tính giải được và các tính chất của nghiệm của một số bài toán biên phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
        
NGUYỄN ANH TRIẾT
TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT
CỦA NGHIỆM CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN
BIÊN PHI TUYẾN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2013
Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh
        
Người hướng dẫn khoa học
1. PGS. TS. LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC
2. PGS. TS. NGUYỄN HỘI NGHĨA
Phản biện 1: GS. TSKH. ĐỖ CÔNG KHANH
Phản biện 2: GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG
Phản biện 3: PGS. TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC
Phản biện độc lập 1: PGS. TS. PHẠM HOÀNG QUÂN
Phản biện độc lập 2: TS. ĐẶNG VŨ GIANG
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp cơ sở đào tạo họp tại
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh
vào lúc giờ tháng năm 2013
Có thể tìm luận án trên tại các thư viện:
 Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh
 Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh
Mở đầu
Phương trình đạo hàm riêng (PTĐHR) được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa
thế kỷ XVIII trong các công trình của những nhà toán học như Leonhard Paul Euler

(1707-1783), Jean le Rond d’Alembert (1717-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-
1813) và Pierre-Simon de Laplace (1749 -1827) như là một công cụ quan trọng để
mô tả các mô hình của vật lý và cơ học. Từ đó đến nay, lý thuyết PTĐHR đã phát
triển không ngừng và đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực toán học lý thuyết cũng
như trong lĩnh vực toán ứng dụng, thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học trong
nhiều lĩnh vực, làm nảy sinh nhiều phương pháp (PP) hữu hiệu để giải quyết các BT
cho PTĐHR như PP Fourier, PP Galerkin,
Một trong những bài toán (BT) thuộc lý thuyết PTĐHR được nghiên cứu sâu
rộng bởi nhiều nhà toán học là BT giá trị biên cho phương trình (PT) sóng liên kết
với các loại điều kiện biên (ĐKB) khác nhau xuất hiện trong các BT thực tế, chẳng
hạn trong BT mô tả dao động của một vật đàn hồi với các ràng buộc phi tuyến ở
bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt
tựa trên một nền đàn nhớt. Năm 1747, xuất phát từ việc nghiên cứu các dao động
bé của một sợi dây đàn hồi với hai đầu cố định, D’Alembert đưa ra PT dao động
của một dây và nhận được công thức biểu diễn nghiệm của nó. Mô hình toán học
cho BT này, do D’Alembert đề nghị, có dạng
∂
2
u
∂t
2
= c
2
∂
2
u
∂x
2
, (1)
trong đó u

(
x, t
)
là độ lệch của sợi dây so với vị trí cân bằng tại điểm x ở thời điểm
t, trong đó c
2
là một hằng số dư ơng.
Cũng với việc mô tả dao động dao động bé của một sợi dây đàn hồi, một PT
khác dưới đây tổng quát hơn (1) đã được thiết lập bởi Kirchhoff [Vorlesungen
¨
uber
Mathematische Physik: Mechanik, Teuber, Leipzig, 1876, Section 29.7]
ρhu
tt
=

P
0
+
Eh
2L
Z
L
0




∂u
∂y

(y, t)




2
dy
!
u
xx
, (2)
trong đó u là độ lệch của sợi dây so với vị trí cân bằng, L là chiều dài sợi dây, h diện
tích thiết diện, E là module Young của vật liệu cấu tạo sợi dây, ρ là khối lượng riêng
và P
0
là lực căng ban đầu. PT này là nới rộng của P T cổ điển D’Alembert mà có
xem xét đến ảnh hưởng của sự biến đổi chiều dài của sợi dây trong quá trình dao
động.
Một dạng khác với PT (2) để mô tả dao động dao động bé của một sợi dây đàn
1
hồi, Carrier [Quart. J. Appl. Math. 3(1945) 157–165] cũng thiết lập PT dạng
u
tt
=

