Phương pháp giải bài tập Vật lý lớp 12

Phơng Pháp Giải Toán Vật Lí 12
Phn 1. DAO NG C HC
Ch 1. DAO NG IU HềA.CON LC Lề XO
A. KIN THC C BN.
1. Phng trỡnh dao ng cú dng :
. ( )x A cos t

= +
Trong ú: + A l biờn dao ng.
+

l vn tc gúc, n v (rad/s).
+

l pha ban u ( l pha thi im t = 0),n v (rad).
+ x l li dao ng thi im t.
+ (
.t

+
) l pha dao ng ( l pha thi im t).
2. Vn tc trong dao ng iu ho.
'
. .sin( ) cos( )
2
v x A t A t


= = + = + +
;
+ v bin thiờn cựng tn s, sm pha

/ 2

so vi x.
+ v
max
= A x = 0 ( Ti VTCB )
+ v
min
= 0 x =

A ( Ti hai biờn )
3. Gia tc trong dao ng iu ho.
' " 2 2
. . ( . ) .a v x A cos t x

= = = + =

+ a bin thiờn iu hũa cựng tn s, ngc pha so vi x
+ a
max
=
2
A x =

A ( Ti hai biờn )
+ a
min
= 0 x = 0 ( Ti VTCB )
+
a

r
luụn cú hng v VTCB. A luụn ngc du vi x
4. th:
)(tx
,
)(tv
,
)(ta
:
- Gi s vt dao ng iu hũa cú phng trỡnh l:
)cos(

+= tAx
.
- n gin, ta chn = 0, ta c:
tAx

cos=
.
tAxatAtAxv



cos'')
2
cos(sin'
2
=====
.
- Vn tc v v gia tc a cựng bin thiờn iu hũa vi cựng tn s gúc . Kho sỏt toỏn hc ta v

c th:

- th cng cho thy sau mi chu kỡ dao ng thỡ ta x, vn tc v v gia tc a lp li giỏ tr c.
Mt s giỏ tr c bit ca x, v, a nh sau:
t 0 T/4 T/2 3T/4 T
x A 0 -A 0 A
v 0 -A 0 A 0
a
A
2


0
A
2

0
A
2



Nguyễn Đình Khang
1
Ph¬ng Ph¸p Gi¶i To¸n VËt LÝ 12
5. Các hệ thức liên hệ độc lập thời gian giữa x , v, a:
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
; 1; .

.
v x v
A x v A x
A A
ω
ω ω
= + + = = ± −

ω ω
= +
2 2
2
4 2

a v
A
6. Chu kỳ dao động:
2. 1
2. . .
m
T
k f
π
π
ω
= = =
7. Tần số dao động :
1 1
. .
2. 2.

k
f
T m
ω
π π
= = =
8. Lực trong dao động điều hoà :
+ Lực đàn hồi :
. . . os( . ) .
dh
F k l x k l A c t
ω ϕ
= ∆ ± = ∆ ± +

+ Lực phục hồi :
2 2
. . . . . . os( . ).
ph
F k x m x m Ac t
ω ω ω ϕ
= − = − = − +

9. Năng lượng trong dao động điều hoà : E = E
đ
+ E
t
Trong đó: + E
đ
=
2 2 2 2 2 2

1 1 1 1
. . . . . . os ( . ). os (2 . 2 )
2 2 4 4
m v m A c t kA kA c t
ω ω ϕ ω ϕ
= + = + +
Là động năng của
vật dao động.
E
đ
biến thiên tuần hoàn với tần số ω
’
= 2ω
+ E
t
=
2 2 2 2 2
1 1 1 1
. . . . .sin ( . ) .cos (2 . 2 ).
2 2 4 4
k x k A t kA kA t
ω ϕ ω ϕ
= + = − +
Là thế năng của vật
dao động
( Thế năng đàn hồi ).
E
t
biến thiên tuần hoàn với tần số ω
’

= 2ω

2 2 2
1 1
. . . . .
2 2
d t
E E E m A k A const
ω
⇒ = + = = =
.
10. Các loại dao động : + Dao động tuần hoàn. + Dao động điều hoà.
+ Dao động tự do. + Dao động tắt dần.
+ Dao động cưỡng bức. + Sự tự dao động.
NguyÔn §×nh Khang
2
Phơng Pháp Giải Toán Vật Lí 12
B. BI TP
DNG 1. XC NH CC C IM TRONG DAO NG IU HO
I.Phng phỏp.
+ Nu u bi cho phng trỡnh dao ng ca mt vt di dng c bn :
. os( . ),x A c t

= +
thỡ ta ch cn a ra cỏc i lng cn tỡm nh : A, x,

,

.
+ Nu u bi cho phng trỡnh dao ng ca mt vt di dng khụng c bn thỡ ta phi ỏp dng cỏc

phộp bin i lng giỏc hoc phộp i bin s ( hoc c hai) a phng trỡnh ú v dng c bn ri
tin hnh lm nh trng hp trờn.
II. Bi Tp.
Bi 1. Cho cỏc phng trỡnh dao ng iu ho nh sau. Xỏc nh A, , , f ca cỏc dao ng iu ho
ú?
a)
5. os(4. . )
6
x c t


= +
(cm). b)
5. os(2. . )
4
x c t


= +
(cm).
c)
5. os( . )x c t

=
(cm). d)
10.sin(5. . )
3
x t

= +
(cm).
Li Gii:
a)
5. os(4. . )
6
x c t


= +
(cm).
5( ); 4. ( / ); ( );
6
A cm Rad s Rad


= = =

2. 2. 1 1
0,5( ); 2( )
4. 0,5
T s f Hz
T


= = = = = =
b)
5.
5. os(2. . ) 5. os(2. . ) 5. os(2. . ).
4 4 4

x c t c t c t


= + = + + = +
(cm).
5.
5( ); 2. ( / ); ( )
4
A cm rad s Rad


= = =
2. 1
1( ); 1( ).T s f Hz
T


= = = =
c)
5. os( . )( ) 5. os( . )( )x c t cm c t cm

= = +
2.
5( ); ( / ); ( ); 2( ); 0,5( ).A cm Rad s Rad T s f Hz



= = = = = =
d)
10.sin(5. . ) 10. os(5. . ) 10. os(5. . )

3 3 2 6
x t cm c t cm c t cm


= + = + =
.
2. 1
10( ); 5. ( / ); ( ); 0.4( ); 2,5( )
6 5. 0,4
A cm Rad s Rad T s f Hz



= = = = = = =
.
Bi 2. Cho cỏc chuyn ng c mụ t bi cỏc phng trỡnh sau:
a)
5. ( . ) 1x cos t

= +
(cm) b)
2
2.sin (2. . )
6
x t


= +
(cm) c)
3.sin(4. . ) 3. (4. . )x t cos t

= +
(cm)
Chng minh rng nhng chuyn ng trờn u l nhng dao ng iu ho. Xỏc nh biờn , tn s, pha
ban u, v v trớ cõn bng ca cỏc dao ng ú.
Li Gii
a)
5. ( . ) 1x cos t

= +

1 5. ( . )x cos t

=
.
t x-1 = X. ta cú
5. os( . )X c t

=


ú l mt dao ng iu ho
Vi
5( ); 0,5( ); 0( )
2. 2.
A cm f Hz Rad



= = = = =

VTCB ca dao ng l :
0 1 0 1( ).X x x cm= = =
b)
2
2.sin (2. . ) 1 (4. . )
6 3
x t cos t


= + = +

Nguyễn Đình Khang
3
Ph¬ng Ph¸p Gi¶i To¸n VËt LÝ 12
Đặt X = x-1
os(4. . ) os(4 )
6 3
X c t c t
π π
π π
⇒ = − − = +

⇒
Đó là một dao động điều hoà.
Với
4.
1( ); 2( ); ( )
2. 2. 3
A cm f s Rad
ω π π

ϕ
π π
= = = = =
c)
3.sin(4. . ) 3. (4. . ) 3.2sin(4. ). ( ) 3. 2.sin(4. . )( ) 3 2 os(4. . )( )
4 4 4 4
x t cos t t cos x t cm c t cm
π π π π
π π π π π
= + = + − ⇒ = + = −
⇒
Đó là một dao động điều hoà. Với
4.
3. 2( ); 2( ); ( )
2. 4
A cm f s Rad
π π
ϕ
π
= = = = −
Bài 3. Hai dao động điều hoà cùng phương , cùng tần số, có các phương trình dao động là:
1
3. os( . )
4
x c t
π
ω
= −
(cm) và
2

4. os( . )
4
x c t
π
ω
= +
(cm) . Biên độ của dao động tổng hợp hai dao động trên
là:
A. 5 cm. B. 7 cm. C. 1 cm. D. 12 cm.
Bài 4. Hai dao động cùng phương , cùng tần số :
1
2 . os( . )
3
x a c t
π
ω
= +
(cm) và
2
. os( . )x a c t
ω π
= +
(cm) . Hãy viết phương trình tổng hợp của hai phương
trình thành phần trên? A.
. 2. os( . )
2
x a c t
π
ω
= +

(cm). B.
. 3. os( . )
2
x a c t
π
ω
= +
(cm).
C.
3.
. os( . )
2 4
a
x c t
π
ω
= +
(cm). D.
2.
. os( . )
4 6
a
x c t
π
ω
= +
(cm).

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH LI ĐỘ, VẬN TỐC, GIA TỐC, LỰC PHỤC HỒI Ở MỘT
THỜI ĐIỂM HAY ỨNG VỚI PHA ĐÃ CHO

I. Phương pháp.
+ Muốn xác định x, v, a, F
ph
ở một thời điểm hay ứng với pha dã cho ta chỉ cần thay t hay pha đã cho vào
các công thức :
. ( . )x A cos t
ω ϕ
= +
hoặc
.sin( . )x A t
ω ϕ
= +
;
. .sin( . )v A t
ω ω ϕ
= − +
hoặc
. . ( . )v A cos t
ω ω ϕ
= +
2
. . ( . )a A cos t
ω ω ϕ
= − +
hoặc
2
. .sin( . )a A t
ω ω ϕ
= − +
và

.
ph
F k x= −
.
+ Nếu đã xác định được li độ x, ta có thể xác định gia tốc, lực phục hồi theo biểu thức như sau :
2
.a x
ω
= −
và
2
. . .
ph
F k x m x
ω
= − = −
+ Chú ý : - Khi
0; 0;
ph
v a F o f
: Vận tốc, gia tốc, lực phục hồi cùng chiều với chiều dương trục toạ
độ.
- Khi
0; 0; 0
ph
v a Fp p p
: Vận tốc , gia tốc, lực phục hồi ngược chiều với chiều dương trục
toạ độ.
II. Bài Tập.
Bài 1. Một chất điểm có khối lượng m = 100g dao động điều hoà theo phương trình :

5. os(2. . )
6
x c t
π
π
= +
(cm) . Lấy
2
10.
π
≈
Xác định li độ, vận tốc, gia tốc, lực phục hồi trong các trường hợp sau :
a) Ở thời điểm t = 5(s).
b) Khi pha dao động là 120
0
.
Lời Giải
NguyÔn §×nh Khang
4
Ph¬ng Ph¸p Gi¶i To¸n VËt LÝ 12
Từ phương trình
5. os(2. . )
6
x c t
π
π
= +
(cm)
5( ); 2. ( / )A cm Rad s
ω π

⇒ = =
Vậy
2 2
. 0,1.4. 4( / ).k m N m
ω π
= = ≈
Ta có
'
. . ( . ) 5.2. . (2. . ) 10. . (2. . )
6 6
v x A cos t cos t cos t
π π
ω ω ϕ π π π π
= = + = + = +

a) Thay t= 5(s) vào phương trình của x, v ta có :

5.sin(2. .5 ) 5.sin( ) 2,5( ).
6 6
x cm
π π
π
= + = =


3
10. . (2. .5 ) 10. . ( ) 10. . 5. 30
6 6 2
v cos cos
π π

π π π π
= + = = =
(cm/s).

