Ôn tập Toán 8 - HK2

Giải pháp ơn tập tốn 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012
1. Phương trình bậc nhất một ẩn
*Bậc của phương trình là số mũ cao nhất của ẩn. Thay ẩn x bằng một ẩn khác ta có phương trình theo ẩn mới.
*Cách giải :
0
b
ax b ax b x
a
+ = ⇔ = − ⇔ = −
: phương trình có duy nhất một nghiệm.
*Giải các phương trình chứa dấu ngoặc, phương trình chứa mẫu là các hằng số:
a)
( ) ( )
3 2 2 4 2 1x x x− − = −
(
0x
=
) b)
( ) ( )
5 2 3 4 8 2x x x x− − = +
(
5
22
x =
)
c)
3 5 5 2 3 2
4
2 4 5
x x x− − +
− = −

(
32
7
x =
) d)
( )
2 1
2 2 3
1
2 5 6
x
x x
x
−
− +
+ + = −
(
3
67
x = −
)
e)
2 1 2
0,5 0,25
5 4
x x
x
+ −
− = +
(

1
2
x =
) f)
109 107 105 103
4 0
91 93 95 97
x x x x
− − − −
+ + + + =
(
200x
=
)
2. Phương trình có hệ số bằng chữ:
*Giải và biện luận phương trình :
0ax b+ =
(1).
 Biến đổi phương trình về dạng
ax b= −
(1).
 Nếu
0a =
thì phương trình (1) có dạng :
0x b= −
o Nếu
0b =
thì phương trình có vơ số nghiệm
x
.

o Nếu
0b ≠
thì phương trình vơ nghiệm.
 Nếu
0a ≠
thì phương trình bao giờ cũng có duy nhất một nghiệm
b
x
a
= −
.
*Giải và biện luận các phương trình :
a)
( )
2 1 3m x x− = +
*
1
2
m =
ptvn *
1
2
m ≠
pt có duy nhất một nghiệm
3
2 1
m
x
m
+

=
−
.
b)
( ) ( )
3 2 2 3m mx x− = +
*
2m
=
ptvn *
2m
= −
ptvsn *
2 2m v m
≠ − ≠
µ
pt có duy nhất một nghiệm
3
2
x
m
=
−
c)
( )
2 3m mx x− = +
*
m
∀
phương trình ln có nghiệm

2
2 3
1
m
x
m
−
=
+
d)
( ) ( )
3 3 3mx m x m− = −
*
1
3m =
;
2
3m = −
ptvsn *
3m
≠ −
và
3m
≠
ptvn
3. Phương trình tích
*
( ) ( )
( )
. 0

1
A x B x =
⇔
( )
0A x =
( 2 ) hoặc
( )
0B x =
( 3 )
* Để giải (1), ta giải từng phương trình (2), (3), rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.
* Giải các phương trình :
a)
( ) ( )
2 1 3 0x x− − =
S={0,5;3} b)
( ) ( )
1,3 2,6 0,2 0x x− − =
S={2;0,2}
c)
( )
( )
2
3 2 2 1 0x x x− + + =
S={1,5; -1} d)
( ) ( ) ( )
2 3 2 4 1 0x x x− − + =
S={1,5;2;-0,25}
e)
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 1 3 4 5x x x x− + = − −

S={3} f)
( ) ( )
2
4 2 2 5x x x− = + −
S={-2;
7
3
}
g)
( ) ( )
2
2 1 3 6x x x x− + = + −
S={-3;0} h)
2
3 2 0x x+ + =
S={-2;-1}
i)
( ) ( )
2 2
2 3 1 0x x− − + =
S={
2
3
;4} j)
( )
( )
2
2
2
5 7 2 5x x x− + = −

S={1;2;3;4}
k)
2
2 3 0x x+ + =
S=
∅
l)
2
3 14 5 0x x+ − =
S={
1
3
;-5}
m)
3 2
1 0x x x+ + + =
S={-1} n)
( )
( )
2 2
1 3 8 9x x x x
− + = + −
S={-2;1;3}
4. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
*So sánh các giá trị ẩn vừa tìm, nếu giá trị nào thỏa mãn đk xác định thì đó chính là nghiệm của phương trình đã cho.
*Giải các phương trình :
a)
3
4
2

x
x
−
=
+
S={
11
3
−
} b)
2
3 5
2
x
x
x
−
= +
S={
6
5
−
}
1
Giải pháp ơn tập tốn 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012
c)
( ) ( )
5 2 2 3
3
2 3

x x
x x
− −
− =
+ +
S={- 4,5} d)
2
3 2
2
3
x x
x
x
− −
+ =
+
S=
∅
e)
2 2
1 2
0
4 6x x x
− =
− + −
S={- 1} f)
2
1 1 2 1
1
x x

x x x x
− −
− =
+ +
S={3}
g)
5
2 1
3 2
x
x
= −
+
S={ 1;
7
6
−
} h)
3 2
2 9 2
1
1 1 1
x x
x x x x
+
− + =
− − + +
S={-1;2;3}
i)
2 2

1 1
1 1x x
x x
   
+ + = − −
 ÷  ÷
   
S={- 1} f)
2
2
3 1
3 4 0x x
x x
− + − + =
S =
{ }
1
LUYỆN TẬP
1/Giải các phương trình :
a)
( ) ( )
2 3 3 5 2 1x x x− − = −
b)
( ) ( )
7 3 3 4 6 3 2x x x x
+ − = −
c)
3 2 1 3 2
7
3 4 2

x x x
− − −
− = −

d)
( )
2 3
3 3 5
2 1
2 5 6
x
x x
x
+
− −
− + = −
e)
1 2 1 4
3
2 5 3
x x x
+ − −
− = −
f)
( ) ( )
2
1 3
5
2
3 2

x x
x
− +
−
− =
g)
1 2 3 4
79 78 77 76
x x x x
+ + + +
+ = +
h)
19 17 15 13
4 0
91 93 95 97
x x x x
− − − −
+ + + + =
2/Giải các phương trình:
a)
( ) ( )
2 3 4 5 0x x− + =
b)
( ) ( )
2,4 1,2 0,25 0,75 0x x
− − =
c)
( )
( )
2

3 2 3 0x x x
− + + =
d)
( ) ( ) ( )
3 3 1 2 3 0x x x
+ + − =
e)
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 1 2 5 4x x x x
− − = − +
f)
( ) ( )
2
9 3 5 3x x x
− = − +
g)
2
5 3 0x x− =
h)
( ) ( )
2
2 2 3 5 6x x x x
− + = − +
i)
2
6 0x x
− − =
j)
( ) ( )
2

3 2 1 2 1x x x x
+ + = + −
k)
3 2
4 5 0x x x− + =
l)
3
7 6 0x x− − =
m)
3 2
3 3 1 0x x x+ + + =
n)
( ) ( )
2 2
2 5 3 4 0x x
+ − − =
o)
( )
( )
2
2
2
5 3 4 3x x x
+ − = −
p)Cho phương trình (ẩn x): 4x
2
– 25 + k
2
+ 4kx = 0
1/ Giải phương trình với k = 0 2/Tìm các giá trò của k để phương trình nhận x = – 2 làm nghiệm.

q)Cho phương trình (ẩn x): x
3
+ mx
2
– 4x – 4 = 0
1/Xác đònh m để pt có một nghiệm x = 1. 2/Với giá trò m vừa tìm được, tìm các nghiệm còn lại của phương trình.
3/Giải các phương trình:
a)
1
3
2
x
x
+
=
−
b)
2
1 5
3
x
x
x
+
= −
c)
( ) ( )
5 2 2 3
3
2 3

x x
x x
− −
− =
+ +
d)
2
2 3
3
3
x x
x
x
+ −
+ =
−
e)
2 2
3 1
0
6 4x x x
− =
+ − −
f)
2
1 4 2 1
1
x x
x x x x
− −

+ =
+ +
g)
5
2 1
3 2
x
x
= +
−
h)
( )
3
2
2 2 2
3 1 1
1 4 4
: .
2 2 2 1 2 1
x x
x x x
x
x x x x x
+ − −
− −
− =
+ + − −
i)
2 2
1 1 1 1

: 0
4 4 4 4 2 2x x x x x x
   
− + =
 ÷  ÷
+ + − + + −
   
j)
2
1 2 1
. 2 0
1
x
x
x x x x
−
  
− + − =
 ÷ ÷
+ +
  

k)
3
2 2 2
1 1 1
0
1 1 2 1 1
x x
x x x x x

−
 
− + =
 ÷
− + − + −
 
4/Giải và biện luận các phương trình:
a)
( )
2 1x m mx− = +
b)
( )
2 2 3 3m mx x− = −
c)
( ) ( )
3 1 3 1m x m mx− + = −
d)
2
3m x x= −
.
5/PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
* Cách 1: Để giải các Pt bậc cao, ta biến đổi, rút gọn để dưa Pt về dạng Pt có vế trái là một đa thức bậc cao, vế
phải bằng 0, vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa Pt về dạng pt tích để giải
2
Giải pháp ơn tập tốn 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012
* Cách 2: Đặt ẩn phụ
*Giải các phương trình:
Vd 1 : 3x
4
– 4x

3
+ 1 = 0 Giải: Ta có 3.1
4
– 4.1
3
+ 1 = 0 Suy ra (x – 1)Q
1
(x) = 0
Ta xác đònh Q
1
(x) bằng Sơ đồ Horner.
3 -4 0 0 1
1 3 -1 -1 -1 0
Do đó Q
1
(x) = 3x
3
– x
2
– x – 1 Nhận xét rằng Q
1
(1) = 0 suy ra Q
1
(x) = (x – 1)Q
2
(x) Ta xác đònh Q
2
(x) bằng cách sử
dụng quy tắt Sơ đồ Horner :
3 -1 -1 -1

1 3 2 1 0
Suy ra: Q
2
(x) = 3x
2
+ 2x + 1, không phân tích thành nhân tử được nữa.
Do đó, ta có: 3x
4
– 4x
3
+ 1 = (x – 1)
2
(3x
2
+ 2x + 1) = 0
Chó ý: + NÕu ®a thøc cã tỉng c¸c hƯ sè b»ng 0 th× ®a thøc chøa nh©n tư (x – 1).
+ NÕu ®a thøc cã tỉng c¸c hƯ sè cđa c¸c h¹ng tư bËc ch½n b»ng tỉng c¸c hƯ sè cđa c¸c h¹ng tư bËc lỴ th× ®a thøc chøa
nh©n tư (x + 1).
+NÕu ®a thøc kh«ng cã nghiƯm nguyªn nhng ®a thøc cã nghiƯm h÷u tû .Trong ®a thøc víi hƯ sè nguyªn nghiƯm h÷u tû
nÕu cã ph¶i cã d¹ng
p
q
trong ®ã p lµ íc cđa h¹ng tư tự do, q lµ íc d¬ng cđa h¹ng tư cao nhÊt.
Vd 2 : 2x
3
– 5x
2
+ 8x – 3 = 0 NghiƯm h÷u tû nÕu cã cđa pt trªn lµ : (- 1/1) ; (-1/2) ; 1/1; 1/2;(- 3/1);(- 3/2); 3/1 ;3/2.
KiĨm tra x =1/2 lµ nghiƯm nªn vế trái pt chøa nh©n tư (x -
1

2
) hay (2x - 1). Do ®ã ta t×m c¸ch t¸ch c¸c h¹ng tư ®Ĩ xt
hiƯn nh©n tư chung (2x - 1). Ta có 2x
3
– 5x
2
+ 8x– 3 = 2x
3
– x
2
– 4x
2
+ 2x + 6x – 3
=x
2
(2x – 1)– 2x(2x –1) + 3(2x –1) =(2x– 1)(x
2
– 2x + 3) = 0
a)(x+1)
2
(x+2)+(x – 1)
2
(x – 2) = 12 S={1} b) x
4
+ x
2
+ 6x – 8 = 0 S={1;-2} c)(x – 1)
3
+ (2x + 3)
3

= 27x
3
+8
S={3;-1/2;-2/3}
d) x
4
+ x
3
+ x
2
+ x + 1 = 0 S=
∅
e) x
2
+ x + 1 = 0 S=
∅
f) x
2
- x + 1 = 0 S=
∅
g)(x
2
+ x - 2)( x
2
+ x – 3)=12 S={-3; 2} h) (x – 4)( x – 5)( x – 6)( x – 7) = 1680 S={- 1; 12}
i)(x
2
– 6x+9)
2
–15(x

2
– 6x+10)=1 S={-1;7} j) (x
2
+ 1)
2
+ 3x(x
2
+ 1) + 2x
2
= 0 S={ - 1 }
*LUỸ THỪA BẬC n CỦA MỘT NHỊ THỨC (a + b)
n

Cách xác định hệ số của khai triển (a + b)
n
dùng tam giác Pa-xcan
Đỉnh 1
Dòng 1(n = 1) 1 1
Dòng 2(n = 1) 1 2 1
Dòng 3(n = 3) 1 3 3 1
Dòng 4(n = 4) 1 4 6 4 1
Dòng 5(n = 5) 1 5 10 10 5 1
Dòng 6(n = 6) 1 6 15 20 15 6 1
Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k (k
≥
1).
Với n = 4 thì (a + b)
4
= a
4

+ 4a
3
b + 6a
2
b
2
+ 4ab
3
+ b
4
Với n = 5 thì (a + b)
5
= a
5
+ 5a
4
b + 10a
3
b
2
+ 10a
2
b
3
+ 5ab
4
+ b
5
* Khi giải Pt bậc 4 dạng (x + a)
4

+ (x + b)
4
= c ta thường đặt ẩn phụ y = x +
a + b
2
* Luyện giải các Pt :
a) 6x
4
+ 7x
3
– 36x
2
– 7x + 6 = 0 b) (x + 1)
4
+ (x – 3)
4
= 82 c) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24
d)(12x + 7)
2
(3x + 2)(2x + 1) = 3 e)(x – 1)
5
+ (x + 3)
5
= 242(x + 1) f) (x + 1)
3
+ (x - 2)
3
= (2x – 1)
3
6/Giải bài tốn bằng cách lập phương trình

* Dạng 1 : Dạng tốn liên quan đến số học.
3
Giải pháp ôn tập toán 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012
- Cách viết số trong hệ thập phân.
- Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm…; điều kiện của các chữ số.
Ví dụ : “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau được
một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đã cho.
Giải Gọi chữ số hàng chục là x .Điều kiện x
∈
N, 0 < x < 10.
Chữ số hàng đơn vị là : 16 – x
Số đã cho được viết 10x + 16 - x = 9x + 16
Đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số mới được viết : 10 ( 16 – x ) + x = 160 – 9x
Số mới lớn hơn số đã cho là 18 nên ta có phương trình : (160 – 9x) – (9x + 16) = 18
Giải phương trình ta được x = 7 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy chữ số hàng chục là 7.Chữ số hàng đơn vị là 16 – 7 = 9. Số cần tìm là 79.
* Dạng 2 : Dạng toán về chuyển động
Trong dạng toán chuyển động các đại lượng quãng đường, vận tốc, thời gian, mối quan hệ của chúng qua công thức s =
v.t hoặc đối với chuyển động trên sông có dòng nước chảy. Thì : v
xuôi
= v
Thực
+ v
dòng nước
; v
ngược
= v
Thực
- v
dòng nước

Ta xét bài toán sau : Để đi đoạn đường từ A đến B, xe máy phải đi hết 3giờ 30phút; ô tô đi hết 2giờ 30phút.
Tính quãng đường AB. Biết vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc xe máy là 20km/h.
Tóm tắt:
Đoạn đường AB >
t
1
= 3 giờ 30 phút = 3,5 giờ; t
2
= 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ
v
2
lớn hơn v
1
là 20km/h Tính quãng đường AB=?
C1: Giải Gọi x (km) là chiều dài đoạn đường AB; điều kiện: x > 0
Vận tốc xe máy :
3,5
x
(km/h)
Vận tốc ôtô :
2,5
x
(km/h)
Ta có phương trình :
20
2,5 3,5
x x
- =
- Giải phương trình trên ta được x = 175(nhận).Vậy chiều dài đoạn đường AB là 175km.
C2: - Nếu gọi vận tốc xe máy là x (km/h) : x > 0

Thì vận tốc ôtô là x + 20 (km/h)
- Vì quãng đường AB không đổi nên ta có phương trình : 3,5 x = 2,5 (x + 20)
Giải phương trình trên ta được: x = 50(nhận). Vậy chiều dài đoạn đường AB là 3,5 . 50 = 175(km).
Tóm lại : Chú ý một điều là nếu gọi vận tốc ôtô là x (km/h) thì điều kiện x > 20
• Dạng 3 : Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng.
+ Trong bài này ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc và biểu thị bằng số 1.
+ Số phần công việc trong một ngày nhân với số ngày làm được là 1.
Bài toán : Hai đội công nhân cùng sửa một con mương hết 24 ngày. Mỗi ngày phần việc làm được của đội I
bằng 1
1
2
phần việc của đội II làm được. Nếu làm một mình, mỗi đội sẽ sửa xong con mương trong bao nhiêu ngày?
Lời giải: Gọi số ngày một mình đội II phải làm để sửa xong con mương là x ( ngày) Điều kiện x > 0 .
4
A
B
Giải pháp ôn tập toán 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012
Trong một ngày đội II làm được 1/x công việc.
Trong một ngày đội I làm được 1
1 1 3
.
2 2x x
=
(công việc ).
Trong một ngày cả hai đội làm được
1
24
công việc.
Ta có phương trình:
1 3 1

2 24x x
+ =
⇔
24 + 36 = x
⇔
x = 60 thoả mãn điều kiện
Vậy, thời gian đội II làm một mình sửa xong con mương là 60 ngày.
Mỗi ngày đội I làm được
3 1
2.60 40
=
công việc.Để sửa xong con mương đội I làm một mình trong 40 ngày.
* Dạng 4 : Dạng toán về năng suất lao động.
Ví dụ : Trong tháng đầu hai tổ công nhân của một xí nghiệp dệt được 800 tấm thảm len. Tháng thứ hai tổ I
vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% nên cả hai tổ dệt được 945 tấm thảm len. Tính xem trong tháng thứ hai mỗi tổ
đã dệt được bao nhiêu tấm thảm len
Theo mối quan hệ giữa các đại lượng trong đề bài ta có bảng sau :
Số thảm len Tổ I Tổ II Cả hai tổ
Tháng đầu x 800 – x 800
Tháng thứ hai
100
115x
( )
100
800120 x−
945
Giải : Gọi số tấm thảm len tổ I dệt được trong tháng đầu là x (x ∈ Z
+
, x < 800)
Trong tháng đầu cả hai tổ dệt được 800 tấm thảm len nên số tấm thảm len tổ II dệt được trong tháng đầu là (800 - x)

Tháng thứ hai tổ I dệt được
100
115
100
15 x
xx =+
(tấm thảm)
Tháng thứ hai tổ II dệt được
100
)800(120
)800(
100
20
)800(
x
xx
−
=−+−
(tấm thảm)
Theo đề bài trong tháng hai cả hai tổ dệt được 945 tấm thảm nên ta có phương trình :
945
100
)800(120
100
115
=
−
+
xx
Giải phương trình, tìm được x = 300 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy : Trong tháng thứ hai tổ I dệt được
345
100
300.115
=
(tấm thảm len), tổ II dệt được
600
100
)300800.(120
=
−
(tấm thảm len)
Chú ý : Bài toán yêu cầu tìm số tấm thảm len tổ I, tổ II dệt được trong tháng thứ hai, trong cách giải trên ta đã
không chọn một trong các đại lượng đó làm ẩn mà chọn số tấm thảm len tổ I dệt được trong tháng đầu làm ẩn. Cách
chọn ẩn này giúp ta lập và giải phương trình một cách dễ dàng hơn, rồi từ đó suy ra đại lượng cần tìm.
Như vậy, khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, thông thường bài toán yêu cầu tìm đại lượng nào thì
nên chọn đại lượng đó làm ẩn (chọn ẩn trực tiếp) nhưng cũng có khi chọn một đại lượng khác làm ẩn (chọn ẩn gián
tiếp) nếu cách chọn ẩn này giúp ta giải bài toán một cách thuận lợi hơn.
* Dạng 5 : Dạng toán về tỉ lệ chia phần.
Ví dụ : Hai đội công nhân cùng tham gia lao động trên một công trường xây dựng. Số người của đội I gấp hai
lần số người của đội II. Nếu chuyển 10 người từ đội I sang đội II thì số người ở đội II bằng
5
4
số người còn lại ở đội I.
Hỏi lúc đầu mỗi đội có bao nhiêu người?
5
D
E E
2 cm
G

3 cm
A C
B
Giải pháp ôn tập toán 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012
Giải : Gọi số người của đội II lúc đầu là x. ĐK : x nguyên dương
Số người của đội I lúc đầu là 2x.
Sau khi chuyển 10 người từ đội I sang đội II thì số người còn lại của đội I là 2x - 10 (người), số người của đội
II là x + 10 (người).
Theo đề bài khi đó số người ở đội II bằng
5
4
số người của đội I nên ta có phương trình : x + 10 =
5
4
(2x - 10)
Giải phương trình, tìm được x = 30 (thỏa mãn điều kiện)
Trả lời : Lúc đầu đội I có 60 người, đội II có 30 người.
*Dạng 6 : Dạng toán có liên quan hình học.
Ví dụ : Lan có một miếng bìa hình tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 3cm. Lan tính rằng nếu cắt từ miếng
bìa đó ra một hình chữ nhật có chiều dài 2cm như hình bên thì hình chữ nhật ấy có diện tích bằng một nửa diện tích của
miếng bìa ban đầu. Tính độ dài cạnh AC của tam giác ABC
Giải : Gọi x(cm) là độ dài cạnh AC .Đk: x ∈ Z
+
, x > 2
Diện tích tam giác ABC là
2
1
3x (cm
2
)

Diện tích hình chữ nhật ADEG là
4
3x
cm
2
và chiều rộng hình chữ nhật là
4
3x
:2 =
8
3x
cm.
Diện tích hình chữ nhật bằng tổng diện tích
hai tam giác BDE và CEG và ta có phương trình :
S
ADGE
= S
BDE
+ S
CEG
⇔
( )
8
3
.2
2
1
8
3
32.

