Sơ lược đa tạp trên tập khả vi

1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1. Nhắc lại một số khái niệm về tập hợp.
Cho
A
và
B
là 2 tập hợp,
B
gọi là tập con của
A
nếu mọi phần tử của
B
đều thuộc
A
. Ký
hiệu là
BA
. Tập rỗng ký hiệu là
/
o

efd
B A b B b A

Tích Decac (tích trực tiếp) của 2 tập hợp
A
và
B

là một tập hợp mà mỗi phần tử của nó đều
có dạng
,ab
với
,a A b B
. Ký hiệu là
AB

, : ,A B a b a A b B

Ta có thể tổng quát cho tích Decac hữu hạn các tập hợp
12
, , ,
n
A A A
như sau:
1 1 1 2
, , , : , 1,2, ,
n n i i
A A A a a a a A i n

Một quan hệ trên tập
A
là tập con ~ của
AA
ta viết
~ab
nếu
,~ab
. Một quan hệ ~

trên
A
đgl một quan hệ tương đương nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
Tính phản xạ tức là
~,a a a A
.
Tính đối xứng tức là nếu
~ab
thì
~ , ,b a a b A
.
Tính bắc cầu tức là nếu
~ab
và
~bc
thì
~ac
.
Lớp tương đương của
A
ký hiệu
a
hoặc
a
và
:~
efd
a b A a b
. Nếu ~ là một quan hệ
tương đương trên

A
thì mỗi phần tử của
A
đều xác định một lớp tương đương.
2. Nhắc lại một số khái niệm về Đại số tuyến tính.
Cho tập hợp
/
Xo
.
Nếu
,x y X
mà
x y X
gọi là phép cộng.
Nếu
xX
và số mà
xX
gọi là phép nhân vô hướng.
Tập hợp
X
với 2 phép toán trên đgl không gian vectơ nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

,x y y x x X


, , ,x y z x y z x y z X


!0 : 0 ,X x x x X

Với mỗi
xX
, tương ứng duy nhất một phần tử
x
sao cho
0xx


, , ,x x x x X
là số bất kỳ

, , ,x y x y x y X
là số bất kỳ

,x x x X


1. ,x x x X


.,O x O x X

Không gian vectơ gọi là không vectơ thực hay phức nêu

hay

.
Nếu
X

là không gian vectơ thì
xX
đgl vectơ.
Hệ
12
, , ,
n
x x x
gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số
12
, , ,
n
không đồng thời
bằng 0 sao cho
1 1 2 2
0
nn
x x x
.
Bài 1


2
Hệ
12
, , ,
n
x x x
không phụ thuộc tính thì gọi là độc lập tuyến tính.
Cho hệ vectơ

1 2 1 1 2 2
, , , , :
n n n
B x x x x X x x x x
thì vectơ
x
đgl biểu thị
tuyến tính qua hệ vectơ
B
và
B
đgl tập sinh của không gian vectơ
X
.
Hệ
12
, , ,
n
B x x x
đgl cơ sở của không gian vectơ
X
nếu hệ
B
độc lập tuyến tính và là tập
sinh của
X
.
Không gian vectơ
X
đgl hữu hạn chiều nếu

X
chứa một cơ sở hữu hạn các vectơ.
Cho không gian vectơ
X
và tập hợp
/
Bo
,
BX
đgl không gian vectơ con của
X
nếu
,x y B
, số thỏa:

x y B


xB

Cho tập hợp
/
So
trong không gian vectơ
X
và
X
là không gian vectơ con chứa
S
của

X
.
Khi đó
I
MX

đgl không gian vectơ nhỏ nhất chứa
S
và là không gian con mở rộng của
S
hay là mở rộng của
S
.
Cho
,UV
là 2 không gian vectơ trên trường
K
(
,KK
). Tổng trực tiếp của
,UV
là
một không gian vectơ được ký hiệu là
UV
.
Khi đó:
:,
efd
U V u v u U v V
và phép toán tuyến tính định nghĩa bởi công thức:

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
, , ,u v u v u u v v

Cho
X
là không gian vectơ thì tập hợp
1 2 1 2
1 : , , 0,1A x tx t x x x X t
đgl đoạn
nối điểm
12
,xx
. Khi đó
AX
gọi là tập lồi nếu mọi đoạn nối 2 điểm của
A
đều nằm trong
A
.
Cho
HX
,
A
là tập lồi chứa
H
. Khi đó
I
MA

đgl bao lồi của

H
và
M
cũng là một
tập lồi.
Phép biến đổi tuyến tính trên không gian vecto
V
là phép gán tương ứng mỗi phần tử
xV
,
một vecto
Ax
trong
V
sao cho
A x y Ax Ay
, với
,
là số bất kỳ.
Một hàm tuyến tính trên không gian vecto
V
là lượng vô hướng giá trị của hàm
f
định bởi
mọi vecto
xV
thõa
1 2 1 2
f x x f x f x
với

22
,x x X
và
,
là số bất kỳ.
Cho
V
là không gian vecto và
'
V
là giao của tất cả các hàm tuyến tính trên
V
. Ký hiệu 0 hàm
tuyến tính
f
sao cho
0,f x x X
. Nếu
12
'
,f f V
và nếu
12
,
là số bất kỳ thì ta viết
1 1 2 2
f x f x f x
. Khi đó
f
là hàm tuyến tính. Định nghĩa của 0 với phép cộng,

phép nhân vô hướng thì
'
V
là không gian vecto và là không gian đối ngẫu của
V
.
Quy ước : Viết
,xy
thế cho hàm thông thường ký hiệu
yx
.
Cho
V
là không gian vecto và phần tử
'
fV
. Các ánh xạ tuyến tính
A
trong
V
đều xét đến
biểu thức
,,Ax f x V
. Cố định
f
, hàm
'
f
đinh bởi
'

,f x Ax f
là hàm tuyến tính trong
V
. Ta có thể viết
'
,,Ax f x f
. Nếu bây giờ ta thực hiện các biến đối
f
trên
'
V
thì thủ tục

3
tương ứng cho ta mỗi
f
tất cả chúng chứa
'
f
và có thể viết
''
f A f
hay
'
,,Ax f x A f
.
Khi đó
'
A
là ánh xạ tuyến tính trong

'
V
. Thật vậy, nếu
1 1 2 2
f f f
thì
' ' '
1 1 2 2 1 1 2 2
, , , , , ,x A f Ax f Ax f Ax f x A f x A f
=
''
1 1 2 2
,x A f A f
. Ánh xạ tuyến tính
'
A
đgl phụ hợp (liên hợp) của
A
.
3. Các khái niệm về ánh xạ.
Cho
X
,
Y
là 2 tập hợp. Ánh xạ
:f X Y
là phép tương ứng với mỗi phần tử
xX
có duy
nhất phần tử

y f x Y
.
Ảnh của ánh xạ
f
được xác định:
:Im f f X y Y x X y f x

Tạo ảnh của ánh xạ
f
được xác định:
1
f Y x X f x Y

Ánh xạ đồng nhất trên
X
là ánh xạ
:I X X
x
thõa
,I x x x X
x
.
Cho
AX
ánh xạ
:i A X
xác định bởi
i a a A
đgl bao hàm của ánh xạ
A

lên
X
.
Cho
AX
thì
f
hạn chế lên
A
là ánh xạ
:f A Y
A
thõa
,f a f a a A
A
.
Ánh xạ
:f X Y
gọi là đơn ánh nếu
1 2 1 2 1 2
,:x x X x x f x f x
hay
1 2 1 2 1 2
,:x x X f x f x x x
; gọi là toàn ánh nếu
Imf X Y f
hay
,:y Y x X f x y
; gọi là song ánh nếu
f

vừa là đơn ánh, toàn ánh hay
yY
tồn tại
duy nhất
:x X f x y
.
Nếu
f
là song ánh thì tồn tại ánh xạ ngược của
f
là
1
:f Y X
được xác định theo công
thức
1
x f y y f x
.
Nếu
: , :f X Y g Y Z
thì ánh xạ hợp của
,fg
là ánh xạ
:
o
g f X Z
cho bởi công thức
,g f x gf x x X
.
4. Nhắc lại một số vấn đề về Topo đại cƣơng.

Cho tập hợp
X
, là tập hợp các tập con của
X
thỏa mãn các điều kiện sau:

,
/
Xo

Giao của 2 phần tử của thì thuộc
Hợp tùy ý các phần tử của thì thuộc
Nếu tập hợp thỏa mãn các điều kiện trên đgl Topo trên
X
và
X
đgl không gian Topo.
Ký hiệu:
,X

Mỗi phần tử thuộc đgl một tập mở.
Cho
X
là không gian Topo. Khi đó:

0 GX
đgl lân cận của
xX
iff tồn tại tập mở
x

UG
.

0 AX
đgl tập mở iff
xX
tồn tại tập mở
x
UA
.

0 BX
đgl tập đóng iff
\XA
mở.
Cho
X
là không gian Topo,
YX
. Tập đóng nhỏ nhất chứa
Y
đgl bao đóng ký hiệu là
Y
.
Khi đó
j
jI
YF

với

:
j
F j I
là họ tập đóng chứa
Y
.

4
Cho
SX
khi đó topo cảm sinh trên
S
bởi topo
X
bao gồm họ các tập hợp thỏa
US
với
U
mở trong
X
. Nếu
T
là họ các tập mở trong
X
thì
:
S
T U S U T
là họ các tập mở
trong

S
và từ sự thành lập đó thì
S
T
đgl topo trên
S
. Topo cảm sinh đôi khi có thể gọi topo
tương đối. Nếu
S
là topo cảm sinh thì
S
đgl không gian topo con của
X
.
Cho
SX
cái phủ của
S
là giao tất cả các tập con
j
U
của
X
sao cho
j
jI
SU

. Nếu chỉ
số

jI
hữu hạn (i.e.
I
hữu hạn) thì cái phủ hữu hạn và nếu
j
U
mở thì ta gọi là phủ mở.
Tập
SX
đgl compact nếu mọi phủ mở của
S
đều chứa một phủ con hữu hạn. Nếu
X
là
compact thì
X
đgl không gian compact.
Compact có các tính chất.
Đóng trong compact là compact (i.e.
A
đóng,
AB
,
B
compact suy ra
A
compact).

,XY
là 2 không gian topo. Khi đó

,XY
compact
XY
compact.
Tập con của
n

đóng và bị chặn thì compact.
Một không gian topo
X
đgl liên thông nếu
X
không thể biễu diễn thành hợp của 2 tập hợp
mở khác rỗng rời nhau trong
X
.
X
liên thông nếu
X
chỉ có 2 tập con vừa đóng vừa mở đó là
X
và
/
o
. Một tập
SX
đgl
liên thông nếu
S
liên thông trong không gian với topo cảm sinh.

Một số tính chất của không gian liên thông.
Hiển nhiên
,ab 
là liên thông.
Cho
,
j
S j I
là họ các tập con liên thông của
X
. Nếu
/
j
jI
So

thì
j
jI
SS

liên
thông.
Nếu
,XY
là 2 không gian topo thì
XY
liên thông iff
X
,

Y
liên thông.
Một không gian topo
X
đgl liên thông cục bộ tại điểm
xX
nếu với mọi tập mở chứa
x

đều chứa một tập mở liên thông chứa
x
. Không gian
X
đgl liên thông cục bộ nếu
X
liên
thông cục bộ tại mọi điểm thuộc
X
. Một tập con của
X
liên thông cực đại đgl một bộ phận
của
X
. Liên thông cục bộ có các tính chất sau:
Một không gian topo
X
liên thông cục bộ iff những bộ phận cấu thành của không
gian con mở của
X
đều mở trong

X
.
Nếu
X
liên thông cục bộ thì mọi bộ phận cấu thành của
X
đều mở.
Cho 2 không gian topo
,XY
. Ánh xạ
:f X Y
liên tục nếu mọi tập mở trong
Y
thì có tạo
ảnh là mở trong
X
(i.e
:f X Y
iff mọi mở
UY
thì
1
fU
mở trong
X
)
Một số tính chất của ánh xạ liên tục.
Nếu
: , :f X Y g Y Z
liên tục thì

:
o
g f X Z
liên tục.
Nếu
:f X Y
liên tục và
AX
là không gian topo con thì
:f A X
A
liên tục.
Nếu
:f X Y
liên tục và
fX
là không gian topo con trong
Y
thì
:f X f X
liên tục.
Cho
:f X Y
liên tục. Nếu
SX
là không gian con compact thì
fS
compact.
Cho ánh xạ
:f X Y

. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

5

f
liờn tc
To nh ca tp úng trong
Y
l úng trong
X
.
Vi mi
xX
v lõn cn
N f x
trong
Y
thỡ tn ti lõn cn
Vx
trong
X
sao cho
f V x N f x
.
Nu
AX
thỡ
f A f A
.
Nu

BY
thỡ
11
f B f B
.
Mt ỏnh x bin mt tp m thnh mt tp m thỡ gl ỏnh x m.
Mt ỏnh x bin mt tp úng thnh mt tp úng thỡ gl ỏnh x úng.
nh x
:f X Y
gl phộp ng phụi nu
f
n ỏnh, ỏnh x m liờn tc.
nh ca khụng gian liờn thụng cc b nh bi mt ỏnh x liờn tc v m l liờn thụng cc
b.
Cho
X
l khụng gian topo, tp hp
Y
v ỏnh x
:f X Y
ton ỏnh. Khi ú topo thng
trong
Y
vi liờn h
f
l h
1
:, mụỷ trong
j
U U U Y f U X

.
Xột tp hp
,:S
nn
RP x x x
, ỏnh x
:
nn
S RP
cho bi
,x x x
l ton ỏnh.
Tp hp
n
RP
vi topo thng vi liờn h ỏnh x gl khụng gian x nh thc n chiu.
Cho
X
,
Y
l 2 khụng gian topo thỡ ỏnh x
:: vaứ
XY
X Y X X Y Y
l ỏnh x x
nh. C hai ỏnh x
X
v
Y
lin tc bi vỡ

11
vaứ
XY
U U Y V X V
.
5. Nhc li mt s khỏi nim v i s i cng.
Phộp toỏn 2 ngụi trờn tp hp
X
l hm
:f X X Y
. Khi ú, ta cú th ký hiu
,f x y

di dng
xy
(ký hiu l phộp nhõn) hoc
xy
(ký hiu l phộp cng).
Mt tp hp
A
gl mt nhúm nu tn ti phộp toỏn 2 ngụi v tha món cỏc iu kin sau:
Tn ti 1 phn t
eA
gi l phn t n v (ng nht) ca
A
sao cho
,ae ea a a A
.

1

,a A a A
gi l phn t nghch o ca
a
sao cho
11
a a a a e
.

1 2 3 1 2 3 1 2 3
, , : . .a a a A a a a a a a
quan h ny gi l tớnh cht kt hp.
Nu nhúm
A
cng tớnh thỡ phn t n v ký hiu l
0
v phn t nghch o ca
a
ký hiu l
a
.
Nhúm ch cú 1 phn t gm phn t n v
e
hoc phn t
0
gl nhúm tm thng (nhúm
c bit).
Cho 2 nhúm
,GH
thỡ tớch trc tip (tớch cỏc) ca
G

v
H
ký hiu
GH
vi phộp toỏn 1
ngụi nh bi
' ' ' '
, , , , ,g h g h gg hh g h G H
. i vi phộp cng thỡ tng trc tip
c ký hiu
GH
.
Cho
,GH
l 2 nhúm, ỏnh x
:f G H
tha
''
,f gg f g f g g G
gl cu x. Nu
f
n ỏnh thỡ gi l n cu, nu
f
ton ỏnh gi l ton cu, nu
f
song ỏnh thỡ gi l ng
cu v
,GH
gi l ng cu nhúm ký hiu
GH

hoc
:f G H
.
Ht nhõn ca
:f G H
l tp hp
ker :f g G f g e


6
Chú ý: Nếu
f
là phép đẵng cấu thì
ker f
chỉ có một phần tử đơn vị
e
.
Nhóm
A
đgl nhóm Abel hoặc nhóm giao hoán nếu
' ' '
. . , ,a a a a a a A
. Một nhóm Abel tự
do có hạng
n
là nhóm đẵng cấu của
n
vành số nguyên
   
.

Cho nhóm
A
và
aA
, ta nói phần tử
a
có bậc n nếu tồn tại một số nguyên dương nhỏ nhất
n
sao cho
n
ae
. Nếu không tồn tại số nguyên dương
n
sao cho
n
ae
thì ta gọi
a
có bậc vô
hạn.
Nhóm
A
đgl nhóm cyclic nếu tồn tại phần tử
aA
sao cho mọi phần tử của
A
là lũy thừa
của
a
và

a
đgl phần tử sinh của
A
. Số các phần tử trong nhóm cylic
A
đgl bậc của nhóm.
Bậc của nhóm cyclic bằng bậc của phần tử sinh.
Cho nhóm
A
và
HA
. Khi đó
H
đgl nhóm con của nhóm
A
nếu
H
là nhóm với phép toán
2 ngôi của
A
. Nếu
H
là nhóm con của
A
và
aA
thì lớp ghép trái của
H
bởi phần tử
a

được xác định bởi tập con
:aH ah h H
. Lớp ghép phải được định nghĩa tương tự.
Nhóm con
H
của nhóm
A
đgl nhóm con chuẩn tắc của
A
nếu
,aH Ha a A
.
Cho nhóm
A
và
H
là nhóm con chuẩn tắc của
A
thì lớp ghép trái bằng lớp ghép phải. Tập
hợp
A
H
của tất cả các lớp ghép của
H
trong
A
với phép toán 2 ngôi được định nghĩa bởi
,,Ha Hb Hab Hb Ha A
là nhóm và nhóm này đgl nhóm thương hay nhóm nhân tử
của

A
sinh bởi
H
.

PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ

1. Phạm trù.
Một cách trực giác chúng ta có thể xem phạm trù bao gồm các lớp của tập hợp và có thể là
hàm với cấu trúc phép cộng trên 1 hoặc 2 lớp.
1.1. Định nghĩa.
Một phạm trù bao gồm:
a) Lớp các đối tượng.
b) Mỗi cặp đối tượng có thứ tự
X
và
Y
trên cùng một lớp ta ký hiệu
hom ,XY
là tập tất
cả cấu xạ từ miền xác định
X
vào miền giá trị
Y
. Nếu
hom ,f X Y
thì
:f X Y

hoặc

f
XY
.
c) Với mỗi bộ ba các đối tượng có thứ tự
,XY
và
Z
. Một cặp hàm cấu xạ liên kết
:f X Y
và
:g Y Z
thì tích hợp thành của
,fg
là
:
o
g f X Z
.
11
hom , hom ,
/
X Y X Y o
nếu
1
XX
và
1
YY
thì cấu xạ và ánh xạ xem như là
một.

Tất cả những điều kiện trên cần thỏa mãn 2 tiên đề sau:
a) Tính kết hợp.
Nếu
:f X Y
,
:g Y Z
và
:h Z V
thì
:
oo
h g f h g f X V
.
b) Tính đồng nhất.
Bài 2


7
Tương ứng mỗi đối tượng
Y
có một cấu xạ
:
Y
I Y Y
sao cho nếu
:f X Y
thì
.
Y
I f f

và nếu
:h Y Z
thì
.
Y
h I h
. Khi đó
Y
I
là cấu xạ đồng nhất và duy nhất.
1.2. Ví dụ.
a) Phạm trù gồm các đối tượng là lớp của tất cả tập hợp. Nếu
,XY
là tập hợp thì
hom ,XY
là tập tất cả hàm
:f X Y
.
b) Phạm trù gồm các không gian Topo và
hom ,XY
là tập hợp của các hàm
:f X Y

liên tục với tích hợp thành là tích hợp thành của các hàm thuộc
hom ,XY
.
c) Phạm trù gồm các nhóm và
hom ,XY
là tập hợp các đẵng cấu từ nhóm
X

vào nhóm
Y
.
d) Cho
1
X
và
2
X
là 2 đối tượng. Phạm trù của 2 đối tượng
1
X
,
2
X
xác định như sau:
12
1 1 2 2
1 2 2 1
hom , , hom ,
hom , , hom ,
/
/


XX
X X I X X I
X X o X X o

2. Tính khả nghịch.

Cho 2 đối tượng
,XY
. Ánh xạ
:f X Y
và
:g Y X
là cấu xạ sao cho
.g f I
X
thì
g
đgl
khả nghich trái của
f
và
f
đgl khả nghịch phải của
g
. Một khả nghịch của
f
là một cấu
xạ vừa khả nghịch trái vừa khả nghịch phải.
Nếu
:f X Y
là một cấu xạ thì
f
đgl tương đương nếu có một cấu xạ
:g Y X
thỏa khả
nghịch 2 phỉa đối với

f
. Ký hiệu
:f X Y
. Nếu
1
:g Y X
khả nghịch trái của
f
và
2
:g Y X
khả nghịch phải của
f
thì
1 1 1 2 1 2 2 2
. . . . . .
YY
g g I g f g g f g I g g
.
Bổ đề 2.1. Nếu
:f X Y
có khả nghịch trái và khả nghịch phải thì chúng bằng nhau và
f
tương đương.(i.e) Nếu
12
,gg
lần lượt là khả nghịch trái, phải của
f
thì
12

12
:
gg
f g g
.
Nếu
:f X Y
có khả nghịch ký hiệu là
1
:f Y X
thì
1
f
là duy nhất và tương đương. Điều
đó có nghĩa sự tương đương của
f
có tính đối xứng.
Nếu
:f X Y
tồn tại thì
X
và
Y
tương đương với nhau ký hiệu
XY
.
Hợp của 2 phép tương đương là tương đương. Quan hệ
XY
là một quan hệ tương đương
(phản xạ, đối xứng, bắc cầu) trong tập hợp các đối tượng của phạm trù.

