Các bài toán trong tam giác 1997-2008

CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
Trần Đức Ngọc 0985128747 Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An


Page 1


Những bài toán đã thi từ 1997 đến 2008
1)Tam giác ABC có : sin
2
A+sin
2
B+sin
2
C 2 Thì Tam giác ABC là Tam giác nhọn .
Hd : (Đề 2.5-D98,A2000)
Biến đổi T = sin
2
A+sin
2
B+sin
2
C = 2 + 2cosAcosBcosC.Biện luận.
2)Tam giác nhọn ,có : + + = + + . C/m ABC đều
Hd : (Đề 2.6-A99)
Tam giác ABC nhọn nên cosA,cosB,cosC 0.Theo Cosi : + (1)
Mà cosAcosB = = cos
2
= sin
2

Suy ra: cosAsosB cos
2
= sin
2
. (2)
Do đó,từ (1) và (2) ta có : + .Tức là +
-Viết hai bđt tương tự, cộng 3 bđt , ta được đpcm : + + + +
3)Tam giác ABC có : sinA+sinB+sinC – 2sin sin = 2sin .C/minh : C = 120
0

Hd : (Đề 2.7-A2000)
sinA+sinB+sinC – 2sin sin = 2sin 4cos cos cos - 2sin sin = 2cos
….. cos = ….. C = 60
0

4)Hai góc A,B của tam giác ABC thoả mãn đk: tan + tan = 1.
Chứng minh rằng: tan 1
Hd : (Đề 3.11-A98) Chứng minh được tan tan + tan tan + tan tan = 1.
Suy ra: tan = = 1 .Mặt khác =
Do đó : tan tan .Cho nên: tan = Dấu bằng xẩy ra khi tan = tan =
Tức là khi ABC cân tại đỉnh C.
5) C/m Tam giác ABC đều khi và chỉ khi :
+ + - (cotA+cotB+cotC) = (*)
Hd : (Đề 3.12-A99) (*) + + = tan + tan + tan = . Vậy ABC đều
( Với mọi tam giác ta luôn có: tan + tan + tan …..
( bình phương 2 vế,thay 1 = tan tan + tan tan + tan tan )
…… + 0 ,dấu bằng xẩy ra khi ABC đều )
6) Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn có bán kính R = 1.Gọi m
a
, m

b
, m
c
là độ dài các trung tuyến.C/m
Tam giác ABC đều khi và chỉ khi : + + =
Hd : (Đề3.14-A01) Đk cần : ABC đều thì ta có m
a
= m
b
= m
c
= = = sinA .
CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
Trần Đức Ngọc 0985128747 Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An


Page 2


Suy ra : = = = + + =
Điều kiện đủ :
2m
a
2
+ = b
2
+ c
2
a
2

+ b
2
+ c
2
= 2m
a
2
+ 2 a.m
a
(1)
Hoàn toàn tương tự có: (2) (3) Cộng (1) , (2) , (3) vế theo vế được :
+ + 2 + + .Dấu bằng xẩy ra …..
(công thức trung tuyến ) a
2
= b
2
= c
2
ABC đều
7) C/m rằng :Nếu Tam giác ABC có (b
2
+c
2
)sin(C – B) = (c
2
– b
2
)sin(C + B) Thì tam giác đó vuông hoặc cân
Hd : (Đề4.16-A99) (b
2

+c
2
)sin(C – B) = (c
2
– b
2
)sin(C + B)
b
2

= c
2
… sin2BsinBsinC = sin2CsinBsinC
sin2B = sin2C (ptlg cơ bản) ….. Tam giác ABC vuông hoặc cân.
8
*
)Cho tam giác ABC có đường thẳng đi qua trọng tâm G và tâm I đường tròn nội tiếp vuông góc với đường
phân giác trong của góc C,gọi a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác ABC.Chứng minh rằng : =
Hd : (Đề 5.18-A2000).
- Gọi giao điểm của IP với các cạnh CA,CB tương ứng là P,Q.Từ giả thiets suy ra CPQ cân tại C
-Gọi r,p, h
a
,h
b
, S thứ tự là …của ABC .d
a
, d
b
là khoảng cách từ G đến các cạnh a,b của ABC
- Tính diện tích CPQ theo hai cách:

Cách 1: dt
CPQ
= dt
CIP
+ dt
CIQ
= r (CP + CQ) = r.CP (1) (CP = CQ do CPQ cân)
Cách 2 : dt
CPQ
= dt
CGP
+ dt
CGQ
= d
b
.CP + d
a
.CQ = (d
a
+ d
b
)

.CP (2) (CP = CQ do CPQ cân)
Từ (1) , (2) và chú ý G là trọng tâm ABC d
a
= h
a
d
b

= h
b
nên ta có :
r.CP = (d
a
+ d
b
)

.CP r = (d
a
+ d
b
) r = (h
a
+ h
b
)

= (

+

)

= (

+

)

= .Đây là đpcm
9)Tam giác ABC có 2b = a +c khi và chỉ khi cot cot = 3
Hd :(Đề 6.21-D98) Định lý sin trong Tam giác.Biến đổi tổng thành tích
10)Tam giác ABC có 5tan tan = 1 .Chứng minh 3c = 2(a+b)
Hd :(Đề 6.22-D2000) Đlý sin trong Tam giác.Biến đổi tương đương từ cạnh về góc, bđ tổng thành tích
11)Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh ,A,B,C là các góc ,S là diện tích và R là bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh cotA+cotB+cotC =
Hd :(Đề 8.28-A98).Áp dụng các công thức : cosA= , sinA = và S = . cotA =
12)Tam giác ABC thoả mãn hệ thức = . Chứng minh tam giác ABC đều
Hd :(Đề 8.29-A99) Định lý sin trong tam giác.
-Đẳng thức đã cho tương đương với sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC (*)
-Nhân 2 cả hai vế ,(*) (sin2A + sin2B-2sinC)+( sin2B + sin2C-2sinA)+( sin2C + sin2A-2sinB)=0
CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
Trần Đức Ngọc 0985128747 Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An


Page 3


2sinC + 2sinB + 2sinA = 0
A = B = C ABC đều
13)Tam giác ABC thoả mãn hệ thức :

+

=

.(*) Chứng minh ABC vuông.

Hd :(Đề 10.34-A97) Đlý sin .(*) = cos(A+B) = 0 ABC vuông
14) Trong tam giác ABC ,chứng minh luôn có cosA+cosB+cosC 1 (*)
Hd :(Đề 10.35-B97) .Ta có (*) 2 + 4sin sin sin 0
15) Trong tam giác ABC ,chứng minh : a
2
+b
2
+c
2
2(ab+bc+ca)
Hd :(Đề 10.36-D97) Ta có : a b
2
+ c
2
– a
2
2bc
b c
2
+ a
2
– b
2
2ca
c a
2
+ b
2
– c
2

2ab
Cộng ba bđt cùng chiều , được đpcm : ABC bất kỳ ta luôn có : a
2
+b
2
+c
2
2(ab+bc+ca)
16) Chứng minh :Tam giác vuông hoặc cân khi và chỉ khi : acosB – bcosA = asinA – bsinB
Hd :(Đề 10.37-A98) .Định lý sin
17) Chứng minh :Tam giác ABC có tanA + tanB = 2cot thì ABC là tam giác cân
Hd :(Đề 10.38-B98)
18) Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A,B,C thoả mãn hệ thức :
cos2A + (cos2B +cos2C) + = 0 (*)
Hd :(Đề 12.47-A01) (*) + 3.sin
2
(B-C) = 0
….. ABC đều
19) Tam giác ABC thoả mãn atanA + btanB = (a+b).tan .(*) Chứng minh ABC cân
Hd :(Đề 13.54-D01) . (*) .(tan A –tanB) = 0 ….. A = B , ABC cân tại C.
20) Tam giác ABC thoả mãn hệ thức : cot
2
+ cot
2
+ cot
2
= 9. Chứng minh tam giác ABC đều
Hd :(Đề 14.57-A99) Ta có 1= tan tan + tan tan + tan tan 3
cot
2

cot
2
cot
2
27 (1) .
Theo Cosi : cot
2
+ cot
2
+ cot
2
3. (2) Từ (1) và (2) suy ra :
cot
2
+ cot
2
+ cot
2
3. = 9 .Dấu bằng xẩy ra khi ở (1) và (2) đồng thời xẩy ra dấu bằng, tức là khi:
….. ABC đều
21) Tam giác ABC là tam giác gì nếu :
Hd :(Đề 15.58-A97)
CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
Trần Đức Ngọc 0985128747 Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An


Page 4


-Đẳng thức (1) - 4cos cos cos = 0 có góc (chẳng hạn A) bằng 60

0

-Đẳng thức (2) … cos (A - B) = 1 … A = B .Như vậy ,suy ra ABC đều
22) Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn C B A 90
0
.
Tìm gtnn của biểu thức : M = cos sin .sin
Hd :(Đề 15.61-A99) Ta biến đổi M = .Ta c/minh M
-Có : sinCcoss(A-B) = sin(A+B)cos(A-B) = = sinAcossA + sinBcossB
-Suy ra : cos(A-B) = cosA + cosB cosA + cosB.Tức là cos(A-B) cosA + cosB M
( Vì theo giả thiết C B A 90
0
1 )
Thấy :với ABC đều thì điều kiện C B A 90
0
được thực hiện và M =
- Đẳng thức M = xẩy ra
-Suy ra : M= khi ABC là tam giác vuông tại A hoặc là tam giác đều.Vậy MinM =

23) Tam giác ABC là tam giác gì nếu :
Hd :(Đề 15.62-A01)
-Áp dụng Đlý sin cho (1),chia cả 2 vế cho 2sinAsinB 0 được (1) sinAcossB+sinBcosA = 2sinBcosA
sin(B-A) = 0 A = B . Thay vào (2) được 2sin2A = 4sin
2
A cosA = sinA A =
- Như vậy A = B = do đó C = , ABC vuông cân tại đỉnh C.
24) Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh ,r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
Chứng minh : + +
Hd :(Đề 16.64-A98)
Ta có : + + + +

= + + =
= = = .Dấu bằng xẩy ra ABC đều
25) Cho A,B,C là ba góc trong một tam giác .
Tìm gtln của biểu thức : M = 3cosA + 2(cosB + cosC)
Hd :(Đề 17.67-A98)
Ta có M = 3(1- 2sin
2
) + 4sin cos f (t) = 6t
2
- 4t.cos + (M – 3) = 0 với t = sin
Phương trình f (t) = 0 có ’ = 4cos
2
– 6(M-3) 0 M-3 cos
2
M + 3 =
M = cos
2
= 1 và ’ = 0 B = C và A là góc có sin = . Vậy MaxM = .
CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
Trần Đức Ngọc 0985128747 Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An


Page 5


26) Cho A,B,C là ba góc của tam giác . Chứng minh rằng :
Nếu cot , cot , cot lập thành một cấp số cộng thì cot . cot = 3
Hd :(Đề 17.68-A99)
- Trước hết chứng minh : Với tam giác ABC ta luôn có : cot + cot + cot = cot cot cot (1)
- Theo giả thiết ; cot , cot , cot lập thành một cấp số cộng .Ta có cot + cot = 2cot

( Cộng cot vào cả hai vế ) cot + cot + cot = 3cot (2)
- Từ (1),(2) suy ra : cot cot cot = 3cot cot . cot = 3 Đây là đpcm.
27) Cho A,B,C là ba góc trong một tam giác .
Tìm gtnn của biểu thức : M = + +
Hd :(Đề 19.71-A99) Áp dụng Cosi :
M = + +
= =
M = A = B = 30
0
, C = 120
0
.Vậy MinM = đạt khi A = B = 30
0
, C = 120
0
, ABC cân
28) Cho tam giác ABC có 0
0
A B C 90
0
.Chứng minh : 2
Hd :(Đề 19.72-A2000)
- Từ gt suy ra cosC 0.Từ đk 0
0
A B C 90
0
60
0
C 90
0

.Đặt t = cosC , 0 t . Do đó
đpcm (2t – 1) 0 (*) Vì 2t 0 và 2t – 1 0 cho nên bđt (*) xẩy ra dấu bằng khi
và chỉ khi 2t – 1 = 0 t = C = 60
0
ABC đều.
29) Tam giác ABC có các cạnh a,b,c và p là nửa chu vi .
Chứng minh rằng : + + 2( + + )
Hd :(Đề 21.77-A01).Áp dụng bđt Cosi ta có :
+ 2. = =
Tức là : + (1) Tương tự: : + (2) và : + (3).
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều (1),(2),(3) ta có đpcm.
30) Tam giác ABC có .Chứng minh ABC đều
Hd :(Đề 22.79-D97)
-Giả thiết : (Nhân chéo,làm gọn) a
2
(b+c) = b
3
+c
3
a
2
= b
2
+ c
2
– bc A = 60
0
(1)
- Giả thiết: cos(B – C) – cosA= cos(B – C) = 1 B - C = 0, B=C, ABC (2)
-Từ (1) và (2) ta được đpcm : ABC đều