ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

1

MỤC LỤC
Mở đầu 6
1.1. Vật lý học cổ điển 6
1.1.1. Những quan niệm cơ sở của vật lý học cổ điển 6
1.1.2. Các dạng chuyển động. 6
1.1.3. Không thời gian và các biến động lực 6
1.1.4. Lý thuyết điện từ 7
1.2. Sự phá sản của những quan niệm cổ điển và lý thuyết lượng tử cũ. 7
1.2.1. Bức xạ của vật đen tuyệt đối và giả thuyết của Planck 7
1.2.2. Hiệu ứng quang điện và kết luận của Einstein 8
1.2.3. Hiệu ứng Compton 8
1.2.4. Cấu tạo nguyên tử và lý thuyết lượng tử của Bohr 8
1.2.5. Tính chất sóng của vật chất và giả thuyết De  Broglie 8
CHƯƠNG 2 10
Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử 10
2.1. Hai ý tưởng cơ bản của cơ học lượng tử 10
2.1.1. Ý tưởng lượng tử hóa 10
2.1.2. Ý tưởng lưỡng tính sóng  hạt 10
2.2. Các hệ thức bất định 10
2.2.1. Ý tưởng lưỡng tính sóng  hạt và các hệ thức bất định 10
2.2.2. Ý nghĩa vật lý của các hệ thức bất định. 10
2.3. Cách mô tả lượng tử các hiện tượng có kích thước nguyên tử 11
2.3.1. Cách mô tả cổ điển hiện tượng 11
2.3.2. Cách mô tả lượng tử 11
2.3.3. Tính thống kê của cơ học lượng tử 11
2.4. Các cách phát biểu của cơ học lượng tử 11
2.4.1. Cơ học sóng 11
2.4.2. Cơ học ma trận 11
CHƯƠNG 3 13

Cơ sở toán học của cơ học lượng tử 13
3.1. Toán tử 13
3.1.1. Định nghĩa 13
2

3.1.2. Các giao hoán tử. 13
3.1.3. Bài toán trị riêng 14
3.2. Toán tử tự liên hợp và toán tử unita 14
3.2.1. Định nghĩa toán tử liên hợp. 14
3.2.2. Các tính chất của toán tử tự liên hợp 14
3.3. Hàm sóng và nguyên lý chồng chập trạng thái 14
3.3.1. Hàm sóng 14
3.3.2. Nguyên lý chồng chập trạng thái 15
3.4. Các biến động lực của cơ học lượng tử 15
3.4.1. Các biến động lực 15
3.4.2. Các trị riêng và hàm riêng của toán tử dùng trong cơ học lượng tử. 16
3.5. Giá trị trung bình 16
3.5.1. Kỳ vọng toán học trong lý thuyết xác suất 16
3.5.2. Kỳ vọng toán học trong cơ học lượng tử 17
3.6. Nguyên lý bất định Heisenberg 17
3.6.1. Điều kiện để hai toán tử giao hoán với nhau 17
3.6.2. Khái niệm tập hợp đủ các đại lượng vật lý 17
3.6.3. Hệ thức bất định Heisenberg 17
3.6.4. Nguyên lý bổ sung Bohr 18
3.7. Phương trình Schrodinger 18
3.7.1. Cách thiết lập phương trình 18
3.7.2. Giả thiết của Bohr về ý nghĩa hàm sóng 18
3.7.3. Phương trình Schrodinger dừng 19
3.7.4. Sự chuyển từ cơ học lượng tử sang cơ học cổ điển 19
3.7.5. Một vài loại bài toán điển hình của cơ học lượng tử 20

3.8. Các phương trình chuyển động lượng tử 20
3.8.1. Móc Poisson 20
3.8.2. Đạo hàm của các toán tử theo thời gian 20
3.8.3. Phương trình chuyển động lượng tử và định lý Ehrenfest 21
CHƯƠNG 4 23
Lý thuyết biểu diễn 23
4.1. Bổ túc toán học: 23
4.2. Cách phát biểu cơ học lượng tử của Dirac 23
3

4.3. Cơ học lượng tử trong F biểu diễn 24
4.3.1. F biểu diễn 24
4.3.2. Biểu diễn tọa độ 25
4.3.3. Biểu diễn xung lượng 26
4.3.4. Biểu diễn năng lượng. 26
CHƯƠNG 5 28
Chuyển động một chiều 28
5.1. Hạt ở trong giếng thế sâu vô hạn 28
5.1.1. Cách mô tả cổ điển 28
5.1.2. Cách mô tả lượng tử 28
5.2. Thế bậc thang 28
5.2.1. Cách mô tả cổ điển 28
5.2.2. Cách mô tả theo cơ học lượng tử 29
5.3. Sự truyền qua hàng rào thế có bề rộng hữu hạn 29
5.3.1. Cách mô tả cổ điển 29
5.2.2. Cách mô tả theo cơ học lượng tử. 30
5.4. Chuyển động tự do – Giếng vuông góc với độ cao hữu hạn 30
5.5. Phương pháp gần đúng chuẩn cổ điển WKB (Wentzel – Kramers – Brillouin) 30
5.5.1. Nghiệm của phương trình Schrodinger trong phép gần đúng WKB 30
5.5.2. Trường hợp thế có dạng Parabol 31

5.5.3. Sự đúng đắn của phép gần đúng WKB 31
5.6. Dao động tử điều hòa tuyến tính 32
5.6.1. Dao động tử trong lý thuyết cổ điển 32
5.6.2. Dao động tử trong lý thuyết Bohr 32
5.6.3. Dao động tử trong cơ học lượng tử 32
CHƯƠNG 34
Chuyển động trong trường xuyên tâm 34
6.1. Momen động lượng 34
6.1.1. Hệ đủ các biến động lực để mô tả chuyển động trong trường xuyên tâm. 34
6.1.2. Những hàm riêng và trị riêng của toán tử và

z
L
35
6.2. Chuyển động trong trường xuyên tâm 35
6.2.1. Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trong trường xuyên tâm 35
4

6.2.2. Khảo sát nghiệm của phương trình xuyên tâm 36
6.2.3. Chuyển động tự do của hạt cùng có momen động lượng xác định 36
6.3. Trường Coulomb và nguyên tử Hidro 37
6.3.1. Phương trình Schrodinger cho nguyên tử Hidro 37
6.3.2. Năng lượng 37
6.3.3. Hàm xuyên tâm 37
CHƯƠNG 7 39
Lý thuyết Spin của Pauli 39
7.1. Spin của electron 39
7.1.1. Các toán tử spin 39
7.1.2. Các tính chất của ma trận Pauli. 39
7.1.3. Vector spin 40

7.2. Phương trình Pauli 41
CHƯƠNG 8 43
Lý thuyết nhiễu loạn và các hiệu ứng 43
8.1. Lý thuyết nhiễu loạn dừng trong trường hợp không suy biến. 43
8.2. Hiệu ứng Zeeman 44
8.3. Lý thuyết nhiễu loạn dừng trong trường hợp có suy biến 44
8.3.1. Cách đặt vấn đề 44
8.3.2. Phương trình thế kỉ 44
8.4. Hiệu ứng Stark trong nguyên tử Hidro 45
8.5. Nhiễu loạn phụ thuộc vào thời gian 45
8.6. Phép dời tới các trạng thái mới dưới tác dụng của nhiễu loạn, sử cải biến và tổng quát hóa lý
thuyết nhiễu loạn trong lý thuyết trường lượng tử 46
8.6.1. Phép dời tới các trạng thái mới dưới tác dụng của nhiễu loạn 46
8.6.2. Sự cải biến và tổng quát hóa lý thuyết nhiễu loạn trong lý thuyết trường lượng tử. 46
8.7. Quy tắc lọc lựa để cho bức xạ lưỡng cực 47
8.7.1. Đặt vấn đề 47
8.7.2. Quy tắc 47
CHƯƠNG 9 49
Hệ các hạt đồng nhất 49
9.1. Cơ học lượng tử cho hệ một hạt 49
5

9.1.1. Đặt vấn đề 49
9.1.2. Phương trình Schrodinger 49
9.2. Hệ các hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử 50
9.2.1. Toán tử hoán vị 50
9.2.2. Các hạt Boson và các hạt Fermi 50
9.2.3. Hàm sóng của các hạt không tương tác với nhau 50
9.2.4. Nguyên lý loại trừ Pauli 50
9.3. Năng lượng trao đổi và nguyên tử Hêli. 50

9.3.1. Định nghĩa 50
9.3.2. Nguyên tử Hêli 51
9.4. Phương pháp trường tự hợp 51
9.4.1. Mở đầu 51
9.4.2. Phương trình Hartree 51
9.4.3. Phương trình Hartree  Fock 51
9.5. Phương pháp thống kê Thomas – Fermi 52
9.5.1. Mở đầu 52
9.5.2. Phương trình Thomas – Fermi 52
9.5.3. Giải phương trình Thomas – Fermi 52
9.6. Hệ thống tuần hoàn Mendeleev: Tự nghiên cứu 52
CHƯƠNG 10 53
Lý thuyết tán xạ lượng tử 53
10.1. Biên độ và tiết diện tán xạ 53
10.1.1. Định nghĩa tiết diện và biên độ tán xạ 53
10.1.2. Tính biên độ tán xạ 54
10.2. Công thức Born 54
10.2.1. Phương pháp Born 54
10.2.2. Các điều kiện áp dụng phương pháp gần đúng Born 55
10.3. Phương pháp sóng riêng phần trong lý thuyết tán xạ 55
10.3.1. Biên độ tán xạ 55
10.3.2. Tiết diện tán xạ 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

6

CHƯƠNG 1
Mở đầu
Số tiết:02 (Lý thuyết:02 tiết; bài tập, thảo luận: 00tiết)

A) MỤC TIÊU:
+ Nắm được cơ sở của vật lý học cổ điển.
+ Hiểu được sự phá sản của những quan niệm cổ điển và lý thuyết lượng tử cũ.
+ Vận dụng các kiến thức để giải thích được các hiện tượng, thí nghiệm vật lí.
+ Sinh viên giải được các bài tập.
+ Sinh viên yêu thích môn học, tích cực nghiên cứu và trao đổi kiến thức của chương.
B) NỘI DUNG:
1.1. Vật lý học cổ điển
1.1.1. Những quan niệm cơ sở của vật lý học cổ điển
Vật lí học cổ điển bao gồm Cơ học Newton và lý thuyết điện từ Maxwell. Ba quan niệm cơ bản
của vật lí học cổ điển:
- Sự biến đổi liên tục của các đại lượng vật lí.
- Nguyên lý quyết định luận cổ điển.
- Phương pháp phân tách nhỏ để nghiên cứu các đối tượng và hiện tượng vật lí.
1.1.2. Các dạng chuyển động.
Vật lí cho ta hai dạng chuyển động của vật chất: chuyển động hạt và chuyển động sóng.
- Chuyển động hạt: đặc trưng bởi sự định xứ của vật chất trong không gian và sự tồn tại quỹ đạo
chuyển động .
- Chuyển động sóng: đặc trưng bởi sự không định xứ trong không gian.
1.1.3. Không thời gian và các biến động lực
Không gian và thời gian là hình thức tồn tại khách quan cơ bản của vật chất đang vận động:
“Trong thế giới không có gì khác ngoài vật chất đang vận động, mà vật chất đang vận động chỉ
có thể vận động trong không gian và thời gian ”.
Định nghĩa không gian: Tất cả các tính chất chung nhất của các vật thể vật chất do kết quả hoạt
động thực tế lâu dài đã được phản ánh trong ý thức con người dưới dạng khái niệm không gian.
Trong cách phát biểu toán học, những tính chất đó được biểu diến dưới dạng hệ các khái niệm
hình học và sự liên hệ giữa chúng.
Định nghĩa thời gian: Là tính chất của các quá trình vật chất có thời hạn nhất định, diễn ra theo
một trình tự nhất định và được phát triển theo từng bước và từng giai đoạn.
Trong quan điểm của cơ học Newton: Không gian và thời gian là tuyệt đối, không biến đổi, tồn

tại độc lập với nhau và với vật chất.
7

Vật lí cổ điển dùng các biến động lực năng lượng, xung lượng và mô men xung lượng để mô tả
trạng thái của vật thể và chuyển động của nó. Các đại lượng này được xem như là các đại lượng
cơ bản của vật lí.
Các định luật bảo toàn cho chúng là hệ quả của các tính chất đối xứng của không gian và thời
gian: Định luật bảo toàn năng lượng là hệ quả của tính đồng nhất (thuần nhất) của thới gian; định
luật bảo toàn xung lượng là hệ quả của tính đồng nhất (thuần nhất) của không gian và định luật
bảo toàn mô men xung lượng là hệ quả của tính đẳng hướng của không gian.
1.1.4. Lý thuyết điện từ
- Trong vật lí học cổ điện, các hiện tượng điện từ được mô tả qua điện trường và từ trường. Các
trường này liên hệ với mật độ điện tích và mật độ dòng qua hệ phương trình Maxwell, được coi
là hệ phương trình cơ bản của điện động lực học cổ điển.
- Cơ học Newton kết hợp với điện từ học Maxwell trong định luật Lorentz.
- Như vậy, vật lí cổ điển gồm hai ngành chủ yếu là Cơ học Newton và Điện từ học Maxwell về
cơ bản đã mô tả được mọi hiện tượng của vật lí của thế giới vĩ mô.
1.2. Sự phá sản của những quan niệm cổ điển và lý thuyết lượng tử cũ.
1.2.1. Bức xạ của vật đen tuyệt đối và giả thuyết của Planck
Thực nghiệm chỉ ra rằng một vật đen ở nhiệt độ T phát ra những bức xạ điện từ có phổ
liên tục, năng lượng bức xạ phát ra phụ thuộc nhiệt độ của vật. Vật phát ra bức xạ đồng thời cũng
hấp thụ năng lượng của những bức xạ chiếu tới.
Từ giáo trình vật lí thống kê có thể dẫn đến công thức cho mật độ năng lượng bức xạ, gọi là công
thức Rayleigh:
2
2 3
( , )
T kT
c


 


(1.1)
với c là vận tốc của ánh sáng trong chân không, k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ.
Khi đó năng lượng bức xạ toàn phần:
3
2 3
0
0
1
( , )
3
T d kT
c

  



  

(1.2)
Năng lượng bằng vô cùng, đó là điều không thể thừa nhận. Sự thất bại này gọi là “tai biến ở
miền tử ngoại”.
Năm 1900 Planck đưa ra giả thuyết:
Năng lượng của các dao động dao động tử có thể nhận không phải bất cứ giá trị năng
lượng nào mà chỉ nhận các giá trị năng lượng là số nguyên lần của lượng tử năng lượng nhỏ
nhất:
E = nε (1.3)

Ứng với tần số góc ω, giá rị của ε là: ε=ħω
Xuất phát từ giả thuyết Planck, có thể chỉ ra được kết quả (1.2.1) chỉ áp dụng cho vùng tần số
thấp.
8

1.2.2. Hiệu ứng quang điện và kết luận của Einstein
- Hiệu ứng quang điện: Nếu chiếu một chùm sáng đơn sắc tần số ω thích hợp lên mặt của một
tấm kim loại thì có thể làm cho tấm kim loại phát xạ electron.
- Thực nghiệm chỉ ra: Năng lượng của electron phát ra không phụ thuộc vào cường độ chùm
sáng, chỉ phụ thuộc vào tần số ω.
- Theo điện động lực học cổ điển: Năng lượng của electron phát ra phụ thuộc vào cường độ
chùm sáng.
- Giải quyết khó khăn trên, Einstein cho rằng: ánh sáng có tần số xác định ω gồm tập hợp các hạt
riêng biệt (các photon) có năng lượng ε và xung lượng
p

.
- Einstein chỉ ra rằng năng lượng của electron phát ra không phụ thuộc vào cường độ chùm sáng,
chỉ phụ thuộc vào tần số.
1.2.3. Hiệu ứng Compton
Hiệu ứng Compton: là hiện tượng giảm tần số của tia X khi tán xạ trên các electron.
2
1 2 0
2 sin
2

      

(1.4)
Trong đó

0
0
0,0241 A
mc
  

là một hằng số xác định từ thực nghiệm và được gọi là bước
sóng Compton.
Hiệu ứng Compton chứng tỏ ánh sáng là một chùm hạt – chùm các hạt photon.
1.2.4. Cấu tạo nguyên tử và lý thuyết lượng tử của Bohr
- Mẫu nguyên tử hành tinh Rutherford: Nguyên tử là hệ thống bao gồm hạt nhân mang điện tích
dương và rất nặng. Và các electron quay quanh hạt nhân như những hành tinh quay quanh mặt
trời.
- Kết luận của điện động lực học cổ điển: Nguyên tử không bền vững, quang phổ phát xạ của
nguyên tử là quang phổ liên tục.
- Thực nghiệm chỉ ra: Quang phổ nguyên tử là quang phổ vạch, ví dụ nguyên tử Hydro phát ra
quang phổ vạch gồm vạch: đỏ, lam, chàm,….
- 1913 Bohr đã xây dựng học thuyết về về cấu tạo nguyên tử: Mỗi electron trong nguyên tử
không chuyển động trên các quỹ đạo bất kì, chỉ chuyển động trên những quỹ đạo có bán kính xác
định, gọi là quỹ đạo lượng tử. Trên quỹ đạo này electron không bức xạ và mô men xung lượng là
bội số nguyên của ћ:
M = nћ (n=1,2,3…) (1.5)
Lý thuyết Bohr cho phép giải thích một số kết quả thí nghiệm: Phổ nguyên tử Hydro, phổ
nguyên tử với số ít điện tử, sự tồn tại trạng thái dừng trong thí nghiệm Franck-Hertz…
Tuy nhiên lí thuyết Bohr vẫn còn nhiều hạn chế: tồn tại mẫu thuẫn nội tại, quy tắc lượng tử cho
những nguyên tử phức tạp thì đưa đến kết quả chưa chính xác về mức năng lượng.
1.2.5. Tính chất sóng của vật chất và giả thuyết De  Broglie
9

- Lí thuyết và thực nghiệm chỉ ra: Ánh sáng có lưỡng tính sóng hạt.

Thực nghiệm thành công trong nhiễu xạ electron.
- Giả thuyết De-Broglie: Tất cả cá hạt vi mô như electron vừa có tính chất hạt, vừa có tính chất
sóng, giống như ánh sáng.
- Tính chất sóng của electron được ứng dụng trong kỹ thuật, trong máy nhiễu xạ,

C) TÀI LIỆU HỌC TẬP
1. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội.
2. Vũ Văn Hùng (2006), Cơ học lượng tử, NXB ĐHSP, Hà Nội.
3. Vũ Văn Hùng (2006), Bài tập Cơ học lượng tử, NXB ĐHSP, Hà Nội.
4. Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường (1990), Bài tập Vật lý lý
thuyết, tập II, NXB Giáo dục, Hà Nội.
5. Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh (2005), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội.

D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN CỦA CHƯƠNG
1. Trình bày những hạn chế của vật lí học cổ điển?
2. Phân biệt hai dạng chuyển động của vật chất: Sóng và hạt? Lấy ví dụ.
3. Giải tích hiện tượng Compton bằng thuyết lượng tử ánh sáng?
4. Vận dụng lí thuyết lượng tử Borh giải thích quang phổ của nguyên tử Hydro?
Bài 1.1. Êlectrôn chuyển động tương đối tính với vận tốc 2.10
8
m/s. Tìm:
a. Bước sóng Debroglie của electron.
b. Động lượng của electron.
Bài 1.2. Tìm bước sóng Debroglie của hạt được tăng tốc bởi hiệu điện thế 1V.
Bài 1.3. Xác định bước sóng Debroglie của êlectrôn có động năng:
Bài 1.4. Ký hiệu góc tán xạ của photon và góc bay ra của điện tử trong quá trình tán xạ Compton
là θ
γ
, θ
e

, chứng minh rằng:
2
co 1
2
e
e
h
g tg
m c




 
 
 
 

Bài 1.5. Chứng minh hệ thức:





Với Klà động năng của điện tử bị đẩy, E là năng lượng của photon tới và θ là góc tán xạ của
photon trong hiện tượng Compton.

2
2
2

2
2
sin
2
2
1 sin
2
e
e
h
m c
K
E
h
m c
 
 
 
 
 

 

 
 
10

CHƯƠNG 2
Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử
Số tiết:04 (Lý thuyết: 03 tiết; bài tập, thảo luận: 01 tiết)

A) MỤC TIÊU: Học song chương này sinh viên cần:
+ Nắm được cơ sở vật lý và toán học của cơ học lượng tử
+ Hiểu được nội dung của hệ thức bất định Heisenberg, cách mô tả của cơ học lượng tử bằng cơ
học sóng và cơ học ma trận
+ Vận dụng hệ thức bất định Heisenberg giải thích các hiện tượng vật lí.
+ Vận dụng và giải được các bài tập của chương.
+ Sinh viên yêu thích môn học, tích cực nghiên cứu và trao đổi kiến thức của chương.

B) NỘI DUNG:
2.1. Hai ý tưởng cơ bản của cơ học lượng tử
2.1.1. Ý tưởng lượng tử hóa
Bản chất của ý tưỏng lượng tử hoá là một sô' đại lượng vật lý mô tả các đối tượng vi mô trong
những điều kiện tương ứng chỉ có thể nhận các giá trị rời rạc xác định. Đối với những đại lượng
như vậy ta nói chúng bị lượng tử hoá.
2.1.2. Ý tưởng lưỡng tính sóng  hạt
Nếu trong vật lý cổ điển hạt và sóng là hai mặt đối lập loại trừ nhau (hoặc hạt, hoặc sóng) thì
bây giò ồ mức độ vi mô các mặt đối lập này kết hợp với nhau một cách biện chứng trong khuôn
khổ một đối tượng vi mô thống nhất. Đó là lưỡng tính sóng-hạt.
2.2. Các hệ thức bất định
2.2.1. Ý tưởng lưỡng tính sóng  hạt và các hệ thức bất định
Xét sóng phẳng lan truyền dọc theo trục oz, bó sóng hình thành trong khoảng tần số từ ω đến
ω+∆ω và véc tơ sóng trong khoảng từ k
x
đến k
x
+∆k
x
. Sự phá vỡ bó sóng trong thời gian ∆t và
trong không gian ∆x được xác định bằng hệ thức:

. 1
. 1
x
t
k x

  


  


(2.1)

Bây giờ chúng ta giả thiết một cách hình thức rằng các hệ thức (2.1) không chỉ đúng với sóng cổ
điển mà còn đúng cho cả những đặc trưng sóng của đối tượng vi mô, khi đó ta có:
.
.
x
E t
p x
  


  




(2.2)

Với E là năng lượng, p
x
xung lượng theo trục x.Các hệ thức này lần đầu tiên được Heisenberg và
Bohr đưa vào và chúng được gọi là các hệ thức bất định.
2.2.2. Ý nghĩa vật lý của các hệ thức bất định.
11

Ý nghĩa của hệ thức bất định: Trong cơ học lượng tử, vi hạt không thể có đồng thời tọa độ và xác
định và giá trị hình chiếu xung lượng xác định. Nếu hệ ở trạng thái kích thích trong khoảng thời
gian ∆t thì khi đó hệ không thể có nang lượng xác định.
Hệ thức bất định là hệ thức cơ bản nhất của cơ học lượng tử , một trong những hệ quả quan trọng
nhất của lý thuyết De-Broglie về lưỡng tính sóng hạt của vi hạt.
2.3. Cách mô tả lượng tử các hiện tượng có kích thước nguyên tử
2.3.1. Cách mô tả cổ điển hiện tượng
Điểm cơ bản của cách mô tả cổ điển là giả thiết về sự hoàn toàn độc lập của các quá trình
vật lí với các điều kiện quan sát. Chúng ta có khả năng mô tả không những tuyệt đối mà còn cặn
kẽ tỉ mỉ trạng thái chuyển động của hệ vật lí.
2.3.2. Cách mô tả lượng tử
Khi mô tả lượng tử các hiện tượng cần phải tính đến khả năng thực hiện phép đo gắn liền
với tính chất của đối tượng vi mô, đồng thời phải tính đến ảnh hưởng của phép đo đối với trạng
thái của chúng. Cơ sở của phép mô tả lượng tử là sự tương tác giữa đối tượng vi mô và thiết bị
đo.
2.3.3. Tính thống kê của cơ học lượng tử
Trong các điều kiện bên ngoài cho trước,
kết
quả của sự tương tác giữa đối tượng vi mô với
dụng cụ đo nói chung không thể tiên đoán một cách đơn trị được, mà chỉ là với xác suất nào đó.
Tập hợp các kết quả như vậy đưa đến thống kê tương ứng với phân bố nhất định của xác suất.
Như vậy ta phải đưa yếu tố xác suất vào cách mô tả đối tượng vi mô và dáng điệu trạng thái của

nó.
2.4. Các cách phát biểu của cơ học lượng tử
2.4.1. Cơ học sóng
Schrodinger đã phát triển và tổng quát hoá khái niệm sóng vật chất của de Broglie và đã tìm
được phương trình sóng đặc trưng cho hệ lượng tử:
2
( , )
( , ) ( , )
2
r t
i U r t r t
t m


 

   
 

 

 



(2.3)

Với
( , )r t



là hàm sóng, có bình phương mô đun cho ý nghĩa xác suất tìm hạt.
Phương trình (2.3) gọi là phương trình Schorodinger, là cơ sở của cơ học sóng và được thừa
nhận như một tiên đề.

2.4.2. Cơ học ma trận
Heisenberg chỉ ra rằng tất cả cá đại lượng đặc trưng cho chuyển động bên trong của nguyên tử
đều có thể biểu diễn dưới dạng các ma trận.
Dưa trên lí thuyết của mình Heisenberg đã thu được hệ thức bất định và các kết quả như kết quả
của phương trình Schorodinger.
12


C) TÀI LIỆU HỌC TẬP
1. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội.
2. Vũ Văn Hùng (2006), Cơ học lượng tử, NXB ĐHSP, Hà Nội.
3. Vũ Văn Hùng (2006), Bài tập Cơ học lượng tử, NXB ĐHSP, Hà Nội.
4. Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường (1990), Bài tập Vật lý lý
thuyết, tập II, NXB Giáo dục, Hà Nội.
5. Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh (2005), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội.

D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN CỦA CHƯƠNG
1. Trình bày ý tưởng lượng tử hóa và lưỡng tính sóng hạt của cơ học lượng tử?
2. So sánh cách mô tả cổ điển và mô tả lượng tử các hiện tượng có kích thước nguyên tử?
3. Nêu ý nghĩa của hệ thức bất định Heisenberg?
Bài 2.1. Động năng của êlectrôn trong nguyên tử hiđrô có giá trị cỡ 10eV. Dùng hệ thức bất định
hãy đánh giá kích thước nhỏ nhất của nguyên tử hiđrô.
Bài 2.2. Êlectrôn có động năng E
đ
= 15eV chuyển động trong một giọt kim loại có kích thước

d=10
-6
m. Xác định độ bất định về vận tốc của hạt đó.
Bài 2.3. Hạt vi mô có độ bất định về động lượng bằng 1% động lượng của nó. Xác định tỉ số
bước sóng Debroglie với độ bất định về tọa độ của hạt.
Bài 2.4. Tìm bước sóng Debroglie của hạt được tăng tốc bởi hiệu điện thế 1V.
Bài 2.5. Xác định bước sóng Debroglie của êlectrôn có động năng:
Bài 2.6. Viết phương trình Schrodinger của hạt vi mô:
a. Chuyển động một chiều trong trường thế: U = kx
2
/2.
b. Chuyển động trong trường tĩnh điện
2
0
ze
U .
4 r

 



13

CHƯƠNG 3
Cơ sở toán học của cơ học lượng tử
Số tiết:09 (Lý thuyết: 06 tiết; bài tập, thảo luận: 03 tiết)

A) MỤC TIÊU: Học song chương này sinh viên cần:
+ Hiểu được cách trình bày cơ học lượng tử bằng toán tử.

+ Biết cách biểu diễn các biến động lực bằng các toán tử tương ứng.
+ Giải được bài toán trị riêng cho các toán tử.
+ Sinh viên giải được các bài tập của chương.
+ Sinh viên yêu thích môn học, tích cực nghiên cứu và trao đổi kiến thức của chương.

B) NỘI DUNG:
3.1. Toán tử
3.1.1. Định nghĩa
Toán tử được kí hiệu bằng chữ in hoa và có dấu mũ ở trên và là một phép toán tác dụng lên một
hàm bất kì thì chuyển nó thành hàm khác:
L ( ) ( )x x
 


(3.1)

Toán tử tuyến tính: Toán tử
L

được coi là toán tử tuyến tính nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1 2 1 2
L( ) L L
L( ) La a
   
 
  
 
  


(3.2)

Toán tử đơn vị: Toán tử đơn vị
E

biến một hàm bất kì thành chính nó
E
 



(3.3)

Phép cộng các toán tử:
C A B
  
 
nếu
C A B
  
  
 
(3.4)

Phép nhân các toán tử:
.C A B
  
 nếu
( )C A B
 

  

Tích các toán tử phụ thuộc thứ tự các toán tử
(3.5)


Toán tử nghich đảo: Toán tử nghịch đảo với toán tử
L

là toán tử
1
L


sao cho:
nếu
L ( ) ( )x x
 

 thì
1
( ) L ( )x x
 




Phép nâng lên các lũy thừa:
L L.L.L L
n


   


(3.6)

3.1.2. Các giao hoán tử.
14

Giao hoán tử của hai toán tử
A

và
B

được kí hiệu như sau:
A, A. .AB B B
     
 
 
 
 

(3.7)

Phản giao hoán tử của hai toán tử: Phản giao hoán tử của hai toán tử
A

và
B


được kí hiệu như
sau:
 
A, A, A. .AB B B B
       

 
  
 
 

(3.8)

3.1.3. Bài toán trị riêng
Các hàm khi chịu tác dụng của toán tử
L

chuyển thành chính bản thân chúng nhân với một hằng
số thì được gọi là hàm riêng của toán tử đó và hằng số gọi là trị riêng.
L ( ) ( )x x
 


(3.9)

Tập hợp các trị riêng của
L

gọi là phổ của nó.

Nếu có s hàm riêng độc lập tuyến tính cùng ứng với một trị riêng λ, ta nói λ suy biến bậc s.
Nếu λ có giá trị gián đoạn hay liên tục thì nói phổ gián đoạn hay liên tục tương ứng.
3.2. Toán tử tự liên hợp và toán tử unita
3.2.1. Định nghĩa toán tử liên hợp.
Ứng với mỗi toán tử tuyến tính
L

có một toán tử
L


liên hợp với nó nếu thỏa mãn:
* *
L (L )
dX dX
   




 

(3.10)

Nếu
L

thỏa mãn
L L





thì
L

gọi là toán tử tự liên hợp hay toán tử ecmite.
Nếu
L

thỏa mãn
L.L L.L 1
 
 
 
 
thì
L

gọi là toán tử Unita.

3.2.2. Các tính chất của toán tử tự liên hợp
Định lý 3.1: Toán tử có các trị riêng là thực, khi và chỉ khi nó là toán tử ecmite.
Định lý 3.2: Các hàm riêng của toán tử ecmite ứng với những trị riêng khác nhau là trực giao với
nhau.
Định nghĩa: Hai hàm u(x) và v(x) gọi là trực giao với nhau khi
* *
v ( ) ( ) ( )v( ) 0x u x dx u x x dx 
 

(3.11)

Định lý 3.3: Bất kỳ một hàm hữu hạn nào thoả mãn nào thỏa mãn điều kiện nhất định như cùng
biến số, cùng điều kiện biên cũng có thể khai triển thành chuỗi (hay tích phân) theo các hàm
riêng của toán tử ecmite. Nói một cách khác, hệ các hàm riếng của toán tử ecmite là kín hay đủ.
3.3. Hàm sóng và nguyên lý chồng chập trạng thái
3.3.1. Hàm sóng
Trong cơ học lượng tử không thể xác định chính xác đồng thời các giá trị tọa độ và xung lượng
do hệ thức bất định Heisenberg. Vì vậy để mô tả trạng thái của hệ người ta dùng khái niệm mới
15

là hàm sóng, mà bình phương môđun của nó tỷ lệ với mật độ xác suất để tìm thấy hạt ỏ một vị trí
xác định trong không gian.
Xác suất tìm thấy hạt ở một thể tích dv = dxdydz nào đó gần điểm (x,y,z) là:
dw(x,y,z) = |ψ(x,y,z)|
2
dxdydz (3.12)

Về mặt toán học, hàm sóng phải đảm bảo tính hữu hạn, tính liên tục và tính đơn trị trong tất cả
các vùng biến đổi của các biến độc lập của nó. Ngoài ra cần thêm một điều kiện nữa đối với hàm
sóng là điều kiện chuẩn hóa.
3.3.2. Nguyên lý chồng chập trạng thái
Nếu tồn tại các trạng thái được mô tả bởi các hàm sóng ,
( , )
n
r t


, n = 1, 2…. thì sẽ tồn tại một
trạng thái, mà nó được xác định bởi

hàm sóng dưới đây:
 
1
( , ) ( , )
n n
n
r t a r t
 




 

(3.13)

Hàm sóng (3.13) cũng mô tả hệ đã cho.
3.4. Các biến động lực của cơ học lượng tử
3.4.1. Các biến động lực
Trong cơ học lượng tử, mỗi một biến động lực của cơ học cổ điển được đôi ứng với một toán tử
ecmite tuyến tính. Có thể chuyển các hệ thức của các biến động lực từ cơ học cổ điển sang các hệ
thức tương ứng trong cơ học lượng tử với nguyên dạng toán học như cũ và chỉ càn thay các đại
lượng vật lí trong hệ thức này bằng các toán tử ecmite tương ứng.
Tên gọi
Các biến động lực của cơ học
cổ điển
Các toán tử tương ứng trong cơ học
lượng tử
Tọa độ
, ,

r
x y z







( , ) ( , )
( , ) ( , )
r r t r r t
x r t x r t
 
 









   
 

Xung lượng
p
p ,p ,p

x y z







x
p
p
p
p
y
z
i
i
x
i
y
i
z





  




 





 





 









16

Mô men xung lượng
x
L
x z y
y x z

z y x
r p
L yp zp
L zp xp
L xp yp


 


 


 


 

 


  

x
x
L
y
z
i r
L i y z

z y
L i z x
x z
L i x y
y x





 
  

 

 
 

  
 

 
 


 
 

  
 

  
 

 
 

  
 

 
 

  





Năng lượng
2
E= ( )
2
p
U r
m



2
H =- ( )

2
U r
m
 
 



Phép chuyển từ những ký hiệu trừu tượng-toán tử tới các giá trị quan sát được của đại lượng
vật lý trên thực nghiệm được thực hiện nhờ hàm sóng, đặc trưng cho trạng thái vi hạt ở những
điều kiện nhất định.
Giả sử ta có:
L ( , ) ( , )r t r t
 


 

(3.14)

Một phép đo một đại lượng vật lý L nào đó được mô tả bởi toán tử L, thì giá trị X là trị sô' thực ta
thu được cho đại lượng vật lý L trên thực nghiệm.
Ở đây ta đốỉ ứng tất cả các biến động lực với toán tử một cách hình thức, trong đó ta kể
thêm cả những biến động lực không có ý nghĩa trong thế giới vi mô, như toán tử vận tốc , gia
tốc , thế năng, động năng v.v. Ngoài ra trong cơ học lượng tử còn tồn tại các toán tử không có sự
tương tứng trong vật lý cổ điển (như spin, chẵn lẻ ).
3.4.2. Các trị riêng và hàm riêng của toán tử dùng trong cơ học lượng tử.
Phương trình cơ bản của lý thuyết toán tử tuyến tính có dạng:
L
i i i

 



(3.15)

Trong đó λ
i
là trị riêng, còn
i

là hàm riêng tương ứng của toán tử L.
.
Nếu hệ ở trạng thái được mô tả bỏi hàm riêng
i

của toái tử
L

tương ứng với đại lượng vật lý L,
thì khi đo đại lượng vật lý L này ở trạng thái
i

ta thu được giá trị λ
i
.
Phương trình hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng có dạng:
2
H
- ( )

2
E
U r E
m
 
 








 
  

 
 





(3.16)

3.5. Giá trị trung bình
3.5.1. Kỳ vọng toán học trong lý thuyết xác suất
Giả sử có một đại lượng ngẫu nhiên L có thể nhận các giá trị λ
1

λ
2
, ,λ
k
., cùng với các xác
suất tương ứng ω
1
, ω
2
, …ω
k
… và ω
1
+ ω
2
+ ω
k
+ =1
17

Định nghĩa Kỳ vọng toán học của đại lượng ngẫu nhiên L là tổng các tích của từng giá trị này
nhân
với xác suất xuất hiện của nó.
k k
L
 



(3.17)

Khi L nhận giá trị liên tục, kì vọng toán học cảu đại lượng L có dạng:
( )
L d
   



(3.18)

với
( )
 
là độ xác suất.
3.5.2. Kỳ vọng toán học trong cơ học lượng tử
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên là đại lượng có thể nhận giá trị này hoặc giá trị khác trong
trường hợp này hoặc trưòng hợp khác.
Biến ngẫu nhiên được xác định bằng luật phân bố. Biến ngẫu nhiên được chia thành hai
loại: một loại có phân bố rời rạc, còn loại kia phân bố liên tục.
Định nghĩa: Đại lượng F = F(q
1
,q
2
, ,q
z
,p
i
,p
2
, ,P

z
) thì giá trị trung bình của nó được biểu
diễn bằng công thức:
*
F
L d
  




(3.19)

ở đây hàm sóng

thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa,
d

là yếu tố thể tích
.
3.6. Nguyên lý bất định Heisenberg
3.6.1. Điều kiện để hai toán tử giao hoán với nhau
Định lý: Hai đại lượng vật lý F và G cùng có giá trị xác định trong một trạng thái nào đó thì các
toán tử tương ứng với chúng giao hoán với nhau.
Định lý đảo: Nếu hai toán tử G và F giao hoán với nhau thì chúng có hệ chung các hàm
riêng.
3.6.2. Khái niệm tập hợp đủ các đại lượng vật lý
Khi chúng ta nói rằng cho trước trạng thái của hệ, điều đó có nghĩa là cho trước giá trị của tập
hợp xác định của các đại lượng vật lí trong cơ học lượng tử. Tập hợp các đại lượng này, mà
chúng xác định hoàn toàn trạng thái của hệ, được gọi là hệ đủ các đại lượng vật lí.

Trong vật lí cổ điển, trạng thái của hệ ở thời điểm nào đó được coi là biết trước nếu ta biết được
các giá trị xác định của tất cả tọa độ và xung lượng suy rộng tại thời điểm đó.
3.6.3. Hệ thức bất định Heisenberg
* Thăng giáng: là mức độ sai lệch giữa các giá trị trung bình và các giá trị thực tế.
a a a  

(3.20)

- Thăng giáng trung bình:
0
a a a
   

(3.21)

- Thăng giáng toàn phương:
2
( ) ( )a a
  
(3.22)

18

* Hai đại lượng vật lí F và G không đồng thời xác định, có giao hoán tử của hai toán tử tương
ứng thỏa mãn:



F,G
iB

 

 

(3.23)

Trong đó,

B
là toán tử ecmite.
Thăng giáng toàn phương của hai toán tử thỏa mãn:
2
2 2
( )
( ) .( )
4
B
F G

  

(3.24)

- Khi F= x; G = p
x
ta thu được hệ thức bất định Heisenberg cho tọa độ và xung lượng:
2
2 2
( ) .( )
4

x
x p  


(3.25)

Hệ thức bất định là biểu thức toán học của lưỡng tính sóng hạt của hạt vi mô.
3.6.4. Nguyên lý bổ sung Bohr
Để diễn tả ý nghĩa và giá trị của hệ thức bấtt định vật lí hơn, Bohr đã đưa ra nguyên lý bổ
sung. Theo nguyên lý này, không thể mô tả các hiện tượng nguyên tử đầy đủ như động lực học
cổ điển đòi hỏi. Một loạt các địa lượng bổ sung lẫn nhau và cho cách mô tả cổ điển đầy đủ thì
trên thực tế lại loại trừ lẫn nhau trong cơ học lượng tử. Để mô tả toàn diện hiện tượng vi mô
trong cơ học lượng tử cần thiết phải sử dụng tất cả các đại lượng bổ sung cho nhau.
3.7. Phương trình Schrodinger
3.7.1. Cách thiết lập phương trình
- Xét hạt tự do có hàm sóng mô tả trạng thái có dạng:
   
, exp
i
r t A pr Et

 
 
 
 
 


(3.26)

Suy ra hàm sóng thỏa mãn phương trình:
2
2
E
m
 
  


(3.27)

Đây là phương trình Schrodinger phải tìm.
- Tính chất phương trình Schrodinger:
 Là phương trình tuyến tính.
 Phương trình chỉ chứa đạo hàm bậc nhất theo thời gian.
- Phương trình Schrodinger tổng quát:

2
( , )
[ ( )] ( , )
2
( , )
( , )
r t
i U r r t
t m
r t
i H r t
t






   





 






(3.28)

- Phương trình Schrodinger liên hợp phức:
* 2
*
( , )
[ ( )] ( , )
2
r t
i U r r t
t m




    


 



(3.29)

3.7.2. Giả thiết của Bohr về ý nghĩa hàm sóng
19

- Từ phương trình Schrodinger (3.28) , ta thu được phương trình liên tục:
2
* *
+ [ ( )]=0
2t mi

   

   



(3.30)

- Giả thiết của Bohr:
*
  

 là độ đo xác suất tìm thấy hạt ở điểm nào đó và được gọi là mật
độ xác suất.
- Phương trình liên tục:
=0j
t


 



* *
( )]
2
j
mi
   
   



(3.31)

Vậy phương trình Schrodinger và giả thiết Bohr đã mô tả lưỡng tính sóng hạt của hạt vi mô.
Bước chuyển từ hạt sang sóng với phương trình Schrodinger gọi là sự lượng tử hóa lần thứ nhất.
3.7.3. Phương trình Schrodinger dừng
- Khi Hamitonian của hệ không phụ thuộc tường minh vào thời gian, nghiệm phương trình (3.28)
tìm ở dạng phân li biến số:
 
, ( ). ( )r t A t r

 

 

(3.32)

Suy ra hàm
( )r


thỏa mãn :
( ) ( )H r E r
 

 

(3.33)

Có nghiệm dạng: φ
1
, φ
2
, …., φ
n
, …
Từ đó, nghiệm phương trình có dạng:
 
, ( ). ( ) ( ).exp
n n
i

r t A t r r Et
  
 
  
 
 
  


(3.34)

Nghiệm tổng quát là:
 
, . ( ).exp
n n n
i
r t C r E t
 
 
 
 
 

 


(3.35)

3.7.4. Sự chuyển từ cơ học lượng tử sang cơ học cổ điển
- Phương trình Schrodinger ở giới hạn ћ→0 sẽ chuyển sang phương trình cơ bản của cơ học cổ

điển:
2
( , )
[ ( )] ( , )
2
r t
i U r r t
t m



   


 



Schrodinger

0



2
1
( ) 0
2
S
gradS U

t m

  


Hamilton-Jacobi
(3.36)

- Sự chuyển dởi từ cơ học lượng tử sang cơ học cổ điển giống như phép chuyển dời từ quang học sóng
sang quang hình học:
Quang hình học


Cơ học cổ điển
0

 


0 

Quang học sóng



Cơ học lượng tử
Hình 3.1: Sự chuyển từ cơ học lượng tử sang cơ học cổ điển
20

Sự tương tự quang – cơ có vai trò to lớn trong việc sáng lập ra cơ học lượng tử. Chính trên cơ sở tương tự

này mà de Broglie và Schrodinger đã đưa ra lưỡng tính sóng hạt của vật chất và phương trình cơ
bản của cơ học lượng tử là phương trình Schrodinger.
3.7.5. Một vài loại bài toán điển hình của cơ học lượng tử
Ba bài toán gắn liền với việc giải phương trình Schrodinger:
- Bài toán xét chuyển động của vi hạt trong vùng hữu hạn của không gian hay trong trường thế.
Ta tìm ra được phổ các giá trị năng lượng và hàm sóng từ phương trình Schrodinger dừng.
- Bài toán chuyển động của vi hạt trong không gian không hữu hạn. Ta tìm được phổ năng lượng
liên tục của vi hạt từ phương trình Schrodinger dừng.
- Bài toán về sự biến đổi trạng thái của vi hạt theo thời gian thỏa mãn phương trình Schrodinger
phụ thuộc thời gian.
3.8. Các phương trình chuyển động lượng tử
3.8.1. Móc Poisson
- Định nghĩa móc Poisson lượng tử: Móc Poisson lượng tử của hai toán tử


,F G
kí hiệu là


,
p
F G
 
 
được xác định là:



 


, ( )
p
i
F G FG GF
 
 
 


(3.37)

- Tính chất của moc Poisson lượng tử:
 Tính phản xứng:

 

, ,
p p
F G G F
   
 
   

 Nếu

G
không đổi thì


, 0

p
F G
 

 

 Tính chất phân phối:





 


1 2 1 2 2 1
, , ,
p p p
F F G F G F F G F
     
 
     

 Thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi:










, , , , , , 0
p p p
p p p
F G H G H F H F G
     
     
  
     
     
     

3.8.2. Đạo hàm của các toán tử theo thời gian
- Định nghĩa: Đạo hàm F’ của một đại lượng F là một đại lượng mà trị trung bình của nó bằng
đạo hàm đạo hàm của theo thời gian của giá trị trung bình F.
- Biểu thức cho giá trị trung bình của đại lượng F:


*
*
F F dV
d F dF dF
dV
dt dt dt
 
 

 




(3.38)

Suy ra: Biểu thức của đạo hàm toán tử theo thời gian là
 

 




( ) ,
p
d F F i F
H F F H H F
dt t t
 
 
    
 
 


(3.39)

21

3.8.3. Phương trình chuyển động lượng tử và định lý Ehrenfest

- Xét tọa độ x:




1
,
x
p
d x
H x p
dt m
 
 
 

(3.40)

- Xét xung lượng p
x
:



,
x
x
p
d p
U

H p
dt x

 
  
 


(3.41)

 Định lí Ehrenfest:
1
x
d x
p
dt m

x
d p
U
dt x

 


(3.42)

Trong cơ học lượng tử các hệ thức và định luật của cơ học cổ điển có hiệu lực cho giá trị trung
bình.
C) TÀI LIỆU HỌC TẬP

1. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội.
2. Vũ Văn Hùng (2006), Cơ học lượng tử, NXB ĐHSP, Hà Nội.
3. Vũ Văn Hùng (2006), Bài tập Cơ học lượng tử, NXB ĐHSP, Hà Nội.
4. Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường (1990), Bài tập Vật lý lý
thuyết, tập II, NXB Giáo dục, Hà Nội.
5. Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh (2005), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội.

D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN CỦA CHƯƠNG
1. Thiết lập hệ thức bất định Heisenberg?
2. Trình bày sự chuyển từ cơ học lượng tử sang cơ học cổ điển?
Bài 3.1. Tính
,
n
n
n
x
x x
 
 
 
 
 

Bài 3.2. Chứng tỏ rằng
2
( )
x
u x c



là hàm riêng của toán tử

2
2
2
A x
x

 

và tìm trị riêng tương
ứng.
Bài 3.3. Chứng minh rằng nếu u(x) là hàm riêng của một toán tử tuến tính ứng với trị riêng a
n
thì
tích của nó với một hằng số c cũng là hàm riêng ứng với trị riêng đó.
Bài 3.3. Cho toán tử

A
.
Chứng minh rằng:
a. Nếu

A
là toán tử ecmite thì


A A



b. (

A

B
)
+
=

B
+

A
+
c.
 
 
, ,
A B B A

 
 
 

 
 
 

d. Nếu

 
,A B
la toán tử ecmite thì
 

,
A B iC
 

 

với

C
là toán tử ecmite.
22

Bài 3.4. Tìm giao hoán tử giữa các toán tử hình chiếu xung lượng.
Bài 3.5. Tìm giao hoán tử giữa các toán tử mô men xung lượng.
Bài 3.6. Toán tử tịnh tiến một véc tơ vô cùng bé được kí hiệu là

a
T

và được định nghĩa như sau:

( )
a
T r T
 

 

 

Tìm dạng của toán tử

a
T

?
Bài 3.7. Kiểm tra các giao hoán tử:
 

 







 

 

, , ,
, , ,
AB C A B C A C B
A BC A B C B A C
     

 
     
     
 
     

Bài 3.8. Toán tử

A
thỏa mãn phương trình:
 
2
3 2 0
A A
  

a. Tìm trị riêng của

A

b. Tìm các hàm riêng của

A

c. Chứng tỏ rằng

A
là ecmite.
Bài 3.9. Chưng tỏ rằng các toán tử sau là ecmite.
a.



; ;
x x y y z z  


b.

x
p i
x

 



c.

  
2 2 2
2
x x x
p p p
H
m
 

23

CHƯƠNG 4

Lý thuyết biểu diễn
Số tiết:05 (Lý thuyết: 04 tiết; bài tập, thảo luận: 01 tiết)

A) MỤC TIÊU: Sau khi học xong chườn này sinh viên cần:
+ Nắm các tiên đề của cơ học lượng tử
+ Hiểu được lí thuyết biểu diễn tổng quát.
+ Vậ dụng giải bài toán trong biểu diễn tọa độ và xung lượng.
+ Giải được các bài tập ôcủa chương.
+ Sinh viên yêu thích mn học, tích cực nghiên cứu và trao đổi kiến thức của chương.

B) NỘI DUNG:
4.1. Bổ túc toán học:
Tự nghiên cứu theo giáo trình
4.2. Cách phát biểu cơ học lượng tử của Dirac
- Tiên đề 1: Các trạng thái của hệ lượng tử được mô tả bằng các vec tơ

của không gian
Hilbert trừu tượng.
- Tiên đề 2: Trong cơ học lượng tử, các biến động lực được đối ứng với các toán tử ecmite tuyến
tính

F
tác dụng trong không gian Hilbert của các véc tơ trẹng thái.
- Tiên đề 3: Các kết quả khả dĩ của việc đo đại lượng động lực nào đó ở trạng thái cho trước là trị
riêng của toán tử đối ứng

F
.
-Tiên đề 4: Xác suất W
ψ

(f) để nhận giá trị f khi đo biến động lực F ở trạng thái

được xác
định bằng công thức:
2
W ( )f f



(8.1)

trong đó,
f
là véc tơ riêng chuẩn hóa của toán tử

F
thuộc trị riêng f.
- Định lí 1: Giá trị trung bình của biến động lực F ở trạng thái

được xác định bằng:

F F

 


(8.2)

Nếu thăng giáng toàn phương trung bình bằng không thì biến động lực F trong trạng thái


sẽ
có giá trị xác định và trùng với
F

.
- Định lí 2: Để biến động lực ở trạng thái nào đó có giá trị xác định thì điều kiện cần và đủ là
trạng thái này cần phải được mô tả bằng một véc tơ riêng
f
của toán tử

F
ứng với biến động
lực đó.
- Tiên đề 5: Các tọa độ x
j
và xung lượng p
j
của các hệ cơ học lượng tử tương ứng với các toán tử

j
X
và xung lượng

j
P
, chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán:


,
j k jk

X P i I

 

 


(8.3)

24

Trong vật lí cổ điển các đại lượng x, p giao hoán với nhau, do đó các hệ cổ điển và hệ lượng tử
khác nhau bởi hệ thức giao hoán choa các đại lượng này.
- Tiên đề 6: Đối với hệ vật lí bất kì, sự biến đổi giá trị trung bình của biến động lực F ở trạng thái

được xác định bởi phương trình:



,
p
d F
F
H F
dt t




 

 
 


(8.4)

với

H
là Hamotonian của hệ.
Đây là định đề động lực học cơ bản của cơ học lượng tử.
- Nếu
0
d F
dt


thì biến động lực bảo toàn, F gọi là tích phân chuyển động
- Điều kiện cần và đủ để biến động lực F bảo toàn là:
 


, 0
p
d F F
H F
dt t

 
  

 


(8.5)

- Ba cách biểu diễn sự tiến triển của hệ theo thời gian:
 Biểu diễn Schrodinger:
+ Biến động lực không phụ thuộc thời gian được đối ứng với toán tử không phụ thuộc
thời gian.
+ Sự tiến triển của hệ được xác định bằng sự phụ thuộc vào thời gian của hàm sóng ψ(t).
+ Sự phụ thuộc thời gian của giá trị trung bình được xác định bằng biểu thức:

( ) ( ) ( )F t t F t

 


(8.6)

 Biểu diễn Heisenberg:
+ Hàm sóng là véc tơ không đổi ψ=const
+ Các toán tử thay đổi theo thời gian:
 
( )F F t


+ Sự phụ thuộc thời gian của giá trị trung bình được xác định bằng biểu thức:

( ) ( )F t F t


 


(8.7)

 Biểu diễn tương tác:
+ Hàm sóng phụ thuộc thời gian: ψ=ψ(t)
+ Các toán tử thay đổi theo thời gian:
 
( )F F t


+ Sự phụ thuộc thời gian của giá trị trung bình được xác định bằng biểu thức:

( ) '( ) '( ) '( )F t t F t t

 


(8.8)

trong đó, sự phụ thuộc thời gian ψ’(t),

'( )F t
được xác định nhờ sự phân chia Hamiltonian
H=H
o
+H
t
.

4.3. Cơ học lượng tử trong F biểu diễn
4.3.1. F biểu diễn
Xét biến động lực F đối ứng tương ứng bởi toán tử

F
, phương trình trị riêng

F
:

F f f f

(8.9)

25

Các véc tơ riêng
 
f
tạo thành hệ cơ sở trực chuẩn, thỏa mãn điều kiện:
' ''
' ''
f f
f
f f
f f I





(8.10)

- Véc tơ trạng thái

biểu diễn trong hệ
 
f
có dạng:
w
w
f
f
f
f
f






(8.11)

và tập hợp các giá trị
 
1 2
w w , w , , w ,
f n


gọi là hàm sóng của trạng thái ψ trong

F
-biểu
diễn.
- Toán tử

Q
trong

F
-biểu diễn đối ứng với ma trận:

'
Q Q
f f
f f


(8.12)

- Phương trình trị riêng của toán tử

Q
trong

F
-biểu diễn:
 
' '' ' '' ''

''
Q 0
f f f f f
f
q q

 


(8.13)

4.3.2. Biểu diễn tọa độ
Khi biến động lực là tọa độ


F x
, phương trình trị riêng của toán tử tọa độ:


X x x x


(8.14)

Các véc tơ riêng
 
x
tạo thành hệ cơ sở trực chuẩn, thỏa mãn điều kiện:
' '' ( ' '')x x x x
x x dx I


 



(8.15)

- Trạng thái

trong biểu diễn tọa độ có dạng:
w
w
x
x
x
x
x






(8.16)

- Toán tử

Q
trong biểu diễn tọa độ đối ứng với ma trận:


' ''
Q ' Q ''
x x
x x


(8.17)

- Liên hệ thành phần của véc tơ

và

trong biểu diễn tọa độ:
'
'
Q '
x x x
xx
dx x
  
 


(8.18)

Khi Q=x thì
x x
φ =xψ hay φ(x)=xψ(x)

Suy ra:


X x

- Toán tử xung lượng

P
trong biểu diễn tọa độ:

' ''
' '' '( ' '')
x x
P x P x i x x

   

(8.19)