P
0
+ P
1
Z

L
0
u
2
(y, t)dy

u
xx
, (3)
trong đó P
0
, P
1
là các hằng số dương có ý nghĩa Cơ học nào đó.
Cho đến nay BT dao động của vật liệu đàn hồi vẫn được sự quan tâm rộng rãi
của nhiều nhà toán học. Nhiều kết quả định tính và định lượng liên quan đến các
PT sóng phi tuyến kết hợp với các ĐKB khác nhau đã được đ ề cập nhiều trong các
công trình nghiên cứu của nhiều tác giả trong những năm gần đây.
Một trong các nghiên cứu cổ điển đầu tiên dành riêng cho PT Kirchhoff đã
được đưa ra bởi Pohozaev [Math. USSR. Sb. 25(1975) 145–158]. Sau khi công trình
của Lions xuất hiện [On some questions in boundary value problems of mathemat-
ical physics, in: G. de la Penha, L. A. Medeiros (Eds.), International Symposium
on Continuum, Mechanics and Partial Differential Equations, Rio de Janeiro 1977,
Mathematics Studies, vol. 30, North-Holland, Amsterdam, 1978, pp. 284-346], PT
(2) đã nhận được nhiều sự chú ý và sự tổng quát hoá nó thành các PT trừu
tượng đã được đề xuất, ta có thể tìm thấy dạng PT này trong nhiều bài báo,
chẳng hạn như, Cavalcanti et. al. [Adv. Differential Equat. 6 (6)(2001) 701–730]; Ebi-
hara, Medeiros và Miranda [Nonlinear Anal. TMA. 10 (1986) 27-40]; Miranda et.
al. [Comm. Partial Differential Equat. 24 (9–10)(1999) 1759–1800]; Lasiecka và Ong
[Comm. Partial Differential Equat. 24(11-12)(1999) 2069–2108]; Hosoya, Yamada [J.

Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA, Math. 38 (1991) 225–238]; Larkin [Mathematical Prob.
in Eng. 8 (2002) 15–31]; Medeiros [Comp. Appl. Math. 13(1994) 225–233]; Menzala
[Appl. Anal. 10(1980) 179–195]; Park et. al. [Nonlinear Anal. TMA. 50(7)(2002) 871
– 884]; Rabello et. al. [Rev. Mat. Complutent, 16(2003) 179–206]; Santos et. al. [Non-
linear Anal. TMA. 54(2003) 959–976]; Long e t. al. [J. Math. Anal. Appl. 274(1)(2002)
102–123; 267(1)(2002) 116–134; 292(2)(2004) 433–458; 306(1)(2005) 243–268; Non-
linear Anal. TMA. 55(5)(2003) 493–519; 58(7-8)(2004) 933–959]; Ngọc et. al. [Nonlin-
ear Anal. RWA. 11(4)(2010) 2479–2510; 11(5)(2010) 3363–3388; 13(2)(2012) 817–839;
Acta Applicandae Math. 112(2)(2010) 137–169; Acta Math. Viet. 35(2)(2010) 207–227;
Demonstratio Math. 43(3)(2010) 605–634]; Trường et. al. [Nonlinear Anal. TMA. 71(1-
2)(2009) 467–484; Applied Math. Comput. 215(5)(2009) 1908–1925], cùng các tài liệu
tham khảo trong đó. Tổng quan các kết quả về khía cạnh toán học củ a mô hình
Kirchhoff có thể được tìm thấy trong Medeiros, Limaco và Menezes [J. Comput. Anal.
Appl. 4(2)(2002) 91–127; 4(3)(2002) 211– 263].
Ngoài những công trình đó, nhiều BT biên với các dạng ĐKB cụ thể khác đã và
2
đang được nghiên cứu và hiển nhiên rằng khi xét đến các BT cụ thể thì còn nhiều
dạng BT vẫn là bài toán mở - cần tiếp tục khảo sát. Thực tế cho thấy rằng, có rất
nhiều dạng BT biên cho PT sóng nói riêng và PTĐHR nói chung và không tồn tại
một PP chung nào để giải được tất cả các BT đó. Chính vì vậy, đề tài luận án chúng
tôi nghiên cứu "Tính giải được và các tính chất của nghiệm của một số bài toán
biên phi tuyến" là cần thiết và có ý nghĩa về mặt lý thuyết và áp dụng.
Tiếp nối các kết quả đã có cho PT sóng, trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu
ba BT biên cụ thể cho ba dạng PT sóng phi tuyến. Các kết quả thu được là mới và
sẽ trình bày trong ba chương 1, 2 và 3.
Trước hết, xuất phát từ các BT cho P T Kirchhoff nêu trên, hai dạng PT sóng
kiểu Kirchhoff sẽ được xét trong Chương 1 và Chương 2. Bằng công cụ chính là PP
xấp xỉ tuyến tính liên hệ với PP Galerkin, các kết quả về tồn tại và duy nhất nghiệm,
về khai triển tiệm cận (KTTC) của nghiệm được chứng minh. Cụ thể như sau
Chương 1 chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương của

BT
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
u
tt

∂
∂x
h
µ(x, t, u,
k
u
x
+ ψ
k
2
)u
x
i

= f (x, t, u, u
x
, u
t
,
k
u
x
+ ψ
k
2
),
0 < x < 1, 0 < t < T,
u(0, t) = g
0
(t), u(1, t) = g
1
(t),
u
(
x, 0
)
=
˜
u
0
(
x
)
, u

t
(
x, 0
)
=
˜
u
1
(
x
)
,
(4)
trong đó
˜
u
0
,
˜
u
1
, µ, ψ, f , g
0
, g
1
là các hàm số cho trước. Khi các hàm µ, f lần lượt
được thay bởi các h àm có nhiễu
(
¯
µ

ε
= µ(x, t, u,
k
u
x
+ ψ
k
2
) +
∑
p
i=1
ε
i
µ
i
(x, t, u,
k
u
x
+ ψ
k
2
),
¯
f
ε
= f (x, t, u, u
x
, u

t
,
k
u
x
+ ψ
k
2
) +
∑
p
i=1
ε
i
f
i
(x, t, u, u
x
, u
t
,
k
u
x
+ ψ
k
2
),
(5)
ở đây các hàm ψ, µ, µ

i
, f , f
i
cho trước, ta có BT nhiễu theo p tham số bé ε = (ε
1
, ε
p
)
u
tt

∂
∂x
h
¯
µ
ε
(x, t, u,
k
u
x
+ ψ
k
2
)u
x
i
=
¯
f

ε
(x, t, u, u
x
, u
t
,
k
u
x
+ ψ
k
2
), (6)
0 < x < 1, 0 < t < T, liên kết với ĐKB và điều kiện đầu (4)
2,3
. Với tính trơn thích
hợp của các hàm ψ, µ, f , µ
i
, f
i
(i = 1, , p), một KTTC của nghiệm BT (4)
2,3
, (6)
theo p tham số bé ε
1
, ε
p
được thiết lập.
Kết quả thu được trong phần này đã công bố trong [T2], ứng với trường hợp riêng
ψ = 0 và f = f (x , t, u, u

x
, u
t
), f
i
= f
i
(x, t, u, u
x
, u
t
).
Đặc biệt, kết quả này cũng chính là sự phát triển c ác kết quả trong [T5] về tồn tại
duy nhất nghiệm và KTTC của nghiệm theo nhiều tham số bé, với việc vận dụng các
kỹ thuật tính toán trong [T5] cho BT (4) ứng với ψ = 0, µ = µ(u,
k
u
x
k
2
) và ĐKB
3
Dirichlet (4)
2
thay bởi ĐKB Neumann - Dirichlet: u
x
(0, t) = g
0
(t), u(1, t) = g
1

(t).
Chương 2 khảo sát BT sau đ ây cho PT sóng phi tuyến Kirchhoff - Carrier với
ĐKB Robin
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
u
tt

∂
∂x
h
µ(x, t, u,
k
u + Φ
k
2
,
k
u

x
+ ψ
k
2
)u
x
i
= f (x, t, u, u
x
, u
t
,
k
u + Φ
k
2
,
k
u
x
+ ψ
k
2
), 0 < x < 1, 0 < t < T,
u
x
(0, t) h
0
u(0, t) = g
0

(t), u
x
(1, t) + h
1
u(1, t) = g
1
(t),
u
(
x, 0
)
=
˜
u
0
(
x
)
, u
t
(
x, 0
)
=
˜
u
1
(
x
)

,
(7)
trong đó
˜
u
0
,
˜
u
1
, µ, f , g
0
, g
1
, Φ, ψ là các hàm số cho trước, h
0
 0, h
1
 0 là các
hằng số cho trước, với h
0
+ h
1
> 0. Với các PP tương tự Chương 1 cùng nhiều kỹ
thuật tính toán, kết quả thu được ở Chương 2 cho BT (7) tương tự Chương 1 cho
BT (4). Trường hợp riêng của BT (7) ứng với f = f (x , t, u, u
x
, u
t
) đã được công bố

trong [T3].
Mặt khác, kết quả này cũng là sự phát triển các kết quả trong [T4], kết hợp
sự điều chỉnh và cải tiến các kỹ thuật đã sử dụng trong [T4] cho BT (7) ứng với
Φ = ψ = 0 và ĐKB Robin (7)
2
được thay bởi ĐKB hỗn hợp Dirichlet - Robin:
u
x
(0, t) h
0
u(0, t) = g
0
(t), u(1, t) = g
1
(t).
Cuối cùng, Chương 3 nghiên cứu tính giải được và một số tính chất của nghiệm
của BT biên sau đây cho PT sóng phi tuyến
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
u
tt


∂
∂x
(
µ(x, t)u
x
)
+ f (u, u
t
) = F(x, t), 0 < x < 1, 0 < t < T,
(1)
i
µ(i, t)u
x
(i, t) = K
i
j
u(i, t)
j
p
i
2
u(i, t) + λ
i
j
u
t
(i, t)
j
q

i
2
u
t
(i, t)
+g
i
(t) +
R
t
0
k
i
(t  s)
j
u(i, s)
j
r
i
2
u(i, s)ds , i = 0, 1,
u
(
x, 0
)
=
˜
u
0
(

x
)
, u
t
(
x, 0
)
=
˜
u
1
(
x
)
,
(8)
trong đó f (u, u
t
) = Kjuj
p2
u + λju
t
j
q2
u
t
, với K
i
 0, λ
i

