Nguyên lý biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






HÀ THỊ HUYỀN TRANG





NGUN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND
CHO BÀI TỐN CÂN BẰNG






LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THÁI NGUN - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM





HÀ THỊ HUYỀN TRANG




NGUN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND
CHO BÀI TỐN CÂN BẰNG



Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60.46.01.02



LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Lê Dũng Mưu

THÁI NGUN - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và khơng trùng lặp với các đề tài khác. Tơi cũng xin cam đoan
rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các
thơng tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Ngun, tháng 4 năm 2014
Người viết Luận văn
Hà Thị Huyền Trang
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Lời cảm ơn
Để hồn thành được luận văn một cách hồn chỉnh, tơi ln nhận được
sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của GS. Lê Dũng Mưu (Viện Tốn học
Việt Nam). Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tơi xin được bày tỏ lời
cảm ơn chân thành đến thầy, người thầy kính mến đã hết lòng giúp đỡ, dạy
bảo, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt q trình
hồn thành luận văn.
Tơi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Tốn, ban lãnh đạo phòng
sau Đại học của Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Ngun đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học tập của
mình.
Tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ đã tham gia giảng dạy cho lớp
Cao học chun ngành Tốn khóa 20.
Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người
đã ln động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tơi trong suốt q trình

học tập và thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Ngun, tháng 4 năm 2014
Người viết Luận văn
Hà Thị Huyền Trang
ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Mục lục
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mục lục iii
Mở đầu 1
1 Bài tốn cân bằng. 2
1.1 Các kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Bài tốn cân bằng và các trường hợp riêng. . . . . . . . . . 8
2 Ngun lý biến phân Ekeland cho bài tốn cân bằng. 14
2.1 Ngun lý biến phân Ekeland. . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Ngun lý biến phân Ekeland cổ điển. . . . . . . . . 14
2.1.2 Ngun lý biến phân Ekeland trong khơng gian hữu
hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng. . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Một số định lý cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài
tốn cân bằng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Ngun lý Ekeland cho bài tốn cân bằng. . . . . . 31
Kết luận 43
Tài liệu tham khảo 44
iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Mở đầu
Cho H là một khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng ., . và ||.||
tương ứng. Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và f là một song
hàm từ C × C vào R sao cho f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Trong Luận văn

này ta sẽ xét bài tốn cân bằng sau đây, được kí hiệu là (EP)
Tìm x ∈ C sao cho f(x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C.
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng người ta thường
sử dụng các định lý điểm bất động Brouwer, Kakutani, Ky Fan, Một
phương pháp cơ bản để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân
bằng này là dựa trên ngun lý biến phân Ekeland. Từ khi ra đời, ngun
lý biến phân Ekeland đã trở thành cơng cụ mạnh trong giải tích hiên đại.
Những ứng dụng của ngun lý này bao trùm nhiều lĩnh vực như: Lý thuyết
tối ưu, giải tích khơng trơn, lý thuyết điều khiển, lý thuyết điểm bất động,
kinh tế,
Mục đích của Luận văn này là trình bày những kết quả về sự tồn tại
nghiệm của bài tốn cân bằng đặc biệt là ứng dụng của ngun lý biến
phân Ekeland cho bài tốn cân bằng và hệ hữu hạn các bài tốn cân bằng.
Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày
một số khái niệm cơ bản liên quan đến luận văn, giới thiệu về bài tốn cân
bằng và các trường hợp riêng của bài tốn cân bằng. Chương 2 gồm ngun
lý biến phân Ekeland (ngun lý biến phân Ekeland cổ điển và ngun lý
biến phân Ekeland trong khơng gian hữu hạn chiều), một số định lý cơ bản
về sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng và ngun lý biến phân Ekeland
cho bài tốn cân bằng.
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 1
Bài tốn cân bằng.
Chương này trình bày các khái niệm liên quan đến bài tốn cân bằng và
các trường hợp riêng quan trọng của bài tốn cân bằng. Các kiến thức trong
chương được trích từ tài liệu [1], [2], [3], [5], [6], [10].
1.1 Các kiến thức chuẩn bị.
Định nghĩa 1.1. Khơng gian định chuẩn thực là một khơng gian tuyến tính
thực X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số ||x|| gọi là chuẩn
của x, thỏa mãn các điều kiện sau :

1. ||x|| > 0, ∀x = 0; ||x|| = 0 ⇔ x = 0;
2. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||;
3. ||λx|| = |λ|.||x||;
với mọi x, y ∈ X và λ ∈ R.
Định nghĩa 1.2. Cho H là một khơng gian vectơ trên R, tích vơ hướng xác
định trong H là một ánh xạ
., . : H × H −→ R
(x, y) −→ x, y
thỏa mãn các điều kiện sau đây :
1. x, y = y, x, ∀x, y ∈ H;
2. x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ H;
3. λx, y = λx, y, ∀x, y ∈ H, λ ∈ R;
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />4. x, x ≥ 0, ∀x ∈ H và x, x = 0 ⇔ x = 0.
Số x, y được gọi là tích vơ hướng của hai vectơ x, y trong H.
Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa suy ra
1. x, λy = λx, y,
2. x, y + z = x, y + x, z,
3. x, 0 = 0,
với mọi x, y, z ∈ H và λ ∈ R.
Ví dụ 1.1. Với x = (x
1
, x
2
, , x
n
), y = (y
1
, y
2

, , y
n
) ∈ R
n
, biểu thức
x, y =
n

k=1
x
k
y
k
xác định một tích vơ hướng trong R
n
.
Định nghĩa 1.3. Cặp (H, , ) trong đó H là một khơng gian tuyến tính
trên R, , là tích vơ hướng trên H được gọi là khơng gian tiền Hilbert thực.
Định lý 1.1. Mọi khơng gian tiền Hilbert H đều là khơng gian định chuẩn,
với chuẩn được xác định bởi cơng thức
||x|| =

x, x, ∀x ∈ H. (1.1)
Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng.
Định nghĩa 1.4. Nếu H là khơng gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối với
chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định bởi (1.1) thì H được gọi là khơng
gian Hilbert thực.
Ví dụ 1.2. R
n
là khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng

x, y =
n

k=1
x
k
y
k
trong đó
x = (x
1
, x
2
, , x
n
), y = (y
1
, y
2
, , y
n
) ∈ R
n
và chuẩn cảm sinh
||x||
2
= x, x =
n

k=1

x
k
x
k
=
n

k=1
|x
k
|
2
.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Ví dụ 1.3. L
2
[a,b]
là khơng gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b] với
f ∈ L
2
[a,b]
sao cho
b

a
f
2
(x)dx < ∞ là một khơng gian Hilbert với tích vơ
hướng
f, g =

b

a
f(x)g(x)dx, f, g ∈ L
2
[a,b]
và chuẩn cảm sinh
||f||
L
2
[a,b]
=


b

a
f
2
(x)dx


1
2
.
Định nghĩa 1.5. Cho E là một tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ d : E ×E →
R thỏa mãn:
1. d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ E;
2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
3. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ E;

4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ E.
Khi đó d được gọi là khoảng cách hay một mêtric trên E và cặp (E, d) được
gọi là một khơng gian mêtric.
Định nghĩa 1.6. Cho khơng gian mêtric (E, d). Ta nói dãy phần tử {x
n
} ⊂
E hội tụ về phần tử x ∈ E nếu
lim
n→∞
d(x
n
, x) = 0
⇔ ∀ε > 0, ∃n
0
: ∀n ∈ N
∗
, n ≥ n
0
⇒ d(x
n
, x) < ε.
Định nghĩa 1.7. Cho khơng gian mêtric (E, d). Dãy {x
n
} ⊂ E được gọi
là dãy Cauchy nếu
lim
n,m→∞
d(x
n
, x

m
) = 0
⇔ ∀ε > 0, ∃n
0
: ∀n, m ≥ n
0
⇒ d(x
n
, x
m
) < ε.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định nghĩa 1.8. Khơng gian mêtric (E, d) gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy
Cauchy trong nó đều là dãy hội tụ.
Nhận xét 1.1. Như vậy khơng gian Hilbert là một khơng gian mêtric đầy
đủ.
Tiếp theo, ta sẽ nêu một số định nghĩa và kết quả cơ bản của giải tích lồi
được phát biểu trong [2], [10]
Xét C là tập con khác rỗng trong khơng gian Hilbert thực H
Định nghĩa 1.9. Tập C trong khơng gian Hilbert thực H được gọi là một
tập lồi nếu
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 −λ)y ∈ C.
Định nghĩa 1.10. Cho C ⊂ H là tập lồi khác rỗng và ánh xạ f : C →
R ∪ {+∞}.Khi đó:
1. Hàm f được gọi là hàm lồi trên C nếu
f(λx + (1 −λ)y) ≤ λf(x) + (1 −λ)f(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
2. Hàm f được gọi là hàm lồi chặt trên C nếu
f(λx + (1 −λ)y) < λf(x) + (1 −λ)f(y), ∀x = y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
3. Hàm f được gọi là hàm lồi mạnh trên C với hệ số η > 0 nếu
f(λx + (1 −λ)y) ≤ λf(x) + (1 −λ)f(y) − η

λ(1 − λ)
2
||x − y||
2
,
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
Ví dụ 1.4. Hàm affine.f(x) = a
T
x + b, trong đó a ∈ R
n
, b ∈ R là hàm lồi.
Nó thỏa mãn đẳng thức
f(λx + (1 −λ)y) = λf(x) + (1 −λ)f(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
Do đó nó khơng lồi chặt.
Ví dụ 1.5. Hàm chỉ.Cho C = ∅ là một tập lồi. Đặt :
δ
C
:=

0 khi x ∈ C
+∞ khi x ∈ C
Ta nói δ
C
là hàm chỉ của C. Do C lồi nên δ
C
là hàm lồi.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định nghĩa 1.11. Cho C ⊂ H là tập lồi khác rỗng và ánh xạ f : C →
R ∪ {+∞}. Ta nói x
∗

∈ C là dưới đạo hàm của f tại x nếu
x
∗
, z − x+ f(x) ≤ f(z), ∀z
Ký hiệu tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f(x).
Khi ∂f(x) = ∅ thì ta nói hàm f khả dưới vi phân tại điểm x.
f được gọi là khả dưới vi phân trên một tập nếu f khả dưới vi phân tại mọi
điểm trên tập đó.
Định nghĩa 1.12. Hàm f : H → R được gọi là nửa liên tục dưới đối với E
tại một điểm x, nếu như với mọi dãy x
k
⊂ E; x
k
→ x ta có lim inf f(x
k
) ≥
f(x);
Hàm f được gọi là nửa liên tục trên đối với E tại một điểm x, nếu −f nửa
liên tục dưới đối với E tại x. Hay là với mọi dãy x
k
⊂ E; x
k
→ x ta có
lim sup f(x
k
) ≤ f(x);
Hàm f được gọi là liên tục trên đối với E tại một điểm x nếu như nó vừa
nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới đối với E tại x.
Khi E là tồn khơng gian, ta nói đơn giản là nửa liên tục dưới, nửa liên tục
trên hay liên tục.

Định nghĩa 1.13. Một hàm số thực ϕ được gọi là tựa lồi trên tập lồi C,
nếu với mọi số thực γ tập mức dưới
{x ∈ C : ϕ(x) ≤ γ}
lồi. Tương tự, hàm ϕ được gọi là tựa lõm trên C, nếu −ϕ là hàm tựa lồi
trên C.
Nếu ϕ tựa lồi trên C thì ∀x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ max(ϕ(x), ϕ(y));
Tương tự, nếu ϕ tựa lõm trên C thì ∀x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≥ min(ϕ(x), ϕ(y)).
Các định nghĩa về tính đơn điệu của song hàm và ánh xạ được sử dụng
trong việc trình bày tính duy nhất nghiệm của bài tốn cân bằng (xem [6]).
Trong các định nghĩa sau xét C là tập khác rỗng, đóng, lồi trong khơng gian
Hilbert thực H.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định nghĩa 1.14. Giả sử f : C ×C → R. Ta nói
1. f đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0, nếu
f(x, y) + f(y, x) ≤ −β||x −y||
2
, ∀x, y ∈ C;
2. f đơn điệu chặt trên C, nếu
f(x, y) + f(y, x) < 0, ∀x, y ∈ C, x = y;
3. f đơn điệu trên C, nếu
f(x, y) + f(y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
4. f giả đơn điệu trên C, nếu
f(x, y) ≥ 0 ⇒ f(y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
5. f tựa đơn điệu trên C, nếu
f(x, y) > 0 ⇒ f(y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
Các khái niệm về đơn điệu đối với song hàm có liên quan chặt chẽ với các
khái niệm về đơn điệu của ánh xạ (tốn tử), rất quen thuộc trong giải tích
phi tuyến.

Định nghĩa 1.15. Giả sử F : C → H. Ta nói
1. F đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0, nếu
F (x) −F (y), x − y ≥ β||x −y||
2
, ∀x, y ∈ C;
2. F đơn điệu chặt trên C, nếu
F (x) −F (y), x − y > 0, ∀x, y ∈ C;
3. F đơn điệu trên C, nếu
F (x) −F (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C;
4. F giả đơn điệu trên C, nếu
F (y), x − y ≥ 0 ⇒ F (x), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C;
5. F tựa đơn điệu trên C, nếu
F (y), x − y > 0 ⇒ F (x), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C;
Từ định nghĩa ta có 1. ⇒ 2. ⇒ 3. ⇒ 4. ⇒ 5.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />1.2 Bài tốn cân bằng và các trường hợp riêng.
Ta nhắc lại Bài tốn cân bằng (còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan):
Xét H là khơng gian Hilbert thực; C là tập lồi, đóng, khác rỗng của H và
f : C ×C → R ∪ {∞}. Khi đó bài tốn cân bằng là bài tốn
Tìm x ∈ C sao cho f(x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C. (EP)
Tập nghiệm của bài tốn cân bằng được ký hiệu là Sol(C, f).
Dưới đây ta sẽ ln giả thiết f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Một song hàm
thỏa mãn điều kiện này được gọi là song hàm cân bằng. C được gọi là tập
chấp nhận được hay là tập chiến lược và f là hàm cân bằng của bài tốn
(EP).
Về mặt hình thức bài tốn cân bằng khá đơn giản, tuy nhiên nó bao hàm
được nhiều lớp bài tốn quan trọng khác nhau thuộc nhiều lĩnh vực. Dưới
đây là một số trường hợp riêng của bài tốn này:
1. Bài tốn tối ưu. Xét bài tốn
min{ϕ(x)|x ∈ C}

Đặt
f(x, y) := ϕ(y) − ϕ(x).
Khi đó
ϕ(x) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ C ⇔ f(x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Vậy bài tốn tối ưu trên là một trường hợp riêng của bài tốn (EP).
2. Bất đẳng thức biến phân.Xét bài tốn bất đẳng thức biến phân đa
trị sau:
Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và F : C → H là một ánh
xạ đa trị (tức là với mỗi x ∈ C, giá trị F(x) là một tập khác rỗng). Xét bài
tốn :
Tìm x
∗
∈ C, v
∗
∈ F (x
∗
) sao cho v
∗
, y − x
∗
 ≥ 0, ∀y ∈ C. (VI)
Ta có thể minh họa bất đẳng thức biến phân (VI) dưới góc độ mơ hình kinh
tế như sau: Giả sử C là tập hợp các chiến lược (tập ràng buộc) các phương
án sản xuất có thể lựa chọn. Với mỗi phương án sản xuất x ∈ C, tập (ánh
xạ giá) F (x) là tập hợp các giá thành chi phí có thể, ứng với phương án x.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Khi đó bài tốn (VI) chính là bài tốn tìm phương án sản xuất x
∗
trong tập
chiến lược C và giá v

∗
ứng với x
∗
sao cho chi phí là thấp nhất. Trong trường
hợp ánh xạ giá khơng phụ thuộc vào phương án sản xuất, tức là F (x) = c
với mọi x, bất đẳng thức biến phân (VI) trở thành bài tốn quy hoạch quen
thuộc
min{c
T
x : x ∈ C}. (LP)
Trong bài tốn quy hoạch này, vec-tơ giá c khơng phụ thuộc vào phương án
sản xuất.
Về mặt hình học, bất đẳng thức biến phân (VI) là bài tốn tìm một điểm
x
∗
∈ C sao cho tập F (x
∗
) có một phần tử là vec-tơ pháp tuyến (ngồi) của
tập C tại điểm x
∗
.
Giả sử với mỗi x ∈ C, tập F(x) lồi, compac, khác rỗng. Với mỗi x, y ∈ C
, để mơ tả bài tốn (VI) về bài tốn cân bằng, ta đặt
f(x, y) := max
v∈F (x)
v, y − x.
Từ đây ta suy ra f(x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C khi và chỉ khi x là nghiệm của
(VI).
Một trường hợp riêng quan trọng của bài tốn (VI) là khi C = R
n

+
và F
đơn trị. Khi đó bài tốn (VI) tương đương với bài tốn sau, được gọi là bài
tốn bù:
Tìm x ≥ 0 sao cho F (x) ≥ 0, x
T
F (x) = 0. (CP)
Ta chỉ ra rằng bài tốn (CP) này tương đương với bất đẳng thức biến phân:
Tìm x ≥ 0 sao cho F (x), y − x ≥ 0, ∀y ≥ 0.
Sự tương đương ở đây được hiểu theo nghĩa tập nghiệm của hai bài tốn
này trùng nhau. Thật vậy, nếu x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân
thì
F (x), y − x ≥ 0, ∀y ≥ 0.
Lần lượt chọn y = x + e
i
(vec-tơ đơn vị thứ i) ta có
F
i
(x) =

F (x), x + e
i
− x

=

F (x), e
i

≥ 0.

9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Vậy F
i
(x) ≥ 0 với mọi i. Ngồi ra, nếu chọn y = 0 ta có
0 ≤ −F(x), x ≤ 0.
Suy ra x
T
F (x) = 0. Điều ngược lại mọi nghiệm của bài tốn bù đều là
nghiệm của bất đẳng thức biến phân ln đúng.
Ngồi ra, bài tốn quy hoạch lồi
min{f(x) : x ∈ C}, (CO)
trong đó f là hàm lồi khả dưới vi phân trên tập lồi C, có thể mơ tả dưới
dạng bất đẳng thức biến phân (VI), với F = ∂f.
Thật vậy, khi F = ∂f, bài tốn (VI) được viết là :
Tìm x
∗
∈ C, v
∗
∈ ∂f(x
∗
) sao cho v
∗
, y − x
∗
 ≥ 0, ∀y ∈ C.
Nếu x
∗
là nghiệm của bất đẳng thức biến phân này, thì do v
∗
∈ ∂f(x

∗
), nên
theo định nghĩa của dưới vi phân, ta có
v
∗
, y − x
∗
 + f(x
∗
) ≤ f(y), ∀y.
Thế nhưng do x
∗
là nghiệm của bất đẳng thức biến phân nên
v
∗
, y − x
∗
 ≥ 0, ∀y ∈ C.
Từ đây suy ra f(x
∗
) ≤ f(y) với mọi y ∈ C. Vậy x
∗
là một nghiệm của bài
tốn (CO). Trái lại, nếu x
∗
là nghiệm của (CO), thì theo điều kiện cần và
đủ tối ưu của quy hoạch lồi, ta có
0 ∈ ∂f(x
∗
) + N

C
(x
∗
).
Từ đây theo định nghĩa của nón pháp tuyến của C tại x
∗
, ta suy ra x
∗
là
nghiệm của bất đẳng thức biến phân (VI) với F = ∂f.
3. Bài tốn điểm bất động Kakutani. Cho F : C → 2
C
. Điểm x được
gọi là điểm bất động của F nếu x ∈ F (x). Giả sử với mọi x ∈ C, F (x) lồi,
compac, khác rỗng. Khi đó bài tốn tìm một điểm bất động của F có thể
mơ tả dưới dạng bài tốn cân bằng (EP). Để chứng tỏ điều này, với mỗi
x, y ∈ C ta đặt
f(x, y) := max
v∈F (x)
x − v, y − x.
Thật vậy, nếu x ∈ F(x), thì theo định nghĩa của f(x, y) ta có
f(x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Ngược lại, giả sử x là nghiệm của bài tốn (EP), tức là x ∈ C và f(x, y) ≥
0 với mọi y ∈ C. Khi đó, lấy y là hình chiếu của x lên tập lồi đóng F (x).
Khi đó
x − y, y − x = max
v∈F (x)
x − v, y − x.
Do x là nghiệm của (EP) nên

0 ≤ f(x, y) = x −y, y − x = −||x −y||
2
.
Suy ra x = y ∈ F(x). Vậy x là điểm bất động của F.
4. Bài tốn điểm n ngựa. Cho A ⊆ H, B ⊆ H và L : A ×B → R. Bài
tốn điểm n ngựa là bài tốn tìm (x
∗
, y
∗
) ∈ A × B sao cho
L(x
∗
, y) ≤ L(x
∗
, y
∗
) ≤ L(x, y
∗
), ∀(x, y) ∈ A × B.
Một điểm (x
∗
, y
∗
) ∈ B thỏa mãn bất đẳng thức trên được gọi là điểm
n ngựa của L trên A × B. Ta sẽ chỉ ra rằng, bài tốn điểm n ngựa có
thể mơ tả dưới dạng bài tốn cân bằng.
Thật vậy, với mỗi u = (x, y)
T
, v = (x
,

, y)
T
, ta đặt
C := A ×B, f(u, v) := L(x

, y) − L(x, y

).
Khi đó, nếu u
∗
là nghiệm của bài tốn cân bằng với C và f, tức là
u
∗
∈ A × B, f(u
∗
, v) ≥ 0 ∀v ∈ C = A × B,
thì
L(x

, y
∗
) ≥ L(x
∗
, y

) ∀x

∈ A, y

∈ B.

Với x

= x
∗
và sau đó với y

= y
∗
, ta có
L(x
∗
, y

) ≥ L(x
∗
, y
∗
) ≥ L(x

, y
∗
) ∀x

∈ A, y

∈ B.
Vậy (x
∗
, y
∗

) là điểm n ngựa. Điều ngược lại là nếu (x
∗
, y
∗
) là điểm n
ngựa của L trên A × B, thì u
∗
= (x
∗
, y
∗
) là lời giải của bài tốn cân bằng
suy ra từ định nghĩa.
5. Cân bằng Nash trong trò chơi khơng hợp tác. Xét một trò chơi có
p người chơi (đấu thủ). Giả sử C
j
⊂ R
p
j
là tập phương án mà đấu thủ thứ j
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />có thể lựa chọn trong đó (gọi là tập chiến lược). Đặt C := C
1
×C
2
× ×C
p
và gọi ϕ
j
: C

j
→ R là hàm lợi ích của đấu thủ j khi đấu thủ này chọn
phương án chơi x
j
∈ C
j
, còn các đấu thủ k khác chọn phương án chơi là
x
k
∈ C
k
với mọi k = j.
Định nghĩa 1.13. (Điểm cân bằng Nash) Ta gọi x
∗
= (x
∗
1
, , x
∗
p
) là điểm
cân bằng của ϕ = (ϕ
1
, , ϕ
p
) trên tập C := C
1
×C
2
× ×C

p
nếu với mọi
j và với mọi y
j
∈ C
j
, ta có
ϕ
j
(x
∗
1
, , x
∗
j−1
, y
j
, x
∗
j+1
, , x
∗
p
) ≤ ϕ
j
(x
∗
1
, , x
∗

j−1
, x
∗
j
, x
∗
j+1
, , x
∗
p
).
Định nghĩa này cho thấy rằng nếu một đối thủ j nào đó rời khỏi phương án
cân bằng, trong khi các đối thủ khác vẫn giữ phương án cân bằng thì đối
thủ j sẽ bị thua thiệt. Đây chính là lý do mà khái niệm cân bằng này được
chấp nhận trong thực tế. Điểm cân bằng này được gọi là cân bằng Nash vì
khái niệm này do nhà kinh tế học F. Nash đưa ra đầu tiên. Dưới đây bài
tốn cân bằng Nash sẽ được hiểu là bài tốn tìm một điểm cân bằng (Nash)
của ϕ trên C. Ta sẽ kí hiệu bài tốn này là N(ϕ, C). Bài tốn cân bằng
Nash có thể mơ tả dưới dạng bài tốn cân bằng (EP).
Thật vậy, xây dựng hàm f : C × C → R, bằng cách đặt
f(x, y) :=
p

j=1
[ϕ
j
(x) − ϕ
j
(x
1

, , x
j−1
, y
j
, x
j+1
, x
p
)] .
Nếu x
∗
là một điểm cân bằng Nash thì f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Ngược lại, giả sử x
∗
∈ C là nghiệm của bài tốn (EP), tức là
f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Ta sẽ chứng tỏ x
∗
= (x
∗
1
, , x
∗
p
) với x
∗

j
∈ C
j
là một điểm cân bằng Nash.
Thật vậy, nếu trái lại, sẽ tồn tại j và một y
j
∈ C
j
sao cho
ϕ
j
(x
∗
1
, , x
∗
j−1
, x
∗
j
, x
∗
j+1
, , x
∗
p
) < ϕ
j
(x
∗

1
, , x
∗
j−1
, y
j
, x
∗
j+1
, , x
∗
p
)
Khi đó với phương án y = (x
∗
1
, , x
∗
j−1
, y
j
, x
∗
j+1
, , x
∗
p
), theo định nghĩa của
hàm f, ta có
f(x

∗
, y) = ϕ
j
(x
∗
1
, , x
∗
j−1
, y
j
, x
∗
j+1
, , x
∗
p
) < 0.
Mâu thuẫn với x
∗
là nghiệm của (EP).
Nhận xét 1.5. Trong tất cả các bài tốn vừa kể trên, song hàm f đều có
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />tính chất f(x, y) = 0 với mọi y ∈ C. Như vậy f là một song hàm cân bằng
trên C.
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 2
Ngun lý biến phân Ekeland cho
bài tốn cân bằng.
2.1 Ngun lý biến phân Ekeland.

Trong mục này, chúng ta xem xét ngun lý biến phân Ekeland cổ điển
. Ngun lý này sẽ được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài
tốn cân bằng. Các kết quả được lầy từ các tài liệu [4], [7]
2.1.1 Ngun lý biến phân Ekeland cổ điển.
Vấn đề chúng ta thường quan tâm là khi nào hàm f : X → R ∪ {+∞}
đạt cực tiểu trên X, tức là tồn tại ¯x ∈ X sao cho f(x) ≥ f(¯x) với mọi
x ∈ X. Trước hết ta nhìn lại kết quả quen thuộc về sự tồn tại điểm cực tiểu
của hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact.
Mệnh đề 2.1. Cho X là khơng gian mêtric đủ compact và hàm f : X →
R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới trên X. Khi đó f đạt cực tiểu trên X.
Chứng minh. Đặt
a = inf{f(x) : x ∈ X}.
Khi đó có một dãy {x
n
} ∈ X sao cho lim
n→∞
f(x
n
) = a.
Do X compact, để khơng mất tính tổng qt ta có thể coi {x
n
} là dãy hội
tụ đến ¯x ∈ X. Ta sẽ chứng minh f(¯x) = a.
Thật vậy: Do f là nửa liên tục dưới tại ¯x nên lim
n→∞
inf f(x
n
) ≥ f(¯x).
Kết hợp với lim
n→∞

f(x
n
) = a ta suy ra f(¯x) ≤ a (điều đó chứng tỏ a = −∞).
Mặt khác theo định nghĩa của a ta có f(¯x) ≥ a.
Vậy f(¯x) = a và ¯x là một điểm cực tiểu của hàm f trên X.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định lý 2.1. (ngun lý biến phân Ekeland) Cho (X, d) là khơng gian
mêtric đủ và hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn
dưới. Giả sử ε > 0 và x
ε
∈ X thỏa mãn:
f(x
ε
) < inf
X
f + ε.
Khi đó với λ > 0 bất kì, tồn tại ¯x ∈ X sao cho:
1. d(¯x, x
ε
) ≤ λ.
2. f(¯x) + (
ε
λ
)d(¯x, x
ε
) ≤ f(x
ε
).
3. f(x) + (
ε

λ
)d(x, ¯x) > f(¯x), ∀x ∈ X\{¯x}.
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 2.1. Cho số α > 0, ta định nghĩa quan hệ thứ tự ” ≥ ” trên X × R
như sau:
(x
1
, a
1
) ≥ (x
2
, a
2
) ⇔ (a
1
− a
2
) + αd(x
1
, x
2
) ≤ 0.
Cho S là tập đóng trong X × R thỏa mãn tồn tại m ∈ R sao cho nếu
(x, a) ∈ S thì a ≥ m. Khi đó với mỗi phần tử (x
0
, a
0
) ∈ S ln có phần
tử (¯x, ¯a) ∈ S sao cho (¯x, ¯a) ≥ (x
0

, a
0
) và (¯x, ¯a) là phần tử cực đại trong S
theo nghĩa
(x, a) ≥ (¯x, ¯a), ∀(x, a) ∈ S và (x, a) = (¯x, ¯a).
Chứng minh. Dễ dàng chứng minh quan hệ ” ≥ ” có tính phản xạ, đối xứng,
bắc cầu.
Ta xây dựng dãy (x
n
, a
n
) trong S bằng quy nạp như sau:
Bắt đầu từ (x
0
, a
0
) ∈ S cho trước, giả sử (x
n
, a
n
) đã biết.
Ta ký hiệu:
S
n
= {(x, a) ∈ S : (x, a) ≥ (x
n
, a
n
)}.
m

n
= inf{a ∈ R : (x, a) ∈ S
n
}.
Ta có S
n
là các tập đóng và khác rỗng. Khi đó lấy (x
n+1
, a
n+1
) ∈ S
n
sao
cho:
a
n
− a
n+1
≥
a
n
− m
n
2
(2.1)
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Do quan hệ vừa xây dựng có tính bắc cầu nên S
n+1
⊂ S
n

do đó m
n
≤ m
n+1
.
Và như vậy ta có {S
n
} là dãy các tập đóng giảm dần trong S, {m
n
} là dãy
giảm dần trong R và bị chặn dưới và (2.1) có thể viết lại thành:
a
n
− m
n
2
≥ a
n+1
− m
n
≥ a
n+1
− m
n+1
≥ 0.
Tiếp tục q trình này ta thu được:
a
n+1
− m
n+1

≤
a
n
− m
n
2
≤ ≤
a
1
− m
2
n
.
Như vậy đường kính của S
n
tiến về 0 khi n → ∞. Suy ra {S
n
} là dãy các
tập đóng thắt dần có đường kính giảm dần về 0 trong X ×R (là khơng gian
mêtric đầy đủ). Do đó tồn tại (¯x, ¯a) ∈ S thỏa mãn:
{(¯x, ¯a)} =

n∈N
S
n
. (2.2)
Bây giờ ta sẽ chứng minh (¯x, ¯a) là phần tử cần tìm.
Thật vậy, từ định nghĩa của (¯x, ¯a) ta có (¯x, ¯a) ≥ (x
n
, a

n
), ∀n ∈ N do đó
(¯x, ¯a) ≥ (x
0
, a
0
). Giả sử có (x, a) > (¯x, ¯a) với (x, a) ∈ S và (x, a) = (¯x, ¯a).
Khi đó (x, a) ∈ S
n
, n ∈ N vì vậy (x, a) ∈

n∈N
S
n
điều này mâu thuẫn với
(2.2).
Và như vậy (¯x, ¯a) là phần tử cực đại trong S thỏa mãn u cầu của bổ
đề.
Chứng minh Định lý 2.1 Đặt
S = epif = {(x, a) ∈ X × R : f(x) ≤ a}.
Dễ thấy (x
ε
, f(x
ε
)) ∈ S. Do f là nửa liên tục dưới trên X nên S là tập
đóng trong X ×R. Ta áp dụng Bổ đề 2.1 với α =
ε
λ
và phần tử (x
ε

, f(x
ε
)),
ta ln tìm được (¯x, ¯a) sao cho
(¯x, ¯a) ≥ (x
ε
, f(x
ε
))
và (¯x, ¯a) là phần tử lớn nhất trong S.
Từ định nghĩa của epif ta ln có (x, f(x)) ∈ S, ∀x ∈ X.
Mặt khác f(¯x) ≤ ¯a nên −f(¯x) + ¯a +
ε
λ
d(¯x, ¯x) ≥ 0
mà (¯x, ¯a) là phần tử lớn nhất trong S nên ta có f(¯x) = ¯a.
Vậy (¯x, f(¯x)) là phần tử lớn nhất trong S.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Bây giờ ta sẽ chứng minh ¯x là điểm cần tìm.
Thật vậy theo bổ đề ta có:
(¯x, f(¯x)) ≥ (x
ε
, f(x
ε
)) tức là f(¯x) +
ε
λ
d(¯x, x
ε
) ≤ f(x

ε
).
Vậy khẳng định 2. được chứng minh.
Mặt khác, từ f(¯x) −f(x
ε
) +
ε
λ
d(¯x, x
ε
) ≤ 0 ta có
ε
λ
d(¯x, x
ε
) ≤ f(x
ε
) −f(¯x).
Hơn nữa f(x
ε
) ≤ inf
X
f + ε nên f(x
ε
) − f(¯x) ≤ ε
do đó
ε
λ
d(¯x, x
ε

) ≤ ε hay d(¯x, x
ε
) ≤ λ.
Vậy khẳng định 1. được chứng minh.
Do (¯x, f(¯x)) là phần tử lớn nhất trong S, mà (x, f(x)) ∈ S, ∀x ∈ X
nên (x, f(x)) ≥ (¯x, f(¯x)), ∀x = ¯x
do đó f(x) +
ε
λ
d(¯x, x) > f(¯x), x = ¯x.
Vậy 3. được chứng minh. ✷
Hằng số λ trong định lý trên rất linh hoạt. Chọn λ =
√
ε ta có kết quả sau:
Định lý 2.2. Cho (X, d) là khơng gian mêtric đủ và hàm f : X → R ∪
{+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và x
ε
∈ X thỏa
mãn:
f(x
ε
) < inf
X
f + ε.
Khi đó tồn tại ¯x ∈ X sao cho:
1. d(¯x, x
ε
) ≤
√
ε.

2. f(¯x) +
√
εd(¯x, x
ε
) ≤ f(x
ε
).
3. f(x) +
√
εd(x, ¯x) > f(¯x), ∀x ∈ X\{¯x}.
Khi mà điểm xấp xỉ cực tiểu x
ε
khơng biết rõ, ta chỉ quan tâm đến tính
chất của điểm ¯x với hàm nhiễu, ta có dạng yếu của ngun lý biến phân:
Định lý 2.3. Cho (X, d) là khơng gian mêtric đủ và hàm f : X → R ∪
{+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại
¯x sao cho:
f(x) +
√
εd(x, ¯x) > f(¯x), ∀x ∈ X\{¯x}.
2.1.2 Ngun lý biến phân Ekeland trong khơng gian hữu hạn chiều
Định lý 2.4. Cho f : R
n
→ R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn
dưới, λ > 0 và p ≤ 1. Giả sử ε > 0 và x
ε
∈ R
n
thỏa mãn:
17

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />f(x
ε
) ≤ inf
R
n
f + ε.
Khi đó tồn tại ¯x ∈ R
n
sao cho:
1. ||x
ε
− ¯x|| ≤ λ.
2. f(¯x) +
ε
λ
p
||¯x −x
ε
||
p
≤ f(x
ε
).
3. f(x) +
ε
λ
p
||x − x
ε
||

p
≥ f(¯x) +
ε
λ
p
||¯x −x
ε
||
p
, x ∈ R
n
.
Chứng minh. Đặt hàm
g(x) := f(x) +
ε
λ
p
||x − x
ε
||
p
.
Theo giả thiết f nửa liên tục dưới và bị chặn dưới nên g là hàm nửa liên
tục dưới và bị chặn dưới. Mặt khác,
lim
||x||→+∞
g(x) = +∞.
Lấy a ∈ R
n
, xét tập

L
g(a)
g = {x ∈ R
n
: g(x) ≤ g(a)}.
Do g là nửa liên tục dưới nên theo kết quả của giải tích lồi thì L
g(a)
g là tập
đóng trong R
n
. Ta sẽ chỉ ra L
g(a)
gbị chặn. Thật vậy, giả sử L
g(a)
g khơng bị
chặn, lúc đó tồn tại dãy {x
n
} ⊂ L
g(a)
g sao cho ||x|| → +∞. Do g thoả mãn
điều kiện bức nên suy ra
lim
n→+∞
g(x
n
) = +∞. (2.3)
Mà x
n
∈ L
g(a)

g nên g(x
n
) ≤ g(a), n ∈ N. Ta suy ra
lim
n→+∞
g(x
n
) ≤ g(a), ∀n ∈ N.
Điều này mâu thuẫn với (2.3), do đó L
g(a)
g đóng và bị chặn trong R
n
. Vậy
L
g(a)
g là tập compact. Khi đó g là hàm nửa liên tục dưới trên tập compact
L
g(a)
g nên tồn tại điểm cực tiểu ¯x của g trên L
g(a)
g.
Ta sẽ chứng minh ¯x là điểm cực tiểu của g trên R
n
.
Thật vậy, lấy x ∈ L
g(a)
g thì g(x) > g(a) ≥ g(¯x). Suy ra ¯x là điểm cực tiểu
của g trên R
n
.

18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Bây giờ ta chứng minh ¯x thỏa mãn các kết luận của định lý.
Do ¯x là điểm cực tiểu của g trên R
n
nên
f(x) +
ε
λ
p
||x − x
ε
||
p
≥ f(¯x) +
ε
λ
p
||¯x −x
ε
||
p
, x ∈ R
n
.
Vậy 3. được chứng minh.
Trong 3. cho x = x
ε
ta được f(¯x) +
ε
λ

p
||¯x −x
ε
||
p
≤ f(x
ε
). Ta chứng minh
được 2. và còn suy ra được
f(¯x) ≤ f(x
ε
).
Đồng thời theo chứng minh trên và định nghĩa của x
ε
thì
inf
R
n
f(x) +
ε
λ
p
||¯x −x
ε
||
p
≤ f(¯x) +
ε
λ
p

||¯x −x
ε
||
p
≤ f(x
ε
)
≤ inf
R
n
+ε
Nghĩa là ||x
ε
− ¯x|| < λ, ta chứng minh được 1.
2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng.
2.2.1 Một số định lý cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng.
Trong phần này ta nhắc lại một số định lý quen thuộc trong giải tích phi
tuyến. Các định lý này là cơng cụ sắc bén để nghiên cứu, đặc biệt là để
chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng ( xem [5], [8])
Định lý minimax
Cho một song hàm f : C × D → R. Nhiều vấn đề trong tối ưu hóa, lý
thuyết trò chơi và các lĩnh vực khác đưa đến câu hỏi khi nào có đẳng thức
γ := sup
y∈D
inf
x∈C
f(x, y) = inf
x∈C
sup
y∈D

f(x, y) := η (2.4)
Đẳng thức này nói rằng việc lấy cận trên đúng và cận dưới đúng có thể hốn
vị cho nhau. Từ định nghĩa cận trên đúng, cận dưới đúng, ta có
sup
y∈D
inf
x∈C
f(x, y) ≤ inf
x∈C
sup
y∈D
f(x, y). (2.5)
Các định lý minimax là các định lý nghiên cứu các điều kiện để có đẳng
thức (2.4). Ta xét bổ đề sau, là cơ sở để chứng minh các định lý minimax.
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Bổ đề 2.2. Cho C ⊆ H, D ⊆ H là các tập lồi, đóng khác rỗng và f :
C ×D → R. Giả sử với mọi y ∈ D, hàm f(., y) tựa lồi, nửa liên tục dưới
trên C và với mọi x ∈ C, hàm f(x, .) tựa lõm, nửa liên tục trên trên D.
Khi đó ta có:
1. Với mọi γ

> γ := sup
y∈D
inf
x∈C
f(x, y) và mọi tập hữu hạn N ⊂ D, tập
C(N) := {x ∈ C |max
y∈N
f(x, y) ≤ γ


} = ∅.
2. Với mọi η

< η := inf
x∈C
sup
y∈D
f(x, y) và mọi tập hữu hạn M ⊂ C, tập
D(M) := {y ∈ D |min
x∈M
f(x, y) ≥ η

} = ∅.
Chứng minh. Đặt
C
γ

(y) := {x ∈ C|f(x, y) ≤ γ

}.
Do C lồi, f(., y) tựa lồi và nửa liên tục dưới, nên C
γ

(y) lồi, đóng.
Khẳng định 1. có nghĩa là
∩
y∈N
C
γ


(y) = ∅.
Ta chứng minh 1. bằng quy nạp theo số phần tử của N.
Khi N chỉ có duy nhất một phần tử y, tập
C
γ

(N) = C
γ

(y) = {x ∈ C|f(x, y) ≤ γ

}.
Do γ

> γ ≥ inf
x∈C
f(x, y), nên theo định nghĩa cận dưới đúng, tồn tại x ∈ C
thỏa mãn f(x, y) ≤ γ

. Suy ra C
γ

(N) = ∅.
Vậy 1. đúng khi N chỉ có một phần tử.
Giả sử 1. đúng với N gồm có k phần tử. Ta chứng minh nó đúng khi N
có k + 1 phần tử. Giả sử N := {y
1
, y
2
, , y

k+1
}. Đặt
C

γ

(y
i
) := C
γ

(y
i
) ∩ C
γ

(y
k+1
), (i = 1, 2, , k).
Khi đó
k+1
∩
i=1
C
γ

(y
i
) =
k

∩
i=1
C

γ

(y
i
).
Theo giả thiết quy nạp
k
∩
i=1
C

γ

(y
i
) = ∅, nếu như các tập
C

γ

(y
i
) = C
γ

(y

i
) ∩ C
γ

(y
k+1
) = ∅.
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />