150 bai tap hinh hoc hay va kho

VÕ QUANG MẪN
VẼ ĐẸP HÌNH HỌC
NHÀ XUẤT BẢN
55
NXB-00
99/111-99 Mã số: 00000
Lời nói đầu
Chương 1. 150 bài toán chọn lọc
Chương 2. Lời giải
Cuốn sách dành cho học sinh phổ thông yêu toán, học sinh giỏi môn toán, các
thầy cô giáo, sinh viên đại học ngành toán, và những người yêu thích toán học
phổ thông. Trong biên soạn không thể tránh khỏi sai sót và nhầm lẫn mong bạn
đọc đóng góp cho ý kiến. Mọi góp ý gửi về địa chỉ: , hay
Chợ Nam Phổ
*
, Phú Thượng, Phú vang, Thừa Thiên Huế.
Tác giả cảm ơn các đồng nghiệp đã hết sức giúp đỡ để cuốn sách được in ra.
Cố Đô, ngày 2 tháng 11 năm 2011
Võ Quang Mẫn
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Các bài toán 5
1.1. 150 bài toán đẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chương 2. Gợi ý 22
2.1. Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Chương 3. Các bài hình các nước 2009 - 2011 23
3.1. Đề thi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 1
Các bài toán

1.1. 150 bài toán đẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. 150 bài toán đẹp
 1.1. Đường tròn W
1
, W
2
cắt nhau tại P, K. XY là tiếp tuyến chung của hai đường
tròn này mà gần với P và X, Y lần lượt nằm trên W
1
, W
2
. XP cắt W
2
tại điểm thứ
hai C và YP cắt W
1
tại B. Gọi A là giao điểm của BX và CY. Chứng minh rằng
nếu Q là giao điểm thứ hai của những đường tròn ngoại tiếp ABC và AXY thì
∠QXA = ∠QKP
 1.2. Cho M là điểm tùy ý trên cạnh BC của ABC. W là đường tròn mà tiếp
xúc với AB và BM tại T và K v à tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ∠AM C tại
P. Chứng minh rằng nếu TK  AM thì hai đường tròn ngoại tiếp APT và KPC
tiếp xúc lẫn nhau.
 1.3. Cho  cân ABC với BC> AB = AC. D, M lần lượt là trung điểm của BC,
AB. X là điểm thỏa mãn BX ⊥ AC và XD  AB. BX và AD cắt nhau tại H. Nếu P
là giao điểm của DX và đường tròn ngoại tiếp AHX thì tiếp tuyến từ A đến đường
tròn ngoại tiếp AMP  BC.
 1.4. Cho O, H tâm ngoại tiếp và trực tâm của ABC. M, N là trung điểm của
BH và CH. Xác định điểm B’ trên đường tròn ngoại tiếp A BC sao cho BB’ là
đường kính. Nếu HONM là tứ giác nội tiếp thì B’N = 1/2 AC.

 1.5. OX, OY vuông góc. Giả sử trên OX ta có hai điểm cố định P, P’trên cùng
tia của O. I là điểm thay đổi sao cho IP = IP’. PI, P’I cắt OY tại A và A’. a) Nếu
C, C’. Chứng minh I, A, A’, M nằm trên đường tròn mà tiếp xúc với một đường
thẳng và tiếp xúc với một đường tròn cố định b) Chứng minh rằng IM đi qua một
điểm cố định.
6 Các bài toán
 1.6. Cho A, B, C, Q là những điểm cố định . M, N, P là giao điểm của AQ, BQ,
CQ với BC, CA, AB. D’, E’, F’ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ABC. Các
tiếp tuyến vẽ từ M, N, P đối với đường tròn nội tiếp ABC tạo thành DEF. Chứng
minh rằng DD’, EE’, FF’ cắt nhau tại Q.
 1.7. Cho ABC. Wa là đường tròn tâm nằm trên BC đi qua A và trực giao với
đường tròn ngoại tiếp ABC. Wb, Wc được định nghĩa tương tự. Chứng minh các
tâm Wa, Wb, Wc thẳng hàng.
 1.8. Tứ diện ABCD có bán kính đường tròn ngoại tiếp của bốn mặt bằng nhau.
Chứng minh tứ diện ABCD là tứ diện gần đều. (AB = CD, AC = BD và AD = BC)
 1.9. Giả sử M là điểm tùy ý trên cạnh BC cảu ABC. B’, C’ là những điểm trên
AB, AC sao cho MB = MB’ và MC = MC’. Giả sử H, I là trực tâm của ABC và
tâm nội tiếp MB’C’. Chứng minh rằng A. B’, H, I, C’ nằm trên đường tròn.
 1.10. Đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc AB, AC tại P, Q. BI, CI giao PQ tại
K, L. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp IKL tiếp xúc với đường tròn nội tiếp
ABC khi và chỉ khi AB + AC = 3BC.
 1.11. Cho M, N là hai điểm bên trong ABC sao cho ∠MAB = ∠NAC và ∠MBA
= ∠NBC. Chứng minh rằng:
AM.AN
AB.AC
+
BM.BN
BA.BC
+
CM.CN

CA.CB
= 1.
 1.12. Cho tứ giác ABCD. Các tia phân giác ngoài của góc A và C cắt nhau tại
P. Các tia phân giác ngoài của góc B và D cắt nhau tại Q. Đường thẳng AB, CD
cắt nhau tại E, đường thẳng BC, DA cắt nhau tại F. Bây giời ta có hai góc mới E
và F (∠AED, ∠BFA). Ta cũng xét giao điểm R của những phân giác ngoài những
góc này. Chứng minh P, Q, R thẳng hàng.
 1.13. Cho ABC. Những hình vuông AB
c
B
a
C, CA
b
A
c
BvàBC
a
C
b
A bên ngoài
. Hình vuông B
c
B
c

B
a

B
a

với tâm P ngoài hình vuông AB
c
B
a
C. Chứng minh
BP, C
a
B
a
và A
a
B
c
đồng quy.
 1.14. Cho  cân ABC cân tại A. Từ A kẻ đường thẳng l song song với BC. P, Q
nằm trên các đường trung trực của AB, AC sao cho PQ⊥BC. M, N là những điểm
trên l sao cho ∠AP M = ∠AQN =
π
2
. Chứng minh:
1
AM
+
1
AN
≤
2
AB
.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright

c
 Võ Quang Mẫn
1.1. 150 bài toán đẹp 7
 1.15. Trong ABC, M là trung điểm của AC, và D là điểm trên BC sao cho DB
= DM. Ta biết rằng 2BC
2
− AC
2
= AB.AC. Chứng minh rằng:
BD.DC =
AC
2
.BC
2(AB + AC
.
 1.16. H, I, O, N là trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp và điểm Nagel của
ABC. Ia, Ib, Ic là tâm bàng tiếp của ABC. S là điểm sao cho O là trung điểm HS.
Chứng minh trọng tâm các IaIbIc, SIN trùng nhau.
 1.17. Cho tứ giác lồi ABCD. Ta kẻ các đường chéo của nó thành bốn , với P là
giao điểm các đường chéo. I1, I2, I3, I4 là tâm bàng tiếp tương ứng tại điểm P của
các PAD, PAB, PBC, PCD. Chứng minh rằng I1, I2, I3, I4 nội tiếp đường tròn
khi và chỉ khi ABCD là tứ giác tiếp xúc.
 1.18. Trong ABC, nếu L, M, N là trung điểm của AB, AC, BC và H là trực
tâm ABC, chứng minh:
LH
2
+ MH
2
+ NH
2

≤
1
4
(AB
2
+ AC
2
+ BC
2
).
 1.19. Các đường tròn S1, S2 cắt nhau tại P và Q. Hai điểm phân biệt A1 và B1(
không trùng P,Q) được chọn nằm trên S1. Những đường thẳng A1P và B1P cắt
S2 một lần nữa tại A2 và B2 tương ứng, và các đường thẳng A1B1 và A2B2 cắt
nhau tại C. Chứng minh rằng khi A1 và B1 thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp
A1A2C nằm trên đường tròn cố định.
 1.20. Cho B là điểm trên đường tròn S1 và A là điểm khác B nằm trên tiếp tuyến
tại B đối với S1. Cho C là điểm không nằm trên S1 sao cho đường thẳng AC căt S1
tại hai điểm phân biệt. S2 là đường tròn tiếp xúc AC tại C và tiếp xúc với S1 tại
D nằm trên cạnh đối AC từ B. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp BCD
nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC.
 1.21. Các phân giác của góc A, B của ABC cắt các cạnh BC, CA tại D và E.
Giả sử rằng AE + BD = AB, xác định ∠C.
 1.22. Cho A, B, C, P, Q và R nằm trên đường tròn. Chỉ ra rằng nếu những đường
thẳng Simson của P, Q, R tương ứng với ABC đồng quy thì những đường thẳng
Simson của A, B, C tương ứng với PQR đồng quy.Hơn nửa những điểm đồng quy
là như nhau.
 1.23. Cho ABC, E và F là những điểm nằm trên cạnh BC và CA sao cho
CE
CB
+

CF
CA
= 1 và ∠CEF = ∠CAB. Giả sử M là trung điểm của EF và G là giao
điểm giữa CM và AB. Chứng minh rằng các FEG và ABC đồng dạng.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
8 Các bài toán
 1.24. Cho ABC vuông tại C và CA = CB. Gọi CH là đường cao và CL là phân
giác trong. Chỉ ra rằng X = C nằm trên đường thẳng CL ta có ∠XAC = ∠XBC
và chỉ ra rằng Y = C nằm trên đường thẳng CH ta có ∠Y AC = ∠Y BC.
 1.25. Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên đường tròn sao cho AB là đường kính
và CD là không. Chứng minh đường thẳng nối giao điểm của hai tiếp tuyến tại C,
D và giao điểm AC, BD vuông góc với AB.
 1.26.
 1.27. Cho ABC và D là điểm trên cạnh AC sao cho AB = DC, ∠BAC =
60
0
− 2∠X, ∠BCA = 3∠X. Chứng minh ∠X = 10
0
.
 1.28.
 1.29. Cho ABC. D và E nằm trên AB sao cho DA = BE, AD = AC. Phân giác
trong của A, B cắt BC, AC tại P, Q, và đường tròn ngoại tiếp ABC tại M, N. Đường
thẳng nối A với tâm ngoại tiếp BEM và đường thẳng nối B với tâm ngoại tiếp AND
cắt nhau tại X. Chứng minh CX⊥P Q.
 1.30. Xét đường tròn tâm O và điểm A, B trên nó sao cho AB không là đường
kính. Đặt C nằm trên đường tròn sao cho AC chia đôi OB. Gọi AB và OC cắt nhau
tại D, BC và AO cắt nhau tại F. Chứng minh AF = CD.
 1.31. Cho ta vàm giác ABC. X, Y là hai điểm trên AC, AB. CY cắt BX tại Z và

AZ cắt XY tại H( AZ⊥XY ). BHXC là tứ giác nội tiếp. Chứng minh XB = XC.
 1.32. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp và L, N là trung điểm của hai đường chéo
AC và BD. Giả sử đường thẳng BD phân đôi ∠ANC. Chứng minh đường thẳng AC
phân đôi ∠BLD.
 1.33. Tam giác ABC có đường phân giác ngoài ∠A cắt những đường thẳng vuông
góc với BC mà đi qua B và C lần lượt tại D và E. Chứng minh đường thẳng BE,
CD, AO đồng quy, ở đây O là tâm ngoại tiếp ABC.
 1.34. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi O là giao điểm AC và BD. Tìm các vị trí M, N
nằm trên AB và CD, O thuộc MN sao cho tổng
MB
MA
+
NC
ND
đạt min.
 1.35. Cho ABC, M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AM.
E là giao điểm của AC với BP và R là hình chiếu của A trên MN. Chứng minh
∠ERN ≡ ∠CRN.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
1.1. 150 bài toán đẹp 9
 1.36. Gọi X một trong hai giao điểm của hai đường tròn cắt nhau. Tìm Y trên
đương tròn này và Z trên đường tròn kia để X, Y, Z thẳng hàng và XY.XZ đạt
max.
 1.37. Bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự đó nằm trên đường tròn O. Điểm S nằm
bên trong (O) có tính chất ∠SAD = ∠SCBvà ∠SDA = ∠SBC. Phân giác ∠ASB
cắt đường tròn tại hai điểm P, Q. Chứng minh P S = QS.
 1.38. Cho ABC. Gọi G, I, H là trọng tâm, tâm nội tiếp, trực tâm của ABC.
Chứng minh ∠GIH > 90

