Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cho học sinh lớp 12.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM


KHÚC TÂN VIỆT


RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH
CHO HỌC SINH LỚP 12


Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TS. Bùi Văn Nghị


THÁI NGUYÊN - 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TS. Bùi Văn Nghị đã tận tình
giảng dạy và hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và các cán bộ

nhân viên khoa Sau đại học, trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên
đã tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học Toán K20, chuyên
ngành Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán - Trường Đại học Sư
phạm - Đại học Thái Nguyên, đã luôn động viên, giúp đỡ và chia sẻ kinh
nghiệm trong suốt quá trình học tập.
Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Hải Dương, Ban
giám hiệu Trường THPT Tứ Kỳ - Hải Dương đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi
hoàn thành khoá học này.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn, mặc dù đã có nhiều cố
gắng, song không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được góp
ý của các thầy cô và đồng nghiệp cho luận văn của tôi được hoàn chỉnh hơn.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2014
Ngƣời thực hiện


Khúc Tân Việt




Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu,
kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất
kỳ công trình nào khác.
Tác giả luận văn

Khúc Tân Việt




Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

MỤC LỤC
Lời cảm ơn i
Lời cam đoan ii
Mục lục iii
Bảng những cụm từ viết tắt trong luận văn iv
MỞ ĐẦU 1
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4
1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán 4
1.1.1. Kĩ năng 4
1.1.2. Kĩ năng giải toán 5
1.2. Phương pháp dạy học giải bài tập toán học 7
1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học 7
1.2.2. Những yêu cầu của một lời giải bài toán 7
1.2.3. Phương pháp chung để giải bài toán 9
1.3. Thực trạng dạy học “Hệ phương trình” tại một số trường THPT huyện
Tứ Kỳ - tỉnh Hải Dương 11
1.3.1. Nội dung “Hệ phương trình” trong chương trình môn Toán THPT 11
1.3.2. Tìm hiểu thực trạng 11
1.4. Tiểu kết chương 1 13
Chƣơng 2. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHO
HỌC SINH 14
2.1. Biện pháp chung rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh 14
2.2. Phương pháp rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cho học sinh 15

2.2.1. Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cơ bản 15
2.2.2. Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp thế 18
2.2.3. Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp phân tích
thành nhân tử 22
2.2.4. Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ 30

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

2.2.5. Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số 38
2.2.6. Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp khác 46
2.3. Tiểu kết chương 2 51
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 52
3.1. Mục đích, tổ chức thực nghiệm sư phạm 52
3.1.1. Mục đích thực nghiệm 52
3.1.2. Tổ chức thực nghiệm sư phạm 52
3.2. Giáo án thực nghiệm sư phạm 52
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 61
3.3.1. Lấy ý kiến từ GV và HS 61
3.3.2. Đánh giá từ bài kiểm tra 61
3.4.2. Đánh giá kết quả học tập 62
3.4. Tiểu kết chương 3 64
KẾT LUẬN 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO 66
PHỤ LỤC


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

BẢNG NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt
Viết đầy đủ
GV
Giáo viên
HS
Học sinh
KTM
Không thoả mãn
PT
Phương trình
PP
Phương pháp
TM
Thoả mãn
THPT
Trung học phổ thông
VN
Vô nghiệm


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết giáo dục được coi là quốc sách hàng đầu, vì giáo
dục nhằm có được nguồn nhân lực để phát triển kinh tế xã hội. Nhiệm vụ và
mục tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con người phát triển toàn diện
về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng được kiến thức
trong tình huống công việc.
"Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con người Việt Nam phát triển

toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành
với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân
cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng nhu cầu xây dựng và bảo
vệ Tổ quốc"; “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm tâm lý của từng lớp
học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập
cho học sinh" [16].
Toán học có vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học kỹ
thuật; toán học có liên quan chặt chẽ và có có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều
lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện
đại; toán học còn là công cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác. Vì
vậy, ngay từ trường phổ thông, việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở
trường phổ thông đóng vai trò rất quan trọng.
Việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh trong dạy học toán được các nhà
giáo dục và giáo viên toán quan tâm. Đã có nhiều đề tài nghiên cứu giải quyết
những vấn đề về lý luận và thực tiễn việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh.
Chủ đề về hệ phương trình là một chủ đề rất thuận lợi cho việc rèn luyện
các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy cho học sinh. Ngoài những hệ phương

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

trình thường gặp, có thuật toán hoặc phương pháp giải, chúng ta còn gặp những
hệ phương trình không mẫu mực, đòi hỏi học sinh phải linh hoạt, sáng tạo.
Từ đó, đề tài được chọn là "Rèn luyện kĩ năng giải hệ phƣơng trình
cho học sinh lớp 12 "
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa được những kĩ năng cần thiết trong giải hệ phương trình và
đề xuất được biện pháp rèn luyện những kĩ năng đó cho học sinh lớp 12, nâng
cao hiệu quả học tập chủ đề này ở trường phổ thông.

3. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở hệ thống hóa những kĩ năng cần thiết trong giải hệ phương
trình, nếu vận dụng biện pháp rèn luyện những kĩ năng đó như đã đề xuất trong
luận văn thì cho học sinh lớp 12 có kĩ năng giải dạng toán này tốt hơn, nâng
cao được hiệu quả học tập chủ đề này ở trường phổ thông.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Làm sáng tỏ khái niệm và hệ thống hóa một số vấn đề về rèn luyện kĩ
năng, kĩ năng giải toán.
- Hệ thống hóa những kĩ năng cần thiết trong giải hệ phương trình.
- Đề xuất hệ thống bài tập và biện pháp sư phạm rèn luyện kĩ năng giải
hệ phương trình cho học sinh lớp 12.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, hiệu quả
của đề tài.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luận
dạy học môn toán; các công trình nghiên cứu có liên quan trực tiếp đến đề tài
nhằm hoàn thành cơ sở lí luận cho đề tài.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

5.2. Quan sát, điều tra
- Dự giờ, quan sát để có một số đánh giá về thực trạng việc DH toán ở
trường THPT.
- Xây dựng một số phiếu điều tra và tiến hành điều tra tình hình dạy và
học giải hệ phương trình cho học sinh lớp 12 tại một số trường THPT.
5.3. Thực nghiệm sư phạm
Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả
của đề tài.
6. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm ba chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2. Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cho học sinh lớp 12
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm











Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán
1.1.1. Kĩ năng
+ Quan niệm về kĩ năng
Theo nghĩa từ điển: “Kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành
động nào đó theo một mục trong những điều kiện nhất định; kĩ năng là khả
năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn” [21]. Trong đó khả năng được
hiểu là sức đã có về một mặt nào đó để làm tốt một công việc. Kĩ năng thuộc
về phạm vi hoạt động, thuộc khả năng “biết làm”.
+ Kĩ năng có các tính chất sau:
- Kĩ năng phải dựa trên cơ sở là kiến thức.
Muốn có kĩ năng làm một việc gì đó cần phải hiểu rõ mục đích, biết cách
đi đến kết quả và những điều kiện cần thiết. Vì vậy kĩ năng giải toán cũng phảỉ

dựa trên cơ sở là tri thức toán học, bao gồm: tri thức sự vật, tri thức giá trị và tri
thức phương pháp.
Chẳng hạn để có kĩ năng giải hệ phương trình, học sinh phải có tri thức về
hệ phương trình. Tri thức đó bao gồm: khái niệm về phương trình, hệ phương
trình, khái niệm về nghiệm của phương trình, hệ phương trình; tri thức về biến
đổi phương trình tương đương, phương trình hệ quả,
Ví dụ như, để có kĩ năng giải hệ
22
33
4
16
x y xy
xy
học sinh cần phải có
kiến thức về nhận dạng và cách giải hệ PT. Đây là hệ PT đối xứng loại 1, cách
giải là đặt
,s x y p xy
.
Tương tự để có kĩ năng giải hệ
3
3
21
21
xy
yx
học sinh cần phải nhận ra đây
là hệ PT đối xứng loại 2, hệ luôn có nghiệm x = y. Ngoài ra học sinh cần phải
biết cách viết đúng nghiệm của hệ.
- Kĩ năng chỉ có thể hình thành trong hoạt động và bằng hoạt động.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Con đường đi từ chỗ có tri thức đến chỗ có kĩ năng là con đường luyện
tập. Nội dung của sự luyện tập này rất phong phú và đa dạng. Bởi vậy, việc tổ
chức các hoạt động học tập có vai trò quan trọng trong quá trình hình thành và
phát triển kĩ năng cho HS. Các hoạt động phải được người học thực hiện nhiều
lần, mang tính liên tục và đến một mức độ nhất định nào đó, kĩ năng mới được
hình thành. Kĩ năng đạt đến mức thuần thục được gọi là kĩ xảo.
+ Kĩ năng có tính ổn định nhưng không bền vững như kĩ xảo. trong quá
trình hoạt động, qua thời gian, kĩ năng có thể được bổ sung hoặc rút ngắn đi,
hoặc thay đổi. Kĩ năng thực hiện một hoạt động nào đó có thể mất đi sau một
thời gian đồng thời cũng có thể được tái hình thành.
+ Vai trò quan trọng của kĩ năng là góp phần củng cố kiến thức, cụ thể
hóa, chính xác hóa kiến thức. Điều này vừa là tính chất, đồng thời vừa là một
mục tiêu quan trọng trong dạy học: chú ý đến rèn luyện và phát triển kĩ năng
cho HS, từ đó làm cơ sở cho việc kiểm tra, củng cố lại kiến thức, dần từng
bước tiếp thu kiến thức và kĩ năng mới phù hợp với sự phát triển trí tuệ và rộng
hơn phù hợp với yêu cầu cuộc sống.
1.1.2. Kĩ năng giải toán
a) Quan niệm về kĩ năng giải toán
Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức toán học để giải các
bài toán. Kĩ năng giải toán bao gồm những kĩ năng thành phần như tìm tòi, suy
đoán, suy luận, chứng minh
HS sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá trình tập luyện, củng cố đào sâu
kiến thức thì kĩ năng được hình thành, phát triển đồng thời góp phần củng cố,
cụ thể hóa tri thức toán học.
Kĩ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện
các hoạt động toán học. Kĩ năng giải toán của HS có thể chia làm 3 cấp độ: biết
làm, thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể.
b) Những kĩ năng chung trong giải toán

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Để giải toán học sinh cần phải có những kĩ năng chung sau đây:
+ Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán, xác định đó là trọng tâm suy nghĩ
tìm hướng giải. Đây là kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, là một trong
những kĩ năng quan trọng nhất khi giải các bài toán có tính chất là một vấn đề.
Cần làm rõ các thành phần, mối liên hệ tường minh hay không tường minh, qua
các yếu tố trong bài toán.
+ Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải bài toán: Huy động
tri thức, kinh nghiệm của bản thân có liên quan để giải bài toán.
+ Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả bài toán, tránh sai lầm
khi giải toán: trong hoạt động giải toán, việc phát hiện và sửa chữa sai lầm là
một thành công của người học toán.
+ Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của người
giải toán.
Chẳng hạn, để giải hệ phương trình
22
44
( ) 78 (1)
97 (2)
x y xy
xy

học sinh cần phải có kĩ năng nhận dạng xem hệ PT trên có dạng nào? Cách
giải hệ đó như thế nào? …
Ta thấy đây là hệ phương trình đối xứng loại 1. Cách giải thông thường hệ
này là đặt ẩn phụ theo tổng và tích hai ẩn
x y S
xy P

Tuy nhiên nếu học sinh có kĩ năng hơn về phương pháp thế, các em có
thể nhận ra cách đặt ẩn phụ không phải theo tổng và tích hai ẩn, mà theo
tổng các bình phương và tích của hai ẩn: (x
2
+ y
2
và xy) để giải bài toán
nhanh hơn, như sau:
Hệ phương trình tương đương với hệ
22
2 2 2 2 2
78
(1)
( ) 2 97(2)
xy
xy
x y x y

Thế (1) vào (2) ta được
2 2 4 2 2 2 2 2
( ) 97( ) 12168 0 13x y x y x y


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Từ đó ta có hệ
22
5
13

6
6
xy
xy
xy
xy
hoặc
5
6
xy
xy

Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ; )xy
là
(3;2),(2;3),( 3; 2),( 2; 3)
.
1.2. Phƣơng pháp dạy học giải bài tập toán học
1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Mục này viết dựa theo tài liệu [10] của Nguyễn Bá Kim.
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán. HS được thực hiện
những hoạt động học tập thông qua giải bài tập như: nhận dạng, thể hiện định
nghĩa, định lí, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức tạp,
những hoạt động ngôn ngữ.
Vai trò của bài tập thể hiện trên 3 phương diện:
- Hình thành, củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau
của quá tình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.
- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành
những phẩm chất trí tuệ.
- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng hình thành những phẩm chất

đạo đức của người lao động mới.
Chẳng hạn, việc giải hệ phương trình giúp cho học sinh củng cố tri thức về
phương trình, hệ phương trình, giúp học sinh củng cố, rèn luyện cách giải
những dạng hệ phương trình cơ bản. Qua các bài tập học sinh sẽ ôn lại những
vấn đề về lý thuyết như: phương trình và hệ phương trình tương đương, phương
trình và hệ phương trình hệ quả,…Qua những hệ cụ thể học sinh sẽ có được kĩ
năng nhận dạng, biết khi nào thì dùng phương pháp thế, khi nào thì dùng
phương pháp phân tích thành nhân tử, khi nào đặt ẩn phụ, hàm số,
1.2.2. Những yêu cầu của một lời giải bài toán
Lời giải của bài toán cần phải đảm bảo được những yêu cầu cơ bản sau:
- Lời giải phải đúng : đúng trong tính toán, biến đổi, lập luận

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

- Lời giải phải có lập luận chặt chẽ: luận đề nhất quán, luận cứ phải đúng,
luận chứng phải hợp lôgic.
- Lời giải phải đầy đủ: không được thiếu trường hợp, thiếu nghiệm, hay
thiếu một chi tiết cần thiết nào.
Ngoài ra, giáo viên có thể đánh giá cao hơn đối với những lời giải có thêm
những ưu điểm sau:
- Ngôn ngữ chính xác
- Trình bày rõ ràng, đẹp trong lời văn, chữ viết, hình vẽ, các sắp xếp các
yếu tố trong lời giải.
- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách ngắn gọn, hợp lý.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Ví dụ.1.1. Khi giải hệ phương trình
2
2
11
11

yx
xy
có học sinh đã giải
như sau:
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ
2
2
11
11
yx
xx
22
22
2
2
y x x
x y y

0
1
xy
xy

Lời giải này sai vì biến đổi không tương đương.
Hay khi giải hệ phương trình
2
2
2
1 2 1 0
xy

y x x
có học sinh đã giải
như sau: hệ PT đã cho tương đương với hệ
2
2
1 1 0
xy
yx
2
2
2
xy
xy

2
0
x
y
hoặc
1
1
x
y


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Lời giải này chưa đầy đủ vì học sinh mới giải được trường hợp
1x
, còn

thiếu trường hợp
1x
.
1.2.3. Phƣơng pháp chung để giải bài toán
Trong tài liệu [22] , G.Pôlya trình bày về bốn bước giải bài toán, gồm:
Hiểu bài toán; Tìm cách giải; Trình bày; Nhìn lại.
Bước 1: Hiểu bài toán
Phát triển đề bài dưới những hình thức khác nhau (Bằng lời, bằng kí
hiệu ) để hiểu rõ nội dung, phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng
minh. Có thể dùng công thức, để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Trả lời câu hỏi: Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Hãy vẽ hình và sử dụng
điều kiện thích hợp? Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn ra
các điều kiện đó thành công thức hay không
Bước 2: Tìm cách giải
Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với
một bài toán cũng tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn
hay một bài toán nào có liên quan sử dụng những phương pháp đặc thù với
từng dạng toán.
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan
Bước 3: Trình bày
Từ cách giải phát hiện được, sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nhìn lại
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Ví dụ 1.2. Giải hệ phương trình
22
44
( ) 78
97
x y xy
xy

Bước 1. Hiểu bài toán: Đây là hệ đối xứng loại 1
Bước 2. Tìm cách giải: Theo phương pháp chung để giải hệ này, đặt
,x y s xy p

Bước 3. Trình bày
Hệ phương trình tương đương với hệ
2
2
2 2 2
( ) 2 78
( ) 2 2 97
x y xy xy
x y xy x y

Đặt
,x y s xy p
. Khi đó hệ PT trở thành
22
2 2 2
2 78 (1)
( 2 ) 2 97 (2)

s p p
s p p

Từ (1) rút
2
2
2 78p
s
p
thế vào PT (2) ta được:
2
2
2 4 2
2 78
2 2 97 2 97 6084 0 6
p
p p p p p
p
5s

+ Với
5
6
s
p
ta có
52
63
x y x
xy y

hoặc
3
2
x
y

+ Với
5
6
s
p
ta có
52
63
x y x
xy y
hoặc
3
2
x
y

Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ; )xy
là
(3;2),(2;3),( 3; 2),( 2; 3)
.
Bước 4. Nhìn lại
Đối với bài toán trên ta có thể giải cách khác tốt hơn như sau: Hệ phương
trình tương đương với hệ

22
2 2 2 2 2
78
(1)
( ) 2 97(2)
xy
xy
x y x y

Thế (1) vào (2) ta được
2 2 4 2 2 2 2 2
( ) 97( ) 12168 0 13x y x y x y

Từ đó ta có hệ
22
5
13
6
6
xy
xy
xy
xy
hoặc
5
6
xy
xy

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ; )xy
là
(3;2),(2;3),( 3; 2),( 2; 3)
.
1.3. Thực trạng dạy học “Hệ phƣơng trình” tại một số trƣờng THPT
huyện Tứ Kỳ - tỉnh Hải Dƣơng
1.3.1. Nội dung “Hệ phƣơng trình” trong chƣơng trình môn Toán THPT
Theo chương trình môn toán THPT năm 2002:
Ở lớp 10 có 5 tiết khái niệm và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ
phương trình bậc nhất ba ẩn, đối với ban nâng cao có thêm 2 tiết về hệ gồm
một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai.
Ở lớp 12 ban cơ bản không có, ban nâng có 3 tiết hệ phương trình mũ và
lôgarít.
Một số nội dung cụ thể có trong chương trình:
- Khái niệm về hệ phương trình
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
- Hệ phương trình bậc hai
- Một số hệ phương trình cơ bản
- Hệ phương trình mũ và lôgarít.
1.3.2. Tìm hiểu thực trạng
1.3.2.1. Điều tra từ giáo viên
Để biết được tình hình thực tế của việc rèn luyện kĩ năng giải toán hệ
phương trình cho HS, tôi đã thiết kế và gửi phiếu xin ý kiến của 12 thầy cô giáo
trong tổ toán của trường THPT Tứ Kỳ và 8 thầy cô ở trường THPT Hưng Đạo
huyện Tứ Kỳ - tỉnh Hải Dương . Nội dung phiếu xin xem trong phụ lục 2.
Kết quả như sau:
+ Trong câu hỏi 1 - Theo thầy cô giáo dạng toán giải hệ phương trình là

dạng toán quan trọng hay không? Vì sao?
A. Bình thường
B. Quan trọng
C. Rất quan trọng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Có 4,5% thầy cô chọn đáp án A; 31,8% chọn đáp án B; 63,7% chọn đáp
án C vì: Thứ nhất giúp HS củng cố và khắc sâu kiến thức dễ dàng. Thứ 2 giúp
cho HS có kĩ năng giải các bài toán giải hệ phương trình trong kỳ thi tuyển
sinh Đại Học và Cao Đẳng.
+ Trong câu hỏi 2 - Theo thầy cô chỉ rèn luyện kĩ năng giải hệ phương
trình cho HS theo mức độ sách giáo khoa, sách bài tập thì HS có đủ kĩ năng
làm bài thi Đại học không?
A. Chưa đủ
B. Đã đủ
Đa số các thầy cô trả lời là HS không đủ kỹ năng để làm được bài toán
giải hệ phương trình trong đề thi Đại Học.
+ Trong câu hỏi 3 - Theo thầy cô với số tiết quy định trong chương trình
thì HS của thầy cô đã giải hệ phương trình ở mức độ nào?
A. Chưa biết giải hệ phương trình
B. Chỉ giải được những bài toán đơn giản
C. Giải thành thạo những bài toán kể cả những bài khó trong quá trình học
Đa số các thầy cô trả lời số tiết theo quy định trong chương trình của HS
chỉ giải hệ phương trình ở mức độ biết làm, ít HS làm được bài một cách thành
thạo.
+ Trong câu hỏi 4 - Theo thầy cô những khó khăn nào sau đây được thể
hiện nhiều nhất ở HS?
A. Không biết nhận dạng
B. Không biết cách giải

C. Có biết cách giải nhưng không giải được.
Có 32% thầy cô chọn đáp án A, 48% chọn đáp án B, 20% chọn đáp án C.
1.3.2.2. Đánh giá kĩ năng giải hệ phương trình của học sinh qua bài kiểm tra
Tôi đã ra một bài kiểm tra viết 45 phút để đánh giá kĩ năng giải hệ phương
trình của 82 học sinh hai lớp 12A và 12B trường THPT Tứ Kỳ - Hải Dương.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Đề bài như sau: Giải các hệ phương trình sau:
1)
22
44
( ) 78
97
x y xy
xy

2)
3
11
21
xy
xy
yx

3)
34
2 2 3
7
29

x y y
x y xy y

Dụng ý của tôi là:
Bài 1 nhằm đánh giá kĩ năng vận dụng giải các hệ cơ bản
Bài 2 nhằm đánh giá kĩ năng tìm ra cách giải hệ không cơ bản, ở mức
trung bình, giải bằng một trong những cách quen thuộc như đặt ẩn phụ, phân
tích thành nhân tử…
Bài 3 nhằm đánh giá khả năng sáng tạo, tìm ra cách giải độc đáo.
Lời giải bài kiểm tra xin xem tại phụ lục 3.
Kết quả sau khi chấm bài như sau:
Bài 1 có 77% học sinh giải được
Bài 2 có 23% học sinh giải được
Bài 3 không có học sinh giải được
Kết quả trên cho thấy kĩ năng giải hệ phương trình của học sinh nhìn
chung mới đạt ở mức độ cơ bản. Với hệ phương trình đòi hỏi ở mức độ cao hơn
cơ bản một chút thì hầu như học sinh không giải được.
1.4. Tiểu kết chƣơng 1
Chương này trình bày khái niệm về kĩ năng, các tính chất của kĩ năng và
về kĩ năng giải toán. Kĩ năng giải toán nói chung, kĩ năng giải hệ phương trình
nói riêng có vai trò quan trọng trong chương trình môn toán phổ thông.
Tôi đã sử dụng phiếu xin ý kiến từ giáo viên và đánh giá kĩ năng giải hệ
phương trình của học sinh thông qua bài kiểm tra. Kết quả cho thấy hầu như
học sinh mới chỉ có được kĩ năng giải những hệ phương trình cơ bản.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Chƣơng 2. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHO
HỌC SINH

2.1. Biện pháp chung rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
Theo Nguyễn Bá Kim [10], các phương pháp rèn luyện kĩ năng giải toán
cho học sinh cần phải dựa trên cở sở tâm lý học, giáo dục học và lý luận
phương pháp dạy học bộ môn Toán.
Bởi vì quá trình học được tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạy
của thầy và các hoạt động học của trò, do đó các biện pháp sư phạm phải thông
qua hoạt động dạy tác động vào hoạt động học của học sinh, làm cho HS có
động cơ hoàn thiện tri thức và kĩ năng. Phương pháp dạy học Toán ở THPT
phải luôn gắn liền với việc truyền thụ tri thức, kĩ năng với việc phát triển các kĩ
năng của học sinh.
Từ đó, theo tác giả, để rèn luyện được kĩ năng giải toán cho HS ta cần phải
có một giải pháp đồng bộ, bao gồm các hoạt động sau:
a. Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập
của HS trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng
Căn cứ vào chương trình, người GV cần phải xác định và chọn lọc các
kiến thức, kĩ năng cơ bản cần được trang bị, hình thành, phát triển cho HS.
b. Trang bị các tri thức về phương pháp giải toán cho HS
Đối với những bài toán đã có thuật giải: GV cần thông báo tường minh
thuật giải hoặc có thể cho HS thực hiện các hoạt động học tập ăn khớp với tri
thức phương pháp đó.
Đối với bài toán chưa có hoặc không có thuật giải: GV cần hướng HS suy
nghĩ, tìm tòi lời giải, trước hết theo quy trình bốn bước tìm lời giải bài toán của
Polya.
c. Rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua củng cố, luyện tập, đào sâu, ứng
dụng, hệ thống hóa và ôn tập.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

2.2. Phƣơng pháp rèn luyện kĩ năng giải hệ phƣơng trình cho học sinh
Theo tôi, giáo viên cần rèn luyện cho HS có những kĩ năng để giải được
những hệ phương trình sau, trong chương trình môn Toán THPT:
- Giải hệ phương trình cơ bản
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp phân tích thành nhân tử
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp khác.
Sau đây tôi trình bày về việc rèn luyện từng kĩ năng cụ thể. Mỗi kĩ năng
được trình bày thông qua những hướng dẫn từ một số ví dụ, sau đó khái quát
chung và cuối cùng là những bài toán cho học sinh tự luyện tập.
2.2.1. Rèn luyện kĩ năng giải hệ phƣơng trình cơ bản
Trong luận văn này tôi không trình bày những hệ phương trình cơ bản
trong sách giáo khoa, như hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn….
Ví dụ 2.2.1.1. Giải hệ phương trình
22
11
30
x y xy
x y xy

Hướng dẫn:
Hệ PT trên đối xứng loại 1, cho nên có thể biến đổi từng PT về tổng và
tích các biến rồi đặt ẩn phụ.
Tóm tắt lời giải:
Hệ PT đã cho tương đương với hệ
11
( ) 30
x y xy

xy x y

Đặt
,x y s xy p
. Khi đó hệ PT trở thành
11 6
30 5
s p s
sp p
hoặc
5
6
s
p

+ Trường hợp 1.
6
5
s
p
ta có
65
51
x y x
xy y
hoặc
1
5
x
y

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

+ Trường hợp 2.
5
6
s
p
ta có
53
62
x y x
xy y
hoặc
2
3
x
y

Vậy hệ PT có nghiệm
( ; )xy
là
(5;1),(1;5),(2;3),(3;2)
.
Ví dụ 2.2.1.2. Giải hệ phương trình
22
4 4 2 2
7
21

x y xy
x y x y

Hướng dẫn:
Hệ PT trên đối xứng loại 1, cho nên có thể biến đổi từng PT về tổng và
tích các biến rồi đặt ẩn phụ.
Tóm tắt lời giải:
Hệ PT tương đương với hệ
2
2
2 2 2
( ) 7
( ) 2 21
x y xy
x y xy x y

Đặt
,s x y v xy
.
Khi đó hệ PT trở thành hệ
2
2 2 2
73
2
( 2 ) 21
s p s
p
s p p
hoặc
3

2
s
p

+ Trường hợp 1.
3
2
s
p
ta có
32
21
x y x
xy y
hoặc
1
2
x
y

+ Trường hợp 2.
3
2
s
p
ta có
32
21
x y x
xy y

hoặc
1
2
x
y

Vậy hệ PT có nghiệm
( ; )xy
là
(2;1),(1;2),( 2; 1),( 1; 2)
.
Ví dụ 2.2.1.3. Giải hệ phương trình
2
2
2 3 (1)
2 3 (2)
x x y
y y x

Hướng dẫn:
Hệ PT trên đối xứng loại 2, cho nên ta có thể trừ từng vế của hai PT cho
nhau rồi phân tích thành nhân tử.
Tóm tắt lời giải:
Trừ từng vế của (1) cho (2) ta được:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

22
( ) 0 ( )( 5) 0x y x y x y x y
5

xy
yx

+ Trường hợp 1.
xy
thế vào (1) ta được:
2
0
0
1
x
xx
x

Với
0x
ta có
0y

Với
1x
ta có
1y

+ Trường hợp 2.
5yx
thế vào (1) ta được:
2
5 15 0( )x x VN

Vậy hệ PT có nghiệm
( ; ) (0;0),( ; ) (1;1)x y x y
.
Ví dụ 2.2.1.4. Giải hệ phương trình
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y

Hướng dẫn:
Điều kiện:
,0xy

Ta thấy các vế phải của hai PT là các số dương nên ta có
,0xy

Hệ PT trên đối xứng loại 2, cho nên ta quy đồng khử mẫu rồi từng vế của
hai PT cho nhau sau đó phân tích thành nhân tử.
Tóm tắt lời giải:
Hệ PT đã cho tương đương với hệ

22
22
3 2 (1)
3 2 (2)
x y y
xy x

Trừ từng vế của (1) cho (2) ta được:
( )( 3 ) 0
30
xy
x y x y xy
x y xy

+ Trường hợp 1.
xy
thế vào (1) ta được:
2
2 2 1xx
kết hợp với
điều kiện được
11xy
.
+ Trường hợp 2.
30x y xy
vô nghiệm vì
,0xy

Vậy hệ PT có nghiệm
( ; ) (1;1)xy

.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

* Như vậy, trong quá trình rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình đối
xứng, cần chú ý
- Phương pháp chung giải hệ phương trình đối xứng loại 1 là đặt :

,x y s xy p
nhưng cũng tuỳ theo giữa các biểu thức đối xứng với x
và y trong hệ ta có thể có cách đặt ẩn phụ khác tốt hơn.
Phương pháp chung giải hệ phương trình đối xứng loại 2 là trừ từng vế hai
PT cho nhau để phân tích PT đó thành nhân tử rồi sử dụng phương pháp thế.
2.2.2. Rèn luyện kĩ năng giải hệ phƣơng trình bằng phƣơng pháp thế
Ví dụ 2.2.2.1 Giải hệ phương trình
2
2
( 1) 3 (1)
5
( ) 1 0 (2)
x x y
xy
x

Hướng dẫn:
Điều kiện:
0x

PT (1) là PT bậc nhất đối với y nên ta có thể nghĩ đến phương pháp rút y
theo x. Tuy nhiên, trong bài toán này, biến y chỉ xuất hiện trong cụm (x + y)

nên ta có thể nghĩ đến việc rút cả nhóm x + y.
Tóm tắt lời giải:
Từ phương trình (1) ta có
3
1xy
x
. Thế vào phương trình (2) ta được
2
2
35
( 1) 1 0
xx
22
9 6 5
1 1 0
x x x
2
46
20
xx
1
2
x
x

+ Với
1x
, ta có
1y

+ Với
2x
ta có
y
3
2

Thử lại và kết luận hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (1;1), (x;y) =
(2;
3
2
).
Chú ý:
Phương pháp thế có thể dẫn đến nghiệm ngoại lai nên cần có bước thử lại
nghiệm tìm được.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Ví dụ 2.2.2.2. Giải hệ phương trình
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x

Hướng dẫn:
Nhận xét về bậc cao nhất của các biến x, y trong hệ PT này, ta thấy bậc
cao nhất của y là bậc hai, nên có thể nghĩ đến giải phương trình bậc hai ẩn y,
còn x là tham số. Cách giải này nếu thuận tiện ta sẽ biểu diễn được y theo x rồi

sau đó dùng PP thế.
Hoặc để ý ta sẽ thấy y chỉ nằm trong cụm tích xy nên ta có thể nghĩ đến
phương pháp thế cả cụm xy.
Tóm tắt lời giải:
Ta có hệ PT tương đương với hệ
22
2
( ) 2 9 (1)
2 6 6 (2)
x xy x
x xy x

Từ phương trình (2), ta rút
2
66
2
xx
xy
thế vào phương trình (1), ta được
2
22
66
( ) 2 9
2
xx
xx
, biến đổi thu gọn ta được phương trình:
4 3 2 3
12 48 64 0 ( 12 48) 0x x x x x x x
0 ( )

4 ( )
x KTM
x TM

+ Với
4x
, ta được
17
4
y

Vậy hệ phương trình có nghiệm là
17
( ; ) ( 4; )
4
xy
.
Ví dụ 2.2.2.3. Giải hệ phương trình
33
22
4 16 (1)
1 5(1 ) (2)
x y y x
yx

Hướng dẫn
Biến đổi PT (2) về dạng
22
45yx
. PT (1) đưa biến x và biến y về từng

vế. Khi đó ta có thể thế (2) vào (1) ta thấy xuất hiện nhân tử chung.