2
1
4
3 x
x
x
x −+






−=
⇔ x = 4 (nhận) Vậy : Cạnh AC của tam giác ABC có độ dài 4cm.
* Dạng 7 : Dạng toán có nội dung vật lý, hóa học
Để lập được phương trình, ta phải dựa vào các công thức, định luật của vật lý, hóa học liên quan đến những đại
lượng có trong đề toán.
Ví dụ : Biết rằng 200g một dung dịch chứa 50g muối. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu gam nước vào dung dịch
đó để được một dung dịch chứa 20% muối?
Giải : Gọi x (g) là lượng nước cần pha thêm vào dung dịch đã cho (x > 0)
Khi đó khối lượng dung dịch là 200 + x.
Nồng độ dung dịch là
x+200
50
Theo đề bài ta có phương trình :
100
20
200
50

=
+ x
⇔ 20(200 + x) = 5000 ⇔ x = 50 (nhận)
Vậy : Lượng nước cần pha thêm là 50 g
* Dạng 8 : Dạng toán có chứa tham số
Ví dụ : Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất mỗi tháng là a% (a là một số cho trước) và lãi
tháng này được tính gộp vào vốn cho tháng sau.
a. Hãy viết biểu thức biểu thị :
+ Số tiền lãi sau tháng thứ nhất;
+ Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất;
+ Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai.
6
Giải pháp ôn tập toán 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012
b. Nếu lãi suất là 1,2% (tức là a = 1,2) và sau 2 tháng tổng số tiền lãi là 48288 nghìn đồng, thì lúc đầu bà An đã
gửi bao nhiêu tiền tiết kiệm?
Giải :
a. Số tiền lãi sau một tháng gửi với lãi suất a% với tiền gửi x nghìn đồng là a%x. Số tiền có được (cả gốc lẫn
lãi) sau tháng thứ nhất : x + a%x nghìn đồng.
Số tiền lại sau hai tháng là : L = a%x + a%(x+a%x) nghìn đồng
b. Thay a = 1,2% là L = 48288 ta được :
144 24
48288
1000000 1000
x
 
+ =
 ÷
 

⇒ x = 2000000 đồng

Bài 1: Năm nay tuổi bố gấp 10 lần tuổi Minh, Bố Minh tin rằng sau 24 năm nữa thì tuổi bố chỉ gấp 2 lần tuổi Minh. Hỏi
năm nay Minh bao nhiêu tuổi. Đs: 3 tuổi
Bài 2: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B mất 8 giờ, và ngược dòng từ B về A mất 10 giờ. Tính vận tốc thực của ca nô
biết vận tốc dòng nước là 2km\h. Đs: 18km/h
Bài 3: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40km\h. đến B người đó làm việc trong 3 giờ rồi quay về A với vận
tốc 30km/h. Biết tổng thời gian cả đi lẫn về hết 6 giờ 30 phút (kể cả thời gian làm việc ở B). Tính quãng đường AB.
Đs: 60 km
Bài 4: Hai ô tô đi từ A đến B, vận tốc ô tô thứ nhất là 40km/h, vận tố ô tô thứ hai là 25km/h, để đi hết quãng đường AB,
ô tô thứ nhất cần ít thời gian hơn ô tô thứ hai là 1 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB. Đs: 100 km
Bài 5: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B mất 2 giờ 30 phút, nhưng khi đi ô tô lại đi với vận tốc lớn hơn vận tốc
dự định là 10 km/h nên nó đến B sớm hơn dự định là 30 phút. Tính quãng đường AB. Đs: 100 km
Bài 6: Hai ô tô đi ngược chiều khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 130 Km. sau 2 giờ thì gặp
nhau. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe đi từ A có vận tốc lớn hơn xe đi từ B là 10 Km.
Đs: 37,5km/h ; 27,5km/h
Bài 7: Một người đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40km/h. Sau khi đi được 1 giờ với vận tốc ấy, người đó
nghỉ 15 phút và tiếp tục đi đến B kịp thời gian dự định thì người đó phải tăng vận tốc thêm 5 km/h. Tính quãng đường
từ tỉnh A đến tỉnh B. Đs: 130 km
Bài 8: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 3 lần chiều rộng. Nếu tăng mỗi cạnh thêm 5m thì diện tích khu
vườn tăng thêm 425 m
2
. Tính các cạnh của khu vườn. Đs: 60 m ; 20m
Bài 9: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B mất 6 giờ và ngược dòng từ B về A mất 7 giờ. Tính vận tốc thực của ca nô biết
vận tốc dòng nước là 2km/h. Đs: 26 km/h
Bài 10: Mẫu số của một phân số lớn hơn tư số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó lên 2 đơn vị thì được
phân số mới bằng ½. Tìm phân số ban đầu. Đs: 1/4
Bài 11: Bạn Hương đi xe đạp từ nhà tới Thành phố Hải Dương với vận tốc trung bình là 15 km/h. Lúc về bạn Hương đi
với vận tốc trung bình 12km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 22 phút. Tính độ dài quãng đường từ nhà bạn
Hương tới Thành phố Hải Dương. Đs: 22 km
Bài 12:Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc dự định 4 km/h. Sau khi đi được nửa quãng đường AB với vận tốc đó,
người ấy đi bằng ô tô với vận tốc 30 km/h, do đó đã đến B sớm hơn dự định 2 giờ 10 phút. Tính chiều dài quãng đường

AB. Đs: 20 km
Bài 13: Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc trung bình 40 km/h và đi từ B về A với vận tốc trung bình 30 km/h.
Tổng thời gian đi và về là 9 giờ 20 phút. Tính quãng đường AB. Đs: 160 km
Bài 14: Một xe máy đi từ A đến B, cùng thời điểm đó một xe đạp đi từ B đến A với vận tốc nhỏ hơn vận tốc xe máy là
24km/h. sau 2 giờ thì hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe ( Biết quãng đường AB dài 92 km).
Đs: 11km/h ; 35km/h
Bài 15: Tìm 2 số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 63 , hiệu của chúng là 9 ? Đs: 36 ; 27
Bài 16:Tìm 2 số tự nhiên biết tổng của chúng là 100. Nếu tăng số thứ nhất lên 2 lần và cộng thêm vào số thứ hai 5 đơn
vị thì số thứ nhất gấp 5 lần số thứ hai. Đs: 75 ; 25
Bài 17 :Hai thùng dầu A và B có tất cả 100 lít .Nếu chuyển từ thùng A qua thùng B 18 lít thì số lượng dầu ở hai thùng
bằng nhau. Tính số lượng dầu ở mỗi thùng lúc đầu. Đs: 68 lít ; 32 lít
Bài 18 :Một người đi xe đạp từ A đén B với vận tốc trung bình 12km/h . Khi đi về từ B đến A; người đó đi với vận tốc
trung bình là 10 km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 15 phút . Tính độ dài quãng đường AB ?
Đs: 15 km
Bài 19 : Có 15 quyển vở gồm hai loại : loại I giá 2000 đồng một quyển , loại II giá 1500 đồng một quyển . Số tiền mua
15 quyển vở là 26000 đồng . Hỏi có mấy quyển vở mỗi loại ? Đs: 7 quyển ; 8 quyển
Bài 20 :Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B đến bến A mất 5h. Tính khoảng
cách giữa hai bến , biết vận tốc dòng nước là 2km/h. Đs: 18 km/h
Bài 21:Một xe máy đi từ A đến B dài 50 km . Lúc về người đó đi theo con đường tắt ngắn hơn lúc đi 14 km nhưng
đường khó đi nên vận tốc chỉ bằng
4
5
vận tốc lúc đi, tuy nhiên thời gian về vẫn ít hơn thời gian đi là 10 phút . Tìm vận
tốc lúc đi Đs: 30 km/h
7
Giải pháp ơn tập tốn 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012
Bài 22:Một người đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h . Đến B người đó nghỉ 30 phút, rồi quay về A với vận tốc 40
km/h. Tính qng đường AB, biết rằng thời gian tổng cộng là 5 giờ . Đs: 100 km
Bài 23 :Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc là 15km/h. Lúc về người đó chỉ đi với vận tốc là 12km/h nên thời
gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút. Tính qng đường AB. Đs: 45 km

Bài 24 :Một người dự định đi từ A đến B mất 3h. Nhưng lúc đi, vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 5 km/h nên đã đến B
sớm 20 phút. Tính qng đường AB. Đs: 120 km
Bài 25 :Hai xe khởi hành cùng một lúc đi từ hai địa điểm A và B cách nhau 70 km và sau một giờ thì gặp nhau. Tính
vận tốc của mỗi xe , biết rằng vận tốc xe đi từ A lớn hơn xe đi từ B 10 km/h . Đs: 40 km/h ; 30km/h
Bài 26 :Thùng thứ nhất chứa 60 gói kẹo, thùng thứ hai chứa 80 gói kẹo. Người ta lấy ra từ thùng thứ hai số gói kẹo
nhiều gấp ba lần số gói kẹo lấy ra từ thùng thứ nhất. Hỏi có bao nhiêu gói kẹo được lấy ra từ thùng thứ nhất, biết rằng
số gói kẹo còn lại trong thùng thứ nhất nhiều gấp hai lần số gói kẹo còn lại trong thùng thứ hai ?
Đs: 20 gói
Bài 27 :Một người đi xe đạp từ A đến B. Một giờ sau, một xe máy cũng đi xe máy từ A đến B và đến B sớm hơn ng ười
đi xe đạp 1 h 30 phút .Tìm vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của xe máy gấp đơi vận tốc của xe đạp và qng đường
AB dài 80 km. Đs: 16 km/h ; 32km/h
Bài 28 :Thư viện của 1 trường THCS có hai kệ sách. Số sách của kệ thứ nhất gấp 3 lần số sách của kệ thứ hai. Nếu
chuyển 30 quyển sách từ kệ thứ nhất sang kệ thứ hai thì số sách của kệ thứ nhất gấp 2 lần số sách của kệ thứ hai. Hỏi
thư viện đó có bao nhiêu quyển sách? Đs: 360 quyển
Bài 29 :Tổng của hai số bằng 70 .Hiệu của
1
3
số này và
2
5
số kia bằng 5.Tìm hai số đó? Đs: 45 ; 25
Bài 30 :Một người đi ơ tơ từ A đến B với vận tốc 40 km/h .Đến B người đó nghỉ lại 2 giờ rồi quay về A với vận tốc
chậm hơn lúc đi là 10km/h. Tổng thời gian cả đi lẫn về là 10 giờ 45 phút ( kể cả thời gian nghỉ lại ở B). Tính qng
đường AB. Đs: 150 km
Bài 31 :Hai đội thanh niên cùng làm chung đã hoàn thành công việc trong 4 ngày . Nếu mỗi đội làm riêng thì đội I
làm nhanh hơn đội II là 6 ngày . Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội cần bao lâu để hoàn thành cả công việc ?
Đs: 6 ngày ;12 ngày
Bài 32: Hai thùng dầu, thùng này gấp đơi thùng kia ,sau khi thêm vào thùng nhỏ 15 lít ,bớt ở thùng lớn 30 lít thì số dầu
thùng nhỏ bằng
4