2 2
2 2
. 4. .2,5 100( ) 1( )
cm m
a x
s s
ω π
= − = − = − = −
.
Dấu “ – “ chứng tỏ gia tốc ngược chiều với chiều dương trục toạ độ.

2
. 4.2,5.10 0,1( ).
ph
F k x N
−
= − = − = −
Dấu “ – “ chứng tỏ Lực phục hồi ngược chiều với chiều dương trục toạ độ.
b) Khi pha dao động là 120
0
thay vào ta có :
- Li độ :
0
5.sin120 2,5. 3x = =
(cm).
- Vận tốc :

0
10. . 120 5.v cos
π π
= = −
(cm/s).
- Gia tốc :
2 2
. 4. .2,5. 3 3a x
ω π
= − = − = −
(cm/s
2
).
- Lực phục hồi :
. 4.2,5. 3 0,1. 3
ph
F k x= − = − = −
(N).
Bài 2 . Toạ độ của một vật biến thiên theo thời gian theo định luật :
4. (4. . )x cos t
π
=
(cm). Tính tần số dao
động , li độ và vận tốc của vật sau khi nó bắt đầu dao động được 5 (s).
Lời Giải
Từ phương trình
4. (4. . )x cos t
π
=
(cm)

Ta có :
4 ; 4. ( / ) 2( )
2.
A cm Rad s f Hz
ω
ω π
π
= = ⇒ = =
.
- Li độ của vật sau khi dao động được 5(s) là :
4. (4. .5) 4x cos
π
= =
(cm).
- Vận tốc của vật sau khi dao động được 5(s) là :
'
4. .4.sin(4. .5) 0v x
π π
= = − =

Bài 3 . Phương trình của một vật dao động điều hoà có dạng :
6.sin(100. . )x t
π π
= +
.
Các đơn vị được sử dụng là centimet và giây.
a) Xác định biên độ, tần số, vận tốc góc, chu kỳ của dao động.
b) Tính li độ và vận tốc của dao động khi pha dao động là -30
0
.

Bài 4. Một vật dao động điều hoà theo phương trình :
4.sin(10. . )
4
x t
π
π
= +
(cm).
a) Tìm chiều dài của quỹ đạo, chu kỳ, tần số.
b) Vào thời điểm t = 0 , vật đang ở đâu và đang di chuyển theo chiều nào? Vận tốc bằng bao nhiêu?
DẠNG 3. CẮT GHÉP LÒ XO
NguyÔn §×nh Khang
5
Phơng Pháp Giải Toán Vật Lí 12
I. Phng phỏp.
Bi toỏn : Mt lũ xo cú chiu di t nhiờn l
0
, cng l k
0
, c ct ra thnh hai lũ xo cú chiu di v
cng tng ng l : l
1
, k
1
v l
2
, k
2
. Ghộp hai lũ xo ú vi nhau. Tỡm cng ca h lũ xo ó c ghộp.
Li gii :

+ Trng hp 1 : Ghộp ni tip hai lũ xo (l
1
, k
1
) v ( l
2
,k
2
).

1 2
1 2
dh dh
F F F
l l l
= =
= +
Ta cú
1 1 1 2 2 2
. ; . ; .
dh dh
F k l F k l F k l= = =
.
1 2
1 2
1 2
; ; .
dh dh
F F
F

l l l
k k k
= = =
Vy ta c :
1 2
1 2 1 2
1 1 1
dh dh
F F
F
k k k k k k
= + = +
(1)
+ Trng hp 2 : Ghộp song song hai lũ xo (l
1
, k
1
) v ( l
2
,k
2
).

1 2
1 2
dh dh
F F F
l l l
= +
= =

1 1 2 2 1 2
. . .k l k l k l k k k = + = +
(2)
Chỳ ý : cng ca vt n hi c xỏc nh theo biu thc :
.
S
k E
l
=
(3)
Trong ú : + E l sut Yõng, n v : Pa,
2 2
;1 1
N N
Pa
m m
=
.
+ S l tit din ngang ca vt n hi, n v : m
2
.
+ l l chiu di ban u ca vt n hi, n v : m.
T (3) ta cú : k
0
.l
0
= k
1
.l

1
= k
2
.l
2
= Const = E.S.
II. Bi Tp.
Bi 1. Mt vt khi lng m treo vo lũ xo cú cng k
1
= 30(N/m) thỡ dao ng vi chu k T
1
=
0,4(s) .Nu mc vt m trờn vo lũ xo cú cng k
2
= 60(N/m) thỡ nú dao ng vi chu k T
2
= 0,3(s). Tỡm
chu k dao ng ca m khi mc m vo h lũ xo trong hai trng hp:
a) Hai lũ xo mc ni tip. b) Hai lũ xo mc song song.
Bi 2. Hai lũ xo L
1
,L
2
cú cựng chiu di t nhiờn. khi treo mt vt cú khi lng m=200g bng lũ xo L
1
thỡ
nú dao ng vi chu k T
1
= 0,3(s); khi treo vt m ú bng lũ xo L
2

thỡ nú dao ng vi chu k
T
2
=0,4(s).
1.Ni hai lũ xo trờn vi nhau thnh mt lũ xo di gp ụi ri treo vt m trờn vo thỡ vt m s dao ng vi
chu k bao nhiờu? Mun chu k dao ng ca vt
'
1 2
1
( )
2
T T T= +
thỡ phi tng hay gim khi lng m bao
nhiờu?
2. Ni hai lũ xo vi nhau bng c hai u c mt lũ xo cú cựng di ri treo vt m trờn thỡ chu k
dao ng l bng bao nhiờu? Mun chu k dao ng ca vt l 0,3(s) thỡ phi tng hay gim khi lng vt
m bao nhiờu?
Bi 3. Mt lũ xo OA=l
0
=40cm, cng k
0
= 100(N/m). M l mt im treo trờn lũ xo vi OM = l
0
/4.
1. Treo vo u A mt vt cú khi lng m = 1kg lm nú dón ra, cỏc im A v M n v trớ A

v M

.Tớnh
OA

v OM

.Ly g = 10 (m/s
2
).
2. Ct lũ xo ti M thnh hai lũ xo . Tớnh cng tng ng ca mi on lũ xo.
3. Cn phi treo vt m cõu 1 vo im no nú dao ng vi chu k T =
. 2
10

s.
Bi 4. Khi gn qu nng m
1
vo lũ xo , nú dao ng vi chu k T
1
= 1,2s. Khi gn qu nng m
2
vo lũ xo ,
nú dao ng vi chu k T
2
= 1,6s. Hi sau khi gn ng thi c hai vt nng m
1
v m
2
vo lũ xo thỡ chỳng
dao ng vi chu k bng bao nhiờu?
DNG 4. VIT PHNG TRèNH DAO NG IU HO
Nguyễn Đình Khang
6

k
1
,
l
1
m
m
k
1
,l
1
k
2
,l
2
Ph¬ng Ph¸p Gi¶i To¸n VËt LÝ 12
I. Phương pháp.
Phương trình dao động có dạng :
. ( . )x A cos t
ω ϕ
= +
hoặc
.sin( . )x A t
ω ϕ
= +
.
1. Tìm biên độ dao động A: Dựa vào một trong các biểu thức sau:
+
2
2 2 2 2 2

2
1
. ; . ; . . . ; . . ;
2
max max max
v
v A a A F m A k A E k A A x
ω ω ω
ω
= = = = = = +
(1)
+ Nếu biết chiều dài của quỹ đạo là l thì
2
l
A =
.
+ Nếu biết quãng đường đi được trong một chu kỳ là s thì
4
s
A =
.
Chú ý : A > 0.
2. Tìm vận tốc góc
ω
: Dựa vào một trong các biểu thức sau :
+
2.
2. .
k
f

T m
π
ω π
= = =
.
+ Từ (1) ta cũng có thể tìm được
ω
nếu biết các đại lượng còn lại.
Chú ý: -Trong thời gian t vật thực hiện n dao động, chu kỳ của dao động là :
t
T
n
=
-
ω
> 0 ; đơn vị : Rad/s
3. Tìm pha ban đầu
ϕ
: Dựa vào điều kiện ban đầu ( t = 0 ).
Giá trị của pha ban đầu (
ϕ
) phải thoả mãn 2 phương trình :
0
0
. os
. .sin
x A c
v A
ϕ
ω ϕ

=
 
 
= −
 

Chú ý : Một số trường hợp đặc biệt :
+ Vật qua VTCB : x
0
= 0.
+ Vật ở vị trí biên : x
0
= +A hoặc x
0
= - A.
+ Buông tay ( thả nhẹ ), không vận tốc ban đầu : v
0
= 0.
II. Bài Tập.
Bài 1 . Một con lắc lò xo dao động với biên độ A = 5cm, chu kỳ T = 0,5s. Viết phương trình dao động của
con lắc trong các trường hợp:
a) t = 0 , vật qua VTCB theo chiều dương.
b) t = 0 , vật cách VTCB 5cm, theo chiều dương.
c) t = 0 , vật cách VTCB 2,5cm, đang chuyển động theo chiều dương.
Lời Giải
Phương trình dao động có dạng :
.sin( . )x A t
ω ϕ
= +
.

Phương trình vận tốc có dạng :
'
. . ( . )v x A cos t
ω ω ϕ
= = +
.
Vận tốc góc :
2. 2.
4 ( / )
0,5
Rad s
T
π π
ω π
= = =
.
a) t = 0 ;
0
0
.sin
. .
x A
v A cos
ϕ
ω ϕ
=
=

⇔

0
0 5.sin
5.4. . 0v cos
ϕ
π ϕ
=
= f

0
ϕ
⇒ =
. Vậy
5.sin(4. . )x t
π
=
(cm).
b) t = 0 ;
0
0
.sin
. .
x A
v A cos
ϕ
ω ϕ
=
=

⇔

0
5 5.sin
5.4. . 0v cos
ϕ
π ϕ
=
= f

( )
2
rad
π
ϕ
⇒ =
.
Vậy
5.sin(4. . )
2
x t
π
π
= +
(cm).
c) t = 0 ;
0
0
.sin
. .
x A
v A cos

ϕ
ω ϕ
=
=

⇔

0
2,5 5.sin
5.4. . 0v cos
ϕ
π ϕ
=
= f

( )
6
rad
π
ϕ
⇒ =
.
Vậy
5.sin(4. . )
6
x t
π
π
= +
(cm).

NguyÔn §×nh Khang
7
Ph¬ng Ph¸p Gi¶i To¸n VËt LÝ 12
Bài 2. Một con lắc lò xo dao động với chu kỳ T = 1(s). Lúc t = 2,5(s), vật qua vị trí có li độ
5. 2x = −
(cm) với vận tốc
10. . 2v
π
= −
(cm/s). Viết phương trình dao động của con lắc.
Lời Giải
Phương trình dao động có dạng :
.sin( . )x A t
ω ϕ
= +
.
Phương trình vận tốc có dạng :
'
. . ( . )v x A cos t
ω ω ϕ
= = +
.
Vận tốc góc :
2. 2.
2 ( / )
1
Rad s
T
π π
ω π

= = =
.
ADCT :
2
2 2
2
v
A x
ω
= +

2 2
2 2
2 2
( 10. . 2)
( 5. 2)
(2. )
v
A x
π
ω π
−
⇒ = + = − +
= 10 (cm).
Điều kiện ban đầu : t = 2,5(s) ;
.sin
. .
x A
v A cos
ϕ

ω ϕ
=
=

⇔

5. 2 .sin
10. . 2 .2. .
A
A cos
ϕ
π π ϕ
− =
− =


tan 1
ϕ
⇒ =

( )
4
rad
π
ϕ
⇒ =
. Vậy
10.sin(2. . )
4
x t

π
π
= +
(cm).
Bài 3. Một vật có khối lượng m = 100g được treo vào đầu dưới của một lò xo có độ cứng k = 100(N/m).
Đầu trên của lò xo gắn vào một điểm cố định. Ban đầu vật được giữ sao cho lò xo không bị biến dạng.
Buông tay không vận tốc ban đầu cho vật dao động. Viết phương trình daô động của vật. Lấy g = 10
(m/s
2
);
2
10
π
≈
.
Lời Giải
Phương trình dao động có dạng :
.sin( . )x A t
ω ϕ
= +
.
⇒

100
10.
0,1
k
m
ω π
= = =

(Rad/s).
Tại VTCB lò xo dãn ra một đoạn là :
2
. 0,1.10
10 ( ) 1 1
100
m g
l m cm A l cm
k
−
∆ = = = = ⇒ = ∆ =
.
Điều kiện ban đầu t = 0 , giữ lò xo sao cho nó không biến dạng tức x
0
= -
l∆
. Ta có
t = 0 ;
0
0
1 .sin
. . 0
x l A
v A cos
ϕ
ω ϕ
= −∆ = − =
= f

( )

2
rad
π
ϕ
⇒ = −
. Vậy
sin(10. . )
2
x t
π
π
= −
(cm).
Bài 4. Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox. Lúc vật qua vị trí có li độ
2x = −
(cm) thì có vận tốc
. 2v
π
= −
(cm/s) và gia tốc
2
2.a
π
=
(cm/s
2
). Chọn gốc toạ độ ở vị trí trên. Viết phương trình dao động
của vật dưới dạng hàm số cosin.
Lời Giải
Phương trình có dạng : x = A.cos(

.t
ω ϕ
+
).
Phương trình vận tốc : v = - A.
.sin( . )t
ω ω ϕ
+
.
Phương trình gia tốc : a= - A.
2
. ( . )cos t
ω ω ϕ
+
.
Khi t = 0 ; thay các giá trị x, v, a vào 3 phương trình đó ta có :
2 2
2 . ; . 2 . .sin ; . 2 .x A cos v A a Acos
ϕ π ω ϕ π ω ϕ
= − = = − = − = = −
.
Lấy a chia cho x ta được :
( / )rad s
ω π
=
.
Lấy v chia cho a ta được :
3.
tan 1 ( )
4

rad
π
ϕ ϕ
= − ⇒ =
(vì
cos
ϕ
< 0 )
2A cm
⇒ =
. Vậy :
3.
2.sin( . )
4
x t
π
π
= +
(cm).
Bài 5. Một con lắc lò xo lí tưởng đặt nằm ngang, từ VTCB kéo để lò xo dãn 6 cm . Lúc t = 0 buông nhẹ ,
sau
5
12
s
đầu tiên , vật đi được quãng đường 21 cm. Phương trình dao động của vật là :
NguyÔn §×nh Khang
8
Phơng Pháp Giải Toán Vật Lí 12
A.
6.sin(20. . )

2
x t


= +
(cm) B.
6.sin(20. . )
2
x t


=
(cm)
C.
6.sin(4. . )
2
x t


= +
(cm) D.
6.sin(40. . )
2
x t


= +
(cm)
Bi 6 . Mt con lc lũ xo treo thng ng gm mt vt m = 100g, lũ xo cú cng k = 100(N/m). Kộo vt
ra khi VTCB mt on x= 2cm v truyn vn tc

62,8. 3v =
(cm/s) theo phng lũ xo .Chn t = 0 lỳc
vt bt u dao ng ( ly
2
2
10; 10
m
g
s

=
) thỡ phng trỡnh dao ng ca vt l:
A.
4.sin(10. . )
3
x t


= +
(cm) B.
4.sin(10. . )
6
x t


= +
(cm)
C.
5.
4.sin(10. . )

6
x t


= +
(cm) D.
4.sin(10. . )
3
x t


=
(cm)
Bi 7. Mt qu cu khi lng m = 100g treo vo lũ xo cú chiu di t nhiờn
l
0
= 20cm, cng k = 25 (N/m).
a) Tớnh chiu di ca lũ xo to v trớ cõn bng. Ly g = 10 (m/s
2
).
b) Kộo qu cu xung di, cỏch v trớ cõn bng mt on 6cm ri buụng nh ra cho nú dao ng.
Tỡm chu k dao ng, tn s . Ly
2
10


.
c) Vit phng trỡnh dao ng ca qu cu chn gc thi gian l lỳc buụng vt; gc to ti v trớ
cõn bng, chiu dng hng xung.
Bi 8. Mt qu cu khi lng m = 500g c treo vo lũ xo cú chiu di t nhiờn l

0
= 40cm.
a) Tỡm chiu di ca lũ xo ti v trớ cõn bng, bit rng lũ xo trờn khi treo vt m
0
= 100g, lũ xo
dón thờm 1cm. Ly g = 10 (m/s
2
). Tớnh cng ca lũ xo.
b) Kộo qu cu xung di cỏch v trớ cõn bng 8cm ri buụng nh cho dao ng. Vit
phng trỡnh dao ng (Chn gc thi gian l lỳc th vt, chiu dng hng xung).
Bi 9. Vt cú khi lng m treo vo lũ xo cú cng k = 5000(N/m). Kộo vt ra khi v trớ cõn bng
mt on 3cm ri truyn vn tc 200cm/s theo phng thng ng thỡ vt dao ng vi chu k
25
T s

=
.
a) Tớnh khi lng m ca vt.
b) Vit phng trỡnh chuyn ng ca vt . Chn gc thi gian l lỳc vt qua v trớ cú li x = -2,5cm
theo chiu dng.
Bi 10: Cho con lc lũ xo dao ng iu ho theo phng thng ng vt nng cú khi lng m = 400g, lũ
xo cú cng k, c nng ton phn E = 25mJ. Ti thi im t = 0, kộo vt xung di VTCB lũ xo dón
2,6cm ng thi truyn cho vt vn tc 25cm/s hng lờn ngc chiu dng Ox (g = 10m/s
2
). Vit
phng trỡnh dao ng?
DNG 5. CHNG MINH MT VT DAO NG IU HO
I. Phng phỏp.
Nguyễn Đình Khang
9

m
Phơng Pháp Giải Toán Vật Lí 12
1. Phng phỏp ng lc hc.
+ Chn HQC sao cho vic gii bi toỏn l n gin nht.( Thng chn l TT Ox, O trựng vi VTCB
ca vt, chiu dng trựng vi chiu chuyn ng).
+ Xột vt VTCB :
1 2
0 0
hl
n
F F F F= + + + =
ur uur uur uur
chiu lờn HQC thu c phng trinh vụ hng:

1 2 3
0
n
F F F F + =
(1)
+ Xột vt thi im t, cú li l x : ỏp dng nh lut 2 Newton, ta cú:

1 2
. .
hl n
F m a F F F m a= + + + =
uur r uur uur uur r
chiu lờn HQC thu c phng trinh vụ hng:

1 2
.

n
F F F m a =
(2)
Thay (1) vo (2) ta cú dng :
" 2
. 0x x

+ =
. Phng trỡnh ny cú nghim dng:
. ( . )x A cos t

= +
hoc
.sin( . )x A t

= +

t dao ng iu ho, vi tn s gúc l

.
2. Phng phỏp nng lng.
+ Chn mt phng lm mc tớnh th nng, sao cho vic gii bi toỏn l n gin nht.
+ C nng ca vt dao ng l : E = E

+ E
t

2 2 2
1 1 1
. . . . . .

2 2 2
k A mv k x = +
(3)
+ Ly o hm hai v theo thi gian t , ta c :
' ' ' '
1 1
0 . .2. . . .2. . 0 . . . .
2 2
m v v k x x m v v k x x= + = +
.
Mt khỏc ta cú : x

= v ; v

= a = x

, thay lờn ta c : 0 = m.v.a + k.x.v
" "
0 . . . 0
k
m x k x x x
m
= + + =
. t
2
k
m

=
. Vy ta cú :

" 2
. 0x x

+ =
Phng trỡnh ny cú nghim dng:
. ( . )x A cos t

= +
hoc
.sin( . )x A t

= +


Vt dao ng iu ho, vi tn s gúc l

.

pcm.
DNG 6. TèM CHIU DI CA Lề XO TRONG QU TRèNH DAO NG.
NNG LNG TRONG DAO NG IU HO
I. Phng phỏp.
1. Chiu di:
+ Nu con lc lũ xo t nm ngang : l
max
= l
0
+ A; l
min
= l

0
- A.
+ Nu con lc lũ xo t thng ng :
0max
l l l A= + +
;
min 0
l l l A= +
.
2. Nng lng :
+ ng nng ca vt trong dao ng iu ho

2 2 2 2
1 1
. . . . . . ( . )
2 2
d
E m v m A cos t

= = +
hoc
2 2 2 2
1 1
. . . . . .sin ( . )
2 2
d
E m v m A t

= = +
+ Th nng ca vt trong dao ng iu ho :

2 2 2 2
1 1
. . . . . .sin ( . )
2 2
t
E k x m A t

= = +
hoc
2 2 2 2
1 1
. . . . . . ( . )
2 2
t
E k x m A cos t

= = +
+ C nng ca vt trong dao ng iu ho:
2 2 2
1 1
. . . . .
2 2
d t
E E E k A m A Const

= + = = =
.
II. Bi Tp.
Bi 1. Mt vt khi lng m = 500g treo vo lũ xo thỡ dao ng vi tn s f= 4(Hz).

a) Tỡm cng ca lũ xo, ly
2
10.


Nguyễn Đình Khang
10
Phơng Pháp Giải Toán Vật Lí 12
b) Bit lũ xo cú chiu di t nhiờn l
0
= 20cm v dao ng vi biờn 4cm. Tớnh chiu di nh nht v
ln nht ca lũ xo trong quỏ trỡnh dao ng. Ly g = 10(m/s
2
).
c) Thay vt m bng m

= 750g thỡ h dao ng vi tn s bao nhiờu?
Bi 2. Mt qu cu khi lng m =1 kg treo vo mt lũ xo cú cng
k = 400(N/m). Qu cu dao ng iu ho vi c nng E = 0,5(J) ( theo phng thng ng ).
a) Tớnh chu k v biờn ca dao ng.
b) Tớnh chiu di cc tiu v cc i ca lũ xo trong quỏ trỡnh dao ng. Bit l
0
= 30cm.
c. Tớnh vn tc ca qu cu thi im m chiu di ca lũ xo l 35cm. Ly g=10(m/s
2
).
Bi 3. Mt qu cu khi lng m = 500g gn vo mt lũ xo dao ng iu ho vi biờn 4cm. cng
ca lũ xo l 100(N/m).
a) Tớnh c nng ca qu cu dao ng.
b) Tỡm li v vn tc ca qu cu ti mt im, bit rng ni ú, ng nng ca qu cu bng th nng.

c) Tớnh vn tc cc i ca qu cu.
Bi 4. Mt vt cú khi lng m = 500g treo vo mt lũ xo cú cng k = 50(N/m). Ngi ta kộo vt ra
khi v trớ cõn bng mt on 2(cm) ri truyn cho nú mt vn tc ban u v
0
= 20(cm/s) dc theo phng
ca lũ xo.
a) Tớnh nng lng dao ng.
b) Tớnh biờn dao ng.
c) Vn tc ln nht m vt cú c trong quỏ trỡnh dao ng.
Bi 5. Mụt con lc lũ xo cú khi lng m = 50g dao ng iu ho theo phng trỡnh :
10.sin(10. . )
2
x t


= +
(cm) .
a) Tỡm biờn , tn s gúc, tn s, pha ban u ca dao ng.
b) Tỡm nng lng v cng ca lũ xo.
Bi 6. Mt con lc lũ xo dao ng iu ho bit vt cú khi lng m = 200g, tn s f = 2Hz. Ly
2
10


,
thi im t
1
vt cú li x
1
= 4cm, th nng ca con lc thi im t

2
sau thi im t
1
1,25s l :
A. 256mJ B. 2,56mJ C. 25,6mJ D. 0,256mJ
DNG 7. BI TON V LC
I. Phng phỏp.
Bi toỏn: Tỡm lc tỏc dng ln nht, nh nht vo im treo hay nộn lờn sn
Hng dn:
+ Bc 1: Xem lc cn tỡm l lc gỡ? Vớ d hỡnh bờn :
dh
F
uuur
+ Bc 2: Xột vt thi im t, vt cú li x, ỏp dng nh lut
2 Newton dng vụ hng, ri rỳt ra lc cn tỡm.
"
. . . .
dh dh
m a P F F P m a m g m x= = =
(1)
+ Bc 3: Thay
" 2
.x x

=
vo (1) ri bin lun lc cn tỡm theo
li x. Ta cú
2
. . .
dh

F m g m x

= +
.
*
2
( ) . . .
dh
F Max m g m A

= +
khi x = +A (m)
* Mun tỡm giỏ tr nh nht ca F
h
ta phi so sỏnh
l
( bin dng ca lũ xo ti v trớ cõn bng) v A (biờn dao ng)
- Nu
l
< A
2
( ) . . .
dh
F Min m g m l

=
khi
x l=
.
- Nu

l
> A
2
( ) . . .
dh
F Min m g m A

=
khi x = -A.
II. Bi Tp.
Bi 1 . Treo mt vt nng cú khi lng m = 100g vo u mt lũ xo cú cng k = 20 (N/m). u trờn
ca lũ xo c gi c nh. Ly g = 10(m/s
2
).
Nguyễn Đình Khang
11
O(VTCB)
x(+)
P
ur
dh
F
uuur
A
Ph¬ng Ph¸p Gi¶i To¸n VËt LÝ 12
a) Tìm độ dãn của lò xo khi vật ởVTCB.
b) Nâng vật đến vị trí lò xo không bị niến dạng rồi thẻ nhẹ cho vật dao động. Bỏ qua mọi ma sát.
Chứng tỏ vật m dao động điều hoà. Viết phương trình dao động của vật. Chon gốc thời gian là lúc
thả.
c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của lực phục hồi và lưc đàn hồi của lò xo.

Bài 2. Một lò xo được treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ cố định, đầu dưới của lò xo treo một
vật m = 100g. Lò xo có độ cứng k = 25(N/m). Kéo vật ra khỏi VTCB theo phương thẳng đứng và hướng
xuống dưới một đoạn 2cm rồi truyền cho nó một vận tốc
0
10. . 3v
π
=
(cm/s) hướng lên. Chọn gốc thời gian
là lúc truyền vận tốc cho vật, gốc toạ độ là VTCB, chiều dương hướng xuống. Lấy g = 10(m/s
2
).
2
10
π
≈
.
a) Viết phương trình dao động.
b) Xác định thời điểm mà vật qua vị trí lò xo dãn 2cm lần đầu tiên.
c) Tìm độ lớn lực phục hồi như ở câu b.
Bài 3. Cho một con lắc lò xo được bố trí như hình vẽ. Lò xo có độ cứng k=200(N/m);
vật có khối lượng m = 500g.
1) Từ vị trí cân bằng ấn vật m xuống một đoạn x
0
= 2,5cm theo phương thẳng đứng rồi
thả nhẹ cho vật dao động.
a) Lập phương trình dao động.
b) Tính lực tác dụng lớn nhất và nhỏ nhất mà lò xo nén lên mặt giá đỡ.
2) Đặt lên m một gia trọng m
0
= 100g. Từ VTCB ấn hệ xuống một đoạn x

0
’
rồi thả nhẹ.
a) Tính áp lực của m
0
lên m khi lò xo không biến dạng.
b) Để m
0
nằm yên trên m thì biên độ dao động phải thoả mãn điều kiện gì? Suy ra giá trị của x
0
’
. Lấy
g =10(m/s
2
).
Bài 4. Một lò xo có độ cứng k = 40(N/m) được đặt thẳng đứng , phía trên có vật khối lượng m = 400g.
Lò xo luôn giữ thẳng đứng.
a) Tính độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng. Lấy g = 10 (m/s
2
).
b) Từ VTCB ấn xuống dưới một đoạn x
0
= 2cm rồi buông nhẹ. Chứng tỏ vật m dao động điều hoà. Tính
chu kỳ dao động.
c) Tính lực tác dụng lớn nhất và nhỏ nhất mà lò xo nén lên sàn.
Bài 5. Một lò xo k = 100(N/m) phía trên có gắn vật khối lượng m = 100g. Một vật khối lượng m
0
= 400g rơi
tự do từ độ cao h = 50cm xuống đĩa. Sau va chạm chúng dính vào nhau và dao động điều hoà. Hãy tính :
a) Năng lượng dao động.

b) Chu kỳ dao động.
c) Biên độ dao động.
d) Lực nén lớn nhất của lò xo lên sàn. Lấy g = 10 (m/s
2
).
DẠNG 8. XÁC ĐỊNH THỜI ĐIỂM CỦA VẬT TRONG QUÁ TRÌNH DAO ĐỘNG
I. Phương pháp.
NguyÔn §×nh Khang
12
h
m
0
m
k
m
0
m
Phơng Pháp Giải Toán Vật Lí 12
Bi toỏn 1: Xỏc nh thi im vt i qua v trớ cho trc trờn qu o.
Hng dn: Gi s phng trỡnh dao ng ca vt cú dng:
.sin( . )x A t

= +
, trong ú A,
,

ó bit. Thi im vt i qua v trớ cú li x
0
c xỏc nh nh sau:
0

0
.sin( . ) sin( . )
x
x A t x t
A

= + = + =
. t
0
sin
x
A

=



( . ) sinsin t

+ =

Vi
;
2 2

.
*) Nu vt i qua v trớ cú li x
0
theo chiu dng thỡ :
. . ( . )v A cos t

= +
> 0 . Vy thi im vt i qua v trớ cú li x
0
c xỏc nh :

.2
. .2 .
k
t k t k T




+ = + = + = +
(Vi iu kin t > 0; k l s nguyờn, T l chu k dao ng).
*) Nu vt i qua v trớ cú li x
0
theo chiu õm thỡ :
. . ( . )v A cos t

= +
< 0 . Vy thi im
vt i qua v trớ cú li x
0

c xỏc nh :

.2
. .2 .
k
t k t k T




+ = + = + = +
(Vi iu kin t > 0; k l s nguyờn, T l chu k dao ng).
Chỳ ý : Tu theo iu kin c th ca u bi m ly k sao cho phự hp.
Bi toỏn 2: Xỏc nh khong thi gian ngn nht vt i t v trớ cú li x
1
n v trớ cú li x
2
.
Hng dn:
+ Cỏch 1: Khi chn thi im ban u t = 0 khụng phi l thi im vt v trớ cú li x
1
thỡ
khong thi gian t cn tớnh c xỏc nh t h thc t = t
2
- t
1
, trong ú t
1
, t
2

c xỏc nh t h thc :
1
1 1 1
.sin( . ) sin( . )
x
x A t t
A

= + + =

1
t =
2
2 2 2
.sin( . ) sin( . )
x
x A t t
A

= + + =


2
t =
+ Cỏch 2: Khi chn thi im ban u t = 0 l thi im vt v trớ cú li x
1
v chuyn ng
theo chiu t x
1
n x

2
thỡ khong thi gian cn xỏc nh c xỏc nh t phng trỡnh sau :
2
2
.sin( . ) sin( . )
x
x A t x t
A

= + = + =

t =

+ Cỏch 3: Da vo mi liờn h gia chuyn ng trũn u v dao ng iu ho. Khong thi gian c
xỏc nh theo biu thc :

t


=

Bi toỏn 3: Xỏc nh thi im vt cú vn tc xỏc nh.
Hng dn: Gi s vt dao ng vi phng trỡnh
.sin( . )x A t

= +
, vn tc ca vt cú dng :
. . ( . )v A cos t

= +

.
Thi im vn tc ca vt l v
1
c xỏc nh theo phng trỡnh:
1
1
. . ( . ) ( . )
.
v
v A cos t v cos t
A


= + = + =
.
*) Nu vt chuyn ng theo chiu dng : v
1
> 0.
Nguyễn Đình Khang
13

A
x(cm
)
O
x
1
x
2

Ph¬ng Ph¸p Gi¶i To¸n VËt LÝ 12
Đặt
1
.
v
cos
A
γ
ω
=

⇒

( . )cos t cos
ω ϕ γ
+ =
.
⇒

1
2
. .2
. .2
t k
t k
ω ϕ γ π
ω ϕ γ π
+ = +
+ = − +

⇒

1
2
.
.
t k T
t k T
γ ϕ
ω
γ ϕ
ω
−
= +
− −
= +

Chú ý: - Với k là số nguyên, t > 0, T là chu kỳ
- Hệ thức xác định t
1
ứng x > 0, hệ thức xác định t
2
ứng với x < 0.
*) Nếu vật chuyển động ngược chiều dương : v
1
< 0.
Đặt
1
.
v

cos
A
γ
ω
=

⇒

( . )cos t cos
ω ϕ γ
+ =
.
1
2
. .2
. .2
t k
t k
ω ϕ π γ π
ω ϕ π γ π
+ = − +
+ = − + +

⇒

1
2
.
.
t k T

t k T
π γ ϕ
ω
π γ ϕ
ω
− −
= +
− + −
= +

Chú ý: - Với k là số nguyên, t > 0, T là chu kỳ
- Hệ thức xác định t
1
ứng x > 0, hệ thức xác định t
2
ứng với x < 0.
- Để xác định lần thứ bao nhiêu vận tốc của vật có độ lớn v
1
khi chuyển động theo chiều dương hay
chiều âm, cần căn cứ vào vị trí và chiều chuyển động của vật ở thời điểm ban đầu t = 0.
II. Bài Tập.
Bài 1. Một vật dao động với phương trình :
10.sin(2. . )
2
x t
π
π
= +
(cm). Tìm thời điểm vật đi qua vị trí có li
độ x = 5(cm) lần thứ hai theo chiều dương.

Lời Giải
các thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = 5cm được xác định bởi phương trình:
1
10.sin(2. . ) 5 sin(2 )
2 2 2
x t t
π π
π π
= + = ⇒ + =

⇒

2. . .2
2 6
5.
2. . .2
2 6
t k
t k
π π
π π
π π
π π
+ = +
+ = +
(
;k Z∈
t > 0)
Ta có :
'

2. .10. (2 )
2
v x cos t
π
π π
= = +
. Vì vật đi theo chiều dương nên v > 0
⇔
'
2. .10. (2 )
2
v x cos t
π
π π
= = +
> 0. Để thoả mãn điều kiện này ta chọn
2. . .2
2 6
t k
π π
π π
+ = +

⇒

1
6
t k
−
= +

với k = 1, 2, 3, 4, (vì t > 0)
Vật đi qua vị trí x = 5cm lần hai theo chiều dương
⇒
k = 2. Vậy ta có
t =
1 11
2
6 6
− + =
(s).
Bài 2 . Một vật dao động điều hoà với phương trình :
10.sin( . )
2
x t
π
π
= −
(cm) . Xác định thời điểm vật đi
qua vị trí có li độ x = -
5 2
(cm) lần thứ ba theo chiều âm.
Lời Giải
NguyÔn §×nh Khang
14
Ph¬ng Ph¸p Gi¶i To¸n VËt LÝ 12
Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = -
5 2
(cm) theo chiều âm được xác định theo phương trình sau :
2
10.sin( . ) 5 2 sin( ) sin( )

2 2 2 4
x t t
π π π
π π
= − = − ⇒ − = − = −
. Suy ra
.2
2 4
.2
2 4
t k
t k
π π
π π
π π
π π π
− = − +
− = + +
(
k Z
∈
) . Ta có vận tốc của vật là :
'
.10. ( )
2
v x cos t
π
π π
= = −
Vì vật đi qua vị trí có li độ x = -

5 2
(cm) theo chiều âm nên v < 0. Vậy ta có:
'
.10. ( )
2
v x cos t
π
π π
= = −
< 0. Để thoả mãn điều kiện này ta chọn
.2
2 4
t k
π π
π π π
− = + +
⇒

7
2.
4
t k= +
(
0,1,2,3, k =
; t > 0 )
⇒
Vật đi qua vị trí có li độ x = -
5 2
(cm) theo chiều âm, lần 3 là :
7 23

2.2
4 4
t = + =
(s).
Bài 3. Một vật dao động điều hoà với phương trình :
10.sin(10. . )
2
x t
π
π
= +
(cm). Xác định thời điểm vật đi
qua vị trí có li độ x = 5cm lần thứ 2008.
Lời Giải
Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = 5cm được xác định từ phương trình:

1
10.sin(10. . ) 5 sin(10. . )
2 2 2
x t t
π π
π π
= + = ⇒ + =

⇒

10. . .2
2 6
5
10. . .2

2 6
t k
t k
π π
π π
π π
π π
+ = +
+ = +
vì t > 0 nên ta có
1
30 5
k
t = − +
với k = 1, 2, 3, 4, (1)
Hoặc
1
30 5
k
t = +
với k = 0, 1, 2, 3, 4, (2)
+ (1) ứng với các thời điểm vật đi qua vị trí x = 5cm theo chiều dương ( v > 0 ).

'
100 . (10 )
2
v x cos t
π
π π
= = +

> 0 và t > 0
+ (2) ứng với các thời điểm vật đi qua vị trí x = 5cm theo chiều âm ( v < 0 ).

'
100 . (10 )
2
v x cos t
π
π π
= = +
< 0 và t > 0
+ Khi t = 0
⇒

10.sin 10
2
x cm
π
= =
, vật bắt đầu dao động từ vị trí biên dương. Vật đi qua vị trí x = 5cm lần
thứ nhất theo chiều âm, qua vị trí này lần 2 theo chiều dương. Ta có ngay vật qua vị trí x = 5cm lần thứ
2008 theo chiều dương, trong số 2008 lần vật qua vị trí x = 5cm thì có 1004 lần vật qua vị trí đó theo chiều
dương. Vậy thời điểm vật qua vị trí x = 5cm lần thứ 2008 là :
1
30 5
k
t = − +
với k = 1004.

1 1004 6024 1 6023

30 5 30 30
t
−
= − + = =
(s).
Bài 4. Một vật dao động điều hoà có biên độ bằng 4 (cm) và chu kỳ bằng 0,1 (s).
a) Viết phương trình dao động của vật khi chọn t = 0 là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều
dương.
b) Tính khoảng thời gian ngắn nhất đẻ vật đi từ vị trí có li độ x
1
= 2 (cm) đến vị trí x
2
= 4 (cm).
Lời Giải
a) Phương trình dao động : Phương trình có dạng :
.sin( . )x A t
ω ϕ
= +
NguyÔn §×nh Khang
15
Ph¬ng Ph¸p Gi¶i To¸n VËt LÝ 12
Trong đó: A = 4cm,
2 2
20 ( / )
0,1
rad s
T
π π
ω π
= = =

.
Chọn t = 0 là lúc vật qua VTCB theo chiều dương, ta có :
x
0
= A.sin
ϕ
= 0, v
0
= A.
ω
.cos
ϕ
> 0
⇒

0( )rad
ϕ
=
. Vậy
4.sin(20 . )x t
π
=
(cm)
b) Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x
1
= 2 (cm) đến vị trí
x
2
= 4 (cm).
+ Cách 1: -

1
1
4sin(20 . ) 2 sin(20 . )
2
x x t t
π π
= ⇔ = ⇒ =
⇒
1
1
( )
120
t s=
( vì v > 0 )
-
2
4sin(20 . ) 4 sin(20 . ) 1x x t t
π π
= ⇔ = ⇒ =
⇒
2
1
( )
40
t s=
( vì v > 0 )
Kết luận : Khoảng thời gian ngắn nhất đẻ vật đi từ vị trí có li độ x
1
= 2 (cm) đến vị trí x
2

= 4 (cm) là : t
= t
2
– t
1
=
1 1 1
( )
40 120 60
s− =
.
+ Cách 2: Chọn t = 0 là lúc vật đi qua vị trí có li độ x
0
= x
1
= 2cm theo chiều dương, ta có :
0 1
1
4.sin( ) 2 sin
2 6
x x x
π
ϕ ϕ ϕ
= = = = ⇒ = ⇒ =
(rad) ( vì v > 0 )
⇒

4.sin(20 . )
6
x t

π
π
= +
(cm).
Thời gian để vật đi từ vị trí x
0
đến vị trí x = 4cm được xác định bởi phương trình:
1
4.sin(20 . ) 4 sin(20. . ) 1 ( )
6 6 60
x t t t s
π π
π π
= + = ⇒ + = ⇒ =
( vì v > 0 )
+ Cách 3 : Dựa vào mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà:
Dựa vào hình vẽ ta có : cosα =
2 1
4 2 3
π
α
= ⇒ =
(rad).
Vậy t =
1
( )
3.20 60
s
α π
ω π

= =
.

Bài 5. Một vật dao động điều hoà theo phương trình :
10.sin(10 . )x t
π
=
(cm). Xác định thời điểm vận tốc
của vật có độ lớn bằng nửa vận tốc cực đại lần thứ nhất, lần thứ hai.
Lời Giải
+ Từ phương trình
10.sin(10 . )x t
π
=
(cm)
'
100. . (10. . )( / )v x cos t cm s
π π
⇒ = =
. Suy ra vận tốc cực đại là:
. 10 .10 100 ( / )
max
v A cm s
ω π π
= = =
.
+ Khi t = 0, v > 0 vật bắt đầu chuyển động từ VTCB, theo chiều dương. Lần thứ nhất vật chuyển động theo
chiều dương và có độ lớn vận tốc bằng nửa vận tốc cực đại. Lần thứ hai vật chuyển động ngược chiều
dương.
+ Khi vật chuyển động theo chiều dương, ta có :

1
100. . (10. . ) .100
2
v cos t
π π π
= =

1
(10. . )
2
cos t
π
⇒ =
⇒

10. . .2
3
10. . .2
3
t k
t k
π
π π
π
π π
= +
= − +
( với
;k Z∈
t > 0 )

1
30 5
k
t⇔ = +
với k = 0, 1, 2, 3, (1)

1
30 5
k
t = − +
với k =1, 2, 3, (2)
NguyÔn §×nh Khang
16
O
2
4
x(c
m)
α
ω
Ph¬ng Ph¸p Gi¶i To¸n VËt LÝ 12
Hệ thức (1) ứng với li độ của vật
10.sin(10 . )x t
π
=
> 0.
Hệ thức (2) ứng với li độ của vật
10.sin(10 . )x t
π
=

