mot so de thi thu dh mon toan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (294.92 KB, 16 trang )
VIII.TÍCH PHÂN
106) Cho f(x)=
3
2
)1x(
3xx
, tìm A, B và C sao cho:
f(x)=
1x
C
)1x(
B
)1x(
A
23
. Kq: A= -1; B=3 và C=1
2) Từ đó tính
dx
)1x(
3xx
3
2
107) Tính dx
)2x(
2xx
3
3
108) Tính
2x3x
dx)3x2(
2
109) Tính
1x
dxx3
3
2
110) Tìm A, B , C để sinxcosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx2sinx)
+C
Kq: A=
5
1
; B=
5
3
và C=
5
8
111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
Hàm số Kết quả Hàm số Kết quả
a) y=
x
1x
b)
y=2
2
x
sin
2
)1
3
x
(x2 +C
xsinx+C
c)
y=
xcos.xsin
1
22
d)
y=
xsinxcos
x2cos
tgxcotgx+C
sinx+cosx+C
112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x
3
x
2
+2x1 biết rằng F(0) = 4.
Kết qua: F(x) =
3
x
4
x
34
+x
2
x+4
113) Tính đạo hàm của F(x) = x. l nx-x , rồi suy ra nguyên hàm của
f(x)= l nx.
Kết qua: F(x) = x. l nx-x+C
114) Tìm A và B sao cho với mọi x 1 và x2 , ta
có:
1x
B
2x
A
2x3x
1x
2
Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số:
2x3x
1x
)x(f
2
Kết qua: A=3; B= 2. F(x) = 3 l nx22 l nx1+ C= l n
2
3
)1x(
2x
+C
115) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
dx.gxcot
b)
dx.xgcot
2
c)
xdxcos.xsin
2
l
nsinx+C
cotgxx+C
d)
dx
xln.x
1
e)
3xcos2
e .sinxdx
f)
xsin
dx
l n l n
x+C
3xcos2
e
2
1
+C
3
1
sin
3
x+C l n
2
x
tg +C
116) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
2
1
2
2
dx
x2
2x
b)
3
1
2
dx
x
x4x
c)
2
2
2
dx|1x|
d)
4
0
2
xdxtg
1
12
4
4
4
e)
3
4
2
2
dx
xcos
xgcot23
f)
4
6
2
3
dx
xsin
xsin1
g)
2
0
2
xdxcosxsin
3
15311
2
223
3
1
117) Tính các tích phân:
Tích phân Kết
quả
Tích phân Kết quả
a)
1
0
1x
dx
b)
2
1
2
)1x2(
dx
ln2
g) dx
xcos31
xsin
2
0
3
2
ln2
c) dx
1xx
2x4
1
0
2
d)
4
0
tgxdx
e)
2ln
0
x
x
3e
dxe
f)
2
0
3
dx.xcos
3
1
2ln3
ln 2
ln
4
5
3
2
h)
2
6
2
3
dx.
xsin
xcos
i)
2
3
dx.
xcosxsin
xcosxsin
j)
1
0
2
dx.1xx)1x2(
k)
e
1
2
dx
x
xln
2
1
ln( 3 +1)
0
3
1
118) Chứng minh rằng:
a)
2xsin23
dx
4
4
3
4
2
b) 108dx)x117x(254
11
7
119) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả
a)
4
0
dx.x2sin
b)
dx
x
x
e
1
ln1
2
1
c)
3
3
2
0
sin
cos
xdx
x
d)
4
0
4
xdxtg
e)
2
4
4
sin
dx
x
f)
1
3
0
1
xdx
g) dx1xx
1
0
2
h)
1
0
2
1xx
dx
k)
1
0
1
x
x
e dx
e
l)
2
0
3
dxxcos xsin
)122(
3
2
2
1
12
83
3
4
4
3
)122(
3
1
33
)21e(2
4
3
120) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả
m)
2
2
2
1xx
dx
n)
3
2
3
9
x dx
o)
1
0
2
x4
dx
p)
1
0
22
dxx1x
q)
3
0
2
1x dx
r)
1
2
2
1
2
1 x
dx
x
s)
1
0
x
e1
dx
t)
2
0
xcos1
dx
u)
3
0
2
xcos
xdxsin
v)
2
0
2
dx
xcos1
xsin
Nhân tử số và mẫu số cho
x.Kq:
12
2
9
6
x=sint. Kq:
16
)32ln(
2
1
3
3
33
TS+e
x
e
x
.Kq:l n
1e
e2
w)
e
1
4
dx
x
xln
1
1
4
5
1
121) Tính các tích phân:
Tích phân
Kết quả Tích phân Kết quả
a)
1
0
2
dxxe
x
b)
2
0
( 1)cos
x xdx
4
1e
2
2
2
c)
e
1
xdxln
d)
4
2
0
cos
xdx
x
1
2ln
4
Tích phân Kết quả Tích phân Kết
quả
e)
2
0
sin .cos
x x xdx
f)
e
1
2
dx)x(ln
g)
1
0
2
dx)x1ln(
8
e2
h)
1
2
0
ln(1 )
x x dx
i)
cos
0
( )sin
x
e x xdx
ln2
2
1
ln22+
2
j)
2
0
sin
x
e xdx
e
1e
2
2
1e
2
122) Chứng minh rằng:
a)
2
0
2
0
dx)x(cosfdx)x(sinf Hd: x=
2
t
b)
b
0
b
0
dx)xb(fdx)x(f Hd: x=bt
c)
2
a
0
a
0
23
dx)x(xf
2
1
dx)x(fx (a>0) Hd: t=x
2
d)
2
0
2
0
dx)gx(cotfdx)tgx(f Hd: x=
2
t
e)
2
00
dx)x(sinfdx)x(sinxf . Áp dụng, tính:
0
2
dx
xcos1
xsin.x
Hướng dẫn: Lần 1, đặt x= t. Lần 2, để tính
2
dx)x(sinf ta đặt x=
2
+s
và kết quả bài 118a). Tính
0
2
dx
xcos1
xsin.x
=
0
2
dx
xcos1
xsin
, đặt t=cosx,
kq:
4
2
123) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn
[a;a] (a>0) thì:
a
0
a
a
dx)x(f2dx)x(f . Hd: t=x
124) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn
[a;a] (a>0) thì: 0dx)x(f
a
a
. Hd: t=x
125) Chứng minh rằng: 0xdxsinx
8
8
76
. Áp dụng bài 124).
126) Chứng minh rằng:
1
0
xcos
1
1
xcos
dxe2dxe . Áp dụng bài 123).
127) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì:
x
a
x
a
dt)t(fdt)t(f .
Hd: t=x
128) Chứng minh rằng 0dx)x(cosf.xsin
a
a
. Áp dụng bài 124)
129) Chứng minh rằng
a
0
2
a
a
2
dx)x(f.xcos2dx)x(f.xcos . Áp dụng bài 123).
130) Chứng minh rằng
1
0
mn
1
0
nm
dx)x1(xdx)x1(x . Hd:x=1t
131) Tính các tích phân sau:
Tích phân Kết quả
a)
2
2
2
dx)1xxln(
Hs lẻ: 0
b)
2
6
dx
xcos1
xsinx
c)
2
1
5
dx
x
xln
d)
2ln
0
x
dxe.x
e)
e
e
1
dx|xln|
f)
1
0
2
3
dx
1x
x
g)
2
0
6
dx .sinxcosx-1
)31(
6
64
2ln
256
15
2
e
ln
e
)1e(2
2
e
ln
7
6
Tích phân Kết quả
h)
3ln
0
3x
x
)1e(
dxe
k)
0
1
3
x2
dx)1xe(x
l)
4
0
dx
x2cos1
x
m)
4
0
2
dx
x2sin1
xsin21
12
7
4
e4
3
2
)2ln
2
(
4
1
n)
32
5
2
4xx
dx
o)
1
0
23
dx x-1x
p)
5ln
2ln
x
x2
dx
1e
e
q)
2
0
2
dx |x-x|
r)
1
0
2
x3
dx ex
s)
e
l
2
dx .lnx
x
1x
2ln
3
5
ln
4
1
15
2
3
20
1
u=x
2
, dv=?.
2
1
)3e(
4
1
2
132) Cho I
n
=
1
0
xn
dx.ex (n N)
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa I
n
và I
n1
(n≥1)
b) Áp dụng tính I
3
=
1
0
x3
dx.ex . Kết quả: 62e
133) Cho I
n
=
4
0
n
dx.xtg (n N )
a) Chứng minh rằng I
n
> I
n+1
. Hd: In>In+1,x(0;
4
)
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa I
n+2
và I
n
.
Hướng dẫn: I
n+2
=
4
0
2
n
dx).1
xcos
1
(xtg
I
n +
I
n+2
=
1n
1
.
134) Tính I
n
=
0
n
dx.nxcos.xcos (n N )
Hướng dẫn: đặt
dx.nxcosdv
xcosu
n
, tìm được I
n
=
2
1
I
n1
=…=
1n
2
1
I
1
=
n
2
.
135) Tính I
n
=
2
0
n
dx.xcos (n N )
Hướng dẫn: đặt
dx.xcosdv
xcosu
1n
, tìm được I
n
=
n
1n
I
n2
.
Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
n=2k ( n chẵn): I
n
=
2
.
n 4.2
)1n (3.1
n=2k+1 ( n lẻ): I
n
=
n 5.3
)1n (4.2
136) Cho I
n
=
2
0
n
dx.xsin (n N )
a) Chứng minh rằng I
n+2
=
2n
1n
I
n
.
b) Chứng minh rằng f(n) = (n+1).I
n
.I
n+1
là hàm hằng.
c) Tính I
n
.
Hướng dẫn:
a) Đặt
dx.xsindv
xsinu
1n
b) Chứng minh f(n+1)=f(n) f(n)=…=f(0)=
2
c) Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
n=2k ( n chẵn): I
2k
=
2
.
k2 4.2
)1k2 (3.1
n=2k+1 ( n lẻ): I
2k+1
=
)1k2 (5.3
k2 4.2
137)a) Tính I
0
=
1
0
2xx
dx.e).1x2( , Kết quả: a= 0
b) Chứng minh rằng I
n
=
1
0
2
xx1n2
dx.e.)1x2( =0 Hd: b) Truy
hồi.
138) Tìm liên hệ giữa I
n
=
2
0
n
dx.xcos.x và J
n
=
2
0
n
dx.xsin.x và tính I
3
.
Kết quả: 63)
2
(
3
139) Giải phương trình:
x
0
t
dt.e = 0. Kq: 0
140) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x
2
+3x2, d
1
:y =
x1 và d
2
:y=x+2 Kq:
12
1
141) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x
3
3x và đường
thẳng y=2.
Kq:
4
27
142) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1x
2
5
xy:)P(
2
1
1x
2
3
-xy:)P( vaø
2
2
Kq:
3
8
143) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=x(3x)
2
, Ox và x=2;
x= 4. Kq: 2
144) Cho hai đường cong :
2
:)2:)(
2
1
x
yxyP
2
(Pvaø .
a) (P
1
) và (P
2
) cắt nhau tại O, M tính tọa độ điểm M.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P
1
) và (P
2
). Kq:
3
4
145) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y
2
-2y+x = 0 và (d) :
x+y = 0.
Hướng dẫn: Ta có (P) : x = -y
2
+2y và (d) : x = -y.Tung độ giao
điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình y
2
-3y = 0 y=0 V y=3.
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm
là:
2
9
dy)y3y(dy)xx(S
3
0
2
3
0
dP
146) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
a) (C): y = cosx ; y = 0 ;
x;
2
x . Kq: 1
b) (C): y = x
2
– 2x + 3 ; (d): y = 5 – x . Kq:
2
9
c) (C): y = 2x
3
– x
2
– 8x + 1 ; (d): y = 6. Kq:
96
2401
d) (P): y = - x
2
+ 6x – 8 và tiếp tuyến tại đỉnh của (P) và trục tung.
Kq: 9
e) (C): y = x
3
– 3x và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x =
2
1
Kq:
64
27
f) (C): y=
2
1
x
2
-2x+2 và các tiếp tuyến với (C) kẻ từ
1;
2
5
M . Kq:
8
9
g) 1x;
x
ey;
2x
e
1
y
. Kq:
2
3
e
1
e
2
1
2
h) y = x ; y = 0 ; y = 4 – x. Kq: 4
i) y
2
= 2x + 1; y = x – 1 . Kq:
3
16
j) y = lnx ; y = 0 ; x = 2. Kq: 2ln2-1
147) Tính thể tích của vật thể do các hình phẳng giới hạn bởi các đường
sau đây quay quanh trục Ox:
2
2
x
2
1
2
2
2
2
3
e :Kq 0y,2x,1x,.exyf)
61 :Kq 1
4
y
9
x
:(E)e)
3
32
: Kq xy,4xyd)
6
625
:Kq 0y,x5xyc)
14
23
:Kq 1x,0x,0y,1xyb)
12 :Kq 4x,1x,0y,
x
4
ya)
:Kq 0y,1x,x.eyg)
x
148) Cho (E) : 9x
2
+ 25y
2
= 225 ;(d):y =
2
3
. Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi (d) và phần trên d của (E). Kq:
5-
4
315
149) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y=2x
2
, (C): y=
2
x1
và Ox.
Kq:
23
28
150) Tính V của vật thể do (H) giới hạn bởi: y
2
= x
3
(y≥0) , y = 0, x= 1
a) Quay quanh trục Ox. Kq:
4
b) Quay quanh trục Oy. Kq:
7
4
151) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=
1x
1x
., tiệm cận
ngang của (C) và các đường thẳng x = –1; x = 0.
Kq: 2ln2
