Dùng phương pháp tích phân j (j INTEGRAL) để tính toán khả năng phá hủy của một kết cấu hai vật liệu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI
KHOA CƠ KHÍ
Bộ môn Kĩ thuật máy

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:
“DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN J (J-INTEGRAL) ĐỂ TÍNH
TOÁN KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU”
Giáo viên hướng dẫn : Th.s Trần Thanh Hải
Sinh viên thực hiện : Nguyễn Xuân Tiến
Mã sinh viên : 0508884
Lớp : Cơ – Điện tử K47
HÀ NỘI – 2012
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
LỜI NÓI ĐẦU
Từ xưa tới nay, sự phá hủy của các công trình, các chi tiết máy móc luôn để lại hậu quả
to lớn về người và vật chất. Điều này càng đúng hơn trong thời buổi công nghệ khoa học và
kĩ thuật ngày càng phát triển như hiện nay. Với các công trình lớn, hay các dây truyền hiện
đại, sự phá hủy của các chi tiết sẽ gây ra hậu quả vô cùng nghiêm trọng. Chính vì lý do này,
Cơ học phá hủy là môn học ngày càng được phát triển và nghiên cứu rộng rãi. Nhiệm vụ
của nó là tìm ra các nguyên nhân gây ra sự phá hủy của vật liêu, từ đó có thể đưa ra các biện
pháp cải tiến hoặc ngăn chặn sự phá hủy xảy ra.
Hiện nay, Cơ học phá hủy là môn học ít được đề cập đến trong hệ thống giảng dạy
của các trường kỹ thuật của nước ta. Chính vì lý do này, em quyết định lựa chọn đề tài
“DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN J (J-INTEGRAL) ĐỂ TÍNH TOÁN KHẢ NĂNG
PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU” để tìm hiểu rõ hơn về cơ chế gây nên sự
phá hủy của vật liệu cũng như dự đoán được sự phát triển của các vết nứt của vật liệu
Trong đề tài cũng đề cập đến một môn học khác nữa, đó là “ Phương pháp phần tử hữu
hạn” Đây có thể nói là một phương pháp phổ biến nhất để giải các bài toán kỹ thuật. Với
phương pháp phần tử hữu hạn, việc tính toán các bài toán cơ học như: phân tích trạng thái
ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thủy,

khung nhà cao tầng, dầm cầu, những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền
nhiệt, cơ học chất lỏng, thủy đàn hồi, khí đàn hồi, điện từ trường trở nên dễ dàng hơn.
Dựa trên nền tảng của phương pháp phần tử hữu hạnkết hợp với sự phát triển mạnh mẽ của
ngành công nghệ phần mềm đã tạo ra các phần mềm CAE tích hợp vào hệ thống máy tính
khiến cho việc giải các bài toán kỹ thuật trở nên đơn giản hơn rất nhiều lần.
Qua quá trình hoàn thành đề tài đồ án tốt nghiệp này, bản thân em nhận thấy thu được
rất nhiều thức về cơ học phá hủy, cũng như quá trình cơ bản để giải một bài toán cơ học.
Đồng thời qua đồ án này, em cũng được tìm hiểu sâu hơn về phần mêm Ansys – Một phần
mềm CAE tương đối phổ biến ở nước ta cũng như trên thế giới
Sau một quá trình nghiên cứu tìm hiểu, với sự cố gắng của bản thân cùng với sự chỉ bảo,
hướng dẫn tận tình của thầy giáo Th.s Trần Thanh Hải, em đã hoàn thành đề tài này. Trong
quá trình hoàn thành, do kiến thức bản thân còn hạn hẹp nên đề tài vẫn còn tồn tại nhiều
thiếu sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các thầy, cô và các bạn để đề tài
được hoàn thiện hơn.
GVHD: Th.S Trần Thanh Hải Trang 2
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2012
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Xuân Tiến
Lớp Cơ – Điện Tử K47 ĐHGTVT
TÓM TẮT ĐỒ ÁN
Tên đề tài: “DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN J (J-INTEGRAL) ĐỂ TÍNH TOÁN
KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU”
Nội dung đề tài:
- Tìm hiểu về cơ học phá hủy
- Nghiên cứu về phương pháp PTHH
GVHD: Th.S Trần Thanh Hải Trang 3
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
- Tìm hiểu về phần mềm Ansys
- Ứng dụng phần mềm Ansys để giải bài toán tính tỉ lệ giải phóng năng lượng của vết nứt

của một kết cấu hai vật liệu (Bi-material)
Đề tài được bố cục như sau:
Chương 1: Tổng quan về cơ học phá hủy: Giới thiệu các vấn đề cơ bản nhất về cơ học phá
hủy ( Fracture Mechanics). Đưa ra các nguyên nhân gây ra phá hủy, cũng như các nhân tố
ảnh hưởng đến sự phá hủy của vật liệu.
Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn: Giới thiệu các nội dung cơ bản về phương
pháp phần tử hữu hạn (PTHH), cơ sở lý thuyết của phương pháp PTHH và một số phương
trình đặc trưng của phương pháp PTHH
Chương 3: Tổng quan về phần mềm ansys: Giới thiệu về phần mềm Ansys, ứng dụng của
ansys trong việc giải các bài toán kỹ thuật.
Chương 4: Tính toán khả năng phá hủy của một kết cấu hai vật liệu (Bi-material):Giới
thiệu các phương pháp tính toán tỉ lệ giải phóng năng lượng khi hình thành vết nứt và ứng
suất tại vùng gần đỉnh vết nứt. Tính toán tỉ lệ giải phóng năng lượng vết nứt của một kết cấu
hai vật liệu bằng phương pháp J-Integral thông qua phần mềm ansys
GVHD: Th.S Trần Thanh Hải Trang 4
MỤC LỤC
DANH SÁCH HÌNH VẼ
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC PHÁ HỦY
1. Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics)
1.1 Khái niệm về cơ học phá hủy
Phá huỷ là vấn đề mà xã hội phải đối mặt kể từ khi con người bắt đầu xây dựng những
kiến trúc.Ngày nay vấn đề này thực sự trở nên quan trọng hơn nhiều bởi sự ảnh hưởng của
phá hủy là rất lớn do sự phụ thuộc của con người ngày càng nhiều vào khoa học kĩ thuật và
máy móc
May mắn thay,sự tiến bộ trong lĩnh vực cơ học phá huỷ đã và đang giúp chúng ta giảm
thiểu đáng kể các nguy hiểm tiềm ẩn gây ra bởi sự phá hủy của các kết cấu trong các công
trình, máy móc…Nhiệm vụ của môn Cơ học phá hủy là tìm ra nguyên nhân tại sao vật liệu
bị phá huỷ và khả năng ngăn chặn,bảo vệ được sự phá huỷ của các kết cấu đó.
Cơ học phá hủy là một lĩnh vực của cơ học nói chung, chuyên nghiên cứu sự hình thành
của vết nứt trên vật liệu của kết cấu cơ học. Cơ học phá hủy là một lĩnh vực đóng vai trò

quan trọng trong việc cải thiện hiệu suất của vật liệu và các thành phần cơ học của kết cấu.
Cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) là môn khoa học chuyên nghiên cứu về độ bền
tuổi thọ của vật liệu, chi tiết máy hoặc cấu kiện khi có các vết nứt. Cho phép định lượng
mối quan hệ giữa tính chất vật liệu, ứng suất, sự hiện diện của các vết nứt có thể gây phá
hủy kết cấu và cơ chế lan truyền các vết nứt. Nó sử dụng các phương pháp phân tích cơ học
vật rắn để tính toán động lực trên một vết nứt và những thử nghiệm của cơ học vật rắn để
mô tả đặc điểm chống lại phá hủy kết cấu
[1]
Hầu hết các thành phần kỹ thuật và các kết cấu cơ học chứa khuyết tật hình học như các
liên kết bằng ren, khe hở của chi tiết trục, răng của bánh răng…Kích thước và hình dạng của
chúng đóng vai trò quan trọng bởi vì chúng xác định độ bền của cấu trúc vật liệu. Thông
thường, độ bền của các thành phần hoặc cấu trúc có chứa các khuyết tật bị ảnh hưởng bởi
hai yếu tố: ứng suất và độ bền uốn. Tuy nhiên, cách tiếp cận này thường sẽ cho kết quả
không chính xác nếu khuyết tật có đặc trưng hình học lớn. Để giải thích điểm này, chúng ta
hãy xem xét các trường hợp sau (hình1.1):
Hình 1.1 – Các mẫu thử có và không có vết nứt
Tất cả các mẫu có cùng độ dày. Các lực cần thiết để phá vỡ bốn mẫu được sắp xếp theo
thứ tự sau: F4 < F3 < F1 < F2
Rõ ràng, các kích thước của các khuyết tật ở các mẫu C và D ảnh hưởng lớn đến độ bền
của mẫu, làm giảm độ bền của mẫu.
So với phương pháp tiếp cận sức bền vật liệu, phương pháp cơ học phá hủy (Fracture
mechanics) bị ảnh hưởng bởi ba yếu tố: ứng suất, kích thước phá hủy và độ bền phá hủy.
Trong phương pháp tiếp cận này, độ bền phá hủy thay thế độ bền uốn phù hợp tính chất vật
liệu. nhiệm vụ của cơ học phá hủy là phải xác định giới hạn của ba yếu tố trên.
Hình 1.2 – So sánh cơ học phá hủy và sức bền vật liệu
1.2 Phân loại cơ học phá hủy
Đối với vật liệu không thay đổi theo thời gian, Fracture Mechanics có thể được chia
thành cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính (Linear Elastic Fracture Mechanics)
(LEFM) và cơ học phá hủy đàn hồi dẻo (Elasto Plastic Fracture Mechanics (EPFM).
LEFM được áp dụng để tính toán cho các vật liệu có tính đàn hồi không biến dạng (đàn hồi

tuyến tính), chúng bị phá hủy khi chưa xảy ra biến dạng hoặc biến dạng còn nhỏ, với các vật
liệu như: thép cường độ đàn hồi cao, thủy tinh, đá, bê tông LEFM cho kết quả tính toán có
độ chính xác khá cao. Tuy nhiên, đối với vật liệu dễ uốn như thép carbon thấp, thép không
gỉ, hợp kim nhôm, polyme, vv, tính dẻo luôn xảy ra trước phá hủy. Tuy nhiên, khi tải trọng
nhỏ, LEFM vẫn cho kết quả gần đúng. EPFM được áp dụng cho để tính toán cho các kết cấu
có vật liệu có tính chất đàn hồi-dẻo. EPFM là trường hợp mà khi xuất hiện vết nứt, vật liệu
đã có sự biến dạng (chảy dẻo).
Dựa theo tính chất của vật liệu của kết cấu Cơ học phá hủy được chia thành các dạng
sau:
−
Vật liệu có tính chất độc lập tuyến tính theo thời gian (Linear time – independent
materials) : Cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính
−
Vật liệu có tính chất độc lập phi tuyến theo thời gian (Nonlinear time – independent
materials) : Cơ học phá hủy đàn hồi phi tuyến
−
Vật liệu có tính chất thay đổi theo thời gian (Time – dependent materials) : Động lực
học cơ học phá hủy, cơ học phá hủy nhớt đàn hồi, cơ học phá hủy nhớt dẻo
1.3 Nguyên nhân gây ra phá hủy
 Độ bền của tổ chức vết nứt
Hình 1.3 – Biểu đồ ứng suất – chuyển vị trong thí nghiệm kéo đứt mẫu thử kim loại
Phá hủy ở vật liệu thường được chia làm hai dạng:
−
Phá hủy giòn (Brittle): Vật liệu bị phá hủy khi biến dạng còn rất nhỏ.
−
Phá hủy dẻo (Ductile): Vật liệu bị phá hủy khi có biến dạng lớn và có sự chảy dẻo.
Đối với một số loại vật liệu như kim loại, bên trong có tồn tại những lỗ hổng vi mô. Khi
vật liệu bị biến dạng do gia tải, những lỗ trống này sẽ phát triển và đến một lúc nào đó
chúng sẽ giao nhau và tạo thành vết nứt gây phá hủy vật liệu.
Hình 1.4 – Quá trình hình thành vết nứt

 Các thông số vật lý và cấu trúc vi mô làm biến đổi độ bền của vật liệu:
−
Sự nứt do chẻ thớ (Cleavage fracture): là hiện tượng phân tách vật liệu xảy ra do sự
phá vỡ các liên kết nguyên tử dọc theo những bề mặt tinh thể nhất định. Sự nứt xảy ra
tại những bề mặt mà sự liên kết nguyên tử tại đó yếu và khoảng cách giữa các mặt lớn.
Dạng nứt này có thể xảy ra ở tinh thể lập phương tâm khối như sắt hay thép carbon
thấp. Đối với vật liệu đa tinh thể, vết nứt sẽ chuyển hướng khi nó gặp biên của tinh thể
khác. Mặt phẳng nứt tại mỗi tinh thể có sự phản chiếu cao. Khi quan sát toàn bộ mặt
vết nứt sẽ thấy những vùng lấp lánh
Hình 1.5 –Sự nứt do chẻ thớ trong vật liệu
−
Sự nứt giữa các hạt (Intergranular fracture: Sự rạn nứt xảy ra dọc theo biên tinh thể.
Do hiện tượng phân tách của những tinh thể giòn và sự kết tủa tại những biên của tinh
thể dẫn đến sự liên kết yếu tại biên giữa các tinh thể.
Hình 1.6 – Sự nứt giữa các hạt
Sự nứt giữa các hạt được chia làm hai loại:
+ Sự phân tách tại biên tinh thể kèm theo sự xuất hiện của những lỗ trống. Hiện tượng
này xảy ra trong suốt quá trình phá hủy của một số loại thép hay hợp kim nhôm
Hình 1.7 – Sự nứt giữa các hạt có sự xuất hiện của các lỗ trống
+ Sự phân tách không có lỗ trống xuất hiện trong suốt quá trình phá hủy của thép
hóa giòn ở nhiệt độ cao hay vật liệu khó nóng chảy như tungsten hay phá hủy rão.
Hình 1.8 – Sự nứt giữa các hạt có sự xuất hiện của các lỗ trống
2. Các chế độ phá hủy (Fracture modes)
Trong kỹ thuật ta thường gặp ba chế độ phá hủy cơ bản
Hình 1.9 – Chế độ phá hủy cơ bản
− Dạng mở rộng (mode I) các bề mặt phá hủy bị tách theo phương Y
− Dạng trượt (mode II) các bề mặt trượt lên nhau theo phương X.
− Dạng trượt xoay (mode III) các bề mặt trượt lên nhau và xé ra theo phương Z.
Ngoài ra còn có các dạng phá hủy khác là các biến thể của 3 chế độ trên. Trong đó chế
độ I là loại phổ biến nhất thường gặp trong hư hỏng kỹ thuật.

3. Ứng suất tập trung tại đỉnh vết nứt, hệ số cường độ ứng suất.
3.1 Bài toán Westergaard
Khi vết nứt xuất hiện, tại vùng gần đỉnh của vết nứt có xuất hiện ứng suất tập trung, để
biểu thị cho mức độ tập trung của ứng suất tại vùng gần đỉnh của vết nứt người ta dùng hệ
số K được gọi là hệ số cường độ ứng suất
Xét bài toán khe nứt elip trong tấm phẳng có kích thước lớn vô hạn (Westergaard)
Hình 1.10 – Bài toán Westergaard
3
cos 1 sin sin ( )
2 2 2 2
yy
a
MPa
r
θ θ θ
σ σ
 
= +
 ÷
 
(1.1)
3
cos 1 sin sin ( )
2 2 2 2
xx
a
MPa
r
θ θ θ
σ σ

 
= −
 ÷
 
(1.2)
3
sin cos cos ( )
2 2 2 2
xy
a
MPa
r
θ θ θ
τ σ
=
(1.3)
3.2 Hệ số cường độ ứng suất K (Stress intensity factor)
Hệ số cường độ ứng suất là đại lượng đặc trưng cho mức độ tập trung ứng suất tại vùng
gần đỉnh vết nứt và được xác định bằng công thức sau:
0, 0
lim 2 ( )
yy
x
I
II
III
y
r
yz
K

K
K
r MPa m
θ
σ
π τ
τ
→ =
 
 
   
=
   
   
 
 
(1.4)
Với là các ứng suấtgần đỉnh vếtnứt, tương ứng với 3 dạng phá hủy ta sé cố các hệ số
cường độ ứng suất K
I
, K
II
, K
III
Kết hợp (1.1) và (1.4) với ta có:
2 2
2
I yy
a
K r r a

r
σ π σ π σ π
= = =
(1.5)
Kết quả (1.5) chỉ đúng trong trường hợp tấm phẳng vô hạn, đới với trường hợp tấm
phẳng hữu hạn với các mô hình nứt khác nhau thì :
I
K a
ασ π
=
(1.6)
Với là hàm phụ thuộc vào các dạng mô hình nứt khác nhau.
3.3 Trường ứng suất và chuyển vị tại gần đỉnh vết nứt
 Chế độ phá hủy I :
Trường ứng suất:
3
cos 1 sin sin ( )
2 2 2
2
I
xx
K
MPa
r
θ θ θ
σ
π
 
= −
 ÷

 
(1.7)
3
cos 1 sin sin ( )
2 2 2
2
I
yy
K
MPa
r
θ θ θ
σ
π
 
= +
 ÷
 
(1.8)
3
sin cos cos ( )
2 2 2
2
I
xy
K
MPa
r
θ θ θ
τ

π
=
(1.9)
Trường chuyển vị:
2
cos 1 2sin (
2 2
)
2 2
I
x
K r
mu
θ θ
κ
µ π
 
= − +
 
 
(1.10)
2
sin 1 2cos ( )
2 2 2 2
I
y
K r
u k m
θ θ
µ π

 
= − +
 
 
(1.11)
 Chế độ phá hủy II :
Trường ứng suất:
3
cos 1 sin sin ( )
2 2 2
2
II
xx
K
MPa
r
θ θ θ
σ
π
 
= −
 ÷
 
(1.12)
3
cos 1 sin sin ( )
2 2 2
2
II
yy

K
MPa
r
θ θ θ
σ
π
 
= +
 ÷
 
(1.13)
3
sin cos cos ( )
2 2 2
2
II
xy
K
MPa
r
θ θ θ
τ
π
=
(1.14)
Trường chuyển vị:
2
cos 1 2sin ( )
2 2 2 2
II

x
K r
u k m
θ θ
µ π
 
= − +
 
 
(1.15)
2
sin 1 2cos ( )
2 2 2 2
II
y
K r
u k m
θ θ
µ π
 
= − +
 
 
(1.16)
Đối với phá hủy dạng I và II:
•
σ
zz
Trong trường hợp ứng suất phẳng
•

( )
zz xx yy
v
σ σ σ
= +
Trong trường hợp biến dạng phẳng.
•
µ
là modun đàn hồi trượt.
•
3
1
v
k
v
−
=
+
trong trường hợp ứng suất phẳng.
•
3 4k v= −
trong trường hợp biến dạng phẳng.
• Với
v
là hệ số Poisson.
 Chế độ phá hủy III :
• Trường ứng suất :
•
sin ( )
2

2
III
xz
K
MPa
r
θ
σ
π
=
(1.17)
•
cos ( )
2
2
III
yz
K
MPa
r
θ
σ
π
=
(1.18)
•
0 ( )
xx yy zz xy
MPa
σ σ σ τ

= = = =
(1.19)
• Trường chuyển vị:
•
I
sin ( )
2 2 2
II
z
K r
u m
θ
µ π
=
(1.20)
•
0
x y
u u= =
(1.21)
• Ngoài ra, trường ứng suất và trường chuyển vị còn được biểu diễn dưới dạng tọa độ
cực. Với mô hình nứt dạng hỗn hợp ta áp dụng nguyên lý chồng chập tuyến tính trong hệ
tọa độ vuông góc hay hệ tọa độ cực để tính.
3.4 Sự phụ thuộc của hệ số cường độ ứng suất vào cấu trúc của vết nứt và phụ tải.
• Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục
•
• Hình 1.11 - Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục
•
•
( )

I
K a MPa m
ασ π
=
(1.22)
•
2 3 4
1,12 0,23 10,55 21,71 30.38
a a a a
W W W W
α
       
= − + − +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
(1.23)
• Tấm phẳng với hai vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục
•
• Hình 1.12 - Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục
•
( )
I
K a MPa m
ασ π
=
(1.24)
•
2 3
1,12 0,41 4,78 15,44
a a a

W W W
α
     
= + − −
 ÷  ÷  ÷
     
(1.25)
•
• Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục
•
• Hình 1.13 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục
•
( )
I
K a MPa m
ασ π
=
(1.26)
•
2 4 6
1 0,5 20,46 81,72
a a a
W W W
α
     
= + + +
 ÷  ÷  ÷
     
(1.27)
• Tấm phẳng với vết nứt nghiêng, bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục

•
• Hình 1.14 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục
•
2
(90 ) ( )
I
K a sin MPa m
ασ π α
= −
(1.28)
•
(90 ) (90 ) ( )
II
K a sin cos MPa m
ασ π α α
= − −
(1.29)
•
2 4 6
1 0,5 20,46 81,72
a a a
W W W
α
     
= + + +
 ÷  ÷  ÷
     
(1.30)
• Tấm phẳng với vết nứt biên chịu tải tập trung ở giữa và hai gối tựa
•

• Hình 1.15 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục
•
( )
I
P
K MPa m
B W
α
=
(1.31)
•
2
3/2
2
3
1,99 (1 ) 2,15 3,93 2,7( )
2 1 2 1
H a
a a a a
W W
W W W W
a a
W W
α
 
 ÷
 
 
 
= − − − +

 
 
 
  
 
+ −
 ÷ ÷
  
(1.32)
• Với B là chiều dày của tấm
3.5 Tiêu chuẩn phá hủy thứ nhất
• Theo lý thuyết cơ bản về tuyến tính, ứng suất tại đỉnh của vết nứt là vô cùng nhưng
trong thực tế, luôn có vùng chảy dẻo tại đỉnh của vêt nứt ở đó giới hạn một ứng suất có giá
trị hữu hạn. Rất khó khăn để mô hình và tính toán ứng suất thực tế trong vùng chảy dẻo và
so sánh chúng với giá trị ứng suất cho phép lớn nhất của vật liệu để xác định liệu rằng một
vêt nứt có phát triển hay không.
• Một kỹ thuật tiếp cận là thực hiện một loạt các thí nghiệm đê tìm ra một giá trị hệ số
cường độ ứng suất K
C
(K
C
là một đặc tính của vật liệu đặc trưng cho sự chống lại sự phá hủy
của vật liệu) tương ứng với mỗi vật liệu. K
C
được gọi là độ bền phá hủy của vật liệu. Một
vật được xác định khả năng nứt bằng cách so sánh K
i
với K
iC
tương ứng (i=I,II,III). Sự phá

hủy xảy ra khi K
i
K
iC.
4. Năng lượng cân bằng trong vết nứt, Tỉ lệ năng lượng giải phóng
4.1 Cân bằng năng lượng trong vết nứt
• Sự thay đổi khi một vật thể vết xuất hiện vết nứt là sự suất hiện thêm các bề mặt.
Khối nứt tạo ra các bề mặt mới (vết nứt) sẽ tiêu thụ năng lượng từ các bề mặt mang năng
lượng cao hơn năng lượng của chi tiết và giải phóng ra năng lượng. Sau đó quá trình nứt có
tiếp tục diễn ra hay không còn phụ thuộc vào việc nó có chứa đủ năng lượng để tạo thêm
các bề mặt trong khi vẫn duy trì sự cân bằng của nó. Nói cách khác quá trình nứt diễn ra khi
xảy ra sự mất cân bằng năng lượng giữa các bề mặt với năng lượng của bản thân kết cấu, chi
tiết.
• Theo định luật bảo toàn năng lượng: Công thực hiện trong một đơn vị thời gian do
tác dụng của tải trọng (
.
W
) phải bằng tổng tỷ lệ của biến đổi nội năng đàn hồi (internal
elastic energy) (), năng lượng biến dạng dẻo (), động năng (kinetic energy) () của vết nứt, và
năng lượng cần thiết để tăng vết nứt cho một đơn vị thời gian (). Nói cách khác
[1]
:
•
. . . . .
( / )
E P
W U U J sK= + + + Γ
(1.33)
• Nếu quá trình nứt xảy ra chậm, động năng K là không đáng kể (
.

0K =
). Hơn nữa, vì
tất cả thay đổi đều liên quan đến thời gian được gây ra bởi những thay đổi kích thước các
vết nứt, chúng ta có:
•
A
A
t A t A
∂ ∂ ∂ ∂
= =
∂ ∂ ∂ ∂
&
(1.34)
• với A là diện tích vết nứt. Do vậy phương trình (1.33) có thể được viết lại như
sau:
•
P
U
A A A
∂∂Π ∂Γ
− = +
∂ ∂ ∂
(1.35)
• Ở đây,
E
U W
Π = −
là thế năng của hệ.
• Phương trình (1.35) cho thấy việc giảm thế năng bằng với năng lượng tiêu tan trong
kết cấu dẻo và tạo ra bề mặt.

4.2 Lý thuyết Griffith
• Theo định luật nhiệt động lực học đầu tiên, khi một hệ chuyển từ trạng thái không
cân bằng sang trạng thái cân bằng sẽ có sự suy giảm năng lượng. Griffith áp dụng ý tưởng
này để giải thích sự hình thành vết nứt. Một vết nứt có thể hình thành nếu có một quá trình
nào đó làm cho tổng năng lượng suy giảm hoặc còn lại một giá trị hằng số. Do đó điều kiện
cần thiết để định nghĩa một khe nứt tồn tại dưới điều kiện cân bằng là không có sự thay đổi
trong tổng năng lượng
• Xét một tấm phẳng chịu ứng suất đều và có một khe nứt chiều dài 2a. Giả thiết rằng
chiều rộng của tấm phẳng rất lớn so với chiều dài 2a của khe nứt và điều kiện ở đây là ứng
suất phẳng.
•
• Hình 1.16 – Khe nứt của tấm phẳng chịu ứng suất đều
• Để khe nứt có thể tăng trưởng kích thước thì thế năng có trong tấm phẳng phải vượt
qua năng lượng bề mặt của vật liệu. Thuyết cân bằng năng lượng của Griffith cho sự tăng
trưởng của vùng nứt dưới điều kiện cân bằng được biểu diễn như sau:
•
Π
0
s
WE
A A A
∂∂ ∂
= + =
∂ ∂ ∂
(1.36)
• Hay:
Π
s
dW
A dA

∂
− =
∂
(1.37)
• Trong đó A là diện tích mặt nứt, E là tổng năng lượng, П là thế năng được
cung cấp bởi nội năng biến dạng và ngoại lực, và W
s
là công cần thiết tạo ra
bề mặt mới.
• Đối với tấm phẳng nứt trong hình trên, Griffith sử dụng phương pháp phân tích ứng
suất của Inglish để chỉ ra
•
2 2
0
Π Π ( )
a B
J
E
πσ
= −
(1.38)
• Với П
0
là thế năng của tấm phẳng khi chưa nứtvà B là độ dày tấm phẳng. Do
sự hình thành khe nứt đòi hỏi sự tạo thành của hai mặt phẳng nên W
s
được cho
bởi:
•
4 ( )

s s
W aB J
γ
=
(1.39)
• Với γS là năng lượng bề mặt của vật liệu.
• Ta có:
•
2
Π Π a 2 1
2
2
d d aB
A aB
A da dA E B
πσ
∂
= ⇒ − = − = −
∂
(1.40)
•
2
Π a
A E
πσ
∂
⇒ − =
∂
(1.41)
• Và ta cũng có:

4
2
2
s s s
s
W aB da W
A Bda A
γ
γ
∂ ∂
= ⇒ =
∂ ∂
(1.42)
• Từ (1.41) và (1.42) ta tìm được ứng suất gây nứt :
•
1/2
2
( ) ( )
s
f
E
MPa
a
γ
σ
π
=
(1.43)
• Phương pháp Griffith cũng có thể dùng để áp dụng tính toán cho các mô hình nứt
khác.

4.3 Tỷ lệ giải phóng năng lượng G
• Đối với các vật liệu đàn hồi tuyến tính – Linear elastic materials (vật liệu giòn lý
tưởng), năng lượng tiêu tan trong biến dạng dẻo là không đáng kể và có thể được bỏ qua
( =0). Do vậy, năng lượng để mở rộng một đơn vị của bề mặt vết nứt G có thể được xác
định:
[1]
•
2
( / )G
A A
J m
∂Π ∂Γ
= − =
∂ ∂
(1.44)
• Phương trình trạng thái cân bằng ở trên chính là thế năng trong vật thể cần phải thắng
năng lượng bề mặt của vật liệu (năng lượng cần thiết để vết nứt lớn thêm ra). G còn được
gọi là tỷ lệ giải phóng năng lượng đàn hồi hay độ cứng chống phá hủy.
• Theo công thức (1.41) tỷ lệ giải phóng năng lượng trong mô hình nứt trên là:
•
2
2
( / )
a
G J m
E
πσ
⇒ =
(1.45)
• Theo lý thuyết đàn hồi tuyến tính, với một vật thể có tải trọng không đổi luôn tuân

theo quy luật (theo định lý Clapeyron):
•
2 ( )
E
W U J=
(1.46)
• kết hợp với (1.33) (
.
0K =
), do đó phương trình (1.44) có thể được viết lại như sau:
•
2
( / )
E
U
G
A
J m
∂
=
∂
(1.47)
• Ý nghĩa vật lý đầy đủ của tỷ lệ giải phóng năng lương G là nó biểu thị năng lượng
trên một đơn vị diện tích sẽ được giải phóng nếu vết nứt phát triển. Lưu ý rằng phương trình
chỉ đúng khi vật thể nứt là đàn hồi tuyến tính. Nếu vật thể đàn hồi phi tuyến hoặc có tính
dẻo đáng kể, phương trình không còn giá trị
4.4 Tiêu chuẩn phá hủy thứ hai
• Vết nứt sẽ phát triển khi G tiến đến hoặc vượt một giá trị cực đại G
c
:

•
2
( / )
c
Ws
G J m
A
∂
=
∂
(1.48)
• G
c
được gọi là độ bền phá hủy của vật liệu theo tiêu chuẩn năng lượng .
4.5 Mối quan hệ giữa K và G
−
Với mô hình phá hủy dạng I và II
•
2
'
I
I
K
G
E
=
(1.49)
•
2
'

II
II
K
G
E
=
(1.50)
•
='E E
trong trường hợp ứng suất phẳng.
•
'
2
1
E
E
v
=
−
trong trường hợp biến dạng phẳng.
−
Với mô hình phá hủy dạng III
•
2
(1 )
III
III
v K
G
E

+
=
(1.51)
• Hay viết dưới dạng tổng quát
•
2 2 2
' '
(1 )
I II III
I II III
K K v K
G G G G
E E E
+
= + + + +
(1.52)
5. Tích phân J (J-Integral) – Tỷ lệ năng lượng giải phóng phi tuyến
5.1 Định nghĩa
• Như ta đã biết, hai phương pháp tiếp cận trên chỉ cho kết quả chính xác đối với các
trường hợp vật thể nứt là đàn hồi tuyến tính hoặc sự chảy dẻo xảy ra trong giới hạn nhỏ. Khi
đó các hệ số K và G mới có thể mô tả trạng thái ứng suất của vùng gần đỉnh vết nứt. Tuy
nhiên với các vật liệu có độ bền cao mà vùng chảy dẻo tại đỉnh vết nứt lớn thì khi đó các hệ
số K và G không còn chính xác trong việc mô tả sự ứng xử đàn dẻo của loại vật liệu này.
• Để xác định được đại lượng năng lượng sao cho mô tả chính xác ứng xử đàn dẻo của
vật liệu có độ bền cao, người ta đưa ra một cách tiếp cận khác đó là tích phân J (J-Integral).
Tích phân J là một loại tích phân đường được James Rice nghiên cứu và phát triển do sự
khó khăn trong việc tính toán ứng suất đối với các vết nứt kín trong vật liệu đàn hồi phi
tuyến (nonlinear elastic) hay vật liệu đàn hồi dẻo (elastic plastic)
• Xét mô hình với vêt nứt bị bao quanh bởi biên dạng tùy ý có chiều ngược chiều kim
đồng hồ. Tích phân J được xác định như sau :

[8]
•
2
Γ
Γ ( / )
i
i
u
J wdy T d J m
x
∂
 
= −
 ÷
∂
 
∫
(1.53)
• Với :
w
– mật độ năng lượng biến dạng
•
i
T
– thành phần vector lực tác dụng đều
•
i
u
– thành phần vector chuyển vị
•

d
Γ
– phần tử vi phân dọc theo biên
•
• Hình 1.17 – Tích phân J
−
Trong đó mật độ năng lượng được định nghĩa như sau:
•
•
0
ij
ij ij
w d
ε
σ ε
=
∫
(1.54)
• ở đây,

ij
σ
và
ij
ε
là các tensor ứng suất và biến dạng.
−
Các thành phần vector lực tác dụng đều được tính như sau
•
.

i ij j
T n
σ
=
(1.55)
• Với là các thành phần vector pháp tuyến của biên dạng
5.2 Tỷ lệ năng lượng giải phóng phi tuyến.
[8]
• Xét một vết nứt hai chiều được bao quanh bởi biên Г. Bên trong là vùng diện tích
Ω.Bỏ qua sự tác dụng của lực thể tích, thế năng được cho bởi công thức sau:
•
Ω Γ
Π Γ
i i
wdy Tu d= −
∫ ∫
(1.56)
•
• Hình 1.18 - vết nứt hai chiều được bao quanh bởi biên Г
• Khi vết nứt phát triển, sự thay đổi của thế năng như sau :
•
Ω Γ
dΠ
Ω Γ
i i
i i
du dTdw
d T u d
da da da da
 

= − +
 ÷
 
∫ ∫
(1.57)
•
Ω Γ Γ
dΠ
Ω Γ Γ
u T
i i i i
i i i i
du dT du dTdw
d T u d T u d
da da da da da da
   
⇒ = − + − +
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫
(1.58)
• Do
0
i
du
da
=
trên miền chuyển vị bị ràng buộc
0
i

u =
và
0
i
dT
da
=
trên miền chịu tác
dụng của áp lực nên công thức (1.58) được viết lại như sau :
•
Ω Γ
dΠ
Ω Γ
T
i
i
dudw
d T d
da da da
⇒ = −
∫ ∫
(1.59)