< 0.
Do vật bắt đầu chuyển động từ VTCB theo chiều dương nên lần đầu tiên vận tốc của vật bằng nửa vận tốc
cực đại ở thời điểm,
1
( )
30
t s=
( k = 0 ).
+ Khi vật chuyển động ngược chiều dương:
1
100. . (10. . ) .100
2
v cos t
π π π
= = −
1
(10. . )
2
cos t
π
⇒ = −
⇒

2
10. . .2
3
2
10. . .2
3
t k

t k
π
π π
π
π π
= +
= − +
( với
;k Z∈
t > 0 )
1
15 5
k
t⇔ = +
(với k = 0, 1, 2, 3, ; t > 0 ) (3)

1
15 5
k
t = − +
(với k =1, 2, 3, ; t > 0 ) (4)
Hệ thức (3) ứng với li độ của vật
10.sin(10 . )x t
π
=
> 0.
Hệ thức (4) ứng với li độ của vật
10.sin(10 . )x t
π
=

< 0.
Do vật bắt đầu chuyển động từ VTCB theo chiều dương nên lần thứ hai vận tốc của vật có độ lớn bằng nửa
vận tốc cực đại ở thời điểm,
1
( )
15
t s=
( k = 0 ).
Bài 6. Một vật dao động điều hoà theo phương trình :
10.sin(5 . )
2
x t
π
π
= −
(cm). Xác định thời điểm vận tốc
của vật có độ lớn bằng
25 2.
π
(cm/s) lần thứ nhất, lần thứ hai và lần thứ ba.
Lời Giải
- Khi t = 0
10x cm⇒ = −
. Vật bắtt đầu chuyển động từ vị trí biên âm ( x= -A). Do đó khi vật chuyển
động theo chiều dương thì cả lần 1 và lần thứ 2 vận tốc đều có độ lớn
25 2.
π
(cm/s), nhưng lần 1 ứng
với x < 0, còn lần 2 ứng với x > 0. Lần thứ 3 vận tốc của vật bằng
25 2.

π
(cm/s) khi vật chuyển động
theo chiều âm.
- Vật chuyển động theo chiều dương, thời điểm của vật được xác định như sau:

2
50. . (5 ) 25 2. (5 )
2 2 2
v cos t cos t
π π
π π π π
= − = ⇔ − =

⇒

5 .2
2 4
5 .2
2 4
t k
t k
π π
π π
π π
π π
− = +
− = − +
(
k Z∈
)

⇒

3
0,4.
20
t k= +
(với k = 0, 1, 2, 3, 4, ); ứng với x > 0 (1)
⇒

1
0,4.
20
t k= +
(với k = 0, 1, 2, 3, 4, ); ứng với x < 0 (2)
Vật bắt đầu chuyển động từ vị trí biên âm nên lần thứ 1 và lần thứ 2 vận tốc của vật bằng
25 2.
π
(cm/s) ở
các thời điểm tương ứng là :

1
1
( ) 0,05( )
20
t s s= =
( theo hệ thức (2), ứng k = 0 ).

2
3
( ) 0,15( )

20
t s s= =
( theo hệ thức (1), ứng k = 0 ).
- Vật chuyển động theo chiều âm, thời điểm của vật được xác định như sau :
NguyÔn §×nh Khang
17
Ph¬ng Ph¸p Gi¶i To¸n VËt LÝ 12
2
50. . (5 ) 25 2. (5 )
2 2 2
v cos t cos t
π π
π π π π
= − = − ⇔ − = −

⇒

3
5 .2
2 4
3
5 .2
2 4
t k
t k
π π
π π
π π
π π
− = +

− = − +
(
k Z
∈
)
⇒

1
0,4.
4
t k= +
(với k = 0, 1, 2, 3, 4, ; t > 0 ); ứng với x > 0 (3)
⇒

1
0,4.
20
t k= − +
(với k = 1, 2, 3, 4, ; t > 0 ); ứng với x < 0 (4)
Vậy vật bắt đầu chuyển động từ vị trí biên âm nên lần thứ 3 vận tốc của vật bằng
25 2.
π
(cm/s) ở thời
điểm tương ứng là :

3
1
( ) 0,25( )
4
t s s= =

( theo hệ thức (3), ứng k = 0 ).
DẠNG 9. XÁC ĐỊNH VẬN TỐC, GIA TỐC TẠI MỘT ĐIỂM TRÊN QUỸ ĐẠO
I. Phương pháp
1. Để xác định vận tốc tại một điểm trên quỹ đạo, ta làm như sau :
- Tại vị trí vật có li độ là x, vận tốc là v, ta có :
.sin( )
. . ( )
x A t
v A cos t
ω ϕ
ω ω ϕ
= +
= +

⇒

.sin( )
. ( )
x A t
v
A cos t
ω ϕ
ω ϕ
ω
= +
= +
Bình phương hai vế, cộng vế với vế, ta được:
2
2 2 2 2
2

v
A x v A x
ω
ω
= + ⇒ = ± −
.
- Chú ý: + v > 0 : vận tốc cùng chiều dương trục toạ độ.
+ v < 0 : vận tốc ngược chiều dương trục toạ độ.
2. Để xác định gia tốc tại một điểm trên quỹ đạo, ta áp dụng công thức:

2
.a x
ω
= −
- Chú ý: + a > 0 : gia tốc cùng chiều dương trục toạ độ.
+ a < 0 : gia tốc ngược chiều dương trục toạ độ.
II. Bài Tập
Bài 1. Một vật dao động điều hoà với chu kỳ
( )
10
T s
π
=
và đi được quãng đường 40cm trong một chu kỳ.
Xác định vận tốc và gia tốc của vật khi đi qua vị trí có li độ x = 8cm theo chiều hướng về VTCB.
Lời Giải
- ADCT:
40
10
4 4

s
A cm= = =
;
2 2
20( / )
10
rad s
T
π π
ω
π
= = =
- Ta có :
.sin( )
. . ( )
x A t
v A cos t
ω ϕ
ω ω ϕ
= +
= +

⇒

.sin( )
. ( )
x A t
v
A cos t
ω ϕ

ω ϕ
ω
= +
= +
Bình phương hai vế, cộng vế với vế, ta được:
2
2 2 2 2
2
v
A x v A x
ω
ω
= + ⇒ = ± −
.
- Theo đầu bài ta có:
2 2 2 2
20. 10 8 120( / )v A x cm s
ω
= − − = − − = −
( vì v < 0 )
NguyÔn §×nh Khang
18
Ph¬ng Ph¸p Gi¶i To¸n VËt LÝ 12
- Ta có :
2 2 2 2
. 20 .8 3200( / ) 32( / )a x cm s m s
ω
= − = − = − = −
. Dấu “ – “ chứng tỏ gia tốc ngược chiều với
chiều dương trục toạ độ, tức là nó hướng về VTCB.

Bài 2. Một vật dao động điều hoà trên đoạn thẳng dài 10cm và thực hiện 50 dao động trong 78,5s. Tìm
vận tốc và gia tốc của vật khi nó đi qua vị trí có toạ độ
x = -3cm theo chiều hướng về VTCB.
Lời Giải
- Biên độ: A =
10
5
2 2
l
cm= =
; Chu kỳ: T =
78,5
1,57
50
t
s
n
= =
; Tần số góc:
2
4( / )rad s
T
π
ω
= =
. Vận tốc:
2 2 2 2
4 5 3 16 / 0,16( / )v A x cm s m s
ω
= − = − = =

- Gia tốc:
2 2 2 2
. 4 .( 3) 48( / ) 0,48( / )a x cm s m s
ω
= − = − − = =
DẠNG 10. XÁC ĐỊNH QUÃNG ĐƯỜNG ĐI ĐƯỢC
SAU KHOẢNG THỜI GIAN ĐÃ CHO
I. Phương pháp
+ Khi pha ban đầu bằng : 0,
2
π
±
:
- Nếu trong khoảng thời gian t, số chu kỳ dao động mà vật thực hiện được là:
n,
1
2
n +
,
1
4
n +
,
3
4
n +
, ( n là số nguyên ) thì quãng đường mà vật đi được tương ứng là n.4A, (
1
2
n +

).4A,
(
1
4
n +
).4A, (
3
4
n +
).4A, ( A là biên độ dao động).
- Nếu trong khoảng thời gian t, số chu kỳ dao động n mà vật thực hiện khác với các số nói trên thì quãng
đường mà vật đi được tính theo công thức : s = s
1
+ s
2
.
Trong đó s
1
là quãng đường đi dược trong n
1
chu kỳ dao động và được tính theo một số truờng hợp ở trên,
với n
1
nhỏ hơn hoặc gần n nhất. Còn s
2
là quãng đường mà vật đi được trong phần chu kỳ còn lại n
2
, với n
2
= n – n

1
.
Để tính s
2
cần xác định li độ tại thời điểm cuối cùng của khoảng thời gian đã cho và chú ý đến vị trí,
chiều chuyển động của vật sau khi thực hiện n
1
chu kỳ dao động. Cụ thể:
• Nếu sau khi thực hiện n
1
chu kỳ dao động, vật ở VTCB và ở cuối khoảng thời gian t, vật có li
độ là x thì : s
2
=
x
.
• Nếu sau khi thực hiện n
1
chu ký dao động, vật ở vị trí biên và ở cuối khoảng thời gian t, có li
độ x thì : s
2
= A -
x
.
+ Khi pha ban đầu khác 0,
2
π
±
:
- Nếu trong khoảng thời gian t, số chu kỳ dao động mà vật thực hiện được là:

n hoặc
1
2
n +
, ( n nguyên) thì quãng đường đi được tương ứng là: n.4A, (
1
2
n +
).4A
- Nếu trong khoảng thời gian t, số chu kỳ dao động n mà vật thực hiện khác với các số nói trên thì quãng
đường mà vật đi được tính theo công thức : s = s
1
+ s
2
.
Trong đó s
1
là quãng đường đi dược trong n
1
chu kỳ dao động và được tính theo một số truờng hợp ở
trên, với n
1
nhỏ hơn hoặc gần n nhất. Còn s
2
là quãng đường mà vật đi được trong phần chu kỳ còn lại n
2
,
với n
2
= n – n

1
.
Để tính s
2
cần xác định li độ x và chiều chuyển động của vật ở thời điểm cuối của khoảng thời gian đã
cho và chú ý khi vật đi từ vị trí x
1
( sau khi thực hiện n
1
dao động ) đến vị trí có li độ x thì chiều chuyển
động có thay đổi hay không?
NguyÔn §×nh Khang
19
Ph¬ng Ph¸p Gi¶i To¸n VËt LÝ 12
Chú ý: Tìm n ta dựa vào biểu thức sau :
t
n
T
=
.
II. Bài Tập.
Bài 1. Một chất điểm dao động điều hoà với phương trình:
5.sin(2 . )x t
π
=
(cm).
Xác định quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian t(s) kể từ khi vật bắt đầu dao động trong các
trường hợp sau :
a) t = t
1

