Phương pháp lặp ẩn tìm nghiệm cho một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
NGUYỄN THỊ MINH CHÂU
PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN TÌM NGHIỆM
CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
NGUYỄN THỊ MINH CHÂU
PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN TÌM NGHIỆM
CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
GS. TS. NGUYỄN BƯỜNG
THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
1
.
2
Mục lục
3
Mở đầu
4
Chương 1
Một số khái niệm cơ bản

5
Chương 2
Phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng
thức biến phân
6
Kết luận
7
Tài liệu tham khảo
[1]
[2]
[3]
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1 Một số khái niệm cơ bản 1
1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Không gian Banach lồi đều, trơn đều . . . . . . 3
1.1.3 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . . . . 7
1.3.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . 9
1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . 9
1.4.2 Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm 14
1.5 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1 Ánh xạ đơn điệu. Ánh xạ không giãn . . . . . . 15

i
1.5.2 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . 17
2 Phương pháp lặp ẩn giải bài toán bất đẳng thức biến
phân 21
2.1 Phương pháp lặp ẩn giải một lớp bất đẳng thức biến
phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Phương pháp lặp ẩn giải một lớp bất đẳng thức biến
phân trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Kết luận 34
Tài liệu tham khảo 35
i
MỞ ĐẦU
Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời vào những năm 60 và là
một công cụ mạnh và thống nhất để nghiên cứu một lớp rộng các bài
toán cân bằng. Có thể thấy phương pháp bất đẳng thức biến phân
được quan tâm nghiên cứu rộng rãi và trở thành một công cụ hữu hiệu
trong việc xây dựng các kỹ thuật để giải một số bài toán, gồm có: bài
toán cân bằng mạng giao thông, bài toán cân bằng giá, các bài toán
cân bằng tài chính, cân bằng nhập cư, bài toán vận tải, lý thuyết trò
chơi và nhiều bài toán trong lĩnh vực vật lý và kĩ thuật khác. Nhiều
bài toán trong toán học được phát biểu dưới dạng bất đẳng thức biến
phân như bài toán bù phi tuyến, bài toán cân bằng, bài toán tối ưu,
bài toán điểm bất động.
Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựa
trên cách tiếp cận thông qua điểm bất động. Nội dung của phương
pháp này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài toán tìm điểm bất
động của một ánh xạ nghiệm thích hợp. Phương pháp chiếu gradient
là một kết quả theo hướng tiếp cận này bằng cách sử dụng phép chiếu

metric P
C
để xây dựng một dãy lặp hội tụ mạnh đến nghiệm của bất
đẳng thức biến phân. Phương pháp này có ưu điểm là dễ lập trình và
tốc độ hội tụ mạnh. Tuy nhiên phương pháp này thì việc tính toán
ánh xạ chiếu metric P
C
không đơn giản vì sự phức tạp của tập con
lồi đóng bất kỳ C. Để khắc phục khó khăn này, Yamada đã đề xuất
phương pháp lai đường dốc nhất vào năm 2001 để giải bất đẳng thức
biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không
ii
gian phi tuyến. Từ đó đến nay có nhiều công trình nhằm mở rộng
hướng nghiên cứu của Yamada để giải bất đẳng thức biến phân.
Mục đích của đề tài luận văn là đọc hiểu và trình bày lại một kết
quả nghiên cứu mới đây trong [4] về việc nghiên cứu phương pháp lặp
ẩn giải bài toán bất đẳng thức biến phân trong giải tích phi tuyến -
một cải biến kết quả của Yamada.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương:
Trong chương một, chúng tôi sẽ hệ thống lại một số khái niệm cơ
bản gồm: không gian Banach,không gian Hilbert, khái niệm bài toán
đặt không chỉnh, khái niệm điểm bất động, bài toán bất đẳng thức
biến phân.
Chương hai gồm các kiến thức về phương pháp lặp ẩn giải một lớp
bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert, trong không gian
Banach.
Tôi mong muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Giáo sư
- Tiến sĩ Nguyễn Bường, thầy đã rất tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi
trong quá trình tôi thực hiện luận văn và trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn
thành luận văn này.

Tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới các giáo sư, tiến sĩ ở Viện
Toán học, Viện công nghệ thông tin thuộc Viện khoa học và và công
nghệ Việt Nam, các thầy cô giáo trong trường Đại học Khoa học nói
chung và khoa Toán - Tin nói riêng đã hết lòng giảng dạy, truyền đạt
cho tôi nhiều kiến thức khoa học trong suốt quá trình tôi học tập tại
trường.
Cuối cùng, tôi cũng muốn cảm ơn đến người thân, bạn bè đã cổ vũ
iii
tôi trong suốt thời gian vừa qua.
Do điều kiện, thời gian và trình độ có hạn nên luận văn này không
thể tránh khỏi có nhiều thiếu sót. Tôi rất mong sẽ nhận được nhiều ý
kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn.
Hải Phòng, tháng 5 năm 2014.
Học viên
Nguyễn Thị Minh Châu
iv
BẢNG KÝ HIỆU
R
n
không gian Euclide n chiều
D(A) miền xác định của toán tử A
R(A) miền giá trị của toán tử A
H không gian Hilbert thực
C tập con lồi đóng của H
I ánh xạ đơn vị
x
n
→ x dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới x

x
n
 x dãy {x
n
} hội tụ yếu tới x
v
Chương 1
Một số khái niệm cơ bản
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của
giải tích hàm và giải tích hàm phi tuyến có liên quan đến nội dung
nghiên cứu của đề tài. Các kiến thức này được tham khảo trong các
tài liệu [1], [2], [3],[8], [9], [12].
1.1 Không gian Banach
1.1.1 Không gian Banach
Định nghĩa 1.1. Không gian định chuẩn thực là một không gian
tuyến tính thực E trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ E ta có một số
x gọi là chuẩn của x thỏa mãn các điều kiện sau:
1) x > 0, ∀x = 0, x = 0 ⇔ x = 0;
2) αx = |α| . x , ∀x ∈ E, α ∈ R;
3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ E, (bất đẳng thức tam giác)
Một không gian định chuẩn đầy đủ là không gian Banach.
Ví dụ 1.1. Không gian L
p
[a, b] với 1 ≤ p ≤ ∞ với các phần tử là các
hàm x(t) xác định và p–khả tích trên đoạn [a, b] sao cho
b

a
|x(t)|
p

dt < ∞,
1
là không gian Banach với chuẩn
φ =
b

a
|φ(x)|
p
dx
1
p
, φ ∈ L
p
[a, b] .
Cho E là không gian Banach thực, E
∗
là không gian liên hợp của
E. Không gian liên hợp của E
∗
được gọi là không gian liên hợp thứ
hai của E và kí hiệu là E
∗∗
, tức là E
∗∗
= L(E
∗
, R).
Định nghĩa 1.2. Không gian định chuẩn E gọi là không gian phản
xạ nếu E = E

∗∗
.
Ví dụ 1.2. L
p
[0, 1], p > 1 là một không gian phản xạ. Mọi không
gian định chuẩn hữu hạn chiều đều phản xạ.
Định nghĩa 1.3. Dãy các phần tử x
n
trong không gian Banach E được
gọi là hội tụ đến phần tử x
0
∈ E khi n → ∞, nếu x
n
− x
0
 → 0, kí
hiệu là
x
n
→ x
0
.
Sự hội tụ theo chuẩn được gọi là hội tụ mạnh.
Dãy {x
n
} ⊂ E được gọi là hội tụ yếu đến x
0
∈ E, kí hiệu là x
n
 x

0
nếu với ∀f ∈ E
∗
ta có f (x
n
) → f (x
0
), khi n → ∞.
Từ định nghĩa trên ta có các tính chất sau:
Tính chất 1.1. (i) Từ sự hội tụ mạnh của một dãy {x
n
} suy ra sự
hội tụ yếu của dãy đó.
(ii) Giới hạn yếu của một dãy nếu có là duy nhất.
(iii) Mọi dãy hội tụ yếu đều giới nội.
(iv) Nếu E là không phản xạ thì x
n
 x khi và chỉ khi dãy {f, x
n
}
hội tụ trong R với mọi f ∈ E
∗
.
2
(v) Nếu x
n
 x thì sup
1≤n<∞
x
n