3. Hàm tử.
3.1. Định nghĩa.
Định nghĩa 1. Cho
12
,cc
là 2 phạm trù, một hàm hiệp biến
F
đi từ
1
c
vào
2
c
gồm một
hàm đối tượng xác định với mỗi đối tượng
X
thuộc
1
c
thì
2
F X c
và một hàm cấu xạ
sao cho với mỗi cấu xạ
:f X Y
thuộc
1
c
, có một cấu xạ
:F f F X F Y

thuộc
2
c

thõa:
a)
X
FX
F I I

b)
F g f F g F f


8
Định nghĩa 2. Một hàm phản biến từ
1
c
vào
2
c
bao gồm hàm đối tượng và hàm cấu xạ
trong định nghĩa 1 ngoại trừ rằng nếu
:f X Y
thì
:F f F X F Y
và theo điều
kiện b) ta luôn có
F g f F g F f
.

Trong 2 định nghĩa trên ta viết
12
:F c c
có nghĩa
F
là một hàm tử.
3.2. Ví dụ.
a) Cho
F
là một hàm hiếp biến từ phạm trù của không gian Topo và ánh xạ liên tục vào
phạm trù của nhiều tập hợp và hàm, xác định với mỗi không gian Topo thì nó nằm ở
cơ sở tập hợp. Hàm tử
F
gọi là hàm quên vì nó quên một vài cấu trúc của không gian
Topo.
b) Cho
K
u
là phạm trù của không gian vectơ trên trường
K
(thực hoặc phức) và ánh xạ
tuyến tính. Cho
:
Kk
F u u
cho bởi
*
F V V
và
*

F f f
với
*
V
là không gian
đối ngẫu của
V
và
*
f
là liên hợp của
f
. Khi đó
F
là hàm tử phản biến.
c) Cho
c
là phạm trù, hàm tử đồng nhất từ
c
vào
c
là đồng nhất trên các đối tượng và ánh
xạ và là hiệp biến.
3.3. Định lí 2.1.
Nếu
T
là hàm tử từ phạm trù
1
c
vào phạm trù

2
c
thì
T
biến các quan hệ tương đương trong
1
c
thành các quan hệ tương đương trong
2
c
.
Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh định lý trên trong trường hợp
T
là hàm tử hiệp
biến, còn trường hợp
T
là hàm tử phản biến chứng minh tương tự.
Giả sử
T
là hàm tử hiệp biến và
:f X Y
là phép tương đương trong
1
c
thì theo định
nghĩa ta được
1
1
.
.

X
Y
f f I
f f I
.
Ta lại có
1
1
.
.
X
TX
Y
TY
I T I T f T f
I T I T f T f
Suy ra
1
Tf
khả nghịch 2 phía đối với
Tf
.
Theo bổ đề 2.1. trên cho ta
Tf
tương đương trong
2
c
.

ĐỒNG LUÂN

1. Định nghĩa.
Một không gian con của không gian topo
X
là đồng luân với không gian con khác nếu không
gian con này biến đổi thành không gian con khác bởi một phép biến dạng liên tục. (một cách
chính xác đồng luân là quan hệ giữa các ánh xạ liên tục chứ không phải giữa các không gian
con).
Đường cong đơn trong
X
được xác định là ảnh của một ánh xạ liên tục
1
:f C X
với
1
C 
cho bởi
1
:,C a u b a b
.
Bài 3


9
Định nghĩa 1. Hai ánh xạ liên tục
01
,:f f X Y
đgl đồng luân với nhau nếu có một ánh xạ
liên tục

:F X C Y
sao cho
0
1
,0
,1
F x f x
F x f x
,
xX
, trong đó
0,1C
.
Ánh xạ
F
đgl đồng luân giữa
0
f
và
1
f
ký hiệu là
01
ff
hoặc
01
:F f f
.
Với mọi
uC

thì ánh xạ
u
F
được xác định bởi
,,
u
F x F x u x X
. Vì vậy
00
11
Ff
Ff
.
Ví dụ 1.
a) Cho
n
XY
và
01
, 0,
n
f x x f x x 
. Cho
:
nn
FC
xác định bởi
,1F x t t x
thì
F

là đồng luân giữa
0
f
và
1
f
hay
01
:F f f
.
Thật vậy, theo định nghĩa ta có:
0
1
,0 1 0
,
,1 1 1 0
F x x x f x
xX
F x x f x
.
b) Cho
X Y C
và
01
, 0,f x x f x x C
. Cho
:F C C C
xác định bởi
,1F x u u x
thì

F
là đồng luân giữa
0
f
và
1
f
hay
01
:F f f
.
Định nghĩa 2. Một ánh xạ liên tục
:f X Y
đgl đồng luân không nếu
f
đồng luân với ánh
xạ hằng bất kỳ.
Ví dụ 2. Các ánh xạ đồng luân không có thể không đồng luân. Thật vậy, các ánh xạ hằng
không phải là đồng luân.
Cho
X
liên thông,
Y
không liên thông và
0
y
,
1
y
là 2 điểm phân biệt trong một bộ phận của

Y
.
Kết hợp với
00
f x y
và
11
,f x y x X
thì
0
f
và
1
f
không đồng luân. Bởi vì,
XC
liên
thông,
Y
không liên thông và ảnh của không gian liên thông xác định bởi ánh xạ liên tục liên
thông.
2. Tính chất của đồng luân.
Định lí 3.1. Ánh xạ
:
nn
f B S
với
.f i I
tồn tại iff ánh xạ đồng nhất
11

:
nn
I S S
là đồng
luân với ánh xạ hằng, với
1
:
nn
i S B
là ánh xạ bao hàm có nghĩa là tích vô hướng.
Chứng minh. Giả sử
f
tồn tại, ta xác định đồng luân
11
:
nn
F S C S
xác định bởi
1
,,
n
F x t f tx x S
. Thật vậy, với
1n
xS
thì
,0 0. 0
,1 1.
F x f x f
F x f x f x x I x

,
không phụ thuộc vào
x
. Suy ra ánh xạ đồng nhất
I
đồng luân với ánh xạ hằng.
Ngược lại, tồn tại
11
:
nn
F S C S
với
,0
,1
F x c
F x x
, ánh xạ
1
:
nn
f B S
xác định bởi
, , 0
x
f x F x f c
x
. Vì
1n
S
compact và

F
liên tục đều nên
0, 0
độc lập
với
x
sao cho
,F x t c
, bất kỳ
t
. Do đó,
f
liên tục tại
0
. Suy ra tồn tại ánh xạ
f
.
Bổ đề 3.1. Nếu
:f X Y
và
:g Y Z
là 2 ánh xạ liên tục thì
.:h g f X Z
liên tục.
Chứng minh. Lấy
U
mở trong
Z
, ta có
1

1 1 1
.h U f g U f g U

Vì
g
liên tục nên
1
gU
mở trong
Y
. Suy ra
11
f g U
mở trong
X
. (do
f
liên tục )

10
Suy ra
1
hU
mở trong
X
. Suy ra
.h g f
liên tục.
Bổ đề 3.2. Nếu
:p X Y X

và
:q X Y Y
xác định bởi
,, vaø p x y x q x y y
với
,x X y Y
thì
,pq
liên tục.
Chứng minh. Lấy
U
mở trong
X
thì
1
p U U Y
mở trong
XY
. Suy ra
p
liên tục.
Chứng minh tương tự ta cũng được
q
liên tục.
Nhận thấy rằng, trong bổ đề trên ta cũng chứng minh được rằng
,pq
là ánh xạ mở.
Bổ đề 3.3. Nếu
X A B
với

,A B X
,
,AB
đóng trong
X
và
: , :f A Y g B Y
là 2 ánh
xạ liên tục thõa
,f x g x x A B
thì phép biến đổi
:h X Y
xác định bởi công thức
,
,
h x f x x A
h x g x x B
là liên tục.
Chứng minh.
Lấy
FX
và
12
,F F A F F B
thì
12
F F F
và
12
h F h F h F

.
Suy ra
12
F F F
và
12
h F h F h F
.
Nếu
1
x F F A F A x A x A
(vì
A
đóng) thì
1
FA
. Suy ra
11
h F f F

Tương tự, ta cũng có
22
h F g F
.
Vì
,fg
liên tục nên
12
12
vaø f F f F g F g F

.
Theo trên ta lại có
1 2 1 2 1 2 1 2
h F h F h F f F g F f F g F h F h F

Mà
1 2 1 2
h F h F h F h F h F
do đó
h F h F
theo mệnh đề tương đương về
ánh xạ liên tục thì
h
liên tục.
Định lí 3.2. Đồng luân là một quan hệ tương đương.
Chứng minh. Để chứng minh đồng luân là một quan hệ tương đương (theo nghĩa đại số) ta
phải chứng minh đồng luân có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
Tính chất phản xạ là hiển nhiên (chỉ cần chọn đồng luân
,F x t f x f f
)
Tính chất đối xứng. Nếu
:F f g
thì
,0
,1
F x f x
F x g x
. Đặt
'
, ,1F x t F x t

Suy ra hàm
'
F
liên tục. Ta lại có:
'
'
,0 ,1
,1 ,0
F x F x g x
F x F x f x
suy ra
'
:F g f
.
Tính chất bắc cầu. Nếu
:F f g
và
'
:F g h
thì
,0
,1
F x f x
F x g x
và
'
'
,0
,1

F x g x
F x h x

Đặt
''
'
1
,2 0,
2
,
1
,2 1 ,1
2
,
,
F x t t
F x t
F x t t
suy ra hàm
''
F
liên tục.
Khi đó
''
'' '
,0 ,0
,1 ,1
F x F x f x
F x F x h x
theo định nghĩa ta được

''
:F f h
.

