Tuyển chọn các bài tập phương trình hệ phương trình bất phương trình trong đề thi HSG tỉnh thành phố
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.94 MB, 67 trang )
1
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2010 - 2011
Bài 1.
1/ Giải phương trình
2 1 3 4 1 1
x x x x
.
2/ Giải phương trình với ẩn số thực
1 6 5 2
x x x
(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long)
Bài 2. Giải phương trình
5 4 3 2
11 25 14 0
x x x x x
(Đề thi HSG tỉnh Đồng Nai)
Bài 3. Giải hệ phương trình
2 2 4
2 5 2 5 6
x y
x y
(Đề HSG Bà Rịa Vũng Tàu)
Bài 4. Giải hệ phương trình sau
1
3 3
1
2 8
x x y
y
x y
y
(Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A)
Bài 5. Giải hệ phương trình
2 4 3
2 2
4 4 1
4 2 4 2
x y xy
x y xy
(Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng)
Bài 6. Giải hệ phương trình trên tập số thực
4
2 2
5 6
5 6
x y
x y x
(Đề thi chọn đội tuyển Đồng Nai)
2
Bài 7 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2
2 2
3 2
1
1
2
4
y
x y x
x
x y
y
(Đề thi HSG Hà Tĩ nh )
Bài 8 . Gi ải ph ươn g trì nh
2
3
6 7 1
x x x
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Lâm Đồn g)
Bài 9 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2
1 1
2 0
x x y
y x y x y x
(Đề thi HSG tỉ nh Quản g Bì nh )
Bài 10 .
1/ Gi ải b ất ph ươn g trì nh
2 2
( 4 ) 2 3 2 0
x x x x
.
2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
2
2
7
12
xy y x y
x
x
y
(Đề thi HSG Đi ện Bi ên )
Bài 11 . Gi ải h ệ b ất ph ươn g trì nh
6 8 10
2007 2009 2011
1
1
x y z
x y z
.
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Bình Đị nh)
Bài 12 .
1/ Gi ải ph ươn g trì nh
1 1
2
1 3
x
x
x x
2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2
2
2
2
x x y
y y x
(Đề thi HSG tỉ nh Bến Tre)
3
Bài 13 .
1/ Gi ải ph ươn g trì nh
2
4 3 5
x x x
.
2/ Gi ải ph ươn g trì nh
3 2
3 1 2 2
x x x x
trên
[ 2 ,2]
(Đề thi HSG tỉ nh Lon g An )
Bài 14 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
2 2
1 2
2
1 1 3 3
( )
y x
x y
x
y x x
(Đề ch ọn đội tuy ển trườn g Ch uy ên Lê Quý Đôn , Bì nh Đị nh).
Bài 15 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
2 2
2
2 3 4 9
7 6 2 9
x y xy x y
y x x
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Nha Tran g, Kh ánh Hòa)
Bài 16 .
1/ Gi ải ph ươn g trì nh
2
2 7 2 1 8 7 1
x x x x x
2/ Gi ải hệ ph ươn g trì nh
3
2 2 3 2
6 1 4
x y x y
x y
(Đề thi HSG tỉ nh Vĩ nh Ph úc)
Bài 17 . Gi ải ph ươn g trì nh sau
2
4 3 2 3
1
2 2 2 1 ( )
x
x x x x x x
x
(Đề thi HSG tỉ nh Hà Tĩ nh )
Bài 18 . Gi ải ph ươn g trì nh
2 2 3 2 2 5 0
sin sin cosx x x
.
(Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT ch uy ên Lê Khi ết, Quản g Ngãi )
Bài 19 .
1/ Gi ải ph ươn g trì nh
2 2
4 2 4
x x x x
.
4
2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2
2 2
2 ( ) 3
( ) 10
y x y x
x x y y
(Đề thi ch ọn đội tuy ển THPT Ch uy ên Lam Sơn , Th anh Hóa)
Bài 20 . Gi ải ph ươn g trì nh
2
3
6 7 1
x x x
.
(Đề thi HSG tỉ nh Lâm Đồn g)
Bài 21 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
5 ( ) 6( )
4
6 5
6( ) 4( )
5
4 6
4( ) 5 ( )
6
5 4
x y x z
x y x y x z xz
z y x y
z y zy x y xy
x z y z
x z xz y z yz
(Đề ch ọn đội tuy ển trườn g PTNK , TPHCM)
Bài 22 .
1/ Gi ải phươn g trì nh
1
2 1 3 2 ( 11 )
2
x y z x y z
2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2
2
2 2
121
2 27
9
3 4 4 0
x
x x
x y xy x y
(Đề thi HSG tỉ nh Quản g Nam )
Bài 23 .
1/ Tì m tất cả các gi á trị của
,
a b
để ph ươn g trì nh
2
2
2
2 1
x ax b
m
bx ax
có h ai n ghiệm ph ân biệt v ới
m ọi th am số m.
2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2
3 3 3
6
1 19
y xy x
x y x
(Đề thi HSG v òn g tỉ nh Bì nh Phước)
Bài 24 .
5
1/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2 2 2
3 3 3 3
2010
2010
x y z
x y z
2/ Gi ải ph ươn g trì nh
3 3
2 2 2 3
3 3 3 2 0
x x x x
x x
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Ni nh Bì nh)
Bài 25 .
1/ Gi ải b ất ph ươn g trì nh sau
2
2
2 1 2( 1 ) 2(2 )
4 1 17 0
x y x x x y
y x x
2/ Với n l à số n guy ên dươn g, gi ải ph ươn g trì nh
1 1 1 1
0
sin 2 sin 4 sin8 sin 2
n
x x x x
.
(Đề thi HSG tỉ nh Kh ánh Hòa)
Bài 26 .
1/ Gi ải ph ươn g trì nh sau
3 sin 2 cos2 5sin (2 3)cos 3 3
1
2cos 3
x x x x
x
.
2/ Gi ải ph ươn g trì nh
2
3
2
2 1
l og 3 8 5
( 1 )
x
x x
x
(Đề thi HSG tỉ nh Th ái Bì nh )
Bài 27 .
1/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2
2
1
2
1
x y x y y
y
x y
x
2/ Gi ải ph ươn g trì nh lượn g gi ác
2 2
2 2sin 2
tan cot 2
x
x x
(Đề thi HSG tỉ nh Ph ú Th ọ)
Bài 28 . Gi ải ph ươn g trì nh
2
1 1
24 60 36 0
5 7 1
x x
x x
(Đề thi HSG tỉ nh Quản g Ninh )
6
Bài 29 . Gi ải ph ươn g trì nh
3 2 3 2 2
3 2 2 3 2 1 2 2 2
x x x x x x x
(Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT Ch uy ên ĐHSP Hà N ội )
Bài 30 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2
2 2
2 3 4 2 3 4 18
7 6 14 0
( )( )x x y y
x y xy x y
(Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT Ch uy ên ĐHSP Hà N ội )
Bài 31 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
3
2 2 1 2 1 2 3 2
4 2 2 4 6
( ) ( )x x y y
x y
(Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT ch uy ên Lương Th ế Vi nh , Đồn g Nai )
Bài 32 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
4 3 3 2 2
3 3
9 9
7( )
x x y y y x x y x
x y x
(Đề thi ch ọn HSG tỉ nh Hưn g Yên )
Bài 33 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
3
2
2 2 1 3 1
2 1 2 1
y x x x y
y x xy x
(Đề thi ch ọn đội tuy ển ch uy ên Nguy ễn Du, Đăk L ăk)
Bài 34 . Gi ải h ệ phươn g trì nh
3 3
2 2
35
2 3 4 9
x y
x y x y
(Đề thi HSG tỉ nh Yên Bái )
Bài 35 . Gi ải ph ươn g trì nh
3 2
3
2 2 1 27 27 13 2
x x x x
(Đề thi HSG Hải Ph òn g, b ản g A 1)
Bài 36 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2
2 2
1 1
2( )
2
1 1
2
x y
x y
y x
x y
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Quản g Ninh )
7
Bài 37 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
3
3
3
3 12 50
12 3 2
27 27
x x y
y y z
z x z
(Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT Ph an Ch u Tri nh , Đà Nẵn g)
Bài 38 . Gi ải ph ươn g trì nh
9 2
3
9 1
2 1
3
x x
x
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Ph ú Yên )
Bài 39 .
1/ Gi ải ph ươn g trì nh sau
2
1 1 2 2
x x x x
2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
3 3 2
2
3 4 2
1 2 1
y y x x x
x y y
(Đề thi HSG tỉ nh Ngh ệ An )
Bài 40 .
1/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
3 3 2
4 4
8 4 1
2 8 2 0
x y xy
x y x y
2/ Ch ứn g mi nh ph ươn g trì nh sau có đún g m ột n ghiệm
2011 3 3 2
( 1) 2( 1) 3 3 2
x x x x x
.
(Đề dự bị thi HSG tỉ nh Ngh ệ An )
Bài 41 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
3
3
3
3 12
4 6
9 2 32
x y x
y z y
z x z
(Đề thi ch ọn đội tuy ển KHTN, v òn g 1)
Bài 42 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2
2
2
2 2
1
1
3 2 6 2 2 1
log ( ) log ( )
y x
x
e
y
x y x y
8
(Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT Cao Lãnh , Đồn g Th áp)
Bài 43 . Gi ải ph ươn g trì nh sau
2 2
2
2 2
2
1
1 2 1 4
x x x x
x
x x x x
(Đề thi HSG tỉ nh Bì nh Ph ước)
Bài 44 .
1/ Gi ải phươn g trì nh
3 2
3
3 4 3 2
x x x x
2/ Tì m số n ghi ệm của phươn g trì nh
2011 2009 4 2011 2009 2 2
(4022 4018 2 ) 2(4022 4018 2 ) cos 2 0
x x x x x x x
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Ch uy ên Nguyễn Du)
Bài 45 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
2 2 2 2 2
(2 )( 1 2 )(2 )( 1 2 ) 4 10 1
2 2 1 0
x x y y z
x y z xz yz x y
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Hà Tĩ nh )
Bài 46 .
1/ Gi ải ph ươn g trì nh sau
2
2010 ( 1 ) 1
x
x x
.
2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
4 2 4
3 3
4 2 5
2 2
xy x
x y
y x
x y
(Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT Sà o Nam , tỉ nh Quản g Nam )
Bài 47 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
11 10 22 12
4 4 2 2
3
7 13 8 2 (3 3 1 )
x xy y y
y x y x x y
(Đề thi ch ọn đội tuy ển TP.HCM)
Bài 48 . Gi ải h ệ phươn g trì nh
2
2
2
2009 2010 ( )
2010 2011 ( )
2011 2009 ( )
x y x y
y z y z
z x z x
(Đề thi ch ọn đội tuy ển ch uy ên Quan g Trun g, Bì nh Phước)
9
Bài 49 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
2 2
2
1
5
57
4 3 ( 3 1 )
25
x y
x x y x
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Nghệ An )
Bài 50 . Ch o các th am số dươn g
, ,
a b c
. Tì m n ghiệm dươn g của hệ ph ươn g trì nh sau :
2 2 2
4
x y z a b c
xyz a x b y c z abc
(Đề ki ểm tra đ ội tuy ển Ni nh Bì nh )
Bài 51 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau trên tập h ợp số th ực
2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y
x y
y
x y
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Ch uy ên Vĩ nh Ph úc, tỉ nh Vĩ nh Ph úc)
Bài 52 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
4 4
2 2 3
2
3
( )
x x y y
x y
(Đề ki ểm tra đ ội dự tuy ển trườn g THPT Ch uy ên ĐHSP Hà N ội )
Bài 53 . Gi ải ph ươn g trì nh
2 3 5
3
2 .sin .c os 2 1 1
x x x x x x x x
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Hà Nội )
Bài 54 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2
2
2 2
( 2) ( 3 ) ( 3 )( 2)
5 9 7 15 3
8 18 18 18 84 72 24 176
x y y x z
x x z y yz
x y xy y z x y z
(Đề thi ch ọn đội tuy ển ĐHSP Hà Nội , n gày 2)
Bài 55 .
Tì m
, ,
x y z
th ỏa m ãn hệ
2 2
2 2
2 2
2 ( ) 1
1 2 2 2
( 3 1 ) 2 ( 1 )
z x y x y
y z xy zx yz
y x x x
(Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g ĐH K HTN Hà Nội , v òn g 3)
10
LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ NHẬN XÉT
Bài 1 .
1/ Gi ải ph ươn g trì nh
2 1 3 4 1 1
x x x x
.
2/ Gi ải ph ươn g trì nh v ới ẩn số th ực
1 6 5 2
x x x
(Đề thi HSG tỉ nh Vĩ nh Lon g)
Lời giải.
1/Đi ều ki ện
1
x
. Ph ươn g trì nh đã ch o tươn g đươn g với
2 2
( 1 1 ) ( 1 2) 1 1 1 1 2 1
x x x x
(*)
-Nếu
1 1
x
thì
( * ) ( 1 1 ) ( 1 2) 1 3 2 1 1 1 1
x x x x
, l oại .
-Nếu
1 1 2 2 5
x x
thì
( * ) ( 1 1 ) ( 1 2) 1 1 1
x x
, l uôn đún g.
-Nếu
1 2
x
thì
( * ) ( 1 1 ) ( 1 2) 1 2 1 3 1 1 2
x x x x
, l oại .
Vậy ph ươn g trì nh đã ch o c ó n ghiệm l à m ọi x th uộc
2 ;5
.
2/ Đi ều ki ện
5
2
x
. Ph ươn g trì nh đã ch o tươn g đươn g với
2
2
1 5 2 6
( 1 ) ( 5 2 ) 2 ( 1 )( 5 2 ) 6
( 1 ) ( 5 2 ) 5 ( 1 )( 5 2 ) 10 25
7 30 0 3 10
x x x
x x x x x
x x x x x x x
x x x x
Th ử l ại , ta th ấy chỉ có
3
x
l à th ỏa m ãn .
Vậy ph ươn g trì nh đã ch o c ó n ghi ệm duy nh ất l à
3
x
.
Nhận x ét. Các dạn g toán ph ươn g trì nh v ô tỉ n ày kh á cơ b ản và quen th uộc, ch ún g h oàn toàn có
th ể gi ải b ằn g cách bì nh phươn g để kh ử căn m à kh ôn g cần l o n gại v ề tí nh gi ải được của ph ươn g
trì nh h ay kh ôn g. Để đơn gi ản tron g việc x ét đi ều kiện , ta c ó th ể gi ải x on g rồi th ử l ại cũn g được.
11
Bài 2 . Gi ải ph ươn g trì nh
5 4 3 2
11 25 14 0
x x x x x
(Đề thi HSG tỉ nh Đồn g Nai )
Lời giải.
Ph ươn g trì nh đã ch o tươn g đươn g v ới
5 4 4 3 3 2 2
4 3 2
4 3 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 9 18 ) (7 14) 0
( 2)( 9 7) 0
2
9 7 0
x x x x x x x x x
x x x x x
x
x x x x
Ph ươn g trì nh thứ h ai ở trên có th ể vi ết l ại l à
4 3 2 4 3 3 2 2
2 2
( 9 6) 1 0 ( 2 2 3 3 6 6) 1 0
( 1 ) ( 3 6) 1 0
x x x x x x x x x x x
x x x
Do
2 2
( 1 ) ( 3 6) 1 0,
x x x x
n ên ph ươn g trì nh n ày v ô n ghiệm .
Vậy ph ươn g trì nh đã ch o c ó n ghiệm duy nh ất l à
2
x
.
Nhận x ét. Đây l à m ột ph ươn g trì nh đa th ức th ôn g th ườn g, có n ghiệm l à
2
x
n ên vi ệc ph ân tí ch
th ành nh ân tử kh á đơn gi ản; cái kh ó l à biết đán h giá ph ươn g trì nh còn l ại v à có n ên ti ếp tục tì m
cách gi ải n ó h ay kh ôn g h ay tì m cách ch ứn g mi nh nó v ô n ghiệm . Trườn g hợp đề b ài ch o ph ân
tí ch th ành các đa thức kh ôn g có n ghi ệm đơn gi ản , b ài toán trở n ên kh ó kh ăn hơn rất n hi ều; th ậm
chí l à n gay cả v ới nh ữn g đa th ức b ậc b ốn . Ch ẳn g hạn nh ư khi gi ải ph ươn g trì nh
4 3 2
2 3 10 16 3 0
x x x x
, n ếu tí nh toán trên gi ấy thì kh ôn g phải dễ dàn g m à có được ph ân
tí ch
2 2
(2 5 1 ) ( 3 ) 0
x x x x
để gi ải từn g ph ươn g trì nh tí ch .
Bài 3 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2 4
2 5 2 5 6
x y
x y
(Đề HSG Bà Rị a Vũn g Tàu)
Lời giải.
Đi ều ki ện :
, 0
x y
. C ộn g từn g v ế h ai ph ươn g trì nh của hệ, ta c ó:
( 2 5 2 ) ( 2 5 2 ) 10
x x y y
Trừ ph ươn g trì nh th ứ h ai ch o ph ươn g trì nh th ứ nh ất, v ế th eo v ế, ta được:
12
5 2
( 2 5 2 ) ( 2 5 2 ) 2 2
2 5 2 2 5 2
x x y y
x x y y
Đặt
2 5 2 0 , 2 5 2 0
a x x b y y
. Ta c ó h ệ sau:
2
10 10
10
5
5 5 5 5
5
2 2
50 20 2
10
a b b a
b a
a
b
a a
a b a a
Xét ph ươn g trì nh
2
2 5 2 5 2 5 ( 5 2 ) 2 5 25 2 10 2 2 2 2
x x x x x x x x x
.
Tươn g tự, ta cũn g có
2
y
.
Vậy h ệ phươn g trì nh đã ch o có n ghiệm l à
( , ) (2 ,2)
x y
.
Nhận x ét. Ng oài cách giải tận dụn g tí nh chất của c ác căn th ức, ta cũn g có th ể đặ t ẩn ph ụ rồi bi ến
đổi ; tr on g ph ươn g trì nh th ứ h ai , các số h ạn g tự d o có th ể kh ác nh au m à l ời gi ải v ẫn được ti ến
h ành tươn g tự. Ch ẳn g h ạn , gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
2 2 6
2 5 2 9 8
x y
x y
Bài 4 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
1
3 3
1
2 8
x x y
y
x y
y
(Đề thi HSG Hải Ph òn g, b ản g A )
Lời giải.
Đi ều ki ện
1
0, 0 , 3
y x x y
y
.
Đặt
1
, 3, , 0
a x b x y a b
y
. Hệ đã ch o vi ết l ại l à
2 2
3
2 , 1
1 , 2
5
a b
a b
a b
a b
-Với
2 , 1
a b
, ta c ó
13
2
1
4
1 1
2, 3 1 4 , 4
4
4
1
3 , 1
4
8 15 0 , 4
4
5 , 1
4
4
x
x x y x x y
x
y y
y x
x y
x
x x x
x
x y
y x
y x
-Với
1 , 2
a b
, ta c ó
2
1
1
1 1
1 , 3 2 1 , 7
7
7
4 10, 3 10
8 6 0 , 7
7
4 10, 3 10
x
x x y x x y
x
y y
y x
x y
x x x
y x
x y
Th ử l ại , ta th ấy tấ t cả đều th ỏa.
Vậy h ệ phươn g trì nh đã ch o có 4 n ghi ệm l à
( , ) ( 3 ,1 ),( 5 , 1 ) ,(4 10,3 10),(4 10,3 10)
x y
.
Nhận x ét. Dạn g h ệ phươn g trì nh gi ải b ằn g cách đặt ẩn ph ụ n ày th ườn g gặp ở nhi ều kì thi , từ
ĐH-CĐ đến thi HSG cấp tỉ nh và kh u vực. Ch ún g ta sẽ còn th ấy n ó x uất hi ện nhi ều ở các đề thi
của các tỉ nh được nêu dưới đây .
Bài 5 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 4 3
2 2
4 4 1
4 2 4 2
x y xy
x y x y
(Đề thi HSG tỉ nh Lâm Đồn g)
Lời giải.
Lấy ph ươn g trì nh th ứ nh ất trừ ph ươn g trì nh th ứ h ai, v ế th eo v ế, ta được:
4 2 3 2 2 2 2 2
2
2 4 4 1 0 ( 1 ) 4 ( 1 ) 0 ( 1 ) ( 1 4 ) 0
1 1 1 4 0
y y xy xy y xy y y y x y
y y y xy
-Nếu
1
y
, th ay v ào ph ươn g trì nh đầu ti ên , ta được:
2
4 1 4 1 ( 1 ) 0 0 1
x x x x x x
.
Th ử l ại , ta th ấy cả h ai n ghi ệm đều th ỏa m ãn .
14
-Nếu
1
y
, th ay v ào ph ươn g trì nh đầu ti ên , ta được:
2
4 1 4 1 ( 1 ) 0 0 1
x x x x x x
.
Th ử l ại , ta th ấy cả h ai n ghi ệm đều th ỏa m ãn .
-Nếu
2
2
1
1 4 0
4
y
y xy x
y
(dễ th ấy tr on g trườn g hợp này
0
y
), th ay v ào phươn g trì nh
đầu ti ên , ta được:
2
2 2
4 3 2 2 4 2 2 2
1 1
4 4 1 ( 1 ) 4 4( 1 ) 4 ( 1 )(5 7) 0
4 4
y y
y y y y y y y
y y
.
Suy ra
1 , 0
y x
v à h ai n ghiệm n ày đã n êu ở trên .
Vậy h ệ phươn g trì nh đã ch o có 4 n ghi ệm phân biệt l à
( , ) ( 1 ,1 ),(0 ,1 ),( 1 , 1 ),(0 , 1 )
x y
.
Nhận x ét. Đây l à m ột dạn g h ệ ph ươn g trì nh đa th ức kh á kh ó, rõ ràn g n ếu ở phươn g trì nh th ứ h ai ,
n gười ta chi a h ai v ế ch o 2 th ì kh ó có thể tự n h ận biết gi á trị n ày m à nhân v ào rồi trừ từn g v ế nh ư
trên . Vi ệc ph át hi ện ra gi á trị 2 để nh ân vào c ó thể dùn g cách đặt th am số ph ụ rồi l ựa ch ọn .
Bài 6 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh trên tập s ố th ực
4
2 2
5 6
5 6
x y
x y x
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Đồn g Nai )
Lời giải.
Trừ từn g v ế h ai ph ươn g trì nh của h ệ, ta được
4 2 2 2 2
5( ) 0 ( ) ( ) 5 0 ( ) 5
x x y y x x y x x y x y x x y
-Nếu
x y
, từ ph ươn g trì nh th ứ nhất ta có
4 2
5 6 0 ( 3 )( 2)( 1 ) 0 2 1
x x x x x x x x
, tươn g ứn g với
2 1
y y
.
Th ử l ại th ấy th ỏa, ta c ó h ai n ghiệm
( , ) ( 2 , 2),( 1 ,1 )
x y
.
-Nếu
2
2
5
( ) 5
x x y y x
x
, th ay v ào ph ươn g trì nh th ứ nh ất của h ệ, ta đ ược
4 6 3 2
2
5
5 6 5 6 25 0
x x x x x
x
15
Đồn g th ời , từ h ệ đã ch o ta cũn g có
2 2
6
5 6 6
5
x x y x
.
Do đ ó
3 2
3 2 6 3 2
6 6 216 96 312
5 4 5. 4. 25 5 6 25 0
5 5 25 25
x x x x x
.
Suy ra tr on g trườn g hợp n ày , h ệ v ô n ghiệm .
Vậy h ệ đã ch o có h ai n ghiệm l à
( , ) ( 2 , 2),( 1 ,1 )
x y
.
Bài 7 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2
2 2
3 2
1
1
2
4
y
x y x
x
x y
y
(Đề thi HSG Hà Tĩ nh )
Lời giải.
Đi ều ki ện :
2 2
0 , 1
xy x y
. Đặ t
2 2
1 , , 0
x
a x y b ab
y
.
Hệ đã ch o trở th ành
3 2 3 2
1 , 1
1 1
2 3 0
2 3
3 , 9
2 3
2 3 2 3
b a
b b
a b b b
b a
a b
a b a b
-Với
1 , 1
a b
, ta c ó
2 2
2 ,
x y x y
, ta tì m được h ai n ghiệm l à
( , ) ( 1 , 1 ),( 1 ,1 )
x y
.
-Với
9 , 3
a b
, ta c ó
2 2
10 , 3
x y x y
, ta tì m được h ai n ghiệm l à
( , ) ( 3 ,1 ),( 3 , 1 )
x y
.
Th ử l ại , ta đều th ấy th ỏa m ãn .
Vậy h ệ đã ch o có 4 n ghiệm phân bi ệt l à
( , ) ( 1 , 1 ),( 1 ,1 ),(3 ,1 ),( 3 , 1 )
x y
.
Bài 8 . Gi ải ph ươn g trì nh
2
3
6 7 1
x x x
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Lâm Đồn g)
Lời giải.
Đi ều ki ện
1
x
.
16
Ta c ó
2
3
2
3
3
2
3
3
2
3
3
( 6 2) ( 4) ( 1 1 ) 0
2 2
( 2)( 2) 0
1 1
( 6) 2 6 4
1 1
( 2) 2 0
1 1
( 6) 2 6 4
2
1 1
2 0
1 1
( 6) 2 6 4
x x x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
x
x
x x
Dễ th ấy ph ươn g trì nh th ứ h ai v ô n ghi ệm vì v ế trái l uôn dươn g n ên ph ươn g trì nh đã ch o có
n ghiệm duy nh ất l à
2
x
.
Nhận x ét. Cách đơn gi ản h ơn dành ch o b ài n ày l à ch ứn g mi nh h àm đồn g bi ến , tuy nhi ên , cần
ch ú ý x ét
1
x
trước khi đạo h àm .
Bài 9 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2
1 1
2 0
x x y
y x y x y x
(Đề thi HSG tỉ nh Quản g Bì nh )
Lời giải.
Đi ều ki ện
, 1 0
x x y
.
Ph ươn g trì nh th ứ nh ất của h ệ tươn g đươn g với
2 2
1 1 1 2 1 1 2 1
4( 1 ) ( 2) 4 2 2
x x y x x y x y y x y
y x y y x y x
Ph ươn g trì nh th ứ h ai của h ệ tươn g đươn g với
2 2 2 2
2 0 ( )
y x y x y x y x xy y x y x
Ta c ó h ệ m ới l à
2
1
1
2 2
2 2
2 2
4
2 ( 2) ( 2)
2 0
2
4
y
x
y x
y x
y x
y y y y
y y
y x y x
y
x
17
So sánh với đi ều ki ện ban đầu, ta th ấy cả h ai n ghiệm trên đều th ỏa m ãn .
Vậy h ệ phươn g trì nh đã ch o có h ai n ghi ệm l à
1
( , ) ( , 1 ),(2 ,4)
4
x y .
Bài 10 .
1/ Gi ải b ất ph ươn g trì nh
2 2
( 4 ) 2 3 2 0
x x x x
.
2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
2
2
7
12
xy y x y
x
x
y
(Đề thi HSG Đi ện Bi ên )
Lời giải.
1/ Đi ều ki ện
2
1
2 3 2 0 2
2
x x x x
. Ta c ó
2
2 2
2
4 0
4 0
( 4 ) 2 3 2 0
1
2
2 3 2 0
2
x x
x x
x x x x
x x
x x
K ết h ợp các đi ều ki ện trên , ta c ó
1
2 4
2
x x x
.
Vậy b ất ph ươn g trì nh trên có n ghi ệm l à
1
( , ] { 2 } [4 , )
2
x
.
2/ Đi ều ki ện
0
y
. Hệ đã ch o tươn g đươn g v ới
7
( ) 12
x
x y
y
x
x y
y
Đặt
,
x
u x y v
y
, ta c ó h ệ
7 3 , 4
12 4, 3
u v u v
uv u v
-Với
3 , 4
u v
, ta c ó
4 , 3 3 , 1
x
x y x y
y
, th ỏa đi ều ki ện .
18
-Với
4 , 3
u v
, ta c ó
12 3
3 , 4 ,
5 5
x
x y x y
y
, th ỏa đi ều ki ện .
Vậy h ệ đã ch o có h ai n ghiệm l à
12 3
( , ) ( 3 ,1 ),( , )
5 5
x y .
Bài 11 . Gi ải h ệ b ất ph ươn g trì nh
6 8 10
2007 2009 2011
1
1
x y z
x y z
.
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Bì nh Đị nh)
Lời giải.
Từ b ất ph ươn g trì nh th ứ nh ất của h ệ, ta c ó
1 , , 1
x y z
.
Từ h ai b ất ph ươn g trì nh của h ệ, ta c ó
2007 2009 2011 6 8 10 6 2001 8 2001 10 2001
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0
x y z x y z x x y y z z
Từ đi ều ki ện
1 , , 1
x y z
, ta dễ dàn g thấy rằn g
6 2001 8 2001 10 2001
( 1 ) , ( 1 ) , ( 1 ) 0
x x y y z z
.
Do đ ó, ph ải có đẳn g th ức x ảy ra, tức l à
6 2001 8 200 1 10 2001
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0 , , 1 , , 0
x x y y z z x y z x y z
.
K ết h ợp v ới đi ều ki ện
6 8 10
1
x y z
, ta th ấy h ệ bất ph ươn g trì nh đã ch o c ó các n ghiệm l à
( , , ) ( 1 ,0 ,0),(0,1 ,0),(0 ,0 ,1 )
x y z
.
Bài 12 .
1/ Gi ải ph ươn g trì nh
1 1
2
1 3
x
x
x x
2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2
2
2
2
x x y
y y x
(Đề thi HSG tỉ nh Bến Tre)
Lời giải.
1/ Đi ều ki ện
1 ,3 0, 1 3 1 3 , 1
x x x x x x
.
19
Ph ươn g trì nh đã ch o tươn g đươn g v ới
2
2 1 1 3
1 ( 1 ) (3 ) ( 1 3 )( 1 3 )
1 3 1 3
1 3 0
( 1 3 ) 1
x x x
x x x x x x
x x x x
x x
x x
Dễ th ấy ph ươn g trì nh th ứ nh ất v ô n ghiệm n ên ta chỉ xét
2
2
( 1 3 ) 1 ( 1 ) (3 ) 2 ( 1 )(3 ) 1 3 2 ( 1 )(3 )
2 7
9 4( 1 ) (3 ) 4 8 3 0
2
x x x x x x x x
x x x x x
Vậy ph ươn g trì nh đã ch o c ó h ai n ghi ệm l à
2 7
2
x
.
2/ Đi ều ki ện
, 0
x y
. Dễ th ấy n ếu
0
x
th ì
0
y
v à n gược l ại n ên hệ có n ghiệm
( , ) (0 ,0)
x y
.
Ta x ét
, 0
x y
. Xé t h àm số
2
( ) , 0
2
t t
f t t
, ta th ấy
1
( ) 0 , 0
4
f t t t
t
n ên đây l à
h àm đồn g bi ến .
Hệ đã ch o được vi ết l ại l à
( )
( )
x f y
y f x
. Suy ra
x y
, th ay v ào hệ đã ch o, ta c ó
2
1
2 1 2 ( 1 )( 1 ) 0
3 5
2
x
x x x x x x x x x
x
Tươn g ứn g với h ai gi á trị n ày , ta cũn g có
1
3 5
2
y
y
Vậy h ệ đã ch o có b a n ghiệm l à
3 5 3 5
( , ) (0 ,0),( 1 ,1 ),( , )
2 2
x y
.
Nhận x ét. Bài ph ươn g trì nh th ứ nhất n ếu kh ôn g có bi ến đổi ph ù h ợp m à đặt ẩn ph ụ thì l ời gi ải sẽ
kh á dài dòn g v à rắc rối , ch ún g ta cần ch ú ý tận dụng n hữn g tính ch ất của căn th ức, l ượn g li ên
h ợp để kh ai thắc đặc đi ểm ri ên g của bài toán .
20
Bài 13 .
1/ Gi ải ph ươn g trì nh
2
4 3 5
x x x
.
2/ Gi ải ph ươn g trì nh
3 2
3 1 2 2
x x x x
trên
[ 2 ,2]
(Đề thi HSG tỉ nh Lon g An )
Lời giải.
1/ Đi ều ki ện
5
x
.
Ph ươn g trì nh đã ch o tươn g đươn g v ới
2 2 3 2
3 2
4
( 4 3 ) 5 ( 4)( 4 6 1 ) 0
4 6 1 0
x
x x x x x x x
x x x
Ta x ét ph ươn g trì nh
3 2
4 6 1 0
x x x
(*)
Hàm số
3 2
( ) 4 6 1
f x x x x
c ó
2
( ) 3 8 6 0
f x x x
n ên l à đồn g bi ến; hơn nữa,
(0). ( 1 ) ( 1 ).2 0
f f
n ên ph ươn g trì nh
( ) 0
f x
có đún g m ột n ghi ệm th uộc
(0 ,1 )
.
Ta sẽ gi ải ph ươn g trì nh (*) bằn g ph ươn g ph áp Cardan o.
Đặt
4
3
x y
, ta c ó
3
2 61
( * ) 0
3 27
y y
. Đặ t
y u v
, ta c ó
3 3
61 2
( ) ( 3 ) ( ) 0
27 3
u v uv u v
.
Ch ọn u và v sao ch o
3 3
61
27
2
9
u v
uv
.
Gi ải h ệ ph ươn g trì nh n ày , ta ch ọn n ghi ệm
3
1 2
( 61 3 417),
54 9
u v
u
.
Từ đ ó, ta tì m được n ghiệm của ph ươn g trì nh (*) l à
3
0
3
1 2 4
( 61 3 417) 0.189464
54 3
1
9 ( 61 3 417)
54
x x
21
Vậy ph ươn g trì nh đã ch o c ó h ai n ghi ệm l à
0
4,
x x x
.
2/ Đi ều ki ện
2
x
.
Ph ươn g trì nh đã ch o tươn g đươn g v ới
3 2 2 5 4 3 2
5 4 3 2
( 3 1 ) 4( 2) ( 1 )( 6 2 9 7) 0
1
6 2 9 7 0
x x x x x x x x x x
x
x x x x x
Ph ươn g trì nh
5 4 3 2
6 2 9 7 0
x x x x x
c ó đún g m ột n ghiệm th uộc
[ 2 ,2]
v à n ó có gi á trị
gần đún g l à
0
1.916086228
x x .
Vậy ph ươn g trì nh đã ch o c ó h ai n ghi ệm ph ân bi ệt l à
0
1 ,
x x x
.
Nhận x ét. R õ ràn g ph ươn g trì nh b ậc b a ở trên ph ải giải trực ti ếp b ằn g côn g thức tổn g quá t, đi ều
n ày í t khi x uất hi ện ở các kì thi HSG. Đối v ới phươn g trì nh th ứ hai , vi ệc x ét
[ 2 ,2]
x
n êu tr on g
đề b ài có th ể gợi ý dùn g l ượn g gi ác; tuy nhi ên , cách đặt
2cos
x
ch ưa có kế t quả , m on g các
b ạn tì m hi ểu th êm . Một b ài tươn g tự x uất hi ện tr on g kì thi HSG ĐBSCL nh ư sau
Gi ải ph ươn g trì nh
5 4 3 2
32 32 16 16 2 1 0
x x x x x
.
Ph ươn g trì nh n ày được gi ải b ằn g cách đặt ẩn ph ụ
2
y x
rồi bì nh ph ươn g l ên , nhân v ào h ai vế
ch o
2
y
để đưa v ề ph ươn g trì nh quen th uộc
3
3 2
y y y
.
Bài toán n hư th ế n ày khá đánh đố v à ph ức tạp!
Bài 14 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
2 2
1 2
2
1 1 3 3
( )
y x
x y
x
y x x
(Đề ch ọn đội tuy ển trườn g Ch uy ên Lê Quý Đôn , Bì nh Đị nh).
Lời giải.
Đi ều ki ện x ác đị nh :
0 0
,
x y
.
Ph ươn g trì nh th ứ nh ất của h ệ tươn g đươn g với
2 2
1 2
2 2 2 2 2 0
( )
y x
y x y x x xy y y x x x x
x y
x
22
Xem đây l à ph ươn g trì nh b ậc h ai th eo biến y , ta c ó
2 2 2
2 8 4 4 2 0
( ) ( )
x
x x x x x x x x x x
.
Do đ ó, ph ươn g trì nh n ày có h ai n ghiệm l à
1 2
2 2 2 2
2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
, ,
x x x x x x x x
y x y x
.
Xét h ai trườn g h ợp
-Nếu
y x
, th ay v ào ph ươn g trì nh th ứ h ai của h ệ, ta đư ợc:
2 2
1 1 3 3
( )x x x
.
Dễ th ấy :
2 2
1 1 0 3 3
( )x x x
n ên phươn g trì nh này v ô n ghi ệm .
-Nếu
2
y x
, th ay v ào ph ươn g trì nh th ứ h ai của h ệ, ta đư ợc:
2 2 2 2
2
2 1 1 3 3 1 2 3 2 1
2 3
( ) .( )
x
x x x x x x x
x
(*)
(dễ th ấy
3
2
x kh ôn g thỏa m ãn đẳn g th ức nên chỉ x ét
3
2
x và ph ép bi ến đổi trên l à ph ù
h ợp). Xét h ai h àm số:
2
1 0
( ) ,f x x x
v à
2
0
2 3
( ) ,
x
g x x
x
.
Ta c ó:
2
0
1
( )
x
f x
x
n ên l à h àm đồn g bi ến ,
2
2 3
0
2 3
( )
( )
g x
x
n ên l à h àm n ghị ch bi ến.
Suy ra ph ươn g trì nh (*) c ó kh ôn g quá m ột n ghiệm.
Nh ẩm th ấy
3
x
th ỏa m ãn (*) n ên đây cũn g chí nh là n ghi ệm duy nh ất của (*).
Vậy h ệ đã ch o có n ghiệm duy nhất l à
3 2 3
( , ) ( , )
x y
.
Nhận x ét. Quan h ệ của x v à y được che gi ấu n gay tr on g ph ươn g trì nh đầu ti ên , n ếu nh ận th ấy
đi ều đó thì các b ước tiếp th eo sẽ rất dễ n h ận bi ết. Bài n ày tí nh toán tuy rườm rà nh ưn g h ướn g
gi ải rất r õ ràn g n ên kh ôn g quá kh ó.
23
Bài 15 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
2 2
2
2 3 4 9
7 6 2 9
x y xy x y
y x x
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Nha Tran g, Kh ánh Hòa)
Lời giải.
Từ ph ươn g trì nh th ứ nh ất, ta c ó
2
2
4
2 3 9
x
y
x x
, từ ph ươn g trì nh th ứ h ai , ta c ó
2
2 9 6
7
x x
y
.
Suy ra
2 2
2 2 2
2
2
4 2 9 6
28 (2 9 6)(2 3 9)
2 3 9 7
1 9 3 33
( 2)(2 1 )(2 9 27) 0 2
2 4
x x x
x x x x x
x x
x x x x x x x
-Nếu
2
x
, ta c ó
2
2 9 6 16
7 7
x x
y
; n ếu
1
2
x
, ta có
2
2 9 6 1
7 7
x x
y
.
-Nếu
9 3 33
4
x
v ới
2
2 9 27
x x
thì
2
2 9 6
3
7
x x
y
.
Vậy h ệ phươn g trì nh đã ch o có b ốn n ghi ệm l à
16 1 1 9 3 33
( , ) ( 2 , ),( , ),( ,3 )
7 2 7 4
x y
.
Nhận x ét. Bài n ày có th ể còn nhi ều bi ến đổi đơn gi ản h ơn nhưn g rõ ràn g cách rút y ra rồi th ay
v ào m ột ph ươn g trì nh nh ư trên l à tự n hi ên hơn cả.
Bài 16 .
1/ Gi ải phươn g trì nh
2
2 7 2 1 8 7 1
x x x x x
2/ Gi ải hệ ph ươn g trì nh
3
2 2 3 2
6 1 4
x y x y
x y
(Đề thi HSG tỉ nh Vĩ nh Ph úc)
Lời giải.
1/ Đi ều ki ện
1 7
x
. Đặ t
2
7 , 1, , 0 8 7
a x b x a b ab x x
.
24
Ph ươn g trì nh đã ch o trở th ành
2
2 2 ( )( 2) 0 2
b a b ab a b b a b b
.
-Nếu
a b
thì
7 1 7 1 3
x x x x x
, th ỏa đi ều ki ện đề b ài .
-Nếu
2
b
thì
1 2 3
x x
.
Vậy ph ươn g trì nh đã ch o c ó n ghiệm duy nh ất l à
3
x
.
2/ Đi ều ki ện
2 0 , 1
x y y
. Ph ươn g trì nh th ứ nh ất của h ệ tươn g đươn g v ới
(2 ) 2 2 3 0 2 1 2 3 2 1 1 2
x y x y x y x y x y y x
.
Th ay v ào ph ươn g trì nh th ứ h ai của h ệ, ta được
3
6 2 4
x x
.
Dễ th ấy vế trái tăn g th eo bi ến x nên ph ươn g trì nh trên có kh ôn g quá m ột n ghi ệm . Ta th ấy
2
x
th ỏa m ãn , suy ra
2 , 3
x y
.
Vậy h ệ đã ch o có n ghiệm duy nhất l à
( , ) (2 , 3 )
x y
.
Bài 17 . Gi ải ph ươn g trì nh sau
2
4 3 2 3
1
2 2 2 1 ( )
x
x x x x x x
x
(Đề thi HSG tỉ nh Hà Tĩ nh )
Lời giải.
Đi ều ki ện
( , 1 ] (0 ,1 ]
x
.
Nếu
1
x
thì
4 3 2 2 2 2 3 2
2 2 2 1 ( ) ( 1 ) 0 , ( 1 ) 0
x x x x x x x x x x x
n ên ph ươn g
trì nh trên kh ôn g có n ghiệm th ỏa
1
x
.
Đồn g th ời
1
x
kh ôn g l à n ghiệm của ph ươn g trì nh n ên ta chỉ x ét
(0,1 )
x
.
Ph ươn g trì nh đã ch o tươn g đươn g v ới
2
2
2 2 2 2
2
2
2 ( 1 )
1
( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1
1
( 1 )
x x
x
x x x x x x
x
x x
Đặt
2
2
1
0
( 1 )
x
t
x x
, ph ươn g trì nh trên trở th ành
2
2
1 2 0 2
t t t t
t
(d o
0
t
).
Khi đó
25
2
2 2 2 4 2 3
2
2 2 2
1
2 ( 1 ) 4 ( 1 ) 2 1 4 4 0
( 1 )
( 2 1 ) 0 2 1 0 1 2
x
x x x x x x x
x x
x x x x x
So sánh với đi ều ki ện đã n êu, ta th ấy ph ươn g trì nh trên c ó n ghiệm duy nh ất l à
1 2
x
.
Bài 18 . Gi ải ph ươn g trì nh
2 2 3 2 2 5 0
sin sin cosx x x
.
(Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT ch uy ên Lê Khi ết, Quản g Ngãi )
Lời giải.
Đặt
1 1
s in , cos ,
a x b x a b
. Từ ph ươn g trì nh đã ch o, ta c ó hệ sau:
2 2
4 3 2 2 5 0
1
ab a b
a b
Ta c ó:
2
2
4 3 2 2 5 0 4 3 2 2 5 0
4 2 2 2 2 3 2 2 2 0
2 2 2 1 2 2 0
2 2 1 2 2 0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
ab a b ab a b
ab a b a b
a b a b a b
a b a b
Mặt kh ác:
2 2
1
a b
n ên
2 2
2 2 2 0
( )a b a b a b
.
Đẳn g th ức xảy ra khi v à chỉ khi
2
2
a b
.
Do đ ó, từ (* ), suy ra:
2
2 2 1 0
2 2 1 0
2
2 2 0
2
( )
( )
a b
a b
a b
a b
Dễ th ấy hệ n ày v ô n ghiệm.
Vậy ph ươn g trì nh đã ch o v ô n ghi ệm .
