Bất đẳng thức cơ bản

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668

1
Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ
www.trungtamquangminh.tk
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

2
ab
ab
+
≥
Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm: Cho a, b ≥ 0. Khi đó:
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b.
3
abc
abc

Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: Cho a, b, c ≥ 0. Khi đó:
3
+
+
≥

Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c
Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm: Cho a
1
, a
2
, …, a

n
. Khi đó:
0≥
12
12


n
n
n
aa a
aa a
n
+
++
≥

Đẳng thức xảy ra ⇔
12

n
aa a===
11 4
+≥
Hệ quả 1: Với a, b >0 thì
abab+
. Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b.
Hệ quả 2: Với a, b, c >0 thì
111 9
abc abc

++≥
. Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c.
+
+
Hệ quả 3: Cho n số thực dương a
1
, a
2
, …, a
n
. Khi đó
12
12
.
11 1

n
n
n
n
aa a
aa a
≥
+++

Đẳng thức xảy ra ⇔
12

n
aa a===

Hệ quả 4: Cho và . Khi đó . Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b.
,ab≥ 0 ,mn∈`
mn mn m n n m
ababab
++
+≥ +

MỘT SỐ KĨ THUẬT CHỨNG MINH

Kĩ thuật cơ bản :
Ví dụ 1 : Tìm GTLN của :
2
(1 )
y
x=−x ,
(0,1)x
∈

Lời giải
Do nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : ,1 0xx−>
3
2
12 1
2 (1 2 ) . .(1 2 )
327
xx x
yx x xx x
++−
⎛⎞
=−= −≤ =

⎜⎟
⎝⎠

1
54
y⇒≤

Dấu ‘=’ xảy ra
1
12
3
xxx⇔=− ⇔=

Vậy
1
27
Max y =
khi
1
3
x =

Ví dụ 2 :
Tìm GTNN của :
1
,
1
yx x
x
=+ >

−
1

Lời giải

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668

2
Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ
www.trungtamquangminh.tk
Do nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
10x −>
11
2(1). 13
11
x
xx
− +=
−−
3y⇒≥
(1)yx=−+ 1+≥


Dấu ‘=’ xảy ra
1
12
1
xx
x

⇔−= ⇔=
−
2=

Vậy khi
3=
x
Min y
Ap dụng :
Bài 1: Tìm GTLN của :
1) , 2)
(2 )yx x=− (0x∈ ,2) (1)(12)yx x
=
+−
,
1
(1, )
2
x∈−

3)
3
(2 )xx=−
x∈
y
, 4)
2
(1 )
y
xx=−

(0,1)x(0,2)
∈
,
Bài 2:
Tìm GTNN của :
1)
2
2
yx
x
=+
0x >
, 2)
2
2
2
(1) 2
1
x
x
⎛⎞
=+ + +
⎜⎟
+
⎝⎠
1x ≠−
yx
,
Ví dụ 3 : Cho .Chứng minh :
,, 0abc>

a) b)

22
42 2ab aba++≥++b
33
(1 ) (1 ) (1 ) 3 (1 )a b b c c a abc abc++ ++ +≥ +

c) 11ab ba ab−+ −≤ với
,1ab≥
Lời giải
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
2
2
22
44
44
2
aa
bb
ab a
+≥
+≥
+≥b

.

Cộng lại ta được :
22
228442ab aba++≥++b
⇒ ( đpcm )

Dấu ‘=’ xảy ra
2ab⇔==
b)
Ta có :
(1 ) (1 ) (1 ) ( ) ( )abbccaabcabbcca++ ++ +=+++ ++

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
3
222
3
3
3
a b c abc
ab bc ca a b c
++≥
++≥

Cộng lại ta được đpcm .
Dấu ‘=’ xảy ra
ab⇔==c
c)
Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668

3
Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ
www.trungtamquangminh.tk
Ta có :
1ab aa−=
22

aaba ab
b a
+−
− ≤ =

Tương tự :
1
2
−≤
2
ab
ba

Cộng lại ta đpcm .
Dấu ‘=’ xảy ra
ab⇔==
Áp dụng :
Cho .Chứng minh :
,, 0abc>

a)
1
ab
ab +
22
) 6a abc+≥
a b
ba
++≥+
b)

2222
(1 ) (1 ) (1abbcc++ ++
c)
()
d)
()()8abbcca abc+++≥
ab bc ac
abc
bca
+
+≥++

Ví dụ 4 : Cho
ab
.Chứng minh :
,, 0c>
333 2 2 2
a b c a bc b ac c ab++≥ + +

Lời giải :
Áp dụng Cauchy 6 số :
6
333 1233 2
466abc abc abc++≥ =
Tương tự :

6
333 1233 2
466bac bac bac++≥ =

6
333 1233 2
466cab cab cab++≥ =
Cộng các vế lại ta được đpcm .
Dấu ‘=’ xảy ra

abc⇔==
Ví dụ 5 : Cho thỏa . Chứng minh rằng :

, , 0abc>
1abc++=

11 11 11
1. 1 1. 1 1. 1 6
ab bc ca
−−+−−+−−≥

Lời giải :
Ta có :

2
4
11 11 22
1. 1 . . . 2
a b b c a c bc ac c
ab ab a b ab a
−− + +
−−= = ≥ =
b

Tương tự :

2
4
11
1. 1 2
a
bc b
−−≥
c


2
4
11
1. 1 2
b
ca a
−−≥
c

Cộng các vế lại ta được :
Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668

4
Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ
www.trungtamquangminh.tk

222 222
6
444
26 6
cab cab
VT
⎛⎞
⎜⎟
≥++≥ =
abc=
ab bc ac ab bc ac
⎜⎟
⎝⎠

Dấu ‘=’ xảy ra
⇔=

Ví dụ 6 :
Cho
ab
.Chứng minh :
,, 0c>
222
()()()2cab abc bca a
++≥
+++
11 1 1ab bc ca
b c
⎛⎞
++

⎜⎟
⎝⎠

Lời giải :
Ta có
()()

2
2
2
2
2
()
() ()
2
()
ab abcc
abc
ba b ba b
ab c c
bbbab
++ ++
++
=
++
=++
+

+
Áp dung bất đẳng thức Cauchy ta có :

2
ab c c+
+≥
4()bbabb+


(
)

22
3
() 2 3333
() () 4 4 4
ab
abc ab c c c a c
ba b b b ba b b b b b
+
++ +
⇒=++≥+=++
++

Tương tự :

2
()33
()4
abc b a
cb c c c
++
≥++

+
3
4


2
()33
()4
abc c b
aa c a a
++
≥++
+
3
4

Cộng các vế lại vá áp dung bất đẳng thức Cauchy ta được đpcm .
Ví dụ 7 :
Cho thỏa . Chứng minh rằng
,, 0abc>
3abc++=

222
222
111
cba
cba
++≥++
.
Lời giải :

Ta có :


222
111111
abcabbcc
++≥ ++
a

Ta chứng minh tiếp :

222 222
111
()abc abcabc
ab bc ca
++≥++⇔ ++ ≤3

Đặt
x
ab bc ca=++

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạ Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668 c Long

5
Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ
www.trungtamquangminh.tk

abDo suy ra
2

()3()bc ca abc a b c++ ≥ ++
2
9
x
abc ≤
Ta lại có : a
222 2
( ) 2( ) 9 2b c a b c ab bc ca x++=++ − ++ =−
Suy ra :
22
(3)(23)
()3(92)3 0
99
xxx
a b c x
−− +
≤ − −= ≤
222
++ −abc
Vậy ta có đpcm .
Dấu ‘=’ xảy ra

abc⇔==
Ap dụng :
Bài 1: Cho
abc
. Chứng minh :
,, 0>
33 33 33
2( )

abbcca
abc
ab bc ac
+++
++≥++

Bài 2 : Cho thỏa
abc
. Chứng minh :
1=
,, 0abc>
33 33 33
111
1
111ab bc ac
++≤
++ ++ ++

Bài 3: Cho
ab
và .Chứng minh :
1abc =
,, 0c>

33 33
111
33
ab c
cab
++ + ++

≥
33
bc a+
++

Bài 4 : Cho a, b, c >0 thỏa
abc
. Chứng minh rằng:
abc++=
33 3
1
abc
bca
+
+≥

Bài 5: Cho . Chứng minh :

,, 0abc>

2
abc
bc ac ab
++
+++
>

Bài 6 :
Cho là ba cạnh một tam giác . Chứng minh rằng :
,,abc

a)
()()()
8
abc
papbpc−−−≤
b)
3
abc
abc bca cab
+
+≥
+− +− +−

Kĩ thuật cộng thêm :
Ví dụ 8:
Cho .Chứng minh :
,, 0abc>
a)
22 2
111abc
bcaab
++≥++
c
b)
222
222 3
abcab
bc ca ab
++
++≥

++ +
c

Lời giải :
a)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
2
12a
ab
b
+≥

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668

6
Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ
www.trungtamquangminh.tk
2
12b
bc
c
+≥

2
12c
ca
a
+≥

Cộng các vế lại ta được đpcm
Dấu ‘=’ xảy ra

abc⇔==
b)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

2
2
3
abca+
29bc
+≥
+

2
2
29
bca
ca
+
+≥
+ 3
b

2
293ab
+≥
+
abc=

2cabc+

Cộng các vế lại ta được đpcm
Dấu ‘=’ xảy ra
⇔=

Lưu ý : Trong ví dụ 2 do dấu ‘=’ xảy ra
abc
⇔
==
nên muốn Cauchy để mất mẩu của
2
2
a
bc
+

thì phải chia cho 9 đễ dấu ‘=’ xảy ra .
2bc+
Áp dụng :
Bài 1 : Cho và .Chứng minh :
,, 0abc>
222
3abc++=
333
3
2
abc
bc ac ab
++≥

+++


Bài 2:
Cho thỏa . Chứng minh rằng : , , 0abc>
1abc =

()()()()()()
333
3
11 11 11
abc
bc ca ab
++
++ ++ ++4
≥

Bài 3 :
Cho .Chứng minh :
,, 0abc>
222
111bc ca ab
abcab
++ +
++≥++
c


Bài 4 :
Cho .Chứng minh :

,, 0abc>
222
11 1 1
()()()2
ab bc ca
cab abc bca a b c
⎛⎞
++≥++
⎜⎟
+++
⎝⎠


Kĩ thuật hạ bậc :
Ví dụ 9:
Cho là 3 số dương thỏa
,,abc
3ab bc ca
+
+=
. Chứng minh rằng: .
333
3abc++≥
Lời giải
Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668

7
Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ
www.trungtamquangminh.tk

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

b
33
2( ( ) 9a b ca++ =
33
13ab a++≥
33
13bc b++≥c
33
13ca ac++≥
Cộng các vế lại ta có :
3
) 3 3c +≥ab bc++
333
3abc⇒++≥
abc⇔==

Dấu ‘=’ xảy ra

Ví dụ 10: Cho
ab
và .Chứng minh :
,, 0c> 1abc =

33 33 33
1
111ab bc ac
++≤
++ ++ ++

111

Lời giải :
Ap dụng hệ quả ta có :

33
33 2 2
11
ab
ab abba
+≥
++ + +
1abc =
2 2
11
abba+ ⇒ ≤

Do nên
33 2 2
1
1
abc c
abc
ab abbaabc
≤=

+
+
++ + +
Tương tự :

33
1
1
a
b c abc
≤
++ ++


33
1
1
b
a c abc
≤
++ ++

Cộng các vế lại ta được đpcm.
Dấu ‘=’ xảy ra
1abc⇔===
Ap dụng :
Bài 1:
Cho a, b, c > 0 thỏa . Chứng minh rằng:
333
3abc++=
555
3abc
+
+≥

Bài 2 :
Cho a, b, c > 0 thỏa . Chứng minh rằng
33 33 33
3ab bc ca++=
777
3abc
+
+≥

Bài 3:
Cho thỏa . Chứng minh rằng: , , 0abc>
1abc++=
1)

111
111ab bc ca
++≥
+++
3
2
2)
2 4(1 )(1 )(1 )abc abc
+
+≥ − − −

Bài 4:
Cho thỏa . Chứng minh rằng: , , 0abc>
3ab bc ca++=
666

3abc
+
+≥

Bài 5: Cho . Chứng minh rằng: , , 0abc>
44
444
33
444
ab bc ca
abc
+++
⎛⎞⎛⎞⎛
++≥ + +
⎜⎟⎜⎟⎜
⎝⎠⎝⎠⎝
4
3
⎞
⎟
⎠

Bài 6: Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng:
111 1 1 1
333 2 2 2abbccaabcbcacab
++≥ + +
+
++ ++++++

Kỹ thuật Cauchy ngược dấu:

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668

8
Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ
www.trungtamquangminh.tk
Ví dụ 11: Cho thỏa . Chứng minh rằng : , , 0abc>
3abc++=
222
3
111
abc
bca2
+
+≥
+++

Lời giải
Ta có :

22
22
22
11
aabab
aaa
b
bb
=− ≥− =−
++

ab

Tương tự :

2
2
12
12
bb
b
c
ca
c
a
≥−
+
≥−
+
c
c

Cộng lại ta được :
()
2
ab bc ca
VT a b c
++
≥++−
(1)
Mặt khác ta có : (2)

2
3( ) ( ) 9 3ab bc ca a b c ab bc ca++ ≤++ =⇒++≤
Từ (1) và (2) ta có đpcm .
Dấu ‘=’ xảy ra
abc⇔==
Áp dụng :
Bài 1 : Cho thỏa . Chứng minh rằng :
,, 0abc>
3ab bc ca++=
333
1
12 12 12
abc
bca
++
+++
≥

Bài 2: Cho . Chứng minh rằng : , , 0abc>
333
22 22 22
2
a b c abc
abbcca
+
+
++≥
+++

Bài 3: Cho . Chứng minh rằng : , , 0abc>

333
222222
3
a b c abc
aabbbbccccaa
++
++≥
++ ++ ++


Kỹ thuật cân bằng hệ số:
Ví dụ 12:
Cho thỏa . Chứng minh rằng , 0ab>
1ab+≤
11
S5ab
ab
=
++ + ≥

Lời giải
Ta có :

11 4
abab
+≥
+

Suy ra :

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668

()
9
Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ
www.trungtamquangminh.tk


413
3
Sab ab
ab ab ab
ab
≥++ = + + +
+++
≥+ ≥+
+
2235=

1
ab⇔==
Dấu ‘=’ xảy ra
2
Ví dụ 13:
Cho ab thỏa
ab
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : , , 0c>
1bc ca++=
222

P4 4abc=++


Lời giải :
Áp dụng Cauchy ta có :


22
2ab ab+≥
()()
()
22 22 2
22 2abcabbcca
22
22
() 2.
() 2.
ac ac
bc bc
αα
αα
+≥
+≥
Suy ra :
α
ααα α α
++++≥++=


Ta chọn

α
là số dương thỏa :

2
133
8
2
αα α
−+
+=⇒=

Suy ra :

133
2
P
−+
≥

Dấu ‘=’ xảy ra
4
4
1
33
13
1
33
ab
ab
ac

bc
c
ab bc ca
α
α
=
⎧
⎧
==
⎪
⎪
=
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
=
−+
⎪⎪
=
⎪⎪
++=
⎩
⎩
3

Vậy GTNN P =
133
2
−+

4
4
1
33
13
33
ab
c
⎧
==
⎪
⎪
⇔
⎨
−+
⎪
=
⎪
⎩
3

Ap dụng :
Cho . Chứng minh : , , 0abc>
a)

22 2
4
3
ab c
ab

bc a
++ ≥+
b)
()
22 2
16 1
64
9
ab c
cab
bc ca ab
+
+≥ −−
++ +


Bài tập nâng cao:
Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668

10
Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ
www.trungtamquangminh.tk
Bài 1: Cho . Chứng minh : , , 0abc>
3
111 21
a b c abc
bca
abc
+

+
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+++≥+
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎝⎠

Bài 2: Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện:
.
111
cba
cb ++≥++a
Chứng minh rằng :

.
23
abccba
cba +
++
≥++

Bài 3: Cho thỏa . Chứng minh rằng : , , 0abc>
1abc =
a)
()()()()()()
3
11 11 11
abc

ab bc ca
++
++ ++ ++4
≥

b)
22 2
() () ()
1
22 2
abc bca cab
bb cc cc aa aa bb
++ +
++
++ +
≥

Bài 4: Cho thỏa . Chứng minh rằng: , , 0abc>
1abc++=

333
1111abcbcacab+−+ +−+ +−≤

Bài 5: Cho thỏa . Chứng minh rằng : , , 0abc>
3abc++=
abcabbcac
+
+≥++
Bài 6: Cho ab thỏa
abc

. Chứng minh rằng : , , 0c>
8=
()()

()()()()
222
33 33 33
4
3
11 11 11
abc
ab bc ca
++≥
++ ++ ++

Bài 7: Cho thỏa . Chứng minh rằng :
,, 0abc>
1ab bc ca++=
333
111
666bca
abc
++ ++ +≤
1
abc

Bài 8: Cho . Chứng minh rằng :, , 0abc>
(
)
(

)
(
)
()
3
52 52 52
333a a b b c c abc−+ −+ −+≥++

Bài 9: Cho .Chứng minh

,, 0abc>

3
()
2
abc
abc
bc ac ab
++≥++
+++