> 0, p
i
, q
i
, r
i
> 1 là các
hằng số cho trước và
˜
u
0
,
˜
u
1
, µ, F, g
0
, g
1
, k
0
, k
1
là các hàm số cho trước thoả một số
điều kiện thích hợp. BT thuộc dạng này có nhiều ý nghĩa trong Cơ học, Vật lý học và
đã được đề cập trong các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả từ trước đến nay.
Chẳng hạn như, An, Triều [J. Mech. NCSR. Vietnam, 13(2)(1991) 1–7]; Bergounioux
et. al. [Nonlinear Anal. TMA. 43(5)(2001) 547–561]; Cavalcanti et. al. [Southeast Asian
Bulletin of Math. 24(2000) 183–199; Electron. J. Differential Equat. 2002(44)(2002) 1–
14]; Long, Định và Diễm [Bound. Value Probl. 2005(3) 337–358]; Long, Ngọc [J. Math.

Anal. Appl. 385(2)(2012) 1070–1093]; Ngọc et. al. [Nonlinear Anal. TMA. 70(11)(2009)
3943–3965; Nonlinear Anal. RWA. 12(1)(2011) 69–92; Acta Math. Viet. 36 (2)(2011)
345–374; Comm. on Pure and Appl. Anal. 12(5)(2013) 2001-2029]; Rivera et. al. [Math.
Meth. Appl. Sci. 23(2000) 41–61]; Santos [Electronic J. Diff. Equat. 2001(73)(2001) 1–11;
4
2002(38)(2002) 1–17]; Trường et. al. [Nonlinear Anal. RWA. 11(3)(2010) 1289–1303;
Nonlinear Anal. TMA. 74(18)(2011) 6933–6949], và các tài liệu tham khảo trong đó.
Trong các công trình này, sự tồn tại và duy nhất nghiệm, tính trơn, tính ổn định và
KTTC, kể cả tính tắt dần của nghiệm đã được nghiên cứu.
Với µ(x, t)  1 hay µ(x, t)  µ(t), bài toán (8) cũng được nghiên cứu bởi nhiều
tác giả.
Trong [J. Mech. NCSR. Vietnam, 13(2)(1991) 1–7] An, Triều đã xét một trường
hợp riêng của BT (8)
1,3
liên kết với ĐKB
(
u
x
(0, t) = g
0
(t) + h
0
u(0, t) +
R
t
0
k
0
(
t s

)
u
(
0, s
)
ds,
u(1, t) = 0,
(9)
với µ(x, t)  1, F =
˜
u
0
=
˜
u
1
= 0, p = q = p
i
= q
i
= r
i
= 2 và f (u, u
t
) = Ku + λu
t
,
với h
0
, K  0, λ  0 là các hằng số cho trước. Đây là mô hình toán học mô tả va

chạm của một vật rắn vào một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền
cứng.
Một trường hợp riệng khác của BT (8)
1,3
liên kết với ĐKB tuyến tính tại x = 1
đã được khảo sát bởi Bergounioux, Long và Định [Nonlinear Anal. TMA. 43(5)(2001)
547–561]
(
u
x
(0, t) = g
0
(t) + h
0
u(0, t) +
R
t
0
k
0
(
t s
)
u
(
0, s
)
ds,
u
x

(1, t) + λ
1
u
t
(1, t) + K
1
u(1, t) = 0,
(10)
với µ(x, t)  1, g
1
(t) = k
1
(t) = 0, p = q = p
i
= q
i
= r
i
= 2 và f (u, u
t
) = Ku + λu
t
,
với h
0
, K  0, λ  0, λ
1
> 0, K
1
 0 là các hằng số cho trước. Và đây chính là mô

hình toán học mô tả va chạm của một vật rắn vào một thanh đàn hồi nhớt tuyến
tính tựa trên một n ền đàn hồi nhớt tuyến tính.
BT (8) cũng được xét trong [T1] với f (u, u
t
) tuyến tính, tức là f (u, u
t
) = Ku +
λu
t
, với K  0, λ > 0 là các hằng số cho trước. Ở đây, sự tồn tại toàn cục, tính duy
nhất, tính trơn của nghiệm yếu và KTTC của nghiệm theo hai tham số λ, K được
chứng minh.
Bằng PP Faedo-Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm, sử dụng sự hội
tụ yếu thông qua các định lý nhúng compact và PP đơn điệu, Chương 3 đã nới rộng
kết quả thu được trong [T1] cho f (u, u
t
) là phi tuyến, với f (u, u
t
) = Kjuj
p2
u +
λju
t
j
q2
u
t
.
Toàn bộ nội dung chính của luận án là nới rộng và kế thừa các kết quả đã công
bố trong [T1]-[T5]. Ngoài ra, PP và kỹ thuật về KTTC cho các BT biên phi tuyến