= 5(s). b) t = t
2
= 7,5(s). c) t = t
3
= 11,25(s).
Lời Giải
- Từ phương trình :
5.sin(2 . )x t
π
=
2
2 ( / ) 1( )
2
rad s T s
π
ω π
π
⇒ = ⇒ = =
.
a) Trong khoảng thời gian t
1
= 5s, số dao động mà vật thực hiện được là :
1
5
5
1
t
n
T
= = =

(chu kỳ). Vậy
quãng đường mà vật đi được sau khoảng thời gian t
1
= 5là : s = n.4A = 5.4.5 = 100cm = 1m.
b) Trong khoảng thời gian t
2
= 7,5s, số dao động mà vật thực hiện được là :
2
7,5
7,5
1
t
n
T
= = =
(chu kỳ).
Vậy quãng đường mà vật đi được sau khoảng thời gian t
2
=7, 5s là : s =7,5.4A =7,5 . 4 . 5 = 150cm = 1,5
m.
c) Trong khoảng thời gian t
3
= 11,25s, số dao động mà vật thực hiện được là :
3
11,25
11,25
1
t
n
T

= = =
(chu kỳ). Vậy quãng đường mà vật đi được sau khoảng thời gian t
3
=11, 25s là : s
=11,25.4A =11,25 . 4 . 5 = 225cm = 2,25 m.
Bài 2 . Một chất điểm dao động điều hoà với phương trình:
10.sin(5 . )
2
x t
π
π
= +
(cm).
Xác định quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian t(s) kể từ khi vật bắt đầu dao động trong các
trường hợp sau :
a) t = t
1
= 1(s). b) t = t
2
= 2(s). c) t = t
3
= 2,5(s).
Lời Giải
Từ phương trình :
10.sin(5 . )
2
x t
π
π
= +

5 ( / )rad s
ω π
⇒ =

2
0,4
5
T s
π
π
⇒ = =
a) Trong khoảng thời gian t
1
= 1s, số dao động mà vật thực hiện được là :
1
1
2,5
0,4
t
n
T
= = =
(chu kỳ). Vậy
quãng đường mà vật đi được sau khoảng thời gian t
1
= 1(s) là : s = n.4A = 2,5 . 4 .10 = 100cm = 1m.
b) Trong khoảng thời gian t
2
= 2s, số dao động mà vật thực hiện được là :

2
2
5
0,4
t
n
T
= = =
(chu kỳ). Vậy
quãng đường mà vật đi được sau khoảng thời gian t
2
=2s là : s =5.4A =5 . 4 . 10 = 200cm = 2 m.
c) Trong khoảng thời gian t
3
= 2,5, số dao động mà vật thực hiện được là :
3
2,5
6,25
0,4
t
n
T
= = =
(chu kỳ).
Vậy quãng đường mà vật đi được sau khoảng thời gian t
3
=2,5s là : s =11,25.4A =6,25 . 4 . 5 = 250cm =
2,5 m.
Bài 3 . Một chất điểm dao động điều hoà với phương trình:
10.sin(5 . )

6
x t
π
π
= +
(cm). Xác định quãng
đường vật đi được sau khoảng thời gian t(s) kể từ khi vật bắt đầu dao động trong các trường hợp sau :
a) t = t
1
= 2(s). b) t = t
2
= 2,2(s). c) t = t
3
= 2,5(s).
Lời Giải
Từ phương trình :
10.sin(5 . )
6
x t
π
π
= +

5 ( / )rad s
ω π
⇒ =

2
0,4
5

T s
π
π
⇒ = =
a) Trong khoảng thời gian t
1
= 2s, số dao động mà vật thực hiện được là :
NguyÔn §×nh Khang
20
Ph¬ng Ph¸p Gi¶i To¸n VËt LÝ 12
1
2
5
0,4
t
n
T
= = =
(chu kỳ). Vậy quãng đường mà vật đi được sau khoảng thời gian
t
1
= 2(s) là : s = n.4A = 5 . 4 .10 = 200cm = 2m.
b) Trong khoảng thời gian t
2
= 2,2s, số dao động mà vật thực hiện được là :
2
2,2
5,5
0,4
t

n
T
= = =
(chu kỳ). Vậy quãng đường mà vật đi được sau khoảng thời gian
t
2
=2s là : s =5,5 . 4A =5,5 . 4 . 10 = 220cm = 2,2 m.
c) Trong khoảng thời gian t
3
= 2,5, số dao động mà vật thực hiện được là :
3
2,5
6,25
0,4
t
n
T
= = =
(chu kỳ).
- ở thời điểm t
3
= 2,5(s), li độ của vật là:
2
10.sin(5 .2,5 ) 10.sin 5 3( )
6 3
x cm
π π
π
= + = =
Như vậy sau 6 chu kỳ dao động vật trở về vị trí có li độ

0
2
A
x =
theo chiều dương và trong 0,25 chu kỳ tiếp
theo đó, vật đi từ vị trí này đến vị trí biên x = A, rồi sau đó đổi chiều chuyển động và đi đến vị trí có li độ
5 3( )x cm=
. Quãng đường mà vật đi được sau 6,25 chu kỳ là: s = s
1
+ s
2
= 6 . 4. 10 + ( A – x
0
) + ( A – x)
= 246,34(cm).
Bài 4 Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox, xung qu8anh VTCB x = 0. Tần số dao động
4( / )rad s
ω
=
. Tại một thời điểm nào đó, li độ của vật là x
0
= 25cm và vận tốc của vật đó là
v
0
= 100cm/s. Tìm li độ x và vận tốc của vật sau thời gian
3
2,4( )
4
t s
π

= ≈
.
ĐS : x = -25cm, v = -100cm/s.
Bài 5. Một vật dao động điều hoà theo phương trình :
.sin( . )x A t
ω ϕ
= +
. Xác định tần số góc, biên độ A
của dao động. Cho biết, trong khoảng thời gian 1/60 (s) đầu tiên, vật đi từ vị trí x
0
= 0 đến vị trí
x =
3
2
A
theo chiều dương và tại điểm cách VTCB 2(cm) vật có vận tốc
40 3
π
(cm/s).
ĐS :
20 ( )
rad
s
ω π
=
, A= 4(cm).
Bài 6. Một vật dao động điều hoà đi qua VTCB theo chiều dương ở thời điểm ban đầu. Khi vật có li độ là
3(cm) thì vận tốc của vật là
8
π

(cm/s), khi vật có li độ là 4(cm) thì vật có vận tốc là
6
π
(cm/s). Viết
phương trình dao động của vật nói trên.
ĐS :
5.sin(2 . )x t cm
π
=
.
DẠNG 11. HỆ MỘT LÒ XO CÓ LIÊN KẾT RÒNG RỌC
I. Phương pháp
- áp dụng định luật bảo toàn về công: “ Các máy cơ học không cho ta được lợi về công”, tức là “ Được lợi
bao nhiêu lần về lực thì thiệt bấy nhiêu lần về đường đi”
- Ví dụ : Ròng rọc, đòn bẩy, mặt phẳng nghiêng,
II.Bài tập
Bài 1. Cho hai cơ hệ đượ bố trí như hình vẽ. Lò xo có độ cứng k = 20(N/m),
vật nặng có khối lượng
m = 100g. Bỏ qua lực ma sát, khối lượng của ròng rọc, khối lượng dây treo
NguyÔn §×nh Khang
21
P
ur
1
T
ur
dh
F
uuur
2

T
uur
3
T
uur
O(VTCB)
P
ur
1
T
ur
I
dh
F
uuur
2
T
uur
a)
b)
Ph¬ng Ph¸p Gi¶i To¸n VËt LÝ 12
( dây không dãn ) và các lò xo là không đáng kể.
1. Tính độ dãn của mỗi lò xo khi vật ở VTCB. Lấy g = 10(m/s
2
).
2. Nâng vật lên vị trí sao cho lò xo không biến dạng, rồi thả nhẹ cho vật
dao động. Chứng minh vật m dao động điều hoà. Tìm biên độ, chu kỳ của vật.
Lời Giải
a) Hình a: Chọn HQC là trục toạ độ Ox, O trùng với VTCB của m, chiều
dương hướng xuống.

- Khi hệ ở VTCB, ta có:
+ Vật m:
1
0P T+ =
ur ur
.
+ Điểm I:
2
0
dh
T F+ =
uur uuur
. Chiếu lên HQC, ta có
1
0P T− =
(1).
2
0
dh
F T− =
(2). Vì lò xo không dãn nên
T
1
= T
2
. Từ (1) và (2), ta có : P = F
đh
(*)
. 0,1.10
. . 0,05 5

20
m g
m g k l l m cm
k
⇔ = ∆ ⇒ ∆ = = = =
.
- Khi hệ ở thời điểm t, có li độ x, ta có:
+ Vật m :
1
.P T m a+ =
ur ur r
+ Điểm I:
2
.
dh I
T F m a+ =
uur uuur r
. Vì m
I
= 0 nên ta có:
1
.P T m a− =
(3).
2
0
dh
F T− =
(4).
. . ( ) .
dh

P F m a m g k x l m a⇒ − = ⇔ − + ∆ =
(**)
Thay (*) vào (**) ta được:
" "
. . . 0
k
k x m x x x
m
− = ⇒ + =
. Đặt
2 " 2
. 0
k
x x
m
ω ω
= ⇒ + =
.
Có nghiệm dạng
.sin( )x A t
ω ϕ
= +

⇒
Hệ vật dao động điều hoà, với tần số góc
k
m
ω
=
.

- Khi nâng vật lên vị trí sao cho lò xo không biến dạng, ta suy ra A = 5cm. Chu kỳ dao động
2 0,1
2 2 . 0,314 2
20
m
T
k
π
π π
ω
= = = =
(s).
b) Hình b:
- Khi hệ ở VTCB, ta có:
+ Vật m:
1
0P T+ =
ur ur
.
+ Ròng rọc:
2 3
0
dh
T T F+ + =
uur uur uuur
. Chiếu lên HQC, ta có :
1
0P T− =
(5).
3 2

0
dh
F T T− + + =
(6). Vì lò xo không dãn nên T
0
= T
3
= T
1
= T
2
. Từ (6) ta suy ra
0
2.
dh
F T=

0
2
dh
F
T⇒ =
.
Thay vào phương trình số (5) ta có :
2. .
0 2. . . 0,1 10
2 2
dh dh
F F
m g

P P m g k l l m cm
k
− = ⇒ = ⇔ = ∆ ⇒ ∆ = = =
.
(***)
- Khi hệ ở thời điểm t, có li độ x, ta có:
+ Vật m :
1
.P T m a+ =
ur ur r
+ Ròng rọc:
2 3
.
dh rr
T T F m a+ + =
uur uur uuur r
. Chiếu lên HQC, ta có :
1
.P T m a− =
(7)
Vì m
rr
= 0 nên ta có:
3 2
0
dh
F T T− + + =
(8). Vì lò xo không dãn nên T
0
= T

3
= T
1
= T
2
. Từ (8) ta suy ra
0
2.
dh
F T=
thay vào (7) ta được:
"
1
. . . .( ) .
2 2 2
dh
F
x
P m a m g k l m x⇒ − = ⇔ − ∆ + =
( Vì theo định luật bảo toàn
công ta có, khi vật m đi xuống một đoạn là x thì lò xo dãn thêm một đoạn x/2 ). Thay (***) vào ta được:
NguyÔn §×nh Khang
22
Phơng Pháp Giải Toán Vật Lí 12
" "
.
. . 0
4 4.
k x k
m x x x

m
= + =
. t
2
4
k
m

=

" 2
. 0x x

+ =
. Vy vt m dao ng iu ho. Biờn dao
ng A=20cm;
chu k dao ng T =
2 2 4 4.0,1
2 . 2 0,628 2
20
4
m
k
k
m



= = = =
(s).

Bi 2. Qu cu khi lng m
1
= 600g gn vo lũ xo cú cng k =
200(N/m). Vt nng m
2
= 1kg ni vi m
1
bng si dõy mnh , khụng
dón vt qua rũng rc. B qua mi ma sỏt ca m
1
v sn, khi lng
rũng rc v lũ xo l khụng ỏng k.
a) Tỡm dón ca lũ xo khi vt cõn bng. Ly g = 10(m/s
2
).
b) Kộo m
2
xung theo phng thng ng mt on x
0
= 2cm
ri buụng nh khụng vn tc u. Chng minh m
2
dao ng iu ho.
Vit phng trỡnh dao ng.
Bi 3. Cho mt h vt dao ng nh hv. Lũ xo v rũng rc khi lng
khụng ỏng k. cng ca lũ xo k = 200 N/m, M = 4 kg, m
0
=1kg. Vt
M cú th trt khụng ma sỏt trờn mt phng nghiờng gúc nghiờng =
30

0
.
a) Xỏc nh bin dng ca lũ xo khi h cõn bng.
b) T VTCB, kộo M dc theo mt phng nghiờng xung di
mt on x
0
= 2,5cm ri th nh. CM h dao ng iu ho. Vit
phng trỡnh dao ng. Ly g = 10 m/s
2
,
2
= 10.
Bi 4: Mt lũ xo cú cng k = 80 N/m, l
0
=20cm, mt u c nh u
kia múc vo mt vt C khi lng m
1
= 600g cú th trt trờn mt mt
phng nm ngang. Vt C c ni vi vt D cú khi lng m
2
= 200g
bng mt si dõy khụng dón qua mt rũng rc si dõy v rũng rc cú
khi lng khụng ỏng k. Gi vt D sao cho lũ xo cú di l
1
= 21cm
ri th ra nh nhng. B qua mi ma sỏt, ly g = 10 m/s
2
,
2
= 10.

a) Chng minh h dao ng iu ho v vit phng trỡnh dao
ng.
b) t h thng lũ xo, vt C ó cho trờn mt phng nghiờng gúc =
30
0
. Chng minh h dao ng iu ho v vit phng trỡnh dao
ng.
DNG 12. IU KIN HAI VT DAO NG CNG GIA TC
I. Phng phỏp
- Trng hp 1. Khi m
0
th lờn m v kớch thớch cho h dao ng theo phng song song vi b mt
tip xỳc gia hai vt. m
0
khụng b trt trờn m thỡ lc ngh ma sỏt cc i m m tỏc dng m
0
trong quỏ
trỡnh dao ng phi nh hn hoc bng lc ma sỏt trt gia hai vt.
f
msn
(Max) < f
mst

2
0 0 0 0
. . . . . . .m a m g m x m g
à à

2
0 0
. . . .m A m g
à

Trong ú :
à
l h s ma sỏt trt.
- Trng hp 2. Khi m
0
t lờn m v kớch thớch cho h dao ng theo phng thng ng. m
0
khụng
ri khi m trong quỏ trỡnh dao ng thỡ:
a
max

2
.g A g


II. Bài Tập
Nguyễn Đình Khang
23
m
0
M
k

m
1
m
2
m
1
m
2

k
dh
F
uuur
T
ur
T
ur
T
ur
T
ur
P
ur
m
A
Phơng Pháp Giải Toán Vật Lí 12
Bi 1. Cho c h dao ng nh hỡnh v, khi lng ca cỏc vt tng ng l m =
1kg, m
0
= 250g, lũ xo cú khi lng khụng ỏng k, cng k = 50(N/m). Ma

sỏt gia m v mt phng nm ngang khụng ỏng k. H s ma sỏt gia m v m
0
l
0,2
à
=
. Tỡm biờn dao ng ln nht ca vt m m
0
khụng trt trờn b
mt ngang ca vt m. Cho g = 10(m/s
2
),
2
10


.
Li Gii
- Khi m
0
khụng trt trờn b mt ca m thỡ hờ hai vt dao ng nh l mt vt
( m+m
0
). Lc truyn gia tc cho m
0
l lc ma sỏt ngh xut hin gia hai vt.

2
0 0
. . .

msn
f m a m x

= =
.
Giỏ tr ln nhõt ca lc ma sỏt ngh l :
2
0
( ) . .
msn
f Max m A

=
(1)
- Nu m
0
trt trờn b mt ca m thỡ lc ma sỏt trt xut hin gia hai vt l lc ma sỏt trt :
0
. .
mst
f m g
à
=
(2)
- m
0
khụng b trt trờn m thỡ phi cú:
2
0 0
( ) . . . .

msn mst
f Max f m A m g
à

2
.g
A
à


; m
2
0
k
m m

=
+
nờn ta cú :
0
. . 0,05 5 .
m m
A g A m A cm
k
à
+

Vy biờn ln nht ca m m
0
khụng trt trờn m l A

max
= 5cm.
Bi 2. Mt vt cú khi lng m = 400g c gn trờn mt lũ xo thng ng cú
cng k = 50(N/m). t vt m cú khi lng 50g lờn trờn m nh hỡnh v. Kớch thớch
cho m dao ng theo phng thng ng vi biờn nh. B qua sc cn ca khụng
khớ. Tỡm biờn dao ng ln nht ca m m khụng ri khi m trong quỏ trỡnh dao
ng. Ly g = 10 (m/s
2
).

Li Gii
m khụng ri khi m trong quỏ trỡnh dao ng thỡ h ( m+m) dao ng vi cựng gia tc. Ta phi cú:
a
max

2
.g A g



2
( ').
0,09
g m m g
A A A m
k

+

9 9
max
A cm A cm =
.

DNG 13. BI TON V VA CHM
I. Phng phỏp
- nh lut bo ton ng lng :
p const=
ur


1 2 3

n
p p p p Const+ + + + =
uur uur uur uur
.
(iu kin ỏp dng l h kớn)
- nh lut bo ton c nng : E = const

E

+ E
t
= const.
(iu kin ỏp dng l h kớn, khụng ma sỏt)
- nh lý bin thiờn ng nng :
d ngoailuc
E A =

2 2
2 1 2 1
1 1
. . . .
2 2
d d ngoailuc ngoailuc
E E A m v mv A = =
.
- Chỳ ý : i vi va cham n hi ta cú :
2 2 2 2
2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 1 1
. . . . . . ' . . '
2 2 2 2
m v m v m v m v+ = +
Nguyễn Đình Khang
24
m
m
0
k
m
m
k
Ph¬ng Ph¸p Gi¶i To¸n VËt LÝ 12
II. Bài Tập
Bài 1. Cơ hệ dao động như hình vẽ gồm một vật M = 200g gắn vào lò xo có độ cứng k, khối lượng không
đáng kể. Vật M có thể trượt không ma sát trên mặt ngang. Hệ ở trạng thái cân bằng người ta bắn một vật m
= 50g theo phương ngang với vận tốc v

0
= 2(m/s) đến va chạm với M.
Sau va chạm, vật M dao động điều hoà, chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo là 28cm và 20cm.
a) Tính chu kỳ dao động của M.
b) Tính độ cứng k của lò xo.

Lời Giải
a) Tìm chu kỳ dao động:
- áp dụng ĐLBTĐL:
0
. . .m v m v M V= +
uur r ur
; trong đó
;v V
r ur
là vận tốc của m và M ngay sau va chạm.
Phương trình vô hướng:
0
. . .m v m v M V= +

0 0
.( ) . .
M
m v v M V v v V
m
⇔ − = ⇒ − =
(1)
- áp dụng ĐLBTCN:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0
1 1 1
. . . . . . .( ) . ( ) .
2 2 2
M
m v m v M V m v v M V v v V
m
= + ⇔ − = ⇒ − =
(2)
Lấy (2) chia cho (1) ta có: v
0
+ v =V (3)
Lấy (1) cộng (3), ta có:
0
0
2. .
2. . 0,8( / )
m v
M m
v V V m s
m M m
+
= ⇒ = =
+
.
Mặt khác ta có :
min
4 .
2
max

l l
A cm
−
= =
Vận tốc của M ngay sau va chạm là vận tốc cực đại trong dao động của vật M, ta có

2 2 . 2 .4
. . 0,314( )
80
A
V A A T s
T V
π π π
ω
= = ⇒ = = ≈
.
b) Tìm độ cứng k của lò xo:
2
2 2
2
4.
. . 80( / )
k
k M M N m
M T
π
ω ω
= ⇒ = = =
.
Bài 2. Một cái đĩa khối lượng M = 900g đặt trên lò xo có độ cứng k = 25(N/m).

Một vật nhỏ m = 100g rơi không vận tốc ban đầu từ độ cao h = 20(cm) ( so với đĩa)
xuống đĩa và dính vào đĩa. Sau va chạm hệ hai vật dao động điều hoà.
1. Viết phương trình dao động của hệ hai vật, chọn gốc toạ độ là VTCB của
hệ vật,
chiều dương hướng thẳng đứng từ trên xuống, gốc thời gian là lúc bắt đầu va chạm.
Lấy g = 10(m/s
2
).
2. Tính các thời điểm mà động năng của hai vật bằng ba lần thế năng của lò
xo.Lấy gốc tính thế năng của lò xo là VTCB của hai vật.
Lời Giải
1. Chọn mặt phẳng đi qua đĩa làm mốc tính thế năng, ta có:
Gọi v
0
là vận tốc của m ngay trước va chạm, áp dụng ĐLBTCN, ta được

2
0
0
.
. . 2. . 2( / )
2
m v
m g h v g h m s= ⇒ = =
Do va chạm là va chạm mềm nên ngay sau khi va cham cả hệ chuyển động với vận tốc v ;
áp dụng ĐLBTĐL, ta có:
0
0
.
. ( ). 20( / )

m v
m v M m v v cm s
M m
= + ⇒ = =
+
.
Khi hệ ở VTCB, hệ nén thêm một đoạn là:
. . 4( )
mg
m g k l l cm
k
= ∆ ⇒ ∆ = =
NguyÔn §×nh Khang
25
M
m
0
v
uur
k
m
M
k
h