Bộ bài tập thi tuyển sinh 10 (toán hình) Rất hay

Hình Học
1. Cho Δ đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R), 1 điểm M trên

BC
. CM:
a. MB + MC = MA.
b. CM Tổng MB + MC không lớn hơn đường kính
c. Cho: MB = 20cm, MC = 50cm. Tính: MA?
2. Cho đường tròn (O) đường kính AB, vẽ 2 dây AC, BD nằm cùng phía của đường
kính AB, 2 dây này cắt nhau tại E. CM: AC.AE + BD.BE = AB
2

3. Cho Δ ABC nội tiếp đường tròn, từ M trên

BC
hạ các đường vuông góc xuống 3
cạnh tam giác. CM: Các chân đường vuông góc đó thằng hàng.
4. Cho (O), 2 dây AB và CD vuông góc tại O, vẽ dây DQ cắt OB tại M, DM = 6cm,
MQ = 2cm. Tính: diện tích (O).
5. Cho ĐT (O; 6), A cách O một khoảng là 8, kẻ cát tuyến ANM sao cho N là trung
điểm AM. Tính: MN?
6. Cho Δ ABC cân tại A có 

= 45
0
, BC = 6cm nội tiếp đường tròn (O; R). Tính: R?
7. Cho Δ cân ABC cân tại A nội tiếp (O; 4cm), 

= 45
0
. Tính: BC?

8. Cho Δ cân ABC, 

= 120
0
, AC = 6cm. Tính: độ dài đường tròn ngoại tiếp Δ cân đó.
9. Cho Δ ABC cân tại A, AB = AC = a, 

= 45
0
. Tính: BC theo a?
10. Cho Δ ABC cân AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Tính: r nội tiếp.
11. Cho Δ ABC vuông tại A, trung tuyến AM = AB. Tính: sin


12. CM: S
ΔABC
= ½ AB.AC.sin


13. Δ ABC nội tiếp (O; R). CM: S
ΔABC
=
. .
4R
AB AC BC

14. H là trực tâm Δ ABC. CM : AB.HC + BC.HA + AC.HB = 4. Tính: S
ΔABC

15. r là bán kính đường tròn nội tiếp Δ ABC. CM:

a. S
ΔABC
= ½ (AB + AC + BC).r
b. Tam giác ABC có diện tích Δ = chu vi Δ. Tính: bán kính đường tròn nội tiếp Δ.
16. Cho Δ ABC vuông tại A; D là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với cạnh BC.
CM: S
ΔABC
= DB.DC
17. CM: Bán kính R của đường tròn bàng tiếp của 

vuông thì bằng ½ chu vi.
18. D, E, F là chân 3 đường cao của Δ ABC nhọn nội tiếp trong ĐT (O; R).

CM: (DE + DF + FD).R = 2.S
ΔABC

19. Cho Δ ABC, 

= 60
0
, CM: BC
2
= AB
2
+ AC
2
– AB.AC.
20. Δ ABC có 

= 120

0
, BC = 12cm, AB = 6cm, đường phân giác 

cắt AC tại D.
Tính: BD?
21. 1 Δ có độ dài: 6, 7, 9, kẻ đường cao đến cạnh lớn nhất, Tính: độ dài của đường cao
này? Và các đoạn thẳng định trên cạnh lớn nhất.
22. Cho Δ ABC, 

= 20
0
, 

= 30
0
, AB =60cm, kẻ đường cao CP.
a. Tính: AP, BP, CP?
b. Tính: S
ΔABC

23. Cho Δ ABC cân tại A, đường cao AH = 5cm, đường cao BE = 6cm.
a. Tính: BC?
b. Tính: S
ΔABC
?
24. Δ ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, chu vi Δ ABH bằng 30cm, chu vi Δ ACH =
40cm. Tính: chu vi Δ ABC?
25. Cho Δ ABC vuông tại C, BC = a, trung tuyến CM vuông góc với trung tuyến BN.
Tính: BN theo a?
26. Cho Δ ABC vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD, AH = 24cm, HC – HB =

14cm. Tính: BD?
27. Cho Δ ABC có phân giác AD. CM: AD
2
– AB.AC – DB.DC
28. Δ ABC có 

= 90
0
, kẻ phân giác AD. CM:
1 1 2
D
AB AC A
 
29. Δ ABC có 

= 90
0
. CM: AB + AC = 2 (2R + r)
30. Δ ABC đều nội tiếp (O), M thuộc

BC
, D là giao điểm AM và BC. CM:
1 1 1
D
MB MC M
 

31. Cho Δ ABC, AB = 5, AC = 12, BC = 13. Tính: bán kính của ĐT nội tiếp, ngoại
tiếp, bàng tiếp góc 


32. Cho Δ ABC vuông tại C. Rút gọn: Q = (CosA + CosB)
2
+ (SinB – CosB)
2

33. Cho Δ ABC cân tại A, AH ┴ BC, BK ┴ AC. CM:
2 2 2
1 1 1
4A
BC H BK
 
34. Δ ABC vuông tại A, D thuộc AC sao cho DC = 2DA, vẽ ED ┴ BC tại E. CM:
2 2 2
1 1 4
9
AB AC DE
 