3
số dầu ở thùng lớn.Tính số dầu ở mỗi thùng lúc ban đầu? Đs : 75 lít ; 150 lít
Bài 33: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 82 m, chiều dài hơn chiều rộng 11m. Tính chiều dài và chiều rộng?
Đs : 15m ; 26m
Bài 34:Hai kho chứa 450 tấn hàng. Nếu chuyển 50 tấn từ kho I sang kho II thì số hàng ở kho I bằng 5/4 số hàng ở kho
II. Tính số hàng trong mỗi kho. Đs : 300 tấn ; 150 tấn
Bài 35:Cho một số có hai chữ số biết rằng tổng hai chữ số là 7 . Nếu viết theo thứ tự ngược lại ta được số mới lớn hơn
số đã cho 27 đơn vị .Tìm số đã cho ? Đs : 25
Bài 36: Một đội đánh cá dự định mỗi tuần đánh bắt 20 tấn cá, nhưng mỗi tuần đã vượt mức 6 tấn nên chẳng những hồn
thành kế hoạch sớm một tuần mà còn vượt mức đánh bắt 10 tấn .Tính mức cá đánh bắt theo kế hoạch ?
Đs : 120 tấn
Bài 37:Một xưởng đóng giầy cần phải hồn thành kế hoạch trong 25 ngày. Thực tế, xưởng đã vượt mức mỗi ngày 6 đơi
nên sau 20 ngày chẳng những hồn thành kế hoạch mà còn làm thêm được 20 đơi giày. Hỏi xưởng phải đóng bao nhiêu
đơi giày theo kế hoạch ? Đs : 500 đơi giầy
Bài 38:Theo kế hoạch, một đội máy cày phải cày mỗi ngày 15 ha.Khi thực hiện, mỗi ngày đội máy cày đó cày 20 ha.Do
đó hồn thành sớm hơn kế hoach 1 ngày.Tính diện tích ruộng mà đội đó nhận cày?
Bài 39:Năm trước cả hai cánh đồng thu hoạch được 650 tạ thóc Năm nay cánh đồng thứ nhất năng suất tăng 50%, cánh
đồng thứ hai năng suất tăng 70% nên tổng số cả hai cánh đồng thu được 1080 tạ thóc. Hãy tính số thóc thu được mỗi
cánh đồng của năm trước ?
Bài 40:Tháng giêng cả hai tổ may được 720 bộ quần áo. Sang tháng thứ hai, do cải tiến kĩ thuật, tổ 1 vượt mức 15%, tổ
2 vượt mức 12% nên cả hai tổ may được 819 bộ quần áo. Hỏi trong tháng hai mỗi tổ may được bao nhiêu bộ quần áo ?
Bài 41:Một phân số có tử kém mẫu số 8 đơn vị, nếu tăng tử số 3 đơn vị và tăng mẫu số 5 đơn vị thì được phân số mới
bằng 3/4. Tìm phân số ban đầu.
Bài 42:Một hình chữ nhật có chu vi 450m. Nếu giảm chiều dài đi 20%, tăng chiều rộng thêm 25% thì được hình chữ
nhật mới có chu vi khơng đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật .
I/BẤT ĐẲNG THỨC
1.So sánh hai số thực
 Cho hai số thực bất kỳ
a
,

b
bao giờ cũng xảy ra một trong ba khả năng sau :

a b<
; “ a nhỏ hơn b ”

a b=
; “ a bằng b ”

a b>
. “ a lớn hơn b ”.
Hệ quả :
 “ a khơng nhỏ hơn b ” thì “ a lớn hơn b ” hoặc “ a bằng b ” ký hiệu :
a b≥
.
 “ a khơng lớn hơn b ” thì “ a nhỏ hơn b ” hoặc “ a bằng b ”, ký hiệu :
a b≤
.
8
Giải pháp ôn tập toán 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012
2.Định nghĩa : Ta gọi hệ thức
a b<
( hay
a b>
,
a b≤
,
a b≥
) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải
của bất đẳng thức.

Tính chất :
*
a b
a c
b c
>

⇒ >

>

( tính chất bắc cầu )
Tương tự :
a b
a c
b c
≥

⇒ ≥

≥

;
a b
a c
b c
<

⇒ <


<

;
a b
a c
b c
≤

⇒ ≤

≤

*
a b a c b c
> ⇒ + > +
Tương tự :
a b a c b c
≥ ⇒ + ≥ +
;
a b a c b c
< ⇒ + < +
;
a b a c b c
≤ ⇒ + ≤ +
*
. . , 0
. . , 0
a b a c b c c
a b a c b c c
>⇒> ∀>

>⇒< ∀<
Tương tự :
. . , 0
. . , 0
a b a c b c c
a b a c b c c
≥ ⇒ ≥ ∀ >
≥ ⇒ ≤ ∀ <

. . , 0
. . , 0
a b a c b c c
a b a c b c c
< ⇒ < ∀ >
< ⇒ > ∀ <

. . , 0
. . , 0
a b a c b c c
a b a c b c c
≤ ⇒ ≤ ∀ >
≤ ⇒ ≥ ∀ <
* Ghi nhớ
Với mọi số thực a bao giờ ta cũng có :
2
0a ≥
“ bình phương của một số thực bao giờ cũng là một số không âm ”.
* Vd1 : Cho
x y
<

hãy so sánh : a)
2 1x
+
và
2 1y +
b)
2 3x
−
và
2 3y−
c)
5
3
x
+
và
5
3
y
+
Bài giải
a)
x y<
⇔
2 2x y<
⇔
2 1 2 1x y+ < +
. b)
x y<
⇔

3 3x y− > −
⇔
2 3 2 3x y− > −
.
c)
x y<
⇔
3 3
x y
<
⇔
5 5
3 3
x y
+ < +
.
* Bài tập:
1/Cho
0a b> >
chứng minh a)
2
a ab>
b)
2
ab b>
c)
2 2
a b>
2/Cho
a b>

chứng minh :
a)
2 3 2 3a b− > −
b)
2 5 2 8a b− > −
c)
( )
7 3 3 3a b− < −
3/So sánh hai số
x
,
y
nếu :
a)
3 5 3 5x y− ≥ −
b)
7 4 7 4x y− < −
4/Cho a, b bất kỳ, chứng minh :
a)
2 2
2 0a b ab+ − ≥
b)
2 2
2
a b
ab
+
≥
c)
2 2

0a b ab+ − ≥
.
III/BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
*Nghiệm của bất phương trình − tập nghiệm của bất phương trình
 Giá trị
x m=
làm cho bất phương trình trở thành một bất đẳng thức đúng thì
x m=
là một nghiệm của bất
phương trình.
 Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình gọi là tập nghiệm của bất phương trình, ký hiệu là S.
* Các phép biến đổi bất phương trình
 Phép chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của bất phương trình mà đổi dấu là phép biến đổi tương đương.
 Khi ta nhân (hoặc chia) hai vế của bất phương trình với cùng một số dương thì được một bất phương trình mới
cùng chiều với bất phương trình đã cho. Khi ta nhân (hoặc chia) hai vế của bất phương trình với cùng một số
âm thì được một bất phương trình mới ngược chiều với bất phương trình đã cho.
*Ví dụ : Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số.
a)
2 4 0x − >
b)
4 3 0x− ≤
c)
2 3 2 3x x− ≥ −
d)
7 3 8 5x x+ < −
e) mx + 1
≥
m
2
+ x

Bài giải 0 2
a)
2 4 0x − >
⇔
2 4x >
⇔
2x >
///////////////////|//////////(
b)
9 3 0x
− ≥
⇔
3 9x
≤
⇔
3x
≤
| ]////////////////////////
0 3 0 1
c)
2 3 2 3x x
− ≥ −
⇔
2 3 2 3x x
+ ≥ +
⇔
5 5x
≥
⇔
1x

≥
. ////////////////////|////[
- 8 0
d)
8 3 7 5x x
+ < −
⇔
8 7 3 5x x
− < − −
⇔
8x
< −
. )////////////////////////////////|////
9
Giải pháp ôn tập toán 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012
e)(m - 1)x
≥
m
2
- 1
0 2 0 2 0
| )//////////////////// //////////////////////////|////////( |
*Bài tập : Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số.
1/a)
( ) ( )
2 1 3 2 3 1x x x x+ − + > − −
Đs:
7
5
x <

b)
( ) ( ) ( )
2 2 3 3 3 2 2 1x x x x
+ − ≤ − + −
Đs: Bptvn
c)
( )
1
1 2
3
x x− ≥ +
Đs:
7
2
x ≤
d)
2 1
3 2 6
x x x
x
−
− < −
Đs:
1
2
x < −
2/a) 2x – 3 > 3( x – 2 ) b) 5( x – 1 ) ≤ 6( x + 2 ) c) 3( x+2 )– 1 > 2( x – 3 )+4
d)( x–2)
2
+ x

2
≥ 2x
2
– 3x – 5 e) 2( 4 - 2x ) + 5 ≤ 15 - 5x f) 3 - 2x ≤ 15 - 5x
3/1)
2 1 1 4 5
2 6 3
x x x− + −
− ≥
2)
3
1
10
23
5
4 −
<
+
+
+ xxx
3)
3
2
2
1 −
>
−
+
xx
x

4)
32
5
43
3
−≥
−
+ x
xx
5) 2+
4
1
3
8
)1(3 −
−<
+ xx
6)
2 7
4
x −
<
12 5
3
x +
7)
x-2 2 5 6 3
18 12 9 6
x x x+ + −
− > −

8)
x 2 3 1 4
18 8 9 24
x x x
+ + − −
− < −
9)
2 1
3
4 8
x x
x
+ −
− + =
10)
2 1 1 4 5
2 6 3
x x x
− + −
− ≥
11)
3
2
2
1 −
>
−
+
xx
x

12)
4
23
10
3
5
22
−
<+
+
xx
13)
5
23
3
2 xx −
<
−
14)
( )
3 x 1
x 2
1
10 5
>
+
−
+
15)
8

51
1
4
21 xx −
>−
−

16)
2
0
3 x
<
−
17)
2
2
2
3
)1(2 −
+≥
+ xx
18)
12
3
3
8
3 −
−≥
−
−

xx
x
19)
2
2
3
4
5
4
−
−>+−
+
xx
x
x
20)
x
xx
+
+
≤−
+
3
2
1
2
53

21)
2 5 7

1
5 2
x x
x
− +
+ ≥ −
4/
1)
3
1 2 5
5
x
x
−
+ > −
2)
2 3 7
1
5 2
x x
x
− +
+ ≥ −

3)
1,5 4 5
5 2
x x− +
≥

4)
1 2 1 5
1
4 8
x x− −
− >
5)
4 1 2 5
6 2 3
x x− −
+ >
6)
2 2
1
3 4
x x
+ −
− <

7)
3
1
−
−
x
x
> 4 8)
30
1
15

8
6
32
10
15
−
−
−
>
+
+
−
xxxx
9) (x – 1)
2
< x(x + 3)
10) x
3
– 2x
2
+3x– 6 < 0 11) 2(x + 2) < a(a – x) 12) x – 1
≥
a(x – a)
5/ Tìm giá trị của m để nghiệm của bpt 4mx > x + 1 là :
a) x > 0 b) x < - 5
III/PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Muốn giải phương trình có chứa giá trị tuyệt đối thông thường ta tìm cách bỏ giá trị tuyệt đối rồi mới có thể giải
phương trình đó.
1/Ví dụ : Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức
a)

3 2 4A x x= − +
nếu
0x
<
hoặc
0x
≥
b)
5 3 12B x x= − − +
nếu
0x
>
hoặc
0x
≤
c)
3 5C x x= − + −
nếu
7x
>
d)
2 3 2D x x= + + +
nếu
2x
< −
hoặc
2x
≥ −
.
2) Một số phương pháp thường dùng giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:

2.1 Phương pháp 1: Xét từng khoảng giá trị của ẩn : Nếu ẩn nằm trong nhiều dấu giá trị tuyệt đối thì với
phương pháp trên ta phải xét nhiểu trường hợp, trong đó có thể có những trường hợp không xảy ra. Do đó để
cho gọn, người ta thường xét từng khoảng giá trị của ẩn.
a. Cơ sở toán học: Sử dụng định lí về dấu của định lí bậc nhất ax + b (a ≠ 0)
b. Ví dụ minh họa:
c. Ví dụ: Giải các phương trình :
Vd1: 3x
2
+ 2x-1 = 0 (1) Đs: x
1
=
3
1
; x
2
=
3
1
−
Vd 2: 2x - 1=2x -3 (2) Đs: x = 1.
Vd 3: x - 1=3x -2 (3) Đs: x
1
=
2
1
; x
2
=
4
3

Vd 4 : 2.x -5+4-x =11 (4) Đs: x
1
= 1; x
2
=
3
1
8
10
Giải pháp ôn tập toán 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012
2.3) Phương pháp 3: Bình phương hai vế
a. Cơ sở toán học:
Với A ≥0, B ≥ 0 , ta có A = B ⇔ A
2
= B
2

b. Ví dụ minh họa. Giải các phương trình :
Vd1: 2x - 1=2x -3 (1) Đs: x = 1. Vd 2: x - 1=3x -2(2) Đs: x
1
=
2
1
; x
2
=
4
3
2.4) Phương pháp 4: Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ: Giải phương trình 3x

2
+ 2x-1 = 0 (1) Đs: x
1
=
3
1
; x
2
=
3
1
−
2.5) Phương pháp 5: Đưa về giải bất phương trình
a. Cơ sở toán học : Sử dụng các tính chất về giá trị tuyệt đối
b. Ví dụ minh họa: Giải các phương trình :
Vd 1: 1 – 2x = 2x -1 (1) Đs: x ≥ ½ Vd 2: x -2+ 3- x = 1 (2) Đs: 2 ≤ x ≤3
3/ Một số bài tập áp dụng. Giải các phương trình sau:
a)5x-1= 5+3x b)x-3= (x-3)
2
c)x +2+ x-3=7 d)x
2
+ 2x +3+ x-1=6 e)x(x-1)= x
2
+ x
IV/GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Để giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta cũng phải khử dấu giá trị tuyệt đối như giải phương trình
chứa dấu giá trị tuyệt đối.
1) Dạng 1: a/ Với a là hằng số dương ta có: f(x)≤ a ⇔ -a ≤ f(x) ≤ a b/ f(x)≤ g(x) ⇔ -g(x) ≤ f(x) ≤ g(x)
Giải các bất phương trình Vd1: x – 1 < 3 Đs: - 2 < x < 4
Vd 2 : 2x – 1 < x Đs:

1x
3
1
<<
Vd 3 : 32x -1 < 2x+1 Đs:
1x
4
1
<<
2) Dạng 2:
a/ f(x)> a ( a là hằng số dương)



>
−<
⇔
a)x(f
a)x(f
b/f(x)> g(x)



>
−<
⇔
)x(g)x(f
)x(g)x(f
Vd : Giải bất phương trình : 3x -5 > 10 Đs:
5x ≥

hoặc
3
5
x −≤
3) Dạng 3 : + f(x)≥g(x) ⇔ f(x)
2
≥g(x)
2
+ f(x)< g(x) ⇔ f(x)
2
< g(x)
2

Vd : Giải bất phương trình: 2x -1>2x+3 Đs: x < - ½
4) Một số bài tập áp dụng.
1/Giải các bất phương trình:
a/2x -1≤ 5 b/2x -3-4x <9 c/2x -3≥ 7 d/3x-2+5x >10 e/3x-2< 4 f/ 3-2x< x+1
11
2.2
Giải pháp ôn tập toán 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012
2/Giải các bất phương trình sau
a/x +1> x-3 b/x-1>x+2-3 c/x+1+x-5>8 d/x-3+x+1<8 e/x-2-x≥ 0 f/x
2
+2x-5<7
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC BIỂU THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Cơ sở lí thuyết:
a) A ≥ A Đẳng thức xảy ra khi A ≥ 0 b) A+B ≤ A +BĐẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A.B ≥ 0
c) A-B ≤ A-BĐẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A.B ≥0
d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A trên khoảng (a,b) cần chứng minh hai bước:
- Chứng tỏ rằng: A≥ k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến thuộc khoảng (a,b)

- Chỉ ra trường hợp xảy ra đẳng thức.
e) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A trên khoảng (a,b) cần chứng minh hai bước:
- Chứng tỏ rằng: A≤ k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến thuộc khoảng (a,b)
- Chỉ ra trường hợp xảy ra đẳng thức.
2.Một số chú ý khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu trị tuyệt đối.
a/ Khi giải toán cực trị, nhiều khi ta cần xét từng khoảng giá trị của biến, sau đó so sánh các giá trị của biểu thức
trong các khoảng ấy để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x-2 + x-3
Giải:
X
x – 2
- + +
x – 3
- - +
+ Xét x < 2 ta có A = 2-x +3-x = 5-2x Do x<2 nên -2x > -4 ⇒ A>1 (1)
+Xét khoảng 2≤ x < 3 ta có A = x-2+3-x = 1 (2)
+Xét khoảng x ≥ 3 ta có A = x-2+x-3 Do x ≥3 nên 2x ≥6 ⇒ A ≥ 1 (3)
So sánh (1),(2) và (3) ta có giá trị nhỏ nhất A = 1 khi và chỉ khi 2≤ x ≤3
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x+x-1 Đs: MinB = 1 ⇔ 0≤x≤1
b/ Khi giải bài toán cực trị, nhiều khi ta nên đổi biến bằng cách đặt ẩn phụ
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (3x-1)
2
-43x-1+5 Đs: MinA = 1 ⇔ x
1
= 1; x
2
=
3
1−
c/ Khi giải bài toán cực trị, nhiều khi cần sử dụng các hằng bất đẳng thức

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = 2x+2x-5 Đs: MinM = 5 khi x =
2
5
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =x+x-1 Đs: MinB = 1 ⇔ 0≤ x ≤1
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x-2+x-3 Đs: MinA = 1 ⇔ 2≤ x ≤3
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x-1+x-7+x-9 Đs: MinC = 8 ⇔ x =7
d/ Khi giải bài toán tìm cực trị, nhiều khi ta còn dùng đồ thị để tìm cực trị
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của y = x-1+x-3Giải Ta có bảng giá trị
x
x -1
- + +
x -3
- - +
-2x +4 với x<1
⇒ y = 2 với 1≤x<3
2x-4 với x ≥3
Vẽ đồ thị của hàm số y = x-1+x-3 trong 3 trường hợp trên. Nhìn vào đồ thị ta thấy Miny = 2 ⇔ 1≤x≤3
3/Một số bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a/ A = x-3+x-7 b/ B = 2x-3+2x-1 c/ C = x
2
– x+1+x
2
–x-2 d/ D = x
2
+ x+ 3+x
2
+x-6
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức : A = x -
2

+y-1 trong đó x+y= 5
12
1
3
0
0
2
3
0
0
Giải pháp ôn tập toán 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012
HD: a/Áp dụng a+b≤a+b ⇒ A ≤ x+
2
+y+1=
2
+6 ⇒ MaxA =
2
+6
b/ Áp dụng a-b≥a-b ⇒ A≥ x-
2
+y-1= 4 -
2
⇒ MinA = 4 -
2

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Trong quá trình giảng dạy và làm toán, tôi đã hệ thống được một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, hi
vọng sẽ giúp các em học sinh biết lựa chọn phương pháp thích hợp khi giải bài toán loại này.
Phương pháp 1 : Đưa về dạng tích
Biến đổi phương trình về dạng : vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên.

Thí dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
y
3
- x
3
= 91 (1)
Lời giải : (1) tương đương với (y - x)(x
2
+ xy + y
2
) = 91 (*) Vì x
2
+ xy + y
2
> 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0.
Mặt khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; x
2
+ xy + y
2
đều nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau :
y - x = 91 và x
2
+ xy + y
2
= 1 ; (I)
y - x = 1 và x
2
+ xy + y
2
= 91 ; (II)

y - x = 3 và x
2
+ xy + y
2
= 7 ; (III)
y - x = 7 và x
2
+ xy + y
2
= 13 ; (IV)
Đến đây, bài toán coi như được giải quyết.
Phương pháp 2 : Sắp thứ tự các ẩn
Nếu các ẩn x, y, z, có vai trò bình đẳng, ta có thể giả sử x ≤ y ≤ z ≤ để tìm các nghiệm thỏa mãn điều kiện này. Từ
đó, dùng phép hoán vị để => các nghiệm của phương trình đã cho.
Thí dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
x + y + z = xyz (2).
Lời giải :
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}.
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3.
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).
Thí dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
1/x + 1/y + 1/z = 2 (3)
Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x, y, z, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. Ta có :
2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = 1.
Thay x = 1 vào (3) ta có :
1/y + 1/z + 1 = 2 => 1 = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ 2
=> y = 1 => 1/z = 0 (vô lí)

hoặc y = 2 => 1/z = 2 => z = 2.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (3) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 2).
Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất chia hết
Phương pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc tìm nghiệm của phương
trình.
Thí dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
x
2
- 2y
2
= 5 (4)
Lời giải : Từ phương trình (4) ta => x phải là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k thuộc Z) vào (4), ta được :
4k
2
+4k + 1 - 2y
2
= 5
tương đương 2(k
2
+ k - 1) = y
2

=> y
2
là số chẵn => y là số chẵn.
Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có :
2(k
2
+ k - 1) = 4t
2

tương đương k(k + 1) = 2t
2
+ 1 (**)
Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t
2
+ 1 là số lẻ => phương trình (**) vô nghiệm.
Vậy phương trình (4) không có nghiệm nguyên.
Thí dụ 5 : Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn :
x
3
+ y
3
+ z
3
= x + y + z + 2000 (5)
Lời giải : Ta có x
3
- x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (với x là số nguyên). Do đó : x
3
- x chia hết
cho 3.
Tương tự y
3
- y và z
3
- z cũng chia hết cho 3. Từ đó ta có : x
3
+ y
3

+ z
3
- x - y - z chia hết cho 3.
Vì 2000 không chia hết cho 3 nên x
3
+ y
3
+ z
3
- x - y - z ≠ 2000 với mọi số nguyên x, y, z tức là phương trình (5) không
có nghiệm nguyên.
Thí dụ 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
xy + x - 2y = 3 (6)
Lời giải : Ta có (6) tương đương y(x - 2) = - x + 3. Vì x = 2 không thỏa mãn phương trình nên (6) tương đương với:
y = (-x + 3)/(x - 2) tương đương y = -1 + 1/(x - 2).
Ta thấy : y là số nguyên tương đương với x - 2 là ước của 1 hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 tương đương với x = 1 hoặc x
= 3. Từ đó ta có nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0).
Chú ý : Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (6) về dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = 1
tương đương (x - 2)(y + 1) = 1.
13
Giải pháp ôn tập toán 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012
Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức
Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá này => các giá trị nguyên của ẩn này.
Thí dụ 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
x
2
- xy + y
2
= 3 (7)
Lời giải :

(7) tương đương với (x - y/2)
2
= 3 - 3y
2
/4
Vì (x - y/2)
2
≥ 0 => 3 - 4y
2
/4 ≥ 0
=> -2 ≤ y ≤ 2 .
Lần lượt thay y = -2 ; 2 ; -1 ; 1 ; 0 vào phương trình để tính x. Ta có các nghiệm nguyên của phương trình là :
(x ; y) thuộc {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)}.
Chắc chắn còn nhiều phương pháp để giải phương trình nghiệm nguyên và còn nhiều thí dụ hấp dẫn khác. Mong các
bạn tiếp tục trao đổi về vấn đề này. Các bạn cũng thử giải một số phương trình nghiệm nguyên sau đây :
Bài 1 : Giải các phương trình nghiệm nguyên :
a) x
2
- 4 xy = 23 ;
b) 3x - 3y + 2 = 0 ;
c) 19x
2
+ 28y
2
=729 ;
d) 3x
2
+ 10xy + 8y
2
= 96.

Bài 2 : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn :
a) 4xy - 3(x + y) = 59 ;
b) 5(xy + yz + zx) = 4xyz ;
c) xy/z + yz/x + zx/y = 3 ;
d) 1/x + 1/y + 1/z = 1/1995.
Phương pháp 5 : Đưa về dạng tổng
Biến đổi phương trình về dạng : vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương.
Thí dụ 8 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x
2
+ y
2
- x - y = 8 (8)
Lời giải : (8) <=> 4x
2
+ 4y
2
- 4x - 4y = 32
<=> (4x
2
- 4x + 1) + (4y
2
- 4y + 1) = 34
<=> |2x - 1|
2
+ |2y - 1|
2
= 34
Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất một dạng phân tích thành tổng của hai số chính phương 3
2
và 5

2
.
Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng :
Giải các hệ trên => phương trình (8) có bốn nghiệm nguyên là (x ; y) Є {2 ; 3) ; (3 ; 2) ; (-1 ; -2) ; (-2 ; -1)}
Phương pháp 6 : lùi vô hạn
Thí dụ 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x
2
- 5y
2
= 0 (9)
Lời giải :
Giả sử (x
0
; y
0
) là nghiệm của (9) thì : x
0
2
- 5y
0
2
= 0 => x
0
chia hết cho 5, đặt x
0
= 5x
1
; (x
1
Є Z), ta có : 25x

1
2
- 5y
0
2
= 0
<=> 5x
1
2
- y
0
2
= 0
=> y
0
chia hết cho 5, đặt y
0
= 5y
1
; (y
1
Є Z).
Từ đó ta có : 5x
1
2
- 25y
1
2
= 0 <=> x
1

2
- 5y
1
2
= 0.
Vậy nếu (x
0
; y
0
) là nghiệm nguyên của (9) thì (x
0
/5 ; y
0
/5) cũng là nghiệm nguyên của (9).
Tiếp tục lập luận tương tự, ta có với k nguyên dương bất kì, cũng là nghiệm nguyên của (9) hay x
0
và y
0
đều chia hết
cho 5
k
với mọi k là số nguyên dương tùy ý. Điều này chỉ xảy ra khi x
0
= y
0
= 0.
Vậy phương trình (9) có nghiệm duy nhất là x = y = 0.
Phương pháp 7 : xét chữ số tận cùng
Thí dụ 10 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 1! + 2! + + x! = y
2

(10)
Lời giải : Cho x lần lượt bằng 1 ; 2 ; 3 ; 4, ta có ngay 2 nghiệm nguyên dương (x ; y) của phương trình (10) là (1 ; 1) và
(3 ; 3).
Nếu x > 4 thì dễ thấy k! với k > 4 đều có chữ số tận cùng bằng 0 ị 1! + 2! + 3 ! + 4! + 5! + + x! = 33 + 5! + + x! có
chữ số tận cùng bằng 3.
Mặt khác vế phải là số chính phương nên không thể có chữ số tận cùng là 3.
Vậy phương trình (10) chỉ có hai nghiệm nguyên dương (x ; y) Є {(1 ; 1) ; (3 ; 3)}.
Thí dụ 11 : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình :
x
2
+ x - 1 = 3
2y + 1
(11)
Lời giải : Cho x các giá trị từ 0 đến 9, dễ dàng xác định được chữ số tận cùng của x
2
+ x - 1 chỉ nhận các giá trị 1 ; 5 ; 9.
Mặt khác, ta thấy 3
2y + 1
là lũy thừa bậc lẻ của 3 nên chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 3 hoặc 7, khác với 1 ; 5 ; 9.
Vậy (11) không thể xảy ra. Nói cách khác, phương trình (11) không có nghiệm nguyên dương.
Bài toán này cũng có thể giải bằng phương pháp sử dụng tính chất chia hết.
Phương pháp 8 : Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc hai
Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai của ẩn, coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất về
nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá trị của các tham số.
Thí dụ 12 :
Giải phương trình nghiệm nguyên :
3x
2
+ y
2

+ 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 (12)
Lời giải :
(12) y
2
+ (4x + 2)y + 3x
2
+ 4x + 5 = 0
14
Giải pháp ơn tập tốn 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012
Ta thấy nếu phương trình có nghiệm thì y ngun => - 4x - 2 ngun, mà x ngun nên ngun
=> ∆'y = x
2
- 4 = n
2
với n Є Z, dùng phương pháp 1 (đưa về dạng tích) => (x + n)(x - n) = 4, ta xác định được x = 2 và x
= -2 .
Vậy phương trình (12) có hai nghiệm ngun (x ; y) Є {(2 ;-5); (-2 ; 3)}.
Thí dụ 13 : Tìm nghiệm ngun của phương trình x
2
- (y + 5)x + 5y + 2 = 0 (13)
Lời giải : Giả sử phương trình ẩn x có nghiệm ngun x
1
, x
2
thì theo định lí Vi-ét ta có :
=> (x
1
- 5)(x
2
- 5) = 2 = 1.2 = (-1)(-2)

=> x
1
+ x
2
= 13 hoặc x
1
+ x
2
= 7
=> y = 8 hoặc y = 2, thay vào (13), phương trình này có 4 nghiệm : (x ; y) Є {(7 ; 8) ; (6 ; 8) ; (4 ; 2) ; (3 ; 2)}.
Chú ý : Một số phương pháp mà các bạn gọi là phương pháp giải phương trình nghiệm ngun nhưng chúng tơi thấy
khơng phải là đặc trưng cho phương trình nghiệm ngun nên khơng giới thiệu. Chẳng hạn có bạn nêu phương pháp
chứng minh nghiệm duy nhất với thí dụ giải phương trình nghiệm ngun 2
x
+ 5
x
= 7
x
. Có bạn viết phương trình về
dạng phương trình bậc 2 ẩn x rồi đặt điều kiện ∆
x
≥ 0 để có miền giá trị của y, phương pháp này thực ra đã được trình
bày ở thí dụ 7, tuy khơng viết biệt thức ∆’
x
. Các bạn có thể làm thêm một số bài tập :
Bài 1 : Tìm x, y ngun thỏa mãn các phương trình :
a) 5x
2
- 4xy + y
2

= 169
b) 3
x
= 4y + 1
Bài 2 : Tìm nghiệm ngun của các phương trình :
a) 5
x
+ 12
x
= 13
x

b) y
4
= x
6
+ 3x
3
+ 1
Bài 3 : Chứng minh rằng phương trình 2
5
t = 2t
5
+ 1997 khơng có nghiệm ngun.
<B.BàI b :< 4>Tìm nghiệm ngun của phương trình x
3
- 3y
3
- 9z
3

= 0.
Bài 5 : Tìm nghiệm ngun của phương trình 2x
2
+ 2y
2
- 2xy + x + y - 10 = 0.
CHUYÊN ĐỀ 20 – PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
 - PHƯƠNG PHÁP 1: Phương pháp đưa về dạng tổng
 Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình có các biểu thức chứa ẩn viết được dưới
dạng tổng các bình phương.
- Biến đổi phương trình về dạng một vế là một tổng của các bình phương các biểu thức chứa ẩn; vế còn lại là
tổng bình phương của các số nguyên (số số hạng của hai vế bằng nhau).
Các ví dụ minh hoạ:
- Ví dụ 1: Tìm
Zyx ∈;
thoả mãn:
16945
22
=+− yxyx
(1)
(1)
01692514444
222
+=+=++−⇔ xyxyx
⇔

( )
( )
2
2

2
2
2 144 25
2 169 0
x y x
x y x

− + = +


− + = +


Từ (I) ta có: Tương tự từ (II) ta có:

( )
( )
2
2
2 2
2
2
2 2
5 5
2 12
;
2 22
5
12 12
2 5

;
19 29
12
x x
x y
y y
x
x x
x y
y y
x


= ± = ±
− =
 


⇒
  
= =

 
=





= ± = ±

− =
 

⇒

  
= =
 
=



m m
m m

( )
( )
2
2
2
2
2 2
0
2 13
13
0
13
2 0
26
13

x
x y
y
x
x
x y
y
x


=
− =



⇒
 
= ±


=





= ±
− =



⇒

 
= ±

=



Vậy
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5; 2 ; 5; 22 ; 5;2 ; 5;22 ; 12; 19 ; 12; 29
,
12;19 ; 12;29 ; 0;13 ; 0; 13 ; 13;26 ; 13; 26
x y
− − − − − − 
 
∈
 
− − − − −
 
 
Ví dụ 2: Tìm
Zyx ∈;
thoả mãn:
2 2
8x y x y+ − − =
(2)

(2)
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 32 4 4 1 4 4 1 34 2 1 2 1 5 3x x y y x x y y x y⇔ − + − = ⇔ − + + − + = ⇔ − + − = +

15
(II)
Giải pháp ơn tập tốn 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012

( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2 1 3
2; 1
3; 2
2 1 5
2 1 5
3; 2
2; 1
2 1 3

x
x x
y y
y
x
x x
y y
y


− =
= = −



⇒
 
= = −


− =



⇒


− =
= = −




⇒
 

= = −

− =



Vậy
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
; 2;3 ; 2; 2 ; 1;3 ; 1; 2 ; 3;2 ; 3; 1 ; 2;2 ; 2; 1x y ∈ − − − − − − − −
Ví dụ 3: Tìm
Zyx ∈;
thoả mãn:
3 3
91x y− =
(1)
(1)
( )
( )
2 2
91.1 13.7x y x xy y⇔ − + + = =
(Vì
( )
2 2
0x xy y+ + >

)

( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
1
6 5
;
91
5 6
. 91.1
91
1
x y
x x
x xy y
y y
x y x xy y
x y
VN
x xy y
 − =

= = −
 


⇒

  
+ + =
= = −

 


− + + = ⇒

− =



⇒


+ + =




Ví dụ 4: Tìm
Zyx ∈;
thoả mãn:
2 2
0x x y+ − =
(2)
( ) ( ) ( ) ( )

2 2
2 2 2 2
0 4 4 4 0 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1
2 2 1 1 0
2 2 1 1 0
2 2 1 1 1
2 2 1 1 0
x x y x x y x y x y x xy
x y x
x y y
x y x
x y y
+ − = ⇒ + − = ⇒ + − = ⇒ + + − + =
 + + = =
 
⇒
 

− + = =
 

⇒

+ + = − = −
 

⇒
 
− + = − =


 

Vậy:
( ) ( ) ( )
{ }
; 0;0 ; 1;0x y ∈ −
 - PHƯƠNG PHÁP 2: Phương pháp cực hạn
 Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình đối xứng
- Vì phương trình đối xứng nên
; ;x y z
có vai trò bình đẳng như nhau. Do đó; ta giả thiết
x y z≤ ≤
; tìm điều
kiện của các nghiệm; loại trừ dần các ẩn để có phương trình đơn giản. Giải phương trình; dùng phép hoán vò để suy
ra nghiệm.
 Ta thường giả thiết
1 x y z≤ ≤ ≤ ≤
Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm
; ;x y z Z
+
∈
thoả mãn:
. .x y z x y z+ + =
(1)
 Nhận xét – Tìm hướng giải:
Ta thấy đây là phương trình đối xứng.
Giả sử
1 x y z≤ ≤ ≤
. Khi đó:

(1)
. . 3 . 3x y z x y z z x y⇒ = + + ≤ ⇒ ≤
(Vì
; ;x y z Z
+
∈
)
{ }
. 1;2;3x y⇒ ∈
* Nếu:
. 1 1 2x y x y z z= ⇒ = = ⇒ + =
(vô lí)
* Nếu:
. 2 1; 2; 3x y x y z= ⇒ = = =
* Nếu:
. 3 1; 3 2x y x y z y= ⇒ = = ⇒ = <
(vô lí)
Vậy:
; ;x y z
là hoán vò của
( )
1;2;3
16
Giải pháp ơn tập tốn 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012
Ví dụ 2: Tìm
; ;x y z Z
+
∈
thoả mãn:
1 1 1

2
x y z
+ + =
(2)
 Nhận xét – Tìm hướng giải:
Đây là phương trình đối xứng.
Giả sử
1 x y z≤ ≤ ≤
. Khi đó:
(2)
1 1 1 3 3
2 1
2
x x
x y z x
⇒ = + + ≤ ⇒ ≤ ⇒ =

Với:
{ }
1 1 2
1 1 2 1;2x y y
y z y
= ⇒ = + ≤ ⇒ ≤ ⇒ ∈

.Nếu:
1
1 0y
z
= ⇒ =
(vô lí)

.Nếu:
2 2y z= ⇒ =
Vậy:
; ;x y z
là hoán vò của
( )
1;2;2
 - PHƯƠNG PHÁP 3: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết
Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm
;x y Z∈
để:
2
2
1
x x
A
x x
+
=
+ +
nhận giá trò nguyên
Ta có:
2 2
2 2 2
1 1 1
1
1 1 1
x x x x
A

x x x x x x
+ + + −
= = = +
+ + + + + +
. Khi đó:
Để A nhận giá trò nguyên thì
2
1
1x x+ +
nhận giá trò nguyên.
( ) ( )
( )
{ }
2 2
1
1 1 1 1;1x x x x U⇒ + + ⇒ + + ∈ = −M

Vì :
( )
2 2
0
1 0; 1 1
1
x
x x x x x
x
=

+ + > ∀ ∈ ⇒ + + = ⇒


= −

¢

Vậy để A nhận giá trò nguyên thì:
0x =
hoặc
1x = −
Ví dụ 2: Tìm
;x y Z∈
thoả mãn:
2 2 2
2 1 2 .y x x y x y x y+ + + = + +
(2)
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 . 1 . 1 . 1 1 0 *y x x x y x⇒ − − − − − + =

Với:
( )
1; * 1 0 1x x= ⇒ = ⇒ =
không phải là ngiệm của phương trình. Nên:
( )
2
1
2 0 **
1
y x y
x
− − + =

−
.
Phương trình có nghiệm nguyên
( ) { }
0
1
1 (1) 1; 1
1
1
x
x U
x
x
=

⇔ ∈ ⇔ − ∈ = − ⇒

=
−

¢
Ví dụ 3: Tìm
;x y Z
+
∈
thoả mãn:
( )
2
3 1 1
x

y+ = +
(3)
Ta có:
(3)
( ) ( )
2
3 1 1 2
x
y y y⇒ = − − = +
.
3
x
là số lẻ
( )
; 2y y⇒ +
là hai số lẻ liên tiếp
( )
; 2 1 ; 2y y y y⇒ + = ⇒ +
là các luỹ thừa của 3, nên:
17
Giải pháp ơn tập tốn 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012

( )
( )
( )
3 *
3 2 3
2 3 **
m
m n

n
y
m n x m n
y

=

+ = ⇒ + = ⇒ <

+ =


 Với:
0; 1 1; 1.m n y x= ⇒ = ⇒ = =
 Với:
1; 1m n≥ ⇒ >
Từ
( ) ( )
( )
( )
( )
3
* ; ** ; 2 1
2 3
y
y y
y


⇒ ⇒ + ≠


+


M
M
( vô lí)
Phương trình có nghiệm nguyên:
1
1
x
y
=


=

 - PHƯƠNG PHÁP 4: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
 Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình mà hai vế là những đa thức có tính biến
thiên khác nhau.
- Áp dụng các bất đẳng thức thường gặp:
*Bất đẳng thức Cô – si:
Cho n số không âm:
1 2 3
; ; ; ;
n
a a a a
. Khi đó:
1 2 3
1 2 3

. .
n
n
n
a a a a
a a a a
n
+ + + +
≥
. Dấu “=” xảy ra
1 2 3

n
a a a a⇔ = = = =
* Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
Cho 2n số thực:
1 2 3
; ; ; ;
n
a a a a
và
1 2 3
; ; ; ;
n
b b b b
. Khi đó:
( ) ( ) ( )
2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3

. . . . . . .
n n n n
a b a b a b a b a a a a b b b b+ + + + ≤ + + + + + + + +
.
Dấu “=” xảy ra
( )
1;
i i
a kb i n⇔ = =
.
*Bất đẳng thứcgiá trò tuyết đối:
. 0
. 0
a b a b
a b
a b a b
 + ⇔ ≥
+ =

− ⇔ <


Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm
;x y Z
+
∈
thoả:
. . .
3

x y y z z x
z x y
+ + =
(1)
Áp dụng BĐT Cô – si. Ta có:
3
3
. . . . . .
3 3. . . 3. . .
x y y z z x x y y z z x
x y z
z x y z x y
= + + ≥ =
.
3
. . 1 . . 1 1x y z x y z x y z⇒ ≤ ⇔ ≤ ⇒ = = =

Vậy nghiệm của phương trình là:
1x y z= = =
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
( )
( )
2
2 2
1 3 1x y x y+ + = + +
(2)
(Toán Tuổi thơ 2)
Theo Bunhiacôpxki,ta có:

( )

( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3 1x y x y x y+ + ≤ + + + + = + +

Dấu “=” xảy ra
1
1
1 1 1
x y
x y⇔ = = ⇒ = =
Vậy nghiệm của phương trình là:
1x y= =
18
Giải pháp ơn tập tốn 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012
Ví dụ 3: Tìm tất cả các số nguyên
x
thoả mãn:

3 10 101 990 1000 2004x x x x x− + − + + + + + + =
(3)
 Nhận xét – Tìm hướng giải:
Ta nhận thấy: 2104 = 3 + 10 + 101 + 990 + 1000 =101 + 2003 và
a a= −
Ta có:(3)
3 10 101 990 1000 2004x x x x x⇒ − + − + + + + + + =
.
Mà
3 3
10 10

101 101 2004 101 2003 101 1
990 990
1000 1000
x x
x x
a a x x x x
x x
x x
 − ≥ −

− ≥ −


≥ ⇒ + ≥ + ⇒ ≥ + + ⇒ + ≤


+ ≥ +


+ ≥ +

Do đó:
( ) ( ) { } { }
1 101 1 101 1;0;1 102; 101; 100x x x− ≤ + ≤ ⇒ + ∈ − ⇒ ∈ − − −
.
Với
101 2004 2003x
= − ⇒ =
(vô lí). Vậy nghiệm của phương trình là:
{ }

102; 100x∈ − −
1) T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n:
2 2 2
3 2 3x y z xy y z+ + ≤ + + −
V× x,y,z lµ c¸c sè nguyªn nªn

2 2 2
3 2 3x y z xy y z+ + ≤ + + −
( )
2 2
2 2 2 2 2
3
3 2 3 0 3 3 2 1 0
4 4
y y
x y z xy y z x xy y z z
   
⇔ + + − − − + ≤ ⇔ − + + − + + − + ≤
 ÷  ÷
   
( )
2 2
2
3 1 1 0
2 2
y y
x z
   
⇔ − + − + − ≤
 ÷  ÷

   
(*) Mµ
( )
2 2
2
3 1 1 0
2 2
y y
x z
   
− + − + − ≥
 ÷  ÷
   

,x y R∀ ∈

( )
2 2
2
3 1 1 0
2 2
y y
x z
   
⇒ − + − + − =
 ÷  ÷
   
0
2
1

1 0 2
2
1
1 0
y
x
x
y
y
z
z

− =

=


 
⇔ − = ⇔ =
 
 
=

− =



C¸c sè x,y,z ph¶i t×m lµ
1
2

1
x
y
z
=


=


=

PHƯƠNG PHÁP 5: Phương pháp lựa chọn
Phương pháp: Phương pháp này được sử dụng với các phương trình mà ta có thể nhẩm (phát hiện dể dàng) được
một vài giá trò nghiệm
- Trên cơ sở các giá trò nghiệm đã biết. Áp dụng các tính chất như chia hết; số dư; số chính phương; chữ số tận
cùng … ta chứng tỏ rằng với các giá trò khác phương trình vô nghiệm
Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm
;x y Z
+
∈
thoả mãn:
6 3 4
3 1x x y+ + =

 Nhận xét – Tìm hướng giải:
Ta thấy với
0; 1x y= = ±
thì phương trình được nghiệm đúng. Ta cần chứng minh phương trình vô nghiệm

với
0x ≠
+ Với
0; 1x y= = ±
thì phương trình được nghiệm đúng
+ Với
0x
>
. Khi đó:
19
Giải pháp ơn tập tốn 8 – Kì II - Năm học 2011 - 2012

( ) ( )
2 2
6 3 6 3 6 3 3 4 3
2 1 3 1 4 4 1 2x x x x x x x y x+ + < + + < + + ⇒ + < < +
(*)
Vì
( ) ( )
3 3
1 ; 2x x+ +
là hai số nguyên liên tiếp nên không có giá trò nào của y thoả (*)
Vậy
0; 1x y= = ±
là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Tìm
;x y Z
+
∈
thoả:

2 2 1
1 3
y
x x
+
+ − =
(2)
(Tạp chí Toán học và tuổi trẻ )
Gọi b là chữ số tận cùng của x ( Với
{ }
0;1;2; ;9b∈
. Khi đó:
( )
2
1x x+ −
có chữ số tận cùng là: 1, 5 hoặc
9. (*)
Mặt khác:
2 1
3
y+
là luỹ thừa bậc lẻ của 3 nên có tận cùng là 3 hoặc 7. (**)
Từ (*) và (**) suy ra phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3: Tìm
;x y Z
+
∈
thoả mãn:
2 2
6 13 100x xy y− + =

(3)
(3)
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2
5
3 4 25
25
y
x y
y n n
 ≤

⇒ − = − ⇒

− = ∈


¥
Do đó:
{ } { }
5; 4; 3;0;3;4;5 3;9;11;13y x∈ − − − ⇒ ∈

Phương trình có nghiệm nguyên:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }

; 5;3 ; 4;9 ; 3;11 ; 0;13 ; 3;11 ; 4;9 ; 5;3x y ∈ − − −
PHƯƠNG PHÁP 6: Phương pháp lùi vô hạn (xuống thang)
Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với những phương trình có (n – 1) ẩn mà hệ số có ước chung khác 1
- Dựa vào tính chất chia hết ta biểu diễn ẩn theo ẩn phụ nhằm “hạ” (giảm bớt) hằng số tự do, để có được
phương trình đơn giản hơn.
- Sử dụng linh hoạt các phương pháp để giải phương trình đó.
Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
3 3 3
3 9 0x y z− − =
(1)
 Nhận xét – Tìm hướng giải:
Ta thấy
( )
3 3 3 3 3 3
3 9 0 3 9 3x y z x y z− − = ⇒ − − M
mà
( )
3 3
3 9 3y z− − M
nên
3
3x M
Ta có: (1)
( )
3 3 3 3
1
3 9 3 3 3 3x y z x x x x⇒ − − ⇒ ⇒ ⇒ =M M M
Khi đó: (1)
( ) ( )

3 3 3 3 3 3 3
1 1 1
27 3 9 3 9 3 3 3 3 3x y z x y z y y y y⇒ − − ⇒ − − ⇒ ⇒ ⇒ =M M M M
.
( )
3 3 3 3
1 1 1
9 27 3 3 3 3 3x y z z z y z⇒ − − ⇒ ⇒ ⇒ =M M M
.
* Tiếp tục sự biểu diễn trên và nếu gọi
0 0 0
; ;x y z
là nghiệm của (1) và thì
( )
0 0 0
; ;
3
x y z
U∈
và
0 0 0
0 ; ; 9x y z≤ ≤
. Thực hiện thử chọn ta được:
0 0 0
0x y z= = =
Vậy nghiệm của phương trình là:
0 0 0
0x y z= = =
c¸c bµi tËp KH¸C
1/Dïng ®Þnh nghÜa 1) Cho abc = 1 vµ

36
3
>a
. . Chøng minh r»ng
+
3
2
a
b
2
+c
2
> ab+bc+ac
Gi¶i
Ta cã hiƯu:
20
Gii phỏp ụn tp toỏn 8 Kỡ II - Nm hc 2011 - 2012

+
3
2
a
b
2
+c
2
- ab- bc ac =
+
4
2

a
+
12
2
a
b
2
+c
2
- ab- bc ac
= (
+
4
2
a
b
2
+c
2
- ab ac+ 2bc) +

12
2
a
3bc =(
2
a
-b- c)
2
+

a
abca
12
36
3

=(
2
a
-b- c)
2
+
a
abca
12
36
3

>0 (vì abc=1 và a
3
> 36 nên a >0 )
Vậy :
+
3
2
a
b
2
+c
2

> ab+bc+ac Điều phải chứng minh
2) Chứng minh rằng
a)
)1.(21
2244
+++++ zxxyxzyx
b) với mọi số thực a , b, c ta có :
036245
22
>+++ baabba
c)
024222
22
+++ baabba
Giải :
a) Xét hiệu :
H =
xxzxyxzyx 22221
222244
++++
=
( )
( ) ( )
22
2
22
1++ xzxyx
H

0 ta có điều phải chứng minh

b) Vế trái có thể viết
H =
( ) ( )
1112
22
+++ bba


H > 0 ta có điều phải chứng minh
c) vế trái có thể viết
H =
( ) ( )
22
11 ++ bba


H

0 ta có điều phải chứng minh
Ii / Dùng biến đổi t ơng đ ơng
1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng :
( )
( )
8
2
2
22


+

yx
yx
Giải :
Ta có
( ) ( )
22
22
22
+=+=+ yxxyyxyx
(vì xy = 1)



( )
( ) ( )
4.4
24
2
22
++=+ yxyxyx
Do đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với

( ) ( ) ( )
224
.844 yxyxyx ++



( ) ( )
044

24
+ yxyx


( )
2
2
2 0x y



BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh
2) Cho xy

1 .Chứng minh rằng :
xyyx +

+
+
+ 1
2
1
1
1
1
22
Giải :
Ta có
xyyx +

+
+
+ 1
2
1
1
1
1
22

0
1
1
1
1
1
1
1
1
222









+

+
+








+

+ xyyyx



( )
( )
( )
( )
0
1.11.1
2
2
2
2

++

+
++

xyy
yxy
xyx
xxy


( )
( )
( )
( )
0
1.1
)(
1.1
)(
22

++

+
++

xyy
yxy
xyx
xyx

( ) ( )
( ) ( )
( )
0
1.1.1
1
22
2

+++

xyyx
xyxy

BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh
Iii / dùng bất đẳng thức phụ
21
Gii phỏp ụn tp toỏn 8 Kỡ II - Nm hc 2011 - 2012
1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1
Chứng minh rằng
3
1
222
++ cba
Giải :
áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)
Ta có
( ) ( )

( )
222
2
.111.1.1.1 cbacba ++++++



( )
( )
222
2
.3 cbacba ++++



3
1
222
++ cba
(vì a+b+c =1 ) (đpcm)
2) Cho a,b,c là các số dơng
Chứng minh rằng
( )
9
111
.

++++
cba
cba
(1)
Giải :
(1)


9111 ++++++++
a
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a


93

++






++






++
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
áp dụng BĐT phụ

2+
x
y
y
x
Với x,y > 0
Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng
Vậy
( )
9
111
.






++++
cba
cba
(đpcm)
Iv / dùng ph ơng pháp bắc cầu
1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng :

accbbacba
222333
3222 +++<++
Giải :
Do a <1

2
a
<1 và b <1 Nên
( ) ( )
0101.1
2222
>+> bababa
Hay
baba +>+
22
1
(1)
Mặt khác 0 <a,b <1


32
aa >
;
3
bb >



332
1 baa +>+
Vậy
baba
233

1+<+
Tơng tự ta có :
acca
cbcb
233
233
1
1
+<+
+<+



accbbacba
222333
3222 +++<++
(đpcm)
2) So sánh 31
11
và 17
14
Giải :
Ta thấy
11
31
<
( )
11
11 5 55 56
32 2 2 2= = <

Mặt khác
( )
14
56 4.14 4 14 14
2 2 2 16 17= = = <
Vởy 31
11
< 17
14
(đpcm)
V/ dùng tính chất tỉ số

ví dụ 4: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ, chứng minh rằng:

222222
)()( dcbadbca ++++++
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
ta có ac + bd


2222
. dcba ++
22
Gii phỏp ụn tp toỏn 8 Kỡ II - Nm hc 2011 - 2012
mà
( ) ( ) ( )
2222
22
2 dcbdacbadbca +++++=+++
( )

22222222
.2 dcdcbaba ++++++

222222
)()( dcbadbca ++++++
B- giải quyết vấn đề
I - các giải pháp thực hiện
1. Khái niệm về cực trị của một biểu thức
Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S nào đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến
(x
0
, y
0
, z
0
)

S mà ta có: P(x
0
, y
0
, z
0
)

P(x, y, , z) hoặc P(x
0
, y
0
, z

0
)

P(x, y, , z) thì ta nói P(x, y, , z) lớn
nhất hoặc nhỏ nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
) trên miền S.
P(x, y, , z) đạt giá trị lớn nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
)

S còn gọi là P đạt cực đại tại (x
0
, y
0
, z
0
) hoặc P
max
tại (x
0
,

y
0
, z
0
). Tơng tự ta có: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
)

S còn gọi là P đạt cực tiểu tại (x
0
, y
0
, z
0
) hoặc P
min
tại
(x
0
, y
0
, z
0
).
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các cực trị của P trên miền S.
2. Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức

Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó là vấn đề rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là:
*) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai bớc:
- Chứng tỏ rằng P

k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên miền xác định S
- Chỉ ra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức.
*) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai bớc:
- Chứng tỏ rằng P

k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên miền xác định S
- Chỉ ra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức.
Chú ý rằng không đợc thiếu một bớc nào trong hai bớc trên.

Ví dụ: Cho biểu thức A = x
2
+ (x - 2)
2

Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A nh sau:
Ta có x
2


0 ; (x - 2)
2

0 nên A

0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0.

Lời giải trên có đúng không?
Giải:
Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới chứng tỏ rằng A

0 nhng cha chỉ ra đợc trờng hợp xảy ra
dấu đẳng thức. Dấu đẳng thức không xảy ra, vì không thể có đồng thời:
x
2
= 0 và (x - 2)
2
= 0 .
Lời giải đúng là:
A = x
2
+ (x - 2)
2
= x
2
+ x
2
- 4x +4 = 2x
2
- 4x + 4
= 2(x
2
-2x - +1) + 2 = 2(x - 1)
2
+ 2
Ta có: (x - 1)
2

0 ,

x


2(x - 1)
2
+ 2

2

x


A

2

x
Do đó A = 2

x = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x = 1.
3. Kiến thức cần nhớ:
Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững:
a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất đẳng thức.
b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:
* a

2


0, tổng quát: a
2k


0 (k nguyên dơng)
Xảy ra dấu đẳng thức

a = 0
* -a
2


0, tổng quát: -a
2k


0 (k nguyên dơng)
Xảy ra dấu đẳng thức

a = 0

23
Gii phỏp ụn tp toỏn 8 Kỡ II - Nm hc 2011 - 2012
*
0

a

. (Xảy ra dấu đẳng thức

a = 0)
* -
aaa

. (Xảy ra dấu đẳng thức

a = 0)
*
baba
++
(Xảy ra dấu đẳng thức

ab

0)
*
baba

(Xảy ra dấu đẳng thức

a

b

0 hoặc a

b

0)
*
2
1
+
a
a
,

a >0 và
2
1
+
a
a
,

a <0
*
ab
baba







+

+
2
2
22


a,b (Xảy ra dấu đẳng thức

a = b)
* a

b, ab >0


ba
11

(Xảy ra dấu đẳng thức

a = b)
II - các biện pháp thực hiện
(Một số dạng bài toán cực trị trong đại số)

Thông qua các bài toán trong sách giáo khoa (sách tham khảo) tôi tiến hành phân loại thành một số dạng cơ bản
nhất về các bài toán cực trị trong đại số ở THCS rồi hớng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải từng
dạng toán đó. Sau đây là một số dạng cơ bản thờng gặp:
Dạng 1: bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức là tam thức bậc hai.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A(x) = x
2

- 4x+1
Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ.
H ớng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi về dạng A(x)

k (k là hằng số) với mọi
gía trị của biến và chỉ ra trờng hợp xảy ra đẳng thức
Lời giải: A(x) = x
2
- 4x+1
= x
2
- 2.2x+1
= (x
2
- 2.2x+4)- 3
= (x- 2)
2
- 3
Với mọi giá trị của x: (x - 2)
2


0 nên ta có:
A(x) = (x- 2)
2
- 3

-3
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3 khi x=2

Đáp số: A(x)
nhỏ nhất
= - 3 với x=2
Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B(x) = -5x
2
- 4x+1
Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ
H ớng dẫn giải:
24
Gii phỏp ụn tp toỏn 8 Kỡ II - Nm hc 2011 - 2012
Gợi ý: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đ a B(x) về dạng B(x)

k (k là hằng số)
với mọi giá trị của biến khi đó giá trị lớn nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng thức
Lời giải: B(x) = -5x
2
4x+1
= -5 (x
2
+
5
4
x) +1
= -5
1
5
2
5
2

5
2
.2
22
2
+





















++
xx
=

1
25
4
5
2
5
2
+















+
x
= -5
1
5
4
5

2
2
++






+
x
= -5
5
9
5
2
2
+






+
x
Với mọi giá trị của x:
2
5
2

+
x


0 nên -5
2
5
2






+
x


0
suy ra: B(x)= -5
2
5
2

+
x

+
5
9



5
9
Vậy B(x)đạt giá trị lớn nhất khi B(x)=
5
9
, khi x = -
5
2
Đáp số: B(x)
lớn nhất
=
5
9
với x = -
5
2

Ví dụ 3: (Tổng quát)
Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
H ớng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải biến đổi sao cho P = a.A
2
(x) + k. Sau đó xét với từng
trờng hợp a>0 hoặc a<0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.
Lời giải:
P = a.A
2
(x) + k
= a (x
2
+
a
b
x) + c

2
2
2
2
2
442
2
a

b
c
a
b
a
b
xxa
+








++=
25