0
.
 1.39. Cho hai đường thẳng song song k, l và một đường tròn không cắt k. Xét
điểm A tùy ý trên k. Hai tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn cắt l tại B, C. Gọi m là
đường thẳng đi qua A và trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng mọi đường thẳng
m đều đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.
 1.40. Cho tứ giác lồi ABCD với AD ∦ BC. Gọi E là giao điểm của AD với BC và
I là giao điểm của AC với DB. Chứng minh hai EDC và IAB có cùng trọng tâm
khi và chỉ khi AB  CD và IC
2
= IA.AC.
 1.41. Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm AC và DB. Tồn tại một số dương k
để mọi điểm M trên cạnh OC có điểm N trên cạnh OD sao cho AM.BN = k
2
. Tìm
quỹ tích điểm L, là giao điểm của AN với BM.
 1.42. Xét vuông với AB = 1. Phân giác góc ∠ACB cắt các trung tuyến BE và
AF tại P và M. Gọi P là giao điểm của AE và BE, xác định giá trị lớn nhất diện
tích MNP.
 1.43. Cho ABC cân tại A. Phân giác BD thỏa BC = BD + AD. Tính ∠A.
 1.44. Cho với diện tích S, với các độ dài 3 cạnh a, b, c. Chứng minh a
2
+ 4b
2
+
12c
2
≥ 32S.
 1.45. Trong vuông ABC tại A, ta kẻ phân giác AD. Đặt DK⊥AC, DL⊥AB.
Đường thẳng BK, CL cắt nhau tại H. Chứng minh AH⊥BC.

 1.46. Cho H là trực tâm ABC. Gọi BB’ và CC’ là các đường cao. Đường thẳng
l tùy ý đi qua H cắt cạnh [BC’] và [CB’] tại M và N. Những đường thẳng vuông góc
với l từ M và N cắt BB’ và CC’ tại P và Q. Tìm quỹ tích trung điểm cạnh PQ.
 1.47. Cho ABC với đường cao AH, phân giác trong BE. Nếu ∠BEA = 45
0
thì
∠EHC =?
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
10 Các bài toán
 1.48. Cho nhọn ABC với AB = AC. Gọi H là trực tâm, M là trung điểm của
cạnh BC. D là điểm trên cạnh AB và E là điểm trên cạnh BC sao cho AE = AD
và các điểm D, H, E thẳng hàng. Chứng minh rằng đường thẳng HM mà vuông góc
với dây cung chung của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC và ADE.
 1.49. Cho D nằm trong ABC và E trên AD. Đặt w
1
, w
2
là những đường tròn
ngoại tiếp các BDE và CDE, hai đường tròn này cắt BC tại những điểm trong F,
G. X là giao điểm của DG và AB, Y là giao điểm của DF và AC. Chứng minh rằng
XY  BC.
 1.50. Cho ABC, D là trung điểm của BC, M là trung điểm của AD. BM cắt
cạnh AC tại N. Chứng minh rằng AB là tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp NBC
khi và chỉ khi đẳng thức sau đúng:
BM
MN
=
BC

2
BN
2
.
 1.51. Cho ABC với diện tích K. Chứng minh
27(b
2
+ c
2
− a
2
)
2
(c
2
+ a
2
− b
2
)
2
(a
2
+ b
2
− c
2
)
2
≤ (4K)

6
 1.52. Cho ABC thỏa mãn AC + BC = 3.AB.Đường tròn nội tiếp ABC với tâm
I và tiếp xúc BC, CA tại D và E. K, L là điểm đối xứng D, E qua I. Chứng minh
A,B,C,K nằm trên đường tròn.
 1.53. Trong nhọn ABC có 2AB = AC + BC. Chứng minh rằng tâm nội tiếp,
tâm ngoại tiếp, trung điểm AC, trung điểm BC nội tiếp đường tròn.
 1.54. Cho ABC, M là trung điểm của BC. Cho γ là đường tròn nội tiếp. Trung
tuyến AM cắt γ tại K, L. Các đường thẳng đi qua K, và L song song BC cắt γ tại
X, Y. Giả sử đường thẳng AX, AY cắt BC tại P, Q. Chứng minh BP = CQ.
 1.55. Cho ABC, M là điểm bên trong thỏa mãn ∠MAB = 10
0
, ∠MBA =
20
0
, ∠MAC = 40
0
và∠M CA = 30
0
. Chứng minh rằng này là cân.
 1.56. Cho vuông ABC tại A. M là trung điểm BC, D là điểm trên đường thẳng
BC thỏa ∠BAD = ∠CAD. Chứng minh rằng tồn tại điểm P sao cho P B⊥P M và
P B = P M khia và chỉ khi
P A
P D
=
3
5
.
 1.57. Xét ngũ giác lồi ABCDE sao cho ∠BAC = ∠CAD = ∠DAE và ∠ABC =
∠ACD = ∠ADE. P là giao điểm của các đường thẳng BD và CE. Chứng minh rằng

đường thẳng AP đi qua trung điểm của cạnh CD.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
1.1. 150 bài toán đẹp 11
 1.58. Chu vi ABC bằng 3 + 2
√
3. Trong mặt phẳng tọa độ, bất kỳ đồng quy
đối với ABC có ít nhất một điểm mạng trong phần trong của nó hoặc trên cạnh
của nó. Chứng minh ABC là đều.
 1.59. Cho ABC nội tiếp đường tròn bán kính R, và P là điểm bên trong .
Chứng minh:
P A
BC
2
+
P B
CA
2
+
P C
AB
2
≥
1
R
2
.
 1.60.
 1.61. Cho ABCD là tứ giác ngoại tiếp đường tròn, đặt O = AC ∩BD, và K, L,

M, và N là chân đường vuông góc hạ từ O đến các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng
minh:
1
OK
+
1
OM
=
1
OL
+
1
ON
.
 1.62. Cho ABC. Trên các cạnh kéo dài BC( đối với C), CA( đối với A), AB( đối
với B) ta lấy các điểm D, E, F sao cho CD = AE = BF. Chứng minh rằng DEF
là đều thì ABC cũng đều.
 1.63. Cho ABC, với tâm I, đường tròn nội tiếp của IBC tiếp xúc IB, IC tại
I
a
, I

a
, tương tự ta có I
b
, I

b
, I
c

, I

c
và các đường thẳng I
b
I

b
∩ I
c
I

c
= {A

} tương tự có
B

, C

Chứng minh hai ABC, A’B’C’ được phối cảnh.
 1.64. Cho AA
1
, BB
1
, CC
1
là các đường cao trong nhọn ABC, và đặt X là điểm
tùy ý. Gọi M, N, P, R, S là chân đường vuông góc hạ từ X xuống các đường thẳng
AA

1
, BC, BB
1
, CA, CC
1
, AB. Chứng minh rằng MN, PQ, RS đồng quy.
 1.65. Cho ABC và đặt X, Y, Z là điểm trên các cạnh BC, CA, AB, sao cho
AX = BY = CZ. và BX = CY AZ. Chứng minh ABC là đều.
 1.66. Cho P và P’ là những điểm liên hợp đẳng giác đối với ABC. Giả sử các
đường thẳng AP, BP, CP cắt các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’ C’.
Chứng minh rằng các đối xứng của các đường thẳng AP’, BP’, CP’ đối với các đường
thẳng B’C’, C’A’, A’B’ đồng quy.
 1.67. trong tứ giác lồi ABCD, đường chéo BD không là phân giác của các góc
∠ABC và ∠CDA. Điểm P bên trong tứ giác thỏa ∠P BC = ∠DBA và ∠P DC =
∠BDA. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là nội tiếp khi và chỉ khi AP = CP
 1.68. Cho các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ABC tại các đỉnh B và C
cắt nhau tại X. Thì đường thẳng AX là đường đối trung của ABC. ( xem thêm
các bổ đề trong hình học phẳng)
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
12 Các bài toán
 1.69. Cho các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ABC tại các đỉnh B và C
cắt nhau tại X, và M là trung điểm của cạnh BC. Thì AM = AX|cos A| ( ta không
sử dụng góc định hướng ở đây)
 1.70. Cho ABC là đều. Đặt M, N. P lần lượt là các điểm trên cạnh BC, CA,
AB sao cho S(ANP) = S(BPM) = S(CMN), ở đây S(.) là diện tích. Chứng minh
ANP
∼
=

BP M
∼
=
CMN.
 1.71. Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng g tùy ý đi qua đỉnh A cắt
đường thẳng BC và DC tại X, Y. Gọi K, L là tâm bàng tiếp của các ABX, ADY.
Chứng minh rằng ∠KCL không phụ thuộc và đường thẳng g.
 1.72. QAP có ∠A vuông. Các điểm B, R được chọn trên PA và PQ sao cho
BR song song với AQ. Điểm S và T tương ứng trên AQ, BR và AR vuông ∠BS, AT
vuông ∠BQ. AR và BS cắt nhau tại U, AT và BQ cắt nhau tại V. Chứng minh
(a) các điểm P, S, T thẳng hàng.
(b) các điểm P, U, V thẳng hàng.
 1.73. Cho ABC và m là đường thẳng mà cắt các cạnh AB và AC tại điểm
bên trong D và F. Những đường thẳng song song từ A, B, C đối với m cắt đường
tròn ngoại tiếp ABC tại điểm A
1
, B
1
, C
1
. Chứng minh rằng các đường thẳng
A
1
E, B
1
F, C
1
D đi qua một điểm cố định.
 1.74. Gọi H là trực tâm của ABC. X là điểm tùy ý trên mặt phẳng. Đường tròn
đường kính XH cắt các đường thẳng AH, BH, CH tại A

1
, B
1
, C
1
và đường thẳng
AX, BX, CX tại A
2
, B
2
, C
2
. Chứng minh các đường thẳng A
1
A
2
, B
1
B
2
, C
1
C
2
đồng
quy.
 1.75. Xác định tính chất của ABC sao cho tâm nội tiếp nằm trên HG, ở đây H
là trực tâm, G là trọng tâm ABC.
 1.76. Cho ABC. D là điểm trên đường thẳng AB. (C) là đường tròn nội tiếp
BDC. Kẻ đường thẳng song song với phân giác ∠ADC, và đi qua I, tâm nội tiếp

ABC và đường thẳng này tiếp xúc với đường tròn (C). Chứng minh AD = BD.
 1.77. Cho M, N là trung điểm của BC và AC của ABC. và BH là đường cao.
Đường thẳng đi qua M, vuông góc phân giác ∠HM N, cắt đường thẳng AC tại P
sao cho HP =
1
2
(AB + BC) và ∠HMN = 45
0
. Chứng minh rằng ABC cân.
 1.78. Các điểm D, E, F trên cạnh BC, CA, và AB mà thỏa mãn EF  BC, D
1
là điểm trên BC. Xây dựng D
1
E
1
 DE, D
1
F
1
 DF mà giao điểm AC và AB tại
E
1
, F
1
. Xây dựng P BC ∼ DEF. Chứng minh rằng E, E
1
F
1
, P D
1

đồng quy.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
1.1. 150 bài toán đẹp 13
 1.79. Cho hình chữ nhật ABCD. Ta chọn bốn điểm P, M, N, Q trên AB, BC,
CD, DA. Chứng minh rằng chu vi của PMNQ nhỏ hơn một nửa chu vi ABCD.
 1.80. Cho ABCDE là ngũ giác lồi.
 1.81. Cho ABC. Đường tròn nội tiếp i = C(I, R) tiếp xúc với các cạnh BC,
CA, AB tại D, E, F. Ta gọi giao điểm thứ hai M, N, P của các đường thẳng AI, BI,
CI tương ứng với đường tròn e = C(O, R). Chứng minh rằng các đường thẳng MD,
NE, PF đồng quy.
 1.82. Cho nhọn ABC với ∠BAC > ∠BCA, và D là điểm trên AC sao cho AB
= BD. Hơn nữa đặt F là điểm trên đường tròn ngoại tiếp ABC sao cho FD là
vuông góc với cạnh BC, và các điểm F, B nằm trên hai bờ của cạnh AC. Chứng
minh FB vuông góc với cạnh AC.
 1.83. Cho ABC với trực tâm H, tâm nội tiếp I và trọng tâm S, và d là đường
kính của đường tròn ngoại tiếp . Chứng minh bất đẳng thức:
9HS
2
+ 4(AH.AI + BH.BI + CH.CI) ≥ 3d
2
,
và xác định đẳng thức xảy ra khi nào?
 1.84. Cho ABC. Một đường tròn đi qua A và B cắt cạnh AC, BC tại D và E.
Đường thẳng AB và DF cắt nhau tại F, trong khi đường thẳng BD và CF cắt nhau
tại M. Chứng minh rằng MF = MC khi và chỉ khi MB.MD = M C
2
.
 1.85. ABC nội tiếp đường tròn (O, R). Trên AB ta lấy điểm C’ sao cho AC =

AC’ và trên AC ta lấy điểm B’ sao cho AB’ = AB. Cạnh B’C’ cắt đường tròn tại E,
D và cắt BC tại M. Chứng minh rằng khi điểm A di động trên cung BAC thì AM
đi qua một điểm.
 1.86. Trong nhọn ABC, ta xét chân đường cao H
a
và H
b
của đường cao hạ từ
A, B và các giao điểm W
a
và W
b
của các phân giác từ A, B với các cạnh đối diện
BC, CA. Chỉ ra rằng tâm đường tròn nội tiếp I của ABC nằm trên cạnh H
a
H
b
khi và chỉ khi tâm đường tròn ngoại tiếp O của ABC nằm trên cạnh W
a
W
b
.
 1.87. Cho ABC và O là điểm trong mặt phẳng. Các đường thẳng BO, CO cắt
các cạnh CA và AB tại M, N. Những đường thẳng song song với CN và BM đi qua
điểm M và N cắt nhau điểm khác E, và những đường thẳng song song với CN và
BM đi qua điểm B và C cắt nhau điểm khác F.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
14 Các bài toán

 1.88. Trong không gian cho tam giác vuông ABC tại A, và điểm D sao cho
đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Ký hiệu d = AB, h = CD, α =
∠DACvà∠DBC. Chứng minh rằng
h =
d tan α tan β

tan
2
α − tan
2
β
.
 1.89. Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng. Phân giác trong của các góc A,
B, C của ABC cắt các cạnh BC, CA, AB tại A’. B’ , C’. P là giao điểm của phân
giác ∠A với B’C’. Đường thẳng song song BC đi qua P cắt cạnh AB và AC tại M,
N. Chứng minh 2MN = BM + CN.
 1.90. trong ABC nếu a(1 − 2 cos A) + b(1 − 2 cos B) + c(1 − 2 cos C) = 0, thì
ABC đều.
 1.91. Các đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại A và B. CD đi qua điểm O
1
cắt
(O
1
) tại D và tiếp xúc với (O
2
) tại C. AC tiếp xúc (O

1
) tại A. Kẻ AE vuông ∠CD,
và AE cắt (O
1
) tại E. Kẻ AF vuông ∠DE, và AF cắt DE tại F. Chứng minh BD
chia đôi AF.
 1.92. Trong ABC, đặt A
1
, B
1
, C
1
là các tiếp điểm của các đường tròn bàng tiếp
tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng AA
1
, BB
1
, CC
1
là độ dài ba
cạnh .
 1.93. Cho nhọn ABC, đặt P, Q là hai cạnh nằm trên BC. Xây đựng điểm C
1
thỏa mãn tứ giác AP BC
1
nội tiếp, QC
1
 CA, và điểm C
1
và Q nằm trên hai cạnh

đối của bờ AB. Xây đựng điểm B
1
thỏa mãn tứ giác AP CB
1
nội tiếp, QB
1
 BA, và
điểm B
1
và Q nằm trên hai cạnh đối của bờ AB. Chứng minh bốn điểm B
1
, C
1
, P, Q
nằm trên đường tròn.
 1.94. Cho tứ giác ABCD. Phân giác ngoài của các ∠Avà C cắt nhau tại P; phân
giác ngoài các ∠B, D cắt nhau tại Q. Đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E, và đường
thẳng BC, DA cắt nhau tại F. Bây giờ ta có hai góc: E ( là ∠AED) và F ( là ∠BF A
). Ta cũng xét điểm điểm R là giao điểm của các phân giác ngoài của hai góc này.
Chứng minh P, Q, R thẳng hàng.
 1.95. Cho I là tâm nội tiếp của ABC và A
1
B
1
C
1
là trung bình ( tức là A
1
là trung điểm của cạnh BC, vv ). Chứng minh rằng các tâm của những đường tròn
chín điểm Euler các BIC, CIA, AIB các phân giác của trung bình A

1
B
1
C
1
.
 1.96. Xét ba đường tròn bằng nhau có cùng bán kính R và có chung điểm H.
giao điểm chung của chúng là A, B, C. chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp
ABC cung bằng R.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
1.1. 150 bài toán đẹp 15
 1.97. Ba đường tròn đồng quy G
1
, G
2
, G
3
có chung điểm P. Hơn nữa ta Định
nghĩa G
2
∩ G
3
= {A, P }, G
3
∩ G
1
= {B, P }, G
1

∩ G
2
= {C, P }.
1. Chứng minh rằng điểm P là trực tâm của ABC.
2. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ABC đồng quy với các đường tròn
G
1
, G
2
, G
3
.
 1.98. Cho ABXY là hình thang sao cho BX  AY . Ta gọi C là trung điểm của
XY, và ký hiệu P, Q là trung điểm của BC, CA. XP, YQ cắt nhau tại N. Chứng minh
rằng N nằm trong hoặc trên biên của tam giác ABC khi và chỉ khi
1
3
≤
BX
AY
≤ 3.
 1.99. Cho P là điểm cố định trên một conic, M, N là hai điểm tùy ý trên đó sao
cho P M⊥P N. Chứng minh MN đi qua một điểm cố định.
 1.100. Cho ABC. L là điểm Lemoine và F là điểm Fermat( hay diểm Torricelli).
H là trực tâmvà O là tâm đường tròn ngoại tiếp . Gọi l là dường thẳng Euler và l’
là đối xứng của l qua AB. D là giao điểm của l’ với đường tròn ngoại tiếp , E là giao
điểm cảu FL và OD. Gọi G là điểm khác H sao cho tam giác thủy túc( tam giác bàn
chân) của G là đồng dạng với cevian của G( đối với ABC). Chứng minh rằng
hai góc ACB, GCE hoặc chung hoặc những phân giác vuông góc nhau.
 1.101. Cho ABC với diện tích S, P là điểm trong mặt phẳng. Chứng minh rằng

AP + BP + CP ≥ 2
4
√
3
√
S.
 1.102. M là điểm trên cạnh AB của ABC sao cho đường tròn nội tiếp của
AMC và BMC có cùng bán kính. hai đường tròn, tâm tại O
1
, O
2
, cắt AB tại
P và Q. biết rằng dt ABC bằng 6 lần dt tứ giác P QO
1
O
2
. Xác định giá trị của
AC + BC
AB
.
 1.103. Cho AB
1
C
1
, AB
2
C
2
, AB
3

C
3
là những tam giác đều đồng quy.
Chứng minh rằng các cặp giao điểm của những đường tròn ngoại tiếp của các
AB
1
C
2
, AB
2
C
3
, AB
3
C
1
từ một tam giác đều với ba cái đầu.
 1.104. Cho tam giác nhọn, các trung tuyến AD, BE, CF đồng quy tại P. Chứng
minh:
2(
1
AP
+
1
BP
+
1
CP
) ≤
1

P D
+
1
P E
+
1
P F
 1.105. Cho ABC. Gọi O là tâm ngoại tiếp. Đặt H, K, L là chân đường cao hạ
từ A, B, C của ABC. Ký hiệu A
0
, B
0
, C
0
là trung điểm các đường cao AH, BK,
CL. I là tâm nội tiếp và tiếp điểm tại các cạnh BC, CA, AB là D, E, F. Chứng minh
A
0
D, B
0
E, C
0
F, OI đồng quy.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
16 Các bài toán
 1.106. Cho tam giác đều ABC và M là điểm trong mặt phẳng (ABC). Gọi A’,
B’, C’ là điểm đối xứng của M qua A, B, C.
1. Chứng minh tồn tại duy nhất một điểm P cách đều từ A và B’, từ B và C’,

từ C và A’.
2. Gọi D là trung điểm của AB. Khi M thay đổi( không trùng D) chứng minh
đường tròn ngoại tiếp MNP (N là giao điểm của DM và AP) đi qua một
điểm cố định.
 1.107. Cho hình vuông ABCD, và (C) là đường tròn đương kính AB. Gọi Q là
điểm tùy ý trên CD. Ta biết QA cắt (C) tại E và BQ cắt (C) tại F. Cũng có CF và
DE cắt nhau tại M. Chứng minh M phụ thuộc đối với (C).
 1.108. Trong tam giác ABC ta có:
(
a
h
a
)
2
+ (
b
h
b
)
2
+ (
c
h
c
)
2
≥ 4.
 1.109. Cho ABC. X trên AC. Một đường tròn đi qua X, tiếp xúc cạnh AC và
cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại M và N sao cho cạnh MN phân đôi BX và cắt
AB, BC tại P, Q. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp PBQ đi qua điểm cố định

khác B.
 1.110. Cho ABC cân với ∠ACB =
π
2
, và P là điểm bên trong nó.
1. Chứng minh ∠P AB + ∠P BC ≥ min(∠P CA, ∠P CB);
2. Đẳng thức xảy ra khi nào?
 1.111. Cho tứ diện đều ABCD với độ dài cạnh 1 và P là điểm bên trong nó. Tính
giá trị lớn nhất của biểu thức
|P A| + |P B|+ |P C|+ |P D|.
 1.112. Cho tứ diện ABCD. Các đỉnh A, B, C nằm trên phần dương của trục x,
y, z. và AB = 2l −1, BC = 2l, CA = 2l + 1, ở đây l > 2. Gọi thể tích của tứ diện là
V (l). Tìm
lim
l→2
V (l)
√
l −2
.
 1.113. Cho ABC. M, N, P là trung điểm của BC, CA, AB.
a) d
1
, d
2
, d
3
là ba đường thẳng đi qua M, N, P và chia chu vi ABC thành hai
phần bằng nhau. Chứng minh d
1
, d

2
, d
3
đồng quy tại K.
b) Trong các tỷ số
KA
BC
,
KB
AC
,
KC
AB
tồn tại ít nhất một tỷ số ≥
1
√
3
.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
1.1. 150 bài toán đẹp 17
 1.114. Cho hình chữ nhật ABCD ( AB = a, BC = b) tìm quỹ tích điểm M, để
các điểm đối xứng của M qua các cạnh nằm trên một đường tròn .
 1.115. Một đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc các cạnh AB, BC, CA tại C’, A’,
B’. Đường thẳng A’C’ cắt các đương thẳng MN, KL tại E và F; A’B’ và MN cắt
nhau tại P; B’C’ và LK cắt nhau tại Q. Gọi Ω
A
, Ω
C

là các đường tròn bên ngoài các
AEP, FCQ.
a) Gọi l
1
và l
2
là tiếp tuyến chung của Gọi Ω
A
, Ω
C
. Chứng minh các đường thẳng
l
1
, l
2
, EF P Q đồng quy.
b) Giả sử Ω
A
, Ω
C
cắt nhau tại X, Y. Chứng minh X, Y, B nằm trên đường thẳng.
 1.116. hai đường tròn (O
1
), (O
2
) cắt nhau tại A, B. Gọi M là điểm di đông trên
(O
1
). K là giao điểm của hai tiếp tuyến của (O
1

) tại A và B. MK cắt (O
1
) tại C.
AC cắt (O
2
) tại Q. MA cắt (O
2
) tại P.
a) Chứng minh đường thẳng KM phân đôi cạnh PQ.
b) Khi M di động trên (O
1
), chứng minh PQ đi qua điểm cố định.
 1.117. Cho n hình cầu B
1
, B
2
, . . . , B
n
với bán kính R
1
, R
2
, . . . , R
n
trong không
gian. Giả sử không tồn tại bất kỳ mặt phẳng nào tách n hình cầu này.Chứng minh
rằng tồn tại hình cầu bán kính R
1
+ R
2

+ . . . + R
n
mà phủ tất cả n hình cầu này.
 1.118. Cho ABC, và dựng đứng ba hình chữ nhật ABB
1
A
2
, BCC
1
B
2
, CAA
1
C
2
ở ngoài trên ba cạnh AB, BC, CA. Chứng minh các đương trung trực của các cạnh
A
1
A
2
, B
1
B
2
, C
1
C
2
đồng quy.
 1.119. Trên đường thẳng cho 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó sao cho AB =

CD. Ta có thể tìm trung điểm của BC bằng cách chỉ sử dụng một thước kẻ.
 1.120. Cho ABC, D, E, F là điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với BC, CA,
AB. Đường thẳng song song AB đi qua E cắt DF tại Q, đường thẳng song song AB
đi qua D cắt DF tại T. Chứng minh CF, DE, QT đồng quy.
 1.121. Cho ABC. I, N là tâm đường tròn nội tiếp và điểm Nagel của ABC, r
là bán kính nội tiếp. Chứng minh
IN = r ⇔ a + b = 3choặc b + c = 3ahoặc c + a = 3b
 1.122. Các tâm của ba đường tròn bảo toàn thứ tự với các đường tròn Apollonuyt
của ABC xác định vị trí trên đương thẳng vuông góc với đường thẳng Euler của
ABC.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
18 Các bài toán
 1.123. Cho ABC, M và M’ là hai điểm trong mặt phẳng. Đặt X và X’ trên BC,
Y, Y’ trên CA, Z, Z’ trên AB. giả sử M

X  AM, M

Y  BM, M

Z  CM, M X


AM

, MY

 BM


, MZ

 CM

. Chứng minh các đường thẳng AX, BY, CZ đồng
quy khi và chỉ khi các đường thẳng AX

, BY

, CZ

đồng quy.
 1.124. Chúng ta gọi một bộ-sáu( sextuple) của các điểm (A, B, C, D, E, F ) trong
mặt phẳng là bộ-sáu Pascal khi và chỉ khi các giao diểm AB ∩DE, BC ∩EF, CD ∩
F A thẳng hàng. Chứng minh rằng nếu một bộ Pascal thì mọi hoán vị của bộ này
đều là Pascal. ("Tức là định lý Pascal dúng cho cả thuận và đảo").
 1.125. Nếu P là điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp ABC và K là điểm
Lemoine. Chứng minh rằng PK sẽ cắt các cạnh BC, CA, AB tại X, Y, Z sao cho
3
P K
=
1
P X
+
1
P Y
1
P Z
.
 1.126. Cho bốn điểm phân biệt A

1
, A
2
, B
1
, B
2
trong mặt phẳng. Chứng minh rằng
nếu mọi đường tròn đi qua A
1
, A
2
cắt mọi đường tròn đi qua B
1
, B
2
thì A
1
, A
2
, B
1
, B
2
hoặc thẳng hàng hoặc nội tiếp đường tròn .
 1.127. ABCD là tứ giác lồi sao cho AB và CD không song song. Đường
tròn đi qua A, B tiếp xúc CD tại X, và một đường tròn đi qua C, D tiếp
xúc AB tại Y. Hai đường tròn này cắt nhau tại U, V. Chứng minh AD 
BC khi và chỉ khi UV phân đôi XY.
 1.128. Cho R, r, hãy dựng những đường tròn với các bán kinh R, r sao cho khoảng

cách hai tâm bằng dây cung chung của chúng.
 1.129. Dựng ABC, được cho bởi trung điểm M của BC, trung điểm N của AH
( H là trực tâm), và điểm A’ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với BC.
 1.130. Cho A’, B’, C’ là điểm đối xứng của A, B, C qua các cạnh BC, CA, AB. O
là tâm ngoại tiếp. Chứng minh các đường tròn (AOA’), (BOB’), (COC’) đồng quy
tại P, mà là nghịch đảo đối với đường tròn ngoại tiếp của liên hiệp đẳng giác của
tâm đường tròn chín điểm.
 1.131. Cho ABC cân với ∠ACB =
π
2
, và P là điểm bên trong nó.
1. Chứng minh ∠P AB + ∠P BC ≥ min(∠P CA, ∠P CB);
2. Đẳng thức xảy ra khi nào?
 1.132. Cho S là tập tất cả các bề mặt đa giác trong mắt phẳng ( một bề mặt đa
giác là phần trong của biên của các cạnh; tức là các đa giác không nhất thiết lồi).
Chứng minh ta có thể tìm một hàm f : S → (0, 1) sao cho, nếu S
1
, S
2
, S
1
∪ S
2
, ∈ S,
và phần giao của S
1
, S
2
rời nhau thì f(S
1

∪ S
2
) = f(S
1
) + f(S
2
).
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
1.1. 150 bài toán đẹp 19
 1.133. Cho A’B’C’ là tam giác trực tâm của tam giác ABC, đặt A”, B”, C” là trực
tâm của AB’C’, A’BC’, A’B’C. Chứng ming hai tam giác A’B’C’ và A”B”C” đồng
dạng.
 1.134. Cho O là trung điểm của dây cung AB của một ellip. Qua O ta vẽ dây
cung PQ khác của ellip. Các tiếp tuyến tại P, Q cắt AB tại S, T. Chứng minh AS
= BT.
 1.135. Cho hình bình hành ABCD với AB < BC, chỉ ra rằng các
đường tròn ngoại tiếp APQ mà có một điểm chung thứ hai khi P, Q di động trên
BC, CD tương ứng, thì khi đó CP = CQ.
 1.136. Cho tam giác nhọn ABC, và AA

, BB

là các đường cao. Điểm D được
chọn trên cung ACB của đường tròn ngoại tiếp ABC. Nếu P = AA

∩ BD, Q =
BB


∩ AD, Chứng minh trung điểm của P Q nằm trên AA

.
 1.137. Gọi (I), (O) là đường tròn nội tiếp , đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
(I) tiếp xúc BC, CA, AB tại D, E, F. Ta cũng gọi ba đường tròn w
a
, w
b
, w
c
tiếp xúc
với (I), (O) tại D, K ( đối với w
a
), tại E, M ( đối với w
b
), tại F, N ( đối với w
c
).
a) Chứng ming DK, EM, FN đồng quy tại điểm P.
b) Chứng minh trực tâm DEF nằm trên OP.
 1.138. Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng và điểm P khác, các đối cực
của P đối với conic đi qua bốn điểm A, B, C, D đi qua một điểm cố định. ( khá
hay, trừ khi P là một trong các giao điểm của AB ∩CD, AD ∩BC, AC ∩BD, trong
trường hợp đó đường đối cực là côc định).
 1.139. Chứng minh rằng nếu một lục giác ABCDEF có tất cả các cạnh có độ
dài ≤ 1 thì có ít nhất một trong các đường chéo AD, BE, CF có độ dài ≤ 2.
 1.140. Tìm số k > 0 lớn nhất có tính chất mọi đa giác lồi có diện tích S và bất
kỳ đương thẳng l trong mặt phẳng, ta có thể nội tiếp một tam giác với diện tích
geqkS và một cạnh song song với l nằm trong đa giác.
 1.141. Cho một số hữu hạn của các cạnh song song trong mặt phẳng thỏa mãn

mỗi ba cạnh đó tồn tại một đường thẳng cắt chúng, chứng minh rằng tồn tại một
đường thẳng cắt tất cả các cạnh đó.
 1.142. Cho A
0
A
1
. . . A
n
là một dơn hình n- chiều, và đặt r, R là bán kính nội tiếp
và ngoại tiếp. Chứng minh R ≥ nr.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
20 Các bài toán
 1.143. Tìm các số n ≥ 2 thảo mãn các tính chất sau: với mọi n + 2 điểm
P
1
, . . . , P
n+2
∈ R
n
, không có ba điểm nào trên một đường thẳng, ta có thể tìm
i = j ∈ 1, n + 2 sao cho P
i
P
j
không là một cạnh của bao lồi của của những điểm P
i
.
 1.144. Cho n + 1 đa diện lồi trong R

n
, chứng minh hai khẳng định sau là tương
đương:
a) Không tồn tại siêu phẳng mà cắt tất cả n + 1 đa diện.
b) Mọi đa diện có thể được tách từ n cái khác bởi một siêu phẳng.
 1.145. Tìm các đa diện lồi mà có thể được phủ bởi hoàn toàn 3 ảnh đồng dạng
nhỏ nhất của chúng ( tức là những ảnh thông qua các phép vị tự với tỷ số trong
khoảng (0, 1)).
 1.146. Cho P là điểm bên trong ABC nội tiếp đường tròn bán kính R. Chứng
minh:
P A
BC
2
+
P B
CA
2
+
P C
AB
2
≥
1
R
.
 1.147. Tồn tại một số lẻ của các chiến binh, các khoảng cách giữa tất cả của họ
tất cả là riêng biệt ( distinct, rõ nhìn), mà đang huấn luyện như sau: Mỗi một trong
họ đang nhìn một hạn chế nhất trong họ. Chỉ ra rằng tồn tại một chiến binh mà
không ai đang nhìn.
 1.148. Cho H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Gọi BB’ và CC’ là đường

cao. Một đường thẳng l tùy ý đi qua H cắt các cạnh BC’ và CB’ tại M và N. Những
đương thẳng vuông góc với l qua M, N cắt BB’, CC’ tại P, Q. Tìm quỹ tích trung
điểm của cạnh PQ.
 1.149. Chứng minh rằng không tồn tại những đa giác đều với hơn 4 cạnh được
nội tiếp một ellip.
 1.150. Cho một cyclic 2n-gon với đường tròn ngoại tiếp cố định sao cho 2n-1 các
cạnh của nó đi qua 2n-1 điểm ccos định nằm trên l, chứng minh 2n cạnh cũng đi
qua một điểm cố định trên l.
 1.151.
 1.152.
 1.153.
 1.154.
 1.155.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
1.1. 150 bài toán đẹp 21
 1.156.
 1.157.
 1.158.
 1.159.
 1.160.
b

a
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
Chương 2
Gợi ý

2.1. Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1. Lời giải
Chương 3
Các bài hình các nước 2009 -
2011
3.1. Đề thi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1. Đề thi
Tài liệu tham khảo
[1] T. Andreescu, R. Gelca, Mathematical olympiad challenges, Birkhauser, 2002.