Hiệu chỉnh bài toán tìm không điểm của toán tử accretive

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ HƯỜNG
HIỆU CHỈNH BÀI TỐN TÌM
KHƠNG ĐIỂM CỦA
TỐN TỬ ACCRETIVE
LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC
Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
Người hướng dẫn khoa học:
TS.NGUYỄN THỊ THU THỦY
THÁI NGUN - NĂM 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1
Mục lục
Mở đầu 2
1 Một số kiến thức bổ trợ 5
1.1 Một số cấu trúc hì nh học của khơng gian Banach . . . . 5
1.1.1 Khơng gian Banach lồi chặt và lồi đều . . . . . . 5
1.1.2 Khơng gian Banach trơn và trơn đều . . . . . . . 7
1.2 Tốn tử accr etive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Ánh xạ khơng gi ãn . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Tốn tử accretive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Ánh xạ co r út k hơng giãn . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Bài tốn đặt khơng chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Khái niệm về bài tốn đặt khơng chỉnh . . . . . . 14
1.3.2 Ví dụ về bài tốn đặt khơng chỉnh . . . . . . . . 15
2 Hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accretive
trong khơng gian Banach 17
2.1 Tốn tử hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accreti ve 21
Kết luận 30
Tài liệu tham khảo 31
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2
Mở đầu
Bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accretive trong khơng gian
Banach có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu phương
trình vi phân đạo hàm riêng trong khơng gian L
p
hay khơng gian Sob olev
W
m
p
.
Trong đề tài luận văn, chúng tơi nghiên cứu bài tốn: tìm phần tử
x
0
∈ X sao cho
A(x
0
) = f, (0.1)
ở đây A là một tốn tử accretive từ khơng gian Banach phản xạ thực
X vào X, f là phần tử của X. Nếu khơng có thêm điều kiện đặt lên
cho tốn tử A, chẳng hạn tính accretive đều hoặc accretive mạnh, thì
phương trình tốn tử (0.1) nói chung là một bài tốn đặt khơng chỉnh,
theo nghĩa nghiệm của nó khơ ng phụ t huộc liên tục vào dữ kiện ban đầu
A và f. Để giải loại bài tốn này, ta cần sử dụng các phương pháp giải
ổn định so cho khi sai số của dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp
xỉ tìm được càng g ần với nghi ệm đúng của bài tốn ban đầu.
Trong [2] Alber và Ryazansteva đã nghiên cứu phương pháp hiệu

chỉnh Tikhonov dạng:
A(x) + α(x − x
+
) = f
δ
(0.2)
trong trường hợp to án tử A đơn điệu được cho chính xác, còn vế phải f
được cho xấp xỉ bởi f
δ
thỏa mãn  f − f
δ
 ≤ δ, δ → 0, x
+
∈ X là một
phần tử cho trước thuộc X tùy ý, α là một tham số dương. Với điều
kiện liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của khơng
gian X, họ đã chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm x
δ
α
của bài tốn
(0.2), và nghiệm này hội tụ mạnh đến ng hiệm x
0
của bài to án (0.1) khi
α, δ/α → 0.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />3
Khơng cần đến tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc J, tốc độ hội tụ của dãy nghiệm x
δ
α
của bà i tốn hiệu chỉnh (0.2)

được đánh giá với điều kiện
A(x) −A(y
∗
) − QA
′
(y
∗
)
∗
J(x − y
∗
) ≤ τA(x) − A(y
∗
), ∀y ∈ X, (0.3)
ở đây τ là một hằng số dương, Q là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X
∗
và điều kiện trơn của nghiệm
x
+
− y
∗
= A
′
(y
∗
)v. (0.4)
với v là phần tử thuộc X, A
′
là đạo hàm Fréchet của A.
Đề tài luận văn này nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh bài tốn tìm

khơng điểm của tốn tử accretive trong khơng gian Banach. Mục đích
của chúng tơi là đọc hiểu, trình bày lại và làm chi tiết hơn kết quả trong
[19] về phương pháp hiệu chỉnh với tốn tử accr etive. Chú ý rằng, trong
khơng gian Hilbert, khái niệm về tốn tử accretive trùng với khái niệm
về tốn tử đơn điệu.
Nội dung của l uận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1
chúng tơ i trình bày một số khái niệm và kết quả về tốn tử accretive và
bài tốn đặt khơng chỉnh. Trong chương 2 chúng tơi trình bày phương
pháp hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accreti ve trong
khơng gian Banach.
Luận văn này được hồn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Ngun dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu
Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận
tâm và nhiệt tình của Cơ trong suốt q trình tác giả thực hi ện luận
văn.
Trong q trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo
sư, Phó Giáo sư cơng tác tạ i Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng
tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Cơng nghệ Việt Nam, các Thầy
Cơ trong Đại học Thái Ngun, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến
thức phục vụ cho việc nghiên cứu và cơng tác của bản thân. Từ đáy lòng
mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cơ.
Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa
học và Quan hệ quốc tế, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />4
Đại học Thái Ngun đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời
gian học tập tại tr ường.
Tác giả
Nguyễn Thị Hường
Số hóa bởi trung tâm học liệu />5
Chương 1

Một số kiến thức bổ trợ
1.1 Một số cấu trúc hình học của khơng gian Ba-
nach
Trong chương này chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản nhất
về cấu trúc hình học của khơng gian Banach như tính lồi chặt, lồi đều,
tính khả vi của chuẩn, và các định nghĩa, tính chất về các loại tốn tử
như tốn tử accretive, tốn tử co rút và á nh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Các
kiến thức của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [9], [15].
1.1.1 Khơng gian Banach lồi chặt và lồi đều
Cho E là khơng gian Banach và E
∗
là khơng gian đối ngẫu của nó,
tức là khơng gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E. Để cho đơn
giản và thuận tiện, chúng tơi sử dụng ký hiệu . để chỉ chuẩn trên E
và E
∗
. Ký hiệu S
E
:= {x ∈ E : x = 1} là mặt cầu đơn vị của khơng
gian Banach E. Ta viết x , x
∗
 t hay cho g iá t rị của phiếm hàm tuyến
tính liên tục x
∗
∈ E
∗
tại x ∈ E, tức là x, x
∗
 = x
∗

(x), ∀x
∗
∈ E
∗
, x ∈ E.
Định nghĩa 1.1. Khơng g i an Banach E được gọi là khơng gian phản
xạ, nếu với mọi phần tử x
∗∗
của khơng gian liên hợp thứ ha i E
∗∗
của E,
đều tồn tại phần tử x ∈ E sao cho
x
∗
(x) = x
∗∗
(x
∗
) ∀x
∗
∈ E
∗
.
Định nghĩa 1.2. Khơng gian Banach E đư ợc gọi là khơng gian lồi chặt
Số hóa bởi trung tâm học liệu />6
nếu với x, y ∈ S
E
với x = y suy ra
(1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1).
Điều này cũng có nghĩa là trung điểm

x + y
2
của đoạn thẳng nối hai
điểm x, y phân biệt trên mặt cầu đơ n vị thì khơng nằm trên mặt cầu
đơn vị. Nói cách khác nếu
x, y ∈ S
E
: x = y = 
x + y
2
,
thì x = y.
Ví dụ 1.1. Xét khơng gian E = R
n
với x
2
được xác định bởi
x
2
=

n

i=1
x
2
i

1/2
, x = (x

1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
.
Khi đó E là khơng gian lồi chặt.
Trong khi đó k hơng gia n E = R
n
, n ≥ 2 với chuẩn x
1
xác định bởi
x
1
= |x
1
| + |x
2
| + + |x
n
|, x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n

khơng phải là khơng gian lồi chặt. Thật vậy, lấy x = (1, 0, 0, , 0); y =
(0, 1, 0, , 0) ta có x = y, x
1
= y
1
= 1 nhưng x + y
1
= 2.
Định nghĩa 1.3. Kh ơ ng gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với
ε, 0 < ε ≤ 2, các bất đẳng thức sau thỏa mãn x ≤ 1, y ≤ 1 và
x − y ≥ ε thì tồn tạ i δ = δ(ε) > 0 sao cho

x + y
2
 ≤ 1 − δ.
Ví dụ 1.2. Khơng gian Hilbert H là khơng gian lồi đều. Thật vậy, theo
quy tắc hình bình hành ta có
x + y
2
= 2

x
2
+ y
2

− x − y
2
, ∀x, y ∈ H.
Giả sử x, y ∈ B

H
với x = y và x − y ≥ ε, ε ∈ (0, 2], suy ra
x + y
2
≥ 4 − ε
2
⇒ 
x + y
2
 ≤ 1 −
ε
2
4
.
Từ đây suy ra: 
x + y
2
 ≤ 1 − δ(ε) với δ(ε) = 1 −

1 −
ε
2
4
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />7
Ví dụ 1.3. Các khơng gian l
1
, l
∞
khơng lồi đều.

Thật vậy, lấy x = (1, 0, 0, ), y = (0, −1, 0, ) ∈ l
1
và ε = 1. Khi đó:
x
1
=
∞

i=1
|x
i
| = 1; y
1
=
∞

i=1
|y
i
| = 1
và
x − y
1
=
∞

i=1
|x
i
− y

i
| = 2 > 1 = ε.
Tuy nhiên 
x + y
2
 = 1. Vậy khơng tồn tạ i δ sao cho 
x + y
2
 < 1 − δ.
Chú ý 1.1. (i) C ác khơng gian l
p
, L
p
[a,b]
, 1 < p < ∞ là lồi đều.
(ii) Các khơng gian l
1
, c, c
0
, l
∞
, L
1
[a,b]
, C
[a,b]
khơng lồi chặt.
Định lý 1.1. Mọi khơn g gian lồi đều đều lồi chặt và phản xạ.
1.1.2 Khơng gian Banach trơn và trơn đều
Cho C là tập con khác rỗng, lồi và đóng của khơng gian tuyến tính

định chuẩn E sao cho điểm gốc của E nằm tr ong phần trong của C. Một
phiếm hàm tuyến tính f ∈ E
∗
được gọi là tiếp xúc C tại x
0
∈ ∂C nếu
f(x
0
) = sup{ f (x), x ∈ C}. Nếu H = {x ∈ X : f(x) = 0} là siêu phẳng,
thì tập hợp H + x
0
được gọi là siêu phẳng t iếp xúc với C tại x
0
.
Định nghĩa 1.4. Khơng gian Banach X được gọi là trơn nếu v ới mỗi
x ∈ S
X
tồn tại duy nhất một phiếm hàm f
x
∈ E
∗
sao cho x, f
x
 = x
và f
x
 = 1.
Ví dụ 1.4. (i) Các khơng gian l
p
, L

p
[a,b]
, 1 < p < ∞ là khơng gian Banach
trơn.
(ii) Các khơng gian c
0
, l
1
, L
1
, l
∞
, L
∞
khơng phải là khơng gian trơn.
Tính trơn của khơng gian Bana ch liên hệ chặt chẽ với tính khả vi
Gâteaux của chuẩn.
Định nghĩa 1.5. Chuẩn của khơng gian E đ ược gọi là khả vi Gâteau x
tại điểm x
0
∈ S
E
nếu với mỗi y ∈ S
E
giới hạn
lim
t→0
x
0
+ ty − x

0

t
(1.1)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />8
tồn tại, kí hiệu y, ▽x
0
. Khi đó ▽x
0
 đư ợc gọi là đạo hàm Gâteaux
của chuẩn ϕ(x) = x tại x = x
0
.
Định nghĩa 1.6. Chuẩn của khơng gian E đ ược gọi là khả vi Gâteau x
nếu nó khả vi Gâteaux tạ i mọi điểm trên mặt cầu đơn vị S
E
.
Chuẩn của E được gọi là có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi
y ∈ S
E
, giới hạn (1.1) đạ t được đều với mọi x ∈ S
E
.
Ví dụ 1.5. Khơng gian Hilbert l à khơng gian có chuẩn khả vi Gâteaux
với
▽x = x/x, x = 0.
Định lý 1.2. Khơ ng gia n Banach E là trơn khi và ch ỉ khi ch uẩn của E
khả vi Gâteaux trên E \ {0}.
Định nghĩa 1.7. Cho E là khơng gian Banach. Hàm số ρ
E

: R
+
→ R
+
được gọi là mơ đun trơn của khơng gian Banach E nếu
ρ
E
(t) = sup

x + y + x − y
2
− 1 :  x = 1, y  = t

= sup

x + ty  + x − ty 
2
− 1 : x = 1, y = 1

, t ≥ 0.
Nhận xét 1.1. Mơ đun trơn ρ
E
của khơng gian Banach E l à hàm số
xác định, liên tục và tăng trên [0, +∞).
Định nghĩa 1.8. Khơng gian Banach E được gọi là trơn đều nếu
ρ
E
(0) = lim
t→0
ρ

E
(t)
t
= 0.
Ví dụ 1.6. Mọi khơng gian Hilbert và khơng gian l
p
(1 < p < +∞) đều
là khơng gia n trơn đều.
Tính trơn đều của khơng gian Banach liên hệ chặt chẽ với tính khả
vi Fréchet đều của chuẩn tr ong khơng gian Banach đó.
Định nghĩa 1.9. Chuẩn của khơng gian Banach E được gọi là:
(i) khả vi Fréchet nếu với mỗi x ∈ S
E
, giới hạn
lim
t→0
x + ty − x
t
(1.2)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />9
tồn tại đều với mỗi y ∈ S
E
;
(ii) khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.2) tồn tại đều với mọi x, y ∈
S
E
.
1.2 Tốn tử accretive
1.2.1 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
Ký hiệu 2

E
là một họ các tập con khác rỗng của E.
Định nghĩa 1.10. Cho E
∗
là khơng gian đối ngẫu của khơng gian Ba-
nach E. Ánh xạ đa trị J : E → 2
E
∗
được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc của E n ếu
J(x) = {j ∈ E
∗
: x, j = x
2
, x = j}.
Ví dụ 1.7. Trong khơng gian Hi lbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là
ánh xạ đơn vị I trong H.
Định nghĩa 1.11. Tốn tử A : E → E
∗
được gọi là h-liên tục (hemi-
continuous) trên E nếu A (x + ty) ⇀ Ax khi t ⇀ 0 với mọi x, y ∈ X
và được gọi là d-liên tục (demicontinu ous) trên E nếu với bất kỳ dãy
{x
n
} ⊂ E, x
n
→ x thì Ax
n
⇀ Ax khi n → ∞.
Các tí nh chất của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được t rình bày tro ng

mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1. Cho E là khơng gian Banach và J : E → 2
E
∗
là ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc của E. Khi đó ta có các phát biểu sau:
(a) J(0) = 0;
(b) Với mỗ i x ∈ E, J(x) là tập con khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn
của E
∗
;
(c) J(λx ) = λJ(x) với mọi x ∈ E và λ ∈ R, hay J là thuần n hất;
(d) J là đơn điệ u , tức là, x − y, j(x) − j(y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ E,
j(x) ∈ J(x), j(y) ∈ J(y);
(e) x
2
− y
2
≥ 2x − y, j(y) với mọi x, y ∈ X và j(y) ∈ J(y);
(f) Nếu E
∗
là lồi chặt thì J là đơn trị;
Số hóa bởi trung tâm học liệu />10
(g) Nếu E là lồi chặt thì J là ánh xạ đa trị 1 − 1, tức là, nếu x = y
thì J(x ) ∩ J(y) = ∅;
(h) Nếu E là khơng gian phản xạ với kh ơng gian đối ngẫu E
∗
là lồi
chặt thì J là ánh xạ d-liên tục.
Định nghĩa 1.12. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của khơng gian Banach

E được gọi là có t í nh liên tục yếu theo dãy nế u J là đơn trị và nếu
{x
n
} ⊂ X thỏa mãn x
n
⇀ x thì J(x
n
) hội tụ *yếu về J(x).
Trong trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị, ta ký hiệu
bởi j.
1.2.2 Ánh xạ khơng giãn
Định nghĩa 1.13. Cho E là khơng gian Banach, C là tập con khác rỗn g
của E và T : C → E là một ánh xạ. Ánh xạ T được gọi là:
(i) ánh xạ co n ế u tồn tạ i k ∈ [0, 1) (hệ số co) sao ch o
T (x) − T (y) ≤ kx − y, ∀x, y ∈ C;
(ii) ánh xạ khơng giãn nếu
T (x) − T(y) ≤ x − y, ∀x, y ∈ C;
Ký hiệu F ix(T ) := {x ∈ C : T (x) = x} là tập điểm bất động của
ánh xạ T .
Ví dụ 1.8. C ho E = R, khi đó ánh xạ T : R → R xác định bở i
T (x) = kx, với k ∈ [0, 1) là một ánh xạ co.
Ánh xạ T : R → R xác định bởi T (x) = x là một ánh xạ k hơng giã n.
Ngun lý á nh xạ co Banach chỉ ra sự tồn tại và duy nhất điểm bất
động của ánh xạ co.
Định lý 1.3. (Ngun lý ánh xạ co Banach) Mọi ánh xạ co từ khơng
gian Banach vào chính nó đều có duy nhất đi ểm bất động.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />11
1.2.3 Tốn tử accretive
Định nghĩa 1.14. Cho E là khơng gian Banach, tốn tử A : D(E) =
E → E được gọi là

