BD HS giỏi : Phương trình với nghiệm nguyên
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (439.24 KB, 16 trang )
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố
9
99
9
Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 06/10/11
Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 11/10/11
Chủ đề
Chủ đề Chủ đề
Chủ đề 7
77
7
Phơng trình với nghiệm nguyên
Buổi 1
Một số phơng pháp giảI phơng trình với nghiệm nguyên
<1>
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc ôn lại về quan hệ chia hết; khái niệm phơng trình
nghiệm nguyên
- Hiểu và giải đợc một số dạng phơng trình với nghiệm nguyên
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng áp dụng, trình bày
Thái độ
- Học sinh tích cực, chủ động giải bài tập
B/Chuẩn bị của thầy và trò
-
GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chứcTổ chức
Tổ chức
sĩ số
sĩ sốsĩ số
sĩ số
II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
(145 phút)
A - Lí thuyết
I. Nhắc lại về phép chia hết.
1. Định nghĩa phép chia hết:
Cho a, b
z (b
0), tồn tại q, r
Z sao cho a = bq + r với 0
r <
b
- Nếu r = 0
a
b
- Nếu r
0
a
/
b
2. Một số tính chất:
a, b, c, d
Z
- Nếu a
0 thì a
a và 0
a
- Nếu a
b và b
c
a
c
- Nếu a
b và b
a
a = b
- Nếu a
b và a
c
a
BCNN(a ; b)
- Nếu a
b và a
c với (b , c) = 1
a
(bc)
- Nếu a
b
ac
b
3. Một số định lí thờng dùng.
- Nếu a
c và b
c
(a b)
c
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
-
N
ế
u a
c v
à
b
d
ab
cd
- Nếu a
b
a
n
b
n
( n nguyên dơng)
*) Một số hệ quả áp dụng:
+
a, b
z và n nguyên dơng ta có (a
n
b
n
)
(a b)
+
a, b
z và n chẵn (n nguyên dơng) ta có (a
n
b
n
)
(a + b)
+
a, b
z và n lẻ (n nguyên dơng) ta có (a
n
+ b
n
)
(a + b)
4. Các dấu hiệu chia hết.
+ D
ấ
u hi
ệ
u chia h
ế
t cho 2:
+ Dấu hiệu chia hết cho 3:
+ Dấu hiệu chia hết cho 4:
+ Dấu hiệu chia hết cho 5:
+ Dấu hiệu chia hết cho 8:
+ Dấu hiệu chia hết cho 9:
+ Dấu hiệu chia hết cho 10:
+ Dấu hiệu chia hết cho 11:
S
ố
c
ó
ch
ữ
s
ố
t
ậ
n c
ù
ng l
à
0;
2;
4;
6;
8.
Số có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Số có 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết
cho 4.
Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Số có 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết
cho 8.
Số có tổng các chữ số chia hết cho 9.
Số có chữ số tận cùng là 0.
Số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn
và tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11.
II. Nhắc lại về tập hợp số nguyên:
+ Tập hợp số nguyên dơng Z
+
= {1; 2; 3 ; . . . }
+ Tập hợp số nguyên âm Z
-
= {-1; -2; -3; . . . }
+ Tập hợp số nguyên Z = {. . . ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; . . . }
III. Nhắc lại về phơng trình nghiệm nguyên:
Giải phơng trình nghiệm nguyên F(x, y, z, . . .) = 0 là tìm tất cả các
nghiệm (x, y, z, . . .) trong đó x, y, z, . . .
Z .
B - Bài tập vận dụng
I. Dạng phơng trình ẩn đơn giản
1 - Phơng trình nghiệm nguyên dạng ax + b = 0
a - Cách giải:( Qua 2 bớc)
+ Giải phơng trình tìm nghiệm.
+ Tìm nghiệm nguyên (x
Z).
b - Ví dụ : Tìm m để phơng trình mx + 3 = 0 có nghiệm nguyên
*) Hớng dẫn :
- Để phơng trình có nghiệm nguyên thì
=
Z
m
x
m
3
0
m là ớc số của 3
m
{1; 2; 3}
c - Bài tập tơng tự: Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm nguyên:
a) (2m 1)x 10 = 0 b) (m
2
2)x + 36 = 0
d - Bài tập phát triển:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố
9
99
9
*
)
B
à
i t
ậ
p 1:
T
ì
m n
N
để
phơng trình
(4n + 3)x
-
8n = 193 c
ó
nghiệm tự nhiên.
*) Hớng dẫn:
(4n + 3)x - 8n = 193
(4n + 3)x = 193 + 8n
x =
3
4
187
3
4
68
3
4
8193
+
+
+
+
=
+
+
n
n
n
n
n
x = 2 +
3
4
187
+
n
Để x
N thì
3
4
187
+
n
N
4n + 3 là ớc số của 187
4n + 3
{1; 17; 187}
n
{2; 46}
*) Bài tập 2: Tìm n
N để phơng trình (n - 1)x - n
3
+ n
2
- 2 = 0 có
nghiệm tự nhiên.
*) Hớng dẫn:
(n - 1)x n
3
+ n
2
- 2 = 0
(n - 1)x = n
3
- n
2
+ 2
x =
1
2
1
2
2
23
+=
+
n
n
n
nn
Để x
N thì
1
2
n
N
n - 1 là ớc số của 2
n
{2; 3}
2. Giải phơng trình nghiệm nguyên dạng ax
2
+ bx + c = 0 (a, b, c
Z)
a - Cách giải:( Qua 2 bớc)
+ Giải phơng trình tìm nghiệm.
+ Tìm nghiệm nguyên (x
Z).
b -Ví dụ :
*) Ví dụ 1 : Giải phơng trình nghiệm nguyên 2x
2
- x - 3 = 0
*) Hớng dẫn:
2x
2
x 3 = 0
(x + 1)(2x 3) = 0
=
=
2
3
1
x
x
Vậy phơng trình có nghiệm nguyên là x = -1.
*) Ví dụ 2: Tìm n
N để phơng trình nx
2
+ (2n - 3)x - 6 = 0 có 2
nghiệm nguyên.
*) Hớng dẫn: nx
2
+ (2n 3)x 6 = 0
(x + 2)(nx 3) = 0
=
=
n
x
x
3
2
- Để phơng trình có 2 nghiệm nguyên thì x =
Z
n
3
- Vì n
N
n = 1 hoặc n = 3
*) Ví dụ 3: Tìm a
Z để phơng trình (a + 1)x
2
- (30 + 10a)x + 200 = 0
có hai nghiệm nguyên lớn hơn 6.
*) Hớng dẫn:
(a + 1)x
2
-
(30 + 10a)x + 200 = 0
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
(x 10)[(a + 1)x 20] = 0
+
=
=
1
20
10
a
x
x
Để phơng trình có 2 nghiệm nguyên lớn hơn 6 thì
>
+
+
6
1
20
1
20
a
Z
a
a = 0 hoặc a = 1.
3 - Phơng trình nghiệm nguyên bậc cao.
a - Cách giải: Dùng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa
phơng trình về dạng phơng trình tích.
b - Ví dụ:
*) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x
3
- 6x
2
+ 11x - 6 = 0
*) Hớng dẫn:
- Đa phơng trình về dạng (x 1)(x 2)(x 3) = 0
- Phơng trình có 3 nghiệm nguyên x = 1; x = 2; x = 3.
*) Ví dụ 2:Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x
3
- 7x
2
+ 15x - 25 = 0
*) Hớng dẫn:
- Đa phơng trình về dạng (x 5)(x
2
2x + 5) = 0
- Nhận xét: x
2
2x + 5 = (x 1)
2
+ 4 > 0 với mọi x
phơng trình chỉ có nghiệm nguyên x = 5.
*) Ví dụ 3:
Giải phơng trình nghiệm nguyên x
3
+ (x + 1)
3
+ (x + 2)
3
= (x + 3)
3
*) Hớng dẫn:
- Đặt y = x 3
x = y + 3
(y + 3)
3
+ (y + 4)
3
+ (y + 5)
3
= (y + 6)
3
2y
3
+ 18y
2
+ 42y = 0
2y(y
2
+ 9y + 21) = 0
- Vì y
2
+ 9y + 21 = (y +
2
9
)
2
+
4
3
> 0
y = 0
x = 3
*) Ví dụ 4:
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
6
7
3
2
22
2
2
12
2
2
2
2
=
+
+
++
+
+
+
++
x
x
xx
x
x
xx
*) Hớng dẫn:
- Đặt y =
22
2
++ xx
= (x + 1)
2
+ 1
1
ta đợc phơng trình nghiệm nguyên đối với y là:
6
7
1
1
=
+
+
y
y
y
y
5y
2
-7y 6 = 0
y = 2 hoặc y = -
5
3
(loại)
- Với y = 2
x
2
+ 2x + 2 = 2
x = 0 hoặc x = - 2
IV.
Củng cố
Củng cố Củng cố
Củng cố -
-
Luyện tập
Luyện tậpLuyện tập
Luyện tập
(30 phút)
- Xem lại lí thuyết và các dạng bài tập đã chữa, giải tiếp các bài tập sau:
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x
2
+ 4x = 19 - 3y
2
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố
9
99
9
Hớng dẫn:
2x
2
+ 4x = 19 - 3y
2
<=> 4x
2
+ 8x + 4 = 42 - 6y
2
<=> (2x + 2)
2
= 6(7 - y
2
)
V
ì
(2x + 2)
2
0 => 7
-
y
2
0 => 7
y
2
m
à
y
Z => y =
2;1;0
+ V
ớ
i y =
1 => (2
x + 2)
2
= 6(7
-
1) <=> 2x
2
+ 4x
-
16 = 0
=> x
1
= 4; x
2
= -2.
+ Với y =
2 =>2x
2
+ 4x - 7 = 0 => x
1
, x
2
Z (loại)
+ Với y = 0 =>2x
2
+ 4x - 19 = 0 => x
1
, x
2
Z (loại)
V
ậ
y c
ặ
p nghi
ệ
m (x, y) c
ủ
a ph
ơ
ng tr
ì
nh l
à
: (4; 1); (4;
-
1); (
-
2; 1); (
-
2;
-
1).
Bài 2: Tỡm tt c cỏc cp hai s nguyờn
( ; )
x y
tha món
4 3 2
1
x x y
+ =
Hớng dẫn:
+) N
u
0
x
=
thay v
o ph
ng tr
ỡ
nh ta
c
1
y
=
+) Nu
2
1 3
x y
= =
vụ nghim
+) Nu
2
1 1 1
x y y
= = =
+) Nu
2
x
ta cú
(
)
( )
(
)
2 2
2
2 4 3 2 2
4 4 4 4 2 1 2 2 1
y x x x x y x x
= + < < +
( )
(
)
2
2
2 4 3 2 4 3
2 2 4 4 4 4 4 2
y x x x x x x x x
= + = + =
(do
2
x
)
3
y
=
+) N
u
2
x
,
t
2
t x
=
. Khi
ú
ta c
ú
2 4 3
1
y t t
= + +
(
)
( )
(
)
2 2
2
2 4 3 2 2
4 4 4 4 2 1 2 2 1
y t t t t y t t
= + +
+ < < + +
( )
(
)
2
2
2 4 3 4 3 2
2 2 4 4 4 4 4 2
y t t t t t t t t
= + + + = + + =
(do
2
t
)
5
y
=
K
t lu
n
( ; ) (0;1);(0; 1);(1;1);(1; 1
);(2;3);(2; 3);( 2;5);( 2 )
; 5
x y
=
Bài 3: Tìm các số x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức x
2
+ xy + y
2
= x
2
y
2
Hớng dẫn:
Với
x 2; y 2
Ta có :
x
2
y
2
4x
2
x
2
y
2
4y
2
x
2
y
2
2(x
2
+y
2
) = x
2
+y
2
+x
2
+y
2
x
2
+y
2
+2
xy
>x
2
+y
2
+xy
+) Với x=
2
phơng trình không có nghiệm nguyên
+) Với y=
2
Thử x=0 => y=0
Thử x=1=> y=-1
Thử x=-1 => y=1
Kết luận: Hệ có nghiệm (0;0) ;(1;-1) ;(-1;1).
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
IV.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà
(5 phút)
- Xem lại lí thuyết và các dạng bài tập đã chữa, giải tiếp các bài tập sau:
Bài 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) sao cho x < y và
1980
x y+ =
Hớng dẫn:
Ta có:
1980 35.55 6 55 6 55
x y= = + =
do đó
;
x y
phải là số vô tỉ dạng:
55; 55
a b
. Ta có:
55 55 6 55
a b+ =
;a,b
N
Do đó: (1): a = 0 ; b = 6 (2): a = 1 ; b = 5 ; (3): a = 2 ; b = 4
(4): a = 3 ; b = 3; (5): a = 4 ; b = 2; (6): a = 5 ; b = 1 ; (7): a = 6 ; b = 0
(1) Nếu:
0
0 0
6 1980
1980
x
a x
b y
y
=
= =
= =
=
(2) Nếu:
55
1 55
5 1375
5 55
x
a x
b y
y
=
= =
= =
=
(3) Nếu:
2 55
2 220
4 880
4 55
x
a x
b y
y
=
= =
= =
=
(4) Nếu:
3 55
3 495
3 495
3 55
x
a x
b y
y
=
= =
= =
=
(5)Nếu:
4 55
4 880
2 220
2 55
x
a x
b y
y
=
= =
= =
=
(6) Nếu:
5 55
5 1375
1 55
55
x
a x
b y
y
=
= =
= =
=
(7) Nếu:
6 55
6 1980
0 0
0
=
= =
= =
=
x
a x
b y
y
Bài 2:
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2
2
3 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
.
b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
2 2
2 3 2 4 3 0
x y xy x y
+ + + =
Hớng dẫn:
a)
2
2
3 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
(xác định với mọi
x
R
)
(
)
2
1 3 5 0 (**)
y x x y + =
1:
y
=
pt (**) có nghiệm
4
3
x
=
1:
y
để pt (**) có nghiệm thì:
2
9 4( 1)( 5) 4 24 11 0
y y y y
= = +
( ) ( )
2
25 5 5 5 1 11
3 0 3 3 1
4 2 2 2 2 2
y y y y y
Vậy tập giá trị của y là
1 11
;
2 2
, do đó
11 1
;
2 2
Max y Min y
= =
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố
9
99
9
b)
(
)
2 2 2 2
2 3 2 4 3 0 3 2 2 4 3 0
x y xy x y x y x y y
+ + + = + + + =
(***)
Để pt (***) có nghiệm nguyên theo x, thì:
( )
(
)
2
2 2
3 2 4 2 4 3 4 8
y y y y y
= + = +
là số chính phơng.
( ) ( )
2
2 2 2
4 8 2 12
y y k k y k
+ = + =
Z
( 2 )( 2 ) 12 ( )
y k y k a
+ + + =
Ta có: Tổng
(
)
2 ( 2 ) 2( 2)
y k y k k
+ + + + = +
là số chẵn, nên
(
)
2 ; ( 2 )
y k y k
+ + +
cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Mà 12 chỉ có thể bằng tích 1.12 hoặc
2.6 hoặc 3.4, nên chỉ có các hệ phơng trình sau:
2 2 2 6 2 6 2 2
; ; ; ;
2 6 2 2 2 2 2 6
y k y k y k y k
y k y k y k y k
+ = + = + = + =
+ + = + + = + + = + + =
Giải các hệ pt trên ta có các nghiệm nguyên của pt (a):
(
)
(
)
(
)
(
)
2; 2 , 2; 2 , 6; 2 , 6; 2
y k y k y k y k
= = = = = = = =
Bài 3: Giải phơng trình nghiệm nguyên:
yz zx xy
3
x y z
+ + =
Hớng dẫn:
Với điều kiện:
xyz 0
Ta có:
yz zx xy
3
x y z
+ + =
,
(
)
1
2 2 2 2 2 2
2x y 2y z 2z x 6xyz
+ + =
(
)
, 2
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y 2x yz x z x z 2xyz y z y z 2xy z x y
+ + + + +
=
2 2 2
6xyz 2x yz 2xy z 2xyz
( )
2
xy xz
+
( )
2
xz yz
+
( )
2
yz xy
=
(
)
(
)
(
)
2xyz 1 x 1 y 1 z
+ +
(
)
, 3
Nhận xét: Từ
(
)
2
xyz 0
>
, vì vậy
(
)
3
3 x y z 0
>
.Phơng trình có nghiệm
tự nhiên x = y = z = 1, lại do
xyz 0
>
suy ra các nghiệm nguyên của phơng
trình
(
)
1
là:
(
)
x, y, z
=
(
)
1,1,1
,
(
)
1, 1,1
,
(
)
1, 1, 1
,
(
)
1,1, 1
D/Bổ sung
*******************************
Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 09/10/11
Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 14/10/11
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
Chủ đề
Chủ đề Chủ đề
Chủ đề 7
77
7
Phơng trình với nghiệm nguyên
Buổi 2
Một số phơng pháp giảI phơng trình với nghiệm nguyên
<2>
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Tiếp tục nghiên cứu một số dạng phơng trình với nghiệm nguyên
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng áp dụng, trình bày, nâng cao kĩ năng giải phơng trình
Thái độ
- Học sinh tích cực, chủ động giải bài tập
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chức Tổ chức
Tổ chức
sĩ số
sĩ số sĩ số
sĩ số
II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
(98 phút)
II
-
D
ạ
ng ph
ơ
ng tr
ì
nh nghi
ệ
m nguy
ê
n nhi
ề
u
ẩ
n.
(tiếp)
1 - Phơng trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c (a, b, c
Z)
- Nếu (a , b) = 1 thì phơng trình sẽ có nghiệm nguyên
- Nếu (a , b) = d > 1 và c lại chia hết d thì phơng trình không có
nghiệm nguyên.
* ) Cách giải: Biểu diễn ẩn (có hệ số mà giá trị tuyệt đối của nó nhỏ hơn)
này theo ẩn kia, sau đó tách phần nguyên
*) Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên 3x + 4y = 29
*) Hớng dẫn:
3x + 4y = 29
3x = 29 4y
x =
3
2
9
3
429 y
y
y
+=
x,y
Z
3
2 y
Z
2 y = 3t (t
Z)
=
+=
ty
tx
32
74
Vậy dạng tổng quát nghiệm nguyên của phơng trình là:
{
x 4t 7
y 3t 2
= +
= +
với t
Z
*) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 5x - 7y = 15
*) Hớng dẫn:
- Nhận xét ƯCLN(5 ;15) = 5. Nên ta đặt y = 5t (t
Z)
- Ta có : 5x - 35t = 15
x = 7t + 3.
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố
9
99
9
- Vậy nghiệm của phơng trình là
=
+=
ty
tx
5
37
(t
Z)
*) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 8x - 3y = 15
*) Hớng dẫn:
- Nhận xét: ƯCLN(3 ;15) = 3. Nên ta đặt x = 3t (t
Z) => y = 8t - 5
- Để x, y nguyên dơng thì t >
5
8
, với t nguyên => t
Z
+
- Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là
{
x 3t
(t Z )
y 8t 1
+
=
=
*) Ví dụ 4: Tìmnghiệm nguyên dơng của phơng trình 8x - 27y = 38
Ta có: x =
27y 38 y 2
3y 4 3.
8 8
+ +
= + +
Đặt y + 2 = 8t (t
Z) => x = 27t - 2
Vậy nghiệm nguyên của phơng trình đã cho là
x 27t 2
(t Z)
y 8t 2
=
=
Để x > 0, y > 0 t >
1
4
Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là
x 27t 2
(t Z )
y 8t 2
+
=
=
2 - Giải phơng trình nghiệm nguyên dùng tính chất chia hết.
*) Cách giải: Dùng tính chất chia hết để thu hẹp miền xác định của nghiệm.
*) Ví dụ :
Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 3x
2
+ 5y
2
= 345
*) Hớng dẫn:
- Vì 345 chia hết cho 3 và 345 chia hết cho 5
- Đặt x = 5a, y = 3b (a,b nguyên dơng)
3.25a
2
+ 5.9b
2
= 345
5a
2
+ 3b
2
= 23
a
2
5
23
và b
2
3
23
2a
và
2b
- Thử với a = 1; 2 và b = 1; 2 .
- Ta thấy chỉ có nghiệm nguyên dơng là (x = 10; y = 3)
3 - Giải phơng trình nghiệm nguyên bằng cách tách phần nguyên.
*) Ví dụ 1:
Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 10x - 3y = 2xy - 20
*) Hớng dẫn:
10x 3y = 2xy 20
y(2x + 3) = 10x + 20
y =
3
2
5
5
3
2
105
+
+=
+
+
x
x
x
- Để phơng trình có nghiệm nguyên thì 2x + 3 là ớc của 5
=> x =1
y = 6 (thoả mãn)
Vậy phơng trình có nghiệm nguyên dơng là (x =1; y = 6)
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
*) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
1 10
1
7
x
y
z
+ =
+
Giải: Ta có
10 1 1 1
1 1
1 1 1
7
2 2
3 3
x
y
z
= + + = +
+ + +
Vì sự phân tích trên là duy nhất nên ta có x = 1; y = 2; z = 3.
4 - Giải phơng trình nghiệm nguyên bằng phơng pháp bình đẳng
ẩn.
*) Ví dụ 1:
Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình x + y + z = xyz
*) Hớng dẫn:
x, y, z có vai trò bình đẳng.
Giả sử 0 < x
y
z
xyz = x + y + z
3z
xy
3
+ Nếu x = y = z
z
3
= 3z
z
2
= 3 không xảy ra
x, y, z không thể bằng nhau.
+ Từ xy
3
chỉ có cặp số (1; 2; 3) là nghiệm của PT.
*) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình
1
111
=++
zyx
*) Hớng dẫn: x, y, z có vai trò bình đẳng.
- Giả sử 0 < x
y
z
xzyx
3111
++
mà
31
3
x
x
x
{1; 2; 3}
+ Nếu x = 1
zy
11
+
= 1 1
zy
11
+
= 0 không xảy ra.
+ Nếu x = 2
zy
11
+
=
2
1
dùng bình đẳng với y và z
(y ; z) = {(4 ; 4) ; (3 ; 6) ; (6 ; 3)}
+ Nếu x = 3
chỉ có y = z = 3
Vậy các cặp số sau là nghiệm của phơng trình
(2; 4 ; 4) ; (2 ; 3 ; 6) ; (3 ; 3 ;3).
5 - Giải phơng trình nghiệm nguyên bằng phơng pháp loại trừ.
*) Cách giải:
- Biện luận để làm ngắn miền nghiệm.
*) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 12
x
+ 5
x
= 13
x
*) Hớng dẫn:
- Ta thấy x = 2 là nghiệm của phơng trình vì 12
2
+ 5
2
= 13
2
- Biến đổi phơng trình 12
x
+ 5
y
= 13
x
1)
13
5
()
13
12
( =+
xx
.
Nếu x > 2
x
)
13
12
(
<
2
)
13
12
(
và
x
)
13
5
(
<
2
)
13
5
(
1)
13
5
()
13
12
( <+
xx
không xảy ra.
Nếu x < 2
x
)
13
12
(
>
2
)
13
12
(
và
x
)
13
5
(
>
2
)
13
5
(
1)
13
5
()
13
12
( >+
xx
không xảy ra.
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất.
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố
9
99
9
6
-
Gi
ả
i ph
ơ
ng tr
ì
nh nghi
ệ
m nguy
ê
n
đ
a v
ề
d
ạ
ng t
í
ch.
*) Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng xy - 4x = 35 - 5y
*) Hớng dẫn:
xy 4x = 35 5y
xy 4x + 5y 20 = 15
(x + 5)(y 4) = 15
x + 5 và y 4 là ớc của 15.
Thay vào ta chỉ có nghiệm nguyên dơng là
=
=
5
10
y
x
*Ví dụ 2 : Giải PT nghiệm nguyên dơng x
2
- 6xy + 13y
2
= 100
*) Hớng dẫn:
x
2
6xy + 13y
2
= 100
x
2
6xy + 9y
2
= 100 4y
2
(x 3y)
2
= 4(25 y
2
)
0
y
5 và 25 y
2
là số chính phơng.
Thay các giá trị của y, ta có các nghiệm nguyên dơng là :
(x ; y) = {(1 ; 3) ; (17 ; 3) ; (6 ; 4) ; (18 ; 4) ; (15 ; 5)}
*) Ví dụ 3 : Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình xy
2
+ 3y
2
- x = 108
*) Hớng dẫn: xy
2
+ 3y
2
x = 108
xy
2
+ 3y
2
x 3 = 105
(y
2
1)(x + 3) = 105
y
2
1 là ớc của 105
Tìm đợc các giá trị của y
N
và suy ra các giá trị của x
N
Vậy phơng trình có nghiệm tự nhiên là
{
x 0
y 6
=
=
;
{
{
x 32 x 4
;
y 2 y 4
= =
= =
IV.
Củng cố
Củng cốCủng cố
Củng cố, luyện tập
, luyện tập, luyện tập
, luyện tập
-
-
Giải đề thi
Giải đề thiGiải đề thi
Giải đề thi
(80 phút)
Bài 1:
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang
Bắc Giang Bắc Giang
Bắc Giang năm học 2009
năm học 2009năm học 2009
năm học 2009
-
-
2010, ngày thứ hai
2010, ngày thứ hai2010, ngày thứ hai
2010, ngày thứ hai
Tìm số nguyên x; y thoả mãn đẳng thức: x
2
+ xy +y
2
- x
2
y
2
= 0
Hớng dẫn:
Tìm số nguyên x; y thoả mãn đẳng thức: x
2
+ xy +y
2
- x
2
y
2
= 0 (1)
Ta có: x
2
+ xy +y
2
- x
2
y
2
= 0
<=> 4x
2
+ 4xy +4y
2
- 4x
2
y
2
= 0
<=> 4x
2
+ 8xy +4y
2
- (4x
2
y
2
+ 4xy +1) - 1 = 0
<=> (2x + 2y)
2
- (2xy + 1)
2
= 1
<=> (2x + 2y - 2xy - 1)(2x + 2y + 2xy + 1) = 1
=>
=+++
=+
=+++
=+
11 2xy 2y 2x
-11 2xy 2y 2x
-11 2xy 2y 2x
1 1 -2xy -2y 2x
Giải hệ PT ta đợc (x; y) = (0; 0) hoặc x = - y
Thay x = - y vào (1) ta tìm đợc (x; y) = (1; -1); (x; y) = (-1; 1)
Vậy các cặp số x; y nguyên thoả mãn (1) là:(0; 0); (1; -1); (-1; 1)
Bài 2: Đề thi khảo sát chọn
Đề thi khảo sát chọnĐề thi khảo sát chọn
Đề thi khảo sát chọn
HSG năm học 2009
HSG năm học 2009 HSG năm học 2009
HSG năm học 2009 -
-
2010
20102010
2010
Tìm x, y nguyên thỏa mãn
2 2
x 2xy 24y 20
+ = +
Hớng dẫn:
Nhận xét nếu có x, y thỏa mãn thì x chẵn nên ta đặt x = 2t (t
Z) khi đó ta
có:
2 2 2 2 2 2 2
4t 4ty 24y 20 t ty 6y 5 t 9y ty 3y 5
+ = <=> + = <=> + + =
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
Hay
(t 3y)(t 2y) 5
+ =
t 3y 5 t 3y 1 t 3y 5 t 3y 1
; ; ;
t 2y 1 t 2y 5 t 2y 1 t 2y 5
+ = + = + = + =
= = = =
Giải các hệ này thấy vô nghiệm. Vậy không tồn tại x, y thỏa mãn đề bài
Bài 3: Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2009
Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2009 Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2009
Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2009 -
-
2010
20102010
2010
a) Tìm đa thức đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau: P(x) chia cho (x - 3)
d 5; P(x) chia cho (x + 2) d 3; P(x) chia cho (
2
x x 6
) đợc thơng là x và
còn d .
b) Tìm x và y nguyên thỏa mãn
2
x x 14 xy 3y 0
=
Hớng dẫn:
a) P(x) chia cho (x - 3) d 5
=>
P(x) (x 3)Q(x) 5 P(3) 5, tơng tự P(- 2) = 3
= + => =
Có: P(x) =
2
x(x x 6) ax b
+ +
P(3) 5 3a b 5
P( 2) 0 b 2a 3
= + =
<=>
= =
=>
19
2
a ;b
5 5
= =
=>
3 2
28 19
P(x) x x x
5 5
= +
b)
2
x x 14 xy 3y 0
=
=>
2
x x 14
y
x 3
=
+
(x = - 3 không thỏa mãn)
2
y x 4
x 3
=
+
. Do đó để x, y nguyên thì x + 3 là ớc của 2
Kết quả: Các cặp số (x; y) nh sau
( 2; 8);( 4; 6);( 1; 6);( 5; 8)
Bài 4: Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Quảng Ngã
Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Quảng NgãĐề thi chính thức chọn HSG tỉnh Quảng Ngã
Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Quảng Ngãi
ii
i
năm học 2010
năm học 2010 năm học 2010
năm học 2010 -
-
2011
20112011
2011
a) Tỡm cỏc cp s nguyờn dng (x; y) tha món 6x + 5y + 18 = 2xy
b) Cho biu thc
3 2
a a a
A = + +
24 8 12
vi a l s t nhiờn chn.
Hóy chng t A cú giỏ tr nguyờn.
Hớng dẫn:
a) Ta cú:
6 5 18 2
x y xy
+ + =
2xy - 6x - 5y = 18
2xy - 6x + 15 - 5y = 33
2x(y 3) 5(y 3) = 33
(y 3)(2x 5) = 33 = 1.33 = 3.11 = (-1).(-33) =
= (-33).(-1) = (-3).(-11) = (-11).(-3)
Ta xột cỏc trng hp sau :
*
3 1 19
2 5 33 4
y x
x y
= =
= =
*
3 33 3
2 5 1 36
y x
x y
= =
= =
*
3 11 4
2 5 3 14
y x
x y
= =
= =
*
3 3 8
2 5 11 6
y x
x y
= =
= =
Cỏc cp s nguyờn dng u tha món ng thc trờn.
Vy cỏc cp s cn tỡm l : (3; 36); (4; 14); (8; 6); (19; 4)
Cỏc trng hp cũn li gii ra u khụng tho món bi toỏn
b) Vỡ a chn nờn a = 2k
(
)
k N
Do ú
3 2 3 2
8 4 2
24 8 12 3 2 6
k k k k k k
A
= + + = + +
(
)
(
)
3 2
1 2 1
2 3
6 6
k k k
k k k
+ +
+ +
= =
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố
9
99
9
Ta cú :
(
)
(
)
(
)
k k+1 2 k k+1 2k+1 2
Ta chng minh :
(
)
(
)
1 2 1 3
k k k+ +
Tht vy :
- Nu k = 3n (vi
n N
) thỡ
(
)
(
)
1 2 1 3
k k k+ +
- Nu k = 3n + 1 (vi
n N
) thỡ
2 1 3
k
+
- Nu k = 3n + 2 (vi
n N
) thỡ
1 3
k
+
Vi mi
(
)
(
)
1 2 1
k N k k k
+ +
luụn chia ht cho 2 v cho 3
M (2, 3) = 1
(
)
(
)
1 2 1 6
k k k + +
Vy A cú giỏ tr nguyờn.
Bài 5: Đề thi chính thức chọn HSG
Đề thi chính thức chọn HSG Đề thi chính thức chọn HSG
Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Phú Thọ năm học 2008
tỉnh Phú Thọ năm học 2008 tỉnh Phú Thọ năm học 2008
tỉnh Phú Thọ năm học 2008 -
-
2009
20092009
2009
T
ì
m nghi
ệ
m nguy
ê
n d
ơ
ng c
ủ
a ph
ơ
ng tr
ì
nh :
xyz x y z.
= + +
Hớng dẫn:
Ph
ơ
ng tr
ì
nh
đã
cho t
ơ
ng
đơ
ng v
ớ
i
1 1 1
1
xy yz zx
+ + =
.
Kh
ô
ng m
ấ
t t
í
nh t
ổ
ng qu
á
t, gi
ả
s
ử
x y z
(*)
- N
ế
u
z 3
th
ì
2
1 1 1 3 1
1
xy yz zx z 3
+ + <
(lo
ạ
i).
-
N
ế
u
z 2
=
th
ì
ph
ơ
ng tr
ì
nh
đã
cho tr
ở
th
à
nh
:
2xy x y 2
= + +
.
Hay
(
)
(
)
2x 1 2y 1 5
=
.
Do (*) n
ê
n ch
ỉ
c
ó
tr
ờ
ng h
ợ
p 2x - 1 = 5 v
à
2y - 1 = 1, suy ra x = 3 v
à
y = 1
- N
ế
u
z 1
=
th
ì
ph
ơ
ng tr
ì
nh
đã
cho tr
ở
th
à
nh:
xy x y 1
= + +
(
)
(
)
x 1 y 1 2
=
.
Do (*) n
ê
n ch
ỉ
c
ó
tr
ờ
ng h
ợ
p x - 1 = 2 v
à
y - 1 = 1, suy ra x = 3 v
à
y = 2.
Nghi
ệ
m l
à
: (3 ; 2 ; 1), (3 ; 1 ; 2), (2 ; 3 ; 1), (2 ; 1 ; 3), (1 ; 3 ; 2), (1 ; 2 ; 3).
Bài 6: Đề thi chính thức chọn HSG năm
Đề thi chính thức chọn HSG nămĐề thi chính thức chọn HSG năm
Đề thi chính thức chọn HSG năm
học 2009
học 2009 học 2009
học 2009 -
-
2010
20102010
2010
a. Giải phơng trình:
20
9
1
2
+
+
x
x
+
30
11
1
2
+
+
x
x
+
42
13
1
2
+
+
x
x
=
18
1
b. Giải phơng trình với nghiệm là số nguyên:
x( x
2
+ x + 1) = 4y( y + 1).
Hớng dẫn:
a) Phơng trình đợc biến đổi thành: (Với
ĐKXĐ:
4; 5; 6; 7
x
)
1 1 1
( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7)
x x x x x x
+ +
+ + + + + +
=
1
18
(
1 1
4 5
x x
+ +
) + (
1 1
5 6
x x
+ +
) + (
1 1
6 7
x x
+ +
) =
1
18
1 1
4 7
x x
+ +
=
1
18
(x + 4)(x +7) = 54
(x + 13)(x 2) = 0
x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn
ĐKXĐ
)
Vậy nghiệm của phơng trình là: S =
{
}
13;2
b) Phơng trình đợc biến đổi thành: (x + 1)(x
2
+ 1) = (2y + 1)
2
+ Ta chứng minh (x + 1) và (x
2
+ 1) nguyên tố cùng nhau !
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
Vì nếu d = UCLN (x+1, x
2
+ 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ)
2
1
1
x d
x d
+
+
2
2
1
1
x x d
x d
x d
+
+
+
1
1
x d
x d
+
2
d
mà d lẻ nên d = 1.
+ Nên muốn (x + 1)(x
2
+ 1) là số chính phơng
Thì (x+1) và (x
2
+ 1) đều phải là số chính phơng
Đặt:
2 2
2
1
1
x k
x t
+ =
+ =
(k + x)(k x) = 1
1
0
k
x
=
=
hoặc
1
0
k
x
=
=
+ Với x = 0 thì (2y + 1)
2
= 1
y = 0 hoặc y = -1.(Thỏa mãn pt)
Vậy nghiệm của phơng trình là: (x;y) =
{
}
(0;0),(0; 1)
Bài 7: Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng năm học 2010
Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng năm học 2010 Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng năm học 2010
Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng năm học 2010 -
-
2011
20112011
2011
Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh
2
20 6 150 15
y xy x
=
.
Hớng dẫn:
Ta c
ú
: 150
15x = 20y
2
6xy <=> 6xy
15x = 20y
2
150
<=> 3x(2y 5) = 5(4y
2
25) 25
<=> (2y 5)(10y + 25 3x) = 25
Xột 6 trng hp sau
2 5 1 10
)
10 25 3 25 3
y x
y x y
= =
+
+ = =
(tha món)
2 5 25 58
)
10 25 3 1 15
y x
y x y
= =
+
+ = =
(tha món)
70
2 5 1
)
3
10 25 3 25
2
y
x
y x
y
=
=
+
+ =
=
(loi)
10
2 5 25
)
74
10 25 3 1
3
x
y
y x
y
=
=
+
+ =
=
(loi)
70
2 5 5
)
3
10 25 3 5
5
y
x
y x
y
=
=
+
+ =
=
(loi)
2 5 5 10
)
10 25 3 5 0
y x
y x y
= =
+
+ = =
(tha món)
Vy phng trỡnh cú 3 nghim (x ; y) l (10 ; 3), (58 ; 15), (10 ; 0).
IV.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà
(2 phút)
- Xem lại các dạng bài tập đã chữa, giải tiếp các bài tập sau:
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của PT : a) 3x + 17y = 159 b) xy - x - y = 2
Hớng dẫn:
a) Đặt y = 3t (
t Z
)
b) Biến đổi về dạng tích: xy - x - y = 2 (y - 1)(x - 1) = 3
- Do x, y
Z nên (x-1), (y-1)
Z và x-1, y-1 là ớc của 3
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố
9
99
9
- Do vai trò của x,y nh nhau nên không mất tính tổng quát giả sử x
y
1 3 4
1 1 2
1 1
1 1 0
1 3 2
x x
y y
x y
x x
y y
= =
= =
= =
= =
- Vậy phơng trình có nghiệm (4 ; 2); (2 ; 4); (0 ; - 2); (- 2 ; 0).
Cách khác: Nếu y = 1 thì phơng trình vô nghiệm => y
1
x(y - 1) = y + 2 x =
3
1
y 1
+
=> y - 1
Ư (3)
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
2
+ x + 6 = y
2
Giải: Phơng trình đã cho tơng đơng với
( ) ( )
2 2
2 2
4 4 24 4 2 2 1 23 (2 2 1)(2 2 1) 23 ( 1)( 23) 1.23
+ + = + = + + = = =x x y y x y x y x
=> phơng trình có các nghiệm nguyên (5 ; 6),(5 ; - 6),(- 6 ; 6),(- 6 ; 6)
Bài 3: Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x
2
4xy +5y
2
= 169
Giải:
Phơng trình tơng đơng với: (x 2y)
2
+y
2
=169 =13
2
+ 0
2
= 12
2
+ 5
2
Mà y
Z
+
;
2 0
13
2 5
2
12
2 12
5
x y
y
x y
x y N
y
x y
y
=
=
=
=
=
=
Từ đó tìm đợc nghiệm nguyên dơng của PT:(26; 13), (29; 12), (19; 22), (22; 5)
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên tố của phơng trình
2 2
x 2y 1
=
Hớng dẫn:
Phơng trình tơng đơng với (x + 1)(x - 1) = 2y
2
Vì x
2
= 2y
2
+1 là số lẻ => x là số lẻ nên x+1, x-1 là số chẵn do đó (x+1)(x-1) chia
hết cho 4 vậy y
2
chia hết cho 2 suy ra y chia hết cho 2 mà y là số nguyên tố
nên y = 2. Vậy phơng trình có nghiệm: (3 ; 2)
Bài 5: Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hơng Thủy năm học 2011
Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hơng Thủy năm học 2011 Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hơng Thủy năm học 2011
Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hơng Thủy năm học 2011 -
-
2012
20122012
2012
a) Giải phơng trình sau:
21212 =++ xxxx
b) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình
2
111
=++
zyx
Hớng dẫn:
a)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n x
1.
2)11()11(
22
=++ xx
<=>
21111 =++ xx
<=>
21111 =++ xx
<=>
1111 =+ xx
(2)
- Nếu
2
>
x
, thì PT (2) <=>
1111 =+ xx
2
=
x
kh
ô
ng thu
ộ
c kho
ả
ng
đ
ang x
é
t
nên
l
oại
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
-Nếu
21
x
, thì PT (2) <=>
1111 =+ xx
luôn đúng
V
ậ
y ph
ơ
ng tr
ì
nh (1) c
ó
nghi
ệ
m
2
1
x
.
b)
Do vai tr
ò
b
ì
nh
đẳ
ng c
ủ
a x, y, z tr
ớ
c h
ế
t ta x
é
t x
y
z, ta c
ó
:
1
2
31
.3
111
2 ==>=>++= xx
xzyx
Thay x = 1 vào (2) ta đợc
{ }
2;12
211
121
11
=>=>+==>=++ yy
yzyzy
.
- Nếu y = 1 =>
0
1
=
z
=> z = 0 (loại)
- Nếu y = 2 =>
2
2
11
==>= z
z
(thoả mãn)
Vậy nghiệm nguyên dơng của (2) là (1;2;2) (1;2;2); (2;1;2)(2;2;1).
D/Bổ sung
*******************************
*) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào đờng link này -
/>