35. Δ ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, kẻ HE ┴ AB, HF ┴ AC. CM:

AB
3
.CF = AC
3
.BE
36. Tính: diện tích đường tròn nội tiếp Δ đều có chu vi 48π
37. Một hình nón có bán kính đáy bằng 2cm, đường sinh dài 6cm, cắt theo đường sinh
trải phẳng ra ta được hình quạt. Tính: số đo cung hình quạt.
38. Cho hình nón có bán kính đáy = R. Biết diện tích xung quanh hình nón bằng diện
tích đáy của nó. Tính: độ dài đường sinh.

39. Một hình cầu về số lượng có thể tích bằng diện tích mặt cầu. Tính: bán kính?
40. Cho đường tròn ngoại tiếp Δ đều ABC có cạnh bằng
√
3 cm. Tính: bán kính R và
chu vi của đường tròn đó.
41. Cho Δ ABC vuông tại C, sinA =


. Tính: độ dài các cạnh biết diện tích Δ ABC =
120 (đvdt).
42. Hình viên phân có số đo cung 90
0
, diện tích 2π – 4. Tính: độ dài của dây?
43. Chu vi đường tròn tăng them 10cm thì bán kính tăng them bao nhiêu? (Tường tự
chu vi tăng 4π)
44. Cho 2 ĐT đồng tâm O, dây AB của đường tròn lớn tiếp xúc với ĐT nhỏ. Diện tích
hình vành khăn 12,5π (đvdt). Độ dài AB?
45. Cho (O; 8cm) và (O’; 2cm) tiếp xúc ngoài tại A. MN là tiếp tuyến chung ngoài.
Tính: MN? S
ΔAMN

46. Cho Δ đều ABC, M, N là trung điểm AB, AC, H là giao điểm CM, BN, bán kính
đường tròn ngoại tiếp Δ HMN là 1(cm). Tính: cạnh Δ đều ABC,
47. Cho Δ ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC = a, I là trung điểm
AC, BI cắt cung nhỏ AC tại M. Tính: MC theo a?
48. Cho 2 đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B, một đường thẳng qua A
cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D. CM:
' D
R B
R BC


49. Hai đường tròn có cùng bán kính là 5cm, cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn độ
dài dây chung bằng đoạn nối tâm. Tính: độ dài dây chung.
50. Cho ½ đường tròn tâm I, đường kính AB, Trên ½ đường tròn lấy 2 điểm C và D.
Biết AC = CD = 2
√
5 và DB = 6cm. Tính: bán kính của ĐT (HK I).
51. Cho 2 ĐT (O) và (O’) cắt nhau tại A, B, lấy C nằm giữa A, B, đường thẳng OC cắt
(O’) tại E và D. Qua C kẻ Cx ┴ OD cắt (O) tại F. CM: Δ EDF là tam giác vuông.
BÀI TOÁN VỀ 3 ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC NỘI TIẾP
Cho ΔABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O;R), AB < AC. Kẻ 3 đườ
ng cao AD, BE,
CF, H là trực tâm của ΔABC.
1. Tìm 6 tứ giác nội tiếp có trong hình? Xác định tâm?
2. CM: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF.
3. CM:

OAC
=

BAD

4. CM: OC ┴ DE (Tương tự: OA ┴ EF, OB ┴ FD)
5. CM: EH.EB = AE.EC
6. Cho AD = 5cm, BD = 3cm, DC = 4cm. Tính: Diện tích ΔBHC?

AH cắt ĐT (O) tại N, AO cắt ĐT (O), BC, EF tại M, K, S
7. CM: BHCM là hình bình hành?
8. CM: BCMN là hình thang cân?
9. CM: BH.AC = AN.CK?

10. I là trung điểm BC: CM: H, I, M thẳng hàng? (Tương tự: H, M đối xứng qua I)
11. CM: AH = 2 OI
12. CM: diện tích ΔABC =
. .
4
AB AC BC
R

13. CM: ΔABC và ΔAHM có cùng trọng tâm
14. CM: 

= 


15. Nếu 

= 60
0
. CM: ΔFEI đều
16. CF cắt (O) tại J. CM: JN // FD
17. CM IE là tiếp tuyến của ĐT ngoại tiếp ΔAFE
18. CM: ΔHCN cân (Tương tự: ΔHBN cân)
19. CM: 

+ 

= 


20. CM: DB

2
+ DC
2
+ DA
2
+ DN
2
= 4R
2

21. AB.HC + BC.HA+AC.HB = 4 S
ΔABC

22. CM: (EF + FD + DE).R = 2 S
ΔABC

23. CM:
BC AC AB
SinA SinB SinC
 

24. CM: BH.BE + CH.CF = BC
2

25. CM:
1
HD DE HF
AD BE CF
  

26. CM: HD.AD ≤
2
4
BC

27. CM:
1
HD HE HF
AD BE CF
  

28. Nếu AF = AE. CM ΔABC cân
29. ΔABC phải them đk gì để ΔEFI đều?
30. CM: BFSM nội tiếp.
Lần lượt lấy trung điểm BC, EF, AH, HC là I, P, S, K
31. CM: Tứ giác FEKD nội tiếp.
32. CM: I, P, S thẳng hàng
33. CM: IP // OA
34. CM: R.AS = IO.SI (Tứ giác AOIS là hình gì?)
35. CM: EF cắt đường tròn (O) tại Q. CM: AQ
2
= AH.AD
36. CM: Phân giác 

cũng là phân giác 


37. CM: Tứ giác EFDI nội tiếp
38. G là giao điểm EF và AH. CM: GE.DF = GF.DE
39. CM: AG.HD = AD.HG

40. DF, DE cắt đường tròn (O) tại L và T. CM: LT // EF
41. DE.DF – GF.GE = GD
2

42. Qua A kẻ ĐT // EF cắt BC tại J. CM: JAOI nội tiếp.
43. CM: JA
2
= JB.JC
44. CM: DIES nội tiếp.
45. Đường kính AM cắt EF tại N. CM: IP // AH
46. HM cắt BC tại Q. CM: OQ ┴ BC
47. CM: AD + BC >


Chu vi ΔABC
Đường tròn tâm N đường kính AB, đường tròn tâm M đường kính AC. Cắ
t CF, BE
lần lượt tại P và Q. S, I là trung điểm AH, BC.
48. CM: ΔAPQ cân
49. AF.AB = AH.AD = AE.AC
50. CM: Tứ giác NSMI nội tiếp
51. K là trung điểm HB. CM: K thuộc đường tròn trên (câu 50)
52. CM: ΔAHB đồng dạng với ΔIOM
53. CM: IE ┴ SE (CM: IE là tiếp tuyến của ĐT ngoại tiếp ΔAFE)
Vẽ Bx ┴ BC, Bx cắt CA, CF tại L và G. I là trung điểm BC
54. CM: Tứ giác LGFE nội tiếp
55. CM: CE + CL + CF + CG > 4BC
56. Tính: bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔHBC (ΔHAC, AHB theo R)
57. O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔHBC. CM: BOCO’ là hình thoi
58. CM : tứ giác AOO’H là hình bình hành

59. CM: ΔABC đồng dạng với ΔHBG
60. CM: CF.HG = BH.BE
61. H’ là điểm đối xứng của H qua I. CM: H’ thuộc ĐT (O)
62. H’I cắt ĐT tại điểm P. CM: P, A, E, F, H thuộc 1 đường tròn.
63. Gọi G’ là trọng tâm ΔABC. CM: H, G’, O thẳng hàng
64. Vẽ IJ ┴ EF (J ∈ EF) CM: JE = JF
M là 1 điểm thuộc cung nhỏ BC. K và I là điểm đối xứng của M qua AB và AC
65. CM: K, I, H thẳng hàng.
66. Tìm vị trí điểm J thuộc

BC
nhỏ để BHCJ là hình bình hành.
67. Tứ giác AHCI nội tiếp
68. Tứ giác AHBK nội tiếp
DE cắt đường tròn đường kính AH tại Q, I là trung điểm BC
69. CM: FQ // BC
70. CM: AH là trung trực FQ
71. Cho 

= 60
0
. CM: AH = AO
72. P thuộc CH sao cho CP = 3 PH. So sánh S
ΔPIH
và S
ΔBHC

73. CM: Đường trung trực HE qua trung điểm AH là S
74. Cho AB = HC, N là trung điểm AB, K là trung điểm HC. CM: DNEK là hình
vuông.

75. Tính: số đo của 


Hình nón:
1. Hình nón có bán kính đáy bằng 3cm, cao 4cm. Tính: diện tích toàn phần?
2. Tính:: thể tích hình phát sinh khi quay tam giác ABC vuông tại A quanh cạnh BC,
AB = 6 cm, 

= 30
0

3. Độ dài 3 cạnh Δ là 7 cm, 24 cm, 25 cm. Nếu quay Δ một vòng quanh cạnh 25 cm.
Tính: Thể tích?
4. Hình nón có diện tích đáy 54π cm
2
. V = 180π cm
3
. Tính: chiều cao?
5. Hình nón có bán kính đáy 7cm, góc tại đỉnh tạo bởi đường cao và đường sinh của
hình nón là 30
0
. Tính: diện tích xung quanh?
6. V
nón
= 432π, chiều cao là 9. Tính: diện tích toàn phần ?
7. Độ dài đường sinh là 10cm, bán kính đường tròn đáy là 6 cm. Tính: V nón ?
8. Quay tg vuông ABC tại A quanh AC, biết BC = 4cm. 

= 30
0

. Tính: S xung
quanh hình nón ?
9. Δ ABC vuông tại A, AB = 7cm, AC = 24cm. Tính: diện tích hình nón khi quay
ΔABC quanh AC?
10. Một hình nón có thiết diện qua trục là Δ vuông cân có cạnh huyền a
√
2. Tính: diện
tích xung quanh hình nón theo a?
11. Hình nón có bán kính đáy 5cm. Diện tích xung quanh = 65π cm
2
. Tính: thể tích?
12. Hình nón có bán kính đáy là R, diện tích xung quanh = diện tích đáy. Tính: độ dài
đường sinh?
13. Hình nón có diện tích đáy 50,24cm
2
, độ dài đường sinh 25cm. Tính: diện tích xung
quanh hình nón?
Hình cầu:
1. Hình cầu có thể tích bằng 288π cm
3
. Tính: diện tích?
2. Hình cầu có diện tích mặt cầu 36π cm
2
. Tính: thể tích?
3. Cho hình cầu bán kính R = x
2
– 3x + 4 (x là số thực). Tính: x để thể tích hình cầu
đạt giá trị nhỏ nhất?
4. Cho ½ đường tròn ĐK AB = 8 cm, quay quanh AB. Tính: diện tích mặt phát sinh
do cung AB quét nên?

5. Tính: thể tích hình cầu biết hình cầu nội tiếp trong hình trụ có V = 28.26 cm
3

6. Cho mặt cầu O, bán kính R, một mặt phẳn (P) cách tâm O một khoảng ½ R cắt mặt
cầu theo đường tròn, Tính: diện tích hình tròn?
7. Cho Δ đều ABC có cạnh 10 cm, đường cao AH, quay ½ ĐT ngoại tiếp Δ ABC một
vòng quanh AH, Tính: diện tích mặt cầu tạo thành?
8. Cho Δ đều ABC đường cao AH, C
1
, C
2
là thể tích 2 hình cầu do ½ ĐT nội tiếp, ½
ngoại tiếp Δ ABC quay quanh AH. So sánh: C
2
với C
1

Hình nón cụt:
1. Một hình nón cụt có chiều cao 21cm, bán kính 2 đáy là 21cm và 1cm. Tính: diện
tích xung quanh hình nón cụt?
2. Một hình nón cụt có chiều cao 8cm, đường sinh 10cm, bán kính đáy lớn 12cm.
Tính: diện tích xung quanh?
3. Cho hình thang vuông ABCD, 

= 

= 90
0
. AD = 15cm, AB = 5cm, DC = 13cm.
Tính: diện tích xung quanh khi hình thang quay quanh AD?

4. Hình nón cụt có bán kính 2 đáy 6cm, 11cm, độ dài đường sinh 13cm. Tính: thể
tích?
5. Hình nón cụt có bán kính đáy lớn bằng 2 lần bán kính đáy nhỏ, đường sinh bằng bán
kính đáy lớn, diện tích xung quanh = 8478 cm
2
. Tính: diện tích đáy nhỏ?
Hình tròn:
1. Tính: diện tích hình tròn biết chu vi của nó bằng 10π cm.
2. Diện tích hình vành khăn tạo bởi (O; R) và (O; 6cm) bằng 45π cm
2
, nếu R > 6.
Tính: R?
3. Tính: chu vi hình quạt ở hình:
4. Tính: Diện tích viên phân bán kính đường tròn là R, góc ở tâm 30
0
, 90
0
.
5. Cho (O; R) dây AB = R
√
3. Tính: diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AB và

A B
nhỏ?
6. Cho (O; R)

A B
có độ dài



. Tính: diện tích hình quạt ứng với

A B
nhỏ?
7. Cho (O; 6cm) dây AB = R. Tính: diện tích hình viên phân ứng với

A B
nhỏ?
8. 4 lần nghịch đảo chu vi của 1 đường tròn bằng đường kính của nó, Tính: diện tích
của hình tròn?
9. Hình tròn có diện tích = 12,56cm
2
. Tính: chu vi đường tròn?
10. Tính: độ dài đường tròn ngoại tiếp Δ đều cạnh 6 cm?
11. Tính: độ dài đường tròn nội tiếp lục giác đều cạnh 4cm
12. Tính: độ dài đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh 6
√
2 cm?
13. Một đường tròn (O; R) và (O’, r) ngoại tiếp, nội tiếp Δ vuông cân. Tính: tỷ số



14. Chu vi đường tròn tăng them
√
2 cm thì bán kính tăng them bao nhiêu?
15. Tính: tỉ số chu vi đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của Δ đều? Hình vuông?
16. Cho (O; R) dây AB sao cho số đo cung lớn AB gấp đôi số đo cung nhỏ AB. Tính:
diện tích Δ AOB?
17. Bán kính đường tròn tăng them



cm. Tính: chu vi tăng thêm bao nhiêu?
Hình trụ:
1. Hình trụ có diện tích toàn phần 90π cm
2
, chiều cao 12cm. Tính: thể tích?
2. Bán kính đáy hình trụ tăng 3 lần. Tính: thể tích tăng thêm bao nhiêu?
3. HCN ABCD có AB = 4cm, BD = 5cm, quay quanh AD. Tính: diện tích toàn phần
của hình tạo thành?
4. Một HCN có diện tích 45m
2
,
chu vi 28m, quay quanh chiều dài hình chữ nhật đó tạo
thành một hình trụ. Tính: diện tích xung quanh và thể tích hình trụ đó?
5. Hình trụ có diện tích xung quanh = 108π cm
2
, bán kính đáy 9cm. Tính: thể tích?
6. Hình trụ có bán kính đáy 5cm, chiều cao 10cn. Tính: diện tích toàn phần?
7. Hình trụ có V = 423.9 cm
3
, cao 15cm. Tính: diện tích xung quanh?
8. Hình trụ có V = 602.88cm
3
, diện tích đáy 50.24cm
2
. Tính: chiều cao?
9. HCN ABCD quay quanh AB thì V = 45π cm
3
, quay quanh BC thì diện tích xung
quanh = 50π cm

2
. Tính: kích thước HCN?
10. Chiều cao hình trụ bằng bán kính đường tròn đáy, diện tích xung quanh = 314π cm
2
.
Tính: thể tích? (Cho π ≈ 3,14)
11. Tính: diện tích xung quanh hình trụ có chu vi đáy 13cm, chiều cao gấp 2 lần bán
kính đáy. Tính: diện tích toàn phần và thể tích? (Cho π ≈ 3,14)
12. Tính: diện tích xung quanh hình trụ có chu vi đáy 13cm, chiều cao gấp 2 lần bán
kính đáy.
13. Một hình trụ có chu vi đáy 6,28cm, cao 12cm. Tính: diện tích toàn phần và thể tích?
(Cho π ≈ 3,14)
14. Hình trụ có diện tích toàn phần = diện tích hình tròn có R = 4,5cm, chiều cao hình
trụ 3cm. Tính: bán kính hình trụ?
15. Một ống thủy tinh có chiều cao 200mm, đường kính ống là 40mm, nếu đổ nước lên
¾ chiều cao. Tính: thể tích nước?
16. Hình trụ có bán kính đáy 5cm, cao 7cm, cắt hình trụ bằng một mặt phẳng // với trục
và cách trục 3cm, Tính: diện tích HCN mặt cắt?
17. Hình trụ có bán kính đáy băgnf a, chiều ca 2a. Diện tích xung quanh = thể tích.
Tính: a?

TỔNG HỢP BÀI TOÁN CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
A. Tam giác: Chứng minh tứ giác nội tiếp.
1. Cho ∆ABC nhọn AB < AC. Có 3 đường cao AD, BE, CF. H là trực tâm. I là trung
điểm BC. S là trung điểm HC. CM: DIEF nội tiếp, DSEF nội tiếp.
2. Cho ∆ABC nhọn AB < AC. Có 3 đường cao AD, BE, CF. Vẽ Bx
┴
BC, Bx cắt AC,
CF lần lượt tại P và Q. CM: EFQP nội tiếp.
3. Cho ∆ABC (Xét thêm trường hợp ABC vuông tại A). Kẻ đường cao AH, HM ┴
AB. HN ┴ AC. CM: MBCN nội tiếp.
4. Cho ∆ABC nhọn đường cao AH, K, I là điểm đối xứng của H qua AB và AC; KI cắt
AB, AC lần lượt tại E và D. CM: AEHI, ADHK nội tiếp.
5. Cho ∆ABC nhọn AD, BE là 2 đường cao. H là trực tâm. Cho AB = HC, M là trung
điểm AB, N là trung điểm HC. CM: NEMD nội tiếp.
6. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), D, E là điểm chính giữa

A B
,

AC
, DE cắt AB,
AC tại K và H, BE cắt CD tại I. CM: CEHI, DKIB nội tiếp.
7. Cho ∆ABC nhọn AB < AC nội tiếp ĐT (O), 1 đường thẳng vuông góc với OA cắt
AB, AC tại E và D. CM: BCDE nội tiếp.
8. Cho ∆ABC có B

= 60

0
, kẻ phân giác AA’, CC’ cắt nhau tại I. CM BA’IC’ nội tiếp.
9. Cho ∆ABC cân tại A, H là trung điểm BC, kẻ HI ┴ AC; O là trung điểm HI, AO cắt
BI tại K. CM: BHKA nội tiếp.
10. Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp ĐT (O), lấy D thuộc

A B
nhỏ, E thuộc DB, F thuộc
DC sao cho BE = CF. CM: ADEF nội tiếp.
11. Cho ∆ABC đều nội tiếp (O). AE là đường kính. M thuộc AB, N trên đường kéo dài
AC sao cho BM = CN. CM AMEN nội tiếp.
12. Cho ∆ABC đều nội tiếp trong đường tròn (O), P thuộc

BC
, qua P kẻ các đường
thẳng song song với 3 cạnh của tam giác, cắt AB tại D, BC tại E, AC kéo dài ở F.
CM: DBPE, PECF nội tiếp.
13. Cho điểm O nằm ngoài xy, kẻ OH ┴ xy. Lấy một điểm A trên OH, kẻ đường tròn
(O, OA) trên đường tròn lấy 2 điểm B, C. Vẽ BA, CA cắt đường thẳng xy tại D, E.
CM: BCDE nội tiếp.
14. Cho ∆ABC nhọn, M là trung điểm BC, MI ┴ AB, MK ┴ AC, đường thẳng qua B ┴
BC cắt MI tại F, đường thẳng qua C vuông góc với BC cắt MK tại E. CM: AIMK,
IKEF nội tiếp.
15. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O), kẻ đường cao BD, CE cắt nhau tại H, kẻ AH cắt
đường tròn ở M, cắt ED ở I. CM: IEBM, DIMC nội tiếp.
16. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O), kẻ tiếp tuyến At, lấy M ϵ AB, kẻ đường thẳng song
song với At cắt AC tại N. CM BMNC nội tiếp.
17. Cho ∆ABC cân tại A đường cao AD, trực tâm H, I là điểm đối xứng của H qua D.
CM ABIC nội tiếp.
18. Cho ∆ABC nhọn, 3 đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. I, D, E, F là trung

điểm AH, BC, AC, AB. CM: IEDF nội tiếp.
19. Cho đường tròn (O), đường kinh AB, lấy C trên

A B
(

AC
>

CB
), dựng hình vuong
ACEF sao cho B ϵ CE, CF cắt (O) tại K, BK cắt EF tại H. CM: AKFH nội tiếp.
20. Cho ∆ABC nội tiếp (O), ACB

> 90
0
, M là một điểm trên

A B
lớn. MC cắt AB tại I;
P, Q lần lượt là trung điểm IM, IA. CM: BCQP nội tiếp.


B. Tam giác vuông:
1. Cho ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao, M, N là trung điểm AC, HC. CM:
ABNM nội tiếp.
2. Cho ∆ABC vuông tại A; AH là đường cao, I, K là trung điểm AC, BC. CM: AHKI
nội tiếp.
3. Cho ∆ABC vuông tại A. Phân giác ABC


cắt đường trung trực AC tại E. CM: ABCE
nội tiếp.
4. Cho ∆ABC vuông tại A, nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D, trên

AD
lấy
điểm E, BE kéo dài cắt AC tại F. CM: CDEF nội tiếp.
5. Cho ∆ABC vuông tại A, M là trung điểm BC, D ϵ AC sao cho DA > DC. Kẻ DS ┴
BC. Kẻ đường tròn (D; DS), kẻ tiếp tuyến BT của (D), T là tiếp điểm, AM cắt BT
tại N. CM: ATDS nội tiếp.
6. Cho ∆ABC vuông tại A (AB< AC), đường cao AH, vẽ đường tròn (H, HA) cắt AC
tại E, cắt tia đối BA tại D. CM: BECD nội tiếp.

C. Hai tiếp tuyến:
1. Từ điểm A ngoài đường tròn, kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O), gọi H là
giao điểm OA và BC, EF là một dây qua H. CM: AEOF nội tiếp.
2. Cho đường tròn (O), đường kính AB, trên tia đối AB lấy điểm C, kẻ 2 tiếp tuyến
CE, CF đến đường tròn, giao điểm AB và EF là D, kẻ cát tuyến CMN. CM: DONM
nội tiếp.
3. Từ S nằm ngoài (O), kẻ 2 tiếp tuyến SA và SB, P ϵ dây AB. Kẻ đường thẳng vuông
góc với OP tại P cắt SA, SB lần lượt tại E và D. CM: SDOE nội tiếp.
4. Cho nửa đường tròn (O, R), lấy điểm A sao cho OA = 2R, kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC
đến nửa ĐT. Lấy S ϵ

BC
kẻ tiếp tuyến thứ 3 qua S cắt AB, AC tại D, E, BC cắt OD,
OE lần lượt tại M, N. CM: MECO, NDBO nội tiếp.
5. Từ S nằm ngoài ĐT (O), kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC, M là điểm chính giữa
của


BC
, OM cắt BC tại I, AM cắt BC tại D.
a. CM: SAOI nội tiếp, xác định tâm O’
b. (O’) cắt (O) tại E, AE cắt SO tại H. CM: HOBC nội tiếp.
6. Từ điểm D ngoài ĐT (O), kẻ 2 tiếp tuyến DB, DV đến đường tròn, kẻ cát tuyến
DEF, kẻ dây BA song song EF, CA cắt EF tại J. CM: DOJC, DBOJ nội tiếp.
7. Từ điểm A ngoài ĐT (O), kẻ 2 tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SMN, I là trung điểm
MN, kẻ MH ┴ OA, MH cắt AB tại E. CM AIOB, IEMB nội tiếp.
8. Từ điểm Angoài ĐT (O), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn, lấy điểm M thuộc

BC
, kẻ MI ┴ BC, MK ┴ AB, MH ┴ AC. KI cắt BM tại P, HI cắt MC tại Q. CM:
QIPM nội tiếp.
9. Từ điểm M ngoài ĐT (O) kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn, kẻ đường kính
BC, qua O kẻ đường thẳng ┴ BC cắt AC ở D. CM: ABMD, DAOB nội tiếp.





D. Hai đường tròn:
1. Cho 2 đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A, B, tia OA cắt (O’) tại C, tia O’A cắt
(O) tại D. CM: OO’CD, OBO’C nội tiếp.
2. Cho 2 đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Các tiếp tuyến tại A của 2 đường
tròn cắt (O’) và (O) theo thứ tự tại C và D. P và Q là lượt là trung điểm AD và AC.
CM: APBQ nội tiếp.
3. Cho 2 đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Các tiếp tuyến tại A của 2 đường
tròn cắt (O’) và (O) tại D và C. E là điểm đối xứng của A qua B. CM: ACED nội
tiếp.
4. Cho 2 đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Dây AD của (O’) cắt (O) tại C nằm

trong (O’), tiếp tuyến tại C và D của 2 đường tròn cắt nhau tại E.
a. CM: BCDE nội tiếp.
b. Trường hợp A nằm giữa C và D. CM: BCDE nội tiếp.
5. Cho 2 đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A, B. tiếp tuyến chung của 2 đường tròn
về phía nữa mặt phẳng bờ O, O’ chưa B có tiếp điểm là E và F. Qua A kẻ cát tuyến
song song EF cắt (O), (O’) theo thứ tự tại C, D. I là giao điểm DF và CE. CM: IEBF
nội tiếp.
6. Cho 2 đường tròn (O) và (O') (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp tuyến
chung MN phía nửa mặt phẳng bờ O, O’ chứa B, M ϵ (O), N ϵ (O’). AB cắt MN tại
I (B nằm giữa I và A, R> R’). MB cắt NA tại P, NB cắt MA tại Q. CM: APBQ nội
tiếp.
7. Cho 2 đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại AB (O, O’ nằm 2 phía của AB, kẻ cát
tuyến chung EBF sao cho C ϵ (O), E ϵ

BC
; D, F ϵ (O’), CE cắt FD tại K. CM:
AEKF nội tiếp.

E. Đường tròn:
1. Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm chính giữa

A B
, D ϵ

BC
; AC, AD
cắt tiếp tuyến tại B của (O) ở E và F. CM: CDFE nội tiếp.
2. Cho đường tròn (O; R) I là trung điểm của dây AB, qua I kẻ 2 dây EF, CD (EF >
CD), CF cắt AB tại M, ED cắt AB tại N. kẻ dây FG//AB. CM INDG nội tiếp.
3. Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD ┴ AB (


AC
<

CB
) BC cắt DA tại E.
Từ E kẻ đường thẳng vuông góc AB cắt CA ở F. CM: CDEF nội tiếp.
4. Cho đường tròn (O), dây AB, M ϵ

A B
lớn , MH ┴ AB, HD ┴ MA ở D, HC ┴ MB.
CM: ABCD nội tiếp.
5. Cho đường tròn (O), AB, CD là 2 dây cắt nhau tại I, K là một điểm ϵ ID. Kẻ KH //
AC, H ϵ IB. CM: KHBD nội tiếp.
6. Trên nữa đường tròn đường kính AB, lấy 2 điểm E và F sao cho

A E
<

A F
, AF cắt
BE tại H, vẽ HD ┴ OA tại D. CM: DEFO nội tiếp.
7. Cho nữa đường tròn (O) đường kính BC, kẻ dây BA bất kỳ, I là điểm chính giữa của

A B
, K là giao điểm của OI và AB, từ A kẻ đường thẳng song song với IC cắt BI tại
H.
a. CM: IHAK nội tiếp.
b. Gọi Q là giao điểm HK và BC. CM: QKAC nội tiếp.
8. Điểm A nằm ngoài ĐT (O), kẻ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm), kẻ cát tuyến ACD (C

nằm giữa A và D), I là trung điểm AB, K là điểm đối xứng của A qua B. CM: IKDC
nội tiếp.
9. Cho nửa ĐT (O), đường kính BC, A nằm tron nửa đường tròn, dựng hình vuông
ABED ϵ nửa mặt phẳng bờ là AB không chứa C, gọi F là giao điểm AC và nửa
đường tròn (O), K là giao điểm CF và ED. CM: EBFK nội tiếp.
10. Lấy điểm A ϵ ĐT (O), qua trung điểm H của OA, kẻ dây BC ┴ OA, K là điểm đối
xứng của O qua A. CM: KBOC nội tiếp.
11. Cho đường tròn (O) lấy 3 cung lien tiếp đều có số đo bằng 60
0
,

AC
=

D
C
=

D B
, 2
đường thẳng AC, BD cắt nhau ở E, 2 tiếp tuyến tại B và C cắt nhau ở T. CM: CETB
nội tiếp.
12. Cho điểm M ϵ nửa (O) đường kính AB, trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M vẽ 2
tia Ax, By vuông góc với AB, ĐT (O’) qua và M cắt AB, Ax tại C, P; PM cắt By tại
Q. CM: BCMQ nội tiếp.
13. Cho nửa ĐT (O) đường kính AB, C ϵ nửa ĐT. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD
= AB. Trên AB lấy E sao cho AE = AC. DE cắt BC ở H, CM: ACHE nội tiếp.


F. Tứ giác:

1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp ĐT (O). S là điểm chính giữa của

A B
, SC, SD cắt AB
tại E và F. CM: CDFE nội tiếp.
2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp ĐT (O), S là điểm chính giữa của

A B
, CS cắt AD tại E,
DS cắt BC tại F. CM: CDEF nội tiếp.
3. Cho hình thang ABCD nội tiếp (O), AC cắt BD tại E. AD và BC cắt nhau tại F.
CM: ABOE, AOCF nội tiếp.
4. Cho hình thang cân ABCD (AB > CD), AB // CD, 2 đường chéo AC, BD cắt nhau
tại I, 

= 60
0
; E, F là trung điểm IA, ID. CM: BEFC nội tiếp.
5. Cho hình bình hành ABCD (

nhọn, AB < AC), tia phân giác 

cắt BC tại M và
DC tại N, gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MCN. CM: BKDC nội tiếp/
6. Cho hình bình hành ABCD có AB là đường kính của ĐT (O), AD là dây, kẻ DM ┴
AC. CM: BCDM nội tiếp.
7. Cho hình vuông ABCD, N ϵ CD, đường tròn ngoài tiếp ∆BNC cắt AC tại E, BE cắt
AD tại M, BN cắt AC tại F. CM: ABFM nội tiếp.
8. Cho hình thang cân, cạnh bên bằng 13cm, đấy nhỏ bằng 7cm, cao 12cm. Tính: diện
tích hình thang.

9. Cho hình thang ABCD có AB = 4cm, CD = 9cm, cạnh bên BC = 4cm, AD = 3cm.
Tính: diện tích hình thang.
10. Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD, 

= 36
0
. 

= 58
0
, AB = 4cm. Tính:
diện tích ABCD.
11. Cho hình thang cân (AB // CD). 

= 60
0
, AB = 6cm, CD = 10cm. Tính: diện tích
ABCD.
12. Cho hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn (O; 5cm). Đáy AB = 6cm, CD =
8cm.
a. Tính: chiều cao hình thang
b. Tính: diện tích hình thang biết hai đay bằng 3cm, 4cm, hai đường chéo 8cm,
15cm.