phương trình truyền nhiệt với lý thuyết nửa nhóm và chuyển động brown

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC




NGUYỄN ĐỨC MẬU





PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
VỚI LÝ THUYẾT NỬA NHÓM
VÀ CHUYỂN ĐỘNG BROWN


Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36





LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Lý thuyết nửa nhóm và phương trình truyền nhiệt 5
1.1 Hàm mũ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian
Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Ý tưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 Phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . 8
1.2 Khái niệm nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Định nghĩa. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Toán tử sinh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt và nửa
nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt . 22
1.3.2 Nửa nhóm của bài toán truyền nhiệt . . . . . . . 24
1.3.3 Định lí Hille - Yosida với nửa nhóm truyền nhiệt . 26

1.3.4 Toán tử sinh của nửa nhóm truyền nhiệt . . . . . 30
2 Chuyển động Brown 34
2.1 Khái niệm chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.2 Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Mối quan hệ của chuyển động Brown với lý thuyết nửa
nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
2.2.1 Chuyển động Brown sinh ra nửa nhóm co . . . . 36
2.2.2 Điều kiện để chuyển động Brown sinh ra nửa
nhóm truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Kết luận 47
Tài liệu tham khảo 48
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Mở đầu
Lý thuyết nửa nhóm của toán tử tuyến tính trên không gian Banach
xuất hiện đầu thế kỉ XX và phát triển mạnh vào những năm 1948 với
định lý sinh Hille – Yosida, và đạt tới hoàn chỉnh vào những năm 1957
với sự ra đời cuốn “ Semigroups and Functional Analysis” của E. Hille
và R. S. Philips.
Vào những năm của thập kỉ 70, 80 thế kỉ XX nhờ vào sự cố gắng
nghiên cứu của nhiều trường Đại học và nhiều trung tâm nghiên cứu lý
thuyết nửa nhóm đã đạt tới trạng thái hoàn hảo.
Lý thuyết nửa nhóm trở thành một công cụ quan trọng trong toán
học nghiên cứu phương trình vi phân, phương trình hàm, trong vật lí
lượng tử, cơ học . . .
Trong Luận văn này tôi xin trình bày ứng dụng của lý thuyết nửa
nhóm vào phương trình truyền nhiệt và chuyển động Brown dựa trên tài

liệu [1].
Cấu trúc của đề tài gồm hai chương:
Chương I: Lý thuyết nửa nhóm và phương trình truyền nhiệt.
Trong phần này giới thiệu kiến thức chuẩn bị như : Hàm mũ và các tính
chất của hàm mũ, biểu diễn nghiệm tổng quát của phương trình thuần
nhất phương trình không thuần nhất qua hàm mũ. Khái niệm nửa nhóm
liên tục của toán tử, toán tử sinh và các bổ đề liên quan, trình bày bài
toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt tìm hàm u(x, t), t > 0
thỏa mãn phương trình truyền nhiệt. Chứng minh định lí Hille – Yosida
cho toán tử A sinh duy nhất một nửa nhóm co.
Chương II: Chuyển động Brown.
Ta biết chuyển động Brown nói riêng và quá trình Markov đóng một vai
trò quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên. Trong phần này xét các hạt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
chuyển động xung quanh một tập con đo được và các hạt này không có
bộ nhớ, hay có tính Markov. Biểu diễn mối quan hệ giữa chuyển động
Brown với lý thuyết nửa nhóm thông qua các Định lí 2.1 và Định lí 2.2.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều trong quá trình viết Luận văn nhưng do
trình độ và thời gian hạn chế, điều kiện công tác ở miền núi xa xôi nên
không tránh khỏi những thiếu sót về kiến thức cũng như việc sử lí văn
bản. Tác giả Luận văn rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của
thầy cô và các bạn đồng nghiệp để Luận văn được hoàn thiện hơn.
Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng
dẫn GS.TS.Hà Tiến Ngoạn đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm
Luận văn.
Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo Trường Đại Học Khoa
Học – Đại Học Thái Nguyên, Viện Toán học – Viện Khoa học và Công
nghệ Việt Nam, đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá
trình tác giả học tập và nghiên cứu.

Tác giả cũng xin trân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tổ Toán – Lí
trường THCS Quang Minh – Bắc Quang – Hà Giang và tập thể bạn bè
đồng nghiệp cùng gia đình đã quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn
thành tốt Luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 7 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Đức Mậu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Chương 1
Lý thuyết nửa nhóm và phương
trình truyền nhiệt
1.1 Hàm mũ của toán tử tuyến tính bị chặn trong
không gian Banach
1.1.1 Ý tưởng
Xét phương trình :
u

= au với a ∈ R, (1.1)
trong đó ẩn hàm u = u(t) là hàm số biến số thực t ∈ R. Nghiệm tổng
quát của phương trình là
u(t) = Ce
at
,
trong đó C là số thực bất kì và
e
a
=
∞


k=0
a
k
k!
= 1 +
a
1
+
a
2
2!
+
a
3
3!
+ + . (1.2)
Giả sử U là một không gian Banach, A ∈ L(U) là không gian các toán
tử tuyến tính và bị chặn trên U. Xuất phát từ (1.2) ta sẽ định nghĩa
toán tử e
A
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
1.1.2 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Cho A ∈ L(U ), với L(U) là không gian toán tử tuyến
tính liên tục bị chặn xác định trên U. Ta định nghĩa
e
A
=
∞


k=0
A
k
k!
= I +
A
1
+
A
2
2!
+
A
3
3!
+ + ∈ L(U). (1.3)
1.1.3 Các tính chất
Tính chất 1.1. Mọi A ⊂ L(U) tồn tại e
A
∈ L(U).
Tính chất 1.2.
e
0
= I.
Tính chất 1.3.
e
I
= e.I.
.

Tính chất 1.4.
e
A+B
= e
A
.e
B
,
nếu A và B giao hoán (A.B=B.A).
Chứng minh
e
A+B
=
∞

k=0
(A + B)
k
k!
=
∞

k=0
1
k!
.
k

l=0
k!

l!(k − l)!
A
l
.B
k−l
=
∞

l=0

∞

k=1
1
l!(k − l)!
.A
l
.B
k−l

=
∞

l=0

A
l
l!
.
∞


k=l
B
k−l
(k − l)!

= e
A
.e
B
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Tính chất 1.5. Với mọi A thuộc L(U) tồn tại (e
A
)
−1
và (e
A
)
−1
= e
−A
.
Thật vậy : Ta có e
A+(−A)
= e
0
= I suy ra (e
A

)
−1
= e
−A
.
Tính chất 1.6.
Xét
e
tA
, t ∈ R,
e
tA
=
∞

k=0
t
k
A
k
k!
. (1.4)
Khi đó
e
tA
: R → L(U)
de
tA
dt
= (e

tA
)

= Ae
tA
= e
tA
.A. (1.5)
Chuỗi (1.4) hội tụ đều theo t trong mọi đoạn hữu hạn
Chứng minh(1.5)
Chuỗi (1.4) hội tụ đều theo t
∞

k=0

t
k
A
k
k!


=
∞

k=1
kt
k−1
A
k

k!
= A
∞

k=1
t
k−1
A
k−1
(k − 1)!
= A
∞

h=0
t
h
A
h
h!
= Ae
tA
= e
tA
A.
1.1.4 Phương trình thuần nhất
Xét phương trình vi phân thuần nhất
u

= Au, (1.6)
trong đó A ∈ L(U), u = u(t) là ẩn hàm nhận giá trị trong U.

Định lý 1.1. Nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) là
u(t) = e
At
C, (1.7)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
trong đó C ∈ U là vectơ bất kì.
Chứng minh
a) Giả sử u(t) có dạng (1.7) khi đó
u

(t) = (e
tA
C)

= (e
tA
)

C = (Ae
tA
).C = A(e
tA
C) = Au.
b) Giả sử u(t) là nghiệm nào đó của (1.6).
Ta xét hàm số
y(t) = e
−tA
u(t). (1.8)
Từ phương trình (1.7) suy ra

y

= (e
−tA
)

u(t) + e
−tA
u

(t)
= −e
−tA
Au(x) + e
−tA
Au(t) = 0.
Suy ra tồn tại C ∈ U sao cho y(t) ≡ C.
Nhận xét : Xét bài toán Cauchy
u

= Au
u(t
0
) = u
0
.
Nghiệm của bài toán trên là:
u(t) = e
(t−t
0

)A
u
0
= e
tA
(e
−t
0
A
u
0
).
1.1.5 Phương trình không thuần nhất

u

= A(u) + g(t) (∗)
u(t
0
) = u
0
Ta giải phương trình bằng phương pháp biến thiên hàm số. Xuất
phát từ phương trình (1.7) ta tìm nghiệm của phương trình (*) dưới dạng
u(t) = e
tA
C(t), (1.9)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
trong đó C(t) là hàm số cần tìm.
Từ phương trình (1.9) suy ra :

u

(t) = Ae
tA
C(t) + e
tA
C

(t)
thay vào phương trình (*) :
Ae
tA
C(t) + e
tA
C

(t) = Ae
tA
C(t) + g(t).
Suy ra
C

(t) = e
−tA
g(t). (1.10)
Từ phương trình (1.10) suy ra
C(t) =

e
−tA

g(t)dt + C
1
; C
1
∈ U.
Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là:
u(t) = e
tA


e
−tA
g(t)dt + C
1

. (1.11)
1.2 Khái niệm nửa nhóm
1.2.1 Định nghĩa. Các ví dụ
Định nghĩa 1.2. Cho B là không gian Banach, t > 0 , và T
t
: B → B
là toán tử tuyến tính liên tục thỏa mãn:
i) T
0
= Id;
ii) T
t
1
+t
2

= T
t
2
T
t
1
∀t
1
, t
2
≥ 0;
iii) lim
t→t
0
T
t
v = T
t
0
v với ∀t
0
≥ 0, ∀v ∈ B.
Khi đó, họ {T
t
}
t≥0
gọi là nửa nhóm liên tục của các toán tử tuyến tính
bị chặn.
Ví dụ 1.1. Cho B là không gian Banach của các hàm bị chặn liên tục
đều trên [0, ∞), f ∈ C

0
b
(R) Cho t ≥ 0 ta đặt
T
t
f(x) := f(x + t).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Khi đó họ {T
t
}
t≥0
là nửa nhóm liên tục.
Ví dụ 1.2. Với f ∈ B, T
t
f = e
tA
f, A ∈ L(B) khi đó {e
tA
} là nửa nhóm
liên tục của toán tử.
Định nghĩa 1.3. Một nửa nhóm liên tục {T
t
}
t≥0
của toán tư tuyến
tính liên tuc trong không gian Banach B với chuẩn ||.|| được gọi là co
nếu ∀v ∈ B và ∀t ≥ 0,
||T
t

v|| ≤ ||v|| (1.12).
(Ở đây tính liên tục của nửa nhóm được hiểu là sự phụ thuộc liên tục
của toán tử T
t
vào t.)
1.2.2 Toán tử sinh.
Nếu giá trị ban đầu f(x) = u(x, 0) của nghiệm u của phương trình
nhiệt :
u
t
(x, t) −∆u(x, 0) = 0 (1.13)
thuộc lớp C
2
, chúng ta mong đợi rằng
lim
t0
u(x, t) −u(x, 0)
t
= u
t
(x, 0) = ∆u(x, 0) = ∆f (x), (1.14)
hoặc với kí hiệu
u(x, t) = P
t
f(u)
ta có,
lim
t0
1
t

(P
t
− Id)f = ∆f. (1.15)
Tiếp theo ta nghiên cứu định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.4. Cho {T
t
}
t≥0
là nửa nhóm liên tục trong không gian
Banach B. Ta đặt
D(A) := {v ∈ B : lim
t0
1
t
(T
t
− Id)v tồn tại } ⊂ B (1.16)
Và gọi toán tử tuyến tính A : D(A) → B,
Av := lim
t0
1
t
(T
t
− Id)v, (1.17)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
là toán tử sinh của nửa nhóm {T
t
}.

Nhận xét: Khi đó D(A) là không rỗng vì chứa phần tử 0.
Bổ đề 1.1. Với ∀v ∈ D(A) và ∀t ≥ 0, ta có
T
t
Av = AT
t
v. (1.18)
Do đó A giao hoán với tất cả T
t
.
Chứng minh
Cho v ∈ D(A) ta có
T
t
Av = T
t
lim
t0
1
τ
(T
τ
− Id)v
= lim
τ0
1
τ
(T
t
T

τ
− T
t
)v (vì T
t
liên tục và tuyến tính)
= lim
τ0
1
τ
(T
τ
T
t
− T
t
)v (theo tính chất nửa nhóm)
= lim
τ0
1
τ
(T
τ
− Id)T
t
v
= AT
t
v.


Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng các kí hiệu
J
λ
v :=
∞

0
λe
−λs
T
s
vds với λ > 0 (1.19)
Tích phân ở đây là tích phân Riemann cho các hàm với giá trị trong
không gian Banach.
Sự hội tụ của tích phân được suy ra từ đánh giá sau
lim
K,M →∞
||
M

K
λe
−λs
T
s
vds|| ≤ lim
K,M →∞
M

K

λe
−λs
||T
s
v||ds
≤ lim
K,M →∞
||v||

M
K
λe
−λs
ds
= 0,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
có được từ tính chất co và đầy đủ của B. Và
∞

0
λe
−λs
ds =
∞

0
−
d
ds

(e
−λs
)ds = 1, (1.20)
J
λ
v là trung bình có trọng số của nửa nhóm T
t
được ứng dụng cho v.
Do đó
||J
λ
v|| ≤
∞

0
λe
−λs
||T
s
v||ds
≤ ||v||
∞

0
λe
−λs
ds ≤ ||v|| (1.21)
do đó J
λ
: B → B là toán tử tuyến tính bị chặn với chuẩn ||J

λ
|| ≤ 1.
Bổ đề 1.2. Với ∀v ∈ B ta có
lim
λ→1
J
λ
v = v. (1.22)
Chứng minh
Theo (1.20),
J
λ
v − v =
∞

0
λe
−λs
(T
s
v − v)ds. với δ > 0.
Với δ > 0 đặt
I
1
λ
:= ||
δ

0
λe

−λs
(T
s
v − v)ds||,
I
2
λ
:= ||
∞

δ
λe
−λs
(T
s
v − v)ds||.
Bây giờ cho  > 0. Vì T
s
v là liên tục theo s, tồn tại δ > 0 sao cho
||T
s
v − v|| <

2
0 ≤ s ≤ δ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
và cũng do đó
I
1

λ
≤

2
∞

δ
λe
−λs
ds <

2
Theo (1.20) với mỗi δ > 0, tồn tại λ
0
∈ R sao cho ∀λ ≥ λ
0
,
I
2
λ
≤
∞

δ
λe
−λs
(||T
s
v|| + ||v||)ds
≤ 2||v||

∞

δ
λe
−λs
ds (theo tính chất co)
<

2
.
Điều đó dễ dàng suy ra từ (1.22).

Định lí 1.2. Cho {T
t
}
t≥0
là một nửa nhóm co với toán tử sinh A. Khi
đó D(A) là trù mật trong B.
Chứng minh
Ta sẽ chỉ ra rằng ∀λ > 0 và ∀v ∈ B,
J
λ
v ∈ D(A). (1.23)
vì theo Bổ đề 1.2,
{J
λ
v : λ > 0, v ∈ B}
là trù mật trong B, điều đó sẽ kéo theo sự khẳng định. Ta có:
1
t

(T
t
− Id)J
λ
v =
1
t
∞

0
λe
−λs
T
t+s
vds −
1
t
∞

0
λe
−λs
T
s
vds,
vì T
t
là tuyến tính và liên tục
=
1

t
∞

t
λe
λt
e
−λδ
T
δ
vdδ −
1
t
∞

0
λe
−λs
T
s
vds
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
=
e
λt
− 1
t
∞


t
λe
−λδ
T
δ
vdδ −
1
t
t

0
λe
−λs
T
s
vds
=
e
λt
− 1
t
(J
λ
v −
t

0
λe
−λδ
T

δ
vdδ ) −
1
t
t

0
λe
−λs
T
s
vds.
Số hạng cuối cùng tích phân là liên tục trên s khi t → 0 và tiến đến
−λT
0
v = −λv, trong khi số hạng đầu tiên trong dòng cuối dần đến
λJ
λ
v. Điều này suy ra
AJ
λ
v = λ(J
λ
− Id)v ∀v ∈ B, (1.24)
Do đó suy ra (1.23).

Cho nửa nhóm co {T
t
}
t≥0

bây giờ ta sẽ định nghĩa toán tử
D
t
T
t
: D(D
t
T
t
)(⊂ B) → B
xác định bởi
D
t
T
t
v := lim
h→0
1
h
(T
t+h
− T
t
)v, (1.25)
trong đó D(D
t
T
t
) là nửa không gian của B và giới hạn đó tồn tại.
Bổ đề 1.3. v ∈ D(A) kéo theo v ∈ D(D

t
T
t
) và ta có
D
t
T
t
v = AT
t
v = T
t
Av, t ≥ 0. (1.26)
Chứng minh
Phương trình thứ hai đã được thiết lập trong Bổ đề 1.1 do đó ta có với
v ∈ D(A)
lim
h0
1
h
(T
t+h
− T
t
)v = AT
t
v = T
t
Av. (1.27)
Phương trình (1.27) có nghĩa rằng đạo hàm phải của T

t
v theo t tồn tại
với ∀v ∈ D(A) và là liên tục theo t. Khi đó theo bổ đề được phát biểu
và chứng minh dưới đây thì đạo hàm trái tồn tại và trùng với đạo hàm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
phải, kéo theo tính khả vi.
Bổ đề 1.4. Cho f : [0, +∞) → B là liên tục và giả sử rằng ∀t ≥ 0, đạo
hàm phải d
+
f(t) := lim
h0
1
h
(f(t + h)−f(t)) tồn tại và liên tục. (Tính liên
tục của d
+
f có nghĩa rằng trên mỗi khoảng [0, T ] giới hạn đều theo t).
Khi đó f là khả vi với đạo hàm bằng d
+
f.
Chứng minh
lim
h0
||
1
h
(f(t) − f(t −h)) −d
+
f(t)||

≤ lim
h0
||
1
h
(f((t − h) + h) − f(t −h) −d
+
f(t − h)||
+ lim
t0
||(d
+
f(t − h) − d
+
f(t)||
= 0.)

Định lí 1.3. Cho λ > 0. Toán tử (λId − A) : D(A) → B là khả nghịch,
và ta có
(λId −A)
−1
= R(λ, A) :=
1
λ
J
λ
, (1.28)
tức là
(λId −A)
−1

v = R(λ, A)v =
∞

0
e
−λs
T
s
vds. (1.29)
Chứng minh
Đầu tiên ta chứng minh (λId − A) là khả nghịch, thứ nhất ta chỉ
ra rằng (λId − A) là đơn ánh. Do đó ta cần loại trừ rằng có tồn tại
v
0
∈ D(A), v
0
= 0, với
λv
0
= Av
0
. (1.30)
Với v
0
như vậy, chúng ta sẽ có (1.26)
D
t
T
t
v

0
= T
t
Av
0
= λT
t
v
0
, (1.31)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
và do đó
T
t
v
0
= e
λt
v
0
. (1.32)
vì λ > 0, cho v
0
= 0 điều này vi phạm tính chất co
||T
t
v
0
|| ≤ ||v

0
||
Dễ thấy (λId − A) là toàn ánh do đó (λId − A) là khả nghịch, λ > 0.
Để có được (1.28) ta bắt đầu với (1.24) tức là
AJ
λ
v = λ(J
λ
− Id)v,
và nhận được
(λId −A)J
λ
v = λv. (1.33)
Do ánh xạ (λId − A) ảnh của J
λ
song ánh lên B. Vì ảnh đó là trù mật
trong D(A) bởi (1.23) và do (λId − A) là đơn ánh sau đó có ánh xạ
D(A) song ánh lên B. Do đó D(A) trùng với ảnh của J
λ
và (1.33) kéo
theo (1.28).

Bổ đề 1.5. (Phương trình giải thức) Với các giả thiết của Định lí 1.3,
và λ, µ > 0,
R(λ, A) −R(µ, A) = (µ −λ)R(λ, A)R(µ, A). (1.34)
Chứng minh
Ta có:
R(λ, A) = R(λ, A)(µId −A)R(µ, A)
= R(λ, A)((µ −λ)Id + (λId −A))R(µ, A)
= (µ −λ)R(λ, A)R(µ, A) + R(µ, A).


Tiếp theo ta tính toán tử sinh của hai ví dụ, ta bắt đầu với nửa nhóm
tịnh tiến:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
B là không gian Banach của các hàm liên tục và bị chặn đều trên [0, ∞]
và T
t
f(x) = f(x + t), f ∈ B, x, t ≥ 0.
Khi đó ta có:
(J
λ
f)(x) =
∞

0
λe
−λs
f(x + s)ds =
∞

x
xe
−λ(s−x)
f(s)ds, (1.35)
và do đó
d
dx
(J
λ

f)(x) = −λf(x) + λ(J
λ
f)(x). (1.36)
Theo (1.24),toán tử sinh A thỏa mãn
AJ
λ
f(x) = λ(J
λ
f − f)(x), (1.37)
và kết quả
AJ
λ
f =
d
dx
J
λ
f. (1.38)
Tại bước chứng minh cuối của Định lí 1.3 ta có thể nhìn thấy rằng ảnh
của J
λ
trùng với D(A) và do đó ta có:
Ag =
d
dx
g g ∈ D(A). (1.39)
Bây giờ ta có ý định chỉ ra rằng D(A) chứa một cách chính xác g ∈ B
mà
d
dx

g cũng ∈ B. Cho g, ta xác định f ∈ B bởi
d
dx
g(x) −λg(x) = −λf (x). (1.40)
Theo (1.36 ), khi đó ta có:
d
dx
(J
λ
f)(x) − λJ
λ
f(x) = −λf(x). (1.41)
Do đó
ϕ(x) := g(x) −J
λ
f(x)
thỏa mãn
d
dx
ϕ(x) = λϕ(x), (1.42)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
từ ϕ(x) = Ce
−λx
và ϕ ∈ B, nhất thiết C = 0 và do đó g = J
λ
f.
Vậy ta có được toán tử sinh A theo (1.39) với D(A) chứa một cách chính
xác g ∈ B mà
d

dx
g ∈ B.
Bây giờ chúng ta nghiên cứu nửa nhóm truyền nhiệt.
Cho B là không gian Banach các hàm liên tục đều, bị chặn trên R
d
và
P
t
f(x) =
1
(4πt)
d
2

e
−
|x−y |
2
4t
f(y)dy; t > 0. (1.43)
Ta có:
J
λ
f(x) =

R
d
∞

0

λ
(4πt)
d
2
e
−λt−
|x−y |
2
4t
dtf(y)dy. (1.44)
Ta tính toán:
∆J
λ
f(x) =

R
d
∞

0
λ
(4πt)
d
2
∆
x
e
−λt−
|x−y|
2

4t
dtf(y)dy
=

R
d
∞

0
λ e
−λt
∂
∂t

1
(4πt)
d
2
e
−
|x−y|
2
4t

dtf(y)dy
= −λf(x) −

R
d
∞


0
∂
∂t
(λe
−λt
)
1
(4πt)
d
2
e
−
|x−y |
2
4t
dtf(y)dy
= −λf(x) + λJ
λ
f(x).
Trước đó
AJ
λ
f = ∆J
λ
f, (1.45)
và từ đó
Ag = ∆g, ∀g ∈ D(A). (1.46)
Tiếp theo ta chỉ ra rằng D(A) chứa g ∈ B mà ∆g cũng chứa trong B.
Cho g, ta xác định f ∈ B từ

∆g(x) −λg(x) = −λf (x) (1.47)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
và so sánh điều này với
∆J
λ
f(x) − λJ
λ
f(x) = −λf(x). (1.48)
Do đó ϕ := g − J
λ
f là bị chặn và thỏa mãn
∆ϕ −λϕ = 0 , λ > 0. (1.49)

Bổ đề tiếp theo sẽ bao hàm ϕ ≡ 0 đòi hỏi g = J
λ
f.
Bổ đề 1.6. Cho λ > 0. Không tồn tại ϕ = 0 với
∆ϕ(x) = λϕ(x) ∀x ∈ R
d
. (1.50)
Chứng minh
Cho một nghiệm của (1.50) ta tính toàn
∆ϕ
2
= 2|∇ϕ|
2
+ 2ϕ∆ϕ với ∇ϕ = (
∂
∂x

1
ϕ, ,
∂
∂x
d
)
= 2|∇ϕ|
2
+ 2λϕ
2
theo (1.50). (1.51)
Cho x
0
∈ R
d
. Chọn hàm η
R
với R ≥ 1, η
R
∈ C
2
0 ≤ η
R
(x) ≤ 1 ∀x ∈ R
d
, (1.52)
η
R
(x) = 0 |x − x
0

| ≥ R + 1, (1.53)
η
R
(x) = 1 |x − x
0
| ≤ R, (1.54)
|∇η
R
(x)| + |∆η
R
(x)| ≤ C
0
(1.55)
với hằng số C
0
không phụ thuộc vào x và R.
Ta tính toán.
∆(η
2
R
ϕ
2
) = η
2
R
∆ϕ
2
+ ϕ
2
∆η

2
R
+ 8η
R
ϕ∇η
R
.∇ϕ
≥ 2η
2
R
|∇ϕ|
2
+ 2λη
2
R
ϕ
2
+ (∆η
2
R
)ϕ
2
− 2η
2
R
|∇ϕ|
2
− 8|∇η
R
|

2
ϕ
2
Từ (1.51) và bất đẳng thức Schwarz
= 2λη
2
R
ϕ
2
+ (∆η
2
R
− 8|∇η
R
|
2
)ϕ
2
. (1.56)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
cùng với (1.52) - (1.55), điều đó suy ra
0 =

B(x
0
,R+1)
∆(η
2
ϕ

2
) ≥ 2λ

B(x
0
,R)
ϕ
2
− C
1

B(x
0
,R+1)B(x
0
,R)
ϕ
2
, (1.57)
Ở đó hằng số C
1
không phụ thuộc trên R.
Theo giả thiết ϕ bị chặn vì thế
ϕ
2
≤ K. (1.58)
Từ đó (1.57) kéo theo

B(x
0

,R)
ϕ
2
≤
C
2
K
λ
R
d−1
, (1.59)
C
2
một lần nữa là độc lập của R. Phương trình (1.51) chỉ ra rằng ϕ là
điều hòa.
Giá trị trung bình bất đẳng thức từ đó kéo theo
ϕ
2
(x
0
) ≤
1
ω
d
R
d

B(x
0
,R)

ϕ
2
≤
C
2
K
ω
d
λR
(theo (1.59)) → 0 khi R → ∞.
(1.60)
Do đó, ϕ(x
0
) = 0, vì ∀x
0
∈ R
d
, ϕ triệt tiêu.

Bổ đề 1.7. Cho B là không gian Banach, L : B → B là toán tử tuyến
tính liên tục với ||L|| ≤ 1. Khi đó với mỗi t ≥ 0 và x ∈ B, chuỗi
e
(tL)
x :=
∞

ν=0
1
ν!
(tL)

ν
x
hội tụ và xác định nửa nhóm liên tục với toán tử sinh L.
Chứng minh
Vì
||L|| ≤ 1, ta có ||L
n
|| ≤ 1 với ∀n ∈ N. (1.61)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Do đó:
||
n

ν=m
1
ν!
(tL)
ν
x|| ≤
n

ν=m
1
ν!
t
ν
||L
ν
x|| ≤ ||x||

n

ν=m
t
ν
ν!
. (1.62)
theo tính chất Cauchy của chuỗi hàm số mũ giá trị thực biểu thức trên
trở thành nhỏ tùy ý cho m, n, đủ lớn, và do đó chuỗi số mũ trong không
gian Banach cũng thỏa mãn tính Cauchy và nó hội tụ, vì B là đầy đủ,
giới hạn e
(tL)
là bị chặn vì theo (1.62)
||
n

ν=m
1
ν!
(tL)
ν
x|| ≤ e
t
||x||
và từ đó
||e
(tL)
x|| ≤ e
t
||x|| (1.63)

Cho chuỗi số mũ thực, ta có
∞

ν=0
(t + s)
ν
ν!
L
ν
x =

∞

µ=0
t
µ
µ!
L
µ

∞

δ=0
s
δ
δ!
L
δ

x, (1.64)

tức là
e
((t+s)L)
= e
tL
◦ e
sL
, (1.65)
từ tính chất nửa nhóm. Mặt khác,
||
1
h
(e
(hL)
− Id)x −Lx|| ≤
∞

ν=2
h
ν−1
ν!
||L
ν
x|| ≤ ||x||
∞

ν=2
h
ν−1
ν!

.
vì biểu thức trên dần về 0 khi cho h → 0, h là toán tử sinh của nửa
nhóm {e
(tL)
}
t≥0
.

Theo cách tương tự cho (1.65), chứng minh cho bổ đề sau:
Bổ đề 1.8. Cho L, M : B → B là toán tử tuyến tính liên tục thỏa mãn
giả thiết của Bổ đề 1.6 và giả sử
LM = M L. (1.66)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Khi đó
e
(t(M+L))
= e
(tM)
◦ e
(tL)
. (1.67)
1.3 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt
và nửa nhóm
1.3.1 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt
Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt
u
t
− ∆u = 0, (x, t) ∈ R
d

X(0, ∞) (1.68)
u(x, 0) = f(x), x ∈ R
d
(1.69)
Giả sử f(x) ∈ C
0
b
(R
d
) là hàm số liên tục và bị chặn trong R
d
. Khi đó
nghiệm của bài toán Cauchy (1.68) và (1.69) được biểu diễn bởi công
thức sau:
u(x, t) =
1
(4πt)
d
2

R
d
e
−
|x−y|
2
4t
f(y)dy; (1.70)
Với mỗi t > 0 cố định, hàm số u(x, t) ∈ C
0

b
(R
d
).
Chứng minh
Nghiệm của bài toán Cauchy (1.68) và (1.69) có dạng:
u(x, t) = X(x)T (t), (1.71)
đặt (1.71) vào (1.68) ta có:
T

(t)
a
2
T (t)
=
X

(x)
X(x)
= −µ, (1.72)
với µ là một hằng số. Từ đó ta có
T

(t) + a
2
µT (t) = 0
X

(x) + µX(x) = 0.
Điều kiện giới nội của hàm u(x, t) trong miền t > 0, x ∈ R

d
buộc µ > 0
Do đó có thể đặt
µ = λ
2
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
và ta có
T

(t) + a
2
λ
2
T (t) = 0
X

(x) + λ
2
(x) = 0,
từ đó
T (t) = e
−a
2
λ
2
t
X(x) = Acosλx + Bsinλx,
A, B là các hằng số bất kì.

Rõ ràng A, B phụ thuộc λ. Vậy u(x, t) có dạng
u(x, t) = e
−a
2
λ
2
t
[A(λ)cosλx + B(λ)sinλx]. (1.73)
Tích phân (1.73) theo tham biến λ từ −∞ đén +∞ ta thu được
u(x, t) =
+∞

−∞
e
−a
2
λ
2
t
[A(λ)cosλx + B(λ)sinλx]dλ. (1.74)
Hàm này là nghiệm của phương trình (1.68) nếu như tích phân (1.74)
hội tụ đều và có đạo hàm được dưới dấu tích phân hai lần theo x một
lần theo t.
Ta chọn các hàm A(λ) và B(λ) sao cho (1.74) thỏa mãn điều kiện
U(x, 0) = f(x), x ∈ R
d
,
cho t = 0 ta thu được:
f(x) =
+∞


−∞
[A(λ)cosλx + B(λ)sinλx]dλ. (1.75)
Giả thiết f(x) là hàm có thể biểu diễn được dưới dạng tích phân Fourier,
ta có
f(x) =
1
2π
+∞

−∞
dλ
+∞

−∞
f(y)cosλ(y − x)dy
=
1
2π
+∞

−∞
[cosλx
+∞

−∞
f(y)cosλydy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
+sinλx

+∞

−∞
f(y)sinλydy]dλ.
So sánh với (1.75) ta thấy rằng ít nhất A(λ), B(λ) phải có dạng:
A(λ) =
1
2π
+∞

−∞
f(y)cosλydy
B(λ) =
1
2π
+∞

−∞
f(y)sinλydy. (1.76)
Đặt (1.76) vào (1.74) ta được
u(x, t) =
1
2π
+∞

−∞
dλ
+∞

−∞

f(y)e
−a
2
λ
2
t
cosλ(y − x)dy
=
1
π
+∞

0
dλ
+∞

−∞
f(y)e
−a
2
λ
2
t
cosλ(y − x)dy.
Thay đổi thứ tự tích phân và sử dụng công thức
I =
+∞

0
e

−x
2
dx =
√
π
2
. (1.77)
Ta có
+∞

0
e
−a
2
λ
2
cosβλdλ =
√
π
2a
e
−
β
2
4a
2
.
Ta thấy rằng hàm u(x, t) phải có dạng (1.70)

1.3.2 Nửa nhóm của bài toán truyền nhiệt

Ta xét không gian Banach B = C
0
b
(R
d
) với chuẩn
||f||
C
0
b
= sup
x∈R
d
|f(x)|. (1.78)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên