Tìm hiểu về điện môi, ứng dụng của nó và vận dụng giải quyết các bài toán cơ bản

Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý






-
1
-


Lời cảm ơn.

Trớc hết tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo - Thạc sĩ Nguyễn Tuấn

Thanh, ngời đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong khoa Vật lý Trờng
Đại học S phạm Hà Nội 2, các bạn sinh viên đã giúp đỡ, động viên, tạo mọi
điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này.
Do điều kiện thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế, nên luận
văn của tôi không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong đợc sự đóng góp,
chỉ bảo của các thầy, cô giáo, cùng các bạn để đề tài đợc hoàn chỉnh hơn.




Hà Nội, tháng 05năm 2007.



Sinh viên
Phạm Thị Toản









Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp

uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý






-
2
-




Lời cam đoan.

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu,

căn cứ, kết quả nghiên cứu nêu trong khoá luận là trung thực. Đề tài cha
từng đợc công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào .



Sinh viên
Phạm Thị Toản













Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý






-
3
-

Mục lục.


Trang
- Lời cảm ơn 1

- Lời cam đoan 2

- Mục lục 3

- Mở đầu 4

Chơng 1: Cơ sở lí thuyết 6

1.1. Sự phân cực của điện môi 6
1.1.1. Hiện tợng phân cực của điện môi 6
1.1.2. Phân tử phân cực và phân tử không phân cực 7
1.1.3. Giải thích hiện tợng phân cực điện môi 8
1.2. Véctơ phân cực điện môi 9
1.2.1. Định nghĩa9
1.2.2. Liên hệ giữa véctơ phân cực điện môi và mật độ
điện tích mặt của các điện tích liên kết. .10
1.3. Điện trờng tổng hợp trong điện môi 11
1.4. Đờng sức điện trờng và đờng cảm ứng qua mặt
phân cách giữa hai môi trờng. Định luật khúc xạ . 12
Chơng 2 : ứng dụng của điện môi 15
2.1. Điện môi Séc nhét15
2.2. Hiệu ứng áp điện 17
2.2.1. Hiệu ứng áp điện thuận 17
2.2.2. Hiệu ứng áp điện nghịch 18
Chơng 3 : Phơng pháp giải một số bài toán cơ bản về điện môi .19
3.1. Bài tập về điện môi trong điện trờng 19
3.2. Bài tập về điện môi trong tụ điện 22
- Kết luận . 41
- Tài liệu tham khảo 42


Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý






-
4
-

Mở đầu.


1. Lí do chọn đề tài.
Là một ngời yêu thích Vật lý học, tôi luôn muốn tìm hiểu các hiện tợng
tự nhiên, tìm hiểu nguyên tắc hoạt động của các loại máy móc, thiết bị, đặc
biệt là các thiết bị công nghệ cao.
Từ niềm hứng thú này cùng với sự giảng dạy nhiệt tình của các thầy cô
giáo, và qua quá trình học tập, nghiên cứu của bản thân ở trờng Đại học, tôi

lại càng yêu thích môn Điện đại cơng hơn. Qua môn học này tôi đợc tìm
hiểu sâu hơn các kiến thức về điện, từ và những ứng dụng của nó. Đặc biệt, tôi
vô cùng ngạc nhiên trớc những tính chất và ứng dụng của điện môi nh là:
Khi ta đặt chất điện môi trong điện trờng ngoài thì xảy ra hiện tợng phân
cực của chất điện môi làm cho điện trờng ngoài bị yếu đi lần. Nhờ tính chất
này mà ngời ta đã chế tạo ra các loại tụ điện ( bên trong có chứa chất điện
môi) có kích thớc nhỏ nhng lại có điện dung rất lớn. Các tụ này đợc sử
dụng rất nhiều trong các vi mạch điện tử thuộc ngành công nghệ cao. Hay nh
ở một vài chất điện môi xảy ra hiệu ứng áp điện, nhờ hiệu ứng này mà ngời
ta chế tạo ra rất nhiều các trang thiết bị phục vụ đời sống hàng ngày nh các
máy điện thoại, máy ghi dao động, máy thu siêu âm, các loại máy dao động
siêu âm dùng trong y học, quân sự, trong các cơ sở nghiên cứu vật lý, hóa
học
Chính niềm yêu thích môn Điện học cũng nh các tích chất tuyệt vời
của điện môi, cùng với sự hớng dẫn nhiệt tình của thầy Thạc sĩ - Nguyễn
Tuấn Thanh, nên tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài: Tìm hiểu về điện môi,
ứng dụng của nó và vận dụng giải quyết các bài toán cơ bản .Với việc
nghiên cứu đề tài này, bản thân tôi mong muốn đợc góp phần làm sáng tỏ
thêm các kiến thức về điện môi và ứng dụng của nó trong đời sống, đồng thời
đa ra phơng pháp giải một số các bài toán cơ bản về điện môi thờng gặp
Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý






-
5
-

trong chơng trình vật lý phổ thông và trong môn Điện đại cơng ở trờng Đại
học hiện nay. Điều này sẽ giúp tôi cũng nh các bạn sinh viên đang học môn
Điện đại cơng có thể hiểu rõ hơn bản chất của điện môi, và nhanh chóng giải
quyết tốt các bài toán trong phần này.
2 . Mục đích nghiên cứu.
Nắm vững đựơc các kiến thức cơ bản về điện môi, và ứng dụng của điện
môi trong kĩ thuật.
Phân loại và đa ra phơng pháp giải các bài toán về điện môi.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nghiên cứu cơ sở lí thuyết của điện môi.
Phân loại và giải các bài toán về điện môi.
4 . Đối tợng nghiên cứu.
Các loại điện môi đồng chất, đẳng hớng và một số điện môi đặc biệt.

Các bài toán về điện môi, đặc biệt là bài toán về điện môi trong các tụ
điện.
5 . Phơng pháp nghiên cứu.
Tra cứu tài liệu, từ đó chọn lọc, tổng hợp các kiến thức có liên quan.
Giải bài tập kết hợp với phân tích và phân loại các bài tập.
6 . Nội dung của đề tài .
+ Mở đầu.
+ Chơng 1 : Cơ sở lí thuyết
+ Chơng 2 : ứng dụng của điện môi.
+ Chơng 3 : Phơng pháp giải một số bài toán cơ bản về điện môi.




Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý

Vật lý






-
6
-

Nội dung.

Chơng 1
:
Cơ sở lí thuyết.

Điện môi là những chất không dẫn điện. Điện môi khác với kim loại và
các chất điện phân ở chỗ: Trong điện môi không có các hạt mang điện tự do,
nên không thể có cách nào làm cho các hạt mang điện tự do chuyển dời có
hớng trong điện môi để tạo thành dòng điện. Tuy nhiên, khi đặt điện môi
trong điện trờng ngoài thì cả điện môi và điện trờng ngoài đều có biến đổi.
1.1. Sự phân cực của điện môi.
1.1.1. Hiện tợng phân cực của điện môi .
Khi đa một thanh điện môi đồng chất và đẳng hớng BC vào trong
điện trờng của một vật mang điện A, thì trên mặt giới hạn của thanh
điện môi sẽ xuất hiện những điện tích trái dấu nhau. Mặt
đối điện với A đợc tích điện trái dấu với A,
mặt còn lại
đợc tích điện cùng dấu với A.

Nếu thanh điện môi không đồng chất và đẳng hớng thì ngay trong lòng
thanh điện môi cũng xuất hiện điện tích.
Hiện tợng trên thanh điện môi đặt trong điện trờng có xuất hiện điện
tích gọi là hiện tợng phân cực điện môi.
Phân tích hiện tợng này ta thấy bề ngoài giống hiện tợng nhiễm điện
do hởng ứng trên bề mặt kim loại, song về bản chất hai hiện tợng này khác
hẳn nhau. Trong hiện tợng nhiễm điện do hởng ứng ta có thể lấy đợc các
điện tích hởng ứng ra khỏi bề mặt kim loại bằng cách cho vật dẫn khác tiếp
xúc với nó, các điện tích này đợc gọi là các điện tích tự do. Còn trong hiện
tợng phân cực điện môi ta không thể tách riêng các điện tích để chỉ còn lại
một loại điện tích, trên thanh điện môi điện tích xuất hiện ở đâu sẽ định xứ ở
đó, chúng không dịch chuyển tự do đợc nên đợc gọi là các điện tích liên kết
A

B

C

Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D

K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý






-
7
-

Các điện tích liên kết này sẽ sinh ra một điện trờng phụ
'
E

có chiều ngợc
với chiều điện trờng ban đầu
0
E

. Do đó điện trờng tổng hợp trong điện môi
là :

Ta thấy rằng
0
E E

<

do đó điện trờng tổng hợp
E

bị yếu đi

lần.
Để giải thích hiện tợng phân cực của chất điện môi ta cần nghiên cứu tính
chất điện của các phân tử cấu tạo nên chất điện môi.
1.1.2. Phân tử phân cực và phân tử không phân cực .
Nh chúng ta đã biết, mỗi phân tử (hay nguyên tử ) gồm các hạt nhân
mang điện tích dơng và các electron mang điện tích âm quay xung quanh với
vận tốc rất lớn (vận tốc dài v = 2,2.10
6
m/s, tần số f = 6,5.10
15
Hz ).
Do electron chuyển động rất nhanh làm cho vị trí của chúng so với hạt
nhân thay đổi liên tục. Vì thế, khi xét tơng tác của mỗi electron với các điện
tích bên ngoài thì ta có thể xem nh electron đứng yên tại mỗi điểm nào đó, vị
trí này đợc xem nh vị trí trung bình của electron theo thời gian.
Đối với các khoảng cách lớn so với kích thớc phân tử ta có thể coi tác
dụng của electron trong phân tử tơng đơng với tác dụng của điện tích tổng
cộng q của chúng đặt tại mỗi điểm nào đó trong phân tử, gọi là trọng tâm
của các điện tích âm. Tơng tự ta có thể coi tác dụng của hạt nhân tơng
đơng với tác dụng của điện tích tổng cộng + q của chúng đặt tại trọng tâm
của điện tích dơng.
Tùy theo sự phân bố electron xung quanh hạt nhân, ngời ta phân biệt
hai loại phân tử điện môi: phân tử phân cực và phân tử không phân cực.

. Phân tử không phân cực.
Phân tử không phân cực là loại phân tử có phân bố electron đối xứng
xung quanh hạt nhân. Khi cha đặt chúng trong điện trờng thì trọng tâm của
'
0
E E E
= +


Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý

-
8
-

điện tích dơng và âm trùng nhau, phân tử không phải là một lỡng cực điện,
mômen điện của nó bằng không.
(Vì
.
P q l
=

với
0 0
l p
= =

).
Trờng hợp này ứng với các chất điện môi nh H
2
, N
2
, các hidrocacbon
Khi đặt phân tử không phân cực trong điện trờng ngoài
, các điện
tích dơng và âm của phân tử bị điện trờng ngoài tác dụng và dịch
chuyển ngợc chiều nhau : điện tích dơng dịch chuyển theo chiều điện

trờng, điện tích âm dịch chuyển ngợc chiều điện trờng, phân tử trở thành
một lỡng cực điện có mômen lỡng cực điện
P

khác không.
Khi cha có
E

Khi có
E




P=0
E

P

0

E



P

tỉ lệ thuận với véc tơ cờng độ điện trờng
E

.

0
. .
P E

=


0

: Hằng số điện.


: Hệ số tỉ lệ , gọi là độ phân cực của phân tử.
Từ phân tích trên ta thấy độ dịch chuyển trọng tâm điện tích dơng và âm của
phân tử phụ thuộc vào điện trờng
E

tơng tự nh một biến dạng đàn hồi. Vì
vậy phân tử không phân cực khi đặt trong điiện trờng ngoài cũng giống nh
một lỡng cực đàn hồi.



Phân tử phân cực.
Phân tử phân cực là loại phân tử có phân bố electron không đối xứng
xung quanh hạt nhân. Vì thế khi cha đặt trong điện trờng ngoài các trọng
tâm điện tích dơng và âm của phân tử không trùng nhau, chúng cách nhau
một khoảng l.

Do đó mỗi phân tử là một lỡng cực điện, có mômen
lỡng cực điện
. 0
P ql
=



-
q
+
q

l
l = 0

Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý






-
9
-

Khi đặt trong điện trờng ngoài thì dới tác dụng của điện trờng ngoài các
phân tử của điện môi bị xoay theo hớng của điện trờng ngoài, do đó
P

của
nó hớng theo điện trờng ngoài.
Điện trờng ngoài hầu nh không có ảnh hởng đến độ lớn của mômen
lỡng cực
P

, mà chỉ có tác dụng làm cho các lỡng cực điện bị thay đổi
hớng. Vì vậy trong điện trờng ngoài, phân tử phân cực giống nh một
lỡng cực cứng.
Phần lớn các chất điện môi có phân tử thuộc loại này, ví dụ : H
2
0, NH
3

,
HCl , CH
3
Cl


E

Khi cha có điện
truờng ngoài

Khi đặt trong điện
truờng ngoài


1.1.3 . Giải thích hiện tợng phân cực điện môi.




Trờng hợp điện môi cấu tạo bởi các phân tử phân cực.
Xét một khối điện môi chứa một số rất lớn các phân tử .
Khi cha đặt điện môi trong điện trờng ngoài, do chuyển động nhiệt các
lỡng cực phân tử trong khối điện môi sắp xếp hoàn toàn hỗn loạn theo mọi
phơng, các điện tích trái dấu của các lỡng cực phân tử trung hòa nhau, tổng
mômen của lỡng cực phân tử bằng không, toàn bộ khối điện môi cha tích
điện .
Khi đặt điện môi trong điện trờng ngoài
0
E

, các lỡng cực phân tử trong điện
môi có xu hớng quay sao mômen lỡng cực điện của chúng hớng theo điện
trờng ngoài. Tuy nhiên do chuyển động nhiệt, hớng của các mômen này
không thể song song với
0
E

đợc mà hớng ra hai phía so với phơng của
điện trờng ngoài. Vậy mômen lỡng cực điện
P

của phân tử đợc sắp xếp
theo thứ tự theo hớng của điện trờng ngoài
0
E

.
Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D

K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý






-
10
-

Điện trờng ngoài càng mạnh thì chuyển động nhiệt của các phân tử càng yếu,
sự định hớng của
P

theo điện trờng ngoài càng rõ rệt.
Trong lòng khối chất điện môi, điện tích trái dấu của các lỡng cực
phân tử vẫn trung hòa nhau, trong lòng khối điện môi không xuất hiện các
điện tích. Còn ở trên mặt giới hạn có xuất hiện các điện tích trái dấu( hình vẽ )




( Cha có điện trờng ngoài ) ( Có điện trờng ngoài )
Các điện tích này chính là tâp hợp điện tích của các lỡng cực phân tử trên
các mặt giới hạn, chúng không phải là các điện tích tự do mà là các điện

tích liên kết. Quá trình này là sự phân cực định hớng .



Trờng hợp điện môi cấu tạo bởi các phân tử không phân cực.
Khi cha đặt điện môi trong điện trờng ngoài, mỗi phân tử điện môi
cha là một lỡng cực, điện môi trung hòa điện .
Khi đặt trong điện trờng ngoài, các phân tử điện môi đều trở thành các
lỡng cực điện có mômen lỡng cực điện
P



0. ( Phân tử trong khối điện môi
trở thành lỡng cực điện là do sự biến dạng lớp vỏ electron của phân tử
nghĩa là do sự dịch chuyển trọng tâm của điện tích âm ). Và dới tác dụng của
điện trờng mômen lỡng cực
P

cũng hớng theo điện trờng. Trên mặt giới
hạn của khối điện môi cũng xuất hiện các điện tích liên kết trái dấu nhau. Sự
phân cực này gọi là sự phân cực electron.



Trờng hợp điện môi tinh thể.
Điện môi tinh thể có mạng tinh thể ion lập phơng ( nh NaCl , CsCl )
ta có thể coi toàn bộ tinh thể nh một phân tử khổng lồ, các mạng ion dơng
và ion âm lồng vào nhau.
Khoá l

Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý






-
11
-

Dới tác dụng của điện trờng ngoài, các mạng ion dơngdịch chuyển
theo chiều điện trờng, còn các mạng ion âm dịch chuyển ngợc chiều điện
trờng và gây ra hiện tợng phân cực điện môi. Sự phân cực này gọi là phân
cực ion.

1.2. Véctơ phân cực điện môi .
1.2.1. Định nghĩa.
Để đặc trng cho mức độ phân cực của điện môi, ngời ta sử dụng
véctơ phân cực điện môi, kí hiệu là
P

.
Xét một khối điện môi đồng chất. Trong thể tích

V có n phân tử điện
môi, mỗi phân tử có một mômen lỡng cực điện là
p

.
Véctơ phân cực điện môi là
P

có giá trị bằng tổng mômen lỡng cực điện của
các phân tử có trong một đơn vị thể tích của khối điện môi .

1
n
i
i
p
P
V
=
=

(
:
i
p

Véctơ lỡng cực của phân tử thứ i )
** Đối với chất điện môi mà có phân tử không phân cực khi đặt trong điện
trờng đều thì mọi phân tử đều có mômen lỡng cực điện nh nhau là
p

.

Với

(
0
n
: Số phân tử có trong một đơn vị thể tích của

chất điện môi hay mật phân tử trong chất điện môi).
Mặt khác ta có :
0
. .
p E

=

(
E

: Véctơ cờng độ điện trờng tổng hợp trong điện môi.)
Suy ra
0 0 0
. . . . .
P n E E

= =

(*)

0
.
n

=
là hệ số phân cực của một đơn vị thể tích điện môi
0
n
n
V
=

0
.
.
n p

P n p
V
= =



Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý






-

12
-



là một đại lợng không thứ nguyên và không phụ thuộc vào điện trờng
ngoài.
** Đối với loại điện môi phân cực, trong điện trờng ngoài yếu thì

0
. .
P E

=

với
2
0
0
.
3. . .
n p
k T


=

k : Hằng số Bôn dơ man.
T : Nhiệt độ tuyệt đối.
Trong trờng hợp điện trờng ngoài mạnh và

nhiệt độ khối điện môi thấp thì
P

không tỉ lệ
bậc nhất với
E

nữa. Nếu tăng cờng độ điện
trờng
E

tới một giá trị đủ lớn thì tất cả các
phân tử chất điện môi bị xoay theo hớng
song song và cùng chiều với
E

. Khi đó tiếp tục tăng
E

thì số phân tử điện
môi bị xoay hớng không tăng nữa mà nó đạt đến trạng thái bão hòa.
** Đối với điện môi tinh thể véctơ phân cực điện môi
P

cũng liên hệ với
E


theo công thức ( * ).
1.2.2 . Liên hệ giữa véctơ phân cực điện môi và mật độ điện tích mặt của

các điện tích liên kết.
Ta tởng tợng tách ra trong khối chất điện môi một khối trụ xiên có
đờng sinh song song với véctơ cờng độ điện trờng ngoài. Do tác dụng của
điện trờng ngoài mà khối điện môi bị phân cực làm xuất hiện ở hai mặt giới
hạn của khối điện môi các điện tích liên kết có mật độ điện mặt trên mỗi đáy
là
'


và
'

+
.
Hình trụ có hai đáy song song với nhau, mỗi đáy có điện tích đáy bằng

S,
đờng sinh có chiều dài l.
Gọi
n

là pháp tuyến ngoài của đáy mang điện tích dơng và

là góc hợp bởi
n

và
E

.

0

E

P
Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý






-

13
-

l
E
S
P
n
Ta có thể coi toàn bội khối trụ nh một lỡng cực điện tạo ra bởi các
điện tích liên kết là
'


.

S và
'

+
.

S .

+

Theo định nghĩa của véctơ phân cực điện môi ta có :

1
n
i
i
p
P
V
=
=



Trong đó :
'
1
. .
n
i
i
p S l

=
=

Thể tích của hình lăng trụ :
. .cos
V S l

=

Vậy :


(
n
P
: Hình chiếu của véctơ
P

trên pháp tuyến
n

với mặt
S

).
Vậy mật độ điện tích mặt
'

của các điện tích liên kết xuất hiện trên mặt giới
hạn của khối điện môi có giá trị bằng hình chiếu của véctơ phân cực điện môi

lên phơng của véctơ pháp tuyến
n

với mặt giới hạn của nó .
1.3 . Điện trờng tổng hợp trong điện môi .
Giả sử ta có một điện trờng đều
0
E

giữa hai mặt phẳng song song vô
hạn mang điện tích đều nhau nhng trái dấu. Chất điện môi đợc lấp đầy
khoảng không gian giữa hai mặt phẳng mang điện. Khi đó khối điện môi bị
phân cực.
Trên mặt giới hạn của nó có xuất hiện các điện tích liên kết, mật độ điện mặt
bằng
'


và
'

+
.
' '
'
. .
. .cos cos
.cos
n
S l

P
S l
P P




= =

= =
Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý

-
14
-

Các điện tích phân cực gây ra một điện trờng

+




+



phụ
'
E

cùng phơng, ngợc chiều với điện trờng
ban đầu
0
E

.
Điện trờng tổng hợp là
'

0
E E E
= +



Vì
0
E

và
'
E

cùng phơng nên
E

cũng có phơng
vuông góc với mặt phẳng mang điện.
Vậy:
'
0
E E E
=
.
Với :

( Với
1

= +
gọi là hằng số điện môi của môi trờng chứa chất điện môi ).
Vậy cờng độ điện trờng trong điện môi giảm đi

lần so với cờng độ điện
trờng trong chân không.
Xét mối liên hệ giữa véctơ diện dịch
D

và véctơ phân cực điện môi
P

.
Vì
(
)
0 0 0 0
. . . 1 . . . .
D E E E E

= = + = +



0
.
D E P

= +


1.4 . Đờng sức điện trờng và đờng cảm ứng qua mặt phân cách giữa
hai môi trờng. Định luật khúc xạ.
Giả sử có hai lớp điện môi, mỗi lớp đợc giới hạn bởi hai mặt phẳng
song song đợc đặt tiếp xúc nhau, hằng
số điện môi lần lợt bằng
1

,
2

. Khi
đặt trong điện trờng đều
0
E

thì các
( )
'
'
0
0 0 0
0
0
0 0
. .
.

.
1 .
1
n
P E
E E
E E E
E E
E E
E







= = = =
=
= +
= =
+
E'
Eo
E
E
1
n
Eo
E

1
t
E
2t
E
2
n
E
1
'
E
2
'
E
1
E
2



1

2

1
'
+
1

2

'
+
2
'

1

2
Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý

-
15
-

khối điện môi đều bị phân cực làm xuất hiện ở hai mặt giới hạn của khối điện
môi các điện tích liên kết. Gọi
'
1
E

và
'
2
E

là các véctơ cờng độ điện trờng phụ
do các điện tích liên kết gây ra trong hai lớp điện môi, chúng đều vuông góc
với mặt phân cách của hai lớp điện môi.
Cờng độ điện trờng ở bên trong các khối điện môi là :

Phân tích các véctơ
1
E

;
2
E

thành các vectơ thành phần

là
1
n
E

;
1
t
E

và
2
n
E

;
2
t
E

.
Độ lớn của các véctơ này :

Vì :


Vậy:

Mặt khác ta có :
' '

1 2 1 2 0
0
t t t t t
E E E E E
= = = =

Kết quả này cho thấy đờng sức điện trờng là không liên tục khi đi qua mặt
phân cách: thành phần tiếp tuyến của véctơ cờng độ điện trờng tổng hợp
biến thiên liên tục khi đi qua mặt phân cách của hai lớp điện môi, còn thành
phần pháp tuyến của véctơ cờng độ điện trờng tổng hợp biến thiên không
liên tục khi đi qua mặt phân cách của hai lớp điện môi. Vậy đờng sức điện
trờng là không liên tục khi đi qua mặt phân cách.
Xét vectơ điện dịch
D

, ta có :

Vậy :
'
0 0
1 1 1 1 1 1 0 1
1 1
'
0 0
2 2 2 2 2 2 0 2
2 2
. .
1
. .
1

n n
n n n n n n
n n
n n n n n n
E E
E E E E E E
E E
E E E E E E




= + = = =
+
= + = = =
+
' '
1 0 1 1 0 1
' '
2 0 2 2 0 2
;
;
n n n t t t
n n n t t t
E E E E E E
E E E E E E
= =
= =
1 0 1 1
2 0 2 2

.
.
D E
D E


=
=


1 0 1 1
2 0 2 2
. .
. .
t t
t t
D E
D E


=
=
1
2
2 1
n
n
E
E

=
'
1 0 1
E E E
= +


'
2 0 2
E E E
= +


Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý

Vật lý






-
16
-

( )
.
Ds n
s
N D dS
=


( )
.
E n
s
N E dS
=


1 2
t t
E E

=
Vì :


Mặt khác ta có :



Vậy khi đi qua mặt giới hạn giữa hai lớp điện môi thì thành phần pháp tuyến
của vectơ điện dịch
D

không thay đổi hay nó biến thiên liên tục, còn thành
phần tiếp tuyến của
D

thì biến thiên không liên tục.
Vì
1 2
n n
D D
=
, nên điện dịch thông của mặt S là
khôngthay
đổi khi qua mặt phân cách.
Điện thông qua mặt S là :

Vì nên điện dịch thông qua mặt phân cách bị thay đổi .
* Định luật khúc xạ :

Giả sử


Có
1
1
1
2
1 1
2
2 1 2
2
2
( )
t
n
n
t
n
n
E
tg
E
E
tg
I
E
tg E
tg
E

=


= =


=



Hay ta có
1
1
1
11 1
2
2 2 2
2
2
( )
t
n
t
t
t

n
D
tg
D
Dtg
II
D
tg D
tg
D





=


= =


=



1 0 1 1
1 1 1
1 2
2 0 2 2
2 2 2 2 1

. .
.
. 1
. .
.
n n
n n
n n
n n
D E
D E
D E
D E




=
= = =
=
1 2
n n
D D
=
1
2
1 2 1 2
2 1
1
n

n n
n
E
E E
E



> = < <
1 2
n n
E E

1
1
2 2
t
t
D
D


=
Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản

Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý






-
17
-

Biểu thức (I) và (II) giống biểu thức của định luật khúc xạ trong quang hình
học. Từ biểu thức này ta thấy:

+ Khi thì

+ Khi
1 2

<
thì

Chơng 2
:
ứng dụng của điện môi.
Điện môi đợc ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực của đời sống, nhất là
các chất điện môi tinh thể. Tính chất điện của điện môi tinh thể phụ thuộc vào
nhiều yếu tố nh thành phần cấu tạo nên tinh thể , hình dáng của mạng tinh
1 2

>
2 1
1 2
1 2
n n
t t
E E

D D

>

>

>

2 1
1 2
1 2
n n
t t
E E
D D

<

<

<

Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản

Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý






-
18
-

E
E
0
E
P
P
b
b
0
thể, khoảng cách giữa các nút mạng tinh thể Sau đây ta sẽ nghiên cứu tính
chất của các chất điện môi tinh thể đặc biệt và những ứng dụng của nó.

2.1. Điện môi Séc nhét.
Vào những năm 1930 1934, hai viện sĩ Cuốcsatốp và Côbiêcô lần
đầu tiên đã tìm thấy ở tinh thể muối Séc-nhét có nhiều tính chất đặc biệt so với
các điện môi khác. Muối séc-nhét có công thức NaK(C
2
H
2
O
3
)
2
4H
2
O ( bitáctrát
natri kali ngậm nớc ). Sau đó ngời ta đã tìm thấy một nhóm những điện môi
tinh thể khác cũng có những tính chất tơng tự,
vì thế chúng đợc gọi chung là điện môi
Sécnhét.
Điện môi Sécnhét có những tính chất đặc
biệt sau đây:
1: Trong một khoảng nhiệt độ xác định nào
đó, hằng số điện môi của điện môi Séc- nhét
rất lớn, có thể đặt khoảng

= 10000.
Ví dụ: Chất BaTiO
3
(Titanat bari ), hằng số điện môi của nó phụ thuộc vào
nhiệt độ nh sau: ở nhiệt độ khoảng 120
0

C,

có giá trị gần 2000. Khi giảm
nhiệt độ tới 80
0
C thì

tăng vọt tới gần 6000, nếu tiếp tục giảm nhiệt độ thì


lại giảm xuống. ( Đồ thị nh hình vẽ).
2 : Hằng số điện môi

và hệ số

của điện môi Séc-nhét phụ thuộc vào cờng
độ điện trờng
E

trong điện môi, nhng sự phụ thuộc này không tỉ lệ bậc
nhất đối với
E

, do đó véctơ phân cực điện môi
P

không tỉ lệ bậc nhất với
véctơ cờng độ điện trờng
E

.
(Sự thuộc của

vào E ) (Sự thuộc của P vào E )



40 60 80 100 120 140
t (c)
500
1500
2500
3500
4500
5500
Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý

Vật lý Vật lý
Vật lý






-
19
-





Từ đồ thị ta thấy khi tăng E đến một giá trị E
b
nào đó thì giá trị của P không
tăng nữa . Khi đó hiện tợng phân cực điện môi trong điện môi Séc- nhét đã
đạt tới trạng thái bão hòa.
Mặt khác từ công thức
0
.
D E P

= +

ta thấy khi E không lớn lắm thì D
không phụ thuộc bậc nhất vào E. Chỉ khi E >E

b
, khi đó P = const thì D mới
phụ thuộc bậc nhất vào E.
3. Đối với điện môi Séc-nhét, giá trị của P không những phụ thuộc vào
cờng độ điện trờng E mà còn phụ thuộc vào trạng thái phân cực trớc đó
của điện môi. Khi tăng cờng độ điên trờng E tới giá trị E
b
thì P bão hòa.
Nếu sau đó ta giảm E xuống tới giá trị
bằng không thì P không giảm tới không
mà vẫn còn giá trị P
d
nào đó. Hiện tợng
này là hiện tợng phân cực còn d hay
hiện tợng điện trễ.
Chỉ khi đổi chiều điện trờng và đa nó
tới giá trị - E
k
thì sự phân cực mới hoàn
toàn mất đi. E
k
gọi là điện trờng khử
điện. Nếu tiếp tục cho cờng độ điện
trờng E biến thiên tới - E
b
, rồi từ E
b
về không,
sau đó lại đổi chiều điện trờng và tăng giá trị của cờng độ điện trờng E
từ 0 đến E

b
ta sẽ thu đợc một đờng cong khép kín gọi là chu trình điện trễ.
4. Khi tăng nhiệt độ tới quá một nhiệt độ T
c
nào đó, điện môi Sécnhét sẽ mất
hết các tính chất đặc biệt trên và trở thành một điện môi bình thờng. T
c
gọi là
nhiệt độ Curi. Đối với muối Séc - nhét, T
c
có giá trị vào khoảng 25
0
C.
P
E
E
b
b
-E
-P
d
-E
k
k
E
0
d
P
Khoá l
Khoá lKhoá l

Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý






-
20
-

Để giải thích đợc đặc tính của điện môi Séc-nhét cần dựa vào thuyết miền
phân cực tự nhiên. Khối tinh thể điện môi Séc-nhét gồm nhiều miền phân cực
tự nhiên. Trong phạm vi mỗi miền, sự tơng tác giữa các hạt làm cho mômen
điện của các phân tử song song với nhau. Tuy nhiên, trong các miền khác
nhau, các véctơ mômnen điện

lại sắp xếp hỗn độn sao cho toàn
bộ khối điện môi không phân
cực. Dới tác dụng của điện
trờng ngoài, véctơ mômen điện của các miền đều quay theo phơng chiều
của điện trờng ngoài và gây nên sự phân cực của điện môi.
Điện môi Sécnhét có rất nhiều ứng dụng trong kĩ thuật điện và vô tuyến
điện hiện đại. Do điện môi Sécnhét có hằng số điện môi rất lớn, nên nó đợc
ứng dụng để chế tạo các tụ điện có kích thớc nhỏ nhng điện dung rất lớn để
sử dụng trong các ngành công nghệ cao.
2.2. Hiệu ứng áp điện.
2.2.1. Hiệu ứng áp điện thuận .
Năm 1880, hai nhà vật lý Pie Curi và Giắc Curi đã tìm thấy một hiện
tợng mới: khi nén hoặc kéo dãn mẫu tinh thể điện môi theo những phơng
đặc biệt trong tinh thể thì trên
các mặt giới hạn của điện môi
xuất hiện những điện tích trái
dấu, giống nh các điện tích
xuất hiện trong hiện tợng phân
cực điện môi khi chất điện môi ( Hiệu ứng áp điện )
đặt trong điện trờng ngoài. Hiện tợng này gọi là hiệu ứng áp điện thuận.
Hiệu ứng này xảy ra đối với các tinh thể nh thạch anh (SiO
2
kết tinh ),
E = 0
P 0 0P
E
F F F F
Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp

uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý






-
21
-

tuamalin, muối Sécnhét, đờng, sunfua kẽm Các chất này đều có mạng tinh
thể không có tâm đối xứng.
Ta hãy xét tinh thể thạch anh.
Đó là tinh thể hình lăng trụ
lục giác, hai đầu là hai hình
chóp. Tinh thể có một trục

quang học (trục c ) và hai
trục điện (trục a ). Ta cắt ra
trong tinh thể một hình hộp
chữ nhật có cạnh song song
với trục quang c và một trong
hai trục điện a.
Khi tác dụng lực f lên mặt vuông góc với trục điện a, trên mặt vuông góc
với trục a xuất hiện điện tích - q và + q. Điện tích q tỉ lệ với f và không phụ
thuộc vào kích thớc của miếng tinh thể :
//
.
q k f
=

( k là hệ số tỉ lệ gọi là hằng số áp điện).
Hiệu ứng này gọi là hiệu ứng áp điện dọc.
Khi tác dụng lực lên mặt song song với hai trục a và c sẽ có hiệu ứng áp
điện ngang. Các điện tích sẽ xuất hiện trên mặt vuông góc với a.
Và
. .
n
q k f
m

=
Với: n là chiều dài của bản thạch anh theo phơng f
m là chiều dài của bản theo phơng trục a .
Trong hiệu ứng áp điện ngang xuất hiện điện tích trên các mặt có dấu
ngợc với hiện ứng áp điện dọc.
Khi tác dụng lực theo phơng trục quang c không có sự xuất hiện các

điện tích.
Khi lực tác dụng đổi dấu, điện tích xuất hiện cũng đổi dấu. Tại mặt mà
có lực tác dụng nén xuất hiện điện tích dơng thì khi có lực tác dụng kéo dãn
a
a
c
v
a
n
m
Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý

-
22
-

tinh thể sẽ có điện tích âm. Do có điện tích trái dấu xuất hiện nên giữa hai mặt
giới hạn này có một hiệu điện thế.
Để sử dụng hiệu ứng áp điện ta dán những lá kim loại mỏng trên hai
mặt của bản áp điện. Khi có biến dạng cơ học thì trên các mặt sẽ có các điện
tích và trong mạch điện nối với các lá kim loại sẽ có dòng điện chạy qua. Hiệu
ứng áp điện thuận đợc ứng dụng rộng rãi trong kĩ thuật để biến đổi dao động
cơ (âm) thành những dao động điện, nó đợc sử dụng trong các máy điện
thoại, máy ghi dao động, đầu phát của máy quay đĩa, máy thu siêu âm
2.2.2. Hiệu ứng áp điện nghịch.
Nếu ta đặt lên hai mặt của tinh thể điện môi một hiệu điện thế thì hai
mặt giới hạn này sẽ bị kéo hoặc nén. Nếu ta đặt vào hai mặt giới hạn của nó
một hiệu điện thế xoay chiều có tần số là f thì tấm điện môi sẽ bị dãn hoặc
nén liên tiếp và dao động theo tần số đúng bằng tần số của hiệu điện thế xoay
chiều.
Hiện tợng này đợc ứng dụng để chế tạo các nguồn phát siêu âm dùng
trong công nghiệp, y học, quân sự và nghiên cứu vật lí, hóa học.
Sự dao động áp điện còn đợc dùng để ổn định các dao động điện từ
của các máy thu và máy phát vô tuyến điện.

Chơng 3
Chơng 3Chơng 3
Chơng 3
: phơng pháp giảI một số bài toán cơ bản
về điện môi.
Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý

-
23
-


S2

S1

N

R1
M

0

r

R2


2

1
N

M

r


3.1. Bài tập về điện môi trong điện trờng.
Bài 1.

Điện tích với mật độ khối
6 3
3.10 /
C m


=
phân bố đều bên trong một lớp
cầu giới hạn bởi bán kính
1 2
3 ; 5
R cm R cm
= =
. Hằng số điện môi của lớp cầu
1
5

=
và môi trờng bao quanh

2
2,5

=
. Xác định độ lớn của vectơ cờng độ
điện trờng
E

và vectơ điện dịch
D

tại:
a. Tâm vỏ cầu.
b. Điểm giữa các mặt của lớp cầu cách tâm 4 cm.
c. Điểm cách tâm một đoạn
9
r cm
=
.
d. Hiệu điện thế giữa hai mặt lớp cầu bằng bao nhiêu.
Bài giải.

a. Vì tại tâm quả cầu điện tích có q = 0,
do đó D = E = 0.
b. Tại vị trí M cách tâm một khoảng r
M.

Ta chọn mặt Gauss là mặt cầu S
1
có tâm

trùng với tâm của lớp cầu , và đi qua M có
bán kính là r
M
( Với R
1
< r < R
2
),
véctơ pháp tuyến
n

hớng rừ tâm đi ra.
áp dụng định lý O G ta có :

( )
1
2 3 3
1
.
4
.4 . . .
3
M
S
M M M
D dS Q
D r r R

=
=

(
)
8 2
2,3.10 /
M
D C m

=

(
)
(
)
3 3 6 3 3
1
3 2
. 3.10 . 0, 04 0, 03
3. 3.0, 04
M
M
M
r R

D
r



= =
Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý






-

24
-

Cờng độ điện trờng tại điểm M có độ lớn là :

( )
8
2
12
0 1
2, 3.10
5, 23.10 /
. 8, 85.10 .5
M
M
D
E V m



= = =

c. Tại vị trí N cách tâm một khoảng r
M
=9cm.
Ta chọn mặt Gauss là mặt cầu S
2
có tâm trùng với tâm của lớp cầu, và đi qua
M , có bán kính là r
N

( với r
N
> R
2
), vectơ pháp tuyến
n

hớng từ trong đi ra.
áp dụng định lý O G ta có
:





Vậy độ lớn của véctơ cờng độ điện trờng tại điểm N là:

( )
8
3
12
0 2
1, 2 2.10
5, 5.10 /
. 8, 85.10 .2, 5
N
N
D
E V m

= = =

d. Hiệu điện thế giữa hai mặt lớp cầu là:

( )
2 2 2
1 1 1
2 2
1 1
3 3
1
2
0 1
3
1
2
0 1 0 1
.( )
. ( ).
3. . .
.
.
. .
3. . 3. . .
R R R
R R R
R R
R R

r R
U E r d r E r dr dr
r
R
r
U dr dr
r






= = =
=








( )
( ) ( )
2
2 3 3
2 1
3 3 6 3 3
2 1

2 2
8 2
.
4
.4 . . .
3
. 3 .10 . 0, 05 0, 0 3
3. 3.0, 09
1, 2 2 .10 ( / )
S
N N
N
N
N
D d S Q
D r R R
R R
D
r
D C m




=
=

= =
=

(
)
2 2
3
2 1
1
0 1 0 1 2 1
.
.
1 1
.
6. . 3. .
R R
R
U
R R





= +


Khoá l
Khoá lKhoá l
Khoá luận tốt nghiệp

uận tốt nghiệp uận tốt nghiệp
uận tốt nghiệp

Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản Phạm Thị Toản
Phạm Thị Toản -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Vật lý
Vật lý Vật lý
Vật lý






-
25
-


0

M

S1

S2

N

2


1


'

r

r
R



(
)
6 2 2
6 3
12 12
3.10 . 0,05 0, 03
3.10 .0,03 1 1
.
6.8,85.10 .5 3.8,85.10 .5 0,05 0,03
29, 73( )

U
U V





= +


=

Bài 2
.
Một điện tích q phân bố đều trong thể tích hình cầu bán kính R, hằng số điện
môi
1

. Hãy xác định:
a. Năng lợng điện trờng bên trong, bên ngoài quả cầu và năng lợng toàn
phần?
b. Mật độ điện tích liên kết trên mặt cầu?
Cho môi trờng bao quanh hình cầu là đồng chất, đẳng hớng và có hằng
số điện môi
2

.
Bài giải :

a.

+ Trớc tiên ta đi tính cờng độ điện trờng tại điểm M bên trong quả cầu,
cách tâm O một khoảng r ( 0 < r < R ).
Chọn mặt Gauss S
1
là một mặt cầu đồng tâm với hình cầu trên, và đi qua điểm
M có bán kính r ( 0 < r < R ), véctơ pháp tuyến
n


hớng từ tâm đi ra.
áp dụng định lý O G ta có:

1
0 1
2
0 1
. . .
. . .4
M
S
M
E d S Q
E r q


=

=

Vì điện tích q phân bố trong thể tích
Và điện tích
'
q
phân bố trong thể tích

3
4
.
3
r

3
4
.
3
R