11
Định lí 3.3.(ánh xạ hợp thành và hạn chế)
a) Cho
12
,:f f X Y
và
12
,:g g Y Z
. Nếu
1 2 1 2
vaø f f g g
thì
1 1 2 2
g f g f
.
b) Nếu
,:f g X Y
và
fg
thì với mọi
AA
A X f g

Chứng minh.
a) Ta gán
'

1 2 1 2
:: vaø FF f f g g
thì
1
2
,0
,1
F x f x
F x f x
và
'
1
'
2
,0
,1
F x g x
F x g x

Đặt
1
''
'
2
1
. , 0,
2
,
1
,2 1 ,1

2
,
,
g F x t t
F x t
F f x t t
suy ra hàm
''
F
liên tục.
Ta có:
''
1 1 1 1 1
'' '
2 2 2 2 2
,0 . ,0 . .
,1 ,1 .
F x g F x g f x g f x
F x F f x g f x g f x
theo định nghĩa
''
1 1 2 2
: . .F g f g f

b) Chọn
:i A X
là ánh xạ bao hàm, ánh xạ hạn chế
:
A
f A Y

thì
.
A
f f i
theo định lý
3.1. cho ta
A
f
đồng luân với ánh xạ hằng.
Tương tự, ta cũng được
A
g
đồng luân với ánh xạ hằng ánh xạ hằng đồng luân với
A
g

Theo tính chất bắc cầu của quan hệ đồng luân cho ta
AA
fg
.
(ở đây ta có thể hiểu ánh xạ hằng được chọn trùng nhau)
Định lí 3.4. Cho
,:f g X Y
là đồng luân, ánh xạ liên tục
:h Y Z
. Khi đó,
h f h g
.
Chứng minh.
Vì

fg
nên có một ánh xạ liên tục
:F X C Y
thỏa
,0
,
,1
F x f x
xX
F x g x
.
Xét ánh xạ
'
:F X C Z
xác định bởi
'
, . ,F x t h F x t
.
Vì
,Fh
liên tục nên bổ đề 3.1. cho ta
.hF
liên tục. Suy ra hàm
'
F
liên tục.
Ta lại có:
'
'
,0 . ,0 . .

,1 . ,1 . .
F x h F x h f x h f x
F x h F x h g x h f x
theo định nghĩa
'
: . .F h f h g
.
Định lí 3.5. Nếu
:f X Y
liên tục và
,:g h Y Z
là đồng luân thì
g f h f
.
(việc chứng minh định lí 3.5. hoàn tương tự như định lí 3.4.)
3. Quan hệ đồng luân.
3.1. Định nghĩa. Cho
AX
và
01
: , :f X Y f X Y
là các ánh xạ liên tục. Khi
01
vaø ff
đgl
quan hệ đồng luân với
A
nếu có một đồng luân
F
ở giữa

01
vaø ff
sao cho
,F x t
độc
lập với
t
, với mọi
xA
(i.e)
0
, , ,F x t f x x A t T
.
Vì thế, ta được
01
,f x f x x A
. Đồng luân
F
đgl quan hệ đồng luân với
A
, ký
hiệu là
01
f f rel A
hay
01
: F f f rel A
.
Nếu
01

: F f f rel A
thì
0
0 0 0 1 0 0
1
,0
, , ,
,1
vaø
F x f x
x X F x t f x f x x A
F x f x
,
tT


12
Nếu
/
Ao
thì quan hệ đồng luân với
A
trở thành đồng luân. Vì vậy, đồng luân là trường
hợp đặc biệt của quan hệ đồng luân.
3.2. Định lí 3.6. Quan hệ đồng luân với
A
là một quan hệ tương đương.
Chứng minh. Để chứng minh quan hệ đồng luân với
A
là một quan hệ tương đương (theo

nghĩa đại số) ta cần chứng minh tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
Tính phản xạ. Giả sử
:f X Y
liên tục. Đặt
,,F x t f x x X
thì hàm
F
liên tục.
Ta lại có:
0 0 0
,0
, , , ,
,1
vaø
F x f x
x X F x t f x x A t C
F x f x
theo định nghĩa
thì
: F f f rel A
.
Tính đối xứng. Giả sử
: F f g rel A
thì có một ánh xạ liên tục
:F X C Y
sao cho
0 0 0 0
,0
, , , ,
,1

vaø
F x f x
x X F x t f x g x x A t C
F x g x
.
Xét ánh xạ
'
:F X C Y
xác định bởi
'
, ,1F x t F x t
suy hàm
'
F
liên tục.
Ta lại có:
'
'
,0 ,1
,
,1 ,0
F x F x g x
xX
F x F x f x
và
'
0 0 0 0
, , ,F x t g x f x x A t C

Theo định nghĩa cho ta

'
: F g f rel A
.
Tính bắc cầu. Giả sử
: F f g rel A
và
'
: F f h rel A
thì có các ánh xạ liên tục
:F X C Y
và
'
:F X C Y
thỏa mãn:
0 0 0 0
,0
, , , ,
,1
vaø
F x f x
x X F x t f x g x x A t C
F x g x
.
'
'
'
0 0 0 0
,0
, , , ,
,1

vaø
F x g x
x X F x t g x h x x A t C
F x h x
.
Xét ánh xạ
''
:F X C Y
xác định bởi
''
'
1
,2 0,
2
,
1
,2 1 ,1
2
,
,
F x t t
F x t
F x t t

Suy ra hàm
''
F
liên tục.
Ta lại có:
''

''
'' '
0 0 0 0
,0 ,0
, , , ,
,1 ,1
vaø
F x F x f x
x X F x t f x h x x A t C
F x F x h x

Theo định nghĩa cho ta
''
: F f h rel A

Chú ý. Từ định lí 3.6. cho ta thấy rằng, tập hợp của tất cả các ánh xạ liên tục
:f X Y

với ảnh của
xA
là một điểm trong
Y
. Vì thế, có thể chia thành các lớp tương đương.
Hai ánh xạ liên tục
f
và
g
sẽ thuộc cùng một lớp tương đương iff
f g rel A
. Các lớp

của ánh xạ liên tục đgl lớp đồng luân.




13
ĐỒNG LUÂN ĐƢỜNG

Trước khi định nghĩa nhóm cơ bản của không gian topo
X
, chúng ta sẽ xem xét các đường
trong
X
và các quan hệ tương đương đgl đồng luân đường giữa chúng. Chúng ta sẽ định nghĩa
một quan hệ nào đó trên tập hợp của các lớp tương đương, trong đại số nó đgl phỏng nhóm.
Định nghĩa 4.1. Giả sử
'
,:f f X Y
là 2 ánh xạ liên tục, ta gọi
f
đồng luân với
'
f
nếu có
một ánh xạ liên tục
:F X I Y
thỏa
,0
,
,1

F x f x
xX
F x g x
với
0,1I
.
Ánh xạ
F
đgl đồng luân giữa
f
và
'
f
. Nếu
f
đồng luân với
'
f
thì ta ký hiệu
'
ff
.
Nếu
'
ff
và
'
f
là ánh xạ hằng thì
f

là đồng luân không.
Bây giờ ta xét đến trường hợp đặc biệt với
f
là đường trong
X
. Nếu
: 0,1fX
là ánh xạ liên
tục sao cho
0
1
0
1
fx
fx
thì
f
đgl đường trong
X
từ
0
x
đến
1
x
và
0
x
đgl điểm đầu của
f

,
1
x
đgl
điểm cuối của
f
. Để tiện lợi trong việc sử dụng ta sẽ ký hiệu
0,1I
là miền xác định của tất
cả các đường trong
X
.
Định nghĩa 4.2. Cho
'
, : 0,1f f X
là 2 đường trong
X
. Khi đó,
f
và
'
f
đgl đồng luân
đường nếu 2 đường
'
,ff
trùng nhau điểm đầu
0
x
, điểm cuối

1
x
và có một ánh xạ liên tục
:F I I X

thỏa mãn
0
'
1
,0
0,
,.
1,
,1
vaø ,
F s f s
F t x
s I t I
F t x
F s f s
Ta gọi
F
là đồng luân đường giữa
f
và
'
f
. Nếu
f
đồng luân đường với

'
f
thì ta ký hiệu
'
p
ff
.
Định lí 4.1. Quan hệ

và
p

là các quan hệ tương đương.
Nếu
f
là đường, ta sẽ ký hiệu lớp tương đương các đường đồng
luân với
f
là
f
.
Chứng minh. Để chứng minh quan hệ

và
p

là các quan hệ tương đương (theo nghĩa đại số) ta
cần chứng minh nó có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
Tính phản xạ. Cho ánh xạ
:f X Y

dễ thấy rằng
ff
bởi vì ánh xạ liên tục
,F x t f x
là đồng luân cần tìm. Nếu
f
là đường thì
F
là đồng luân đường. Suy ra
p
ff
.
Tính đối xứng. Giả sử
'
ff
thì có một ánh xạ liên tục
F
đồng luân giữa
f
và
'
f
.
Đặt
, ,1G x t F x t
thì hàm
G
liên tục.
Dễ dàng kiểm tra được
G

là đồng luân giữa
'
f
và
f
. Suy ra
'
ff
.
Nếu
F
là đồng luân đường giữa
f
và
'
f
thì
G
là đồng luân đường giữa
'
f
và
f
.
Suy ra
'
p
ff
.
Tính bắc cầu. Giả sử

'
ff
và
' ''
ff
. Khi đó có 2 ánh xạ liên tục
'
,FF
là đồng luân giữa
f
và
Bài 4


14
'
f
,
'
f
và
''
f
. Xét ánh xạ
''
:F X I Y
xác định bởi
''
''
1

,2 0,
2
,
1
,2 1 , ,1
2
,
,
F x t t
F x t
F x t t

Vì
''
F
liên tục trên 2 tập con đóng
1
0,
2
X
,
1
,1
2
X
nên hàm
''
F
liên tục trên
XI

.
Dễ dàng kiểm tra được hàm
''
F
đồng luân giữa
f
và
''
f
theo định nghĩa
''
ff
.
Nếu
'
,FF
đồng luân đường thì
''
F
đồng luân đường. Suy ra
''
p
ff
.
Việc
''
F
đồng luân đường ta có thể minh họa bằng hình bên.
Ví dụ 4.1. Cho
2

,:f g X 
. Dễ thấy
f
và
g
là
đồng luân vì có một ánh xạ liên tục
2
:F X I 

xác định
,1F x t t f x tg x
là đồng luân
giữa
f
và
g
. Đồng luân này đgl đồng luân thẳng bởi vì nó nối một
điểm trên
fx
với một điểm trên
gx
thành một đoạn thẳng giữa chúng.
Nếu
f
và
g
là đường từ
0
x

đến
1
x
thì
F
là đồng luân đường giữa
f
và
g
.
(minh họa hình bên)
Tổng quát lên, cho
A
là không gian con lồi trong
n


thì 2 đường
f
và
g
trong
A
đi từ
0
x
đến
1
x
sẽ đồng luân

đường trong
A
và đường thẳng đồng luân
F
giữa
chúng có ảnh là tập trong
A
.
Ví dụ 4.2.
2
\0X 
. Cho 2 đường trong
X
xác định
bởi công thức
,sin , ,2sinos os osf s c c s s g s c s s
thì chúng đồng luân đường.
Đường thẳng đồng luân giữa chúng cũng là đồng luân đường nhưng đường
f
và đường
, sinosh s c s s
là không đồng luân đường vì ảnh của nó không nằm trong
X
.
Định nghĩa 4.3. Cho
f
là đường trong
X
từ
0

x
đến
1
x
và
g
là đường trong
X
từ
1
x
đến
1
x
.
Khi đó,
*
h f g
(tích của
f
và
g
) là đường trong
X
cho bởi công thức:
1
2 0,
2
1
2 1 ,1

2
, s
, s
fs
hs
gs

Đường
h
được xác định đúng, liên tục và
h
là đường trong
X
từ
0
x
đến
2
x
. Chúng ta cứ nghĩ
rằng
h
là một đường mà nữa thứ 1 của
h
là đường
f
và nữa thứ 2 của
h
là đường
g

.
Các phép toán nhân trên các đường cảm sinh ra một phép toán xác định đúng trên các lớp
đồng luân đường xác định bởi phương trình
**
f g f g
.
Để kiểm tra điều này, ta cho
F
là đồng luân đường giữa
f
và
'
f
;
G
là đồng luân đường giữa
g
và
'
g
.

15
Đặt
1
2 , 0,
2
,
1
2 1, ,1

2
, s
, s
F s t
H s t
G s t
. Vì
1
1, 0, , 0,1F t x G t t
nên
H
hoàn toàn xác
định và liên tục. Dễ thấy
H
là đồng luân đường giữa
*
fg
và
''
*
fg
. (Các bạn có thể kiểm tra
theo đúng định nghĩa 4.2.). Có thể minh họa bằng hình bên.
Phép toán
*
trên các lớp đồng luân đường thỏa mãn các tính
chất mà trông rất giống với các tiên đề của nhóm.
Chúng đgl thuộc tính nhóm của
*
.

Một sự khác biệt từ những thuộc tính của nhóm
là
*
fg
không được xác định với mọi cặp của
lớp tương đương nhưng chỉ xác định cho những cặp
,fg
thỏa
10fg
.
Định lí 4.2. Phép toán
*
có các tính chất sau:
a) (Tính kết hợp). Nếu
*
*
f g h
xác định thì
*
*
f g h
cũng xác định và
*
**
*
f g h f g h
.
b) (Tính đồng nhất trái, phải). Cho
xX
,

:
x
e I X
cho bởi
,
x
e t x t I
là đường hằng.
Nếu
f
là đường trong
X
từ
0
x
đến
1
x
thì
10
*
*
vaø
xx
f e f e f f
.
c) (Tính nghịch đảo). Cho
f
là đường trong
X

từ
0
x
đến
1
x
và
f
là đường xác định bởi
1f s f s
.
Khi đó,
f
đgl nghịch đảo của
f
nếu
01
** vaø
xx
f f e f f e
.
Chứng minh. Để chứng minh định lí 4.2. này ta sẽ dùng 2 mệnh đề sau:
Mệnh đề 1. Nếu
:k X Y
là ánh xạ liên tục và
F
là đồng luân đường trong
X
giữa đường
f

và
'
f
thì
o
kF
là đồng luân đường trong
Y
giữa đường
o
kf
và
'
o
kf
.
Có thể minh họa bằng hình bên.
Mệnh đề 2. Nếu
:k X Y
là ánh xạ
liên tục và
,fg
là 2 đường trong
X

với
10fg
thì
*
*

o
oo
k f g k f k g
.
Bước 1. Chúng ta sẽ kiểm tra tính chất b) và c). Để kiểm tra b), ta xác định
0
e
là đường hằng
trong
I
tại 0 và
:i I I
là ánh xạ đồng nhất và là đường trong
I
từ 0 đến 1. Khi đó,
0
*
ei
cũng là
đường trong
I
từ 0 đến 1. Đồ thị được minh họa ở hình bên.
Vì
I
lồi nên
G
là đồng luân đường trong
I
giữa
i

và
0
*
ei
. Suy ra
o
fG
là đồng luân đường
trong
X
giữa đường
o
f i f
và
0
00
**
*
o
oo
x
f e i f e f i e f
.
Tương tự, nếu
1
e
là đường hằng trong
I
tại 1 thì
1*

ie
đồng luân đường với đường
i
trong
I
tức là
1
*
x
f e f
.

16
Để kiểm tra c) ta để ý rằng nghịch đảo của
i
là
1i s s
thì
*
ii
là đường trong
I
có điểm
đầu và cuối tại 0 và cũng là đường hằng
0
e
. (i.e.
0
*
i i e

). Đồ thị minh họa hình bên.
Vì
I
lồi nên tồn tại
H
là đồng luân đường trong
I

giữa
0
e
và
*
ii
. Suy ra
o
fH
là đồng luân đường giữa
00
o
f e e
và
*
*
oo
f i f i f f
.
Tương tự, ta cũng có
*
ii

đồng luân đường với
0
e

trong
I
tức là
1
*
x
f f e
.
Bước 2. Để chứng minh a) và để thuận lợi cho việc chứng minh ta sẽ mô tả tích
*
fg
bằng cách
khác.
Nếu
, , ,a b c d
là 2 đoạn trong

thì có duy nhất một ánh xạ
: , ,p a b c d
cho bởi công
thức
p x mx k
có giá từ
a
đến
c

và từ
b
đến
d
ta gọi là ánh xạ tuyến tính dường từ
,ab

vào
,cd
bởi vì đồ thị là một đoạn thẳng với độ nghiêng dương. Chú ý rằng, nghịch đảo của một
ánh xạ là một ánh xạ khác và hợp thành của 2 ánh xạ là ánh xạ.
Vì thế, ta có thể mô tả
*
fg
. Trên đoạn
1
0,
2
tích
*
fg
bằng ánh xạ tuyến tính dương đi từ
1
0,
2
đến
1
,1
2
được cho bởi

f
và trên đoạn
1
,1
2
tích
*
fg
bằng ánh xạ tuyến tính dương đi
từ
1
,1
2
đến
0,1
được cho bởi
g
.
Bây giờ ta sẽ kiểm tra a), cho các đường
,fg
và
h
trong
X
, tích
**
f g h
và
*
*

f g h

xác định một cách chính xác khi
10fg
và
10gh
. Kết hợp 2 điều kiện này, ta định
nghĩa tích 3 đường
,fg
và
h
. Chọn
, :0 1a b I a b
. Ta xác định đường
,ab
k
trong
X
, trên
0,a
đường
,ab
k
bằng với ánh xạ tuyến tính dương đi từ
0,a
đến
I
được cho bởi
f
, trên

,ab
đường
,ab
k
bằng với ánh xạ tuyến tính dương đi từ
,ab
đến
I
được cho bởi
g
và trên đoạn
,1b
đường
,ab
k
bằng với áng xạ tuyến tính dương đi từ
,1b
đến
I
được cho bởi
h
. Khi đó,
đường
,ab
k
phụ thuộc vào cách chọn điểm
a
và điểm
b
nhưng lớp đồng luân đường của chúng

không đổi. Dễ thấy nếu chọn 2 điểm
, :0 1c d I c d
thì
,cd
k
đồng luân đường với
,ab
k
.
Cho
:p I I
là ánh xạ mà đồ thị được minh họa bằng hình bên.
Khi thu hẹp
p
lần lượt trên các đoạn
0,a
,
,ab
và
,1b
thì
p
bằng
các ánh xạ tuyến tính dương của các đoạn tương ứng vào các đoạn
0,c
,
,cd
và
,1d
tức là

,,
o
c d a b
k p k
nhưng
p
là đường trong
I
đi
từ 0 đến 1 và ánh xạ đồng nhất
:i I I
. Do đó,
P
là đồng luân đường
trong
I
giữa
p
và
i
. Suy ra
,
o
cd
kp
là đồng luân đường trong
X
giữa
,cd
k

và
,ab
k
. Vì vậy, 2 tích
*
*
f g h
và
*
*
f g h
đồng luân đường tức là a) được chứng minh.

17
Định lí 4.3. Giả sử
f
là đường trong
X
và
01
, , ,
n
a a a K
(thực hoặc phức) sao cho
01
0 1
n
a a a
. Cho
:

i
f I X
là đường bằng với ánh xạ tuyến tính dương
1
:,
ii
f I a a
. Khi đó,
1

*
*
n
f f f
.

NHÓM CƠ BẢN

Định nghĩa 5.1. Cho không gian
X
và
0
xX
. Một đường trong
X
có điểm đầu và điểm
cuối tại
0
x
đgl vòng có cơ sở tại

0
x
. Tập hợp các lớp đồng luân đường của vòng có cơ sở tại
0
x

với phép toán
*
đgl nhóm cơ bản của
X
theo điểm cơ sở
0
x
, ký hiệu
10
,Xx
.
Từ định lí 4.2. phép toán
*
khi hạn chế lên tập hợp này thì thỏa tiên đề của nhóm.
Cho 2 vòng
,fg
có cơ sở tại
0
x
thì tích
*
fg
luôn xác định và là vòng có cơ sở tại
0

x
. Khi đó,
phép toán
*
thỏa mãn các tiên đề nhóm như: tính chất kết hợp, tồn tại phần tử đơn vị
0
x
e
, tồn
tại phần tử khả nghịch
f
của
f
tất cả đều xác định.
Đôi khi nhóm này cũng đgl nhóm đồng luân thứ nhất của
X
, điều này cho thấy rằng sẽ có
một nhóm đồng luân thứ 2. Thực vậy, có nhóm
0
,,
n
X x n 
nhưng chúng ta sẽ không
nghiên cứu trong phần này mà chúng được nghiên cứu trong một môn học chung đgl lý thuyết
nhóm đồng luân.
Ví dụ 4.1. Cho không gian Euclidean
n

thì
10

,
n
x
là nhóm tầm thường (nhóm chỉ gồm
một phần tử đơn vị). Nếu
f
là vòng trong
n

có cơ sở tại
0
x
, đồng luân thẳng là đường đồng
luân giữa
f
và đường hằng tại
0
x
. Tổng quát, nếu
X
là tập lồi bất kỳ trong
n

thì
10
,Xx
là
nhóm tầm thường. Trong trường hợp đặc biệt, quả cầu đơn vị
nn
B 

cho bởi
1
| 1
n
B x x x
có nhóm cơ bản tầm thường.
Một câu hỏi được đặt ra là trong khoảng nào nhóm cơ bản phụ thuộc vào điểm cơ sở?
Định nghĩa 5.2. Cho là đường trong
X
từ
0
x
đến
1
x
. Chúng ta định nghĩa ánh xạ

1 0 2 1
: , ,X x X x
cho bởi phương trình
 
*
*
ff
.
Ánh xạ

hoàn toán xác định vì phép toán
*
hoàn toán xác định. Nếu

f
là vòng có cơ sở tại
0
x
thì
*
*
f
là vòng có cơ sở tại
1
x
. Vì thế, ánh xạ

1 0 2 1
: , ,X x X x
như ta cần.
Chú ý. Ánh xạ

chỉ phụ thuộc vào lớp đồng luân đường của , được minh họa bằng hình bên.
Định lí 5.1. Ánh xạ

là đẵng cấu nhóm.
Chứng minh. Đầu tiên ta sẽ chứng minh

là phép đồng cấu.
Ta có:
 
**
**
*

*
f g f g


10
, , ,
**
**
f g f g f g X x

Suy ra

là phép đồng cấu. (1)
Bài 5


18
Để chứng minh

là song ánh, ta ký hiệu là đường , là nghịch đảo của thì là
nghịch đảo của . Với mọi
11
,h X x
, ta có:

**
**
h h h

Suy ra


 
* * * * *
*
h h h h
.
Tương tự ta cũng có


10
,,f f f X x
. Suy ra

là song ánh. (2)
Từ (1,2) suy ra

là đẵng cấu nhóm.
Hệ quả 5.1. Nếu
X
là đường liên thông và
01
,x x X
thì
10
,Xx
đẵng cấu với
11
,Xx
.
Từ hệ quả ta thấy rằng, sự đẵng cấu

10
,Xx
với
11
,Xx
là sự độc lập của đường iff nhóm
cơ bản là nhóm Abel. Đây là một điều kiện nghiêm ngặt trong không gian
X
.
Định nghĩa 5.3. Không gian
X
đgl liên thông đơn nếu
X
là không gian liên thông đường và
nếu
10
,Xx
là nhóm tầm thường với
0
xX
và với mọi
0
xX
. Ta thường biễu diễn nhóm tầm
thường
10
,Xx
bởi
10
,0Xx

.
Bổ đề 5.1. Trong không gian liên thông đơn
X
, bất kỳ hai đường trong
X
có điểm đầu và
điểm cuối trùng nhau là đồng luân đường.
Chứng minh. Cho
,
là 2 đường đi từ
0
x
đến
1
x
thì
*
được xác định và là vòng trong
X

có cơ sở tại
0
x
. Vì
X
là liên thông đường nên vòng
*
đồng luân đường với vòng hằng có cơ
sở tại
0

x
. Do đó,
0
**
*
x
e
suy ra .
Rõ ràng, nhóm cơ bản là một bất biến topo của không gian X. Một phương pháp thuận lợi để
chứ ệm ấu cảm sinh bởi một ánh xạ liên tục”.
Giả sử
:h X Y
là ánh xạ liên tục biến điểm
0
xX
thành
0
yY
, ta ký hiệu lại cho ánh xạ này
là
00
: , ,h X x Y y
.
Nếu
f
là vòng trong
X
có cơ sở tại
0
x

thì tích hợp thành
:
o
h f I Y
là vòng trong
Y
có cơ
sở tại
0
y
. Sự tương ứng
o
f h f
cho ta một ánh xạ biến
10
,Xx
thành
10
,Yy
.
Định nghĩa 5.4. Cho ánh xạ liên tục
1 0 1 0
: , ,h X x Y y
xác định bởi
*
o
h f h f
.
Khi đó, ánh xạ
*

h
đgl đồng cấu cảm sinh từ
h
theo điểm cơ sở
0
x
.
Ánh xạ
*
h
hoàn toàn xác định, nếu
F
là đồng luân đường giữa đường
f
và đường
'
f
thì
o
hF
là đồng luân đường giữa
o
hf
và
'
o
hf
. Vì thế,
*
h

là đồng cấu xác định bởi
**
o o o
h f h g h f g
.
Đồng cấu
*
h
không chỉ phụ thuộc vào
:h X Y
mà còn thuộc vào cách chọn điểm
0
x
(mỗi
0
x
được chọn thì
0
y
xác định bởi
h
). Vì thế đôi lúc ta gặp khó khăn về ký hiệu khi ta muốn xét
nhiều điểm của
X
. Nếu
01
x x X
ta không thể dùng ký hiệu
*
h

cho 2 đồng cấu khác nhau với
miền xác định tương ứng là
1 0 1 1
, , ,X x X x
. Thậm chí, nếu
X
liên thông đường thì nhóm
này là đẵng cấu nhưng chúng không cùng thuộc vào một nhóm. Do đó, chúng ta sẽ dùng ký hiệu

19
0
1 0 1 0
*
: , ,
x
h X x Y y
là đồng cấu thứ nhất còn
1
1 1 1 1
*
: , ,
x
h X x Y y
là đồng cấu
thứ 2. Nếu chỉ xét một điểm cơ sở ta sẽ bỏ qua việc đề cập đến điểm cơ sở và ký hiệu là
*
h
.
Đồng cấu cảm sinh có 2 tính chất quang trọng trong ứng dụng, 2 tính chất này đgl “Những tính
chất có tính hàm tử”.

Định lí 5.2. Nếu
00
: , ,h X x Y y
và
00
: , ,k X y Y z
là ánh xạ liên tục thì
**
*
o
o
k h k h
. Nếu
00
: , ,i X x X x
là ánh xạ đồng nhất thì
*
i
là đồng cấu đồng nhất.
Chứng minh. Theo định nghĩa, với
10
,f X x
ta có:
*
oo
o
k h f k h f

và
* * * * *

o
oo
o
k h f k h f k h f k h f
.
Suy ra
* * 1 0
*
,,
o
o
k h f k h f f X x
hay
**
*
o
o
k h k h
.
Mặt khác: với mọi
10
,f X x
ta có:
*
o
i f i f f
. Suy ra
*
i
là đồng cấu đồng nhất.

Hệ quả 5.2. Nếu
00
: , ,h X x Y y
là phép đồng phôi của
X
với
Y
thì
*
h
là đẵng cấu của
10
,Xx
với
10
,Yy
.
Chứng minh. Do
h
là đồng phôi nên có ánh xạ
00
: , ,k Y y X x
là khả nghịch của
h
. Theo
định lí 5.2. cho ta
* * *
*
o
o

k h k h i
với
00
: , ,i X x X x
và
* * *
*
o
o
h k h k j
với
00
: , ,j Y y Y y
. Do đó,
**
,ij
là đồng cấu đồng nhất của nhóm
10
,Xx
và
10
,Yy
.
Suy ra
*
k
là khả nghịch của
*
h
tức là

*
h
song ánh.
Do vậy
*
h
là đẵng cấu của
10
,Xx
với
10
,Yy
.

KHÔNG GIAN PHỦ

Ta biết rằng, bất kỳ không gian con lồi của
n

đều là nhóm tầm thường. Vì thế, ta phải tính
toán một vài nhóm không tầm thường. Một công cụ hữu hiệu là khái niệm “Không gian phủ”, nó
có ứng dụng quang trọng trong việc nghiên cứu tích phân mặt Rieamann và đa tạp phức.
Định nghĩa 6.1. Cho ánh xạ
:p E B
liên tục, toàn ánh. Tập mở
UB
đgl phủ đều bởi
p

nếu ảnh ngược

1
I
p U V

với
I
VE
là họ các tập mở rời nhau. Ánh xạ hạn chế
:
V
p V U
là đồng phôi. Tập
V
đgl phân hoạch của
1
pU
tạo thành các lát cắt.
Nếu
U
là tập mở phủ đều bởi
p
thì ta hãy tưởng tượng tập hợp
1
pU
như là một “Ngăn
xếp bánh” mà mỗi lát có kích thước, hình dạng giống như tập mở
U
,
thay đổi trong phần không gian cao hơn
U

. Ánh xạ
p
ép dẹp các lát
cắt vào
U
. Hình ảnh được minh họa bằng hình bên.
Chú ý. Nếu
U
được phủ đều bởi
p
và
W
là tập mở chứa
U
thì
W

cũng được phủ bởi
p
.
Định nghĩa 6.2. Cho ánh xạ
:p E B
liên tục, toàn ánh. Nếu với mỗi
điểm
bB
có một lân cận
U
được phủ đều bởi
p
thì

p
đgl ánh xạ phủ
Bài 6


20
và
E
đgl không gian phủ của
B
.
Nếu
:p E B
là ánh xạ phủ thì với mọi
bB
thì không gian
1
pb
của
E
có không gian
topo rời rạc. Với mỗi lát cắt
V
mở trong
E
và cắt tập
1
pb
tại một điểm đơn, điểm này đgl
mở trong

1
pb
. Nếu
:p E B
là ánh xạ phủ thì
p
là ánh xạ mở.
Thật vậy, lấy
A
là tập mở trong
E
. Với mỗi
x p A
, chọn một lân cận
U
chứa
x
được phủ
bởi
p
và tập
V
là phân hoạch của
p
tạo thành các lớp cắt. Khi đó, có một điểm
yA
sao cho
p y x
.
Giả sử

V
là lát cắt chứa
y
thì
VA
mở trong
E
và mở trong
V
. Vì
:p V U
đồng
phôi nên
p V A
mở trong
U
và mở trong
B
. Suy ra
p V A
là mở chứa
x
nằm trong
pA
.
Do vậy
pA
là mở trong
B
tức là

p
là ánh xạ mở.
Ví dụ 6.1. Cho
X
là không gian bất kỳ, ánh xạ đồng nhất
:i X X
thì
i
là ánh xạ phủ. Một
cách tổng quát, ta đặt
1,2, ,E X n
chứa
n
điểm rời nhau của
X
. Ánh xạ
:p E X
cho bởi
,,p x i x i
là ánh xạ phủ. Trong trường hợp này, ta có thể xem toàn bộ không gian
E
như là
các ngăn xếp trên
X
.
Đính lí 6.1. Ánh xạ
1
:p B S
cho bởi công thức
2 ,sin2osp x c x x

là ánh xạ phủ.
Có thể xem
p
là hàm quấn quanh đường thẳng thực

và quanh đường tròn
1
S
và kết thúc tương
ứng các ánh xạ từ
,1nn
vào
1
S
.
Chứng minh. Thật vậy,
p
là ánh xạ phủ do tính chất cơ bản của hàm
sin
và
osc
. Để thấy rõ điều
này, ta có thể xét ví dụ, giả sử
1
US
chứa tất cả những điểm có hoành độ dương và tập
1
| 2 0osp U x c x
, nó là hợp của các khoản
11

,,
44
n
V n n n 
. Minh họa hình
bên. Bây giờ, ta giới hạn tập đóng
n
V
bất kỳ thì ánh xạ
p

Là nội xạ bởi vì
sin2 x
là hàm đơn điệu nghiêm ngặt
trên khoản
n
V
. Hơn nữa, theo định lí giá trị trung gian thì
n
p V U

và
n
p V U
. Do đó,
n
V
compact và
n
V

p
là phép đồng phôi của
n
V

với
U
. Trong trường hợp đặc biệt,
n
V
p
là phép đồng phôi của
n
V
với
U
.
Tương tự, phần đối của miền
U
là giao của
1
S
với phần trên, dưới mặt phẳng mở và với mặt
phẳng mở bên trái, những tập mở này phủ
1
S
và mỗi tập mở đó được phủ đều bởi
p
. Do vậy,
1

:pS
là ánh xạ phủ.
Nếu
:p E B
là ánh xạ phủ thì
p
là đồng phôi địa phương của
E
với
B
. Thật vậy, với
mỗi điểm
eE
có một lân cận sao cho
p
là ánh xạ đồng phôi từ lân cận chứa điểm
e
vào một
tập mở trong
B
. Từ điều kiện đó, để
p
là đồng phôi địa phương là không đủ. Do vậy, ta cũng
không chắc chắn
p
là ánh xạ phủ.

21
Ví dụ 6.2. Cho ánh xạ
1

:pS
xác định bởi
2 ,sin2osp x c x x
là toán ánh, đồng
phôi địa phương (minh họa bằng hình bên) nhưng
p
không là ánh xạ phủ vì với
điểm
0
1,0b
không có lân cận
U
được phủ bởi
p
. Điển hình lân cận
U
của
0
b
có ảnh ngược gồm các lân cận nhỏ
n
V
của các số nguyên
n
với
0n
,
cùng với một khoản nhỏ
0
0,V

. Với mỗi khoản
n
V
với
0n
thì
:
n
p V U
là ánh xạ đồng phôi và chỉ khoản
0
V
nhúng được trong
U

bởi
p
.
Ví dụ 6.3. Ở ví dụ 6.2. làm bạn nghĩ rằng đường thẳng thực

chỉ là không gian phủ liên
thông của đường tròn
1
S
. Không hẳn như vậy đâu, ta xét ánh xạ
11
:p S S
cho bởi
2
p z z

với
1
|1S z z
. Dễ dàng kiểm tra
p
là ánh xạ phủ.
Định lí 6.2. Cho
:p E B
là ánh xạ phủ. Nếu
0
B
là không gian con của
B
và nếu
1
00
E p B
thì ánh xạ
0 0 0
:p E B
có được bởi ánh xạ hạn chế
p
và là ánh xạ phủ.
Chứng minh. Lấy
00
bB
,
U
là mở trong

B
chứa
0
b
được phủ đều bởi
p
và
V
là phân hoạch
của
1
pU
bởi các lát cắt. Khi đó,
0
UB
là lân cận của
0
b
trong
B
và
0
VE
là các tập mở rời
nhau trong
0
E
có hợp là
1
0

p U B
.
Suy ra
0
p
là ánh xạ phủ và ánh xạ
00
:p V E U B
là phép đồng phôi.
Định lí 6.3. Nếu
' ' '
: , :p E B p E B
là 2 ánh xạ phủ thì
' ' '
:p p E E B B
là ánh xạ
phủ.
Chứng minh. Lấy
''
,b B b B
và
'
,UU
là 2 lân cận tương ứng chứa
'
,bb
được phủ đều bởi
'
,pp
. Cho

'
,VV
là phân hoạch của
1
1 ' '
,p U p U
bởi các lát cắt.
Khi đó,
1
''
p p U U V V

với
VV
là các tập mở rời nhau trong
'
EE
.
Suy ra
'
pp
là ánh xạ phủ và ánh xạ
''
:p p V V U U
là phép đồng phôi.
Ví dụ 6.4. Xét không gian
11
T S S
thì không gian
T

đgl hình xuyến. Khi đó, ánh xạ
11
:p p S S
là phủ của hình xuyến bởi mặt phẳng
2

và là ánh xạ phủ. Ứng với mỗi
hình vuông đơn vị
, 1 , 1n n m m
được bao quanh hoàn toàn bởi hình xuyến
pp
(minh
họa bằng hình bên). Trong hình bên, ảnh của hình xuyến không
là tích
11
SS
, nó là không gian con của
4

khiến ta khó
hình dung nhưng nó như là mặt phẳng
D
có hình bánh
rán trong
3

có được bằng cách quấn quanh đường tròn
1
1
:,

3
CI
với tâm
1,0,0I Oz
trong mặt phẳng
Oxz
và không rắn để nhìn
11
SS
đồng phôi
với mặt phẳng
D
. Cho đường tròn
2
: ,1CO
với tâm là gốc tọa độ trong mặt phẳng
Oxy
thì
ánh xạ
12
:f C C D
cho bởi
f a b a
khi đường tròn
1
C
quay quanh trục
Oz
cho đến
khi tâm trùng với điểm

b
(minh họa hình bên).

22
Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ
f
sẽ là phép đồng phôi của
12
CC
với
D
.
Ví dụ 6.5. Xét ánh xạ phủ
pp
của ví dụ 6.4. Xác định
điểm
0
0bp
của
1
S
và không gian
11
0 0 0
B S b b S

của
11
SS
thì

0
B
là hợp của 2 đường tròn có một điểm chung.
Đôi khi ta còn gọi
0
B
là không gian hình số 8. Không gian
1
00
E p B
là lưới vô hạn được
mô tả
0
E    
, (minh họa hình bên).
Ánh xạ
0 0 0
:p E B
có được bởi sự hạn chế của ánh
xạ
pp
và lá ánh xạ phủ. Lưới vô hạn không chỉ mới
là không gian phủ của hình số 8.
Ví dụ 6.6. Xét ánh xạ phủ
1
:p i S  
với
:i 
là ánh
xạ đồng nhất và

1
:pS
là ánh xạ phủ. Nếu ta dựa vào tiêu chuẩn đồng
cấu
1
S 
với
2
\0
biến
x i tx
thì phần hợp cho ta cái phủ
2
\0  
của mặt
phẳng thủng bởi nữa mặt phẳng mở phía trên. Ánh xạ phủ này xuất hiện trong nghiên cứu các
biến số phức như mặt phẳng Riemann tương ứng với hàm phức logarit.


NHÓM CƠ BẢN CỦA ĐƢỜNG TRÒN

Việc nghiên cứu các không gian phủ
X
có liên hệ mật thiết với nghiên cứu các nhóm cơ bản
X
. Trong sự thiết lập, ta tìm mối quan hệ giữa hai khái niệm này và ước lượng ra nhóm cơ bản
của đường tròn.
Định nghĩa 7.1. Cho ánh xạ
:p E B
và không gian

X
bất kỳ. Nếu ánh xạ
:f X B
liên
tục thì một phép nâng của
f
là ánh xạ

:f X E
sao cho

o
p f f
. (minh họa hình bên)
Sự tồn tại của phéo nâng
f
khi
p
là ánh xạ phủ. Vì thế, phép nâng
f
là một trong
những công cụ quang trọng để nghiên cứu không gian phủ và nhóm cơ bản. Đầu tiên,
đối với không gian phủ các đường có thể nâng. Do đó, các đường đồng luân cũng nâng tốt.
Ví dụ 7.1. Xét ánh xạ
1
:pS
trong định lí 6.1. đường
1
: 0,1fS
có điểm đầu tại

0
1,0b
cho bởi
,sinosf s c x x
nâng lên đường

2
s
fs
có điểm đầu tại
0
và điểm kết
thúc tại
1
2
. Đường
, sinosg s c x x
nâng lên đường

2
s
gs
có điểm đầu tại
0
và
điểm kết thúc tại
1
2
. Đường
,sin4os4h s c x x

nâng lên đường

2h s s
có điểm đầu
tại
0
và điểm kết thúc tại
2
. Một cách trực quan, ta thấy
h
quấn đoạn
0,1
xung quanh đường
tròn 2 lần do đường được nâng

h
có điểm đầu tại
0
và điểm thúc tại
1
2
. (minh họa hình bên)

Bài 7


23

Bổ để 7.1. Cho
:p E B
là ánh xạ phủ và
00
p e b
. Bất kỳ đường
: 0,1fB
có điểm
bắt đầu tại
0
b
thì có duy nhất một đường được nâng

f
trong
E
có điểm bắt đầu tại
0
e
.
Chứng minh. Phủ tập
B
bởi những tập mở
U
, mỗi tập mở
U
được phủ đều bởi

p
. Ta chia nhỏ
đoạn
0,1
bởi các điểm chia
01
, , ,
n
s s s
sao cho với mỗi
i
thì
1
,
ii
f s s U
(theo bổ đề số
Lebesgue) .
Đặt

0
0fe
, giả sử

fs
được xác định sao cho
0
i
ss
. Ta xác định


f
trên đoạn
1
,
ii
ss
như sau: tập
1
,
ii
f s s U
mở được phủ đều bởi
p
, lấy
V
là phân hoạch của
1
pU
bởi các lát cắt, ứng với mỗi tập
V
thì
:p V U
là phép đồng luân. Do đó,

i
fs
nằm
trong những tập này gọi là
0

V
. Định nghĩa

fs
với
1
,
ii
s s s
bởi phương trình

0
1
V
f s p f s
.
Vì ánh xạ
0
0
:
V
p V U
là phép đồng phôi nên

f
liên tục trên đoạn
1
,
ii
ss

.
Tiếp tục quá trình này, ta sẽ định nghĩa được

f
trên đoạn
0,1
thỏa mãn bổ đề và theo định
nghĩa của

f
cho ta

o
p f f
.
Tiếp theo ta chứng minh tính duy nhất của

f
. Giả sử,


f
là phép nâng khác của
f
có điểm
đầu tại
0
e
thì




0
00f e f
. Giả sử,



f s f s
với mọi
s
thỏa
0
i
ss
. Lấy
0
V
giống
như trên thì với
1
,
ii
s s s
hàm

0
1
V
f s p f s

. Vì


f
là phép nâng của
f
nên


f
biến
đoạn
1
,
ii
ss
thành tập
1
p U V
với các lát cắt
V
mở, rời nhau. Hơn nữa,


1
,
ii
f s s
là
liên thông nên



1
,
ii
f s s
phải nằm trong một trong các tập mở
V
. Vì



ii
f s f s
nằm trong
0
V
nên


10
,
ii
f s s V
. Vì vậy, với mỗi
1
,
ii
s s s
,



f s y
với bất kỳ
0
yV
nằm trong
1
p f s
.
Suy ra tồn tại
0
yV
sao cho
0
1
V
y p f s
. Do vậy,



1
,,
ii
f s f s s s s
.
Bổ đề 7.2. Cho ánh xạ phủ
:p E B
,

00
p e b
và ánh xạ liên tục
:F I I B
với
0
0,0Fb
. Khi đó, có duy nhất phép nâng của
F
là ánh xạ liên tục

:F I I E
sao cho

0
0,0Fe
. Nếu
F
đồng luân đường thì

F
cũng đồng luân đường.

24
Chứng minh. Cho trước
F
, ta xác định

0
0,0Fe

. Theo bổ đề 7.1. ta mở rộng

F
theo biên
cạnh trái
0 I
và biên cạnh trên
0I
của
II
. Sau đó, ta mở rộng

F
theo tất cả các biên của
II
.
Chọn cách chia nhỏ
0 1 0 1
,
nn
s s s t t t
của
I
đủ chính xác để mỗi hình chữ nhật
11
,,
i j i i j j
I J s s t t
qua ánh xạ
F

thành một tập mở trong
B
được phủ bởi
p
(do bổ đề số
Lebesgue ). Chúng ta xác định phép nâng

F
theo tứng bước, đầu tiên với hình chữ nhật
11
IJ
,
tiếp tục với hình chữ nhật
ij
IJ
khác cho đến dong cuối cùng thì với hình chữ nhật
2i
IJ
trong
dòng kế tiếp và cứ tiếp tục như thế.
Tổng quát, cho trước
0
i
và
0
j
. Giả sử

F
xác định trên tập hợp

00
ij
A I I I J
với
0
0
jj
ii
. Giả sử

F
phép nâng, liên tục của
A
F
khi đó

F
xác định trên
00
ij
IJ
. Chọn tập mở
U

của
B
được phủ đều bởi
p
và chứa tập
00

ij
F I J
. Cho
V
là phân hoạch của
1
pU
bởi các
lát cắt. Với mỗi
V
thì
:p V U
là phép đồng phôi. Vì thế,

F
xác định trên
00
ij
C A I J

và
C
là hợp của cạnh trái, cạnh trên của hình chữ nhật
00
ij
IJ
nên
C
liên thông. Do đó,


FC

liên thông và nằm hoàn toàn một trong các tập
V
. Giả sử,

FC
nằm trong
0
V
(min họa hình
bên).
Cho
0
00
:
V
p p V U
từ đó

F
là phép nâng của
A
F
,
với
xC
ta được
 
0

p F x p F x F x
thì

1
0
F x p F x
. Do đó, ta mở rộng

F
bằng định
nghĩa

00
1
0
,
ij
F x p F x x I J
, ánh xạ này mở rộng liên tục .
Tiếp tục quá trình, ta xác định

F
trên
2
I
.
Để kiểm tra tính duy nhất của

F
, chú ý rằng ở mỗi bước xây dựng


F
, ta mở rộng

F
đến
cạnh đáy, bên phải của
2
I
và đến hình chữ nhật
ij
IJ
tương ứng một một. Chỉ một cách mở rộng

F
liên tục. Do vậy, giá trị của

F
tại
0,0
là đặc biệt và

F
hoàn toàn xác định.
Giả sử,
F
đồng luân đường, ta sẽ chứng

F
đồng luân đường. Ánh xạ

F
biến hoàn toàn cạnh
bên trái
0 I
của
2
I
thành điểm đơn
0
bB
. Vì

F
là phép nâng của
F
và

F
biến cạnh này
thành tập
1
pU
, nhưng tập này có topo rời rạc là một không gian con của
E
. Do vậy,
0 I
liên
thông và

F

liên tục,

0FI
liên thông vì thế nó phải là tập hợp một điểm. Tương tự,

F I I

cũng là tập một điểm. Do đó,

F
là đồng luân đường.
Định lí 7.1. Giả sử
:p E B
là ánh xạ phủ,
00
p e b
. Cho
,fg
là 2 đường trong
B
đi từ
0
b
đến
1
b
và


,fg

là 2 phép nâng tương ứng của đường
,fg
trong
E
có điểm bắt đầu tại
0
e
.
Nếu
f
và
g
là đồng luân đường thì


,fg
có cùng điểm đầu, điểm cuối và


,fg
là đồng luân
đường.

25
Chứng minh. Giả sử
:F I I B
là đồng luân đường giữa
,fg
thì
0

0,0Fe
và

F
là phép
nâng tương ứng của
F
sao cho

0
0,0Fe
. Theo bổ đề 7.2.

F
là đồng luân đường. Do vậy,

0
0F I e
và

1FI
là tập một điểm
1
e
.
Sự hạn chế của

0I
F
của


F
tới cạnh đáy của
II
là đường trong
E
bắt đầu tại
0
e
và là phép
nâng của
0I
F
. Vì tính duy nhất của phép nâng đường, ta có


,0F s f s
. Tương tự,

II
F
là
đường trong
E
và cũng là phép nâng của
1I
F
có điểm đầu tại
0
e

vì

0
0F I e
. Vì tính duy
nhất của phép nâng đường, ta được


,1F s g s
. Do vậy, 2 đường


,fg
đều có điểm cuối tại
1
e
và

F
là đồng luân đường giữa

f
và

g
.
Định nghĩa 7.2. Giả sử
:p E B
là ánh xạ phủ,
0

bB
. Chọn
0
e
sao cho
00
p e b
. Lấy
10
,f B b
;

f
là phép nâng của
f
có điểm bắt đầu tại
0
e
và là đường trong
E
. Giả sử
f
là ký hiệu điểm cuối

1f
của

f
. Khi đó, ánh xạ
1

1 0 0
:,B b p b
hoàn toàn xác
định và ánh xạ đgl phép nâng tương ứng xuất phát từ ánh xạ phủ
p
.
Ánh xạ phụ thuộc vào cách chọn điểm
0
e
.
Định lí 7.2. Giả sử
:p E B
là ánh xạ phủ,
00
p e b
. Nếu
E
là đường liên thông thì phép
nâng tương ứng
1
1 0 0
:,B b p b
là toàn ánh. Nếu
E
đơn liên thì song ánh.
Chứng minh. Nếu
E
là đường liên thông, cho
1
00

e p b
thì có một đường

f
trong
E
đi từ
0
e
đến
1
e
. Khi đó

o
f p f
là vòng trong
B
có cơ sở tại
0
b
và
1
fe
. Suy ra là toàn ánh.
Giả sử
E
đơn liên;
10
,,f g B b

sao cho
fg
và


,fg
là 2 phép nâng
tương ứng của
,fg
; cũng là đường trong
E
có điểm đầu tại
0
e
thì


11fg
. Do
E
đơn liên
nên có đồng luân đường

F
trong
E
giữa


,fg

. Khi đó,

o
pF
là đồng luân đường trong
B
giữa
,fg
. Do vậy
fg
chứng tỏ đơn ánh. Vậy là song ánh.
Định lí 7.3. Nhóm cơ bản của
1
S
đẵng cấu với nhóm cộng các số nguyên.
Chứng minh. Giả sử
:p E B
là ánh xạ phủ (định lí 6.1.),
0
0e
và
00
b p e
. Khi đó,
1
0
pb
là tập hợp số nguyên

. Vì


là đơn liên nên phép nâng tương ứng
1
10
:,Sb 

là song ánh. Như thế, để kết thúc chứng minh chỉ cần là đồng cấu.
Lấy
10
,,f g B b
, giả sử


,fg
là phép nâng tương ứng có điểm bắt đầu tại 0, là đường
trong

. Đặt


1 , 1n f m g
thì
, f n g m
. Giả sử,


g
là đường trong

xác

định bởi



g s n g s
. Vì
,p n x p x x 
nên đường


g
là phép nâng của
g
có
điểm bắt đầu tại
n
. Khi đó, tích



*
fg
được xác định và là phép nâng của
*
fg
bắt đầu tại
0
,
điểm cuối cùng là



1g n m
.
Khi đó, theo định nghĩa ta được
f g n m f g
tức là đồng cấu.