GIẢI THÍCH TỔ HỢP

I
II
I-

- GIẢI TÍCH TỔ HP
GIẢI TÍCH TỔ HP GIẢI TÍCH TỔ HP
GIẢI TÍCH TỔ HP



1.
1. 1.
1.

Giai thừa :
Giai thừa : Giai thừa :
Giai thừa : n! = 1.2 n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n
2.
2. 2.
2.

Nguyên tắc cộng :
Nguyên tắc cộng : Nguyên tắc cộng :
Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách
chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là :
m + n.
3.
3. 3.
3.

Nguyên tắc nhân :
Nguyên tắc nhân : Nguyên tắc nhân :
Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn
hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n.
4.
4.4.
4.

Hoán
Hoán Hoán
Hoán vò :
vò : vò :
vò : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : P
n
= n !.
5.
5.5.
5.

Tổ hợp :
Tổ hợp : Tổ hợp :
Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn :
)!kn(!k
!
n
C
k
n
−

=
6.
6.6.
6.

Chỉnh hợp :
Chỉnh hợp : Chỉnh hợp :
Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách :
= =
−
k k k
n n n k
n!
A , A C .P
(n k)!

Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vò
7.
7.7.
7.

Tam giác Pascal :
Tam giác Pascal :Tam giác Pascal :
Tam giác Pascal :


1
1 1
1 2 1
1 3 3 1

1 4 6 4 1

4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1

0
0
CCCCC
CCCC
CCC
CC
C

Tính chất :

k
1n
k
n
1k
n
k
n
n
k
n
n
n
0
n
CCC
CC,1CC
+
−
−

=+
===

8.
8.8.
8.

Nhò thức Newton :
Nhò thức Newton :Nhò thức Newton :
Nhò thức Newton :




*
n0n
n
11n1
n
0n0
n
n
baC baCbaC)ba( +++=+
−

a = b = 1 :
0 1 n n
n n n
C C C 2
+ + + =

Với a, b ∈ {±1, ±2, }, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :

n
n
1
n
0
n
C, ,C,C
*
nn
n
1n1
n
n0
n
n
xC xaCaC)xa( +++=+
−

Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa
n
n
1
n
0
n
C, ,C,C bằng cách :
- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, a = ±1, ±2,

- Nhân với x
k
, đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, , a = ±1, ±2,
- Cho a = ±1, ±2, ,
∫∫
±±
2
0
1
0
hay hay
β
α
∫

Chú ý :
* (a + b)
n
: a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x :
k n k k m
n
C a b Kx
−
=
Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)
n
: a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.

m r

k n k k
p q
n
C a b Kc d
−
=
Giải hệ pt :



∈
∈
Zq/r
Z
p
/
m
, tìm được k
* Giải pt , bpt chứa C,A
k
n
k
n
: đặt điều kiện k, n ∈ N
*
, k ≤ n. Cần biết đơn giản các giai
thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung.
* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vò (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc,
không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp).
* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp.

* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách
chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ đònh p thật chính xác.
* Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải).
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.