ước lượng và tính xác suất thiệt hại trong một sốmô hình bảo hiểm

1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI





Phùng Duy Quang





ƯỚC LƯỢNG VÀ TÍNH XÁC SUẤT THIỆT HẠI
TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH BẢO HIỂM



Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học
Mã số:62460106






TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2014

2

Công trình ñược hoàn thành tại:
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội







Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS Bùi Khởi Đàm
2. TS Nguyễn Hữu Tiến



Phản biện 1: TSKH Phạm Trần Nhu
Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Thị Minh
Phản biện 3: TS Nguyễn Hắc Hải

Luận án sẽ ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp
tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Vào hồi …… giờ, ngày … tháng … năm ………


Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội
2. Thư viện Quốc gia


3

MỞ ĐẦU

Trong những năm gần ñây các công ty bảo hiểm ñược mở ra nhiều nơi nhằm mục ñích chịu
trách nhiệm và chia sẻ một phần trách nhiệm cho các chủ thể rủi ro, nhưng ngay chính hoạt ñộng
bảo hiểm cũng là một hoạt ñộng ñầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa ñựng sự rủi ro. Việc
ñánh giá mức ñộ rủi ro và thời ñiểm rủi ro là nhu cầu cấp thiết ñòi hỏi cần ñược nghiên cứu và
giải quyết ñể hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra. Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) ñã ñược
nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần ñây, ñặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo
hiểm, tài chính. Một trong những vấn ñề trọng tâm ñược nhiều nhà nghiên cứu quan tâm về lý
thuyết này, là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với thời gian
liên tục và rời rạc.
Trong công trình của Lundberg (1903), với luận án tiến sỹ nổi tiếng của ông ở Đại học
Uppsala (Thủy ñiển),công trình này ñã ñưa ñến việc sáng lập ra lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm.
Sau ñó, Carmer, H. và trường phái Stockholm ñã phát triển các ý tưởng của Lundberg và ñóng
góp vào việc hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học. Với các

kết quả ñó Cramer ñã ñóng góp một cách ñáng kể vào cả lý thuyết bảo hiểm, tài chính lẫn cả lý
thuyết xác suất và thống kê toán học. Mô hình cơ bản ñầu tiên trong số những ñóng góp ñó là mô
hình Cramer – Lunberg.
Trong mô hình rủi ro cổ ñiển, bài toán thường ñược nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới
dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập. Chẳng hạn, như trong kết quả Cramer – Lundberg về ước lượng xác
suất thiệt hại với thời gian liên tục, dãy số tiền chi trả bảo hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai
lần ñòi trả liên tiếp, ñều giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập, cùng phân phối. Có
nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học có tên tuổi về vấn ñề này như: Asmussen
(2000), Buhlma, H. (1970), Embrechts, P. (1997), Kluppelberg, C. (1998), Grandell, J. (1992),
Hipp, C. (2004), Schmidli, H. (2004), Musiela, M. (1997), Nyrhinen, H. (2001), Paulsel, J.
(2002), Schmidt, K. D. (1995), … Các công trình trên ñều cho ước lượng cận trên cho xác suất
thiệt hại có dạng hàm mũ.
Bên cạnh ñó một loạt công trình sử dụng phương pháp Martingale ñể chứng minh các công
thức ước lượng xác suất thiệt hại cho mô hình rủi ro mở rộng có tác ñộng của yếu tố lãi suất như:
Cai, J (2002), Cai and Dickson, D. C. M. (2003), Gaier, J. (2004), Kluppelberg, C. and
Stadtmuller (1998), Konstantinide, D.G. and Tang, Q. H. and Tsitsiashvili, G. S. (2002), Sundt,
B. and Teugels, J. L. (1995, 1997), Tang, Q. (2004, 2005), Yang, H. (1999), Yang, H. and
Zhang, L. H. (2003, 2006), …
4
Tuy nhiên, thực tế các sản phẩm bảo hiểm và tái bảo hiểm cũng như ñối tượng tham gia bảo
hiểm ngày càng lớn và càng phức tạp nên ñòi hỏi các mô hình có cấu trúc phụ thuộc. Do ñó, ñể
phù hợp với thực tế hơn, một hướng nghiên cứu ñã và ñang ñược nhiều nhà toán học quan tâm,
ñó là các mô hình với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc. Một loạt các công trình có giá trị của các
nhà toán học, xét mô hình bảo hiểm với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm
là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, còn dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa hồi quy hoặc xích Markov
như Arbrecher, H. (1998), Cai, J. (2002), Cai, J. and Dickson, D. C M. (2003, 2004), Gerber, H.
U. (1979), Muller, A. and Pfug, G. (2001), Promisslow, S.D. (1991), Valdez, E. A. (2002), Xu,
L. and Wang. R. (2006), Yang, H. (1999), Yang, H. and Zhang, L. H. (2003), …
Các công trình của Bùi Khởi Đàm và Nguyễn Huy Hoàng (2008), Nguyễn Huy Hoàng
(2009) ñã xây dựng ñược các ước lượng cho xác suất thiệt hại của các mô hình rủi ro với giả

thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên m - phụ thuộc.
Bên cạnh các bài toán ước lượng xác suất thiệt hại thì bài toán tính chính xác xác suất thiệt
hại ñối với các mô hình bảo hiểm gắn liền với các tình huống thực tế hơn. Một số công trình ñã
tiếp cận theo hướng này với giả thiết dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị nguyên dương như
Caude Lefèvre (2008), Rullière, D. and Loisel, St. (2004), De Vylder, F. E (1997, 1999), De
Vylder and Goovaerts, M. J. (1998, 1999), Ignatov, Z. G. and Kaishev, V. K. (2001, 2004),
Pircard, Ph. and Lefèvre,Cl. (1997).
Công trình của Hong, N.T.T. (2013) ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất
thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm:
1 1
t t
t i i
i i
U u X Y
= =
= + −
∑ ∑
, với dãy tiền thu bảo
hiểm
{
}
1
i
i
X
≥
, dãy tiền chi trả bảo hiểm
{
}
1

i
i
Y
≥
, thời gian t nhận giá trị nguyên dương. Công
trình của tác giả Hong, N.T.T. (2013) ñã mở ra hướng mới có ý nghĩa quan trọng cả về lý thuyết
lẫn thực hành ñể tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của các mô hình bảo hiểm.
Với những lý do trên, chúng tôi xác ñịnh ñối tượng nghiên cứu là của luận án là các mô hình
toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm, cụ thể là các mô hình bảo hiểm rời rạc có tác
ñộng của lãi suất. Luận án tập trung vào các bài toán: ước lượng xác suất thiệt hại trong một số
mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov, tính chính xác xác suất thiệt hại
trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất. Các kết quả chủ yếu của luận án ñã
ñược công bố trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7].
Luận án ñã thu ñược các kết quả mới sau ñây:
5
a. Trong mô hình tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất.
Sử dụng phương pháp ñệ quy, phương pháp Martingale luận án ñã thiết lập ñược các bất
ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại ñối với mô hình bảo hiểm
tổng quát có tác ñộng của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi
trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc
lập cùng phân phối.
b. Đối với mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất, luận án mở rộng kết quả của
Hong, N.T.T. (2013), luận án ñã mở rộng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại cho
mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền
chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, còn dãy lãi suất nhận giá trị không
âm trong tập hữu hạn. Các công thức ñược xây dựng cho dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng
phân phối, ñộc lập không cùng phân phối, phụ thuộc Markov.
Qua việc hoàn thành luận án, chúng tôi cũng hy vọng ñược góp phần khiêm tốn vào việc
nghiên cứu và phát triển lý thuyết các mô hình toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm.
Nội dung của luận án gồm 3 chương.

Chương 1. Một số khái niệm và kết quả cơ bản
Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số nội dung cơ bản và các kết quả về bài toán
thiệt hại trong bảo hiểm, tổng quan về xích Markov thuần nhất, quá trình Martingale.
Chương 2. Ước lượng xác suất thiệt hại trong bài toán bảo hiểm với dãy biến ngẫu
nhiên phụ thuộc Markov
Trong chương này, chúng tôi ñã sử dụng phương pháp ñệ quy, phương pháp Martingale ñể
xây dựng ñược các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại ñối với mô
hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy
tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc
lập.
Chương 3. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong bài toán bảo hiểm
Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của Hong, N.T.T. (2013) cho mô hình bảo
hiểm có tác ñộng của lãi suất hằng, luận án ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất
thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết
6
dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, còn dãy lãi suất
nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn.
Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược báo cáo tại
- Semina “Ứng dụng toán học”, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà
nội.
- Hội thảo khoa học Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại thương (2010-2014).
- Semina của Phòng xác suất và thống kê toán, Viện Toán học- Viện KH & CN Việt Nam
Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược ñăng trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7].
7
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN
Trong chương 1, chúng tôi ñã giới thiệu một số khái niệm và kết quả ñã có liên quan trực tiếp
ñến nội dung, phương pháp chứng minh của luận án như : bài toán thiệt hại của công ty bảo
hiểm, một số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, bất ñẳng thức ước lượng cận
trên cho xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập và mô

hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất với dãy lãi suất là xích Markov rời rạc và thuần nhất.
Đồng thời, chương 1 của luận án cũng giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ bản của quá trình
Markov, quá trình Martingale.
CHƯƠNG 2. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH
BẢO HIỂM VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MARKOV
Trong chương này, chúng tôi xây dựng bất ñẳng thức ñể ước lượng xác suất thiệt hại trong mô
hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc
Markov. Cụ thể, chúng ta xét các mô hình sau ñây:
- Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với vốn của kỳ trước ñược ñem ñầu tư với
lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên
{ }
0
i
i
I I
≥
=
. Khi ñó, vốn ở thời kỳ
t
ñược xác ñịnh như sau:

1
(1 ) , 1, 2, ,
t t t t t
U U I X Y t
−
= + + − = (2.1)

.
o

U u
=

- Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất không những vốn của kỳ trước mà cả tiền
thu bảo hiểm ở kỳ hiện tại cũng ñược tính lãi suất là dãy
{ }
0
i
i
I I
≥
= . Khi ñó, vốn ở thời kỳ
t

ñược xác ñịnh như sau

1
( )(1 ) , 1, 2, ,
t t t t t
U U X I Y t
−
= + + − = (2.2)

.
o
U u
=

trong ñó
u

là vốn ban ñầu của công ty bảo hiểm, dãy tiền thu bảo hiểm
{ }
0
i
i
X X
≥
= , dãy tiền chi
trả bảo hiểm
{
}
0
j
j
Y Y
≥
= , dãy lãi suất
{ }
0
k
k
I I
≥
= và các dãy biến ngẫu nhiên
, ,
X Y I
là ñộ
c l
ậ
p

v
ớ
i nhau.
Tr
ướ
c h
ế
t, ta có mô hình (2.1) và (2.2) l
ầ
n l
ượ
t
ñượ
c vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng sau
8
( )
1
1 1
1 1
t t
t
t k k k j
k
k j k

U u. ( I ) X Y ( I ),
=
= = +
= + + − +
∑
∏ ∏
(2.3)

[ ]
1
1 1
1 1 1
t t
t
t k k k k j
k
k j k
U u. ( I ) X ( I ) Y ( I )
=
= = +
= + + + − +
∑
∏ ∏
. (2.4)
Ở

ñ
ây, ta quy
ướ
c

1
b
t
t a
z
=
=
∏
và
0
b
t
t a
z
=
=
∑
n
ế
u
a b
>
.
Trong ch
ươ
ng này chúng ta xét các gi
ả
thi
ế
t sau:

Giả thiết 2.1.
v
ố
n ban
ñầ
u
0
o
U u
= >
.
Giả thiết 2.2.
Dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{
}
0
n
n
X X
≥
=
là xích Markov thu
ầ
n nh

ấ
t nh
ậ
n giá tr
ị
không
âm trong
{
}
1 2
, , ,=
X M
G x x x
v
ớ
i
= ∈
o i X
X x G
,
1
, ( ); ,
+
 
= = = ∈ ∈
 
ij m j m i i j X
p P X x X x m N x x G
th
ỏ

a mãn
1
0 1; 1.
M
ij ij
j
p p
=
≤ ≤ =
∑

Giả thiết 2.3.
Dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{
}
0
n
n
Y Y
≥
=
là xích Markov thu

ầ
n nh
ấ
t nh
ậ
n giá tr
ị
không
âm trong
{
}
1 2
, , ,=
Y K
G y y y
v
ớ
i = ∈
o r Y
Y y G
,
1
,( ); ,
+
 
= = = ∈ ∈
 
rs m s m r r s Y
q P Y y Y y m N y y G
th

ỏ
a mãn
1
0 1, 1
K
rs rs
s
q q
=
≤ ≤ =
∑
.
Giả thiết 2.4.
Dãy lãi su
ấ
t
{
}
0
n
n
I I
≥
=
là dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên liên t
ụ

c nh
ậ
n giá tr
ị
không âm,
ñộ
c
l
ậ
p, cùng phân ph
ố
i v
ớ
i hàm phân ph
ố
i
(
)
( )
o
F t P I t
= ≤
.
Giả thiết 2.5.

, ,
X Y I
là
ñộ
c l

ậ
p v
ớ
i nhau.
Khi
ñ
ó, xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i c
ủ
a mô hình (2.1)
ñế
n th
ờ
i k
ỳ

t
và th
ờ
i
ñ
i
ể
m vô h
ạ

n v
ớ
i các gi
ả
thi
ế
t
2.1-2.5
ñượ
c xác
ñị
nh t
ươ
ng
ứ
ng nh
ư
sau
(1)
( , , ) ( )
t i r u
u x y P T t
ψ
= ≤
1
( 0) , ,
t
k o o i o r
k
P U U u X x Y y

=
 
= < = = =
 
 
∪
,
(1) (1)
( , , ) ( ) lim ( , , )
i r u t i r
t
u x y P T u x y
ψ ψ
→∞
= < +∞ =
1
( 0) , ,
k o o i o r
k
P U U u X x Y y
+∞
=
 
= < = = =
 
 
∪
.
Xác su
ấ

t thi
ệ
t h
ạ
i c
ủ
a mô hình (2.2)
ñế
n th
ờ
i k
ỳ

t
và th
ờ
i
ñ
i
ể
m vô h
ạ
n v
ớ
i các gi
ả
thi
ế
t 2.1-2.5
ñượ

c xác
ñị
nh t
ươ
ng
ứ
ng nh
ư
sau
(2)
( , , ) ( )
t i r u
u x y P T t
ψ
= ≤
1
( 0) , ,
t
k o o i o r
k
P U U u X x Y y
=
 
= < = = =
 
 
∪
,
9
(2) (2)

( , , ) ( ) lim ( , , )
i r u t i r
t
u x y P T u x y
ψ ψ
→∞
= < +∞ =
1
( 0) , ,
k o o i o r
k
P U U u X x Y y
+∞
=
 
= < = = =
 
 
∪
.
Các k
ế
t qu
ả
chính c
ủ
a ch
ươ
ng 2 g
ồ

m.
2.1. Ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp ñệ quy
Định lý 2.1.
N
ế
u mô hình (2.1) th
ỏ
a mãn các gi
ả
thi
ế
t 2.1- 2.5 thì
v
ớ
i m
ỗ
i t = 1, 2, …
(1)
1
( , , )
t i r
u x y
ψ
+
=

( )
(1)
1 1
(1 ) , , ( ) .

s j
M K
s j
ij rs t j s j s
j s
y x u
u
y x u
p q F u x x y x y dF x
u
ψ
+∞
= =
− −
 
− −
 
 
+ + + −
 
 
 
 
 
∑∑
∫
(2.5)
Đặ
c bi
ệ

t
(1)
1 1
( , , ) .
M K
s j
i r ij rs
j s
y x u
u x y p q F
u
ψ
= =
− −
 
=
 
 
∑∑
(2.6)
Đồ
ng th
ờ
i
(1)
( , , )
i r
u x y
ψ
=

( )
(1)
1 1
(1 ) , , ( )
s j
M K
s j
ij rs j s j s
j s
y x u
u
y x u
p q F u x x y x y dF x
u
ψ
+∞
= =
− −
 
− −
 
 
+ + + −
 
 
 
 
 
∑∑

∫
. (2.7)
V
ớ
i quy
ướ
c
0
( ) 0, ( ) 0
z
F z dF x
= =
∫
và
0
( ) ( ) ( ) ( )
z
g x dF x g x dF x
+∞ +∞
=
∫ ∫
n
ế
u
0.
z
<

Để
xây d

ự
ng
ñượ
c b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ướ
c l
ượ
ng xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i, c
ầ
n s
ử
d
ụ
ng b
ổ

ñề
sau

Bổ ñề 2.1.

Cho mô hình
(2.1)
v
ớ
i các gi
ả
thi
ế
t 2.1- 2.5. N
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i
,
i X r Y
x G y G
∈ ∈
, thì

(
)
( )
1 1
1 1
( )
,

( ) 0 , 0
o r o i
o i o r
E Y Y y E X X x
P Y X X x Y y

= < =


− > = = >


(2.8)
thì t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t h
ằ
ng s
ố

0
ir
R
>
th
ỏ

a mãn ph
ươ
ng trình
(
)
1 1
( )
, 1.
ir
R Y X
o i o r
E e X x Y y
−
= = =
(2.9)

10
Ký hi
ệ
u:
(
)
{
}
1 1
( )
min 0 : , 1;( , )
ir
R Y X
o ir o i o r i X r Y

R R E e X x Y y x G y G
−
= > = = = ∈ ∈
. (2.10)
S
ử
d
ụ
ng k
ế
t qu
ả
c
ủ
a b
ổ

ñề
2.1 và
ñị
nh lý 2.1, ta thu
ñượ
c b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ướ

c l
ượ
ng cho xác su
ấ
t
thi
ệ
t h
ạ
i
(1)
( , , )
i r
u x y
ψ
c
ủ
a mô hình (2.1) v
ớ
i các gi
ả
thi
ế
t 2.1 – 2.5 nh
ư
sau
Định lý 2.2.

Cho mô hình
(2.1)

th
ỏ
a mãn các gi
ả
thi
ế
t 2.1-2.5 và các gi
ả
thi
ế
t c
ủ
a b
ổ

ñề
2.1. V
ớ
i
0
u
>
, ∈
i X
x G
và ∈
r Y
y G
ta có
1

(1 )
(1)
1
( , , ) .
o
R u I
i r
u x y E e
ψ β
− +
 
≤
 
, (2.11)
trong
ñ
ó
1
0
1 1
0
0
( )
inf , 0 1.
( )
o o
z
R uz R ut
z
u

e e dF t
F z
β β
−
−
>
≥
= ≤ ≤
∫
(2.12)
Định lý 2.3.
N
ế
u mô hình (2.2) th
ỏ
a mãn các gi
ả
thi
ế
t 2.1- 2.5 thì
v
ớ
i m
ỗ
i t = 1, 2, … ,ta có
(2)
1
( , , )
t i r
u x y

ψ
+
=

( )
(2)
1 1
( )
( )
( )(1 ) , , ( )
s j
j
M K
s j
ij rs t j s j s
j s
y u x
j
u x
y u x
p q F u x x y x y dF x
u x
ψ
+∞
= =
− +
+
 
 
 

− +
 
+ + + −
 
 
 
+
 
 
 
 
∑∑
∫
. (2.13)
Đặ
c bi
ệ
t
(2)
1
1 1
( )
( , , )
M K
s j
i r ij rs
j s
j
y u x
u x y p q F

u x
ψ
= =
 
− +
=
 
 
+
 
∑∑
. (2.14)
Đồng thời
(2)
( , , )
i r
u x y
ψ
=

( )
(2)
1 1
( )
( )
( )(1 ) , , ( )
s j
j
M K
s j

ij rs j s j s
j s
y u x
j
u x
y u x
p q F u x x y x y dF x
u x
ψ
+∞
= =
− +
+
 
 
 
− +
 
+ + + −
 
 
 
+
 
 
 
 
∑∑
∫
. (2.15)

Để thu ñược bất ñẳng thức ñánh giá ước lượng cho xác suất thiệt hại
(2)
( , , )
i r
u x y
ψ
của mô hình
(2.2), ta xây dựng bổ ñề sau

11
Bổ ñề 2.2. Cho mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1- 2.5 và
1
( ) ( 1,2).
k
E I k< +∞ = Nếu với
mỗi
i X
x G
∈
,
r Y
y G
∈
thì
(
)
( )
1 1 1
1 1 1
(1 ) , 0

(1 ) 0 , 0
o i o r
o i o r
E Y X I X x Y y
P Y X I X x Y y

− + = = <


− + > = = >


, (2.16)
thì tồn tại duy nhất hằng số
0
ir
R
>
thỏa mãn phương trình
[ ]
(
)
1 1 1
(1 )
, 1.
ir
R Y X I
o i o r
E e X x Y y
− +

= = =
(2.17)
Ký hiệu:
[ ]
(
)
{
}
1 1 1
(1 )
min 0 : , 1( , )
ir
R Y X I
o
ir o i o r i X r Y
R R E e X x Y y x G y G
− +
= > = = = ∈ ∈
. (2.18)
Sử dụng kết quả của bổ ñề 2.2 và ñịnh lý 2.3, ta thu ñược bất ñẳng thức ước lượng xác suất thiệt
hại
(2)
( , , )
i r
u x y
ψ
của mô hình (2.2) với các giả thiết 2.1 – 2.5
Định lý 2.4. Cho mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1-2.5 và các giả thiết của bổ ñề 2.2. Với
0
u

>
, ∈
i X
x G
và ∈
r Y
y G
ta có
1 1 1
( )(1 )
(2)
2
( , , )
o o
R Y R u X I
i r o r o i
u x y E e Y y E e X x
ψ β
− + +
   
≤ = =
   
, (2.19)
trong ñó
1
0
2 2
0
0
( )

inf ,0 1.
( )
o o
z
R uz R ut
z
u
e e dF t
F z
β β
−
−
>
≥
= ≤ ≤
∫
(2.20)
Nhận xét 2.1. Xét mô hình (2.1) và (2.2) khi thay miền giá trị
,
X Y
G G
là tập hữu hạn bởi tập vô
hạn ñếm ñược:
{
}
1 2
, , , ,
X m
G x x x=
,

{
}
1 2
, , , , .
Y n
G y y y=
Khi ñó các ñịnh lý 2.1 ñến ñịnh lý
2.4 ñược tổng quát trong kết quả [6].
Nhận xét 2.2. Xét mô hình (2.1) và (2.2) với giả thiết dãy chi trả bảo hiểm và dãy lãi suất phụ
thuộc Markov còn dãy tiền thu bảo hiểm là ñộc lập cùng phân phối, sử dụng phương pháp
Martingale chúng ta cũng xây dựng ñược bất ñẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại cho các mô
hình ñó. Kết quả ñó ñăng tải ở công trình [2].

12
Nhận xét 2.3. Xét mô hình (2.1) và (2.2) với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm và dãy lãi suất phụ
thuộc Markov còn dãy tiền chi trả bảo hiểm là ñộc lập cùng phân phối, sử dụng phương pháp ñệ
quy chúng ta cũng xây dựng ñược bất ñẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại cho các mô hình ñó.
Kết quả ñó ñăng tải ở công trình [7].

2.2. Ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp Martingale
Để thiết lập bất ñẳng thức ước lượng cho các xác suất
(1)
( , , )
n i r
u x y
ψ
và
(1)
( , , )
i r

u x y
ψ
bằng
phương pháp Martingale, trước hết ta có bổ ñề sau
Bổ ñề 2.3. Giả sử mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1 – 2.5. Nếu với mỗi ,
i X r Y
x G y G
∈ ∈ ,
(
)
(
)
1 1
o r o i
E Y Y y E X X x
= < =

và
(
)
1
1 1 1
( )(1 ) 0 , 0
o i o r
P Y X I X x Y y
−
− + > = = >
, (2.21)
thì tồn tại duy nhất hằng số dương
ir

R
thỏa mãn
(
)
1
1 1 1
( )(1 )
, 1.
ir
R Y X I
o i o r
E e X x Y y
−
− +
= = =
(2.22)
Đặt:
(
)
{
}
1
1 1 1
( )(1 )
min 0 : , 1, , .
ir
R Y X I
o ir o i o r i X r Y
R R E e X x Y y x G y G
−

− +
= > = = = ∈ ∈

Dùng bổ ñề 2.3 ta thu ñược các bất ñẳng thức ước lượng cho xác suất
(1)
( , , )
i r
u x y
ψ
bằng phương
pháp Martingale.
Định lý 2.5. Cho mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1 – 2.5 và các giả thiết của bổ ñề 2.5.
Nếu với mỗi
0
u
>
, ,∈ ∈
i X r Y
x G y G
, ta có
(1)
( , , )
o
R u
i r
u x i e
ψ
−
≤ . (2.23)
Để thiết lập bất ñẳng thức ước lượng cho các xác suất

(2)
( , , )
t i r
u x y
ψ
và
(2)
( , , )
i r
u x y
ψ
bằng
phương pháp Martingale, trước hết ta có bổ ñề sau
Bổ ñề 2.4. Giả sử mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1 - 2.5. Nếu với mỗi ,
i X r Y
x G y G
∈ ∈ ,
nếu

13
1 1
( )
o r o i
E Y Y y E X X x
 
= < =
 

và

(
)
1
1 1 1
(1 ) 0 , 0,
o i o r
P Y I X X x Y y
−
+ − > = = >
(2.24)
thì tồn tại hằng số dương
ir
R
duy nhất thỏa mãn
1
1 1 1
(1 )
, 1.
ir
R Y I X
o i o r
E e X x Y y
−
 
+ −
 
 
= = =
 
 

(2.25)
Đặ
t:
(
)
{
}
1
1 1 1
( (1 ) )
min 0 : , 1, ,
ir
R Y I X
o
ir o i o r i X r Y
R R E e X x Y y x G y G
−
+ −
= > = = = ∈ ∈
.
Dùng k
ế
t qu
ả
c
ủ
a b
ổ

ñề

2.4 và ph
ươ
ng pháp ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự

ñị
nh lý 2.5 ta thu
ñượ
c b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ướ
c l
ượ
ng cho xác su
ấ
t
(2)
( , , )
i r
u x y
ψ

b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp Martingale.
Định lý 2.6. Cho mô hình
(2.2)
thỏa mãn các giả thiết 2.1- 2.5 và các giả thiết của bổ ñề 2.5.
Với mọi
0
u
>
,
,
∈ ∈
i X r Y
x G y G
, ta có
(2)
( , , )
o
R u
i r
u x y e
ψ
−
≤
. ` (2.26)

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

Ch
ươ
ng 2 c
ủ
a lu
ậ
n án, xét mô hình t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t v
ớ
i dãy bi
ế
n ng
ẫ
u
nhiên là xích Markov thu
ầ
n nh
ấ
t. Lu
ậ
n án s
ử

d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp
ñệ
quy và ph
ươ
ng pháp
Martingale
ñ
ã xây d
ự
ng
ñượ
c các b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ướ
c l
ượ
ng xác su
ấ
t thi
ệ
t h

ạ
i d
ướ
i d
ạ
ng hàm m
ũ

cho mô hình b
ả
o hi
ể
m t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t trong tr
ườ
ng h
ợ
p: dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể

m
{ }
0
i
i
X X
≥
=
và dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{
}
0
j
j
Y Y
≥
=
là các xích Markov thu
ầ
n nh
ấ
t còn dãy lãi

su
ấ
t
{ }
0
k
k
I I
≥
=
là dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i.
Các công trình
ñ
ã công b
ố
tr
ướ
c
ñ
ây ch

ỉ
d
ừ
ng l
ạ
i xét các dãy
{ }
0
i
i
X X
≥
=
và
{ }
0
i
i
Y Y
≥
=
là
dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ

p ho
ặ
c ph
ụ
thu
ộ
c h
ồ
i quy.
Đ
ây là l
ầ
n
ñầ
u tiên xây d
ự
ng
ñượ
c các b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ướ
c l
ượ
ng Lundberg t
ổ

ng quát cho mô hình b
ả
o hi
ể
m t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi
su
ấ
t v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{ }
0
i
i

X X
≥
=
và dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{ }
0
i
i
Y Y
≥
=
là các
xích Markov thu
ầ
n nh
ấ
t còn dãy lãi su
ấ
t là dãy bi
ế
n ng
ẫ

u nhiên
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i.

14
Các k
ế
t qu
ả
chính c
ủ
a ch
ươ
ng 2 là các
ñị
nh lý 2.1
ñế
n
ñị
nh lý 2.6. K
ế
t qu
ả
s
ố
minh h

ọ
a cho
ướ
c l
ượ
ng ch
ặ
n trên c
ủ
a xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i cho mô hình t
ổ
ng quát v
ớ
i dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên là xích
Markov thu
ầ
n nh
ấ
t c
ũ

ng
ñượ
c
ñư
a ra trong ch
ươ
ng 2.
CHƯƠNG 3. TÍNH CHÍNH XÁC XÁC SUẤT THIỆT HẠI
TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM

Trong công trình c
ủ
a Hong, N.T.T. (2013), tác gi
ả

ñ
ã xây d
ự
ng
ñượ
c công th
ứ
c tính chính xác
xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi

ệ
t h
ạ
i) c
ủ
a mô hình
1 1
t t
t i i
i i
U u X Y
= =
= + −
∑ ∑

V
ớ
i gi
ả
thi
ế
t:
i i
u,t , X ,Y
nh
ậ
n giá tr
ị
nguyên d
ươ

ng (dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{ }
1
i
i
X X
≥
=
, dãy ti
ề
n
chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{
}
1
j
j
Y Y

≥
=
).

Trong ch
ươ
ng này, chúng tôi m
ở
r
ộ
ng k
ế
t qu
ả
c
ủ
a Hong, N.T.T. (2013), lu
ậ
n án xây d
ự
ng công
th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi

ệ
t h
ạ
i) trong mô hình t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a
lãi su
ấ
t v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m, dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả

o hi
ể
m và dãy lãi su
ấ
t
ñộ
c l
ậ
p cùng
phân ph
ố
i ho
ặ
c không cùng phân ph
ố
i ho
ặ
c ph
ụ
thu
ộ
c Markov. C
ụ
th
ể
, chúng ta xét các mô hình
sau
ñ
ây
-Mô hình b

ả
o hi
ể
m t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t (v
ớ
i lãi su
ấ
t là h
ằ
ng s
ố
) v
ớ
i v
ố
n c
ủ
a công
ty b
ả
o hi
ể

m
ở
th
ờ
i k
ỳ

t
là:
1
1 1
(1 ) (1 ) (1 ) ,
t t
t t i t i
t i i
i i
U u r X r Y r
− + −
= =
= + + + − +
∑ ∑
(3.1)
trong
ñ
ó
0
o
U u
= >
,

u
là v
ố
n ban
ñầ
u c
ủ
a hãng b
ả
o hi
ể
m,
0
r
>
là lãi g
ộ
p và là h
ằ
ng s
ố
, dãy
ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{ }

1
i
i
X X
≥
=
, dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{
}
1
j
j
Y Y
≥
=
và các dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
,
X Y

là
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i nhau.
-Mô hình b
ả
o hi
ể
m t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t, v
ố
n c
ủ
a k
ỳ
tr
ướ
c
ñượ
c

ñ
em
ñầ
u t
ư
v
ớ
i lãi
su
ấ
t là dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
{ }
1
i
i
I I
≥
=
. Khi
ñ
ó, v
ố
n
ở
th
ờ

i k
ỳ

t

ñượ
c xác
ñị
nh nh
ư
sau

1
(1 ) ; 1,2,
t t t t t
U U I X Y t
−
= + + − =
(3.2)

15
trong
ñ
ó
0
o
U u
= >
,
u

là v
ố
n ban
ñầ
u c
ủ
a hãng b
ả
o hi
ể
m, dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{ }
1
i
i
X X
≥
=
,
dãy ti
ề
n
ñ
òi tr

ả
b
ả
o hi
ể
m
{
}
1
j
j
Y Y
≥
=
, dãy lãi su
ấ
t
{ }
1
k
k
I I
≥
=
và các dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
, ,

X Y I

là
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i nhau.
-Mô hình b
ả
o hi
ể
m t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t, không nh
ữ
ng v
ố
n c
ủ
a k
ỳ
tr

ướ
c mà c
ả
ti
ề
n
thu b
ả
o hi
ể
m
ở
k
ỳ
hi
ệ
n t
ạ
i c
ũ
ng
ñượ
c tính lãi su
ấ
t là dãy
{ }
1
i
i
I I

≥
=
. Khi
ñ
ó, v
ố
n
ở
th
ờ
i k
ỳ

t

ñượ
c
xác
ñị
nh nh
ư
sau

1
( )(1 ) ; 1, 2,
t t t t t
U U X I Y t
−
= + + − =
(3.3)

trong
ñ
ó
0
o
U u
= >
,
u
là v
ố
n ban
ñầ
u c
ủ
a hãng b
ả
o hi
ể
m, dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{ }
1
i
i

X X
≥
=
,
dãy ti
ề
n
ñ
òi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{
}
1
j
j
Y Y
≥
=
, dãy lãi su
ấ
t
{ }
1
k
k

I I
≥
=
và các dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
, ,
X Y I
là
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i nhau.
K
ế
t qu
ả
m
ở
r
ộ
ng cho mô hình (3.1)
ñượ
c công b
ố
trong công trình [4]. Trong ch

ươ
ng này, lu
ậ
n
án ch
ỉ
trình bày các k
ế
t qu
ả
m
ở
r
ộ
ng cho mô hình (3.2) và (3.3).
Để
xây d
ự
ng công th
ứ
c, chúng ta xét các gi
ả
thi
ế
t sau
Giả thiết 3.1.
v
ố
n ban
ñầ

u
o
U u
=
, th
ờ
i gian
t
nh
ậ
n giá tr
ị
nguyên d
ươ
ng.
Giả thiết 3.2.
Dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{ }
1
i
i
X X
≥
=

nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng trong
{
}
1 2 1 2
, , , ,(0 ),
X M M
G x x x x x x
= < < < <

X
là xích Markov thu
ầ
n nh
ấ
t v
ớ
i ma tr
ậ
n xác su
ấ
t
chuy
ể
n sau 1 b

ướ
c:
ij
MxM
P p
 
=
 



(
)
1
( 1,2, )
ij n j n i
p P X x X x n
+
= = = ∀ =
;
1
0 1; , : 1
M
ij i j X ij
j
p x x G p
=
≤ ≤ ∀ ∈ =
∑
.

Phân ph
ố
i ban
ñầ
u:
1
1
( ) ( ),0 1, 1
M
i i i X i i
i
P X x p x G p p
=
= = ∈ ≤ ≤ =
∑
.

Giả thiết 3.3.
Dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{ }
1
i

i
Y Y
≥
=
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng trong
{
}
1 2 1 2
, , , , (0 ),
Y N N
G y y y y y y
= < < < <

Y
là xích Markov thu
ầ
n nh
ấ
t v
ớ
i ma tr
ậ
n xác su
ấ

t
chuy
ể
n sau 1 b
ướ
c:
ij
NxN
Q q
 
=
 



(
)
1
( 1,2, )
ij n j n i
q P Y y Y y n
+
= = = ∀ =
;
1
0 1; , : 1
N
ij i j Y ij
j
q y y G q

=
≤ ≤ ∀ ∈ =
∑
.

16
Phân ph
ố
i ban
ñầ
u:
1
1
( ) ( ), 0 1, 1
N
i i i Y i i
i
P Y y q y G q q
=
= = ∈ ≤ ≤ =
∑
.

Giả thiết 3.4.
Dãy lãi su
ấ
t
{
}
1

n
n
I I
≥
=
là nh
ậ
n giá tr
ị
không âm trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n
{
}
1 2 1 2
, , , (0 ),
I R R
G i i i i i i I
= ≤ < < <
là xích Markov thu
ầ
n nh
ấ
t v
ớ
i ma tr

ậ
n xác su
ấ
t chuy
ể
n
sau 1 b
ướ
c:
kj
RxR
H r
 
=
 



(
)
1
( 1,2, )
kj n j n k
r P I i I i n
+
= = = ∀ =
;
1
0 1; , : 1
R

kj j k I kj
j
r i i G r
=
≤ ≤ ∀ ∈ =
∑
.
Phân ph
ố
i ban
ñầ
u:
1
1
( ) ( ),0 1, 1
R
k k k I k k
k
P Y i r i G r r
=
= = ∈ ≤ ≤ =
∑
.

Giả thiết 3.5.

, ,
X Y I
là
ñộ

c l
ậ
p v
ớ
i nhau.
Các gi
ả
thi
ế
t 3.6-3.10 chính là xét các gi
ả
thi
ế
t 3.1-3.5 trong tr
ườ
ng h
ợ
p thay dãy bi
ế
n ng
ẫ
u
nhiên ph
ụ
thu
ộ
c Markov b
ở
i dãy bi
ế

n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p không cùng phân ph
ố
i. Còn các gi
ả

thi
ế
t 3.11-3.15 chính là xét các gi
ả
thi
ế
t 3.1-3.5 trong tr
ườ
ng h
ợ
p thay dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên ph
ụ

thu
ộ

c Markov b
ở
i dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p.
Khi
ñ
ó, xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i, không thi
ệ
t h
ạ
i c
ủ
a mô hình (3.2)
ñế
n th
ờ
i

ñ
i
ể
m
t
l
ầ
n l
ượ
t
ñượ
c xác
ñị
nh nh
ư
sau

(1)
1
( ) ( ) ( 0)
t
t u j
j
u P T t P U
ψ
=
 
= ≤ = <
 
 

∪
,

(1) (1)
1
( ) 1 ( ) ( 1) ( 0)
t
t t u j
j
u u P T t P U
ϕ ψ
=
 
= − = ≥ + = ≥
 
 
∩
.
Xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i c
ủ
a mô hình (3.3)
ñế
n th
ờ

i
ñ
i
ể
m
t

l
ầ
n l
ượ
t xác
ñị
nh nh
ư
sau

(2)
1
( ) ( ) ( 0)
t
t u j
j
u P T t P U
ψ
=
 
= ≤ = <
 
 

∪
,
(2) (2)
1
( ) 1 ( ) ( 1) ( 0)
t
t t u j
j
u u P T t P U
ϕ ψ
=
 
= − = ≥ + = ≥
 
 
∩
.
Các k
ế
t qu
ả
c
ủ
a ch
ươ
ng 3 là các B
ổ

ñề
,

ñị
nh lý và h
ệ
qu
ả
sau.
Bổ ñề 3.1.
Cho s
ố
d
ươ
ng
u
, các dãy s
ố
d
ươ
ng
{ } { }
1 1
,
t t
i i
i i
x y
= =
và dãy s
ố
không âm
{

}
1
t
j
j
i
=
.
N
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i
p
nguyên d
ươ
ng mà
(1 1)
p t
≤ ≤ −
th
ỏ
a mãn

17
1
1
1 1

(1 ) ( ) (1 ) ,
p p
p
p k k k j p
k
k j k
y u i x y i x
−
=
= = +
≤ + + − + +
∑
∏ ∏
(3.4)
thì
1 1
1
1
1 1
(1 ) ( ) (1 ) 0.
p p
p
k k k j p
k
k j k
u i x y i x
+ +
+
=
= = +

+ + − + + >
∑
∏ ∏
(3.5)
Định lý 3.1.
N
ế
u mô hình (3.2) th
ỏ
a mãn các gi
ả
thi
ế
t 3.1 – 3.5 thì xác su
ấ
t không thi
ệ
t h
ạ
i
ñế
n
th
ờ
i
ñ
i
ể
m
t

ñượ
c tính theo công th
ứ
c
1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
1 2 1 2 1 1 2 2
(1)
, , , 1 , , , 1 1 1 1
( ) ,
t t t t t t
t t t t
R M
t c c c c c m m m m m n n n n n
c c c x x x n g n g n g
u r r r p p p q q q
ϕ
− − −
= = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
 
=
 
 
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
(3.6)

trong
ñ
ó
1 1

1
1 1
1
ax : min (1 ) ,
k
n c m N
k
g m n y u i x y
=
 
 
= ≤ + +
  
 
 
∏
,
2 2
2 2
1
2 2
1
1 1
ax : min (1 ) ( ) (1 ) ,
k k k j
n c m n c m N
k
k j k
g m n y u i x y i x y
=

= = +
 
 
  
= ≤ + + − + +
  
 
 
 
 
∑
∏ ∏
,

1
1
1 1
ax : min (1 ) ( ) (1 ) , .
t k k k j t
t t
t
t t n c m m c m N
k
k j k
g m n y u i x y i x y
−
=
= = +
 
 

  
= ≤ + + − + +
  
 
 
 
 
∑
∏ ∏

Hệ quả 3.1.
Xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i
ñế
n th
ờ
i
ñ
i
ể
m
t
c
ủ
a mô hình (3.2) v

ớ
i các gi
ả
thi
ế
t 3.1-3.5 là:
(1) (1)
( ) 1 ( )
t t
u u
ψ ϕ
= − =

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
1 2 1 2 1 1 2 2
, , , 1 , , , 1 1 1 1
1 .
t t t t t t
t t t t
R M
c c c c c m m m m m n n n n n
c c c m m m n g n g n g
r r r p p p q q q
− − −
= = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
 
−
 
 
∑ ∑ ∑ ∑ ∑

(3.7)
Bồ ñề 3.2.
Cho s
ố
d
ươ
ng
u
, các dãy s
ố
d
ươ
ng
{ } { }
1 1
,
t t
i i
i i
x y
= =
và dãy s
ố
không âm
{
}
1
t
j
j

i
=
.
N
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i
p
nguyên d
ươ
ng mà
(1 1)
p t
≤ ≤ −
th
ỏ
a mãn
1
1
1 1
(1 ) ( (1 ) ) (1 ) (1 ),
p p
p
p k k k k j p p
k
k j k
y u i x i y i x i

−
=
= = +
≤ + + + − + + +
∑
∏ ∏
(3.8)
thì

18
1
1 1
1
1 1
(1 ) ( (1 ) ) (1 ) (1 ) 0.
p p
p
k k k k j p p
k
k j k
u i x i y i x i
+
+ +
=
= = +
+ + + − + + + >
∑
∏ ∏
(3.9)
Định lý 3.2.

N
ế
u mô hình (3.3) th
ỏ
a mãn các gi
ả
thi
ế
t 3.1- 3.5 thì xác su
ấ
t không thi
ệ
t h
ạ
i
ñế
n
th
ờ
i
ñ
i
ể
m
t

ñượ
c tính theo công th
ứ
c

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
1 2 1 2 1 1 2 2
(2)
, , , 1 , , , 1 1 1 1
( ) ( ).( ) ,
t t t t t t
t t t t
R M
t c c c c c m mm m m n n n n n
c c c m m m n g n g n g
u r r r p p p q q q
ϕ
− − −
= = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
 
=
 
 
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
(3.10)
trong
ñ
ó,
1 1 1
1
1 1
1
max : min (1 ) (1 ),
k

n c m c N
k
g n y u i x i y
=
 
 
= ≤ + + +
  
 
 
∏
,
2 2 2
2 2
1
2 2
1
1 1
ax : min (1 ) ( (1 ) ) (1 ) (1 ), ,
k k k k j
n c m c n c m c N
k
k j k
g m n y u i x i y i x i y
=
= = +
 
 
  
= ≤ + + + − + + +

  
 
 
 
 
∑
∏ ∏


1
1
1 1
max : min (1 ) ( (1 ) ) (1 ) (1 ), .
t k k k k j t t
t t
t
t t n c m c n c m c N
k
k j k
g n y u i x i y i x i y
−
=
= = +
 
 
  
= ≤ + + + − + + +
  
 
 

 
 
∑
∏ ∏

Hệ quả 3.2.
Xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i
ñế
n th
ờ
i
ñ
i
ể
m
t
c
ủ
a mô hình (3.3) v
ớ
i các gi
ả
thi
ế

t 3.1-3.5 là:
(2) (2)
( ) 1 ( )
t t
u u
ψ ϕ
= − =

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
1 2 1 2 1 1 2 2
, , , 1 , , , 1 1 1 1
1 ( ).( ) .
t t t t t t
t t t t
R M
c c c c c m mm m m n n n n n
c c c m m m n g n g n g
r r r p p p q q q
− − −
= = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
 
= −
 
 
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
(3.11)
T
ừ
các
ñị

nh lý 3.1 và
ñị
nh lý 3.2 suy ra các công th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t không thi
ệ
t h
ạ
i
(thi
ệ
t h
ạ
i) c
ủ
a mô hình (3.2) và (3.3) v
ớ
i dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i và

ñộ
c l
ậ
p
không cùng phân ph
ố
i.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Trong ch
ươ
ng 3 c
ủ
a lu
ậ
n án, chúng tôi
ñ
ã xây d
ự
ng
ñượ
c công th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t
h
ạ
i (không thi

ệ
t h
ạ
i) cho mô hình t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
tv
ớ
i dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{
}
n
X X
=
, dãy ti
ề
n chi tr
ả
b

ả
o hi
ể
m
{
}
n
Y Y
=
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n, dãy lãi su
ấ
t
{
}
n
I I
=
nh

ậ
n giá tr
ị
không âm trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n, các dãy
X ,Y ,I
là
ñộ
c l
ậ
p. Các công th
ứ
c này

19
c
ũ
ng
ñượ
c m
ở
r
ộ
ng
ñố

i v
ớ
i dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i ho
ặ
c
ñộ
c l
ậ
p không
cùng phân ph
ố
i, ho
ặ
c ph
ụ
thu
ộ
c Markov. Các k
ế
t qu

ả
s
ố
c
ũ
ng
ñượ
c
ñư
a ra
ñể
minh h
ọ
a cho công
th
ứ
c lý thuy
ế
t. K
ế
t qu
ả
c
ủ
a ch
ươ
ng 3 c
ủ
a lu
ậ

n án có nh
ữ
ng
ñ
i
ể
m m
ớ
i so v
ớ
i các công trình
ñ
ã
công b
ố
v
ề
tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i) (ch
ẳ
ng h

ạ
n công trình c
ủ
a Hong,
N.T.T (2013)), th
ể
hi
ệ
n
ở
nh
ữ
ng
ñ
i
ể
m sau
ñ
ây:
1) Các mô hình lu
ậ
n án xét g
ồ
m mô hình (3.1), (3.2), (3.3)
ñề
u là các mô hình b
ả
o hi
ể
m có tác

ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t tái
ñầ
u t
ư
tín d
ụ
ng.
Đ
ây là tình hu
ố
ng th
ườ
ng g
ặ
p trong th
ự
c t
ế
. Các công trình
tr
ướ
c
ñ
ây
ñ

ã công b
ố
ch
ư
a xét t
ớ
i các mô hình b
ả
o hi
ể
m có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t nh
ư
mô hình
(3.1), (3.2) và (3.3).
Đ
ây c
ũ
ng là l
ầ
n
ñầ
u tiên xây d
ự
ng công th

ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t
h
ạ
i (xác su
ấ
t không thi
ệ
t h
ạ
i) cho mô hình b
ả
o hi
ể
m t
ổ
ng quát (3.1), (3.2), (3.3).
2)
Để
thi
ế
t l
ậ
p
ñượ
c công th

ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i) cho các mô hình
(3.2) và (3.3) c
ầ
n ph
ả
i s
ử
d
ụ
ng k
ế
t qu
ả
c
ủ
a B
ổ

ñề

3.1 và B
ổ

ñề
3.2.
3) Các công trình
ñ
ã công b
ố
ch
ỉ
d
ừ
ng l
ạ
i
ở
vi
ệ
c xét mô hình không có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t tái
ñầ
u t
ư
tín d

ụ
ng v
ớ
i dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên nh
ậ
n giá tr
ị
nguyên không âm. Lu
ậ
n án
ñ
ã xây d
ự
ng
ñượ
c các công th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h

ạ
i) c
ủ
a mô hình (3.2), (3.3) có
tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t m
ở
r
ộ
ng cho dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng tùy ý trong t
ậ
p h
ữ
u
h

ạ
n. K
ế
t qu
ả
này t
ạ
o c
ơ
s
ở
lý thuy
ế
t
ñể
m
ở
r
ộ
ng công th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i
(không thi
ệ

t h
ạ
i) c
ủ
a các mô hình (3.2) và (3.3) cho dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên liên t
ụ
c nh
ậ
n giá tr
ị

d
ươ
ng trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n.
4) V
ề
ch
ứ
ng minh k
ế

t qu
ả
chính c
ủ
a ch
ươ
ng 3 c
ủ
a lu
ậ
n án.
a) Xét mô hình t
ổ
ng quát không có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t (Hong, N.T.T. (2013))
1 1
t t
t i i
i i
U u X Y
= =
= + −
∑ ∑
(3.12)
V

ớ
i
{
}
i
X
là dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m,
{
}
i
Y
là dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m l
ầ
n l
ượ
t là các dãy

ñộ
c l
ậ
p
cùng phân ph
ố
i.
Đồ
ng th
ờ
i, các dãy
{
}
{
}
,
i i
X Y
nh
ậ
n giá tr
ị
nguyên t
ừ

0

ñế
n
M

;
,
u t
nh
ậ
n giá tr
ị

nguyên d
ươ
ng và
1 1
( ) ; ( ) ( 0, ).
k k
P X k p P Y k q i M
= = = = =

Khi
ñ
ó, xác su
ấ
t không thi
ệ
t h
ạ
i
ñế
n th
ờ
i k

ỳ

t
c
ủ
a mô hình (3.12)
ñượ
c tính theo công th
ứ
c

1 2 1 1 1 2
1 1 1
1 2 2
1
0 0
01
0

0
( ) .
t t t
i i
o
t t
H
t k k k k k i i i
k k M i k u
i i k ui t
k

i i k u
u q q q p p p
ψ
−
−
− −
≤ − ≤ ≤ < +
≤ + < +≤ ≤
=
≤ + + < +
=
∑ ∑
(3.13)

20
Cách ch
ứ
ng minh công th
ứ
c (3. 13) (theo Hong, N.T.T. (2013))
Tr
ướ
c h
ế
t, xác su
ấ
t không thi
ệ
t h
ạ

i
ñế
n th
ờ
i k
ỳ

t
c
ủ
a mô hình (3.12)

1
( ) ( ) ( 0)
t
H
t i
i
u P A P U
ψ
=
 
= = ≥
 
 
∩
.
Đặ
t các t
ổ

ng
1 1
; .
t t
t i t i t t t
i i
V X S Y U u V S
= =
= =
⇒
= + −
∑ ∑
Khi
ñ
ó
1 2 1 1 2 2
( 0) ( 0) ( 0) ( ) ( ) ( )
t t t
A U U U u V S u V S u V S
= ≥ ∩ ≥ ∩ ∩ ≥ = + > ∩ + > ∩ ∩ + ≥
M
ấ
u ch
ố
t ch
ứ
ng minh
ở

ñ

ây là do dãy
i
X
nh
ậ
n giá tr
ị
nguyên t
ừ

0

ñế
n M nên
i
V
nh
ậ
n giá tr
ị

nguyên d
ươ
ng t
ừ
0
ñế
n iM. Do v
ậ
y

i
V
gán nh
ậ
n giá tr
ị
b
ằ
ng
i
k
(
i
k

ñ
i t
ừ
0
ñế
n iM). Khi
ñ
ó

1 2 2
2
1 1 2 2 2
0 0 0
( ) ( ) ( ).
M M tM

t
k k k
A u k S u k S u k S
= = =
= + > ∩ + > ∩ ∩ + >
∪ ∪ ∪
(3.14)
Sau
ñ
ó c
ũ
ng do gi
ả
thi
ế
t
i
Y
nh
ậ
n giá tr
ị
nguyên t
ừ

0

ñế
n
M

nên
i
S

ñượ
c gán nh
ậ
n giá tr
ị
b
ằ
ng
i
h
(
i
h

ñ
i t
ừ

0

ñế
n
iM
). Cu
ố
i cùng, s

ẽ
xây d
ự
ng
ñượ
c công th
ứ
c (3.13).
b) Xét mô hình t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t h
ằ
ng s
ố
(xem [4])
1
1 1
(1 ) (1 ) (1 )
t t
t t i t i
t i i
i i
U u r X r Y r
− + −

= =
= + + + − +
∑ ∑
(3.15)
V
ớ
i gi
ả
thi
ế
t
, , ,
i i
u t X Y
nh
ậ
n giá tr
ị
nguyên d
ươ
ng, r lãi su
ấ
t nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng và
1 1

( ) ( 1, ); ( ) ( 1, ).
k k
P X k p k M P Y k q k N
= = = = = =

Khi
ñ
ó, xác su
ấ
t không thi
ệ
t h
ạ
i
ñế
n th
ờ
i k
ỳ

t

ñượ
c tính theo công th
ứ
c

1 2 1 2
1 2
, , 1

1 ( 1, )
( ) ,
t t
t
i i
M
Q
t x x x y y y
x x x
y g i t
u p p p p p p
ψ
=
≤ ≤ =
=
∑ ∑
(3.16)
Trong
ñ
ó,
[
]
{
}
1 1
min (1 ) (1 ) ,
g u r x r N
= + + + ,
2 1
2 3 2

2
1 1
min (1 ) (1 ) (1 ) ,
k k
k k
k k
g u r x r y r N
− −
= =
 
 
= + + + − +
 
 
 
 
∑ ∑
, (3.17)
…
1
1
1 1
min (1 ) (1 ) (1 ) ,
t t
t t k t k
t k k
k k
g u r x r y r N
−
+ − −

= =
 
 
= + + + − +
 
 
 
 
∑ ∑
,
[
]
1
(1 ) (1 )
u r x r
+ + +
là ph
ầ
n nguyên c
ủ
a
1
(1 ) (1 )
u r x r
+ + +
.

21
Bây gi
ờ

dùng cách
ñặ
t t
ổ
ng nh
ư
ch
ứ
ng minh c
ủ
a

Hong, N.T.T. (2013)
ñể
ch
ứ
ng minh ho
ặ
c xây
d
ự
ng công th
ứ
c tính xác su
ấ
t không thi
ệ
t h
ạ
i cho mô hình (3.15).

N
ế
u v
ớ
i cách
ñặ
t
1
1 1
(1 ) ; (1 ) (1 ) .
t t
t i t i t
t i t i t t t
i i
V X r S Y r U u r V S
− + −
= =
= + = +
⇒
= + + −
∑ ∑

Khi
ñ
ó

[ ]
1 2
2
1 1 2 2

( 0) ( 0) ( 0)
(1 ) (1 ) (1 ) .
t
t
t t
A U U U
u r V S u r V S u r V S
= ≥ ∩ ≥ ∩ ∩ ≥
   
= + + ≥ ∩ + + ≥ ∩ ∩ + + ≥
   

Ký hi
ệ
u:

{
}
1
ax : 1,2, ,
i
K m V i t
= =
{
}
2
ax : 1, 2, .
i
K m S i t
= =

Tuy nhiên do trong bi
ể
u th
ứ
c c
ủ
a
( 1, 2, )
j
V j t
= m
ỗ
i s
ố
h
ạ
ng có nhân t
ử

1
(1 )
j i
r
− +
+ nhân v
ớ
i
i
X

nên
j
V
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng tùy ý trong kho
ả
ng

1
(0, ]
K

nên không th
ể
gán
ñượ
c nh
ư
cách làm
ở

mô hình (3.12), trong bi
ể
u th

ứ
c c
ủ
a
( 1, 2, , )
j
S j t
= m
ỗ
i s
ố
h
ạ
ng có nhân t
ử

(1 )
j i
r
−
+ nhân v
ớ
i
i
Y
nên
j
S
nh
ậ

n giá tr
ị
d
ươ
ng tùy ý trong kho
ả
ng

2
(0, ]
K
nên không th
ể
gán
ñượ
c nh
ư
cách làm
ở

mô hình (3.12). Nh
ư
v
ậ
y cách
ñặ
t t
ổ
ng nh
ư

ch
ứ
ng minh c
ủ
a

Hong, N.T.T.

(2013)

không s
ử
d
ụ
ng
ñượ
c cho mô hình (3.16).
Chính vì v
ậ
y
ñể
ch
ứ
ng minh và xây d
ự
ng công th
ứ
c (3.17), lu
ậ
n án (xem [4]) ph

ả
i tách mô hình
(3.15) d
ướ
i d
ạ
ng

1
1
1 1
(1 ) (1 ) (1 )
t t
t t i t i
t i i t
i i
U u r X r Y r Y
−
− + −
= =
= + + + − + −
∑ ∑

Khi
ñ
ó

( ) ( ) ( )
1 2
1

: ( 0) 0 0 0
t
j t
j
A U U U U
=
= ≥ = ≥ ∩ ≥ ∩ ∩ ≥
∩

(
)
1 1
(1 ) (1 )
Y u r X r
= ≤ + + + ∩

2 1
2 3 2
2
1 1
(1 ) (1 ) (1 )
k k
k k
k k
Y u r X r Y r
− −
= =
 
≤ + + + − + ∩
 

 
∑ ∑

3 2
3 4 3
3
1 1
(1 ) (1 ) (1 )
k k
k k
k k
Y u r X r Y r
− −
= =
 
≤ + + + − + ∩
 
 
∑ ∑

1
1
1 1
(1 ) (1 ) (1 ) .
t t
t t k t k
t k k
k k
Y u r X r Y r
−

+ − −
= =
 
∩ ≤ + + + − +
 
 
∑ ∑
(3.18)
Sau
ñ
ó m
ớ
i s
ử
d
ụ
ng gi
ả
thi
ế
t
i
X
nguyên d
ươ
ng nh
ậ
n giá tr
ị
t

ừ

1

ñế
n
M
.T
ừ
(3.18) ta suy ra
ñ
i
ề
u
ki
ệ
n c
ủ
a
i
Y
và
ñồ
ng th
ờ
i
i
Y
nguyên d
ươ

ng nh
ậ
n giá tr
ị
t
ừ

1

ñế
n
N
. Do v
ậ
y,
1
Y
gán nh
ậ
n giá tr
ị


22
nguyên d
ươ
ng t
ừ

1

ñế
n
1
g
,
2
Y
gán nh
ậ
n giá tr
ị
nguyên d
ươ
ng t
ừ
1
ñế
n
2
g
, ….,
t
Y
gán nh
ậ
n giá
tr
ị
t

ừ
1
ñế
n
t
g
(v
ớ
i
i
g
xác
ñị
nh
ở
công th
ứ
c (3.17)).T
ừ

ñ
ó, xây d
ự
ng
ñượ
c công th
ứ
c (3.16). Chi
ti
ế

t ch
ứ
ng minh
ñượ
c trình bày trong công trình [4]. K
ế
t qu
ả
c
ủ
a công trình [4] (xem danh m
ụ
c
các công trình c
ủ
a tác gi
ả
lu
ậ
n án) có th
ể
m
ở
r
ộ
ng cho tr
ườ
ng h
ợ
p

,
i i
X Y
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng tùy ý
trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n.
c) Xét mô hình t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t (xem [1])
Ch
ẳ
ng h
ạ

n, xét mô hình
1
(1 ) ; 1, 2,
t t t t t
U U I X Y t
−
= + + − = (3.19)
Khi
ñ
ó, (3.19)
ñượ
c vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng
1
1 1
. (1 ) ( ) (1 )
t t
t
t k k k j
k
k j k
U u I X Y I
=
= = +
 

= + + − +
 
 
∑
∏ ∏

Khi
ñ
ó, xác su
ấ
t không thi
ệ
t h
ạ
i c
ủ
a mô hình (3.19) v
ớ
i dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên là xích Markov
thu
ầ
n nh
ấ
t
ñượ
c cho

ở
công th
ứ
c (3.9) c
ủ
a
ñị
nh lý 3.1
ở
ch
ươ
ng 3 c
ủ
a lu
ậ
n án.
Bây gi
ờ
dùng cách
ñặ
t t
ổ
ng nh
ư
ch
ứ
ng minh c
ủ
a

Hong, N.T.T.(2013)
ñể
ch
ứ
ng minh ho
ặ
c xây
d
ự
ng công th
ứ
c tính xác su
ấ
t không thi
ệ
t h
ạ
i cho mô hình (3.19).
Để
s
ử
d
ụ
ng
ñượ
c t
ổ
ng, ch
ẳ
ng

h
ạ
n ta vi
ế
t
1 1
1 1 1
. (1 ) (1 ) (1 )
t t t
t t
t k k j k j
k k
k j k j k
U u I X I Y I
= =
= = + = +
= + + + − +
∑ ∑
∏ ∏ ∏
,
t t t
V S P
= + −
(3.20)
ho
ặ
c
1 1
1 1 1
(1 ) (1 ) (1 )

t t t
t t
t k k j k j
k k
k j k j k
U u I X I Y I
= =
= = + = +
 
= + + + − +
 
 
∑ ∑
∏ ∏ ∏
.
t t
V P
= −
(3.21)

V
ớ
i cách
ñặ
t (3.20), ta có
( ) ( ) ( )
1 2
1
: ( 0) 0 0 0
t

j t
j
A U U U U
=
= ≥ = ≥ ∩ ≥ ∩ ∩ ≥
∩

(
)
1 1 1 2 2 2
( ) ( ) .
t t t
V S P V S P V S P
= + ≤ ∩ + ≤ ∩ + ≤

V
ớ
i cách
ñặ
t (3.21), ta có
( ) ( ) ( )
1 2
1
: ( 0) 0 0 0
t
j t
j
A U U U U
=
= ≥ = ≥ ∩ ≥ ∩ ∩ ≥

∩

(
)
1 1 2 2
( ) ( ) .
t t
V P V P V P
= ≤ ∩ ≤ ∩ ≤


23
Xét cách
ñặ
t (3.20), ký hi
ệ
u

{
}
1
ax 1, 2, ,
i
K m V i t
= =
{
}
2
ax : 1, 2, ,
i

K m S i t
= =
{
}
3
ax : 1,2, .
i
K m P i t
= =

Vì
,
i i
X Y
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng và
i
I
nh
ậ
n giá tr
ị
không âm nên
i
V

nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng tùy ý trong
kho
ả
ng
1
(0, ]
K
,
i
S
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng tùy ý trong kho
ả
ng
2
(0, ]
K
,
i

P
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng tùy ý
trong kho
ả
ng
3
(0, ]
K

nên không th
ể
s
ử
d
ụ
ng cách
ñặ
t t
ổ
ng nh
ư
ch
ứ
ng minh c

ủ
a

Hong, N.T.T.
(2013)
ñượ
c . T
ươ
ng t
ự
v
ớ
i cách
ñặ
t (3.21) ho
ặ
c các cách
ñặ
t t
ổ
ng khác
ñề
u không s
ử
d
ụ
ng
ñượ
c
nh

ư
ch
ứ
ng minh c
ủ
a

Hong, N.T.T. (2013).
Chính vì v
ậ
y,
ñể
xây d
ự
ng công th
ứ
c tính xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i), lu
ậ
n án tách mô
hình (3.20) d

ướ
i d
ạ
ng sau
1
1
1 1
. (1 ) ( ) (1 )
t t
t
t k k k j t t
k
k j k
U u I X Y I X Y
−
=
= = +
 
= + + − + + −
 
 
∑
∏ ∏
(3.22)
Khi
ñ
ó:
1
: ( 0)
t

j
j
A U
=
= ≥
∩
1
1 1
1
(1 )
k
k
Y u I X
=
 
= ≤ + + ∩
 
 
∏

2 2
1
2 2
1
1 1
(1 ) ( ) (1 )
k k k j
k
k j k
Y u I X Y I X

=
= = +
 
≤ + + − + + ∩
 
 
∑
∏ ∏

3 3
2
3 3
1
1 1
(1 ) ( ) (1 )
k k k j
k
k j k
Y u I X Y I X
=
= = +
 
≤ + + − + + ∩
 
 
∑
∏ ∏

1
1

1 1
(1 ) ( ) (1 ) .
t t
t
t k k k j t
k
k j k
Y u I X Y I X
−
=
= = +
 
∩ ≤ + + − + +
 
 
∑
∏ ∏
(3.23)

Sau
ñ
ó m
ớ
i s
ử
d
ụ
ng gi
ả
thi

ế
t
i
I
nh
ậ
n giá tr
ị
không âm trong t
ậ
p
{
}
1 2
, , , ,
I R
G i i i
=
m
ớ
i gán
i
I
nh
ậ
n giá tr
ị
t
ừ

1 2
, , , .
R
i i i
R
ồ
i do gi
ả
thi
ế
t
i
X
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng trong t
ậ
p
{
}
1 2
, , ,
X M
G x x x
=

m
ớ
i gán
i
X
nh
ậ
n giá tr
ị
t
ừ

1 2
, , , .
M
x x x
Cu
ố
i cùng t
ừ
công th
ứ
c (3.23) thu
ñượ
c các
ñ
i
ề
u ki
ệ

n
c
ủ
a
i
Y
và s
ử
d
ụ
ng
i
Y
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng trong t
ậ
p
{
}
1 2
, , ,
Y N
G y y y
=

ñể
cho
1
Y
nh
ậ
n giá tr
ị

d
ươ
ng t
ừ

1

ñế
n
1
g
,
2
Y
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng t

ừ
1
ñế
n
2
g
, ….,
t
Y
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng t
ừ
1
ñế
n
t
g

(v
ớ
i
i
g
xác
ñị

nh trong
ñị
nh lý 3.1). T
ừ

ñ
ó, xây d
ự
ng
ñượ
c công th
ứ
c (3.9) c
ủ
a
ñị
nh lý 3.1. Chi
ti
ế
t ch
ứ
ng minh
ñượ
c trình bày trong
ñị
nh lý 3.1
ở
m
ụ
c 3.1 ch

ươ
ng 3 c
ủ
a lu
ậ
n án.

24
V
ậ
y dùng ph
ươ
ng pháp ch
ứ
ng minh c
ủ
a lu
ậ
n án có th
ể
xây d
ự
ng và ch
ứ
ng minh
ñượ
c công th
ứ
c
tính xác su

ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i) cho mô hình t
ổ
ng quát (3.1), (3.2), (3.3).
Đồ
ng th
ờ
i c
ũ
ng
suy ra
ñượ
c công th
ứ
c tính xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ

t h
ạ
i) cho mô hình (3.12). C
ụ
th
ể
cho r =
0 (trong [4]) ho
ặ
c I
n
= 0 (trong [1]) thì có ngay công th
ứ
c tính xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i)
cho mô hình (3.46). Tuy nhiên dùng cách
ñặ
t t
ổ
ng nh
ư

ch
ứ
ng minh c
ủ
a Hong, N.T.T. (2013) ch
ỉ

xây d
ự
ng
ñượ
c công th
ứ
c tính xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i) cho mô hình (3.12) mà không
xây d
ự
ng
ñượ
c công th
ứ

c tính xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (ko thi
ệ
t h
ạ
i) cho mô hình (3.1), (3.2) và (3.3).

25
KẾT LUẬN CHUNG


Trong lu
ậ
n án, chúng tôi
ñ
ã thu
ñượ
c các k
ế
t qu
ả
m
ớ
i ch
ủ

y
ế
u sau
ñ
ây:
1.
Trong ch
ươ
ng 2 c
ủ
a lu
ậ
n án, chúng tôi nghiên c
ứ
u mô hình b
ả
o hi
ể
m t
ổ
ng quát v
ớ
i dãy bi
ế
n
ng
ẫ
u nhiên là xích Markov thu
ầ
n nh

ấ
t. Các công trình tr
ướ
c
ñ
ây ch
ỉ
d
ừ
ng l
ạ
i xây d
ự
ng b
ấ
t
ñẳ
ng
th
ứ
c Lundberg t
ổ
ng quát cho mô hình này v
ớ
i dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể

m và dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
là các dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i ho
ặ
c dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên ph
ụ
thu
ộ
c h

ồ
i quy.
S
ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp
ñệ
quy và ph
ươ
ng pháp Martingale, lu
ậ
n án l
ầ
n
ñầ
u tiên xây d
ự
ng
ñượ
c
các b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c

ướ
c l
ượ
ng xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i d
ướ
i d
ạ
ng hàm m
ũ
cho mô hình b
ả
o hi
ể
m t
ổ
ng
quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t trong tr
ườ

ng h
ợ
p: dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{
}
n
X X
=
, dãy ti
ề
n chi tr
ả

b
ả
o hi
ể
m
{
}
n
Y Y
=
là các xích Markov thu

ầ
n nh
ấ
t không âm, còn dãy lãi su
ấ
t
{
}
n
I I
=
là dãy
bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên liên t
ụ
c nh
ậ
n giá tr
ị
không âm,
ñộ
c l
ậ
p, cùng phân ph
ố
i, các dãy
X ,Y ,I

ñề
u
ñộ
c
l
ậ
p v
ớ
i nhau. K
ế
t qu
ả
s
ố
minh h
ọ
a cho các
ướ
c l
ượ
ng ch
ặ
n trên cho các xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i c

ủ
a các
mô hình
ñ
ó c
ũ
ng
ñượ
c gi
ớ
i thi
ệ
u trong ch
ươ
ng này.
K
ế
t qu
ả
chính c
ủ
a ch
ươ
ng này là các
ñị
nh lý 2.1
ñế
n
ñị
nh lý 2.6.

2.
Trong ch
ươ
ng 3 c
ủ
a lu
ậ
n án, chúng tôi
ñ
ã m
ở
r
ộ
ng
ñượ
c các k
ế
t qu
ả
c
ủ
a Hong, N.T.T.(2013),
lu
ậ
n án l
ầ
n
ñầ
u tiên xây d
ự

ng
ñượ
c công th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i)
cho mô hình t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t b
ấ
t k
ỳ
v
ớ
i dãy ti

ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{
}
n
X X
=
, dãy
ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{
}
n
Y Y
=
nh
ậ
n giá tr
ị

d
ươ
ng trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n, dãy lãi su
ấ
t
{
}
n
I I
=
nh
ậ
n
giá tr
ị
không âm trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n, các dãy
X ,Y ,I
là

ñộ
c l
ậ
p. Các công th
ứ
c tính chính xác
xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i)
ñượ
c
ñư
a ra trong lu
ậ
n án
ñề
u xem xét
ñố
i v
ớ
i các tr
ườ

ng
h
ợ
p: dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i ho
ặ
c
ñộ
c l
ậ
p không cùng phân ph
ố
i, ho
ặ
c ph
ụ

thu
ộ
c Markov. Các mô hình lu
ậ

n án xét g
ồ
m mô hình (3.1), (3.2), (3.3)
ñề
u là các mô hình b
ả
o
hi
ể
m có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t tái
ñầ
u t
ư
tín d
ụ
ng.
Đ
ây là tình hu
ố
ng th
ườ
ng g
ặ
p trong th

ự
c t
ế
.
Bên c
ạ
nh
ñ
ó, các công th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i) c
ủ
a mô hình (3.2),
(3.3)
ñượ
c m
ở
r
ộ
ng cho dãy bi

ế
n ng
ẫ
u nhiên nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng tùy ý trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n. K
ế
t qu
ả

này t
ạ
o c
ơ
s
ở
lý thuy
ế
t
ñể

m
ở
r
ộ
ng công th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i)
c
ủ
a các mô hình
ñ
ó cho dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên liên t
ụ
c nh
ậ
n giá tr

ị
d
ươ
ng trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n.