chuyên đề bài tập lượng giác

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
20





VẤN ĐỀ 12 - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Giải các bất phương trình lượng giác sau:

312)
sin sin
3
x x

 
 
 
 

313)
sin sin 2 0
x x
 

314)
sin cos 2cos
3
x x


 
315)
os2 cos 0
c x x
 

316)


3 4 sin 2 cos4 1 2 3 0
x x
    

317)


2cos 2 3 1 sin 3 2 0
2
x
x
    

318)
cos4 3 cos2 2 0
x x
  

319)
os2 3cos 4 0

c x x
  

320)
tan cot 4
x x
 

321)
4 2
2 os 7cos 3 0
c x x
  

322)
2
3tan 1 0
x
 

323)




2
1
1 3 tan2 1 3 0
cos 2
x

x
    

324)
2
1 tan
2
cos 0
4tan
2
x
x
x

 

325)
tan 6 tan3 0
x x
 

326) Xác định


0 2
  
  sao cho phương trình sau có nghiệm
:



2
2 2sin 1 2sin 1 0
x x
 
    

327) Tìm các giá trị của a để phương trình sau vô nghiệm
:


2 2
2sin 1 6sin sin 1 0
x a x a a
     

328) Giải bất phương trình :
sin sin3 sin2
x x x
 
.
329) Giải bất phương trình :
3 3
5
os os3 sin .sin3
8
c xc x x x
 
.
330) Giải bất phương trình :
sin 2 os2 1

0
sin 2 os2 1
x c x
x c x
 

 

331) Tìm tất cả giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi
x:
2 2
2 2
cos
0
1 cos
m x m m
m m x
 

 



CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
19

297) Giải phương trình :
1 1
cos 1 cos3 1 1

cos cos3
x x
x x
   


VẤN ĐỀ 11 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

298) Giải hệ phương trình :
tan cot 2sin
4
tan cot 2sin
4
x x y
y y x



 
  
 

  

 

  
 

 



299) Giải hệ phương trình :
1
sin cos sin cos
2
3
2sin 2 sin 2
2
x x y y
x y

   








300) Giải hệ phương trình :
sin sin 2
cos cos 2
x y
x y

 



 



301) Giải hệ phương trình :
2
2
sin cos .cos
cos sin .sin
x x y
x x y








302) Giải hệ phương trình :
sin sin 2
cos cos2
x x m
x x m
 


 


303) Giải hệ khi m = 0.
304) Xác định m để hệ phương trình có nghiệm.
305) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :
1
sin sin
2
cos2 cos2
x y
x y m

 



 


306) Giải hệ phương trình :
2 2 2
cos cos cos 1
cos cos cos 1
x y z
x y z
x y z

  


  



  


307) Giải hệ phương trình :
sin 7cos 0
5sin cos 6 0
x y
y x
 


  


308) Giải hệ phương trình :
2
3 2
9sin 15sin .sin 2 17cos 11 0
5cos 3sin 8cos 1 0
x x x x
x x x

   


   



309) Tìm m để hệ phương trình
1
sin sin
2
os2 os2
x y
c x c y m

 



 

có nghiệm.
310) Tìm m để hệ phương trình :
 
2
2 os2 os2 1 4cos 0
x y m
c x c y m
 



   


có nghiệm. Tìm nghiệm
đó.

311) Giải và biện luận phương trình:
 
sin 1 cos
cos
m
m x m x
x
   .
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
18

278) Cho phương trình lượng giác :


os2 2 1 cos 1 0
c x m x m
    

279) Giải phương trình với
3
2
m


280) Tìm m để phương trình có nghiệm
3
,
2 2
x

 
 

 
 

281) Cho phương trình lượng giác :
6 6
sin cos a sin 2
x x x
  . Xác định a để phương trình có
nghiệm.
282) Cho phương trình :
 
2
3
3tan tan cot 1 0
sin
x m x x
x
    
. Với giá trị nào của m thì
phương trình có nghiệm.
283) Cho phương trình :




sin 2 sin 3 asin
x x x

 
   
a) Giải phương trình khi a = 1.
b) Tìm a để phương trình có ít nhất 1 nghiệm
( )
x k k Z

 
.
284) Cho phương trình :
1 sin 1 sin cos
x x k x
   
a) Giải phương trình với k = 2.
b) Giải và biện luận phương trình trong trường hợp tổng quát.
285) Cho phương trình :
 
2
2
1 tan 1 3 0
cos
a x a
x
    
. Xác định a để phương trình có
nhiều hơn 1 nghiệm trong khoảng
0,
2

 

 
 
.
286) Tìm số dương a nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện :
 
2 2
1
cos 2 sin 0
2
a a a
 
 
 
   
 
 
 
 


VẤN ĐỀ 10 - MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG
MẪU MỰC

287) Giải phương trình :
2 2
4cos 3tan 4 3 cos 2 3 tan 4 0
x x x x
    

288) Giải phương trình :



2 2
os3 2 os 3 2 1 sin 2
c x c x x
   
289) Giải phương trình :
2
2 sin 1 0
x x xy
  
.
290) Giải phương trình :
 
2
os4 os2 5 sin3
c x c x x
  
291) Giải phương trình :
15 24
cos sin 1
x x
 
.
292) Giải phương trình :


2 2
tan tan cot 1
x y x y

   
.
293) Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm :
sin 2sin 2 sin3 2 2
x x x  
.
294) Giải phương trình :
 
2 2
9
sin sin sin
4
x y x y
   
.
295) Giải phương trình :
2 2 2
1
sin sin 3 sin .sin 3
4
x x x x
 
296) Giải phương trình :
2 2
2 2
2 2
1 1 1
cos sin 12 sin
cos sin 2
x x y

x x
   
    
   
   
.
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
17

Cách 2 :
Dùng công thức :
2
2
1 os2
os
2
1 os2
sin
2
1
sin .cos sin 2
2
c x
c x
c x
x
x x x
















Để biến đổi phương trình về dạng bậc nhất đối với sin2x và cos2x (Acos2x + Bsin2x =
C).

GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU :

260)
2 2
sin 10sin .cos 21cos 0
x x x x
  

261)
2 2
sin 2sin .cos 3cos 0
x x x x
  

262)
2 2
6sin sin .cos cos 2
x x x x
  

263)
2
sin 2 2sin 2cos2
x x x
 
264)
2 2
2sin 2 3sin 2 .cos2 cos 2 2
x x x x
  

265)
2
cos 3sin .cos 1 0
x x x
  

266)
2 2
cos sin 3sin 2 1
x x x
  

267)

2 2
5
4 3sin .cos 4 os 2sin
2
x x c x x
  

268)
1
4cos 6sin
sin
x x
x
 
269)
6 6
sin os 3sin .cos 0
x c x x x
  

270)
3 3
3sin 4 os 3sin
x c x x
 
271)









2 0 0 0 2
3sin 180 2sin 90 . os 90 5sin 270 0
x x c x x
      

272)
 
2 2
3
2sin 1 3 os 4 2 3sin 2 0
2 2 2
x c x x
  
     
      
     
     

273)
   
3
4sin cos 4sin cos 2sin os 1
2 2
x x x x x c x
 
 

   
      
   
   

274)
 
 
2 2
9
2sin 5 3 1 sin2 3sin 0
2 2
x x x
 

   
      
   
   

275)


2 2
3sin 3 3 sin .cos 3 os 0
x x x c x
   

276)
2 2 2 2

3
3sin . os 3sin . os sin . os sin . os
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x x x x x
c c c c
 
   
    
   
   

277) Số đo của một trong các góc của tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình
:
3 3
sin sin sin 2 3 os 0
x x x c x
  
. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.

VẤN ĐỀ 9 : GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
16


241)



3 sin cos sin 2 3 0
x x x
   

242)
sin cos 4sin .cos 1 0
x x x x
   

243)


2sin2 3 3 sin cos 8 0
x x x
   

244)


2 sin cos 3sin 2 2
x x x
  

245)


 


1 2 sin cos sin2 1 2 0

x x x
     

246)


2 sin4x 3sin2x cos2x 3 0
   

247)


sin 2 4 cos sin 4 0
x x x
   

248)


5sin 2 12 sin cos 12 0
x x x
   

249)


 
1 2 1 sin cos sin2
x x x
   

250)
sin 2 2sin 1
4
x x

 
  
 
 

251)




3 3
2 sin os sin 2 sin cos 2
x c x x x x   
252)
1 1 10
cos sin
cos sin 3
x x
x x
  
253)





3 3
4 sin os 3sin 2 4 sin cos 0
x c x x x x
    

254)
3
sin .cos
sin cos
x x
x x



255)
9
2cos 4 10cos 2 6 0
2 4
x x
 
   
    
   
   

256)





3 3
sin 2 os2 sin 2 os 2 1
x c x x c x
  

257)


 
3
3sin2 4sin 2 2 3 sin3 os3 6 1 0
x x x c x
      

258) Cho phương trình :




sin 2 2 2 sin cos 2 3 0
x a x x a
     

a) Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng
0,
2

 
 

 

b) Xác định a để phương trình có duy nhất một nghiệm trong khoảng
0,
2

 
 
 

c) Xác định a để phương trình có 2 nghiệm trong khoảng
0,
2

 
 
 

259) Cho phương trình :


2.sin 2 2 2 sin cos 2 1 0
x m x x m
    
. Xác định m để phương
trình có nghiệm trong khoảng


0,


LOẠI 4 :PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Cách 1 :
Bước 1 : kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm đúng của phương trình hay không ?
Bước 2 : chia hai vế của phương trình cho
2
os (cos 0)
c x x

ta được phương trình b
ậc hai
có ẩn số phụ t = tanx.
2
0
At Bt E
  
.
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
15

228) cos 3sin 2cos
3
x x x

 
  
 

 

229)
3 2
2sin sin
4 4 2
x x
 
   
   
   
   

230)
3cos2 sin 2 2sin 2 2 2
6
x x x

 
   
 
 

231)
5
12cos 5sin 8 0
12cos 5sin 14
x x
x x
   

 

232)
 
1
4sin 3cos 4 1 tan
cos
x x x
x
   
233)
6 6
1
sin cos sin 4 0
2
x x x
  

234) Tìm các giá trị của

để phương trình
:




2
os 3sin 3 3 os 3sin 2 sin os 3 0
c x c x c
     

        
có nghiệm
1
x


235) Tìm các giá trị của

để phương trình :






2 2 2
2sin os 1 3sin 2 os 3 3 sin 0
c x x c
    
      

236)
2 2
sin 4 3sin4 . os4 4 os 4 0
x x c x c x
  
trong khoảng
0,
2
x


 

 
 

Giải và biện luận phương trình theo tham số m :

237) Cho phương trình : 3 os3 sin3
m c x x m
 
.Chứng minh rằng phương trình trên luôn có
nghiệm.
238) Cho phương trình :


2 os2 2 sin cos 3 2
m c x m x x m
   
.Giải và biện luận phương trình
theo tham số m.
239) Tìm các giá trị của
3
,
4
x


 
 

 
 
thỏa mãn phương trình sau với mọi
m:
2 2 2 2
sin sin cos os cos sin
m x m x m x mc x x x
    
240) Tìm m để phương trình có nghiệm :
 
sin 1 cos
cos
m
m x m x
x
  
LOẠI 3
Phương trình chứa tổng và tích của sinx và cosx
:A(sinx+cosx)+Bsinxcosx+C=0 (1)
Đặt
 
sin cos 2 os , 2
4
t x x c x t

 
    
 
 

2
2
1 2sin .cos
1
sin .cos
2
t x x
t
x x
  

 

Thay vào phương trình (1), ta có :
2
1
0
2
t
At B C

  


Giải các phương trình sau :
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
14

LOẠI 2
Loại 2 : PHƯƠNG TRÌNH
2 2
cos sin ( 0)
a x b x c a b
   

Cách giải :
2 2 2 2 2 2
cos sin
cos sin
a x b x c
a b c
x x
a b a b a b
 
  
  

2 2
2 2
2 2
os
cos . os sin .sin ,
sin
a
c
c
a b

x c x
b
a b
a b

 






  








 
2 2
os
c
c x
a b

  


(điều kiện để phương trình có nghiệm
2 2 2
a b c
 
)



Giải các phương trình sau :

210)
4sin 3cos 5
x x
 

211)
3cos sin 2
x x
  

212)
6
sin cos
2
x x 
213)
os3 sin3 1
c x x
 

214)
os5 sin5 1
c x x
  

215)
9
2 3sin 3cos
2
x x
 

216)
3sin 2 2cos2 3
x x
 

217)
2sin 2 3cos2 13sin 4
x x x
 
218)
sin 4 3cos4 3
x x 
219)




0 0

os 2 15 sin 2 15 1
c x x
    

220)
2sin 9cos 85
x x 
221)
2 sin 2 3cos2 4
x x
 

222)




0 0
5cos 2 18 12sin 2 18 13
x x
    

223)
5 2
2cos 3cos
6 3 2
x x
 
   
   

   
   

224)
2
2sin 3sin2 3
x x
 

225)
2
2sin 2 3sin 4 3
x x
 

226)


sin8 os6 3 sin6 os8
x c x x c x
  
227)
3 1
8cos
sin cos
x
x x
 
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943

13

189)
2
3
os2 cos 2sin
2
x
c x x 
190)
8cos2 .sin 2 . os4 2
x x c x 

191)
2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x
  

192)
2 2 2 2
sin 3 sin 4 sin 5 sin 6
x x x x
  
193)
2 2 2
sin 2 sin 4 sin 6
x x x

 
194)
2 2 2 2
os os 2 os 3 os 4 2
c x c x c x c x
   

195)
6 6 2
sin cos 4cos 2
x x x
 
196)
2 2
2tan 3tan 2cot 3cot 2 0
x x x x
    

197)
2 2
2tan 3tan 2cot 3cot 3 0
x x x x
    


Tính giá trị gần đúng các nghiệm phương trình sau:

198)
2
sin 2

6 5
x

 
 
 
 
trong khoảng
,
3 6
 
 

 
 

199)
2
os
2 3
x
c  trong khoảng


2 ,4
 

200)
3
tan 3

5
x


 
trong khoảng
7 ,
,
2 6
 
 

 
 

201)
9 15
sin 2 3cos 1 2sin
2 2
x x x
 
   
    
   
   
trong đoạn


0,2
x



202)
sin
1
cos
in 2
x
x
s x
 
trong khoảng


0,2
x


203)
sin3 sin
os2 sin2
1 os2
x x
c x x
c x

 

trong khoảng



0,2
x


204)
1 cos 1 cos
4sin
cos
x x
x
x
  
 trong khoảng


0,2
x


GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH:
205)


cos2 4 1 sin 2 0
x m x m
   

206)



cos2 2 3 cos 1 0
x m x m
    

207) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có 1 và chỉ 1 nghiệm


0,
x




2 1 cos2 5cos 3 0
m x x m
    

208) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có nghiệm
3
,
2 2
x
 
 

 
 



cos2 2 1 cos 1 0
x m x m
    

209) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có nghiệm 0,
12
x

 

 
 

3 2
cos4 os sin
x c x m x
 

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
12

156)
4 2
4sin 12cos 7
x x
 

157)
2

2cos 3cos2 4
x x
 

158)
2
5sin 2cos2 2
x x
 

159)
sin 2 sin 0
x x
 

160)
5sin os2 2 0
x c x
  

161)
sin cos 1
2
x
x
 

162)
2
tan 2 3

4
x

 
 
 
 

163)
7 tan 4cot 12
x x
 

164)


2
cot 3 1 cot 3 0
x x
   

165)
2 2
2sin 2cos 4sin 2 0
x x x
   

166)
 
2

2 2
1 2 2 cos
1 tan
x
x
   


167)
2 2
os 2 os 2 3cos 2 4 0
2 2
c x c x x
 
   
     
   
   

168)
2
2tan 1 tan
x x
 
169)
tan tan2 0
x x
 

170)



tan 3cot 1 3 0
x x
   

171)
3tan 3 cot 3 3 0
x x
   

172)
2
2
2 2
sin 2 2
tan
sin 2 4cos
x
x
x x




173)
1
2tan cot 2sin 2
sin 2
x x x

x
  
174)
 
9
tan 7 2 cot 3 0
2
x x


 
    
 
 

175)
3
3cos2 4cos cos3 0
x x x
  

176)
4sin 1 2cos2 2
x x
  

177)
tan tan2 sin3 .cos
x x x x
 

178)
   
2
0 0
4cos
tan 45 tan 45
tan cot
2 2
x
x x
x x
  


179)
sin 2 sin 6 sin3 sin5
x x x x


180)
sin .sin 7 sin3 .sin5
x x x x


181)
sin5 .sin 3 sin 9 .sin7
x x x x


182)
cos . os3 sin 2 .sin 6 sin4 .sin 6 0
x c x x x x x
  

183)
sin 4 .sin5 sin 4 .sin3 sin 2 .sin 0
x x x x x x
  

184)
sin5 sin3 sin 4
x x x
 

185)
sin sin 2 sin3 0
x x x
  

186)
cos cos3 2cos5 0
x x x
  

187)
2 2
cos sin sin3 os4
x x x c x
  

188)
cos22 3cos18 3cos14 os10 0
x x x c x
   

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
11

Loại 1 : PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Phương trình
Lời giải
( , ' )
k k
 

cos os
X c



2
'2
X A k
X A k


 



  


sinX sin



2
'2
X A k
X A k

 
 


  


tanX tan
cot cot
X





X A k


 


Giải các phương trình sau :

138)
1
sin
2
x


139)
2sin 3
x 
140)
3
cos
2
x 
141)
3
sin 2
2
x 
142)
3
cos 2
3 2
x


 
  
 
 

143)
3
sin 2
3 2
x

 
 
 
 

144)
 
0
1
sin 2 50
2
x
  

145)
tan 3
x 
146)

3tan 3
3
x

 
 
 
 

147)
3cot 3
3
x

 
 
 
 

148)
2
1
tan
3
x


149)
2tan .sin tan 0
x x x

 

150)
2
tan cot
cos
x x
x
  
151)
2
3sin 2 7cos2 3 0
x x
  

152)
2
6cos 5sin 7 0
x x
  

153)
cos2 5sin 3 0
x x
  

154)
cos2 cos 1 0
x x
  

155)
2
6sin 3 cos12 14
x x
 

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
10


A , B , C là 3 góc của 1 tam giác. Chứng minh rằng :

122)
cos cos cos 1 4sin .sin .sin
2 2 2
A B C
A B C   
123)
cos2 cos 2 cos2 1 4cos .cos .cos
A B C A B C
    

124)
2 2 2
os os os 1 2cos .cos .cos
c A c B c C A B C
   
125)

2 2 2
sin sin sin 2 2cos .cos .cos
A B C A B C
   
126)
tanA+tan tan t anA.tan .tan
B C B C
 

127)
tan .cot cot cot cot tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
  

128)
5 5 5
sin5 sin5 sin5 4. os . os . os
2 2 2
A B C
A B C c c c  
129)
sin6 sin 6 sin6 4sin3 .sin3 .sin3
A B C A B C
  

130) Chứng tỏ rằng nếu tam giác ABC có
tanA tan 2cot
2
C

B  thì tam giác ABC là 1 tam
giác cân.
131) Cho tam giác ABC , đặt
2 2 2
sin sin sin
T A B C
   . Chứng minh rằng tam giác ABC
nhọn
2
T

.
132) Hãy nhận dạng tam giác ABC biết :
2 2 2
os os os 1
c A c B c C
  
.
133) Cho tam giác ABC có các cạnh và các góc thỏa mãn hệ thức :
2 2
1 cos 2
sin
4
B a c
B
a c
 



Chứng minh tam giác ABC cân.
134) Số đo 3 góc của tam giác ABC lập thành 1 cấp số cộng và thỏa mãn hệ thức :
3 3
sin sin sin
2
A B C

   . Tính các góc A, B , C.
135) Chứng minh rằng tam giác ABC cân khi và chỉ khi :
.cos .cos .sin .sin
a B b A a A b B
  
.
136) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có :
.cos .cos .cos 2
.sin .sin .sin 9
a A b B c C p
a B b C c A R
 

 
(trong đó p
là nửa chu vi. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác). Thì tam giác ABC là tam giác
đều.
137) Giả sử tam giác ABC thỏa mãn điều kiện :


2 .cos .cos .cos
a A b B c C a b c
    

.
Thì tam giác ABC là tam giác đều.

VẤN ĐỀ 8 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
KIẾN THỨC CƠ BẢN

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
9





VẤN ĐỀ 7 : CÁC BIẾN ĐỔI VỀ GÓC TRONG TAM
GIÁC
A, B , C là 3 góc trong 1 tam giác , ta có :
A B C

  
vậy :


A B C

  
(bù)
A B C

  

( phụ)
sin( ) sin
A B C
 

os( ) os
c A B c C
  


sin os
2 2
A B C
c



tan cot
2 2
A B C



Bất đẳng thức côsi
Cho a ,b >0 ta luôn có
2 .
a b ab
  hay
2
.

2
a b
ab

 

 
 

Tổng quát :
1 2
, , , 0
n
a a a

ta luôn có
1 2 1 2
.
n
n n
a a a n a a a
   
Bất đẳng thức BOUNHIACOSKY




 
2
2 2 2 2

. .
a b c d a c b d
    hay
 




2 2 2 2
. .
a c bd a b c d
   

Định lí hàm số sin
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
  
Định lí hàm số cosin
2 2 2
2 2 2
2 cos
cos
2
a b c bc A
b c a
A
bc

  
 
 




Cho tam giác ABC biến đổi các biểu thức sau về dạng tích :

119)
sin sin sin
A B C
 

120)
sin 2 sin 2 sin 2
A B C
 

121)
cot cot cot
2 2 2
A B C
 
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
8

cos sin 2 os
4

a a c a

 
  
 
 

cos sin 2 os
4
a a c a

 
  
 
 

sin cos 2 sin
4
a b a

 
  
 
 

sin cos 2 sin
4
a b a

 

  
 
 



sin
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

 


sin
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

 


sin
cot cot
sin .sin
a b

a b
a b

 


sin
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b

 

Biến đổi các biểu thức sau về dạng tích :

111)
0 0 0
sin70 sin 20 sin50
 
112)
0 0 0
os44 os22 2 os79
c c c 
113)
sin sin 2 sin3
x x x
 

114)
1 cos os2
x c x
 


Đơn giản các biểu thức sau:

115)
sin( ) sin os( ) os
sin( ) sin os( ) os
a b a c a b c a
A
a b a c a b c a
   
 
   

116)
1 cos os2
1 3sin 2cos
x c x
B
x x
 

 


Chứng minh rằng :

117)
0 0 0
os85 os35 os25 0
c c c
  

118)
0 0 0
os130 os110 os10 0
c c c
  







CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
7

101)
sin
3 2cos
a
M
a



nếu
tan 2
2
a


102)
tan2 sin 2
tan2 cos2
a a
N
a a



nếu
2
tan
5
a


103)
2sin 2 os2
tan 2 cos2
a c a
P
a a




nếu
1
tan
2 2
a
 


VẤN ĐỀ 5 : BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
 
1
cos .cos os( ) os( )
2
a b c a b c a b
   

 
1
sin .sin os( ) os( )
2
a b c a b c a b
    
 
1
sin . os sin( ) sin( )
2
a c b a b a b
   

 
1
os .sin sin( ) sin( )
2
c a b a b a b
   
Biến đổi các biểu thức sau thành tổng :
104)
sin( ).sin( )
a b a b
 

105)
sinx.sin2x.sin3x

106)
cos .cos .cos
a b c


Chứng minh các đẳng thức sau:
107)
sin .sin( ) sin .sin( ) sin .sin( ) 0
a b c b c a c a b
     

108)
os(a+b).sin(a-b)+cos( ).sin( ) os( ).sin( ) 0
c b c b c c c a c a

     

109)
0 0
1
sin 2sin 15 os 15
2 2 2
a a
a c
   
   
   
   

110) Cho tam giác ABC có
2 2 2
5
ˆ ˆ
ˆ
4 2 . : os os os
4
A B C CMR c A c B c C
    




VẤN ĐỀ 6: BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

KIẾN THỨC CƠ BẢN

cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
 
 
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
 
  
sin sin 2sin os
2 2
a b a b
a b c
 
 
sin sin 2 os sin
2 2
a b a b
a b c
 
 
Hệ quả :
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
6

81) Tính
sin 2 , os2 ,tan 2
a c a a
biết
5 3
cos à
13 2
a v a



  
82) Tính
4
tan 2 ,cos à 0
5 2
a a v a


  

Tính giá trị biểu thức sau:
83)
sin . os . os . os
24 24 12 6
A c c c
   

84)
sin . os . os . os

12 12 6 3
B c c c
   

85)
2 0
2cos 75 1
C
 


86)
2 0
1 2sin 75
D  




0 0 0 0
os15 sin15 os15 sin15
E c c  
87)




0 0 0 0
os75 sin75 os75 sin75
F c c  

88)
2
tan
8
1 tan
8
G





89)
2 0
0
1 cot 105
cot75
H


Chứng minh rằng :
90)
3 3
sin 4
cos .sin sin .cos
4
a
a a a a 
91)
3 3

sin cos sin 2
1
sin cos 2
a a a
a a

 


92)
2
1 1 2sin
tan 2
os2 1 sin 2
a
a
c a a

 


93)
cos sin cos sin
2tan 2
cos sin cos sin
a a a a
a
a a a a
 
 

 

94)
2
1 1 sin 2
1 tan 1 tan
cos cos os
a
a a
a a c a
  
    
  
  

95)
2
sin 2 2sin
tan
sin 2 2sin 2
a a a
a a




96)
2
1 sin 2sin
2 4

a
a

 
  
 
 

97)
0 0
sin3 4sin .sin(60 ).sin(60 )
a a a a
  

98)
0 0
os3 4 os . os(60 ). os(60 )
c a c a c a c a
  

99)
0 0
tan3 tan .tan(60 ).tan(60 )
a a a a
  

100) Cho tam giác cân có góc ở đỉnh bằng
0
20
, cạnh bên bằng b và cạnh đáy băng a. CMR

3 3 2
3
a b ab
 
Tính giá trị biểu thức sau :
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
5





Các bài toán liên quan khác

77) Cho x và y là hai số thay đổi và là nghiệm đúng của phương trình
2 2
1
x y
 
. Tìm giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của phương trình
2 1
P x y
  

78) Cho bốn số thay đổi a, b, x, y thỏa mãn
2 2
4
a b

 
và
2 2
3
x y
 
. CMR :
3 2 3 ax 2 3
by   
79) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
2 5
y x
 
biết x và y là hai số thay đổi thỏa
mãn :
2 2
36 16 9
x y
 

80) Cho hai số x và y thay đổi sao cho
2 2
4 25 16
x y
 
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức :
3 2 4
P x y
  

VẤN ĐỀ 4 : CÔNG THỨC NHÂN
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

Công thức nhân đôi
sin 2 2sin cos
a a a


2 2
2
2
os sin
os2 2 os 1
1 2sin
c a a
c a c a
a



 





2
2tan
tan 2

1 tan
a
a
a



Hệ quả
Đặt
tan
2
a
t  , ta có :
2
2
2
2
2
sin
1
1
cos
1
2
tan
1
t
a
t
t

a
t
t
a
t









Công thức nhân 3
3
3
3
3
sin3 3sin 4sin
os3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
a a a
c a a a
a a
a
a
 

 






CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
4

54)
0 0 0 0
sin( 17 ). os( 13 ) sin( 13 ). os( 17 )
D a c a a c a     
55) 2cos . os
4 4
E c
 
 
   
  
   
   

56)
os( ) sin .sin
sin( ) sin .cos
c a b a b
F

a b a b
 

 

57)
5
tan tan
2 12
5
1 tan .tan
12 12
G
 
 
 
 
   
  
   
   

   
  
   
   

58)
2cos( )
tan

sin( ) sin( )
a b
H a
a b a b

 
  

59)
sin cos
sin cos
a a
K
a a





Chứng minh rằng :

60)
cot .cot 1
cot( )
cot cot
a b
a b
b a
 


m

61)
tan( ) tan tan tan .tan .tan( )
a b a b a b a b
    

62)
2sin( )
tan tan
os( ) os( )
a b
a b
c a b c a b

 
  

63)
2 2 2
sin ( ) sin sin 2sin .sin . os( )
a b a b a b c a b
    

64) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x :
65)
2 2
os ( ) os 2cos .cos . os( )
A c a x c x a x c a x
    

66)
2 2
os 2cos .cos . os( ) os ( )
B c x a x c a x c a x
    

67)




6 6 4 4
2 sin cos 3 sin cos
C a a a a
   

Các bài toán liên quan đến tam giác :
68) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC (không vuông) ta đều có :
69)
t anA tan tan tanA.tan .tan
B C B C
  


70) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có :
71)
A A
tan .tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2

B B C C
  

72) Cho tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
73)
t anA+tan tan
M B C
 
và xác định hình tính của tam giác ABC trong trường hợp này.
74)
A A
1 t an .tan 1 tan tan 1 tan tan
2 2 2 2 2 2
B B C C
F      
75) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và trực tâm H chia đường cao
'
AA
theo tỉ số
,( 0)
'
HA
m m
HA
 
.Tính
tan ,tan
B C
theo m và chứng minh rằng :
2 1

tan
m
A
m


76) Cho tam giác ABC thỏa mãn :
2
tan 2tan tan A.tan
A B B
  . CMR tam giác ABC cân.
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
3







VẤN ĐỀ 3 : CÔNG THỨC CỘNG

KIẾN THỨC CƠ BẢN
os( ) cos .cos sin .sin
c a b a b a b
  

os( ) os .cos sin .sin
c a b c a b a b

  

sin( ) sin .cos os .sin
a b a b c a b
  

sin( ) sin .cos os .sin
a b a b c a b
  

tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b

 


tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b

 


Hệ quả : Biến đổi biểu thức
cos sin
E a x b x
 
về dạng tích số
i. Giả sử
2 2
0
a b
 
( và a và b không đồng thời triệt tiêu)
Ta có :

 
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
cos sin
. cos sin
cos . os sin .sin
. os( )
E a x b x
a b
a b x x
a b a b
a b x c x
a b c x
 


 
 
  
 
 
 
  
  

Áp dụng kết quả trên ta có :
cos sin 2 os
4
a a c a

 
  
 
 

cos sin 2 os
4
a a c a

 
  
 
 

sin cos 2sin
4

a a a

 
  
 
 

sin cos 2sin
4
a a a

 
  
 
 


Rút gọn các biểu thức sau :

51)
0 0 0 0
os54 . os4 os36 . os86
A c c c c 
52)
0 0 0 0
sin56 .sin 4 sin34 .sin86
B  
53)
0 0
0 0

tan64 tan176
1 tan64 .tan356
C




CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
2



Chứng minh rằng:
36)
0 0 0 0
tan10 .tan 20 tan70 .tan80 1


37)
0 0 0 0
os20 os40 os160 os180 1
c c c c
   

38)
0 0 0 0
tan50 tan75 tan230 tan 255
  
39)

0 0 0 0
os20 os40 sin110 sin130
c c  
40)
0 0 0 0
sin 25 sin 65 sin155 sin115
  
41)
0 0 0 0
sin75 sin65 os165 os205 0
c c
   

42)
0 0
0
0
sin168 sin192
cot12 2
sin78




Tính giá trị biểu thức :

43)
0 0
0
0 0

sin( 234 ) os216
tan36
sin144 os126
c
A
c
 



44)


0 0 0
0 0
0
cot 44 tan226 os406
ot17 . ot73
os316
c
B c c
c

 
45)
0 0 0 0
cot5 cot10 cot80 .cot85
C 
46)
0 0 0 0 0 0

cos10 cos20 cos30 cos190 cos200 cos210
D      
47)
9 6 11
os os os
16
5 5 5
tan
3 6
5
os sin
10 5
c c c
E
c
  

 
 




Đơn giản biểu thức sau :
48)
   
3
sin os cot 2 tan
2 2
F c

 
     
   
       
   
   

49)
 
3 3
os 5 sin tan .cot
2 2 2
G c
  
    
     
       
     
     

50)
     
3
cot 2 . os os 6 2sin
2
H c c

      
 
      

 
 









CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
1


VẤN ĐỀ 2 : CUNG ( GÓC) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT (Cung liên kết).
STT

Hai cung
Gọi là hai
cung
Công thức
Cách nhớ
1


à
a v a


Đối nhau
os( ) cos
c a a
 

sin( ) sin
a a
  

tan( ) tan
a a
  

cot( ) cot
a a
  

Cos đối
2


à
a v a


Bù nhau
sin( ) sin
a a

 

os( ) cos
c a a

  

tan( ) t an
a a

  

cot( ) cota
a

  

Sin bù
3
à
2
a v a

 

 
 


Phụ nhau
sin cos

2
a a

 
 
 
 

os sin
2
c a a

 
 
 
 

tan cot
2
a a

 
 
 
 

cot tan
2
a a


 
 
 
 

Phụ chéo
4


à
a v a


Sai kém


tan( ) tan
a a

 

cot( ) cot
a a

 

sin( ) sin
a a

  

os( ) os
c a c a

  

Sai

tan,
cot
5
à
2
a v a

 

 
 

Sai kém
2


sin cos
2
a a

 
 

 
 

os sin
2
c a a

 
  
 
 

tan cot
2
a a

 
  
 
 

cot tan
2
a a

 
  
 
 

2 cung sai
kém
2

thì
sin ( cung
lớn) = cos (
cung nhỏ)


Hệ quả : A , B , C là 3 góc trong 1 tam giác
a. Ta có : A + B + C =


( ù)
A B C b

  

2 2 2
A B C


 
(phụ)


sin sin
A B C
 



os os
c A B c C
  



sin os
2 2
A B C
c



tan cot
2 2
A B C


CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
2


ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC
12) .


2 2 2

1 sin cot 1 cot
M a a a
   
13) .
2
2cos 1
sin cos
a
N
a a




14)
   
2 2
sin 1 cot cos 1 tan
P a a a a
   

15)
2
1 2sin
sin cos
a
A
a a





16)
1 sin 1 sin
1 sin 1 sin
a a
B
a a
 
 
 

17)




3 3
1 cot sin 1 tan cos
P a a a a
   

18)
2 2
2
sin 2cos 1
cot
a a
Q
a

 


19)
2 2
2 2
sin tan
cos cot
a a
E
a a





20)
 
2
sin cos 1
cot sin .cos
a a
F
a a a
 



CHỨNG MINH CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

21) .
     
2
2 2
sin cos cos 1 tan sin 1 cot
a a a a a a
    
22) .
2 2 2 2
tan sin tan .sin
a a a a
 
23)
3 3
sin cos
1 sin .cos
sin cos
 
 
 

 


24)
2 2
sin cos tan 1
1 2sin .cos tan 1
  
  

 

 

25)
4 4 6 6 2 2
sin cos sin cos sin .cos
a a a a a a
   
26)




4 4 6 6
3 cos sin 2 cos sin 1
a a a a
   

27) .
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
a a
a a a

 


28) .
1 os 1 cos

2cot 0
1 cos 1 os 2
c a a
a a
a c a

 
 
   
 
 
 

29) .
2 2 2 2
ot os ot . os
c a c a c a c a
 

CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC
VÀO X

30) a.




4 4 6 6
3 cos sin 2 cos sin
A x x x x

    
31) b.
3 3
os sin
sin .cos
sin cos
c x x
P x x
x x

 


32) c.




8 8 6 6 4
3 sin os 4 cos 2sin 6sin
B x c x x x x
    
33) d.




2
4 4 2 2 8 8
2 cos sin sin .cos sin os

C x x a a x c x
    
34)


4 4
4 sin cos os4
D a a c a
  
35)


8 8
8 cos sin os6 7cos2
E a a c a a
   

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
1



Vấn đề 1 : Hệ Thức Lượng Cơ Bản
Kiến thức cơ bản


sin cos
tan ;cot
cos sin

a a
a a
a a
 

Hệ quả 1 :
1
tan
cot
tan .cot 1
1
cot
tan
a
a
a a
a
a




 






Hệ quả 2 :

2
2
1
1 tan
cos
a
a
 

2
2
1
1 cot
sin
a
a
 
B. TOÁN
TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA 1 CUNG
1) a.Tính sina , tana, cota biết cosa =
4
5
và
0
0 90
a 
2) b.Tính cosa, tana, cota biết
12
sin
13

a
 
và
3
2
a


 
3) c.Tính cosa, sina, cota biết
tan 2
a  
và
0
90 0
a
  

4) d.Tính sina, cosa, tana biết
cot 3
a

và
0 0
180 270
a 

TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC BẰNG SỬ DỤNG CÔNG THỨC CƠ BẢN.

5) a.tính

cot 2tan
tan 3cot
a a
E
a a



biết
3
sin
5
a

và
0 0
90 180
a 
6) b.Tính
sin 3cos
cos 2sin
a a
F
a a



biết
tan 3
a

 

7) c.Tính
2 2
2 2
2cos sin .cos sin
sin 3cos 4
a a a a
G
a a
 

 
biết
cot 2
a


8) d.Tính
2sin 3cos
sin cos
a a
B
a a



biết
tan 2
a



9) e. Tính
2 2
2 2
3 os 2sin 1
sin 3cos 5
c a a
P
a a
 

 
biết
tan 3
a
 

10) tính
2 2
2 2
3sin 12sin .cos cos
sin sin .cos 2cos
a a a a
Q
a a a a
 

 

11) a.Tính
sin .cos
a a
,
sin cos
a a

,
4 4
sin cos
a a
 biết
sin cos
a a m
 

b.Tính
2 2
tan cot
a a
 ,
3 3
tan cot
a
 biết
tan cot 5
a a
 

2 2

cos sin 1
a a
 


CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC

(NHIỀU TÁC GIẢ)

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG