PT đường trong tam giác năm 2008

Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 1 -

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
***
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Tên đề tài:
ĐỀ XUẤT VÀ GIẢI QUYẾT
MỘT LỚP CÁC BÀI TOÁN VỀ GIẢI TAM GIÁC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
2. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Hình Học 12, các
em học sinh được tiếp cận với Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong
không gian. Với Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng các em được trang bị một
số kiến thức và bài toán cơ bản về lập phương trình một đường thẳng như: Lập
phương trình đường thẳng qua 2 điểm, lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm
và có 1 véc tơ chỉ phương, lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 véc
tơ pháp tuyến,… Do vậy nếu gặp một bài toán đã có đầy đủ giả thiết của các bài
toán cơ bản thì các em chỉ cần áp dụng công thức là có ngay kết quả, song trong
thực tế các kỳ thi hết cấp và thi tuyển sinh vào Đại học - Cao đẳng - THCN, các
em có thể gặp phải 1 lớp các bài toán về giải tam giác trong mặt phẳng (tức là
phải xác định các đỉnh, trung điểm, trọng tâm, trực tâm; lập phương trình các
cạnh, các đường cao, các đường trung tuyến, trung trực và phân giác,…của tam
giác khi đã biết một số các yếu tố tương ứng) và thực tế là khi gặp các bài toán
dạng này chỉ có 1 số ít các em học sinh biết phương pháp giải, song cách trình
bày và các lời giải còn chưa gọn gàng, sáng sủa. Tại sao lại như vậy?
Lý do chính ở đây có thể là: trong chương trình SGK Hình Học 12 hiện
hành, kiến thức về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng được trình bày ở nửa

đầu của học kì I và lượng các bài tập dạng này chưa được đề cập thường xuyên
trong sách giáo khoa hoặc có thể chưa đề cập đến. Mặt khác nếu như trong các
giờ dạy của mình, các thầy cô giáo không đưa thêm các bài tập dạng này và
phương pháp giải tương ứng thì các em học sinh không thể giải được 1 lớp các
bài toán nói trên.
Với lý do đó, cùng với kinh nghiệm của mình sau 1 thời gian giảng dạy và
bồi dưỡng kiến thức cho học sinh tôi đã khai thác, tổng kết, hệ thống hóa lại các
kiến thức cơ bản cùng với các kết quả đã giải quyết được thành 1 chuyên đề về
“Xác định các yếu tố chưa biết của tam giác thông qua các yếu tố đã biết bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” và tạm đặt với tên gọi: “Đề xuất và giải
quyết một lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 2 -

mặt phẳng” để cùng trao đổi với các bạn đồng nghiệp và làm tài liệu tham khảo
cho các em học sinh.
Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em
học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải 1 lớp các bài toán
về giải tam giác trong mặt phẳng.
3. Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài:
Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối
12 hệ THPT, khối 10(theo chương trình CCGD) và làm tài liệu tham khảo cho
các thầy cô giảng dạy môn Toán. Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài
toán trong đề tài này làm bài toán gốc để đặt và giải quyết các bài tập cụ thể.
Trong đề tài này tôi đã đưa ra và giải quyết một khối lượng rất lớn các bài
toán ( hơn 70 bài toán tổng quát) với tương ứng các bài tập tự luyện. Sau mỗi
bài toán tác giả đều có những nhận xét giúp bạn đọc có thể chọn ra cho mình
những phương pháp giải tối ưu nhất, để có được những lời giải gọn gàng và sáng
sủa nhất./.

Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 3 -

Phần thứ hai
QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
I. KHẢO SÁT THỰC TẾ:
Có rất nhiều cách khác nhau để tiếp cận và tìm hiểu kiến thức thực tế của
học sinh trước khi thực hiện đề tài. Khi giảng dạy trên lớp cũng như bồi dưỡng
học sinh, tôi đã đưa vào một số bài toán sau( các câu hỏi trong mỗi bài toán
được đưa ra theo trật tự: giải xong câu hỏi này sẽ đặt vấn đề để có câu hỏi tiếp
theo) nhằm kiểm tra kiến thức của các em học sinh.
Bài toán 1:
Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(2, 3), B(4, -1), C(4, 5)
a). Lập phương trình các cạnh AB, BC, CA của tam giác?
b). Lập phương trình các đường trung tuyến của tam giác?
c). Lập phương trình các đường trung bình của tam giác?
d). Lập phương trình các đường cao của tam giác?
e). Lập phương trình các đường trung trực của tam giác?
f). Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC?
g). Lập phương trình đường phân giác ngoài của góc B của tam giác ABC?
h). Tìm tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC?
i). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC?
Bài toán 2:
Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, biết đỉnh B(-4,-5) và 2 đường cao có
phương trình lần lượt là: 5x+3y-4 = 0, 3x+8y+13 = 0.
a). Lập phương trình đường cao còn lại của tam giác?
b). Tìm tọa độ 2 đỉnh A và C của tam giác?
c). Lập phương trình 3 cạnh của tam giác?
Bài toán 3:

Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, lập phương trình các đường phân giác
trong còn lại của tam giác ABC, biết đỉnh A(1, 2), phân giác trong của góc B và
trung tuyến từ đỉnh C có phương trình lần lượt là: x – y - 3 = 0, x + 4y + 9 = 0.
*Với bài toán 1: thì các câu hỏi a), b), c), d), e), h) là tương đối cơ bản bởi đây
chính là các bài toán đã có phương pháp giải tổng quát:
- câu a, b, c): sử dụng phương trình đường thẳng qua 2 điểm.
- câu d, e): sử dụng phương trình đường thẳng qua điểm và có vectơ pháp tuyến.
- câu h): tọa độ trọng tâm G có thể tính được theo tọa độ 3 đỉnh A, B, C hoặc
giải hệ phương trình tạo bởi các đường trung tuyến đã lập được trong câu b).
Còn tọa độ trực tâm H tìm được bằng cách giải HPT tạo bởi các đường cao.
- câu f), g): là tương đối khó với các em học sinh, không phải đơn giản để học
sinh nào cũng có thể giải được kể cả các em có lực học khá.
- câu i): Tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác có thể tìm được bằng
cách giải HPT tạo bởi các trung trực của tam giác, còn tâm J của đường tròn nội
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 4 -

tiếp có thể tìm được bằng cách giải HPT tạo bởi các đường phân giác trong của
các góc trong tam giác( ngoài phương pháp này còn có các cách giải khác nữa).
*Với bài toán 2: rõ ràng bài toán này bắt đầu buộc học sinh phải tư duy để xác
định được 2 đường cao đã cho được xuất phát từ đỉnh nào của tam giác( ở đây
có thể thấy rằng tọa độ đỉnh B không thỏa mãn 2 PT đường cao đã cho nên ta có
thể đặt: (h
A
) 5x + 3y - 4 = 0, và (h
C
) 3x + 8y + 13 = 0), sau khi đã xác định rõ
ràng được giả thiết của bài toán thì nói chung yêu cầu của bài toán 2 không khó
khăn gì nữa(bởi đây cũng là các bài toán cơ bản).

*Với bài toán 3: đây là bài toán có lẽ là khó nhất trong 3 bài toán bởi để giải
quyết được bài toán này phải sử dụng đến việc xác định điểm đối xứng của điểm
qua đường( phải giải quyết 2 bài toán trung gian để có kết quả).
Đến đây hẳn các bạn đọc cũng đã nhận thấy rằng việc hệ thống kiến thức
cùng với việc đưa ra và giải quyết một lớp các bài toán về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là thật cần thiết phải không?.
II. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI.
1. Các dạng phương trình đường thẳng:
1.1. Phương trình tổng quát:
a). Dạng: Ax + By + C = 0, (d) (điều kiện: A
2
+ B
2

0).
b). Nhận xét:
- Đường thẳng d có Vtpt
n
=(A; B).
- Nếu d có Vtpt
n
=(A; B) thì d có phương trình dạng: Ax + By + m = 0
- Điểm M(x
0
; y
0
)

d


Ax
0
+ By
0
+ C = 0.
- Nếu A = 0, B

0, thì d có PT dạng: By + C = 0 (d // hoặc trùng Ox).
- Nếu A

0, B = 0, thì d có PT dạng: Ax + C = 0 (d // hoặc trùng Oy).
- Nếu C = 0, thì d có PT dạng: Ax + By = 0 (d đi qua gốc tọa độ O(0; 0)).
- Nếu B

0 thì d có PT dạng: y = -
B
A
x -
B
C
; khi đó giá trị k = -
B
A
được gọi là
hệ số góc của đường thẳng d.
1.2. Phương trình tham số:
a). Dạng:
)(
0
0

Rt
btyy
atxx






, (d) (điều kiện: a
2
+ b
2

0)
b). Nhận xét:
- Đường thẳng d có Vtcp
u
=(a; b) và đi qua điểm M(x
0
; y
0
).
- Với mỗi giá trị t = t
0
tùy ý, ta có M(x
0
+ at
0
; y

0
+ bt
0
)

d.
- Nếu d có Vtcp
u
=(a; b) thì d có PTTQ dạng: bx – ay + m = 0.
- Khử t trong PTTS của d ta có được PTTQ ; ngược lại đặt x =f(t) ( hoặc y =
f(t)) trong PTTQ ta sẽ có được PTTS của d.
1.3. Phương trình chính tắc:
a). Dạng:
b
yy
a
xx
00



(d), (điều kiện a.b

0).
b). Nhận xét:
- Đường thẳng d có Vtcp
u
=(a; b) và đi qua điểm M(x
0
; y

0
).
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 5 -

- Rút t từ PTTS ta được PTCT; Thu gọn PTCT của d ta được PTTQ.
- Nếu d có Vtcp
u
=(a; b) mà a.b = 0 thì d không có phương trình chính tắc.
- Quy ước: nếu a = 0 thì d có PT: x – x
0
= 0, nếu b = 0 thì d có PT: y – y
0
= 0.
1.4. Phương trình đoạn chắn:
a). Dạng: 1
b
y
a
x
(d), (điều kiện a.b

0).
b). Nhận xét:
- PTĐC là dạng đặc biệt của PTTQ của d.
- Đường thẳng d có Vtpt
n
=(1/a; 1/b) và cắt Ox tại A(a; 0), cắt Oy tại B(0; b).
1.5. Phương trình pháp dạng:

a). Dạng: Ax + By + C = 0, (d) (điều kiện: A
2
+ B
2
= 1).
b). Nhận xét:
- PTPD là dạng đặc biệt của PTTQ của d.
2. Một số bài toán cơ bản về viết phương trình đường thẳng trong mặt
phẳng:
2.1. Bài toán 1: Đường thẳng đi qua một điểm và có véc tơ chỉ phương.
Đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
; y
0
) và có véc tơ chỉ phương
u
=(a; b) sẽ
có phương trình dạng:
- Chính tắc:
b
yy
a
xx
00



(nếu a.b

0)

- Tham số:
)(
0
0
Rt
btyy
atxx







- Tổng quát: b(x – x
0
) – a(y – y
0
) = 0, hoặc: – b(x – x
0
) + a(y – y
0
) = 0.
Chú ý:
- Nếu d có Vtcp
u
=(a; b) thì d có Vtpt
n
=(b; - a) hoặc
n

=(- b; a).
- Nếu d có Vtcp
u
=(a; b) thì d có PTTQ dạng: bx – ay + m = 0.
2.2. Bài toán 2: Đường thẳng đi qua một điểm và có véc tơ pháp tuyến.
Đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
; y
0
) và có véc tơ pháp tuyến
n
=(A; B)
sẽ có phương trình dạng:
- Tổng quát: A(x – x
0
) + B( y – y
0
) = 0.
- Tham số:
)(
0
0
Rt
Atyy
Btxx







hoặc:
)(
0
0
Rt
Atyy
Btxx







- Chính tắc:
A
yy
B
xx




00
hoặc:
A
yy
B
xx

00




(nếu A.B

0)
Chú ý:
- Nếu d có Vtpt
n
=(A; B) thì d có Vtcp
u
=(B; - A) hoặc
n
=(- B; A).
- Nếu d có Vtpt
n
=(A; B) thì d có PTTQ dạng: Ax + By + m = 0
2.3. Bài toán 3: Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc.
Đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
; y
0
) và có hệ số góc k sẽ có phương
trình dạng: y = k(x – x
0
) + y
0

Chú ý: Nếu d có hệ số góc k thì d có phương trình dạng: y = kx + m.
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 6 -

2.4. Bài toán 4: Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A(x
1
; y
1
) và B(x
2
; y
2
) sẽ có
phương trình:
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx






Chú ý:
- Đường thẳng d qua A, B sẽ có véc tơ chỉ phương
AB
= (x
2
– x
1
; y
2
– y
1
).
- Đường thẳng d qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) sẽ có phương trình dạng:
1
b
y
a
x

2.5. Bài toán 5: Đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng.
Đường thẳng d qua giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau d
1
: A
1
x + B
1
y
+ C
1
= 0 và d

2
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0 sẽ có phương trình dạng:
m(A
1
x + B
1
y + C
1
) + n(A
2
x + B
2
y + C
2
) = 0. (điều kiện: m
2
+ n
2


0)
Chú ý: Sử dụng phương pháp này ta không phải tìm tọa độ giao điểm của
hai đường thẳng.
2.6. Bài toán 6: Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.

Đường thẳng d song song với đường thẳng: Ax + By + C = 0 sẽ có phương
trình dạng: Ax + By + m = 0.
Chú ý: Nếu d song song với đường thẳng: y = kx + m thì đường thẳng d có
phương trình dạng: y = kx + n. (Do hai đường thẳng song song có hệ số góc
k bằng nhau).
2.7. Bài toán 7: Đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng: Ax + By + C = 0 sẽ có phương
trình dạng: Bx – Ay + m = 0 ( hoặc: – Bx + Ay + m = 0 )
Chú ý: Nếu d vuông góc với đường thẳng: y = kx + m thì đường thẳng d có
phương trình dạng: y =
k
1
 x + n. (Do hai đường thẳng vuông góc có tích hệ
số góc k bằng-1).
2.8. Bài toán 8: Đường thẳng tạo với đường thẳng cho trước một góc

.
Đường thẳng d tạo với đường thẳng: y = k
1
x + m
1
một góc

, sẽ có hệ số góc
k được xác định bởi công thức:
1
1
.1 kk
kk
tg





.
Chú ý: Giải phương trình trên ta tìm được hệ số góc k và quay về bài toán 3.
2.9. Hệ quả của bài toán 7:
a). Hệ quả 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng d.
Cách giải: - Lập PT đường thẳng

qua điểm A và vuông góc với d.
- Điểm H cần tìm chính là giao điểm của d và

.
b). Hệ quả 2: Tìm điểm đối xứng A’ của điểm A qua đường thẳng d.
Cách giải: - Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên d (hệ quả 1).
- Điểm A’ cần tìm được xác định bởi: H là trung điểm của AA’.
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 7 -

3. Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ
trong mặt phẳng:
Để tiện cho quá trình đặt và giải quyết các bài toán về tam giác trong mặt
phẳng (xác định các yếu tố chưa biết thông qua các yếu tố đã biết của tam giác),
ta sẽ gọi đó là quá trình giải một bài toán tam giác (hay là giải tam giác) trong
mặt phẳng và ta coi như bài toán được giải quyết xong nếu như xác định được
tọa độ 3 đỉnh hoặc phương trình ba cạnh của tam giác đó, các bài tập áp dụng
phương pháp giải của các bài toán được đưa ra trong phần bài tập tự luyện.
Trong tài liệu này ta cũng sử dụng một số kí hiệu sau:

 A, B, C: các đỉnh của tam giác ABC.
 AB, BC, CA: cạnh và phương trình các cạnh của tam giác ABC.
 h
A
, h
B
, h
C
: phương trình các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C.
 m
A
, m
B
, m
C
: phương trình các đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C.
 l
A
, l
B
, l
C
: phương trình các đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, B, C.
 t
AB
, t
AC
, t
BC
: phương trình các đường trung trực của các cạnh AB, AC, BC.

 S, p: lần lượt là diện tích, nửa chu vi của tam giác ABC.
 R, r: lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC.
 G, H: lần lượt là trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC.
 M = d
1
x d
2
: Tọa độ M là giao điểm của d
1
và d
2
.
3.1. Bài toán 1: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh A, B, C?
Nhận xét: đây là bài toán cơ bản nhất về giải tam giác, do đó ta có thể dễ dàng
giải quyết được một số yêu cầu của giả thiết như:
- Lập phương trình cạnh AB: qua 2 điểm A và B.
- Lập phương trình đường cao h
A
: qua A và vó vectơ pháp tuyến
BC
.
- Lập phương trình đường trung tuyến m
B
: qua B và trung điểm của AC.
- Lập phương trình trung trực của cạnh AB: qua trung điểm AB và

AB.
- Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là trung bình cộng tọa độ 3 đỉnh A, B, C.
3.2. Bài toán 2: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 3 trung điểm M, N,
P của 3 cạnh AB, BC, CA?

Phương pháp:
- Cạnh AB qua M và có vectơ chỉ phương là
NP
.
- Cạnh CB qua N và có vectơ chỉ phương là
MP
.
- Cạnh AC qua P và có vectơ chỉ phương là
NM
.
Nhận xét: Ta có thể sử dụng công thức tọa độ trung điểm để lập hệ PT có ẩn là
tọa độ của 3 đỉnh để có kết quả.
3.3. Bài toán 3: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 3 cạnh AB,
BC, CA của tam giác?
Nhận xét: đây cũng là bài toán cơ bản về giải tam giác, do đó ta có thể dễ dàng
giải quyết được một số yêu cầu của giả thiết như:
- Đỉnh A, B, C lần lượt là giao điểm của AB và AC; của AB và BC; của AC
và BC.
- Đường cao h
A
qua giao điểm của AB, AC đồng thời vuông góc với BC.
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 8 -

3.4. Bài toán 4: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 3 chân đường
phân giác trong M, N, P của các góc A, B, C?
Phương pháp:
- Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp


MNP.
- Lập phân giác trong l
A
qua M, I và phân
giác l
B
qua N, I.
- Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua l
A
.
- Cạnh AB qua 2 điểm P, N’

B = l
B
x AB và A = l
A
x AB.
- Cạnh AC qua A,N và cạnh BC qua B, M.

Chú ý: Ta có thể lập hai cặp phân giác khác và làm tương tự như trên.
3.5. Bài toán 5: Giải tam giác nhọn ABC khi biết tọa độ 3 chân
đường cao M, N, P hạ từ các đỉnh A, B, C?
Phương pháp:
- Gọi H là trực tâm của tam giác ABC

H là
tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP.

Phân giác ngoài của góc MPN là PT cạnh AB.
- Lập phân giác của góc MPN(được 2 PT).

- Chọn phân giác ngoài

cạnh AB.
* Tương tự có lập được phương trình các cạnh AC
và BC.

3.6. Bài toán 6: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ của 1 đỉnh và 2
trung điểm?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: 1 đỉnh và trung điểm của 2 cạnh kề với
đỉnh đó(ví dụ: A + M + P).
- Dạng 2: 1 đỉnh và trung điểm của 1 cạnh kề và
trung điểm của 1 cạnh đối với đỉnh đó(ví dụ: A
+ M + N).
Phương pháp: Để giải bài toán này ta sử dụng công
thức về tọa độ trung điểm sẽ xác định được tọa độ 2
đỉnh còn lại.

3.7. Bài toán 7: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và phương
trình 2 đường trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh còn lại?
Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A + m
A
+ m
B

- Ta có tọa độ trọng tâm G = m
A
x m
B
.

- Tọa độ trung điểm M của BC xác định từ hệ
thức: MGMA 2 .
- Biểu diễn tọa độ B, C theo tham số( vì B

m
B
,
C

m
C
).

m
B
M

m
C
C
B
A
G
P
N
M

C
B
A

A
P
N
M

C
B
H
N

N’

P

M

C

A

B

Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 9 -

- Do M là trung điểm BC


MCBM 


tham
số

tọa độ B,C.

Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu như giả thiết của bài toán cho 1 đỉnh và
2 trung tuyến trong đó có 1 trung tuyến xuất phát từ đỉnh đã cho.
3.8. Bài toán 8: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và phương
trình 2 đường cao hạ từ 2 đỉnh còn lại?
Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A + h
C
+ h
B

- Cạnh AB qua đỉnh A và

h
C
.
- Cạnh AC qua đỉnh A và

h
B
.
- Đỉnh B = AB x h
B
; Đỉnh C = AC x h
C
.

Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu như giả thiết của bài toán cho 1 đỉnh và
2 đường cao trong đó có 1 đường cao xuất phát từ đỉnh đã cho.
3.9. Bài toán 9: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và phương
trình 2 đường trung trực?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: 1 đỉnh và 2 đường trung trực của 2
cạnh kề với đỉnh đó(ví dụ: A + t
AC
+ t
AB
).
- Dạng 2: 1 đỉnh và trung trực của 1 cạnh kề và
trung trực của 1 cạnh đối với đỉnh đó(ví dụ: A +
t
AB
+ t
BC
).

Phương pháp: Ta xét dạng 1, với dạng 2 được xét tương tự:
- Cạnh AB qua đỉnh A và

t
AB


M = AB x t
AB

- Cạnh AC qua đỉnh A và

t
AC


P = AC x t
AC

- Đỉnh B và C được xác định từ kết quả M là trung điểm của AB, P là trung
điểm của AC.
3.10. Bài toán 10: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và 2
đường phân giác trong xuất phát từ 2 đỉnh còn lại?
Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A + l
C
+ l
B

- Gọi A
1
, A
2
lần lượt là điểm đối xứng của A qua
l
C
và l
B
.


A
1
, A
2

BC. (xem hệ quả 2.9)
- Cạnh BC qua A
1
, A
2
.
- Đỉnh B = BC x l
B
, đỉnh C = BC x l
C
.


Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu như giả thiết của bài toán cho 1 đỉnh và
2 đường phân giác trong, trong đó có 1 phân giác trong xuất phát từ đỉnh đã cho.
A
1
A
2
l
C
l
B
C
B

A
P
N
M

C
B
A
h
C
h
B
C
B
A
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 10 -

3.11. Bài toán 11: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và tọa độ 2
chân đường cao?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: 1 đỉnh và 2 chân đường cao thuộc 2
cạnh kề với đỉnh đó (ví dụ: A + N + P).
- Dạng 2: 1 đỉnh và 2 chân đường cao, trong đó
có 1 chân đường cao hạ từ đỉnh đã cho (ví dụ:
A + M + P).
Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Cạnh AB qua 2 điểm A, P.
- Cạnh AC qua 2 điểm A, N.

- h
B
qua N và

AC

B = h
B
x AB.
- h
C
qua P và

AB

C = h
C
x AC.
3.12. Bài toán 12: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 2 đỉnh và tọa độ 1
trung điểm(hai đỉnh và trung điểm không thẳng hàng)?
Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A, B, N.
- Tọa độ đỉnh C được xác định bởi hệ thức:
NCBN 


Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu giả thiết cho
2 đỉnh A, B và trung điểm M của AB.

3.13. Bài toán 13: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 2 đỉnh và phương
trình 1 đường trung trực của cạnh không qua 2 đỉnh đã cho?

Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A, B, t
BC
.
- Cạnh BC qua B và

t
BC
.
- Trung điểm N của BC xác định bởi: N = BC x t
BC
.
- Tọa độ đỉnh C xác định bởi hệ thức:
NCBN 
.
Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu giả thiết cho
2 đỉnh A, B và trung trực t
AB
của cạnh AB.

3.14. Bài toán 14: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 2 đỉnh và 1
phương trình đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh còn lại?
Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A + B + l
C

- Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua l
C


A
1

BC. (xem hệ quả 2.9)
- Cạnh BC qua A
1
, B.
- Đỉnh B = BC x l
C
.


Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu như giả thiết của bài toán không cho
đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh còn lại.
A
1
l
C
C
B
A
N
C
B
A

N
M

C
B
A
A
P
N
M

C
B
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 11 -

3.15. Bài toán 15: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ trung điểm của 1
cạnh và phương trình 2 cạnh còn lại?
Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho M, AC, BC.
- Đỉnh C = AC x BC.
- Đường trung bình MN qua M và // AC.
- Trung điểm N = BC x MN.
- Đỉnh B xác định từ hệ thức:
NCBN 
.
- Đỉnh A xác định từ hệ thức:
MA
BM

( hoặc
cạnh AB qua B, M)

*Cách khác: Do A

AC, B

BC

biểu diễn tọa độ B, C theo tham số rồi giải
HPT:
MA
BM



tham số

A, B.
Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu giả thiết cho phương trình 2 cạnh và 1
trung điểm của 1 trong 2 cạnh đó.
3.16. Bài toán 16: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ trung điểm của 1
cạnh và phương trình 2 đường trung tuyến?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: Trung điểm và phương trình 2 đường
trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh có trung điểm
đã cho.(ví dụ: M + m
B
+ m
C
).
- Dạng 2: Trung điểm và phương trình 2 đường
trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh chưa biết trung

điểm.(ví dụ: M + m
B
+ m
A
).

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Ta có tọa độ trọng tâm G = m
C
x m
B
.
- Biểu diễn tọa độ B, C theo tham số( vì B

m
B
, C

m
C
).
- Do M là trung điểm BC

Giải HPT
MCBM 

tham số

tọa độ B,C.
- Tọa độ A suy từ: OCOBOGOA  3

3.17. Bài toán 17: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ trung điểm của 1
cạnh và phương trình 2 đường cao?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: Trung điểm và phương trình 2 đường
cao hạ từ 2 đỉnh có trung điểm đã cho ( ví dụ:
M + h
B
+ h
C
).
- Dạng 2: Trung điểm và phương trình 2 đường
cao hạ từ 2 đỉnh chưa biết tọa độ trung điểm (ví
dụ: M + h
A
+ h
B
)


Phương pháp: Ta xét cách giải của dạng 2, dạng 1 được xét tương tự.
- Cạnh CB qua M và

h
A
.

Đỉnh B = CB x h
B

- Đỉnh C xác đỉnh bởi hệ thức:

MCBM 
.
- Cạnh AC qua C và

h
B
.

Đỉnh A = AC x h
A


h
A
M

h
C
h
B
C
B
A
m
B
M

m
C
C

B
A
G

N
M

C
B
A
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 12 -

3.18. Bài toán 18: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ trung điểm của 1
cạnh và phương trình 2 đường trung trực của 2 cạnh còn lại?
Phương pháp: Giả sử giả thiết cho M + t
AC
+ t
BC
.
- Đường trung bình MN qua M và

t
AC
.
- Đường trung bình MP qua M và

t
BC

.
- Trung điểm N = t
BC
x MN, P = t
CA
x MP.
(Đây chính là bài toán 2 đã biết cách giải)

3.19. Bài toán 19: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ trung điểm của 1
cạnh và phương trình 2 đường phân giác trong xuất phát từ 2
đỉnh có trung điểm đã cho?
Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho M + l
C
+ l
B

- Do B

l
B
, C

l
C


biểu diễn tọa độ B, C theo
tham số.
- Xác định tọa độ B, C từ hệ thức:
MCBM 

.
- Gọi M
1
, M
2
lần lượt là các điểm đối xứng của
M qua l
C
, l
B


M
1

AC, M
2

AB.
- Cạnh AB qua M và M
2
, cạnh AC qua C và M
1
.

Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu như giả thiết của bài toán cho: M + l
A
+
l
B

hoặc M + l
C
+ l
A
.
3.20. Bài toán 20: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 2 trung điểm của
2 cạnh và 1 phương trình đường cao?
Phương pháp: Giả sử giả thiết cho M + N + h
A

- Cạnh BC qua N và

h
A
.
- Do B

BC, A

h
A


biếu diễn tọa độ B,
A theo tham số.
- Xác định tọa độ B, A từ hệ thức:
MA
BM

.

- Đỉnh C xác định bởi hệ thức:
NCBN 
.

Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm giả thiết cho M + N + h
B
.
3.21. Bài toán 21: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 2 trung điểm của
2 cạnh và phương trình 1 đường phân giác trong?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: 2 trung điểm của 2 cạnh và phân giác
trong xuất phát từ đỉnh thuộc 2 cạnh đó (ví dụ:
M + N + l
A
).
- Dạng 2: 2 trung điểm của 2 cạnh và phân giác
trong xuất phát từ đỉnh không phải là đỉnh
chung của 2 cạnh đó (ví dụ: M + N + l
B
).


Phương pháp: Ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
N
1
M

N
M
1

l
A
C
B
A
N
1
M

N
M
1
l
A
C
B
A
h
A N
M
C
B
A
M

M
2
M
1
l

C
l
B
C
B
A
P
N
M

C
B
A
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 13 -

- Gọi M
1
, N
1
lần lượt là các điểm đối xứng của M, N qua l
A
.

M
1

AC, N
1


AB.

Cạnh AB qua M, N
1
, cạnh AC qua N, M
1
.
- Đỉnh A = AB x AC.
- Đỉnh B xác định từ hệ thức:
MA
BM

.
- Đỉnh C xác định từ hệ thức:
NACN 
.
3.22. Bài toán 22: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 2 trung điểm của
2 cạnh và tọa độ chân đường cao?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: 2 trung điểm và chân đường cao lần
lượt thuộc phương trình của 3 cạnh(ví dụ: M +
N + K).
- Dạng 2: 1 trung điểm và chân đường cao thuộc
cùng 1 cạnh.

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Đường trung bình Mn qua 2 điểm M và N.
- Đường cao h

A
qua K và

MN.
- Gọi H = MN x h
A


H là trung điểm AK.
- Đỉnh A xác định từ hệ thức:
HK
AH

.
- Đỉnh B xác định từ hệ thức:
MB
AM

.
- Đỉnh C xác định từ hệ thức:
NCAN 
.
3.23. Bài toán 23: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 1 cạnh và
2 đường trung tuyến?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: Phương trình 1 cạnh và 2 đường trung
tuyến xuất phát từ 2 đỉnh mà cạnh đó đi qua(ví
dụ: BC + m
B
+ m

C
).
- Dạng 2: Phương trình 1 cạnh và 2 đường trung
tuyến, trong đó có 1 trung tuyến xuất phát từ 1
đỉnh mà cạnh đó không đi qua(ví dụ: BC + m
B

+ m
A
).

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Ta có tọa độ trọng tâm G = m
C
x m
B
.
- Đỉnh B = m
B
x BC, đỉnh C = m
C
x BC.
- Tọa độ A suy từ: OCOBOGOA  3
3.24. Bài toán 24: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 1 cạnh và
phương trình 2 đường cao hạ từ 2 đỉnh mà cạnh đó đi qua?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho AB +
h
A
+ h
B

.
- Đỉnh A = AB x h
A
, đỉnh B = AB x h
B
.
- Cạnh AC qua A và

h
B
.
- Cạnh BC qua B và

h
A
.

h
A

h
B

C
B
A
m
B

m

C
C
B
A
G
N
K
M
C
B
A
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 14 -

3.25. Bài toán 25: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 1 cạnh và
phương trình 2 đường phân giác trong?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: Phương trình 1 cạnh và 2 đường phân
giác trong xuất phát từ 2 đỉnh mà cạnh đó đi
qua (ví dụ: AB + l
A
+ l
B
).
- Dạng 2: Phương trình 1 cạnh và 2 đường phân
giác trong, trong đó có 1 phân giác trong xuất
phát từ 2 đỉnh mà cạnh đó không đi qua (ví dụ:
AB + l
A

+ l
C
).

Phương pháp: Ta xét cách giải cho dạng 2, dạng 1 được xét tương tự.
- Đỉnh A = AB x l
A
.
- Cạnh AC được xác định từ hệ thức: ),(),( ABltglACtg
AA
 , với C(x; y).
- Cạnh BC được xác định từ hệ thức: ),(),( BCltglACtg
CC
 , với B(x, y).
3.26. Bài toán 26: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 2 cạnh và
1 đường trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh không thuộc đồng thời
2 cạnh đã cho?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho AB +
AC + m
B
.
- Đỉnh A = AB x AC.
- Đỉnh B = AB x m
B
.
- Trung điểm M của AC: M = m
B
x AC.
- Đỉnh C xác định từ hệ thức:
MCAM 

.
Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm giả thiết cho
phương trình 2 cạnh và 1 đường trung tuyến xuất
phát từ đỉnh chung của 2 cạnh đã cho (ví dụ: AB +
AC + m
A
).

3.27. Bài toán 27: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 2 cạnh và
1 đường phân giác trong xuất phát từ 1 đỉnh không thuộc đồng
thời 2 cạnh đã cho?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho AB,
AC và l
C
.
- Đỉnh C = AC x l
C
.
- Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua l
C


A
1

BC.
- Cạnh BC qua 2 điểm C và A
1

.
Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm nếu gả thiết cho
đường phân giác trong qua dỉnh chung của 2 cạnh(ví
dụ: AB + AC + l
A
).


A
1
l
C
C
B
A
M


m
B
C
B
A
l
C
l
A
C
B
A

Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 15 -

3.28. Bài toán 28: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 2 cạnh và
tọa độ 1 chân đường cao thuộc cạnh còn lại?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho AB +
AC + H.
- Đỉnh A = AB x AC.
- Cạnh AC qua H và

AH.
Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm nếu chân đường cao
thuộc 1 trong 2 cạnh đã cho (ví dụ: AB + BC + H).

3.29. Bài toán 29: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 2 đường
trung tuyến và 1 đường cao (trong đó 1 đường cao và trung
tuyến xuất phát từ 1 đỉnh)?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho: m
B
+
m
C
+ h
C
.
- Trọng tâm G = m
B
x m
C

; Đỉnh C = m
C
x h
C
.
- Trung điểm M của BA xác định bởi hệ thức:
MGMC 3 .
- Cạnh AB qua M và

h
C
.
- Đỉnh B = AB x m
B
.

- Đỉnh A xác định bởi hệ thức:
MA
BM

( hoặc từ: OCOBOGOA  3 )
Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm nếu 2 đường trung tuyến và đường cao được
xuất phát từ 3 đỉnh phân biệt (ví dụ: m
B
+ m
C
+ h
A
).
3.30. Bài toán 30: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 2 đường

trung tuyến và 1 đường trung trực?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho m
B
+
m
C
+ t
AB
.
- Trung điểm M của AB, xác định bởi: M= m
C
x t
AB

- Gọi G là trọng tâm tam giác: G = m
B
x m
C

- Đỉnh C xác định bởi hệ thức: MGMC 3 .
- Cạnh AB qua M và

t
AC
.

đỉnh B = AB x m
B

- Đỉnh A xác định bởi hệ thức:
MA
BM

(hoặc từ: OCOBOGOA  3 )
Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm nếu giả thiết cho m
B
+ m
C
+ t
AC
.
3.31. Bài toán 31: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 2 đường
trung tuyến và 1 đường phân giác?
Với bài toán này giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: Có 1 phương trình đường trung tuyến và
đường phân giác xuất phát từ cùng 1 đỉnh (ví dụ: m
B

+ m
C
+ l
C
).
- Dạng 2: Cả 3 đường đã cho đều xuất phát từ 3
đỉnh phân biệt (ví dụ: m
B
+ m
C
+ l

A
).


m
C
l
C
m
B
C
B
A
m
C
t
AB
m
B
C
B
A
m
C
h
C
m
B
C
B

A
A
H
C
B
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 16 -

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Trọng tâm G = m
B
x m
C
; Đỉnh C = m
C
x l
C
.
- Trung điểm M của BA xác định bởi hệ thức: MGMC 3 .
- Do B

m
B


tọa độ B theo tham số.
- Do
MA
BM




tọa độ A theo tham số.
- Giải hệ PT: OCOBOGOA  3

tham số

tọa độ A, B.
3.32. Bài toán 32: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 2 đường
cao và 1 đường phân giác(trong đó có 1 đường cao và phân giác
xuất phát từ cùng 1 đỉnh)?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho: h
B
+
h
C
+ l
C
.
- Đỉnh C = h
C
x l
C
.
- Cạnh AC qua C và

h
B
.


K = h
B
x AC.
- Gọi K
1
là điểm đốixứng của K qua l
C

K
1

BC
- Cạnh Bc qua C và K
1
.
- Đỉnh B = BC x h
B
.
- Cạnh AB qua B và

h
C
.

Chú ý: Bài toán sẽ vô số nghiệm nếu 2 đường cao và đường phân giác được xuất
phát từ 3 đỉnh phân biệt (ví dụ: h
B
+ h
C

+ l
A
).
3.33. Bài toán 33: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 2 đường
cao và 1 chân đường cao không thuộc 2 đường cao đã cho?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho: h
B
+
h
C
+ K( K

h
A
).
- Gọi H là trực tâm của tam giác

H = h
B
x h
C
.
- Cạnh BC qua điểm K và

HK.
- Đỉnh B = BC x h
B
và đỉnh C = BC x h
C
.

- Cạnh AB qua B và

h
C
.
- Cạnh AC qua C và

h
B
.

Chú ý: Bài toán sẽ vô số nghiệm nếu chân đường cao thuộc 1 trong 2 đường cao
đã cho( ví dụ: h
A
+h
B
+K)
3.34. Bài toán 34: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 1 đường
phân giác trong và 2 chân đường cao?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho l
B
+
M + K.
- Gọi M
1
, K
1
lần lượt là điểm M và K qua l
B
.

- Cạnh BC qua M
1
và K.

B = BC x l
B
.
- Cạnh AB qua M và K
1
.
- Đường cao h
A
qua K và

BC.

A = AB x h
A

- Đường cao h
C
qua M và

AB

C = CB x h
C


K

1
M
1
K
M

l
B
C
B
A
K
h
C
h
B
C
B
A
K
l
C
h
C
h
B
C
B
A
K

1
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 17 -

3.35. Bài toán 35: Giải tam giác ABC khi biết 1 đỉnh, 1 cạnh và 1
đường trung tuyến không qua đỉnh đã cho?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho A +
BC + m
B
.
- Đỉnh B = BC x m
B
.
- Do C

BC, M

m
B


biểu diễn tọa độ C, M
theo tham số.
- Giải hệ PT
MCAM 


tham số


tọa độ A, C

Chú ý: bài toán sẽ vô nghiệm nếu cạnh hoặc đường
trung tuyến qua đỉnh đã cho (ví dụ: A + AB + m
B
).

3.36. Bài toán 36: Giải tam giác ABC khi biết 1 đỉnh, 1 cạnh và 1
đường cao không qua đỉnh đã cho?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho A +
BC + h
B
.
- Đỉnh B = BC x h
B
.
- Cạnh AC qua A và

h
B
.

đỉnh C = BC x AC
Chú ý: bài toán sẽ vô nghiệm nếu cạnh hoặc đường
cao qua đỉnh đã cho (ví dụ: A + AB + h
B
).

3.37. Bài toán 37: Giải tam giác ABC khi biết 1 đỉnh, 1 cạnh và 1 chân
đường cao (trong đó đỉnh và chân đường cao không thuộc cạnh

đã cho)?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho A +
BC + M(M

AC).
- Cạnh AC qua 2 điểm A và M.
- Đường cao h
B
qua M và

AC.
- Đỉnh B = BC x h
B
.
Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm trong các trường
hợp còn lại.

3.38. Bài toán 38: Giải tam giác ABC khi biết 1 đỉnh, phương trình 1
đường trung tuyến và 1 đường cao?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: đường cao và trung tuyến xuất phát từ
cùng 1 đỉnh và không trùng với đỉnh đã cho (ví
dụ: A + h
B
+ m
B
).
- Dạng 2: đường cao và trung tuyến xuất phát từ
2 đỉnh phân biệt không trùng với đỉnh đã cho
(ví dụ: A + h

B
+ m
C
).

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Đỉnh B = h
B
+ m
B
.
- Cạnh AC qua đỉnh A và

h
B
.
- Trung điểm M của AC xác đỉnh: M = AC x m
B

- Đỉnh C xác định từ hệ thức:
MACM 
.
m
B
h
B
C
B
A
M

C
B
A
M

h
B
C
B
A
M

m
B
C
B
A
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 18 -

3.39. Bài toán 39: Giải tam giác ABC khi biết 1 đỉnh, phương trình 1
đường trung tuyến và 1 đường phân giác trong?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: đường phân giác trong và trung tuyến
xuất phát từ cùng 1 đỉnh và không trùng với
đỉnh đã cho (ví dụ: A + l
B
+ m

B
).
- Dạng 2: đường phân giác và trung tuyến xuất
phát từ 2 đỉnh phân biệt không trùng với đỉnh
đã cho (ví dụ: A + l
B
+ m
C
).

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 2, dạng 1 được xét tương tự.
- Do M

m
C
, B

l
B


biểu diễn tọa độ M, B theo tham số.
- Giải hệ PT:
MA
BM



tham số


tọa độ B.
- Gọi A
1
là điểm đốixứng của A qua l
B

A
1

BC
- Cạnh BC qua 2 điểm B, A
1

đỉnh C = m
C
x BC
3.40. Bài toán 40: Giải tam giác ABC khi biết 1 đỉnh, phương trình 1
đường trung tuyến và 1 chân đường cao?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: đỉnh và chân đường cao cùng thuộc 1
cạnh cắt trung tuyến tại 1 đỉnh khác (ví dụ: A +
M + m
B
).
- Dạng 2: chân đường cao chính là hình chiếu
của đỉnh đã cho trên cạnh mà cạnh này cắt
đường trung tuyến tại 1 đỉnh khác(ví dụ: A + N
+ m
B
).

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Cạnh AB qua 2 điểm A và M.

Đỉnh B = AB x m
B
.
- Đường cao h
C
qua M và

AB.
- Do C

h
C
, P

m
B


biểu diễn tọa độ C, P theo tham số.
- Giải hệ PT:
PCAP 


tham số

tọa độ C.

3.41. Bài toán 41: Giải tam giác ABC khi biết 1 đỉnh, 1 đường cao và 1
đường phân giác?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: đường cao và phân giác xuất phát từ 2
đỉnh phân biệt không trùng với đỉnh đã cho (ví
dụ: A + h
B
+ l
C
).
- Dạng 2: đường cao và phân giác xuất phát từ
cùng 1 đỉnh không trùng với đỉnh đã cho (ví dụ:
A + h
B
+ l
B
).

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Cạnh AC qua A và

h
B
.

Đỉnh C = AC x l
C
.
- Gọi A
1

là điểm đốixứng của A qua l
C

A
1

BC
- Cạnh BC qua C và A
1
.

đỉnh B = BC x h
B
.
A
1
l
C
h
B
C
B
A
P
N
M

m
B
C

B
A
M

A
1
m
C
l
B
C
B
A
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 19 -

3.42. Bài toán 42: Giải tam giác ABC khi biết 1 đỉnh, 1 đường cao và 1
chân đường cao?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: đỉnh và chân đường cao cùng thuộc 1
cạnh cắt đường cao tại 1 đỉnh khác (ví dụ: A +
M + h
B
).
- Dạng 2: chân đường cao và đỉnh cùng thuộc 1
đường cao khác(ví dụ: A + N + h
B
).

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Cạnh AB qua 2 điểm A và M.

đỉnh B=AB x h
B

- Cạnh AC qua điểm A và

h
B
.
- Đường cao h
C
qua M và

AB.
- Đỉnh C = AC x h
C
.
3.43. Bài toán 43: Giải tam giác ABC khi biết 1 đỉnh, 1 đường phân
giác trong và 1 chân đường cao?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: đỉnh và chân đường cao cùng thuộc 1
cạnh cắt phân giác trong tại 1 đỉnh khác (ví dụ:
A + M + l
B
).
- Dạng 2: đỉnh và chân đường cao cùng thuộc 1
cạnh, không trùng đỉnh với phân giác đã cho(ví
dụ: A + N + l

B
).

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 2, dạng 1 được xét tương tự.
- Cạnh AC qua 2 điểm A và N.
- Đường cao h
B
qua N và

AC.
- Đỉnh B = h
B
x l
B
.

cạnh AB qua A và B.
- Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua l
B


A
1

BC và cạnh BC qua B, A
1
.
3.44. Bài toán 44: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ trung điểm,

phương trình 1 cạnh và đường trung tuyến?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: trung điểm không thuộc cạnh và đường
trung tuyến đã cho và cạnh, trung tuyến cắt
nhau tại 1 đỉnh(ví dụ: M + BC + m
B
).
- Dạng 2: trung điểm không thuộc cạnh và
đường trung tuyến đã cho và c
ạnh, trung tuyến
không cắt nhau tại đỉnh(ví dụ: M + BC + m
A
).
- Giải hệ PT:
NCAN 

tham số

tọa độ C.

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Đỉnh B = BC x m
B
.
- Đỉnh A xác định từ hệ thức:
MB
AM

.
- Do N


m
B
, C

BC

biểu diễn tọa độ N, C theo tham số.
N
m
A
A
M

m
B
C
B
A
1
A
N
M

l
B
C
B
N
M

h
B
C
B
A
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 20 -

3.45. Bài toán 45: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ trung điểm,
phương trình 1 cạnh và chân đường cao (trong đó đỉnh và chân
đường cao cùng thuộc 1 cạnh, khác cạnh đã cho)?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho AB +
H + M (H, M

BC)
- Cạnh BC qua 2 điểm H và M.
- Đỉnh B = AB x BC.
- Đỉnh C xác định bởi hệ thức:
MCBM 
.
- Đường cao h
A
qua H và

BC.
- Đỉnh A = AB x h
A
.

Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm trong mọi trường
hợp khác giả thiết trên của bài toán.

3.46. Bài toán 46: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ trung điểm,
phương trình đường trung tuyến và đường cao?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 3 dạng sau:
- Dạng 1: Trung điểm thuộc cạnh qua 2 đỉnh, lần
lượt thuộc trung tuyến và đường cao đã cho (ví
dụ: M + m
A
+ h
B
).
- Dạng 2: Đường cao và trung tuyến xuất phát từ
1 đỉnh và trung điểm thuộc cạnh kề với đỉnh đó
(ví dụ: M + m
A
+ h
A
).

- Dạng 3: Trung điểm không thuộc trung tuyến và cạnh qua 2 đỉnh, lần lượt
thuộc trung tuyến và đường cao đã cho (ví dụ: N + m
A
+ h
B
).
Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 2, còn dạng 1 và 3 xét tương tự.
- Đỉnh A = m
A

x h
A
.
- Đỉnh B xác định bởi hệ thức:
MA
BM


- Cạnh BC qua b và

h
A
.
- Trung điểm P của BC xác định: P = m
A
x BC.
- Đỉnh C xác định bởi hệ thức:
NCBN 
.
3.47. Bài toán 47: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ trung điểm,
phương trình đường trung tuyến và đường phân giác trong xuất
phát từ cùng một đỉnh?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho M +
l
A
+ m
A
(M

AC)

- Đỉnh A = m
A
x l
A
.
- Đỉnh B xác định bởi hệ thức:
MA
BM

.
- Gọi M
1
là điểm đối xứng của M qua l
A


M
1

AC, Cạnh AC qua A và M
1
.

- Do C

AC, N

m
A


biểu diễn tọa độ C, N theo tham số.
- Giải hệ PT:
NCBN 


tham số

tọa độ C.
Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm trong mọi trường hợp khác giả thiết trên của bài
toán.
M
1

M

A
m
A
l
A

C
B

h
A
N
M

h
B
A
m
A
C
B
A
H M

C
B
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 21 -

3.48. Bài toán 48: Giải tam giác ABC khi biết trung điểm, phương
trình đường trung tuyến và chân đường cao(trung điểm và chân
đường cao thuộc cùng 1 cạnh cắt trung tuyến đã cho tại 1 đỉnh)?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho M +
H + m
A
(M, H

AB).
- Cạnh AC qua 2 điểm M và H.
- Đỉnh A = m
A
x AB.
- Đỉnh B xác định từ hệ thức:

MA
BM

.
- Đường cao h
C
qua H và

AB.
- Do N

m
A
, c

h
C


biểu diễn tọa độ C, N
theo tham số.
- Giải hệ PT:
NCBN 

tham số

tọa độ C.
Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm trong mọi trường
hợp khác giả thiết trên của bài toán.

3.49. Bài toán 49: Giải tam giác ABC khi biết trung điểm, phương
trình đường cao và phân giác trong?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: Đường cao và phân giác trong xuất
phát từ 1 đỉnh và trung điểm thuộc cạnh kề với
đỉnh đó (ví dụ: M + l
A
+ h
A
).
- Dạng 2: Đường cao và phân giác trong xuất
phát từ 2 đỉnh và trung điểm không thuộc cạnh
qua 2 đỉnh đó (ví dụ: h
A
+ l
B
+ M

AB)

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Đỉnh A = h
A
x l
A


Cạnh AB qua A và M.
- Đỉnh B xác định bởi hệ thức:
MA

BM


- Gọi M
1
là điểm đối xứng của M qua l
A


M
1

AC

Cạnh AC qua A, M
1

- Cạnh BC qua B và

h
A
.
3.50. Bài toán 50: Giải tam giác ABC khi biết trung điểm, phương
trình đường cao và chân đường cao (trong đó trung điểm và
chân đường cao thuộc cùng 1 cạnh cắt đường cao đã cho tại 1
đỉnh)?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho M +
H + h
A
(M, H


AB).
- Cạnh AB đi qua 2 điểm H và M.

đỉnh A = AB x h
A
.
- Tọa độ đỉnh B xác định bởi hệ thức:
MA
BM

.
- Cạnh BC qua đỉnh B và

h
A
.
- Đường cao h
C
qua điểm H và

AB.
- Đỉnh C = h
C
x BC.
Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm trong mọi trường
hợp khác giả thiết trên của bài toán.

H
M

A
h
A


C
B
M
1
h
A
M

A
l
A
C
B
H
M

A
m
A


C
B
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm

Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 22 -

3.51. Bài toán 51: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 1 cạnh, 1
trung tuyến và đường cao?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: Đường cao và trung tuyến xuất phát từ
2 đỉnh mà cạnh đi qua(ví dụ: AB + h
A
+ m
B
).
- Dạng 2: Đường cao và trung tuyến không cùng
xuất phát từ 1 đỉnh và trung tuyến xuất phát từ
đỉnh mà cạnh đó không đi qua (ví dụ: AB + h
A

+ m
C
)

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Đỉnh A = AB x h
A
; Đỉnh B =AB x m
B
.
- Cạnh BC qua B và

h

A
.
- Do M

m
B
, C

BC

biểu diễn tọa độ M, C theo tham số.
- Giải hệ PT:
MACM 


tham số

tọa độ C.
3.52. Bài toán 52: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 1 cạnh, 1
trung tuyến và trung trực?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: Trung trực của cạnh qua đỉnh chung
của cạnh và trung tuyến(ví dụ: AB + t
AC
+ m
A
).
- Dạng 2: Trung trực và trung tuyến cắt nhau tại
trung điểm của cạnh, phân biệt với cạnh đã
cho(ví dụ: AB + t

BC
+ m
A
)

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Đỉnh A = AB x m
A
.
- Cạnh AC qua A và

t
AC
.
- Trung điểm M của AC xác định: M = t
AC
x AC.
- Do N

m
A
, B

AB

biểu diễn tọa độ N, B theo tham số

Giải HPT:
NCBN 


tham số

tọa độ B.
3.53. Bài toán 53: Giải tam giác ABC khi biết phương trình cạnh,
trung tuyến và phân giác trong?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: Trung tuyến và phân giác trong xuất
phát từ 2 đỉnh mà cạnh đó đi qua(ví dụ: AB + l
B

+ m
A
).
- Dạng 2: Trung tuyến và phân giác trong xuất
phát từ 2 đỉnh, với cạnh và trung tuyến không
chung đỉnh(ví dụ: AB + l
A
+ m
C
)

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Đỉnh A = AB x m
A
; Đỉnh B = AB x l
B
.
- Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua l

B
.

A
1

BC

cạnh BC qua B và A
1

- Trung điểm N = BC x m
A
.
- Đỉnh C xác định từ hệ thức:
NCBN 

l
B
m
A
A
C
B
N A
1
t
AC
M

m
A
A
C
B
N
m
B
M

h
A
A
C
B
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 23 -

3.54. Bài toán 54: Giải tam giác ABC khi biết phương trình cạnh,
trung tuyến và chân đường cao?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: Cạnh và trung tuyến cắt nhau tại 1 đỉnh
và chân đường cao thuộc cạnh kề với đỉnh đó
(ví dụ: AB + m
A
+ M, M

AC).
- Dạng 2: Cạnh và trung tuyến cắt nhau tại 1 đỉnh

và chân đường cao thuộc cạnh đối với đỉnh đó
(ví dụ: AB + m
A
+ N, N

BC).

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Đỉnh A = AB x m
A
.
- Cạnh AC qua 2 điểm A và M.
- Đường cao h
B
qua điểm M và

AC.
- Đỉnh B = AB x h
B
.
- Do N

m
A
, C

AC

biểu diễn tọa độ N, C theo tham số


Giải HPT:
NCBN 

tham số

tọa độ C.
3.55. Bài toán 55: Giải tam giác ABC khi biết phương trình cạnh,
trung trực và đường cao(trong đó cạnh, đường cao cắt nhau tại 1
đỉnh và đường trung trực của cạnh kề của đỉnh đó)?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho AB +
h
A
+ t
AC
.
- Đỉnh A = AB x h
A
.
- Cạnh AC qua đỉnh A và

t
AC
.
- Trung điểm M = t
AC
x AC.
- Đỉnh C xác định từ:
MCAM 
.
- Cạnh BC qua đỉnh C và


h
A
.

Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm với giả thiết khác giả thiết đã cho.
3.56. Bài toán 56: Giải tam giác ABC khi biết phương trình cạnh,
đường cao và chân đường cao(trong đó cạnh, đường cao cắt
nhau tại 1 đỉnh và chân đường cao thuộc cạnh đó)?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho AB +
h
A
+ M (M

AB)
- Đỉnh A = AB x h
A
.
- Cạnh AC qua A, M.
- Đường cao h
B
qua M và

AC.
- Đỉnh B = AB x h
B.
- Cạnh CB qua B và

h
A

.


Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm với giả thiết khác giả thiết đã cho.
A
M
h
A
C
B
t
AC
M
h
A
A
C
B
N

M
m
A
A
C
B
N

Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

- Trang 24 -

3.57. Bài toán 57: Giải tam giác ABC khi biết phương trình cạnh,
phương trình đường cao hạ từ đỉnh mà cạnh đó đi qua và đường
phân giác trong xuất phát từ dỉnh mà cạnh đó không đi qua?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho AB +
h
A
+ l
C
.
- Đỉnh A = AB x h
A
.
- Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua l
C
.

A
1


BC.

Cạnh BC qua A
1
và


h
A
.
- Đỉnh B = AB x BC, Đỉnh C = BC x l
C
.
Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm với giả thiết khác
giả thiết đã cho (ví dụ: AB + l
A
+ h
C
).

3.58. Bài toán 58: Giải tam giác ABC khi biết phương trình đường
cao, trung tuyến, trung trực?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: Đường cao và trung tuyến hạ từ 1 đỉnh,
trung trực của cạnh kề với đỉnh đó (ví dụ: h
A
+
m
A
+ t
AC
).
- Dạng 2: Trung trực và trung tuyến cắt nhau tại
trung điểm của 1 cạnh, đường cao hạ từ đỉnh kề
với cạnh đó (ví dụ: h
A
+ m

B
+ t
AC
).

Phương pháp: ta xét cách giải cho dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Đỉnh A = h
A
x m
A
.
- Cạnh AC qua A và

t
AC
.
- Gọi N là trung điểm của AC

N = AC x t
AC
.
- Đỉnh C xác đỉnh bởi:
NCAN 
.
- Cạnh BC qua C và

h
A
.
- Gọi M là trung điểm của BC


M = m
A
x BC.
- Đỉnh B xác định bởi:
MCBM 
.
Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm với giả thiết khác giả thiết đã cho (ví dụ: h
A
+
m
A
+ t
BC
; h
A
+ m
B
+ t
BC
).
3.59. Bài toán 59: Giải tam giác ABC khi biết phương trình đường
cao, trung tuyến và phân giác trong?
Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: Trung tuyến và đường cao hạ từ cùng 1
đỉnh, còn phân giác xuất phát từ 1 trong 2 đỉnh
còn lại (ví dụ: m
A
+ h
A

+ l
B
).
- Dạng 2: Trung tuyến và phân giác xuất phát từ
cùng 1 đỉnh, còn đường cao hà từ 1 trong 2
đỉnh còn lại (ví dụ: m
A
+ l
A
+ h
B
).

Phương pháp: ta xét cách giải cho dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Đỉnh A = h
A
x m
A
.
- Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua l
B
.

A
1

BC.


Cạnh BC qua A
1
và

h
A
.

Đỉnh B = BC x l
B
.
A
1
l
B
A
m
A
h
A
C
B
N
t
CA
A
m
A
h
A

C
B
l
C
A
A
1
h
A
C
B
Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm
Lớp các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Trang 25 -

- Gọi M là trung điểm của BC

M = m
A
x BC.
- Đỉnh C xác định bởi:
MCBM 
.
Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm với giả thiết khác giả thiết đã cho (ví dụ: m
B
+
l
A
+ h
A

).
3.60. Bài toán 60: Giải tam giác ABC khi biết phương trình đường
trung tuyến, phân giác trong xuất phát từ cùng 1 đỉnh và
phương trình đường trung trực của cạnh kề với đỉnh đó?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho m
A
+ l
A
+ t
AC
.
- Đỉnh A = m
A
x l
A
.
- Cạnh AC qua điểm A và

t
AC
.
- Gọi N là trung điểm của AC

N = AC x t
AC.

- Đỉnh C xác định bởi:
NCAN 
.
- Gọi N

1
là điểm đối xứng của N qua l
A


N
1


BA.

Cạnh AB qua 2 điểm A và N
1
.

- Do B

AB, M

m
A


biểu diễn tọa độ B, M theo tham số.
- Giải Hệ PT:
MCBM 


tham số


Đỉnh B.
Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm với giả thiết khác giả thiết đã cho.
3.61. Bài toán 61: Giải tam giác ABC khi biết phương trình đường
cao, trung trực tương ứng với 1 cạnh và trung tuyến xuất phát từ
đỉnh kề với cạnh đó?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho m
A
+
t
AC
+ K(K

AC).
- Cạnh AC qua K và

t
AC
.

Đỉnh A = m
A
x AC.
- Gọi N là trung điểm của AC

N = AC x t
AC
.
- Đỉnh C xác định bởi:
NCAN 
.

- Đường cao h
B
qua K và

AC.

- Do B

h
B
, M

m
A


biểu diễn tọa độ B, M theo tham số.
- Giải Hệ PT:
MCBM 


tham số

Đỉnh B.
Chú ý: bài toán sẽ vô số nghiệm với giả thiết khác giả thiết đã cho.
3.62. Bài toán 62: Giải tam giác ABC khi biết phương trình đường
cao, phân giác trong xuất phát từ 1 đỉnh và đường trung trực
của cạnh kề với đỉnh đó?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho h
A

+ + l
A
+ t
AC
.
- Đỉnh A = h
A
x l
A
.
- Cạnh AC qua A và

t
AC
.
- Gọi N là trung điểm của AC

N = AC x t
AC
.
- Đỉnh C xác định bởi:
NCAN 
.
- Cạnh BC qua C và

h
A
.
- Gọi N
1

là điểm đối xứng của N qua l
A
.

N
1
C
t
AC
N
A
l
A
C
B
h
A
C
t
AC
N
K

A
m
A
C
B
M

C
N
1
N
t
CA
A
m
A
l
A
C
B
M