Phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
NGUYỄN THỊ HƯƠNG LÝ
PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHƠNG GIAN BANACH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
THÁI NGUN - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
NGUYỄN THỊ HƯƠNG LÝ
PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHƠNG GIAN BANACH
Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY
THÁI NGUN - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
NGUYỄN THỊ HƯƠNG LÝ
PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHƠNG GIAN BANACH
Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
THÁI NGUN - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Cơng trình được hồn thành tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUN
Người hướng dẫn khoa học:TS.Nguyễn Thị Thu Thủy
Phản biện 1:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phản biện 2:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUN
Vào hồi giờ ngày tháng năm 2014
Có thể tìm hiểu luận văn tại trung tâm học liệu Đại học Thái Ngun
Và thư viện Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của
ánh xạ khơng giãn 1
1.1 Khơng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Khơng gian Banach lồi đều, trơn đều . . . . . . 1
1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Ánh xạ J-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Ánh xạ chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn . . . . . . . . . . 8
1.3 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của
ánh xạ khơng giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Bất đẳng thức biến phân trong khơng gian Hilbert 9
1.3.2 Bất đẳng thức biến phân trong khơng gian Banach 11
1.4 Giới hạn Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân trên

tập điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 14
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />2.1 Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân 15
2.2 Phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân trên
tập điểm bất động của ánh xạ khơng giãn . . . . . . . 19
2.2.1 Mơ tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Định lý hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . 20
Kết luận 28
Tài liệu tham khảo 29
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />MỞ ĐẦU
Bất đẳng thức biến phân được Stampacchia và các cộng sự đưa ra
nghiên cứu vào những năm đầu của thập kỷ 60 trong khi nghiên cứu
bài tốn biên của phương trình đạo hàm riêng. Từ đó phương pháp
bất đẳng thức biến phân được quan tâm nghiên cứu rộng rãi và trở
thành một cơng cụ hữu hiệu trong việc xây dựng các kỹ thuật để giải
số các bài tốn cân bằng trong kinh tế tài chính, bài tốn vận tải, lý
thuyết trò chơi và nhiều bài tốn thuộc lĩnh vực vật lý và kỹ thuật.
Nhiều bài tốn trong tốn học được phát biểu dưới dạng bất đẳng
thức biến phân như bài tốn bù phi tuyến, bài tốn cân bằng, bài
tốn tối ưu, bài tốn điểm bất động . . . . Do vậy việc nghiên cứu bất
đẳng thức biến phân và phương pháp giải bài tốn này ln là đề tài
thời sự, được nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu.
Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựa
trên cách tiếp cận thơng qua điểm bất động. Nội dung của phương
pháp này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài tốn tìm điểm bất
động của một ánh xạ nghiệm thích hợp. Phương pháp chiếu gradient
là một kết quả theo hướng tiếp cận này bằng cách sử dụng phép chiếu
mêtric P
C

để xây dựng một dãy lặp hội tụ mạnh đến nghiệm của bất
đẳng thức biến phân. Phương pháp này có ưu điểm là dễ lập trình
và tốc độ hội tụ nhanh. Tuy nhiên với phương pháp này thì việc tính
tốn ánh xạ chiếu mêtric P
C
khơng đơn giản vì sự phức tạp của tập
con lồi đóng bất kỳ C. Để khắc phục khó khăn này, Yamada [6] đã đề
xuất phương pháp lai đường dốc nhất vào năm 2001 để giải bất đẳng
ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ khơng giãn trong
khơng gian Hilbert. Từ đó đến nay đã có nhiều cơng trình nhằm mở
rộng hướng nghiên cứu của Yamada để giải bất đẳng thức biến phân
trên tập điểm bất động của ánh xạ khơng giãn.
Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu kết quả mới đây trong
[5] về phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức trên tập điểm bất động
của nửa nhóm ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Banach - một mở
rộng hướng nghiên cứu của Yamada.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương
một giới thiệu bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của
ánh xạ khơng giãn. Trong chương này đề cập tới khái niệm về ánh xạ
J-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ khơng giãn, nửa nhóm
ánh xạ khơng giãn, bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập điểm
bất động của nửa nhóm ánh xạ khơng giãn và một số bổ đề bổ trợ.
Chương hai trình bày ba phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức
biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ khơng giãn
trong bài báo [5].
Luận văn này được hồn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại
học Thái Ngun dưới sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của Tiến Sĩ
Nguyễn Thị Thu Thủy. Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và
biết ơn sâu sắc tới Cơ, người đã dành nhiều thời gian và tâm huyết để

hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian làm
luận văn.
Trong q trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo
sư, Phó Giáo sư cơng tác tại Viện Tốn học, các Thầy Cơ trong trường
iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Đại học Khoa Học, Đại học Thái Ngun, tác giả đã trau dồi thêm
rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và cơng tác của bản
thân. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các Thầy Cơ.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo
đơn vị cơng tác và đồng nghiệp đã ln động viên, giúp đỡ và tạo điều
kiện tốt nhất cho tác giả trong q trình học tập, nghiên cứu và làm
luận văn.
Hải Phòng, tháng 5 năm 2014.
Học viên
Nguyễn Thị Hương Lý
iv
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />BẢNG KÝ HIỆU
R
n
khơng gian Euclide n chiều
D(A) miền xác định của tốn tử A
R(A) miền giá trị của tốn tử A
H khơng gian Hilbert thực
C tập con lồi đóng của H
I ánh xạ đơn vị
P
C
Phép chiếu mêtrix lên tập C
x
n

→ x dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới x
x
n
 x dãy {x
n
} hội tụ yếu tới x
v
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 1
Bất đẳng thức biến phân trên tập
điểm bất động của ánh xạ khơng
giãn
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số khái niệm và kết quả
về ánh xạ J-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ khơng giãn,
nửa nhóm ánh xạ khơng giãn và bài tốn bất đẳng thức biến phân
trên tập điểm bất động của ánh xạ khơng giãn. Nội dung của chương
này được viết dựa trên các tài liệu [2] - [6] và một số tài liệu trích dẫn
trong đó.
1.1 Khơng gian Banach
1.1.1 Khơng gian Banach lồi đều, trơn đều
Cho E là một khơng gian Banach thực, E
∗
là khơng gian liên hợp
của E và x
∗
, x là ký hiệu giá trị của x
∗
∈ E
∗

tại x ∈ E. Ký hiệu
2
E
là một họ các tập con khác rỗng của E. Cho T là một ánh xạ với
miền xác định là D(T ) và miền giá trị là R(T ) và Fix(T) là tập điểm
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />bất động của ánh xạ T , nghĩa là
F ix(T ) = {x ∈ D(T ) : T(x) = x}.
Ký hiệu mặt cầu đơn vị của E là S
E
, trong đó S
E
= {x ∈ E : x = 1}.
Định nghĩa 1.1. Khơng gian Banach E được gọi là khơng gian
(i) lồi chặt nếu với x, y ∈ S
E
, x = y thì
(1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1),
(ii) lồi đều nếu với mọi ε thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, mọi x, y thỏa mãn
x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y ≥ ε, tồn tại δ = δ(ε) ≥ 0 sao cho





x + y
2






≤ 1 − δ.
Chú ý rằng mọi khơng gian Banach lồi đều đều là khơng gian phản
xạ và lồi chặt.
Định nghĩa 1.2. Khơng gian Banach E được gọi là
(i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc khơng gian trơn) nếu giới hạn
lim
t→0
x + ty − x
t
tồn tại với mỗi x, y ∈ S
E
;
(ii) có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu giới hạn trên đạt được đều
với x ∈ S
E
.
Định nghĩa 1.3. Giả sử E là một khơng gian tuyến tính định chuẩn
thực với số chiều lớn hơn hoặc bằng 2, và x, y ∈ E. Mơ đun trơn của
E được xác định bởi
ρ
E
(τ) := sup



x + y + x − y
2
− 1 : x = 1, y = τ




. (1.1)
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Ta có định nghĩa khác về khơng gian trơn đều như sau:
Định nghĩa 1.4. Một khơng gian Banach E được gọi là trơn đều nếu
lim
τ→0
h
E
(τ) := lim
τ→0
ρ
E
(τ)
τ
= 0. (1.2)
Các khơng gian L
p
, l
p
là các ví dụ về khơng gian trơn đều.
1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
Định nghĩa 1.5. Ánh xạ J : E → 2
E
∗
(nói chung đa trị) được gọi là
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E nếu
J(x) = {x

∗
∈ E
∗
: x
∗
, x = xx
∗
, x
∗
 = x}.
Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tồn tại trong mọi khơng gian Banach
và nói chung là ánh xạ đa trị. Nếu E là khơng gian Hilbert thì ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc chính là tốn tử đơn vị I trong khơng gian Hilbert
đó. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có một số tính chất sau:
Mệnh đề 1.1. Giả sử E là một khơng gian Banach. Khi đó,
(i) J(x) là tập lồi, J(λx) = λJ(x), với mọi λ > 0;
(ii) J là ánh xạ đơn trị nếu E
∗
là khơng gian lồi chặt.
Trong trường ánh xạ J đơn trị ta ký hiệu là j.
Nếu E là khơng gian Banach trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J
là đơn trị. Nếu E là khơng gian Banach trơn đều thì ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc J liên tục đều trên các tập con bị chặn của E.
Bổ đề sau được sử dụng để chứng minh định lý ở Chương 2.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Bổ đề 1.1. Cho E là một khơng gian tuyến tính định chuẩn thực. Khi
đó,
x + y
2
≤ x

2
+ 2y, j(x + y) ∀x, y ∈ E, j(x + y) ∈ J(x + y).
1.1.3 Ánh xạ J-đơn điệu
Định nghĩa 1.6. Ánh xạ A : E → E được gọi là
(i) J-đơn điệu (accretive) nếu tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
A(x) − A(y), j(x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);
(ii) J-đơn điệu ngặt nếu dấu bằng ở bất đẳng thức trên chỉ đạt
được khi x = y;
(iii) J-đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm tăng γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0,
và j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
A(x) − A(y), j(x − y) ≥ γ(x − y), ∀x, y ∈ D(A);
(iv) J-η-đơn điệu mạnh nếu γ(t) = ηt
2
, η > 0 là một hằng số;
(v) khơng giãn nếu
A(x) − A(y) ≤ x − y, ∀x, y ∈ D(A).
Ví dụ 1.1. Ánh xạ đồng nhất I : E → E, trong đó E là khơng gian
Hilbert là ánh xạ J-đơn điệu.
Thật vậy với mọi x, y ∈ E, x = y ta có
I(x) − I(y), j(x − y) = x − y, j(x − y).
Vì x − y, j(x − y) = x − y
2
nên I là ánh xạ J-đơn điệu.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định nghĩa 1.7. Cho T : D(T ) ⊂ E → E là một ánh xạ. Ánh xạ
T được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L nếu với mọi
x, y ∈ D(T ) ta có
T (x) − T(y) ≤ Lx − y.
Nếu 0 ≤ L < 1 thì ta có định nghĩa ánh xạ co, nếu L = 1 thì ta có
định nghĩa ánh xạ khơng giãn.

Định nghĩa 1.8. Ánh xạ A được gọi là giả co nếu
A(x)−A(y)
2
≤ x−y
2
+(I −A)(x)−(I −A)(y)
2
, ∀x, y ∈ D(A)
trong đó I là ánh xạ đồng nhất.
Dễ thấy, mọi ánh xạ khơng giãn đều là giả co.
Định nghĩa 1.9. Ánh xạ A : E → E được gọi là ánh xạ λ-giả co chặt
nếu với mỗi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
Ax − Ay, j(x − y) ≤ x − y
2
− λx − y − (Ax − Ay)
2
(1.3)
với mỗi λ ∈ (0, 1).
Ta thấy (1.3) có thể được viết lại như sau
(I −A)(x)−(I −A)(y), j(x−y) ≥ λ(I −A)(x)−(I −A)(y)
2
. (1.4)
Rõ ràng, từ (1.3), kéo theo A(x)−A(y) ≤ Lx−y với L = 1+1/λ.
Nếu A thỏa mãn (1.3) với λ = 0, thì nó được gọi là ánh xạ giả co. Mọi
ánh xạ khơng giãn đều là ánh xạ giả co.
Ta có mối liên hệ giữa ánh xạ J-đơn điệu và giả co như sau.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Bổ đề 1.2. Cho T : D(T ) ⊂ E → E là một ánh xạ. Khi đó, T là ánh
xạ J-đơn điệu khi và chỉ khi I − T là ánh xạ giả co, ở đây I là ánh xạ
đơn vị trong E.

Sau đây là định nghĩa ánh xạ đơn điệu.
Định nghĩa 1.10. Cho A : D(A) ⊂ X → X
∗
, ánh xạ A được gọi là
(i) Ánh xạ đơn điệu nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A).
(ii) η-đơn điệu mạnh nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ ηx − y
2
, ∀x, y ∈ D(A).
Bổ đề 1.3. Cho E là một khơng gian Banach trơn thực và A : E → E
là một ánh xạ.
(i) Nếu A là ánh xạ λ-giả co chặt thì A là ánh xạ liên tục Lipschitz với
hằng số (1 +
1
λ
).
(ii) Nếu A là ánh xạ δ-J-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1
thì I − A là ánh xạ co với hằng số
1−δ
λ
.
(iii) Nếu A là ánh xạ δ-J-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1
thì với số cố định bất kỳ τ ∈ (0, 1), I − τ A là ánh xạ co với hằng số
1 − τ (1 −
1−δ
λ
).
Chứng minh. (i) Từ (1.4) ta nhận được
λ(I − A)(x) − (I − F )(y)

2
≤ (I − A)(x) − (I − A)(y), J(x − y)
≤ (I − A)(x) − (I − A)(y)x − y,
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />từ đó suy ra
(I − A)(x) − (I − A)(y) ≤
1
λ
x − y.
Nên
A(x) − A(y) ≤ (I − A)(x) − (I − A)(y) + x − y + x − y
≤ 1 +
1
λ
x − y,
và do đó A lliên tục Lipschitz với hằng số (1 +
1
λ
).
(ii) Từ (1.3) và (1.4), ta có
λ(I − A)(x) − (I − A)(y)
2
≤ x − y
2
− A(x) − A(y), J(x − y)
≤ (1 − δ)x − y
2
.
Vì δ + λ > 1 ⇔
1−δ

λ
∈ (0, 1), nên
(I − A)(x) − (I − A)(y) ≤
1 − δ
λ
x − y,
và vì vậy I − A là ánh xạ co với hằng số
1−δ
λ
.
(iii) Vì I − A là ánh xạ co với hằng số
1−δ
λ
, nên với mỗi số cố định
τ ∈ (0, 1) ta có
x − y − τ(A(x) − A(y)) = (1 − τ)(x − y)
+ τ[(I − A)(x) − (I − A)(y)]
≤ (1 − τ)x − y + τ(I − A)(x) − (I − A)(y)
≤ (1 − τ)x − y + τ
1 − δ
λ
x − y
= 1 − τ 1 −
1 − δ
λ
x − y.
Từ đây suy ra I − τ F là ánh xạ co với hằng số 1 − τ

1 −
1−δ

λ

.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />1.2 Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn
1.2.1 Ánh xạ chiếu
Định nghĩa 1.11. Cho E là khơng gian Banach thực, C là một tập
con lồi đóng của E. Một ánh xạ P
C
: E → C được gọi là ánh xạ chiếu
lên tập lồi C, nếu
i) P
C
(x) ∈ C, ∀x ∈ E;
ii) P
C
(x) = x, ∀x ∈ C.
Tính chất của tốn tử chiếu:
Bổ đề 1.4. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian
Hilbert thực H. Với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất z ∈ C sao cho
z − x ≤ y − x với mọi y ∈ C, và z = P
C
(x) nếu và chỉ nếu
z − x, y − z ≥ 0 với mọi y ∈ C.
1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn
Cho T là một ánh xạ khơng giãn trên tập con C lồi đóng và khác
rỗng của khơng gian Banach E. {T (s) : s > 0} được gọi là một nửa
nhóm ánh xạ khơng giãn trên C nếu thỏa mãn:
(1) Với mỗi s > 0, T (s) là một ánh xạ khơng giãn trên C;
(2) T (0)x = x với mọi x ∈ C;

(3) T (s
1
+ s
2
) = T (s
1
) ◦ T (s
2
) với mọi s
1
, s
2
> 0;
(4) Với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (.)x từ (0, ∞) vào C là liên tục.
Bổ đề 1.5. Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng và giới nội của
khơng gian Banach lồi đều E và giả sử {T (s) : s > 0} là nửa nhóm
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />khơng giãn trong C. Khi đó với mọi r > 0 và h > 0,
lim
t→∞
sup
y∈C∩B
r






T (h)

1
t

t
0
T (s)yds −
1
t

t
0
T (s)yds






= 0,
với B
r
= {x ∈ E : x ≤ r}.
1.3 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của
ánh xạ khơng giãn
1.3.1 Bất đẳng thức biến phân trong khơng gian Hilbert
Cho H là một khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng ., . và
chuẩn ., C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H, và F : H → H
là một ánh xạ phi tuyến. Bài tốn bất đẳng thức biến phân được phát
biểu như sau: Tìm điểm u
∗

∈ C sao cho
VI(F, C) : F (u
∗
), v − u
∗
 ≥ 0, ∀v ∈ C.
Nếu F là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C, thì bài
tốn VI(F, C) có nghiệm duy nhất. Bài tốn VI(F, C) tương đương
với phương trình điểm bất động
u
∗
= P
C
(u
∗
− µF(u
∗
)), (1.5)
trong đó P
C
là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0 là hằng số
tùy ý. Nếu F là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C
và µ > 0 đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (1.5) là
ánh xạ co. Do đó, ngun lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy lặp
Picard
x
n+1
= P
C
(x

n
− µF(x
n
))
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài tốn VI(F, C). Phương pháp
này được gọi là phương pháp chiếu. Tuy nhiên phương pháp này lại
khơng dễ dàng thực thi vì sự phức tạp của tập lồi C bất kỳ.
Để khắc phục nhược điểm này, Yamada [6] (xem thêm [3]) đã đưa
ra phương pháp lai đường dốc nhất để giải bài tốn VI(F, C). Ý tưởng
của ơng được trình bày như sau: Cho C là tập điểm bất động của ánh
xạ khơng giãn T : H → H, tức là, C = {x ∈ H : T (x) = x}. Giả sử
F là ánh xạ η-đơn điệu mạnh và κ-liên tục Lipschitz trên C. Lấy một
số cố định µ ∈ (0, 2η/κ
2
) và dãy số thực {λ
n
} trong (0, 1) thỏa mãn
các điều kiện sau:
(L
1
) lim
n
λ
n
= 0;
(L
2
)


n
λ
n
= ∞;
(L
3
) lim
n→∞
(λ
n
− λ
n+1
)
λ
2
n+1
= 0.
Xuất phát từ một điểm ban đầu u
0
∈ H tùy ý, xác định dãy lặp {u
n
}
bởi thuật tốn:
u
n+1
:= T u
n
− λ
n+1
µF (T u

n
), ∀n ≥ 0. (1.6)
Yamada [6] (Định lý 3.3, trang 486), đã chứng minh rằng dãy {u
n
} xác
định bởi (1.6) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài tốn VI(F, C).
Một ví dụ về dãy {λ
n
} thỏa mãn các điều kiện (L
1
)-(L
3
) là
λ
n
=
1
n
σ
, 0 < σ < 1.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />1.3.2 Bất đẳng thức biến phân trong khơng gian Banach
Cho E là khơng gian Banach thực và J : E → 2
E
∗
là ánh xạ đối
ngẫu chuẩn tắc của E. Cho {x
n
} là một dãy các phần tử trong E,
ta ký hiệu x

n
→ x (tương ứng x
n
 x) chỉ sự hội tụ mạnh (tương
ứng hội tụ yếu) của dãy {x
n
} tới x ∈ E. Cho F : E → E là một ánh
xạ. Bài tốn bất đẳng thức biến phân trong khơng gian Banach được
nghiên cứu trong đề tài này phát biểu như sau: tìm điểm p
∗
∈ E sao
cho
p
∗
∈ F : F (p
∗
), j(p
∗
− p) ≤ 0 ∀p ∈ F, (1.7)
với F := ∩
s>0
Fix(T (s)) và {T(s) : s > 0} là một nửa nhóm khơng
giãn trong khơng gian Banach lồi đều E có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
Bài tốn (1.7) với F = Fix(T ) và F : C → E
∗
là ánh xạ J-ngược-
đơn điệu mạnh, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian
Banach trơn E đã được Aoyama và các đồng nghiệp nghiên cứu (xem
tài liệu trích dẫn trong [6]). Nếu đặt F = I − S, trong đó S : E → E
là ánh xạ co thì bài tốn (1.7) (VI

∗
(F, Fix(T )) có dạng VI
∗
(I − S,
Fix(T )). Một số ví dụ cho bài tốn (1.7) có thể kể đến, chẳng hạn, ta
có thể phân tích bài tốn VI
∗
(I − S, Fix(T )), trong đó S : E → E là
ánh xạ co, bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử J-đơn điệu, bài tốn
điểm bất động . . . .
1.4 Giới hạn Banach
Cho (E, d) là một khơng gian mêtric. Giả sử x ∈ E và D ⊂ E, khi
đó d(x, D) = inf
v∈D
d(x, v). Tập D ⊂ E là tập Chebyshev nếu với mọi
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />x ∈ E tồn tại duy nhất phần tử y ∈ D sao cho d(x, y) = d(x, D). Chú
ý rằng mỗi tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian Banach phản
xạ lồi chặt E là một tập Chebyshev.
Cho
∼
µ là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l
∞
thỏa mãn

∼
µ  = 1 =
∼
µ (1). Hàm
∼

µ xác định trên N khi và chỉ khi
inf{a
n
: n ∈ N} ≤
∼
µ (a) ≤ sup{a
n
: n ∈ N}
với mỗi a = (a
1
, a
2
, . . . ) ∈ l
∞
. Ta sẽ viết
∼
µ
n
(a) thay cho
∼
µ(a).
∼
µ trên
N được gọi là giới hạn Banach nếu
∼
µ
n
(a) =
∼
µ

n
(a
n+1
)
với mỗi a = (a
1
, a
2
, . . . ) ∈ l
∞
. Sử dụng định lý Hann Banach, ta có
thể chứng minh sự tồn tại của giới hạn Banach. Ta biết rằng nếu
∼
µ là
giới hạn Banach thì
lim inf
n→∞
a
n
≤
∼
µ
n
(a
n
) ≤ lim sup
n→∞
a
n
với mỗi a = (a

1
, a
2
, . . . ) ∈ l
∞
. Cho {x
n
} là một dãy bị chặn trong
E. Khi đó, ta có thể định nghĩa hàm lồi liên tục nhận giá trị thực
g : E → R bởi
g(x) =
∼
µ
n
x
n
− x
2
, ∀x ∈ E.
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Bổ đề 1.6. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian
Banach E với chuẩn khả vi Gâteaux đều. Cho {x
n
} là một dãy bị chặn
trong E,
∼
µ là một giới hạn Banach trên N, và z ∈ C. Khi đó,
∼
µ
n

x
n
− z
2
= min
y∈C
∼
µ
n
x
n
− y
2
khi và chỉ khi
∼
µ
n
x − z, J(x
n
− z) ≤ 0, x ∈ C.
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 2
Phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng
thức biến phân trên tập điểm bất
động của nửa nhóm ánh xạ khơng
giãn
Chương này nghiên cứu một số phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng
thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ khơng
giãn trong khơng gian Banach. Các kiến thức của chương này được
viết từ bài báo [5] và một số tài liệu trích dẫn trong đó.

Chúng ta nhắc lại bài tốn bất đẳng thức biến phân đã được đề cập
ở chương 1: tìm điểm p
∗
∈ E sao cho
p
∗
∈ F : F (p
∗
), j(p
∗
− p) ≤ 0 ∀p ∈ F, (2.1)
với F := ∩
s>0
Fix(T (s)) và {T(s) : s > 0} là một nửa nhóm ánh
xạ khơng giãn trong khơng gian Banach lồi đều E có chuẩn khả vi
Gâteaux đều.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />2.1 Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân
Cho {T (s) : s > 0} là một nửa nhóm khơng giãn trong C, với C
là một tập con lồi đóng của khơng gian Banach lồi đều có chuẩn khả
vi Gâteaux đều. Năm 2007, Chen và Song đã đề xuất thuật tốn tìm
nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.1) như sau:
x
k
= γ
k
f(x
k
) + (1 − γ
k

)
1
t
k

t
k
0
T (s)x
k
ds, (2.2)
với f là một ánh xạ co trong C và γ
k
, t
k
là hai dãy số dương. Họ đã
chứng minh kết quả sau đây.
Định lý 2.1. Cho C là một tập con lồi đóng của khơng gian Banach
lồi đều E với chuẩn khả vi Gâteaux đều và cho {T (s) : s > 0} là một
nửa nhóm khơng giãn trong C sao cho F := ∩
s>0
Fix(T (s)) = ∅. Khi
đó dãy {x
k
} được định nghĩa bởi (2.2) với điều kiện t
k
→ ∞ và γ
k
→ 0
khi k → ∞, hội tụ mạnh tới một phần tử p

∗
∈ F là nghiệm của (2.1)
với F = I − f.
Một trường hợp đặc biệt của (2.2) được Shijoi và Takahashi nghiên
cứu năm 1998 như sau:
x
k
= γ
k
u + (1 − γ
k
)
1
t
k

t
k
0
T (s)x
k
ds,
trong đó u là một điểm cố định thuộc C, {γ
k
} ⊂ (0, 1) và {t
k
} là một
dãy thực dương và phân kỳ. Sau đó, năm 2003 Suzuki đã cải tiến kết
quả của Shijoi và Takahashi và chứng minh định lý dưới đây.
Định lý 2.2. Cho {T(s) : s > 0} là nửa nhóm khơng giãn trong C,

với C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian Hilbert H,
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />