theo thứ tự giảm
dần?
c) Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau?
d) Lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau? và mọi số đó đều lớn
hơn 300.
e) Lập được bao nhiêu số có 7 chữ số,trong các chữ số đó chữ số 1 xuất hiện 2 lần, các chữ số
còn lại xuất hiện đúng 1 lần?
f) Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau, và hai chữ số 1; 2 đứng kề
nhau?
Bài 3: a) Giải hệ phương trình:
y y
2 2 2 2
x x x x
y y
2 2
x x x x
(C ) (A ) 36 3C A
C A 54 C A
+ + =
+ + =
b) Một hộp đựng 4 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên bốn quả cầu.
Tính xác suất để trong bốn quả được chọn có cả quả mầu đỏ và mầu xanh.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, CD và BD.
a) CMR: các mặt phẳng (ADI); (ABJ); (ACK) có chung nhau một đường thẳng.
b) Gọi D’ là trọng tâm của
∆
ABC. E là trung điểm của AJ. CMR: D’E chéo nhau với một cạnh
bất kì của tứ diện.
c) Dựng thiết diện của tứ diện ABCD bởi mặt phẳng (KD’E). Nếu cho thêm tứ diện có theo a.
d) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trọng tâm của
∆
BCD,
∆
CDA,
∆
DAB. CMR: AA’, BB’, CC’,
DD’
đồng qui tại một điểm, điểm ấy gọi là trọng tâm G của tứ diện ABCD.
e) CMR: Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì nó chia các đoạn thẳng AA’, BB’, CC’,
DD’ theo cùng một tỉ số. Tính tỉ số đó.
Tr−êng THPT Chuyªn Hµ Néi-Amsterdam Đề cương ôn tập môn Toán lớp 11 - HKI
Năm học 2011 – 2012 7
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho véc tơ
u
r
= (2; -3), điểm A(1; 0), đường thẳng
∆
: 3x
– 5y – 3 = 0, đường tròn (C) : x
2
+ y
2
– 2x – 4y + 1 = 0. Xác định ảnh của điểm A, đường thẳng d,
đường tròn (C) qua phép tịnh tiến
u
T
r
.
Đề số 7
Bài 1: Giải phương trình:
a)
+ =
cos2 3sin2 2cos
x x x
. b)
( )
− + − + =
2
1
3 3 tan 3 3 0
cos
x
x
Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho
ABC
∆
với A(1; 2), B(-1; 0), C(-3; 4). G là trọng tâm của
ABC
∆
và phép tịnh tiến theo vectơ
u 0
≠
ur
biến A thành G. Tìm
u
G' T (G)
=
r
Bài 3:
1. Cho:
+ + +
+ + + = −
1 2 20
2 1 2 1 2 1
2 1
n
n n n
C C C
.
Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển
n
7
4
1
x
x
+
2. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 hỏi:
a) Có thể lập được bao nhiêu số có sáu chữ số đôi một khác nhau.
b) Gọi biến cố A: “số có sáu chữ số khác nhau và chia hết cho 2 được lập từ các chữ số trên”.
Tính P(A)?
3. Cho 2 chuồng gà, chuồng thứ nhất có 5 con gà mái và 3 con gà trống. Chuồng thứ 2 có 4 con gà
mái và 1 con gà trống. Lấy ngẫu nhiên ở mỗi chuồng 1 con. Tính xác suất để 2 con lấy được khác
giống?
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. M, N là trung điểm AB, BC. Một mặt phẳng (ߙ) lưu động
luôn qua MN và cắt SC, SA tại P và Q.
a) Chứng minh: SA, BC chéo nhau.
b) Tìm giao điểm của AD, SD với mp (ߙ).
c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (ߙ).
d) CMR: Nếu MQ, NP cắt nhau tại I thì S, B, I thẳng hàng.
e) Gọi J là giao điểm của MP, NQ. Chứng minh J thuộc đường thẳng cố định.
Câu 5. Tìm các giá trị của m để phương trình:
2x 4c x m 1 0
cos os
− + + =
có nghiệm thoả mãn
x
2
π
≤ ≤ π
.
Đề số 8:
Bài 1:
1.
Giải phương trình:
3 sin 2x sin 2x 1
2
π
+ + =
.
Tr−êng THPT Chuyªn Hµ Néi-Amsterdam Đề cương ôn tập môn Toán lớp 11 - HKI
Năm học 2011 – 2012 8
2. Cho phương trình: cos2x – (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 (1).
a) Giải phương trình khi
3
m
2
=
.
b) Tìm các giá trị của ݉ để phương trình (1) có nghiệm thuộc
;
2
π
π
.
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C):
( ) ( )
2 2
x 3 y 1 9
+ + − =
. Hãy viết phương trình
đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1; -2) tỷ số k = - 2.
Bài 3:
a) Giải hệ phương trình:
y x
x
y x 1 y
x 1
A : P C 126
P 720
−
−
+
+ =
=
.
b) Có 6 bạn được bầu vào ban chấp hành đoàn trường khóa mới. Hỏi có bao nhiêu cách để sắp
xếp 6 bạn này vào 1 chức danh bí thư, 2 phó bí thư và 3 ủy viên ban chấp hành?
c) Có 4 bạn gồm 2 nam và 2 nữ ngồi vào 1 chiếc bàn tròn. Tính xác suất để các bạn nam và nữ
ngồi xen kẽ nhau.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P là trung điểm của BC, AD,
SD.
a) Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD), (SAM) và (SBC).
b) Chứng minh rằng: MN // (SAB).
c) Tìm giao điểm của AM và (SBD). Xác định thiết diện của (MNP) với hình chóp S.ABCD.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = sin
3
x.cosx – cos
3
x.sinx.
Đề số 9
Bài 1
a) Giải phương trình:
(
)
x x 2 x 3 x 2
1
2x
cos (cos sin ) sin s inx
sin
+ + +
=
.
b) Cho phương trình: cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3.cos2x + 1.
Tìm các nghiệm của phương trình thuộc
(
)
;
−
π π
.
Bài 2:
1) Giải hệ phương trình
y 3 y 2
5x 5x
y 2 y 3
4x 5x
7A A
4C 7C
− −
− −
=
=
.
2) Tính tổng những số hạng là số nguyên trong khai triển sau:
(
)
6
3 15
−
3) Trong 100 vé số có 1 vé trúng 10000 đồng, 5 vé trúng 5000 đồng và 10 vé trúng 1000 đồng. Một
người mua ngẫu nhiên 3 vé. Tính xác suất các biến cố :
a)
Người đó trúng 3000 đồng. b) Người đó trúng ít nhất 3000 đồng.
Tr−êng THPT Chuyªn Hµ Néi-Amsterdam Đề cương ôn tập môn Toán lớp 11 - HKI
Năm học 2011 – 2012 9
Bài 3: Trong mp(Oxy) cho (d): x + 2y – 2 = 0
và I(2; 0);
r
u
= (1; -1). Tìm phương trình d
’
là ảnh của
d qua phép đồng dạng có được bằng thực hiện liên tiếp phép vị tự
(I;2)
V
và phép
u
T
r
.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trên BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB; M, N là hai điểm
thuộc cạnh AD, DC sao cho MA =
2
1
MD ; ND =
2
1
NC
a) Tìm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC)?
b) Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện?
c) Chứng minh MN; PQ; AC đồng qui?
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số thực x ta đều có:
6 4
108
sin x.cos x
3125
≤
Đề số 10
Bài 1:
1. Cho phương trình:
2 2
2 sin x sinx.cos x cos x m
− − = (1).
a) Giải phương trình khi ݉ =−1.
b) Tìm các giá trị của ݉ để phương trình (1) có nghiệm.
2. Cho phương trình:
sin 3x cos 3x 3 cos 2x
sin x
1 2 sin 2x 5
+ +
+ =
+
. Tìm các nghiệm của phương trình
thuộc (0;2ߨ).