 < ∞ và x ≤ lim
n→∞
x
n
.
Nhận xét 1.1. Một số trường hợp từ hội tụ yếu có thể suy ra hội tụ
mạnh là:
(i) E là không gian định chuẩn hữu hạn chiều;
(ii) {x
n
} ∈ M với M là một tập compact trong E.
Định lý 1.1. (Banach - Steinhaus) Cho E là không gian Banach,
f
n
∈ E
∗
và giả sử dãy {f
n
, x} bị chặn với mọi x ∈ E. Khi đó dãy
{f
n
} bị chặn trong E
∗
.
Định lý 1.2. Giả sử {f
n
} ⊂ E
∗
hội tụ mạnh đến f ∈ E
∗

và {x
n
} ⊂ E
hội tụ yếu đến x ∈ E hoặc {f
n
} ⊂ E
∗
hội tụ yếu đến f ∈ E
∗
và
{x
n
} ⊂ E hội tụ mạnh tới x ∈ E. Khi đó lim
x→∞
f
n
, x
n
 = f, x.
Định nghĩa 1.4. Cho E là không gian Banach phản xạ thực, E được
gọi là không gian có tính chất Ephimov - Stechkin (hay tính chất E-S)
nếu trong E sự hội tụ yếu các phần tử (x
n
 x) và sự hội tụ chuẩn
(x
n
 → x) luôn kéo theo sự hội tụ mạnh (x
n
− x → 0).
1.1.2 Không gian Banach lồi đều, trơn đều

Cho E là một không gian Banach thực, E
∗
là không gian liên hợp
của E và x
∗
, x là ký hiệu giá trị của x
∗
∈ E
∗
tại x ∈ E. Ký hiệu
2
E
là một họ các tập con khác rỗng của E. Cho T là một ánh xạ với
miền xác định là D(T ) và miền giá trị là R(T ) và Fix(T) là tập điểm
bất động của ánh xạ T , nghĩa là
F ix(T ) = {x ∈ D(T ) : T x = x}.
Ký hiệu mặt cầu đơn vị của E là S
E
, tức là S
E
= {x ∈ E : x = 1}.
3
Định nghĩa 1.5. Không gian Banach E được gọi là không gian
(i) lồi chặt nếu với x, y ∈ S
E
, x = y thì
(1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1),
(ii) lồi đều nếu với mọi ε thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, mọi x, y thỏa mãn
x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y ≥ ε suy ra tồn tại δ = δ(ε) ≥ 0 sao cho







x + y
2






≤ 1 − δ.
Chú ý rằng mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian phản
xạ và lồi chặt.
Định nghĩa 1.6. Giả sử E là một không gian tuyến tính định chuẩn
thực. Không gian E được gọi là
(i) có chuẩn khả vi Gâteaux, nếu giới hạn
lim
t→0
x + ty − x
t
tồn tại với mỗi x, y ∈ S
1
(0).
(ii) có một chuẩn khả vi Gâteaux đều, nếu giới hạn đạt được đều
với x ∈ S
E
(0).

Không gian E được gọi là lồi chặt, nếu cho x, y ∈ S
E
(0) với x = y,
chúng ta có (1 − λ)x + λy < 1 với mọi λ ∈ (0, 1).
Định lý 1.3. [6] Cho E là một không gian Banach trơn, thực và
F : E → E là ánh xạ η-đơn điệu mạnh và γ-giả co ngặt với η + γ > 1.
Khi đó, với bất kì λ ∈ (0, 1), I − λF là ánh xạ co với hằng số 1 − λτ,
trong đó τ = 1 − (1 − η)/γ.
4
Định nghĩa 1.7. Giả sử E là một không gian tuyến tính định chuẩn
thực với số chiều lớn hơn hoặc bằng 2, và x, y ∈ E. Mô đun trơn của
E được xác định bởi
ρ
E
(τ) := sup



x + y + x − y
2
− 1 : x = 1, y = τ



. (1.1)
Ta có định nghĩa khác về không gian trơn đều như sau:
Định nghĩa 1.8. Một không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu
lim
τ→0
h

E
(τ) := lim
τ→0
ρ
E
(τ)
τ
= 0. (1.2)
Các không gian L
p
, l
p
là các ví dụ về không gian trơn đều.
1.1.3 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
Giả sử E là một không gian Banach có không gian đối ngẫu E
∗
. Để
đơn giản hóa, chuẩn của E và E
∗
được ký hiệu bằng ký hiệu . và ta
viết x, x
∗
 là giá trị của x
∗
∈ E
∗
tại x ∈ E.
Định nghĩa 1.9. Một ánh xạ J từ E vào E
∗
thỏa mãn điều kiện

J (x) = {x
∗
∈ E
∗
: x, x
∗
 = x
2
và x
∗
 = x }
được gọi là một ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tồn tại trong mọi không gian Banach
nói chung là đa trị. Nếu E là không gian Hilbert thì ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc chính là toán tử đơn vị I trong không gian Hilbert đó. Ánh
xạ đối ngẫu chuẩn tắc có một số tính chất sau:
Mệnh đề 1.1. Giả sử E là một không gian Banach. Khi đó,
(i) J(x) là tập lồi, J(tx) = tJ(x) với t > 0; x ∈ E và J(−x) =
−J(x).
5
(ii) J là ánh xạ đơn trị nếu X
∗
là không gian lồi chặt.
Nếu E là không gian Banach trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J
là đơn trị. Nếu E là không gian Banach trơn đều thì ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc J liên tục đều trên các tập con bị chặn của E. Ta ký hiệu
ánh xạ có đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị là j.
Bổ đề 1.1. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn thực. Khi
đó ta có bất đẳng thức sau
x + y

2
≤ x
2
+ 2y, j(x + y), ∀x, y ∈ E, ∀j(x + y) ∈ J(x + y).
1.2 Không gian Hilbert
1.2.1 Định nghĩa
Cho H là một không gian tuyến tính trên R. Một tích vô hướng
trong H là một ánh xạ ., . : H × H → R thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0;
(ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ H;
(iii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R;
(iv) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H.
Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng ., . được gọi là
không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi là không
gian Hilbert.
6
1.2.2 Ví dụ
Các không gian R
n
, L
2
[a, b] là các không gian Hilbert với tích vô
hướng được xác định tương ứng là
x, y =
n

i=1
ξ
i
η

i
, x = (ξ
1
, ξ
2
, , ξ
n
), y = (η
1
, η
2
, , η
n
) ∈ R
n
và
φ, ψ =
b

a
φ(x)ψ(x)dx, φ, ψ ∈ L
2
[a, b] .
1.3 Bài toán đặt không chỉnh
1.3.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh
Xét một bài toán ở dạng phương trình toán tử
A(x) = f, (1.3)
ở đây A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không
gian Banach Y , f là phần tử thuộc Y . Sau đây là một định nghĩa của
Hadamar:

Định nghĩa 1.10. Cho A là một toán tử từ không gian X vào không
gian Y . Bài toán (1.3) được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu:
1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;
2) nghiệm này duy nhất;
3) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì Bài
toán (1.3) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill - posed). Đối với
các bài toán phi tuyến thì điều kiện thứ hai hầu như không thỏa mãn.
7
Do vậy, các bài toán phi tuyến đều là các bài toán đặt không chỉnh.
Hơn nữa điều kiện cuối cùng cũng khó thực hiện được, vì vậy ta có
định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.11. Cho A là một toán tử từ không gian X vào không
gian Y . Bài toán (1.3) được gọi là bài toán đặt không chỉnh nếu nghiệm
của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Chú ý 1.1. Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện ban đầu f,
có nghĩa là x = R(f), được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y )
nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho từ ρ
Y
(f
1
, f
2
) ≤ δ(ε)
cho ta ρ
X
(f
1
, f
2

) ≤ ε, ở đây x
i
= R(f
i
), x
i
∈ X, f
i
∈ Y, i = 1, 2.
Chú ý 1.2. Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này
nhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác.
Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.3) dữ kiện
ban đầu ở đây chính là toán tử A và vế phải f. Giả sử toán tử A
được cho chính xác, còn vế phải f (có được do đo đạc) cho bởi f
δ
thỏa
mãn ρ
Y
(f, f
δ
) ≤ δ . Như vậy, với (f
δ
, f) ta cần phải tìm một phần tử
x
δ
∈ X hội tụ đến nghiệm chính xác x
0
của (1.3) khi δ → 0. Phần tử
x
δ

có tính chất như vậy gọi là nghiệm xấp xỉ của bài toán đặt không
chỉnh (1.3).
Chú ý 1.3. Gọi x
δ
là nghiệm của (1.3) với f thay bởi f
δ
(giả thiết
rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì f
δ
→ f nhưng với bài toán đặt
không chỉnh thì x
δ
nói chung không hội tụ đến x.
8
1.3.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh
Sau đây ta sẽ chỉ ra một ví dụ về toán tử A mà (1.3) là bài toán
đặt không chỉnh.
Định nghĩa 1.12. Toán tử (phi tuyến) A được gọi là liên tục mạnh,
nếu nó ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu thành hội tụ mạnh tức là nếu x
n
 x
suy ra Ax
n
→ Ax.
Mệnh đề 1.2. Cho X và Y là các không gian Banach thực. Nếu
A : X → Y là toán tử tuyến tính compact thì A liên tục mạnh.
Ví dụ 1.3. Nếu A là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.3) (vô hạn
chiều) nói chung là bài toán đặt không chỉnh.
Định nghĩa 1.13. Nghiệm x
0

được gọi là nghiệm có x
∗
-chuẩn nhỏ
nhất của phương trình (1.3) nếu
x
0
− x
∗
 = min
x∈S
0
x − x
∗

với
S
0
= {x ∈ X : A (x) = A (x
0
) = f}
1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân
1.4.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân
Định nghĩa 1.14. Cho E là không gian Banach phản xạ thực, E
∗
là không gian liên hợp của E, F : E → E
∗
là một toán tử đơn trị
và K là tập con lồi, đóng của E. Bài toán bất đẳng thức biến phân
(variational inequality, viết tắt là VI(F, K)) được phát biểu như sau:
9

Với f ∈ E
∗
hãy tìm x
∗
∈ K sao cho
F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K. (1.4)
Tập nghiệm của VI(F, K) kí hiệu là S
∗
.
Ví dụ 1.4. f (x) là một hàm thực khả vi trên tập mở chứa C = [a, b].
Tìm x
∗
∈ C sao cho
f (x
∗
) = min
x∈C
f(x), x
∗
∈ [a, b] .
Có 3 trường hợp xảy ra:
a) Nếu x
∗
∈ (a, b), theo định lý Fermat, ta có f

(x

∗
) = 0;
b) Nếu x
∗
= a, f(x
∗
) = lim
x→x
∗
+
f(x)−f (x
∗
)
x−x
∗
≥ 0;
c) Nếu x
∗
= b, f

(x
∗
) = lim
x→x
∗
−
f(x)−f (x
∗
)
x−x

∗
≤ 0.
Kết hợp lại, ta có thể viết x
∗
là nghiệm của bài toán
f

(x
∗
). (x − x
∗
) ≥ 0, ∀x ∈ C.
Như vậy x
∗
là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.4)
với F = f

trên C = [a, b].
Trong trường hợp F là đạo hàm Gâteaux của một phiếm hàm f :
E → R ∪ { + ∞} lồi chính thường nửa liên tục dưới thì bất đẳng thức
biến phân (1.4) tương đương với bài toán cực trị lồi không khả vi
min
x∈K
f(x). (1.5)
Khi K ≡ X thì bài toán (1.5) có dạng phương trình toán tử (1.3). Ta
có các kết quả sau:
Bổ đề 1.2. Cho E là một không gian Banach thực, f ∈ E
∗
và A là
một toán tử h-liên tục từ E vào E

∗
. Khi đó, nếu có
A(x) − f, x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ E (1.6)
10