Một số tính chất của hình tứ diện

1





mét sè tÝnh chÊt cña h×nh tø diÖn
(khãa luËn tèt nghiÖp)

2

Mục lục
Nội dung Trang

Lời nói đầu
3
Chơng 1. Hình tứ diện
6
1.1. Tứ diện. Một số tính chất của tứ diện 6
1.2. Mặt cầu nội, ngoại tiếp tứ diện 17
1.2.1. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
17
1.2.2.
Mặt cầu nội tiếp tứ diện
19
1.2.3. Mặt cầu giả nội tiếp tứ diện
21
1.2.4. Mặt cầu giả bàng tiếp tứ diện
24
Chơng 2. Một số loại tứ diện đặc biệt
26
2.1. Tứ diện vuông. Một số tính chất của tứ diện vuông
26
2.2. Tứ diện trực tâm. Một số tính chất của tứ diện trực tâm 33
2.3. Tứ diện gần đều. Một số tính chất của tứ diện gần đều 41
2.4. Tứ diện đều. Một số tính chất của tứ diện đều 48
Chơng 3. một số bài toán liên quan đến tứ diện
50
3.1. Các bài tập có lời giải 50

3.2. Các bài tập đề nghị 62
Kết luận
65
Tài liệu tham khảo
66







3

Lời nói đầu
Lời nói đầuLời nói đầu
Lời nói đầu


Hình học là một ngành khoa học của Toán học. Hình học đợc đa vào
chơng trình Toán phổ thông từ rất sớm. Với mỗi học sinh hình học luôn là bộ
môn khó, bởi để học tốt môn này học sinh cần phải học tập tích cực, biết hệ
thống kiến thức và có khả năng t duy sáng tạo. Trong đó đặc biệt phải kể đến
hình học không gian. Hình học không gian không giống nh những bộ môn
Toán học khác bởi nó có những đặc điểm riêng biệt:
Đặc điểm quan trọng nhất của hình học không gian là đợc cấu trúc theo
hệ tiên đề. Các chứng minh đợc suy luận chặt chẽ, có căn cứ.
Đặc điểm thứ hai là học sinh phải vẽ hình dựa vào các tính chất của phép
chiếu song song và trí tởng tợng không gian.
Hiện nay trong các trờng THPT một tình trạng vẫn còn tồn tại đó là một

bộ phận không nhỏ học sinh cha hình dung đợc hình học không gian, không
biết vẽ hình cũng nh giải toán. Bên cạnh đó nhiều giáo viên cũng gặp khó khăn
trong quá trình dạy học hình học không gian. Với mục đích giúp cho học sinh có
cái nhìn rõ ràng, sâu sắc, cụ thể hơn về một đối tợng hình học, tôi quyết định
chọn đề tài: Một số tính chất của hình tứ diện.
Trong khoá luận này chúng tôi nghiên cứu các tính chất của tứ diện bằng
phơng pháp tổng hợp, xét một số tứ diện đặc biệt và một số bài toán về tứ diện.
Trớc hết đề tài này hữu ích đối với tác giả và sau đó là tài liệu tham khảo cho
học sinh, giáo viên Toán THPT, sinh viên các trờng ĐHSP Toán, ngoài ra nó
còn có ích cho sự phát triển khả năng t duy hình học của học sinh.
Ngoài lời nói đầu, mục lục tham khảo, khoá luận gồm 60 trang chia làm
ba chơng:
Chơng 1. Hình tứ diện
Chơng 2. Một số loại tứ diện đặc biệt
Chơng 3. Một số bài toán liên quan đến tứ diện




4

Chơng 1 trình bày khá đầy đủ các tính chất chung của tứ diện, ngoài ra
còn đề cập đến mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp, mặt cầu giả nội tiếp và mặt
cầu giả bàng tiếp của tứ diện. Khái niệm và tính chất của các tứ diện đặc biệt
đợc trình bày ở chơng 2 một cách cụ thể và khoa học. Chơng 3 gồm một số
bài toán hay về tứ diện để giúp bạn đọc áp dụng và hiểu sâu hơn các tính chất
của hình tứ diện đã đợc trình bày ở hai chơng trớc.
Mặc dù đã rất cố gắng tuy nhiên do hạn chế về thời gian cùng vốn kiến
thức của bản thân nên hình vẽ cha đợc đẹp và tài liệu sẽ không tránh khỏi
những hạn chế, rất mong nhận đợc sự hớng dẫn của các thầy cô và sự góp ý

của bạn bè để khoá luận đợc hoàn thiện hơn.
Qua đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong hội đồng
Khoa học, các thầy cô giáo trong khoa KHTN và các bạn sinh viên lớp K2_ s
phạm Toán đã tạo mọi điều kiện quan tâm giúp đỡ. Đặc biệt tôi xin chân thành
cảm ơn thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Chí Thanh đã dành thời gian đọc và sửa chữa
bản thảo giúp đỡ tôi hoàn thành đợc khoá luận.

Phú Thọ, ngày 30 tháng 04 năm 2008
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hiền













5

Các kí hiệu viết tắt trong khoá luận
+) mp (P): mặt phẳng (P).
+) S
ABC

: diện tích tam giác ABC.
+) V
ABCD
: thể tích tứ diện ABCD.
+) h
A
, h
B
, h
C
, h
D
: độ dài các đờng cao của tứ diện xuất phát từ các đỉnh A, B, C,
D.
+)
R, r: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp tứ diện
.
+)
xq
S
,
tp
S
: Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của tứ diện.
+) (

)

( )
: Hai mặt phẳng (

) và

( )
trùng nhau.
+)

d ( )
: Đờng thẳng d nằm trong mặt phẳng (

).
+)

d // ( )
: Đờng thẳng d song song với mặt phẳng (

).
+)

d ( )
: Đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (

).

6

Chơng 1. hình tứ diện
1.1. Tứ diện. Một số tính chất của hình tứ diện
1.1.1. Định nghĩa 1
Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Ba trong bốn điểm đó xác
định một miền tam giác. Có bốn miền tam giác đó là ABC, ABD, ACD, BCD.
Hình gồm bốn miền đó đợc gọi là hình tứ diện và kí hiệu là ABCD.
Trong một hình tứ diện ABCD:
- Mỗi một miền tam giác đợc gọi là một mặt của hình tứ diện.
- Các điểm A, B, C, D đợc gọi là các đỉnh của hình tứ diện.
- Các cạnh của các tam giác (6 đoạn thẳng) đợc gọi là các cạnh của hình tứ
diện.
- Hai cạnh của tứ diện không có điểm chung đợc gọi là hai cạnh đối diện.
- Mỗi đỉnh có một mặt đối diện với nó, là mặt không chứa đỉnh đó.
Chú ý
Ta cũng có thể định nghĩa tứ diện thông qua khái niệm hình chóp nh sau:
Trong mặt phẳng (P) cho đa giác lồi n cạnh A
1
A
2
A

n
và cho một điểm S nằm
ngoài (P). Hình gồm các miền tam giác S A
1
A
2
, S A
2
A
3
, , S A
n
A
1
và miền đa
giác A
1
A
2
A
n
đợc gọi là hình chóp, kí hiệu là S.A
1
A
2
A
n
.
- Miền đa giác đợc gọi là đáy của hình chóp.
- Các tam giác S A

1
A
2
, S A
2
A
3
, , S A
n
A
1
đợc gọi là các mặt bên của
hình chóp.
- Khi n = 3, ta có hình chóp S.ABC, và cũng là hình tứ diện hoặc hình chóp
tam giác.
1.1.2. Định nghĩa 2
Đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện của tứ diện đợc gọi là
đờng trung bình của tứ diện ấy. Một tứ diện có ba đờng trung bình.






7

1.1.3. Định nghĩa 3
Trong một tứ diện, đoạn thẳng nối mỗi đỉnh và trọng tâm của mặt đối diện
đợc gọi là đờng trung tuyến. Một tứ diện có bốn đờng trung tuyến.
1.1.4. Định lý 1

Trong hình tứ diện, bốn đờng trung tuyến và ba đờng trung bình đồng
quy tại một điểm, điểm đó đợc gọi là trọng
tâm của tứ diện.
Trọng tâm của tứ diện có tính chất là trung
điểm của các đờng trung bình và ở
3
4
mỗi
đờng trung tuyến kể từ đỉnh.
Chứng minh
Giả sử ABCD là hình tứ diện. Gọi M, N,
P, Q, E, F lần lợt là trung điểm của các cạnh
AB, BC, CD, DA, AC, BD.
Gọi G là trung điểm của
MP (hình 1).
Ta chứng minh ba đờng trung bình của tứ diện đồng quy tại một điểm.
Do MQ // BD và MQ =
1
2
BD
NP // BD và NP =
1
2
BD nên MNPQ là hình bình hành. Vì vậy MP và NQ
giao nhau tại trung điểm G của mỗi đờng.
Tơng tự ta cũng có EFMP là hình bình hành
nên EF cũng nhận trung điểm G
của MP làm
trung điểm.
Vậy ba đờng trung bình MP, NQ, EF đồng quy

tại trung điểm G của mỗi đờng.
Ta đi chứng minh bốn đờng trung tuyến đồng
quy tại G.
A


M

B G D

M P
A

Hình 2 C
A



M Q
E

G

B D

F
N P
C
Hình 1

8

Giả sử AG giao với BP tại A. Ta chỉ ra A là trọng tâm của tam giác BCD
(hình 2).
Thật vậy, trong mặt phẳng (ABP) kẻ MM // AA (M thuộc BP).
Vì M là trung điểm của AB nên M là trung điểm của BA. Trong tam giác
PMM có G là trung điểm của PM, GA // MM nên A là trung điểm của PM.
Vậy BM = MA = AP suy ra A là trọng tâm của tam giác BCD.
Vậy bốn đờng trung tuyến đồng quy tại G.
Lại có GA là đờng trung bình của tam giác PMM nên GA =
1
2
MM; MM là
đờng trung bình của tam giác BAA nên MM =
1
2
AA. Suy ra GA =
1
4
AA
hay AG =
3
4
AA. Tơng tự với những đờng trung tuyến khác ta đợc trọng tâm
G ở
3

4
mỗi đờng trung tuyến kể từ đỉnh.
Hệ quả 1
Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì bốn khối tứ diện đỉnh G đáy là
các mặt của tứ diện đó là tơng đơng (tức là có cùng thể tích) và thể tích đó
bằng
1
4
thể tích của khối tứ diện ban đầu.
Chứng minh
Gọi H, H
1
lần lợt là hình chiếu của A và G
xuống mặt phẳng (BCD) (hình 3).
Theo Định lý 1 ta có AA = 4GA suy ra
AH = 4GH
1
, do đó
1
3
S
BCD
.AH =
1
3
S
BCD
.4GH
1
.

Hay V
ABCD
= 4V
GBCD
.
Tơng tự ta cũng có:
V
ABCD
= 4V
GACD
.
V
ABCD
= 4V
GBAD
.
A






G D
B
H H
1


A N

Hình 3 C




9

V
ABCD
= 4V
GBCA
.
Vậy V
GBCD
= V
GACD
= V
GBAD
= V
GBCA
=
1
4
V
ABCD
.
1.1.5. Định lý 2
Mọi mặt phẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện trong một tứ diện,

đều chia khối tứ diện đó thành hai khối tơng đơng.
Chứng minh
Giả sử ABCD là hình tứ diện. Gọi I, J là trung điểm của AB và CD; (

) là
mặt phẳng bất kì chứa I, J và cắt AC và BD tại E và F.
Dễ thấy IE, JF và BC song song với nhau từng đôi một hoặc đồng quy tại K.
Xét trờng hợp IE, JF và BC song song với nhau từng
đôi một. Khi đó E, F là trung điểm của AC và BD.
Suy ra kết quả là hiển nhiên.
Xét trờng hợp IE, JF và BC đồng quy tại K (hình 4),
ta có: V
1
= V
ADJEIF
= V
AIEJF
+ V
ADJF
.


V
2
= V
BCIEJF
= V
BIEJF
+ V
BJEC

.

Do IA = IB nên V
AIEJF
= V
BIEJF

Mặt khác: V
AJFD
=
1
3
h
A
.S
JFD

(h
A
là đờng cao của hình chóp A.JFD hạ từ A).
V
BJEC
=
1
3
h
E
.S
BCJ
(1)

(h
E
là đờng cao của hình chóp E.BCJ hạ từ E)
Ta lại có:

JFD
BJD
S FD
=
S BD
,
BCD
1 FD
S .
2 BD
=
JFD
S
.
Dễ thấy:
E
A
FD EC h
= =
BD CA h

Vậy V
AJFD
=
1

3
S
BCJ
.h
E
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: V
AJFD
= V
BJEC
hay V
1
= V
2

A


I


F D
B E

J
C



K Hình 4

10

1.1.6. Định lý 3
Tỉ số thể tích của hai khối tứ diện có một góc tam diện bằng nhau, bằng
tích các tỉ số của các cạnh của góc tam diện đó.
Chứng minh
Giả sử SABC và SABC
là hai
khối tứ diện có góc tam diện đỉnh S
bằng nhau. Khi đó ta có thể coi: A
thuộc SA, B thuộc SB, C thuộc SC. Ta
cần chứng minh:

SA'B'C'
SABC
V SA' SB' SC'
= . .
V SA SB SC

Gọi H và H lần lợt là hình chiếu của
A và A xuống mặt phẳng (SBC)
(hình 5).
Đặt

=

BSC
,

= (

SA,mp(SBC)
) ta có:
V
SABC
= V
ASBC
=
1
3
S
SBC
.AH =
1
3
.
1
2
.SB.SC.sin

.AH
=
1
6

.SB.SC.SA.sin

.sin


V
SABC
= V
ASBC
=
1
3
.S
SBC
.AH =
1
3
.
1
2
.SB.SC.sin

.AH =
1
6
.SB.SC.SA.sin

.sin

Vậy:
SA'B'C'
SABC
1
.SA'.SB'.SC'.sin.sin
V
SA'.SB'.SC'
6
= =
1
V SA.SB.SC
.SA.SB.SC.sin.sin
6
(đpcm).
1.1.7. Định lý 4
Trong một tứ diện tổng các bình phơng của hai cặp cạnh đối diện nào đó
luôn lớn hơn bình phơng tổng cặp cạnh còn lại.
Chứng minh



A
A


S

C

H C
H

D
B
B
Hình 5





11

Ta cần chứng minh với tứ diện
ABCD bất kì luôn có
(AC + BD)
2
+ (AD + BC)
2
> (AB + CD)
2
.
Thật vậy gọi O, M, N, P, Q lần lợt là
trung điểm của DC, AC, BC, DB, DA
(hình 6). Thế thì MNPQ là hình bình
hành và do O không nằm trong mặt phẳng
(MNPQ), nên MOP và NOQ là các tam
giác thực sự. Theo tính chất các cạnh của
tam giác ta có:

(OM + OP) > MP


(OM + OP)
2
> MP
2
.
(ON + OQ) > NQ


(ON + OQ)
2
> NQ
2
.
Suy ra:
(OM + OP)
2
+ (ON + OQ)
2
> MP
2
+ NQ
2
. (1)
Theo tính chất hình bình hành ta có:
MP
2
+ NQ

2
= 2(PQ
2
+ QM
2
). (2)
Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacôpski:
2(PQ
2
+ QM
2
)

(PQ + QM)
2
. (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
(OM + OP)
2
+ (ON + OQ)
2
> (PQ + QM)
2
.
Mặt khác ta có: OM =
1
2
AD; ON =
1
2

BD; PQ =
1
2
AB; OP =
1
2
BC,
OQ =
1
2
AC, QM =
1
2
DC nên suy ra
(
1
2
AC +
1
2
BD)
2
+ (
1
2
AD +
1
2
BC)
2

> (
1
2
AB +
1
2
DC)
2
hay
(AC + BD)
2
+ (AD + BC)
2
> (AB + DC)
2
(đpcm).

D


Q O


A P C
M
N

B
Hình 6

12

1.1.8. Định lý 5
Tổng các góc nhìn từ một điểm nằm trong tứ diện xuống các cạnh tứ diện
lớn hơn 3

.
Chứng minh
Giả sử ABCD là tứ diện, O là một điểm nằm trong tứ diện. Khi đó ta cần
chứng minh:
(






+ + + + +
AOB AOC AOD BOC COD DOB
) > 3


Thật vậy gọi I là giao điểm của đờng thẳng DO và mặt phẳng (ABC), K là giao
điểm của đờng thẳng AI và BC (hình 7).
Ta biết rằng trong một góc tam diện, độ lớn của một mặt nhỏ hơn tổng độ lớn
của hai mặt kia nên

AOB BOC AOB BOK KOC AOK KOC
AOI IOK KOC AIO IOC ( AOD) ( DOC)
+ = + + > +
= + + > + = +
Vậy


AOB BOC
+
>


( AOD) ( DOC)
+
.
Hay

AOB BOC
+
+


AOD DOC
+
> 2

.
(
)
1

Chứng minh tơng tự ta có:





AOB COD AOC BOD
+ + +
> 2

,
(
)
2

AOC DOB AOD BOC
+ + +
> 2

.
(
)
3

Cộng theo vế của
(
)
1
,
(
)
2
,
(
)
3
ta đợc:
2(

AOB AOC AOD BOC COD DOB
+ + + + +
) > 6

.
Suy ra (






AOB AOC AOD BOC COD DOB
+ + + + +
) > 3

(đpcm).
1.1.9. Định lý 6
Trong một tứ diện bất kì, bao giờ cũng có ít nhất một góc tam diện mà ba
mặt đều nhọn.
Chứng minh
Tổng của các mặt của các góc tam diện trong một tứ diện bằng tổng các
góc của bốn tam giác hợp thành tứ diện đó tức là bằng 4.180
0
.

A





I

D O C


K

B

Hình 7





13

Nh vậy, trong bốn góc tam diện phải có ít nhất một góc với tổng các mặt sẽ nhỏ
hơn (hoặc bằng)
=
0
0
4.180
180

4
.
Ta sẽ chỉ ra ba mặt của góc tam diện này đều nhọn:
Thật vậy nếu trong ba mặt của góc tam diện này có một góc tù thì nó lớn hơn
tổng của hai mặt còn lại. Nh vậy sẽ mâu thuẫn với tính chất: Trong một góc
tam diện tổng của hai mặt sẽ lớn hơn mặt còn lại.
Suy ra trong một tứ diện bất kì, bao giờ cũng
có ít nhất một góc tam diện mà cả ba mặt đều
nhọn.
1.1.10. Định lý 7
Trong một tứ diện, mặt phẳng phân giác
của một nhị diện chia cạnh đối thành hai đoạn
tỉ lệ với diện tích hai mặt bên là hai mặt của
nhị diện.
Chứng minh
Giả sử SABC là một tứ diện.
Ta xét góc nhị diện cạnh SB bằng

và mặt phẳng phân giác của nó cắt AC tại I
(hình 8).
Kẻ các đờng cao AM, CN của các tam giác SAB, SBC. Gọi AH, KC lần lợt là
các đờng cao của tứ diện ASBI và CSBI thì:

= = = = =

SAB
SCB
SB
AMsin AM.
IA HA AM

2 2
SB
IC KC CN
CNsin CN.
2 2
S
S
. Vậy ta đợc đpcm.
1.1.11. Định lý 8 (Định lý hàm số sin cho tứ diện)
Trong một tứ diện tích của các cặp cạnh đối chia cho tích của sin các nhị
diện của từng cặp đó là bằng nhau.



Hình 8





14

Bổ đề 1
Gọi

, V là góc nhị diện cạnh AB và thể tích của tứ diện ABCD. Khi đó
ta có

=
ABC ABD

2S S sin
V
3.AB
.
Chứng minh
Kẻ CK

AB, CH

(ABD), từ đó suy ra
HK

AB và

CKH
=
(hình 9).
Ta có CH = CK.sin


=
ABC
2S
sin
AB
.
V
ABCD
=
=

DAB CAB
ABD
1 2S .S
S .CH .sin
3 3.AB
(đpcm).
Trở lại bài toán ta giả sử AB = a, CD = c là hai cặp
cạnh đối diện của tứ diện ABCD. Gọi

và

tơng ứng là các góc nhị diện
cạnh AB, CD của tứ diện đó. Đặt S
1
= S
ABC
, S
2
= S
ABD
, S
3
= S
BCD
,

S
4
= S
ACD

.
Theo Bổ đề 1 ta có:
1 2 3 4
2S S sin 2S S sin
V
3a 3c

= =
.
Suy ra:

=
2
1 2 3 4
4S S S S sin sin
V
9ac
do đó:
1 2 3 4
2
ac 4S S S S
sin sin 9V
=

(1)
Vì vế trái (1) là biểu thức hoàn toàn bình đẳng với các cạnh và
sin

, sin

của
các góc nhị diện tơng ứng, nên
1 2 3 4
2
4S S S S
9V
là giá trị chung cho tỷ số của tích
các cặp cạnh đối tứ diện với tích các sin của các nhị diện của từng cặp cạnh đối
đó.
Chú ý

Nếu gọi AB = a; BC = b; CD = c; DA = d; AC = e; BD = f và

, , , , ,

tơng ứng là góc nhị diện của các nhị diện cạnh a, b, c, d, e, f thì Định lý 8 cho
ta
1 2 3 4
2
ac bd ef 4S S S S
sin sin sin sin sin sin 9V
= = =

(2)
C

D B

H
K
A
Hình 9




15

Định lý này cũng gọi là định lý hàm số sin cho tứ diện (thờng gọi là Định lý
hàm số sin thứ hai).
1.1.12. Định lý 9

Cho một hình tứ diện bất kì và một điểm N. Khi đó sáu mặt phẳng, mỗi
mặt phẳng đi qua một cạnh của tứ diện và song song với đờng thẳng nối từ N
tới trung điểm của cạnh đối diện với cạnh mà mặt phẳng đi qua thì giao nhau tại
một điểm.
Chứng minh
Giả sử ABCD là hình tứ diện.

Xét mặt
phẳng (

) đi qua AB song song với MN, ở
đây M là trung điểm của cạnh CD (hình 10).

Giả sử I là trung điểm của AB, và G là trung

điểm của IM, (nh vậy G là trọng tâm của tứ
diện).
Gọi N là điểm đối xứng của N qua G thì suy
ra tứ giác INMN là hình bình hành suy ra
IN// NM.
Vì vậy, mặt phẳng xác định bởi AB và IN chính là (

).
hay N
( )

.
Tơng tự ta cũng có N thuộc năm mặt phẳng còn lại.
Nh vậy có 6 mặt phẳng đều đi qua N, đó chính là điểm đối xứng với N qua
trọng tâm G. Ta đợc đpcm.
1.1.13. Định lý 10

Sáu mặt phẳng đi qua trung điểm của một cạnh của hình tứ diện và vuông
góc với cạnh đối diện thì giao nhau tại một điểm, điểm đó gọi là điểm Monge
của tứ diện.
Chứng minh

Giả sử ABCD là hình tứ diện. Xét mặt phẳng (

) đi qua trung điểm I của
AB và vuông góc với CD.

Hình 10

16
Gọi J là trung điểm của CD và G là trung điểm
của IJ. Khi đó G là trọng tâm của tứ diện (hình
11). Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện
và O đối xứng của O qua G.
Khi đó IOJO là hình bình hành nên IO// OJ.
Do OA = OB = OC = OD, mà J là trung điểm
của CD nên OJ

CD suy ra IO

CD.
Vậy (

) là mặt phẳng vuông góc với CD và
qua I mà IO

CD.
Suy ra IO

(

) hay (

) qua O.
Lập luận tơng tự, cả 5 mặt còn lại đều đi qua O. Nh vậy cả 6 mặt phẳng đều
đi qua O, đó là điểm đối xứng của tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện qua trọng tâm
G tức là 6 mặt phẳng đã cho giao nhau tại một điểm O.

1.1.14.

Định lý 11

Sáu mặt phẳng trung trực của các cạnh của một tứ diện đồng quy tại một
điểm, điểm đó cách đều 4 đỉnh của tứ diện và gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện.
Chứng minh

Cho tứ diện ABCD. Gọi I là giao điểm của ba
đờng trung trực của tam giác BCD. Suy ra I là tâm
đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD (hình 12).
Hai mặt trung trực của hai cạnh BC và CD có điểm
chung I, nên phải cắt nhau theo giao tuyến d.
Suy ra d

(BCD).
Hai mặt phẳng trung trực của BD và CD cũng có
chung điểm I, nên phải cắt nhau theo giao tuyến d
qua I và d

(BCD). Suy ra d

d.
Vậy ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh tam giác BCD cắt nhau theo đờng
thẳng d vuông góc với mặt phẳng (BCD) tại I.

d

A

O
B D



I



C

Hình 12


A


I
O
B D
G
O
J


C
Hình 11

17
Cạnh AB xiên góc so với mặt phẳng (BCD), nên mặt phẳng trung trực của AB cắt
đờng thẳng d tại một điểm O.
Suy ra O là điểm chung của bốn mặt trung trực của bốn cạnh BC, CD, DB và AB,
vì vậy OB = OC = OD = OA. Các đẳng thức OC = OA và OD = OA chứng tỏ O
cũng đồng thời thuộc các mặt trung trực của AC và AD.
Vậy O là giao điểm của sáu mặt phẳng trung trực của các cạnh của tứ diện đã
cho, O cũng chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.
1.1.15. Định nghĩa 4
Mặt phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện của một tứ
diện gọi là mặt phẳng trung diện của tứ diện đó.
1.1.16. Định lý 12
Sáu mặt phẳng trung diện đồng quy tại trọng
tâm tứ diện. Mỗi mặt phẳng đó chia khối tứ diện
thành hai phần tơng đơng.
Chứng minh
Giả sử ABCD là hình tứ diện. Gọi M, N, P, Q,
E, F lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD,
DA, AC, BD (hình 13). Khi đó MP, NQ, EF đồng
quy tại trọng tâm G của tứ diện.
Suy ra các mặt phẳng (ABP), (CDM), (AND), (BCQ), (ACF), (BDE) là mặt
phẳng trung diện của tứ diện và sáu mặt phẳng trung diện này đồng quy tại trọng
tâm của tứ diện.
Vì mỗi mặt phẳng này đều đi qua đờng trung bình của tứ diện nên theo Định lý
2 mỗi mặt phẳng này chia khối tứ diện thành hai phần tơng đơng. Ta có đpcm.
1.2.
Mặt cầu nội, ngoại tiếp tứ diện

1.2.1. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
1.2.1.1. Định nghĩa 5
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện đó.

A



M Q
E
G
B F
1
D

N P

C
Hình 13





18

1.2.1.2. Định lý 13
Cho hình chóp có đáy là một đa giác lồi. Điều kiện cần và đủ để tồn tại
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó là đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp.

Chứng minh
+) Điều kiện cần
Giả sử tồn tại một mặt cầu tâm O ngoại tiếp hình chóp S.A
1
A
2
A
n
, khi đó:
OA
1
= OA
2
= = OA
n
(1)
Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng đáy (A
1
A
2
A
n
) thế thì
HA
1
= HA
2
= = HA
n
(2)

Đẳng thức (2) chứng tỏ rằng đáy A
1
A
2
A
n
là một đa giác nội tiếp (đờng tròn
tâm H).
+) Điều kiện đủ
Giả sử A
1
A
2
A
n
là một đa giác nội tiếp. Gọi H là tâm đờng tròn ngoại tiếp
đáy. Qua H dựng đờng thẳng vuông góc với đáy (A
1
A
2
A
n
). Dựng mặt phẳng
trung trực (

) của một cạnh bên bất kỳ của chóp (chẳng hạn cạnh SA
1
). Do
không song song với (

) nên

(

) = O.
Khi đó: OS = OA
1
= OA
2
= = OA
n
.
Chứng tỏ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đa giác S.A
1
A
2
A
n
.
Vậy điều kiện cần và đủ để hình chóp S.A
1
A
2
A
n
nội tiếp trong mặt cầu là đa
giác đáy A
1
A
2

A
n
phải là đa giác nội tiếp.
Nh vậy tứ diện luôn tồn tại mặt cầu ngoại tiếp.
Từ đó ta có cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện SA
1
A
2
A
3
nh sau:
- Xác định tâm H của đờng tròn ngoại tiếp tam giác đáy A
1
A
2
A
3
.
- Dựng đờng thẳng

vuông góc với đáy A
1
A
2
A
3
tại H
- Vẽ một mặt phẳng trung trực (

) của một cạnh bên bất kỳ của hình

chóp.
- Giả sử



(

) = O. Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần dựng.





19

Chú ý
Trong các trờng hợp sau đây mặt phẳng trung trực (

) nói trên có thể thay
bằng đờng trung trực:
+) Khi hình chóp là đều (khi đó

qua đỉnh S), tâm mặt cầu ngoại tiếp là giao
của

và một đờng trung trực bất kì của một cạnh bên.
+) Khi hình chóp có một cạnh vuông góc với đáy, chẳng hạn SA
1
. Lúc đó gọi
(Q) là mặt phẳng đợc xác định bởi

và SA
1
(vì

// SA
1
). Trong (Q) vẽ trung
trực của SA
1
. Gọi

là trung trực của SA
1
và O =



thì O là tâm mặt cầu
ngoại tiếp cần tìm.
1.2.2. Mặt cầu nội tiếp tứ diện
1.2.2.1. Định nghĩa 6
Mặt cầu nội tiếp tứ diện là mặt cầu nằm bên trong tứ diện và tiếp xúc với
tất cả các mặt của tứ diện đó.
Nhận xét
Tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện cách đều tất cả các mặt của hình tứ diện nên
nằm trên các mặt phẳng phân giác của các góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng kề
của tứ diện.
1.2.2.2. Định lý 14
Trong một tứ diện ta luôn có

tp
3V
r
S
=
với r, V và S
tp
tơng ứng là bán kính mặt
cầu nội tiếp, thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện.
Chứng minh
Giả sử SA
1
A
2
A
3
là hình tứ diện (hình 14).
Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp, khi đó các hình chóp ISA
1
A
2
; ISA
2
A
3
; ISA
1
A
3
;

IA
1
A
2
A
3
có cùng chiều cao r.
Gọi S
1
; S
2
; S
3
; S tơng ứng là diện tích của các tam giác: SA
1
A
2
, SA
2
A
3
, SA
1
A
3

và diện tích đáy A
1
A
2

A
3
.
V
1
, V
2
, V
3
, V
4
tơng ứng là thể tích của các tứ diện ISA
1
A
2
; ISA
2
A
3
; ISA
1
A
3
;
IA
1
A
2
A
3

.




20

Ta có:
V = V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
=
1 2 3
1
r(S + S +S + S)
3

tp
1
S .r
3
=

Từ đó suy ra:
tp

3V
r
S
=
. Đó là đpcm.
Chú ý
Với hình chóp đa giác bất kì ta cũng có
tp
3V
r
S
=
với r, V và S
tp
tơng ứng là
bán kính mặt cầu nội tiếp, thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp.
1.2.2.3. Định lý 15
Nếu R và r tơng ứng là bán kính
mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp của một tứ
diện thì ta có R 3r.
Chứng minh
Gọi G
1
, G
2
, G
3
, G
4
lần lợt là trọng

tâm của các mặt BCD, ACD, ABD, ABC
(hình 15). Khi đó
G
1
G
2
// AB, G
1
G
4
//AD, G
1
G
3
// AC. Vậy
hai tứ diện ABCD và G
1
G
2
G
3
G
4
là hai tứ
diện đồng dạng theo tỉ số
1
3
.
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G
1

G
2
G
3
G
4
thì
R
R'
3
=
(1)
Rõ ràng mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G
1
G
2
G
3
G
4
không nhỏ hơn mặt cầu nội tiếp tứ
diện ABCD, tức là R r (2)
Từ (1) và (2) suy ra: R 3r

đpcm.

S

I

A
1
A
3


A
2

Hình 14
A





G
4
G
3

G
2

B D

N G
1

M



C
Hình 15




21

1.2.2.4. Định lý 16
Gọi r, V là bán kính mặt cầu nội tiếp và thể tích của tứ diện A
1
A
2
A
3
A
4
;
h
1
, h
2
, h
3
, h
4

tơng ứng là chiều cao của hình tứ diện kẻ từ A
1
, A
2
, A
3
, A
4
.
Khi đó ta có
1 2 3 4
1 1 1 1 1
h h h h r
+ + + =
.
Chứng minh
Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp của tứ diện tứ diện đã cho và gọi V
1
, V
2
, V
3
, V
4

lần lợt là thể tích của các hình chóp đỉnh I với các đáy A
2
A
3
A

4
, A
1
A
3
A
4
,
A
1
A
2
A
4
, A
1
A
2
A
3
và V là thể tích hình chóp
A
1
A
2
A
3
A
4
(hình 16).

Ta có: V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
= V.
Suy ra
1 2 3 4
V V V V
1
V V V V
+ + + =
,
hay
+ + + =
1 2 3 4
r r r r
1
h h h h
.
Vậy
1 2 3 4
1 1 1 1 1
h h h h r
+ + + =
.
1.2.3. Mặt cầu giả nội tiếp tứ diện

1.2.3.1. Định nghĩa 7
Mặt cầu giả nội tiếp tứ diện là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh (không
kể phần kéo dài) của tứ diện.
Nhận xét
Nếu O là tâm mặt cầu giả nội tiếp tứ diện thì O cách đều các cạnh của tứ
diện nên O nằm trên các trục của đờng tròn nội tiếp các mặt của tứ diện.
1.2.3.2. Định lý 17
Điều kiện cần và đủ để tồn tại mặt cầu giả nội tiếp tứ diện ABCD là
AB + CD = AC + BD = AD + BC. (1)


A
1



I

A
2
A
3


A
4

Hình 16

22

Chứng minh
+) Điều kiện cần
Giả sử tồn tại mặt cầu tâm O, tiếp xúc với
AB, BC, CD, DA, AC, BD tại M, N, P, Q, R, S
(hình 17). Khi đó:
OAM = OAR = OAQ => AM = AR = AQ
Tơng tự:
BM = BS = BN; CP = CR = CN; DP = DR = DQ.
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có
AM + BM + CP + DP = AR + CR + BS + DS
= AQ + DQ + BN + CN hay AB + CD = AC + BD = AD + BC
+) Điều kiện đủ
Giả sử đã có (1). Gọi (O
1
, r
1
), (O
2
, r
2
) là các đờng tròn nội tiếp BCD,
ACD và các tiếp điểm trên CD tơng ứng là P và P.
Khi đó dễ dàng chứng minh:
( )
1
CP . AC CD AD

2
= +
;
( )
1
CP' . BC CD BD
2
= +

Mà AC + BD = AD + BC nên AC - AD = BC - BD.
Do đó CP = CP suy ra P P (hình 18).
Gọi PO là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp
O
1
PO
2
. Khi đó:

o
1
OO P 90
= (góc nội tiếp chắn nửa
đờng tròn).
OO
1
O
1
P mà CD (O
1
PO

2
); CD O
1
O suy ra
O
1
O (BCD) hay OO
1
là trục đờng tròn nội tiếp BCD.
Ta cũng có OO
2
là trục đờng tròn nội tiếp

ACD
. Hai trục này cắt nhau tại O.
Tơng tự ta chứng minh đợc các trục của các đờng tròn nội tiếp các mặt của tứ
diện đôi một cắt nhau. Vì không có ba trong bốn trục nào đồng phẳng nên chúng
A



M Q

R S
B D

N P

C
Hình 17

A



O
2
O
B D
O
1

P


C
Hình 18




23

đồng quy (tại O). Khi đó O cách đều các cạnh của tứ diện nên O là tâm mặt cầu
giả nội tiếp tứ diện. Ta có đpcm.
Khi nghiên cứu về mặt cầu giả nội tiếp tứ diện ta thờng xét trờng hợp
đặc biệt là tâm mặt cầu giả nội tiếp nằm trên một cạnh của tứ diện. Điều kiện cần
và đủ để tồn tại mặt cầu đó đợc trình bày ở định lý sau:
1.2.3.3. Định lý 18
Điều kiện cần và đủ để tồn tại một mặt cầu có tâm nằm trên cạnh AB của
tứ diện ABCD đồng thời tiếp xúc với các cạnh AC, AD, BC, BD là AC = AD và

BC = BD.
Chứng minh
+) Điều kiện cần
Giả sử mặt cầu tâm S với S nằm trên AB
tiếp xúc với các cạnh AD, AC, BC, BD lần lợt
tại các điểm M, N, Q, P (hình 19).
Vì BP = BQ, SP = SQ nên
SBP SBQ
=
.
Suy ra


SBC SBD.
=
Tơng tự


SAD SAC.
=

Vậy

ABD =

ABC hay AD = AC, BC = BD.
+) Điều kiện đủ
Giả sử AC = AD, BC = BD, khi đó

ABD =

ABC.
Suy ra


DAB CAB
=
(1).
Đờng phân giác trong của góc

ADB
cắt AB tại S thì
SA AD AC
SB BD BC
= =
suy ra
CS là phân giác trong của góc

ACB
. Dựng SM, SN, SP, SQ lần lợt vuông góc
với các cạnh AD, AC, BD, BC thì từ (1) ta có:

ASM =

ASN.
Từ đó SM = SN = SP = SQ nên S là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh AD, AC,
BD, BC.

D



M

A N C

P
S Q

B
Hình 19





24

1.2.4. Mặt cầu giả bàng tiếp tứ diện
1.2.4.1. Định nghĩa 8
Cho tứ diện ABCD, mặt cầu giả bàng tiếp trong góc tam diện đỉnh A là
mặt cầu tiếp xúc với các cạnh BC, CD, BD và tiếp xúc với tia đối của các tia BA,
CA, DA.
1.2.4.2. Định lý 19
Điều kiện cần và đủ để tứ diện ABCD có mặt cầu giả bàng tiếp trong góc
tam diện đỉnh A là
BC - AD = CD - BA = DB - AC.
Chứng minh

+) Điều kiện cần
Giả sử (O) là mặt cầu tiếp xúc
với các cạnh BC, CD, DB lần lợt
tại N, P, S đồng thời tiếp xúc với
các tia đối của các tia BA, CA,
DA lần lợt tại M, T, Q (hình 20).
Khi đó ta có
BS = BN = BM = x; CN = CT = CP = y;
DQ = DP = DS = z; AQ = AM = AT = t.
Từ đó BC - AD = (x + y) - (t - z) = x + y + z - t,
và DB - AC = (x + z) - (t - y) = x + y + z - t.
Suy ra BC - A D = DB - AC.
Tơng tự ta có: BC - AD = CD - AB.
Vậy BC - AD = CD - AB = DB - AC.
+) Điều kiện đủ
Giả sử BC - AD = DB - AC = DC - AB. Đờng tròn nội tiếp

BCD
(tâm O
1
)
tiếp xúc với BC tại N, đờng tròn bàng tiếp

ABC
(tâm O
2
) ứng với đỉnh A tiếp
xúc với BC tại N
1
.

Q
D

P O
A
S N C T

B M
Hình 20




25

Ta đi chứng minh: N

N
1
.
Thật vậy, do DB - AC = CD - AB suy ra
BC + BD - CD = AC + BC - AB
Do đó 2.BN = BC + BD - CD
= (AB + AC + BC) - 2.AB = 2(AM - AB)
Suy ra BN = BM = BN
1
hay N

N
1
(hình
21).
Xét đờng tròn ngoại tiếp

O
1
NO
2
với
đờng kính là NO, lúc đó NO
1


OO
1
và
NO
2


OO
2
(1)
Mặt khác BC

NO
1
, BC

OO
2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra OO
1

mp(BCD) và OO
2

mp(ABC). Vậy O cách đều các
đờng thẳng BC, CD, DB, AC, AB. Tơng tự nếu gọi O
3
là tâm đờng tròn bàng
tiếp tam giác ACD (ứng với đỉnh A) thì cũng có OO
3


mp (ADC).
Từ đó O cách đều các đờng thẳng AD, AC, CD. Vậy O là tâm mặt cầu giả bàng
tiếp trong góc tam diện đỉnh A.
Hệ quả 2
Mọi tứ diện gần đều (xem 2.3.1) luôn tồn tại mặt cầu giả bàng tiếp.
Kết luận chơng 1
Chơng này gồm 8 định nghĩa, 19 định lý, 2 hệ quả và 1 bổ đề về tứ diện.
Từ định lý 1 đến định lý 12 thể hiện các tính chất chung của tứ diện, đó là các
tính chất về trọng tâm, mối liên hệ giữa các cạnh, thể tích của tứ diện và các mặt
phẳng đặc biệt. Các tính chất về mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp, giả nội tiếp và giả
bàng tiếp tứ diện đợc trình bày khá đầy đủ từ định lý 13 đến định lý 19. Mỗi
loại mặt cầu đều có định nghĩa, điều kiện tồn tại và cách xác định tâm. Mặt cầu

giả nội tiếp và giả bàng tiếp là vấn đề mới, mở rộng hơn so với chơng trình
Toán phổ thông, tạo điều kiện thuận lợi cho bạn đọc muốn tìm hiểu thêm về các
loại mặt cầu.

Q


D
P O

A
S O
1
C T
N O
2

B
M
Hình 21