Bài 2:
1. Tìm số mũ n của biểu thức
n
3
1
x
12
+
. Biết tỉ số giữa các hệ số của số hạng
thứ 5 và thứ 3 trong khai triển của nhị thức đó là 7:2. Tìm số hạng thứ 6?
2. Một hộp đựng 10 viên bi xanh ,trong đó có 6 viên bi màu xanh và 4 viên bi màu. Lấy ngẫu nhiên 3
viên bi. Tìm xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có
a) Cả 3 viên đều là màu xanh.
b) Ít nhất 1 viên bi màu xanh.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
ABC
∆
có tọa độ các điểm là A(3; 4), B(1; 2),
C(-3; 0) và
u (1; 2)
= −
r
. Gọi H là trực tâm của
ABC
∆
. Tìm tọa độ H’ là ảnh của H qua phép tịnh
tiến
u
T
r
.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A, D; ܣܦ = ܦܥ = ܽ, ܣܤ = 2ܽ,
ܵܦ = ܾ. M là điểm trên AD và AM = ݔ(0 < ݔ < ܽ). Mặt phẳng (ߙ) qua M và song song với AB
và SD cắt BC, SB, SA lần lượt ở N, P, Q.
a) Xác định các giao điểm N, P, Q và thiết diện hình chóp với mp (α) là hình gì?
b) CMR: khi M di động trên AD thì NP luôn song song với một mặt phẳng cố định
c) Tìm t
ập hợp giao điểm ܫ = ܯܳ ∩ ܰܲ khi ݔ ∈ (0;ܽ).
d) Cho ܣܤ ⊥ ܵܦ. Tìm diện tích MNPQ, và tìm x để diện tích đó lớn nhất.
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số thực x ta đều có:
4 3x 5 4 2x 5 x
sin cos sin
+ ≥ +
.
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ I MÔN TOÁN LỚP 11 NĂM HỌC 2010 - 2011
PHẦN MỘT. HỆ THỐNG CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
A. HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Các kiến thức về các hàm số lượng giác
sin ; cos ; tan ; cot :
y x y x y x y x
= = = =
Định nghĩa,
tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, chu kỳ, sự biến thiên và đồ thị.
2. Phương trình lượng giác: Phương trình lượng giác cơ bản; phương trình bậc nhất, bậc hai và
bậc cao đối với một hàm số lượng giác; phương trình dạng
2 2
sin cos , 0;
a x b x c a b
+ = + ≠
phương trình dạng
2 2
sin sin cos cos ;
a x b x x c x d
+ + =
phương trình dạng
(
)
sin cos
a x x
±
sin cos .
b x x c
+ =
3.
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t, và nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a các hàm s
ố
:
a)
cos 2sin 3
.
2cos sin 4
x x
y
x x
+ −
=
− +
a)
3 3
y sin .cos cos .sin .
x x x x
= −
c)
1 cos
y .
sin cos 2
x
x x
−
=
+ −
b)
(
)
2 2
4
3sin . 1 4sin
, 0; .
cos 6
x x
y x
x
π
−
= ∈
4.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
3 3
cos sin sin cos ;
x x x x
+ = − b)
(
)
2
5sin 2 3 1 sin tan ;
x x x
− = −
c)
(
)
2
cos2 cos 2tan 1 2;
x x x
+ − =
d)
1 cos cos2 sin sin 2 ;
x x x x
+ − = +
5.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
(
)
2
4
4
2 sin 2 sin 3
tan 1 ;
cos
x x
x
x
−
+ = b)
2
cot tan 4sin 2 ;
sin 2
x x x
x
− + =
c)
1
2tan cot 2sin 2 ;
sin 2
x x x
x
+ = + d)
( )
2
2 3 cos 2sin
2 4
1;
2cos 1
x
x
x
π
− − −
=
−
6.
Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a m
để
ph
ươ
ng trình:
a)
(
)
(
)
2 2
sin 2 2 sin cos 1 cos
x m x x m x m
+ − − + =
có nghi
ệ
m.
b)
2
cos cos 1 0
x x m
− + − =
có nghi
ệ
m
0; .
2
x
π
∈
c)
(
)
cos2 2 1 cos 1 0
x m x m
− + + + =
có nghi
ệ
m
3
; .
2 2
x
π π
∈
d)
(
)
4 4
2 sin cos cos4 2sin 2 0
x x x x m
+ + + − =
có nghi
ệ
m
0
3
x ; .
π
∈ −
7.
a) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
sin3 cos2 1 2sin cos2 .
x x x x
+ = +
b) Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a a
để
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i ph
ươ
ng trình
(
)
2
sin3 sin 4 2 sin .
x a x a x
= + −
8.
a) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
1
sin cos2 sin 2 cos3 sin 5 .
2
x x x x x
= −
b) Tìm a
để
ph
ươ
ng trình
cos2 cos4 cos6 1
a x a x x
+ + =
có nghi
ệ
m là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng
trình
đ
ã cho và ch
ỉ
có nghi
ệ
m
ấ
y.
9.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a)
ABC
∆
vuông n
ế
u
sin sin sin 1 cos cos cos .
A B C A B C
+ + = + + +
2
b)
ABC
∆
vuông nếu
sin sin
sin .cos .cos .
1 1
cos cos
B C
A B C
B C
+
=
+
10.
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
ABC
∆
vuông cân n
ế
u
2
cos cos sin
2
.
cos cos sin sin
A
B C
b c a
B C B C
=
+ =
b) Cho
ABC
∆
không tù th
ỏ
a
cos2 2 2 cos 2 2 cos 3.
A B C
+ + =
Tìm các góc c
ủ
a
.
ABC
∆
B. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
11.
Trình bày hai quy t
ắ
c
đế
m c
ơ
b
ả
n; hoán v
ị
, ch
ỉ
nh h
ợ
p, t
ổ
h
ợ
p; nh
ị
th
ứ
c Newton; phép th
ử
ng
ẫ
u
nhiên, không gian m
ẫ
u;
đị
nh ngh
ĩ
a và các quy t
ắ
c tính xác su
ấ
t.
12.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a)
1 2 3 2
6 6 9 14 .
x x x
C C C x x
+ + = − b)
(
)
2 2
72 6 2
n n n n
P A A P
+ = +
13.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
a)
1 2
2 2
5
.
2
n n
n n n
C C A
−
+ +
+ > b)
( )
5
2
3
60 .
!
n
k
n
P
A
n k
+
+
+
≤
−
14. Giải các hệ phương trình:
a)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
36 3
.
54
y y
x x x x
y y
x x x x
C A C A
C A C A
+ + =
+ + =
b)
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C
+ =
− =
15.
a) Có 12 h
ọ
c sinh nam và 8 h
ọ
c sinh n
ữ
. C
ầ
n ch
ọ
n m
ộ
t nhóm g
ồ
m 9 h
ọ
c sinh. Có bao nhiêu
cách ch
ọ
n trong
đ
ó s
ố
h
ọ
c sinh n
ữ
có không quá 6 h
ọ
c sinh.
b) Có 30 bài toán khác nhau, g
ồ
m 5 bài toán khó, 15 bài toán trung bình, 10 bài toán d
ễ
. T
ừ
30
bài toán
đ
ó có th
ể
l
ậ
p
đượ
c bao nhiêu
đề
ki
ể
m tra bi
ế
t m
ỗ
i
đề
g
ồ
m 5 bài toán khác nhau, sao
cho trong m
ỗ
i
đề
ph
ả
i có
đủ
3 lo
ạ
i bài toán (khó, trung bình, d
ễ
).
16.
M
ộ
t bàn dài có hai dãy gh
ế
đố
i di
ệ
n nhau, m
ỗ
i dãy có 6 gh
ế
. Ng
ườ
i ta mu
ố
n x
ế
p ch
ỗ
ng
ồ
i cho
6 h
ọ
c sinh tr
ườ
ng A và 6 h
ọ
c sinh tr
ườ
ng B vào bàn nói trên. H
ỏ
i có bao nhiêu cách x
ế
p ch
ỗ
ng
ồ
i sao cho:
a) B
ấ
t k
ỳ
hai h
ọ
c sinh nào ng
ồ
i c
ạ
nh nhau c
ũ
ng nh
ư
đố
i di
ệ
n nhau thì khác tr
ườ
ng nhau.
b) B
ấ
t k
ỳ
hai h
ọ
c sinh nào ng
ồ
i
đố
i di
ệ
n nhau thì khác tr
ườ
ng nhau.
17.
T
ừ
các ch
ữ
s
ố
1, 2, 3, 4, 5, 6 có th
ể
l
ậ
p
đượ
c bao nhiêu s
ố
t
ự
nhiên có 6 ch
ữ
s
ố
tho
ả
mãn
đ
i
ề
u
ki
ệ
n: Sáu ch
ữ
s
ố
c
ủ
a m
ỗ
i s
ố
là khác nhau và trong m
ỗ
i s
ố
đ
ó t
ổ
ng c
ủ
a ba ch
ữ
s
ố
đầ
u nh
ỏ
h
ơ
n
t
ổ
ng c
ủ
a ba ch
ữ
s
ố
cu
ố
i m
ộ
t
đơ
n v
ị
.
18.
Cho 6 ch
ữ
s
ố
0,1, 2, 3, 4, 5.
a) Lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau.
b) Lập được bao nhiêu số có 3 chữ số, mà trong mỗi số đó thì các chữ số xếp theo thứ tự giảm
dần.
c) Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau. Tính tổng các số đó.
d) Lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau và mỗi số đó đều lớn
hơn 300.
e) Lập được bao nhiêu số có 7 chữ số, trong các chữ số đó chữ số 1 xuất hiện 2 lần, các chữ số
còn lại xuất hiện đúng một lần.
f) Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau và luôn luôn có hai chữ số
1, 2 đứng kề nhau.
g) Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1, 2 đứng
kề nhau nếu có mặt.
19. a) Tìm hệ số của
8
x
có trong khai triển
5
3
1
,
n
x
x
+
biết rằng
(
)
1
4 3
7 3 .
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
b) Tìm hệ số đứng trước
4
x
trong khai triển
(
)
10
2
3 1 .
+ +x x
3
20. a) Có bao nhiêu số hạng hữu tỷ trong khai triển
(
)
124
4
3 5 .
−
b) Tìm hệ số lớn nhất của các số hạng trong khai triển nhị thức
( )
10
2 1 .
+x
21. Độ
i v
ă
n ngh
ệ
c
ủ
a kh
ố
i l
ớ
p 11 g
ồ
m có 10 h
ọ
c sinh, trong
đ
ó l
ớ
p 11A có 4 em, l
ớ
p 11T có 3 em,
l
ớ
p 11L có 3 em. Ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên 3 h
ọ
c sinh trong
độ
i v
ă
n ngh
ệ
đ
ó. Tìm xác su
ấ
t
để
:
a) Ba h
ọ
c sinh
ở
3 l
ớ
p khác nhau.
b) Trong
đ
ó có
đ
úng 2 h
ọ
c sinh c
ủ
a l
ớ
p 11A.
c) C
ả
3 em
đề
u là h
ọ
c sinh c
ủ
a l
ớ
p 11A.
22.
M
ộ
t h
ộ
p
đự
ng 6 qu
ả
c
ầ
u màu
đỏ
và 4 qu
ả
c
ầ
u màu xanh. L
ấ
y ng
ẫ
u nhiên t
ừ
h
ộ
p ra 3 qu
ả
c
ầ
u.
Tìm xác su
ấ
t c
ủ
a các bi
ế
n c
ố
sau:
a) Có
đ
úng 1 qu
ả
màu
đỏ
. b) Có ít nh
ấ
t 1 qu
ả
màu
đỏ
.
c) Các qu
ả
c
ầ
u có
đủ
hai màu. d) L
ấ
y
đượ
c các qu
ả
c
ầ
u cùng màu.
C. CÁC PHÉP BIẾN HÌNH
23.
Trình bày
đị
nh ngh
ĩ
a và các tính ch
ấ
t liên quan c
ủ
a các phép bi
ế
n hình: phép t
ị
nh ti
ế
n; phép
đố
i x
ứ
ng tr
ụ
c; phép
đố
i x
ứ
ng tâm; phép quay; phép d
ờ
i hình; phép v
ị
t
ự
; phép
đồ
ng d
ạ
ng.
24.
a) Cho
đườ
ng tròn
(
)
2 2
: 4 2 3 0.
C x y x y
+ − − + =
L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn
(
)
1
C
đố
i
x
ứ
ng v
ớ
i
đườ
ng tròn
(
)
C
qua
đ
i
ể
m
(
)
1; 2 .
A
b) Cho
đườ
ng tròn
(
)
2 2
: 16
C x y
+ =
và 2
đ
i
ể
m
(
)
(
)
3;3 , 3; 3 .
B C
− −
Đ
i
ể
m
A
di
độ
ng trên
đườ
ng tròn
(
)
C
. Tìm t
ậ
p h
ợ
p các
đ
i
ể
m
G
là tr
ọ
ng tâm
.
ABC
∆
25.
Trong h
ệ
to
ạ
độ
Oxy, cho
đườ
ng th
ẳ
ng d có ph
ươ
ng trình
: 2 3 4 0.
d x y
− + =
Tìm phương trình
đường thẳng
1
d
là ảnh của
d
qua phép dời hình có được nhờ việc thực hiện liên tiếp phép đối
xứng tâm I, với
(
)
1; 2 ;
I
−
phép quay tâm O, góc quay
0
90
và phép đối xứng trục Ox.
26. Cho tam giác
.
ABC
Dựng về phía ngoài của tam giác ABC các tam giác ABE và
ACF
cùng
vuông cân tại A. Gọi
,
M I
và
J
theo thứ tự là trung điểm của
,
EB BC
và
.
CF
Chứng ming
rằng tam giác
IMJ
là tam giác vuông cân.
27. Cho ba điểm A, B, C cố định và điểm M bất kỳ. Gọi
1
M
là ảnh của M qua phép đối xứng tâm
A, M
2
là ảnh của M
1
qua phép đối xứng tâm B, M
3
là ảnh của M
2
qua phép đối xứng tâm C, M
4
là ảnh của M
3
qua phép đối xứng tâm A, M
5
là ảnh của M
4
qua phép đối xứng tâm B, M
6
là ảnh
của M
5
qua phép đối xứng tâm C. Chứng minh rằng M
6
luôn trùng với M khi M thay đổi.
28. Cho điểm
A
nằm trên nửa đường tròn tâm
O
đường kính
.
BC
Dựng về phía ngoài tam giác
ABC
hình vuông
ABEF.
Gọi
I
là tâm của hình vuông. Tìm quỹ tích của điểm
I
khi
A
chạy
trên nửa đường tròn
(
)
.
O
D. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
29. Trình bày cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng; cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt
phẳng; cách chứng minh hai đường thẳng song song; cách chứng minh đường thẳng và mặt
phẳng song song; cách chứng minh hai mặt phẳng song song; cách chứng minh ba điểm thẳng
hàng; cách chứng minh ba đường thẳng đồng quy; cách chứng minh hai đường thẳng chéo
nhau; cách tìm quỹ tích một điểm; …
30. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang,
AB
là đáy lớn. Gọi
M
và
N
theo thứ
tự là trung điểm của
, .
SB SC
a) Tìm giao tuyến của
(
)
SAD
với
(
)
.
SBC
b) Tìm giao điểm của đường thẳng
SD
với
(
)
.
AMN
c) Tìm thiết diện của .
S ABCD
với
(
)
.
AMN
31. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm
các c
ạnh
, .
AB CD
Gọi
P
là trung điểm của
.
SA
a) Chứng minh rằng
MN
song song với các mặt phẳng
(
)
SBC
và
(
)
.
SAD
4
b) Chứng minh rằng
,
SB SC
song song với mặt phẳng
(
)
.
MNP
c) Gọi
1 2
,
G G
theo thứ tự là trọng tâm
ABC
∆
và
.
SBC
∆
Chứ
ng minh r
ằ
ng
1 2
G G
song song
v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
.
SAD
32.
Cho hình chóp .
S ABCD
có
đ
áy là hình bình hành tâm
.
O
G
ọ
i
, ,
M N P
l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m
c
ủ
a
,
SB SD
và
.
OC
a) Tìm giao tuy
ế
n c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
MNP
v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
.
SAC
b) Tìm giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
SA
v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
.
MNP
c) Tìm thi
ế
t di
ệ
n c
ủ
a hình chóp v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
.
MNP
d) M
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
MNP
c
ắ
t các c
ạ
nh , ,
SA BC CD
l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i
, , .
I J K
Tính
, , .
IS
IA JB KC
JC KD
33.
Cho hình chóp .
S ABCD
có
đ
áy là hình bình hành.
,
M N
l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
, .
AD CS
a) Xác
đị
nh giao
đ
i
ể
m
I
c
ủ
a
AN
và m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
.
SBD
b) Xác
đị
nh giao tuy
ế
n c
ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
SBD
và
(
)
.
SMN
c) D
ự
ng thi
ế
t di
ệ
n t
ạ
o b
ở
i m
ặ
t
(
)
DAN
v
ớ
i hình chóp.
34.
Cho t
ứ
di
ệ
n
.
ABCD
G
ọ
i
, ,
I J K
l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a ,
BC CD
và
.
DB
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
(
)
(
)
, ,
ADI ABJ ACK
có chung m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng.
b) G
ọ
i
'
D
là tr
ọ
ng tâm
,
ABC E
∆
là trung
đ
i
ể
m
.
AJ
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
'
D E
là chéo nhau v
ớ
i
b
ấ
t kì m
ộ
t c
ạ
nh c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n.
c) Xác
đị
nh thi
ế
t di
ệ
n c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n c
ắ
t b
ở
i
(
)
' .
KD E
35.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thoi c
ạ
nh
, , 3.
a SA SB a SC SD a= = = = Gọi E,
F lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. M là điểm trên cạnh BC sao cho
(
)
0 .
BM x x a
= < <
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MEF). Thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x.
c) Tìm vị trí điểm M để diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất.
36. Tính diện tích thiết diện theo a và x. Cho tứ diện
ABCD
có
AB CD
⊥
và
.
AB AC CD a
= = =
Điểm M thuộc
AC
sao cho
(0 ).
AM x x a
= < <
a) Cho
3
a
x
=
và gọi G là trọng tâm tam giác
.
BCD
Chứng minh rằng
MG
song song với
(
)
.
ABD
b) Gọi
(
)
P
là mặt phẳng qua
,
M
song song với
AB
và
.
CD
Dựng thiết diện của tứ diện tạo
bởi
(
)
.
P
Chứng minh rằng thiết diện là hình chữ nhật.
c) Tính diện tích thiết diện theo
a
và
.
x
Tìm vị trí của
M
để diện tích thiết diện là lớn nhất.
d) * Chứng minh rằng giao điểm hai đường chéo của thiết diện thuộc đường thẳng cố định khi
M
di động trên cạnh
.
AC
5
PHẦN HAI. MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO
ĐỀ SỐ 1.
Câu 1.
a) Giải phương trình
3cos cos2 cos3 2sin .sin 2 1.
x x x x x
+ − = −
b) Tìm điều kiện của
m
để phương trình đã cho tương đương với phương trình
(
)
(
)
(
)
2
cos3 4 1 2 sin 7 4 cos 4 2 1 0.
m x m x m x m
+ − + − + − =
Câu 2.
a) Tính giá trị của biểu thức
( )
4 3
1
3
1 !
n n
A A
A
n
+
+
=
+
biết rằng
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149.
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =
b) Với n là số nguyên dương, gọi
3 3
n
a
−
là hệ số của
3 3
n
x
−
có trong khai triển thành đa thức của
(
)
( )
2
1 2 .
n
n
x x+ + Tìm n để
3 3
26 .
n
a n
−
=
Câu 3.
Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình
:3 3 4 0.
d x y
+ − =
Tìm phương
trình đường thẳng
1
d
là ảnh của
d
qua phép đồng dạng có được nhờ việc thực hiện liên tiếp
phép tịnh tiến theo vectơ
(
)
2;3 ;
v
−
r
phép quay tâm
O,
góc quay
0
90
− và phép vị tự tâm
(
)
2; 3 ,
J
− −
tỷ số
3.
k
= −
Câu 4.
Cho hình chóp .
S ABCD
có
đ
áy là hình bình hành. G
ọ
i
M
và
N
theo th
ứ
t
ự
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
AB
và
.
SC
a) Xác
đị
nh giao
đ
i
ể
m
I
và
J
c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
SBD
v
ớ
i các
đườ
ng th
ẳ
ng
AN
và
.
MN
b) Xác
đị
nh giao tuy
ế
n c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
MIN
v
ớ
i các m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
SAD
và
(
)
.
SCD
T
ừ
đ
ó
suy ra thi
ế
t di
ệ
n c
ủ
a hình chóp c
ắ
t b
ở
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
.
MIN
c) Tìm các t
ỷ
s
ố
, , .
JI
IA JM JB
IN JN
Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng
, ,
B I J
th
ẳ
ng hàng.
Câu 5.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i
,
ABC
∆
ta
đề
u có:
sin sin sin
2 2 2
2.
cos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
A B C
B C C A A B
+ + =
6
ĐỀ SỐ 2.
Câu 1.
a) Tìm nghiệm
;3
2
x
π
π
∈
c
ủ
a ph
ươ
ng trình
5 7
sin 2 3cos 1 2sin .
2 2
x x x
π π
+ − − = +
b) Tìm
m
để
ph
ươ
ng trình
1
3sin cos
1
m
x x
m
−
− =
+
có nghi
ệ
m.
Câu 2.
a) Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a
10
x
có trong khai tri
ể
n nh
ị
th
ứ
c
( )
2
n
x
+ thành
đ
a th
ứ
c, bi
ế
t r
ằ
ng
( )
0 1 1 2 2 3 3
3 3 3 3 1 2048.
n
n n n n n
n n n n n
C C C C C
− − −
− + − + + − =
b) Gieo
đồ
ng th
ờ
i 3 con súc s
ắ
c
đượ
c ch
ế
t
ạ
o cân
đố
i,
đồ
ng ch
ấ
t. Tính xác su
ấ
t
để
t
ổ
ng s
ố
n
ố
t
xu
ấ
t hi
ệ
n c
ủ
a 3 con b
ằ
ng 9.
Câu 3.
Cho tam giác
.
ABC
D
ự
ng v
ề
phía ngoài c
ủ
a tam giác ABC các hình vuông
ABEF
và
.
ACIK
G
ọ
i
M
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
.
BC
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
AM
vuông góc v
ớ
i
FK
và
1
.
2
AM FK
=
Câu 4.
Cho hình chóp .
S ABCD
có
đ
áy là hình bình hành.
(
)
P
là m
ặ
t ph
ẳ
ng thay
đổ
i nh
ư
ng luôn
ch
ứ
a
.
AD
a) Tìm giao tuy
ế
n c
ủ
a các c
ặ
p m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
SAB
và
(
)
;
SDC
(
)
SAD
và
(
)
SBC
.
b) M
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
P
c
ắ
t
,
SC SB
l
ần lượt tại
, .
M N
Tứ giác
ADMN
là hình gì?
c) Gọi
I
là giao điểm của
AN
và
.
DM
Chứng minh rằng
I
thuộc đường thẳng cố định.
d) Gọi
J
là giao điểm của
AM
và
.
DN
Tìm quỹ tích điểm
.
J
Câu 5.
Cho tam giác
ABC
bất kỳ. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
2 2 2
1 1 1
.
sin sin sin
2 2 2
M
A B C
= + +