(i) accretive nếu với mọi x, y ∈ D(E), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao
cho
A(x) − A(y), j(x − y) ≥ 0;
(ii) accretive ngặt nếu dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi
và chỉ khi x = y;
(iii) accret i ve đều nếu tồn tại nếu tồn tại một h àm tăng γ(t), t ≥ 0,
γ(0) = 0, sao cho
A(x) − A(y), j(x − y) ≥ γ(x − y), ∀x, y ∈ D(A );
(iv) accretiv e mạnh nếu γ(t) = ct
2
, c > 0;
(v) m-accretive nếu R(I + λA) = E với mọi λ > 0, ở đây R(I + λA)
là tập ảnh của tốn tử I + λA và I là tốn tử đồng nhất trên E.
Khái niệm tốn tử accretive còn được mơ tả dựa trên đồ thị Gr(A)
trong khơng gian tích E × E
∗
, trong đó
Gr(A) = {(x, Ax) : x ∈ E}.
Định nghĩa 1.15. Tốn tử A : E → E được gọi là accreti ve cực đại
nếu đồ thị của nó khơng thực sự chứa trong đồ thị của bất kì một tốn
tử accretive nào khác.
Mệnh đề 1.2. Ch o A : D(E) = E → E là một tốn t ử. Khi đ ó các
khẳng định sau là tương đương:
(i) A là tố n tử accretive.
(ii) Với mọi λ > 0 và x
1
, x
2
∈ D(A)
x

1
− x
2
 ≤ x
1
− x
2
+ λ(Ax
1
− Ax
2
). (1.3)
Chứng minh. i) ⇒ ii) Giả sử A là tốn tử accretive, khi đó với mọi
λ > 0, ∀x
1
, x
2
∈ D(A), t ồn tại j(x
1
− x
2
) ∈ J(x
1
− x
2
) sao cho
x
1
− x
2

+ λ(A(x
1
) − A(x
2
)),j(x
1
− x
2
) = x
1
− x
2
, j(x
1
− x
2
)
+ λA(x
1
) − A(x
2
)), j(x
1
− x
2
).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />12
Vì x
1
−x

2
, j(x
1
−x
2
) = x
1
−x
2

2
, và A(x
1
) −A(x
2
)), j(x
1
−x
2
) ≥ 0,
nên
x
1
− x
2
 ≤ x
1
− x
2
+ λ(A(x

1
) − A(x
2
)).
ii) ⇒ i) Vì t ính lồi của hàm .
2
nên
x
1
− x
2

2
≥ x
1
− x
2
+ λ(A(x
1
) − A(x
2
))
2
− 2λA(x
1
) − A(x
2
), j(x
1
− x

2
+ λ(A(x
1
) − A(x
2
))).
(1.4)
Từ (1.3) và (1.4) suy ra
A(x
1
) − A(x
2
), j(x
1
− x
2
+ λ(A(x
1
) − A(x
2
))) ≥ 0.
Cho λ → 0 và sử dụng t ính h-liên tục của j ta suy ra A là tốn tử
accretive.
Chú ý 1.2. Trong khơng gian Hilbert,
(i) khái niệm t ốn tử đơn điệu và tốn tử accretive trùng nhau;
(ii) khái niệm m-accretive trùng với khái niệm đơn điệu cực đại của
tốn tử.
Chứng minh. Ta chứng minh Chú ý (i). Giả sử A là tốn tử đơn điệu ta
cần chứng minh A là tốn tử accretive.
Thật vậy, với mọi λ > 0, ∀x

1
, x
2
∈ D(A) t a có
x
1
− x
2
+ λ(A(x
1
) − A(x
2
))
2
= x
1
− x
2

2
+ λ
2
A(x
1
) − A(x
2
)
2
+ 2λA(x
1

) − A(x
2
), x
1
− x
2
.
(1.5)
Vì A là tốn tử đơ n điệu nên
A(x
1
) − A(x
2
), x
1
− x
2
 ≥ 0, ∀x
1
, x
2
∈ D(A).
Kết hợp với (1. 5) suy ra
x
1
− x
2
+ λ(A(x
1
) − A(x

2
)) ≥ x
1
− x
2
.
Theo Mệnh đề 1.2, A l à tốn tử accretive.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />13
Vì A là tốn t ử accretive nên theo Mệnh đề 1.2 ta có
x
1
− x
2
 ≤ x
1
− x
2
+ λ(A(x
1
) − A(x
2
)),
hay
x
1
− x
2

2
≤ x

1
− x
2
+ λ(A(x
1
) − A(x
2
))
2
⇔ λ
2
A(x
1
)−A(x
2
)
2
+ 2λA(x
1
) − A(x
2
), x
1
− x
2
 ≥ 0.
(1.6)
Chia cả hai vế của (1.6) cho λ rồi cho λ → 0
+
ta được

A(x
1
) − A(x
2
), x
1
− x
2
 ≥ 0, ∀x
1
, x
2
∈ D(A).
Vậy A là to án tử đơn điệu.
Bổ đề 1.1. Nếu T : X → X là tốn tử khơng giãn thì A = I −T là tốn
tử accretive.
Chứng minh. Thật vậy, ∀x, y ∈ D(A), j(x − y) ∈ J(x − y) t a có
A(x) − A(y), j(x − y) = (I − T)(x ) − (I − T )(y), j(x − y)
= I(x) − T(x) − I(y) + T (y), j(x − y)
= x − y, j(x − y) − T (x) − T(y), j(x − y)
≥ x − y
2
− x − y
2
= 0.
Theo định nghĩa ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ta có x − y, j(x − y) =
x − y
2
, và T là tốn tử khơng giãn nên T (x) − T (y) ≤ x − y. Suy
ra A là tốn tử a ccretive.

1.2.4 Ánh xạ co rút khơng giãn
Định nghĩa 1.16. Cho E là một khơn g gian Banach và C là một tập
con lồi đón g của E. Một ánh xạ Q
C
: E → C được gọi là:
(i) ánh xạ co rút nếu Q
2
C
(x) = Q
C
(x), ∀x ∈ E;
(ii) ánh x ạ co rút khơng gi ãn nếu Q
C
là ánh xạ co rút và khơng giãn;
(iii) ánh xạ co rút khơng giãn theo tia nếu Q
C
là một ánh xạ co rút
khơng giãn và thỏa mãn tính c h ất
Q
C
(Q
C
(x) + t(x − Q
C
(x))) = Q
C
(x), ∀x ∈ E, t ∈ (0, 1).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />14
Định nghĩa 1.17. Một tập con lồ i đóng C của khơng gian Ban ach E
được gọi là:

(i) tập co rút trên E nếu tồn tại một ánh xạ co rút từ E lên C;
(ii) tập co rút khơng giãn nếu tồn tại một ánh xạ co rút khơng giãn
từ E lên C;
(iii) tập co rút khơng giãn theo tia nếu tồn tại một ánh xạ co rút
khơng giãn theo tia từ E lên C.
Mệnh đề 1.3. Cho E là một khơng gian Banach trơn và C là một tập
con lồi và đóng của E. Một ánh xạ Q
C
: E → C là co rút kh ơng giãn
theo tia khi và chỉ khi
x − Q
C
(x), j(ζ − Q
C
(x)) ≤ 0, ∀x ∈ E, ∀ζ ∈ C.
Ví dụ 1.9. Cho C là một tập con lồi và đóng trong k hơng gian Hilbert
H. Khi đó phép chiếu mêtric P
C
: H → C xác định bởi x − P
C
x =
min
u∈C
x − u với mọi x ∈ H là một ánh xạ co rút khơng giãn theo tia
từ H lên C.
1.3 Bài tốn đặt khơng chỉnh
1.3.1 Khái niệm về bài tốn đặt khơng chỉnh
Chúng tơi trình bày khái niệm về bài tốn đặt khơng chỉnh trên cơ
sở xét một bài to án ở dạng phương trình tốn tử
A(x) = f, (1.7)

trong đó A : E → F là một tốn tử từ khơng gian Banach E vào khơng
gian Banach F, f là phần tử thuộc F. Sau đây là một định nghĩa của
Hadamard.
Định nghĩa 1.18. Cho A là một tốn tử từ khơng gian Banach E vào
khơng gian Banach F. Bài tốn (1.7) được gọi là bài tố n đặt chỉnh
(well-posed) nếu
1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ F ;
Số hóa bởi trung tâm học liệu />15
2) nghiệm này là duy nhất ;
3) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Nếu ít nhất một tro ng các điều kiện trên khơng thỏa mãn thì bài tốn
(1.7) được gọi là bài tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed). Đối với các bài
tốn phi tuyến thì điều kiện thứ hai hầu như k hơng thỏa mãn. Do vậy
hầu hết các bài tốn phi tuyến đều là bài tốn đặt khơng chỉnh. Hơn
nữa điều kiện cuối cùng cũng khó thực hiện được.
Bài tốn tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ k iện f, nghĩa là x = R(f),
được gọi là ổn định trên cặp khơng gian (E, F ) nếu với mỗi ε > 0 tồn
tại một số δ(ε) > 0 sao cho từ ρ
F
(f
1
, f
2
) ≤ δ(ε) cho ta ρ
E
(x
1
, x
2
) ≤ ε, ở

đây
x
i
= R(f
i
), x
i
∈ E, f
i
∈ F, i = 1, 2.
Nhận xét 1.2. Một bài tốn có thể đặt chỉnh trên cặp khơng gian này
nhưng lại đặt khơng chỉnh trên cặp khơng gian khác.
Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của ( 1.7) thường được cho bởi đo
đạc, nghĩa là thay cho giá trị chí nh xác f, ta chỉ biết xấp xỉ f
δ
của nó
thỏa mãn f
δ
− f  ≤ δ. Giả sử x
δ
là nghiệm của bài tốn (1.7) với f
thay bởi f
δ
(giả thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 t hì f
δ
→ f nhưng
với bài tốn đặt khơng chỉnh thì x
δ
nói chung khơng hội tụ đến x.
1.3.2 Ví dụ về bài tốn đặt khơng chỉnh

Xét phương trình tốn tử (1.7) với A là một ma tr ận vng cấp M = 4
được xác định bởi
A =



2 2 2 2
2 2, 001 2 2
2 2 2, 001 2
2 2 2 2, 001



và vế phải
f = (
8 8, 001 8, 001 8, 001
)
T
∈ R
4
.
Khi đó, ta thấy phương t rình A(x) = f có duy nhất nghiệm
x = (
1 1 1 1
)
T
∈ R
4
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />16

Nếu
A = A
h
1
=



2 2 2 2
2 2, 001 2 2
2 2 2, 001 2
2 2 2 2



và vế phải
f = f
δ
1
= (
8 8, 001 8, 001 8
)
T
∈ R
4
.
Khi đó, ta thấy phương t rình A(x) = f có vơ số nghiệm.
Nếu
A = A
h

1
=



2 2 2 2
2 2, 001 2 2
2 2 2, 001 2
2 2 2 2



và vế phải
f = f
δ
2
= (
8 8, 001 8, 001 8, 001
)
T
∈ R
4
.
Khi đó phương tr ình A(x) = f vơ nghiệm.
Như vậy ta thấy chỉ cần một thay đổi nhỏ trong dữ kiện ban đầu đã dẫn
đến thay đổi lớn của nghiệm. Vậy bài tốn đã cho là bài tốn đặt khơng
chỉnh.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />17
Chương 2
Hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng

điểm của tốn tử accretive trong
khơng gian Banach
Chương này trình bày cá c kết quả trong [19] về phương pháp hiệu
chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accretive trong khơng gian
Banach.
2.1 Tốn tử hiệu chỉnh
Xét bài tốn tìm ng hiệm của phương t rình
A(x) = f
0
, (2.1)
trong đó A là một tốn tử khơng gian mêtric E và o khơng gian mêtric
F với các khoảng cách tương ứng là ρ
E
, ρ
F
và f
0
∈ F.
Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài tốn (2.1) khi khơng biết thơng tin về
nghiệm chính xác x
0
A.N. Tikhonov đã đưa ra m ột phương pháp hiệu
chỉnh dựa trên việc xây dựng tốn tử hiệu chỉnh và cách chọn gi á trị của
một tham số mới đưa vào.
Giả sử A
−1
khơng liên tục và thay cho f
0
ta chỉ biết xấp xỉ f
δ

của f
0
thỏa mãn ρ
Y
(f
δ
, f
0
) ≤ δ, δ → 0. Bài tốn đặt ra là dựa vào thơng t in về
(A, f
δ
) và mức sai số δ, hãy tìm một phần tử x
δ
xấp xỉ nghiệm chính xác
x
0
của bài tốn (2.1). Rõ ràng là ta khơng thể xây dựng phần t ử xấp xỉ
x
δ
theo quy tắc x
δ
= A
−1
f
δ
, vì thứ nhất là A
−1
có thể khơng xác định
Số hóa bởi trung tâm học liệu />18
định với mọi f ∈ Y , thứ hai là A

−1
khơng liên tục, nên nếu A
−1
f
δ
tồn
tại, cũng chưa chắc đã xấp xỉ A
−1
f.
Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số vế phải của (2.1). Vì vậy một điều
tự nhiên nảy sinh là liệu có thể xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc vào
một tham số nào đó và tham số này được chọn tương thích với δ sao cho
khi δ → 0 thì phần tử xấp xỉ này hội tụ đến nghiệm x
0
. Ta cũng thấy
nếu được thì từ f
δ
∈ Y ta có phần tử xấp xỉ thuộc X, tức là tồn tại một
tốn tử nào đó tác động từ khơng gian Y vào khơng g ian X.
Định nghĩa 2.1. Tốn tử R(f, α) phụ thuộc tham số α tác động từ Y
vào X được gọi là một tốn tử hiệu chỉnh cho bài tốn (2.1) nếu:
i) Tồn tại hai số dư ơng α
1
và δ
1
sao cho tốn tử R(f, α) xác định vớ i
mọi α ∈ (0, α
1
) và với mọi f
δ

∈ Y : ρ
Y
(f
δ
, f) ≤ δ, δ ∈ (0, δ
1
);
ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f
δ
, δ) sao ch o với mọi ε >
0, ∃δ(ε) ≤ δ
1
để với mọi f
δ
∈ Y thỏa mãn ρ
Y
(f
δ
, f) ≤ δ ≤ δ
1
thì
ρ
X
(x
α
, x
0
) ≤ ε,ở đây x
0
là nghiệm chính xác của (1.1) và x

α
∈ R(f
δ
, α(f
δ
, δ)).
Phần tử x
α
được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của phương trình (2.1),
α = α(f
δ
, δ) được gọi là tham số hiệu chỉnh. Từ định nghĩa trên ta thấy
nghiệm hiệu chỉnh ổn đị nh với dữ kiện ban đầu.
Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộ c liên tục vào vế phải của
(2.1) gồm hai bước:
a) tìm to án tử hiệu chỉnh R(f, α);
b) xác định giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thơng tin của
bài tốn về phần tử f
δ
và sai số δ.
Chú ý 2.1. Trong trường hợp α = δ, định nghĩa về tốn tử hiệu chỉnh
có dạng đơn giản sau.
Tốn tử R(f, δ) tác động từ Y vào X được gọi là một tốn tử hiệu
chỉnh, nếu:
i) Tồn tại một số dương δ
1
sao cho tốn tử R(f, δ) xác định với mọi
0 ≤ δ ≤ δ
1
và với mọi f ∈ Y sao cho ρ

Y
(f, f
0
) ≤ δ;
ii) Với ε ≥ 0 bất kì , tồn tại δ
0
= δ
0
(ε, f
δ
) ≤ δ
1
sao cho từ ρ
Y
(f
δ
, f
0
) ≤
δ ≤ δ
0
ta có ρ
X
(x
δ
, x
0
) ≤ ε. Ở đây x
δ
∈ R(f

δ
, δ).
Chú ý 2.2. Tốn tử hiệu chỉnh R(f, δ) có thể là một á nh xạ đa trị.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />19
Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc trên được gọ i là phương
pháp hiệu chỉnh. Phương phá p này đã được sử dụng từ thời Newton cho
bài tốn cổ điển:
Ví dụ 2.1. Tính giá trị z =
df(t)
dt
(trong mêtric C), khi f(t) chỉ biết
gần đúng. Đạo hàm z tính được dựa vào tỷ sai phân
R(f, α) =
f(t + α) − f(t)
α
.
Nếu thay cho f(t) ta biết xấp xỉ của nó là f
δ
(t) = f(t) + g(t), ở đây
|g(t)| ≤ δ với mọi t, khi đó,
R(f
δ
, α) =
f(t + α) − f(t)
α
+
g(t + α) − g(t)
α
.
Cho α → 0,

f(t + α) − f(t)
α
→ z.
Số hạng thứ hai được đá nh giá bởi




g(t + α) − g(t)
α
≤
2δ
α




.
Nếu chọn α sao cho α =
δ
η(δ)
, với η(δ) → 0, khi δ → 0, thì 2
δ
α
= 2η(δ) →
0.
Vì vậy với
α = α
1
(δ) =

δ
η(δ)
, R(f
δ
, α
1
(δ)) → z.
Ta xét bài tốn cổ điển khác. Đó là bài tốn khơi phục hàm số, khi
biết hệ số Fourier của nó. Giả sử ϕ
k
(t) là một hệ trực chuẩn đầy đủ có
sup
t∈[a,b]
|ϕ
k
(t)| ≤ C
0
, và hệ số Fourier a = (a
1
, a
2
, ) của hàm
f(t) =
∞

k=1
a
k
ϕ
k

(t)
được cho xấp xỉ bởi c = (c
1
, c
2
, ) sao cho
∞

k=1
(a
k
− c
k
)
2
≤ δ
2
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />20
Khi đó, khơng thể co i
˜
f(t) =
∞

k=1
c
k
ϕ
k
(t)

là xấp xỉ của f(t) được. Để tìm giá trị xấ p xỉ của f tại điểm t
0
nào đó,
tức là tìm f(t
0
), ta dùng phươ ng pháp hiệu chỉnh với
R(c,
1
n
) =
n

k=1
c
k
ϕ
k
(t
0
)(α =
1
n
),
trong đó n = n(δ) =



η(δ )
δ
2




là phần ngun của
η(δ)
δ
2
, ở đây δ, η(δ) → 0,
còn n(δ) → ∞.
Thật vậy,






f(t
0
) −
n(δ)

k=1
c
k
ϕ
k
(t
0
)







≤






n(δ)

k=1
a
k
− c
k
ϕ
k
(t
0
)







+






∞

k=n(δ)+1
a
k
ϕ
k
(t
0
)






.
Vì chuỗi
∞

k=1
a
k

ϕ
k
(t
0
) hội tụ, cho nên phần dư





∞

k=n(δ)+1
a
k
ϕ
k
(t
0
)





tiến tới
0, khi n(δ) → ∞. Ngồi ra,







n(δ)

k=1
a
k
− c
k
ϕ
k
(t
0
)






≤
n(δ)

k=1
a
k
− c
k
ϕ

k
(t
0
)
≤



n(δ)

k=1
|a
k
− c
k
|
2
n(δ)

k=1
|ϕ
k
(t
0
)|
2



1

2
≤ C
0



n(δ)
n(δ)

k=1
|a
k
− c
k
|
2



1
2
≤ C
0

n(δ)δ
2
= C
0



η(δ)
δ
2

δ
2
→ 0
khi δ → 0.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />21
2.2 Một số bổ đề bổ trợ
Bổ đề 2.1. [20] Cho {a
n
} là một dãy số thực khơng âm thỏa mãn tính
chất:
a
n+1
≤ (1 − λ
n
)a
n
+ λ
n
β
n
+ σ
n
, ∀n ≥ 0
trong đó {λ
n
}, {β

n
} và {σ
n
} thỏa mãn các điều kiện
i)
∞

n=0
λ
n
= ∞;
ii) lim
n→∞
sup β
n
≤ 0 hoặc
∞

n=0
|λ
n
β
n
| < ∞;
iii) σ
n
≥ 0, ∀n ≥ 0 và
∞

n=0

σ
n
< ∞.
Khi đó, dãy {a
n
} hội tụ về 0 khi n → ∞.
Bổ đề 2.2. (Ngun lý demi-đóng ) [ 1] Cho E là một khơng gia n
Banach phản xạ với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đố i ngẫu chuẩn
tắc, C là một tập con lồi, đóng của E và T : C → E là một ánh xạ khơng
giãn. Khi đó ánh xạ I − T là demi- đóng trên C, t rong đó I là ánh xạ
đồng nhất củ a E; t ức là, nếu x
n
⇀ x trong E và (I − T)x
n
→ y, thì suy
ra x ∈ C và (I − T )x = y.
Bổ đề 2.3. [8] Cho A là m ột tốn t ử accret i ve và liên tục trên kh ơng
gian Banach thực E vớ i D(A ) = E. Khi đó, A là tốn tử m-accretive.
Bổ đề 2.4. [14] Cho C là một tập con lồi và đóng của khơng gian Banach
lồi chặt E và cho T : C → E là một ánh xạ kh ơng giãn từ C vào E.
Giả sử C là một co rút khơng giãn theo tia c ủa E. Nếu Fix(T ) = ∅, thì
F ix(T ) = F ix(Q
C
T ), trong đó Q
C
là ánh xạ co rút khơng giãn theo ti a
từ E lên C.
2.3 Hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn
tử accretive
Ta bi ết rằng nếu T là một ánh xạ khơng giã n thì A = I − T là

một tốn tử accretive. Do đó, bài tốn tìm điểm bất động của ánh xạ
Số hóa bởi trung tâm học liệu />22
khơng giãn T quy về bài tốn xác định khơng điểm của tốn tử a ccretive
A = I − T.
Xét bài tốn
Xác định phần tử x
∗
∈ D(A) sao cho A(x
∗
) = 0, (2.2)
với A : D(A) ⊂ E → E là một tốn tử m-accretive đơn trị.
Khi A là m-accretive trong khơng gian Hi lbert H, nghĩa l à A là tốn
tử đơn điệu cực đại thì Rockafell ar [16] đã đưa ra phương pháp lặp
c
n
Ax
n+1
+ x
n+1
= x
n
, x
0
∈ H, (2.3)
ở đây c
n
> c
0
> 0. Việc áp dụng thuật tốn (2.3) chỉ thu được sự hội tụ
yếu của dãy x

n
đến nghiệm của (2.2). Guler [10] đã xây dựng một ví dụ
để chỉ ra thuật tốn (2.3) khơng phải lúc nào cũng hội tụ mạnh trong
trường hợp tổng qt. Một ví dụ gần đây của các tác giả Bauschke,
Matouskova và Reich [5] cũng chỉ ra rằng t huật tốn ( 2.3) chỉ hội tụ
yếu mà khơng hội tụ theo chuẩn. Để thu được sự hội tụ mạnh của thuật
tốn này Ryazantseva [17] đã kết hợp thuật tốn gần kề với hiệu chỉnh
ở dạng
c
n
(A(x
n+1
) + α
n
x
n+1
) + x
n+1
= x
n
, x
0
∈ E. (2.4)
Với một vài điều kiện của các tham số c
n
và α
n
thì sẽ thu được sự hội
tụ mạnh của thuật tốn (2.4) khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j của E là
liên tục yếu theo dãy và liên tục mạnh.

Gần đây, một vài tác giả cũng đã đưa ra một cải tiến khác cho thuật
tốn điểm gần kề (2.3) của Rockaf ellar để thu được sự hội tụ mạnh của
thuật tốn như Solodov và Svaiter [18], Kamimura và Takahashi [11] đã
nghiên cứu cải tiến thuật tốn điểm gần kề bằng cách thêm vào phép
chiếu lên mỗi bước lặ p.
Định lý 2.1. [11] Cho E là một khơ ng gia n Banach lồi đều và trơn đều
và cho A : E −→ 2
E
∗
là một tốn tử đơn điệu cực đại vớ i A
−1
(0) = ∅.
Nếu dãy số r
n
⊂ (0, +∞) thỏa mãn lim
n→∞
r
n
> 0 thì dãy x
n
xác định
Số hóa bởi trung tâm học liệu />23
bởi










x
0
∈ E,
0 = v
n
+
1
r
n
(Jy
n
− Jx
n
), v
n
∈ A(y
n
),
H
n
= {z ∈ E : z − y
n
, v
n
 ≤ 0} ,
W
n
= {z ∈ E : z − x

n
, Jx
0
− Jx
n
 ≤ 0} ,
x
n+1
= Q
H
n
∩W
n
x
0,
(2.5)
hội tụ mạnh về Q
A
−1
(0)
x
0
.
Lehdili và Moudafi [13] đã thu được sự hội t ụ của dãy x
n
xác định
bởi thuật tốn
x
n+1
= J

A
n
C
n
(x
n
), (2.6)
trong đó A
n
= µ
n
I + A là tốn tử hiệu chỉnh Tikhonov của A.
Attouch và Alvarez [3] đã xét mộ t mở rộng của thuật tốn (2.3) ở
dạng
C
n
A(u
n+1
) + u
n+1
− u
n
= γ
n
(u
n
− u
n+1
), u
0

, u
1
∈ H, (2.7)
ở đây c
n
và γ
n
là hai dãy số khơng âm. Đối với thuật tốn mở rộng này
thì người ta cũng chỉ thu được sự hội tụ yếu về một nghiệm của bài tốn
(2.2) trong khơng gian Hilbert. Chú ý rằng thuật tốn này đã được đề
xuất và nghiên cứu lần đầu tiên bởi Alvarez [4] cho bài tốn cực tiểu
hóa phiếm hàm lồi.
Định lý 2.2. [3] Cho H là một k hơng gian Hilbert và cho x
n
⊂ H là
một dãy số thỏa mãn
x
n+1
= J
A
λ
n
(x
n
+ α
n
(x
n
− x
n−1

)), n = 1, 2
ở đây A : H −→ 2
H
là một tốn tử đơn điệu cực đại với S = A
−1
(0) = ∅
và các tham số α
n
, λ
n
thỏa mãn:
i) Tồn tại số λ > 0 sao cho λ
n
≥ λ, ∀n ≥ 1;
ii) Tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho 0 ≤ α
n
≤ α, ∀n ≥ 1.
Nếu điều kiện sau đúng
∞

n=1
α
n
 x
n
− x
n−1

2
< +∞

thì tồn tại x
∗
∈ S sao cho dãy x
n
hội tụ yếu về x
∗
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />24
Năm 2006, Nguyễn Bường [6] đã đề xuất thuật tốn mới để giải bài
tốn tối ưu đa mục tiêu sau trong khơng gian Ba nach phản xạ E: Xác
định phần tử x
0
∈ E sao cho
ϕ
j
(x
0
) = inf
x∈E
ϕ
j
(x), j = 0, 1, 2, N, (2.8)
trong đó ϕ
j
là các phiếm hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới yếu
với các đạo hàm Gâteaux tươ ng ứng l à A
j
.
Ơng đã đưa ra thuật tốn sau
N


j=0
α
µ
j
A
h
j
(x) + αJ(x) = 0, (2.9)
trong đó 0 = µ
0
< µ
j
< µ
j+1
với mọi j = 1, 2, , N − 1 và ơng đã chỉ ra
nếu tham số hiệu chỉnh α được chọn sao cho h/α −→ 0, thì nghiệm x
h
α
của phương trình (2.9) hội tụ về nghiệm của bài tốn (2.8 ).Tiếp theo đó,
Nguyễn Bường và J. K. Kim [7], Nguyễn Bườ ng [12] đã nghiên cứu hiệu
chỉnh thuật tốn điểm gần kề dựa trên thuật tốn (2.9 ) cho bài tốn tìm
nghiệm chung của một họ hữu hạn phương trình với tốn tử ngược đơn
điệu mạnh và cho bài tốn tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn các
bất đẳng thức biến phân với tốn tử đơn điệu, h-liên tục và một họ hữu
hạn các phương trình với các tốn tử ngược đơn điệu mạnh, tương ứng
trong khơng gian Hilbert.
Trong đề tài này chúng tơi trình bày phương pháp hiệu chỉnh bài tốn
xác định một khơng điểm của tốn tử accretive. Ta xét bài tốn sau:
Xác định một phần t ử x

∗
∈ S = Fix(T ) = ∅, (2.10 )
trong đó F ix(T ) là tập điểm bất động của ánh xạ T : C −→ C và C
là một tập con lồi, đóng và co rút khơng giãn theo tia của khơng gian
Banch E.
Xét bài tốn hiệu chỉnh dạng
A(x
n
) + α
n
(x
n
− y) = 0, (2.11)
c
n
(A(u
n+1
) + α
n
(u
n+1
− y)) + u
n+1
= Q
C
(u
n
+ γ
n
(u

n
− u
n−1
)), (2.12)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />