tính thể tích theo tỉ số

TỪ MỘT BÀI TOÁN ĐÃ BIẾT
VẬN DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÁC

PHÙNG ĐĂNG KHÁNH
Toán học là bộ môn khoa học suy luận, vận dụng sáng tạo từ những điều đã biết. Việc dạy
toán trong nhà trường phổ thông hiện nay đòi hỏi người thầy phải tìm mọi cách rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh, nhất là đối với học sinh lớp cuối cấp chuẩn bị cho các kỳ thi Tốt
nghiệp, Đại học và Cao đẳng. Đây là việc làm đòi hỏi sự công tâm của người thầy trong quá
trình chuẩn bị bài dạy. Trong bài viết này tôi trình bày cách giải một số bài toán từ một bài toán
đã biết, để làm cho học sinh thấy được sự vận dụng linh hoạt trong giải toán.
Xuất phát từ bài toán số 4 trang 25 hình học 12 – cơ bản:
Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác S.
Chứng minh rằng:
. ' ' '
.
' ' '
. .
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=
Giải:
Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A’ lên mp(SBC).
Ta có
' ' 'A H SA
AH SA
=
và
·

·
' '
1
sin ' '. '. '
'. '
2
1
.
sin . .
2
SB C
SBC
B SC SB SC
S
SB SC
S SB SC
BSC SB SC
∆
∆
= =
Vậy
' '
. ' ' '
.
1
' .
' ' '
3
. .
1

.
3
∆
∆
= =
SB C
S A B C
S ABC
SBC
A H S
V
SA SB SC
V SA SB SC
AH S
Sau khi chứng minh bài toán này (ta tạm coi đây là bài toán cơ sở) để đi giải quyết các
bài toán tương tự rất hiệu quả.
Bài tập số 5 trang 26 SGK hình học 12 – cơ bản:
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với
mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C, vuông góc với BD cắt BD tại
F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a.
Giải:
Ta có
3
.
1
.
3 6
D ABC ABC
a
V DC S

∆
= =
Theo bài toán số 4 ở trên ta có:
2
.
2
.
. . .= = =
D FEC
D ABC
V
DF DE DC DF DE DF
V DA DB DC DA DB DA
(Vì
( )
DB CEF DFE⊥ ⇒ ∆
vuông tại F, suy ra
DF DE
DFE DAB
DA DB
∆ ∆ ⇒ =:
)
Mặt khác
2 2
2DA a=
CDB
∆
vuông tại C, có CF là đường cao nên
2
.CD DF DB=

1
Suy ra
= = =
2 2
.
3 3
CD a a
DF
DB
a
Vậy
2
2
.
2 2
.
1
3
.
2 6
D FEC
D ABC
a
V
DF
V DA a
= = =
Do đó
3
. .

1
. .
6 36
= =
D FEC D ABC
a
V V
Bài tập số 8 trang 26 SGK hình học 12 – cơ bản:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB = a,
AD = b, SA = c. Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB’ vuông góc với SB,
AD’ vuông góc với SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
Giải:
Gọi
' '
1 . 1 . ' ' 2 . 2 . ' '
, , ,
S ABC S AB C S ADC S AD C
V V V V V V V V= = = =
Dễ thấy
1 2
1
.
6
V V abc= =
Ta có
( )
'
1
1
' '

. 1
V SB SC
V SB SC
=
( )
'
2
2
' '
. 2
V SC SD
V SC SD
=
Từ (1) và (2) suy ra
+
= +
' '
1 2
1
' ' ' '
. .
V V SB SC SC SD
V SB SC SC SD


 
= +
 ÷
 
' ' '

.
SC SB SD
SC SB SD
Mặt khác dễ chứng minh được
( ' ' ') 'SC AB C D AC SC⊥ ⇒ ⊥

2
2
2
'
'.
SC SA
SA SC SC
SC SC
⇒ = ⇒ =
Do đó
=
+ +
2
2 2 2
'SC c
SC a b c
.
Tương tự ta có
= = = =
+ +
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
' '
,

SB SA c SD SA c
SB SB a c SD SD b c

Mà
' '
1 2 . ' ' 'S AB C D
V V V+ =
nên suy ra
. ' ' ' 1
' ' '
.
S AB C D
SC SB SD
V V
SC SB SD
 
= +
 ÷
 

( )
( ) ( ) ( )
5 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
6
abc a b c
a b c a c b c
+ +
=

+ + + +
2
Bài tập số 9 trang 26 SGK hình học 12 – cơ bản:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một
góc 60
0
. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và
cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
Giải:
Ta có
( )
.
.
. 1
S AEM
S ABC
V
SE SM
V SB SC
=
Tam giác SAC là tam giác đều cạnh
a 2
nên có đường cao
3 6
2.
2 2
a
SO a= =
Mặt khác:
3

2
.
1 1 6 6
. .
3 2 2 12
S ABC
a a
V a= =
,
2 1
,
3 2
SE SI SM
SB SO SC
= = =
Từ (1) suy ra
.
.
2 1 1
.
3 2 3
S AEM
S ABC
V
V
= =
.
3 3
. .
1 1 6 6

. .
3 3 12 36
S AEM S ABC
a a
V V⇒ = = =
Dễ thấy EF//BD
AEM AFM⇒ ∆ = ∆
Suy ra
3 3
. .
6 6
2. 2.
36 18
S AEMF S AEM
a a
V V= = =
Bài tập số 10 trang 27 SGK hình học 12 – cơ bản:
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
a/ Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C.
b/ Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F.
Tính thể tích hình chóp C. A’B’F’E.
Giải:
a/ Dễ thấy
3
2
'. ' '
1 1 1 3 3
. . ' . . .
3 3 2 2 12
A BB C BB C

a a
V S A K a= = =
b/ Ta có
. ' '
. ' '
2
3
C A B E
C A B A
V
CE
V CA
= =
3 3
. ' ' . ' '
2 2 3 3
. .
3 3 12 18
C A B E C A B A
a a
V V⇒ = = =
. '
. '
' 2 2 4
. . .
' 3 3 9.
C B FE
C B BA
V
CE CF CB

V CA CB CB
= = =
3 3
. ' . '
4 4 3 3
. .
9 9 12 27
C B FE C B BA
a a
V V⇒ = = =
3
Vậy
3 3 3
. ' ' . ' ' . '
3 3 5 3
18 27 54
C A B FE C A B E C B FE
a a a
V V V= + = + =
Đề thi Cao đẳng 2009
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a,
2SA a=
. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của SA, SB, CD. Chứng minh rằng MN vuông góc với SP. Tính theo a thể tích khối tứ diện
AMNP.
Hướng dẫn:
Bạn đọc tự chứng minh MN vuông góc với SP
Ta có
.
.

1
.
4
S MNP
S ABP
V
SM SN
V SA SB
= =
Mà
. .S MNP A MNP
V V=
.
Suy ra
3
. .
1 6
. .
4 48
A MNP S ABP
a
V V= =
Đề thi Đại học Khối D 2009
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a,
A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích
khối tứ diện I.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC).
Hướng dẫn:
Ta có:
.
. '

2
' 3
C ABI
C ABA
V
CI
V CA
= =
Mà
. '
1 1
. . '.
3 2
C ABA
V AB AA BC=

3
1 1 2
. .2 .2
3 2 3
a
a a a= =
Vậy
3 3
.
2 2 4
.
3 3 9
C ABI
a a

V = =
4
Bạn đọc tự tính khoảng cách từ A đến mp(IBC).
5
Đề thi Đại học Khối D 2010
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu
vuông góc của S lên mp(ABCD) là điểm H thuộc AC,
4
AC
AH =
, gọi CM là đường cao của tam
giác SAC. Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích tứ diện SMBC theo a.
Giải:
Ta có
2 3 2
2, ,
4 4
a a
AC a AH CH= = =
2 2
2 2 2 2
7
8 8
a a
SH SA AH a= − = − =
2 2
2 2 2 2
7 9
2
8 8

a a
SC SH HC a= + = + =
2SC a⇒ =
Suy ra tam giác SAC cân tại C. Do đó CM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
nên M là trung điểm của SA.
Ta có
.
.
1
.
2
S MBC
S ABC
V
SM
V SA
= =
Mà
3
2 3
.
1 1 7 1 14 14
. .
3 2 8 12 2 24
S ABC
a
V a a a= = =
Do đó:
3
. .

1 14
.
2 48
S MBC S ABC
a
V V= =
BÀI TOÁN TỰ GIẢI
1. Cho hình chóp S.ABC, M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 3MA. Tính tỉ số thể
tích hai khối chóp M.SBC và M.ABC.
2. Cho tứ diện SABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = a,
Sb = b, SC = c. Hai điểm M, N lần lượt thuộc hai cạnh AB, BC sao cho
1 1
, .
3 3
AM AB BN BC= =
Mp(SMN) chia khối tứ diện SABC thành hai khối đa diện (H) và (H’), trong đó (H) là khối đa
diện chứa đỉnh C. Hãy tính tỉ số thể tích của (H) và (H’).
3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B, cạnh SA vuông góc với
đáy. Từ A kẻ AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết AB = a, BC = b, SA = c. Tính
thể tích khối chóp S.ADE.
4. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện
ABCD, I là trung điểm của AH. Một mặt phẳng
( )
α
luôn đi qua I cắt các cạnh AB, AC, AD lần lượt
tại M, N, P. Chứng minh rằng
1 1 1
AM AN AP
+ +
luôn luôn là một hằng số.

6