Chương II Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (312.64 KB, 13 trang )

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
19
Ch-ơng II:
phép tính vi phân hàm nhiều biến
kh ông gian R
n
Tiết: 16 - 18 Ngày soạn: Ngày dạy:
I/. Mục tiêu:
- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc.
II/. Tiến trình
1. Kiểm tra sỹ số:
2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3. Bài mới
Hoạt động

Nội dung

1
Chuẩn và không gian Mêtric trong R
n

+/.
n
R
là một không gian vecto với phép toán

1 1 2 2

, , ,
nn
x y x y x y x y
;

12
, , ,
n
x x x x

1 2 1 2
, , , ; , , , ;
n
nn
x x x x y y y y R R

Khi đó phần tử của
n
R

gọi là một vecto hay là một điểm.
+/. Chuẩn Euclid của
x
là số
2 2 2 2

12
1

n
ni
i
x x x x x

+/.
1 1 2 2
1

n
n n i i
i
xy x y x y x y x y

gọi là tích vô h-ớng của hai vecto
&xy
Khi đó
,,
n
x y z R
có

2

xy yx
x y z xy xz
x x x x x x

+/. Định lý 1:
, , &
n
x y z R R

ta có:

0; 0 0x x x

xx

.xy x y

x y x y

x z x y y z

+/. Khoảng cách giữa hai điểm
,xy
là số

2
1
,
n
ii
i
x y x y x y

gọi là khoảng cách Euclid trong
n
R
và
, , ;
n
x y z R R

, ta có:
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
20

, 0; , 0x y x y x y

,,x y y x

, , ,x z x y y z

,,x y x y

2

Tôpô trong R
n

+/. Cho
;0
n
xR

gọi

,
n
B x y R x y

là

_ lân cận của
điểm
x
Tức là:

_ lân cận của điểm
x
là tập hợp tất cả các điểm có khoảng
cách đến

x
bé hơn

,
n
B x y R x y

là

_ lân cận đóng
của điểm
x

x B x B x

+/. Điểm trong, điểm ngoài, điểm biên ( giáo trình ); Tập điểm biên của
A

ta ký hiệu là
A

+/. Tập
A
là mở nếu

; 0:x A B x A

Tập
A
là đóng nếu

; 0:x A B x A

+/. Ví dụ: ( giáo trình )
+/.
n
AR
Khi đó:

A A A
là tập đóng bé nhất chứa
A
và gọi là bao đóng của
A

0
\A A A
là tập mở lớn nhất nằm trong
A
và gọi là phần trong
của
A

0
\A A A

A
là tập liên thông nếu
12
,
n
S S R
thoả mãn
12
;S A S A

và
12
S S A

đều có
12
S S A

Tức là: Tập
A
đ-ợc gọi là liên thông nếu chia tập đó ra thành hai
phần rời nhau thì hai phần đó phải có ít nhất một điểm biên chung
nhau nằm trong
A

+/. Ví dụ: ( giáo trình )
+/. Tập
D
gọi là một miền trong
n
R
nếu
D
mở và
D
liên thông. Nếu
D
là
một miền thì
D D D
gọi là miền đóng.
+/. Ví dụ: ( giáo trình )

+/. Tập
n
AR
gọi là bị chặn nếu
0:c x c x A
Tức là
A
nằm
trong hình cầu đóng, tâm là gốc toạ độ, bán kính
c

4. Bài tập về nhà
5. Rút kinh nghiệm
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
21
hàm nhiều biến - giới hạn

Tiết: 19 - 21 Ngày soạn: Ngày dạy:
I/. Mục tiêu:
- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc.
II/. Tiến trình
1. Kiểm tra sỹ số:
2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3. Bài mới
Hoạt động

Nội dung

1
Hàm nhiều biến

a
Các khái niệm

- Cho
n
XR
, một quy luật
f
đặt t-ơng ứng mỗi điểm

12
, , ,
n
x x x x X
với một số thực

12
, , ,
n
u f x x x R
gọi là một
hàm
n
biến số có miền xác định là tập

X
.
- Ký hiệu hàm
f
có miền xác định
X
là

,u f x x R
hoặc

,x f x x R

- Nếu

12
, , ,
n
u f x x x
là hàm cho bởi một công thức thì miền xác định
của hàm
f
là tập tất cả các điểm

12
, , ,
n
x x x
mà công thức đã cho xác
định.

- Nếu
f
là một hàm hai biến thì ta sẽ ký hiệu

, ; ,z f x y x y R

- Ví dụ: +/. Hàm hai biến

22
, ln 1z f x y x y
có miền xác định là
hình tròn mở ( không kể biên ) tâm O, bán kính 1
+/. Hàm hai biến

,z g x y xy
có miền xác định là tập các
điểm

,xy
có một trong hai toạ độ bằng 0 hoặc hai toạ độ cùng dấu, tức là
miền xác định của nó góc phần t- thứ I & III cùng với các trục toạ độ.

b
Biểu diễn hình học của hàm hai biến

- Cho hàm hai biến

, ; ,z f x y x y R

; Khi ta biểu diễn tất cả các điểm

,,x y z
trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
th-ờng ta đ-ợc một mặt,
gọi là mặt biểu diễn của hàm

,z f x y

- Ví dụ: Mặt biểu diễn của hàm hai biến

, 2 1z f x y x y
là mặt
phẳng
2 1 0x y z

c
Đ-ờng mức
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
22

- Với
0
zz
cố định thì

0
,z f x y
zz

là ph-ơng trình của một đ-ờng cong
nằm trong mặt phẳng
0
zz
, gọi là đ-ờng mức hay đ-ờng đẳng trị.
- Ví dụ:
Hàm hai biến

22
1
,z f x y
xy

, với mọi
0
0zz
, đ-ờng mức là
đ-ờng tròn tâm

0
0,0,Iz
bán kính
0
1
z
nằm trong mặt phẳng
0
zz

2
Giới hạn hàm nhiều biến

a
Điểm tụ của một tập hợp

- Cho tập
n
XR
, điểm
n
aR
gọi là điểm tụ của tập
X
nếu

0, Ba

đều chứa những điểm thuộc
X
khác với
a

Tức là:
0, :0x X x a

Suy ra những điểm thuộc
X
không
phải là điểm tụ đ-ợc gọi là điểm cô lập.
- Ví dụ: ( giáo trình )

b
Giới hạn của dãy điểm trong R
n

- Dãy điểm

n
k
xR
gọi là có giới hạn
n
aR

khi
k
nếu
0, k

để
Kk
có
K
aa

Ký hiệu:
lim
K
K
aa

- Tập
n
KR
gọi là compac nếu mọi dãy

12

, , ,
k k k
kn
a x x x K
có
dãy con

jk
a
hội tụ tới
aK

- Định lý:
n
KR
là compac khi và chỉ khi
K
đóng và bị chặn.

c
Giới hạn của hàm số

- Hàm

u f x
xác định trên
X
;
a

là một điểm tụ của
X
, khi đó nói

fx
có giới hạn
A
khi
xa
nếu

\
k
a X a
mà
lim
k
k
aa

đều có

lim
k
k
f a A

Ký hiệu:

lim
xa
f x A

hoặc

xa
f x A

- Định nghĩa khác: Hàm

u f x
xác định trên
X
và

là một điểm tụ
của
X
Khi đó nói

fx
có giới hạn
AR
khi

xa
nếu
0, 0

sao cho
xX
thoả mãn
0 xa

đều có

f x A

- Hàm

,z f x y
xác định trên
2
R
viết

0
0
lim ,
xx

yy
f x y A

nếu

0 0 0 0
, \ , ; ;
n n n n
x y X x y x x y y
đều có

,
nn
f x y A

- Ví dụ: ( giáo trình )
- Tính chất: ( giáo trình )

d
Giới hạn lặp

- Hàm

,u f x y
xác định trên
X
;

00
,xy
là điểm tụ thuộc
X
, với
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
23
0
yy
đặt:

0
lim ,
xx
g y f x y

.
Nếu tồn tại

0
lim
yy
g y A

thì
A
gọi là giới hạn lặp của hàm số

,u f x y

khi
00
;x x y y

Ký hiệu:

00
lim lim ,
y y x x
f x y

(1) và

00
lim lim ,
x x y y
f x y

(2)
- Ví dụ: ( giáo trình )

3

Bài tập

Bài 1: Cho hàm

1
1
,
n
ii
i
x y x y

với

1 2 1 2
, , , ; , , ,
n
nn
x x x x y y y y R
CMR:
a/.
1

là một khoảng cách trên
n

R

b/. Tồn tại các hằng số d-ơng
,AB
sao cho

1
, , , ,
n
A x y x y B x y x y R

trong đó

,xy

là một
khoảng cách Euclid trên
n
R

c/.

1
lim , 0 lim , 0
kk
kk
x x x x

Giải:
+/.

2
22

ii
i i i i i i
x y x y n

Tức là

11
,,x y B x y B n

+/
12
, , ,
n

có
1 2 1 2

nn

(1)
Từ
2
(1)
i i i i
x y x y

Tức

1
, , 1A x y x y A

Bài 2: Tìm các giới hạn

a/.
0 0 0
0
lim limlim
1 1 1 1

x x y
y
xy xy
xy xy

b/.
0 0 0
0
sin sin
lim limlim
x x y
y
xy xy
yy

4. Bài tập về nhà
5. Rút kinh nghiệm

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
24
hàm liên tục

Tiết: 22 - 24 Ngày soạn: Ngày dạy:
I/. Mục tiêu:
- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc.
II/. Tiến trình
1. Kiểm tra sỹ số:
2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3. Bài mới
Hoạt động

Nội dung

1
Hàm liên tục

- Hàm

u f x
xác định trên
n
XR
đ-ợc gọi là liên tục tại
0
xX
nếu

0
0

lim
xx
f x f x

- Hàm

fx
gọi là liên tục trên tập
X
nếu nó liên tục tại
xX
.
- Hàm

fx
gọi là liên tục đều trên tập
X
nếu
0, 0: , ,x y X

xy

có

f x f y

- Chú ý:

fx
liên tục đều trên
X
thì

fx
liên tục trên
X
, ng-ợc lại ch-a
chắc đúng.

2
Tính chất của hàm liên tục

- Định lý 1: Nếu hàm

fx
liên tục trên tập compac
n
KR
thì

fx
đạt

cận trên đúng và cận d-ới đúng trên
K

Tức là:

,:a b K f a f x f b x K

- Định lý 2: Nếu hàm

fx
liên tục trên tập compac
n
KR
thì

fx
liên
tục đều trên tập compac
K

3
Bài tập

Bài 1: Xét tính liên tục tại

0,0
của các hàm số sau:
a/.

22
22
22
22
11
0
,
00
xy
xy
xy
f x y
xy

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
25

b/.

22
22
22
22
1
0
,
00
cos x y
xy
xy
f x y
xy

Giải:
a/.

0
0
0, 1 lim 0, 1 0,0
0
y
x
f y f y f
y

Hàm

,f x y
không liên tục tại

0,0

b/. Ta có

22
2
22
2 2 2 2
2sin
1
2
,
xy
cos x y
f x y
x y x y

Nên

2
22
22
2
22
2
22

0 0 0 0
22
0 0 0 0
sin
2
1
2
lim , 2lim lim lim 0 0,0
2
2
x x x x
y y y y
xy
xy
f x y x y f
xy
xy

Vậy:

,f x y
liên tục tại

0,0

Bài 2: CMR hàm số

,
xy
f x y
xy

không có giới hạn tại

0,0

- Chọn

1
lim , 0
1

n
nn
n
n
x
n
f x y
y
n

- Chọn

'
''
'
2
lim , 3
1
n

nn
n
n
x
n
f x y
y
n

Vậy: Hàm số

,
xy
f x y
xy

không có giới hạn tại

0,0

4. Bài tập về nhà
5. Rút kinh nghiệm
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
26
bài tập
Tiết: 25 Ngày soạn: Ngày dạy:
I/. Mục tiêu:
- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc.
II/. Tiến trình
1. Kiểm tra sỹ số:
2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3. Bài mới
Hoạt động

Nội dung

1
Bài 1: CMR các hàm số sau không có giới hạn tại

0,0

a/.

2
2
,
2
yx
f x y
yx

b/.

1
, sinf x y
xy

Giải:
a/. - Chọn

1
, 0 lim , 0
1
n
n n n n
n
n

x
n
n f x y n f x y
y
n

(1)
- Chọn

'
' ' ' '
'
0
, 1 lim , 1
1
n
n n n n
n
n
x

n f x y n f x y
y
n

(2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
b/. ( Ph-ơng pháp làm giống nh- ý a/. )
- Chọn

1
1,2, , 0,0 lim , 0
1
n
n
n n n n
n
n
x
n
n x y f x y
y
n

(1)
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
27
- Chọn

'
' ' ' '
'
1
2
2
, 1, 1,2, lim , 1
1
2
2
n

n n n n
n
n
x
n
f x y n f x y
y
n

(2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

2
Bài 2: Xét sự tồn tại giới hạn lặp của các hàm số sau:
a/.

,
xy
f x y
xy

tại

0,0

b/.

1
,
1
cosxy
f x y
xy

tại

0,1

Giải:
a/.

00
lim , lim , 1
xy
f x y f x y

Do đó
0 0 0 0
limlim 1 limlim
y x x y
x y x y
x y x y

b/.

'
'

0 0 0 0
cos 1
cos 1 sin
1:lim , lim lim lim 0
11
1
x
x x x x
x
xy
xy y xy
y f x y
x y y
xy

Vậy:

10
limlim , 0
yx
f x y

Mỗi
0x
có:

1 1 1
cos 1 sin
lim , lim lim sin
1
y y y
xy x xy
f x y x
x y x

0 1 0
limlim , limsin 0
x y x
f x y x

Vậy:

01
limlim , 0
xy
f x y

4. Bài tập về nhà
5. Rút kinh nghiệm

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
28
đạo hàm - bài tập
Tiết: 26 - 29 Ngày soạn: Ngày dạy:
I/. Mục tiêu:
- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc.
II/. Tiến trình
1. Kiểm tra sỹ số:
2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3. Bài mới
Hoạt động

Nội dung

1
Đạo hàm

- Định nghĩa: ( giáo trình )
- Định lý 1: Hàm

fx
có đạo hàm tại
0
x
khi và chỉ khi

fx
có đạo hàm
bên trái, phải tại
0
x
và các đạo hàm đó bằng nhau.
- ý nghĩa hình học, cơ học
- Định lý 2: Hàm

fx
có đạo hàm tại
0
x
thì liên tục tại
0
x

- Định lý 3: Nếu

fx
và

gx
là các hàm có đạo hàm tại
x
thì tổng, hiệu,
tích, th-ơng (

0gx
) cũng có đạo hàm tại
x
và:

'
''
f x g x f x g x

'
''
.f x g x f x g x f x g x

'
''
2
f x f x g x f x g x
g x g x

- Định lý 4: Cho hàm

y f x
có đạo hàm tại điểm
0
x
, hàm

z g x
xác
định trong một khoảng chứa

00
y f x
và có đạo hàm tại

0
y
Khi đó hàm

gf x
có đạo hàm tại
0
x
và

'
'
0 0 0
gf x g y f x

- Định lý 5: Cho hàm

y f x
liên tục và đồng biến ( hoặc nghịch biến )
trong khoảng

,ab
Nếu

fx
có đạo hàm tại điểm

0
,x a b
và

0
0x

thì hàm ng-ợc

xy

của

fx
cũng có đạo hàm tại

00
y f x
và

'
'
0
1
y
fx

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
29

2
Đạo hàm riêng

- Giả sử

,z f x y
xác định trên

_ lân cận của điểm

00
,xy
Cho
x
số
gia
x

, khi đó số gia của hàm số tại điểm

00
,xy
là

0 0 0 0
,,
xx
f f x y f x y

Nếu tồn tại và hữu hạn:
0
lim
x
x
x
f

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm riêng của
hàm

,f x y
theo biến
x
tại

00
,xy
Ký hiệu

00
,
f
xy
x

hoặc

'
00
,
x
f x y

- T-ơng tự:

00
,
f
xy
y

hoặc

'
00
,
y
f x y

- T-ơng tự:

00
,
i

f
xy
x

hoặc

'
00
,
i
x
f x y

- Ví dụ:
a/. Cho

32
,2f x y x xy y
Ta có:

22
, 3 2 1,0 3
ff
x y x y
xx

, 4 1 1,0 1
ff
x y xy
yx

b/.

,f x y x
Ta có

0, 0fy
nên

0,0 0
f
y

và

,0f x x
Hàm
một biến này không có đạo hàm tại
0x
nên không tồn tại

0,0
f
x

c/.

00
,
10
xy
f x y
xy

Hàm gián đoạn tại

0,0
vì

11
, 0,0
nn

nh-ng
11
,1f
nn

không dần đến

0,0 0f
khi
n

Tuy nhiên hàm có các đạo hàm riêng tại

0,0
, thật vậy

00

0 ,0 0,0
00
0,0 lim lim 0
xx
f x f
f
x x x

và

0,0 0
f
y

3
Đạo hàm riêng cấp cao

+/.
2
2
'' ''

2
xx
x
ff
ff
x x x

và
2
2
'' ''
2
yy
y
ff
ff
y y y

+/. Ví dụ: ( giáo trình )

+/. Định lý Schwartz
Nếu đạo hàm hỗn hợp
'' ''
;
xy yx
ff
xác định và liên tục trong một

_ lân cận của
điểm

00
,xy
thì

'' ''
0 0 0 0
,,
xy yx
f x y f x y

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
30

4
Bài tập

Bài 1: Dùng định nghĩa, tính

a/.

1,1
f
x

với

2
, ln 1f x y x y

b/.

0,0 ; 0,0
ff
xy

với

22
22
22
1
sin 0
,

00
xy x y
xy
f x y
xy

Giải:
a/.

1 1 1
2
ln
,1 1,1 ln 2 ln3
3
1,1 lim lim lim
1 1 1
x x x
x

f x f x
f
x x x x

1
1
ln 1
11
3
lim
1
33
3
x
x
x

b/.

00
,0 0,0
0
0,0 lim lim 0
0
xx
f x f
f
x x x

Bài 2: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:
a/.

, ln
2
y
f x y x
x

b/.

,
x
f x y arctg
y

c/.

22
,
xy
f x y x y e

Giải:
a/.
22
21
ln ; ln
2 2 2 2
y x y y
xx
x x x y y x x y

b/.

'
2 2 2
22
2
1
,
1
x
x
y
f x y
x
x y arctg
xy
x x y x y
x
y
y

'
2 2 2
22
2
,
1
y
x
x
y
f x x
y
x y arctg
xy
y y y x y
x
y
y

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
31
c/.

22
2 2 2 2
2 2 2 2
xy xy xy xy
x y x y
fx
x y e e x y ye e
xx
x y x y

22
22
,
xy
y x x y
f
x y e
y
xy

Bài 3: Cho hàm số

2 2 2 2
22

22
0
,
00
xy
x y x y
xy
f x y
xy

CMR:

22
0,0 0,0
ff
x y y x

Giải:
Tại các điểm

, 0,0xy
, dùng các quy tắc quen thuộc, ta có:

2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
22
4
,
f x y x y x y
x y xy y
x x x y x y
xy

và

2 2 2 2 2 2