được sử dụng trong toàn bộ luận án cũng được công bố trong [T6]. Nội dung của
luận án đã được báo cáo một phần tại Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha
5
Trang, 10-14/08/2013 và một số hội nghị khoa học khác do một số Trường đại học
tổ chức.
Để nhận được các kết quả trong luận án này, các công cụ của giải tích hàm phi
tuyến đ ã được áp dụng. Ngoài các khái niệm và tính chất cần thiết đặc thù cho mỗi
dạng BT sẽ được nêu rõ trong mỗi chương, để tiện theo dõi, sau đây chúng tôi sẽ nêu
các ký hiệu và các không gian hàm sử dụn g trong suốt luận án nầy.
Các không gian hàm thông dụng. Luận án sử dụng các không gian hàm s au
W
m,p
(
0, T
)
, L
p
(
0, T
)
= W
0,p
(
0, T
)
, H
m
(
0, T
)

; W
m,p
(
Q
T
)
, L
p
(
Q
T
)
, H
m
(
Q
T
)
, ,
Q
T
= Ω 
(
0, 1
)
, và có viết lại ký hiệu cho gọn hơn trong trường hợp Ω = (0, 1) :
W
m,p
= W
m,p

(0, 1), L
p
= L
p
(0, 1), H
m
= W
m,2
(
0, 1
)
, 1  p  ∞, m = 0, 1,
Có thể xem định nghĩa các không gian hàm này trong hai tài liệu H. Brézis [Func-
tional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer New York
Dordrecht Heidelberg London, 2010]; J.L. Lions [Quelques méthodes de résolution des
problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier – Villars 1969, Paris].
Xét riêng không gian L
2
, chuẩn được ký hiệu bởi
k

k
. Ký h iệu h, i để chỉ tích
vô hướng trong L
2
hoặc tích đối ngẫu của các hàm tuyến tính liên tục với một phần
tử của không gian hàm.
Không gian L
p
(

0, T; X
)
, 1  p  ∞. Cho không gian Banach X với chuẩn
k

k
X
. Ta ký hiệu L
p
(
0, T; X
)
, 1  p  ∞, để chỉ không gian Banach của các hàm
u :
(
0, T
)
! X đo được, sao cho
k
u
k
L
p
(
0,T;X
)
< +∞, trong đó
k
u
k

L
p
(
0,T;X
)
=
8
>
<
>
:

R
T
0
k
u
(
t
)
k
p
X
dt

1/p
, nếu 1  p < ∞,
esssup
0<t<T
k

u
(
t
)
k
X
, nếu p = ∞.
Liên quan đến đa chỉ số và đơn thức nhiều biến, ta sử dụng các ký hiệu sau
8
>
>
<
>
>
:
α = (α
1
, , α
p
) 2 Z
p
+
,
j
α
j
= α
1
+ + α
p

, α! = α
1
! α
p
!,
α, β 2 Z
p
+
, α  β () α
i
 β
i
8i = 1, , p;
ε = (ε
1
, , ε
p
) 2 R
p
,
k
ε
k
=
q
ε
2
1
+ + ε
2

p
, ε
α
= ε
α
1
1
ε
α
p
p
.
Khi lấy lũy thừa bậc m của một đa thức theo p biến ε
1
, , ε
p
, ta có kết quả sau:
Bổ đề 1. Cho m, N 2 N và u
α
2 R, α 2 Z
p
+
, 1 
j
α
j
 N . Khi đó

∑
1

j
α
j
N
u
α
ε
α
!
m
=
∑
m
j
α
j
mN
T
(
m
)
N
[
~
u
]
α
ε
α
,

trong đó các hệ số T
(
m
)
N
[
~
u
]
α
phụ thuộc vào họ
~
u =
f
u
α
: 1 
j
α
j
 N
g
được xác định bởi
6
T
(
1
)
N
[

~
u
]
α
= u
α
, 1 
j
α
j
 N , m = 1,
T
(
m
)
N
[
~
u
]
α
=
∑
β2A
(m)
α
(N)
u
αβ
T

(m1)
N
[
~
u
]
β
, m  α  mN, m  2,
trong đó A
(m)
α
(N) = fβ 2 Z
p
+
: β  α, 1 
j
α  β
j
 N , m 1 
j
β
j

(
m 1
)
Ng.
Chứng minh của Bổ đề 1 có thể tìm thấy trong Long, Truong [Nonlinear Anal.
TMA. 67 (3) 842 – 864].
Chương 1

PT sóng kiểu Kirchhoff liên kết với ĐKB Dir ichlet
Chương này khảo sát BT sau
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
u
tt

∂
∂x
h
µ(x, t, u,
k
u
x
(
t
)
+ ψ(t)
k

2
)u
x
i
= f (x, t, u, u
x
, u
t
,
k
u
x
(
t
)
+ ψ
(
t
)
k
2
), 0 < x < 1, 0 < t < T,
u
(
0, t
)
= g
0
(
t

)
, u
(
1, t
)
= g
1
(
t
)
,
u
(
x, 0
)
=
˜
u
0
(
x
)
, u
t
(
x, 0
)
=
˜
u

1
(
x
)
,
(1.0.1)
trong đó các hàm
˜
u
0
2 H
2
,
˜
u
1
2 H
1
, ψ 2 C
1
([
0, 1
]
R
+
)
, µ 2 C
2
([0, 1]  R
+


R  R
+
), µ  µ
0
> 0, f 2 C
1
(Ω  R
+
 R
3
 R
+
), g
0
, g
1
2 C
3
(
R
+
)
là các hàm
cho trước và
k
u
x
(
t

)
+ ψ
(
t
)
k
2
=
R
1
0
j
u
x
(
x, t
)
+ ψ
(
x, t
)
j
2
dx. Trước hết, BT (1.0.1)
được đưa về BT với ĐKB thuần nhất và sau đó với các điều kiện phù hợp, sự tồn
tại nghiệm và KTTC của n ghiệm theo các tham số bé xuất hiện trong PT được
thiết lập. Trong chương nầy chúng tôi sử dụng PP xấp xỉ tuyến tính. Ý tưởng của
PP này như sau: Trước hết, với mỗi hàm w = w(x, t) thuộc vào một không gian
hàm thích hợp X, với một số giả thiết phù hợp ta thu được một nghiệm duy nhất
u 2 X của BT (1.0.1) tương ứng với µ = µ(x, t, w(x, t),

k
w
x
(t) + ψ(t)
k
2
) =
¯
µ(x, t)
và f = f (x, t, w, w
x
, w
t
,
k
w
x
+ ψ(t)
k
2
) =
¯
f (x, t). Dĩ nhiên u phụ thuộc vào w, nên
có thể giả sử rằng u = A(w). Từ đó, BT (1.0.1) được đưa về BT tìm điểm bất động
của toán tử A : X ! X. Dựa vào ý tưởng này, với số hạng đầu u
0
được chọn, ta xây
dựng dãy lặp fu
m
g theo công thức u

m
= A(u
m1
), m = 1, 2, , sao cho fu
m
g hội tụ
về nghiệm của BT, khi đó ta thu được kết quả về tồn tại nghiệm.
7
1.1 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu
Thực hiện phép ẩn hàm u 7! v = u  ϕ, với ϕ
(
x, t
)
=
(
1  x
)
g
0
(
t
)
+ xg
1
(
t
)
,
BT (1.0.1) được đưa về BT có ĐKB thuần nhất có cùng dạng với (1.0.1) như sau
8

>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
v
tt

∂
∂x
h
¯
µ(x, t, v,
k
v
x
(
t
)
+
¯
ψ(t)
k

2
)v
x
i
=
¯
f (x, t, v, v
x
, v
t
,
k
v
x
(
t
)
+
¯
ψ(t)
k
2
), 0 < x < 1, 0 < t < T ,
v
(
0, t
)
= v
(
1, t

)
= 0,
v
(
x, 0
)
=
˜
v
0
(
x
)
, v
t
(
x, 0
)
=
˜
v
1
(
x
)
,
(1.1.1)
trong đó
8
>

>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
¯
ψ(x, t) = ϕ
x
(
t

)
+ ψ(x, t),
¯
µ
(
x, t, v, z
)
= µ
(
x, t, v + ϕ
(
x, t
)
, z
)
,
¯
f
(
x, t, v, v
x
, v
t
, z
)
= f
(
x, t, v + ϕ
(
x, t

)
, v
x
+ ϕ
x
(
x, t
)
, v
t
+ ϕ
t
(
x, t
)
, z
)
+ϕ
x
(
t
)
∂
∂x
[
µ
(
x, t, v + ϕ
(
x, t

)
, z
)]
 ϕ
tt
(x, t),
˜
v
0
(
x
)
=
˜
u
0
(
x
)
 ϕ
(
x, 0
)
,
˜
v
1
(
x
)

=
˜
u
1
(
x
)
 ϕ
t
(
x, 0
)
,
˜
v
0
2 H
1
0
\ H
2
,
˜
v
1
2 H
1
0
,
¯

f 2 C
1

[
0, 1
]
R
+
R
3
R
+

,
¯
µ 2 C
2
([
0, 1
]
R
+
R R
+
)
,
và g
0
, g
1

,
˜
u
0
thỏa điều kiện tương thích
˜
u
0
(
0
)
g
0
(
0
)
=
˜
u
0
(
1
)
g
1
(
0
)
= 0,
˜

u
1
(
0
)

g
0
0
(
0
)
=
˜
u
1
(
1
)
 g
0
1
(
0
)
= 0. Khi đó, nếu BT (1.1.1) giải được và v là nghiệm của nó
thì BT (1.0.1) sẽ nhận nghiệm là u = v + ϕ.
Như vậy, ta chỉ cần giải BT (1.0.1) tương ứng với g
0
= g

1
 0 như sau
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
u
tt

∂
∂x
h
µ(x, t, u,
k
u
x
(
t
)
+ ψ(t)
k

2
)u
x
i
= f (x, t, u, u
x
, u
t
,
k
u
x
(
t
)
+ ψ
(
t
)
k
2
), 0 < x < 1, 0 < t < T ,
u
(
0, t
)
= u
(
1, t
)

= 0,
u
(
x, 0
)
=
˜
u
0
(
x
)
, u
t
(
x, 0
)
=
˜
u
1
(
x
)
.
(1.1.2)
1.1.1 Định nghĩa nghiệm yếu và các giả thiết
Nghiệm yếu của (1.1.2) là một hàm u 2 L
∞


0, T; H
1
0
\ H
2

, sao cho u
t
2
L
∞

0, T; H
1
0

và u
tt
2 L
∞
(0, T; L
2
), đồng thời u thỏa mãn BT biến phân
8
>
>
<
>
>
:

h
u
tt
(
t
)
, w
i
+
D
µ(, t, u,
k
u
x
(t) + ψ(t)
k
2
)u
x
, w
x
E
=
D
f (, t, u, u
x
, u
t
,
k

u
x
(t) + ψ(t)
k
2
), w
E
, 8w 2 H
1
0
,
u
(
0
)
=
˜
u
0
, u
t
(
0
)
=
˜
u
1
.
Ta thành lập các giả thiết sau

(
H
1
)
˜
u
0
2 H
1
0
\ H
2
,
˜
u
1
2 H
1
0
;
(
H
2
)
ψ 2 C
1
([
0, 1
]
R

+
)
;
(
H
3
)
µ 2 C
2
(
[0, 1] R
+
R R
+
)
, µ
(
x, t, y, z
)
 µ
0
> 0, 8
(
x, t, y, z
)
2
[
0, 1
]


8
R
+
R R
+
;
(
H
4
)
f 2 C
1

[0, 1] R
+
R
3
R
+

.
Trước hết, với M > 0 và T > 0 cố định ta đặt
8
>
>
<
>
>
:
W(M , T) = fv 2 L

∞
(0, T; H
1
0
\ H
2
) : v
t
2 L
∞
(0, T; H
1
0
) và v
tt
2 L
2
(Q
T
),
với
k
v
k
L
∞
(0,T;H
1
0
\H

2
)
,
k
v
t
k
L
∞
(0,T;H
1
0
)
,
k
v
tt
k
L
2
(
Q
T
)
 Mg,
W
1
(
M, T
)

= fv 2 W
(
M, T
)
: v
tt
2 L
∞
(0, T; L
2
)g.
Ký hiệu W
1
(
T
)
= fv 2 L
∞
(0, T; H
1
0
) : v
0
2 L
∞
(0, T; L
2
)g là không gian Banach
với chuẩn
k

v
k
W
1
(
T
)
=
k
v
k
L
∞
(
0,T;H
1
0
)
+
k
v
0
k
L
∞
(0,T;L
2
)
.
1.1.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính

Đầu tiên, chọn số hạng ban đầu u
0

˜
u
0
, giả sử rằng u
m1
2 W
1
(
M, T
)
, và tìm
u
m
2 W
1
(
M, T
) (
m  1
)
là nghiệm của BT
(
h
u
00
m
(

t
)
, w
i
+
h
µ
m
(
t
)
ru
m
(
t
)
, rw
i
=
h
F
m
(
t
)
, w
i
, 8w 2 H
1
0

,
u
m
(
0
)
=
˜
u
0
, u
0
m
(
0
)
=
˜
u
1
,
(1.1.3)
trong đó
(
F
m
(
t
)
= f


, t, u
m1
(
t
)
, ru
m1
(
t
)
, u
0
m1
(
t
)
, z
m
(
t
)

,
µ
m
(
t
)
= µ

(
, t, u
m1
(
t
)
, z
m
(
t
))
, z
m
(
t
)
=
k
ru
m1
(t) + ψ(t)
k
2
.
(1.1.4)
Khi đó, sự tồn tại của dãy fu
m
g cho bởi định lý.
Định lý 1.1.1. Cho các hàm
˜

u
0
,
˜
u
1
, ψ, µ và f thỏa các giả thiết
(
H
1
)

(
H
4
)
. Khi đó,
tồn tại các hằng số dương M, T sao cho với u
0

˜
u
0
, tồn tại một dãy fu
m
g  W
1
(M, T)
xác định bởi (1.1.3), (1.1.4).
1.1.3 Sự hội tụ của lược đồ xấp xỉ tuyến tính

Định lý 1.1.2. Cho các hàm
˜
u
0
,
˜
u
1
, ψ, µ và f thỏa các giả thiết
(
H
1
)

(
H
4
)
. Khi đó,
tồn tại các hằng số dương M, T sao cho
(i) BT (1.1.2) có duy nhất một nghiệm yếu u 2 W
1
(
M, T
)
.
(ii) Dãy qui nạp tuyến tính
f
u
m

g
xác định bởi (1.1.3)-(1.1.4) hội tụ mạnh về u trong
W
1
(
T
)
và có đánh giá
k
u
m
u
k
W
1
(
T
)
 Ck
m
T
, 8 m 2 N, ở đây 0 < k
T
< 1 và C là các
hằng số chỉ phụ thuộc vào T , f , µ,
˜
u
0
,
˜

u
1
.
1.2 KTTC của nghiệm theo p tham số bé
Xét BT nhiễu theo p tham số bé ε = (ε
1
, , ε
p
) 2 R
p
+
,
k
ε
k
< 1, như sau
(P
ε
)
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>

>
:
u
tt

∂
∂x
h
µ
ε
(x, t, u,
k
u
x
+ ψ
k
2
)u
x
i
= F
ε
(x, t, u, u
x
, u
t
,
k
u
x

+ ψ
k
2
),
0 < x < 1, 0 < t < T,
u(0, t) = u(1, t) = 0,
u(x, 0) =
˜
u
0
(x), u
t
(x, 0) =
˜
u
1
(x),
trong đó
9
8
>
<
>
:
µ
ε
(x, t, u,
k
u
x

+ ψ
k
2
) = µ(x, t, u,
k
u
x
+ ψ
k
2
) +
∑
p
i=1
ε
i
µ
i
(x, t, u,
k
u
x
+ ψ
k
2
),
F
ε
(x, t, u, u
x

, u
t
,
k
u
x
+ ψ
k
2
) = f (x, t, u, u
x
, u
t
,
k
u
x
+ ψ
k
2
)
+
∑
p
i=1
ε
i
f
i
(x, t, u, u

x
, u
t
,
k
u
x
+ ψ
k
2
).
Phần này nghiên cứu KTTC nghiệm yếu của BT nhiễu (P
ε
) theo p tham số bé
ε = (ε
1
, , ε
p
), có nghĩa là, ta tìm cách xấp xỉ nghiệm u
ε

∑
j
γ
j
N
u
γ
ε
γ

bởi một đa
thức theo ε
1
, , ε
p
, trong đó, các hàm u
γ
cần xác định và đánh giá sai số theo "độ
lớn" của các tham số nhiễu dưới dạng



u
ε

∑
j
γ
j
N
u
γ
ε
γ



W
1
(

T
)
 C
T
k
ε
k
N+1
, với
k
ε
k
đủ bé, và C
T
là hằng số độc lập với ε.
Ngoài ra, ta cần bổ sung các giả thiết sau đây để BT
(
P
ε
)
giải được:
(
H
5
)
µ
i
2 C
2
([0, 1]  R

+
 R  R
+
), µ
i
(x, t, y, z)  0, 8(x, t, y, z) 2 [0, 1]  R
+

R R
+
, (i = 1, 2, , p);
(
H
6
)
f
i
2 C
1
([0, 1] R
+
R
3
R
+
), i = 1, 2, , p.
Như vậy, với các giả thiết
(
H
1

)

(
H
6
)
, áp dụng Định lý 1.1.2, BT (P
ε
) có duy nhất
nghiệm yếu u = u
ε
= u

ε
1
, , ε
p

phụ thuộc vào ε = (ε
1
, , ε
p
). Khi ε = (0, , 0),
BT (P
ε
) được ký hiệu là (
˜
P
0
). Ta thành lập các giả thiết sau

(
H
7
)
µ 2 C
N+2
([0, 1] R
+
R R
+
), µ
i
2 C
N+1
([0, 1] R
+
R R
+
), µ  µ
0
>
0, µ
i
 0, 8(x, t, y, z) 2 [0, 1] R
+
R R
+
, (i = 1, 2, , p);
(
H

8
)
f 2 C
N+1

[0, 1] R
+
R
3
R
+

, f
i
2 C
N
([0, 1]  R
+
 R
3
 R
+
), i = 1,
2, , p.
Ta ký hiệu f [u] = f (x, t, u, u
x
, u
t
,
k

u
x
+ ψ
k
2
), µ[u] = µ(x, t, u, jj u
x
+ ψjj
2
), và
tương tự cho các đạo hàm riêng D
γ
f [ u] = D
γ
f (x, t, u, u
x
, u
t
, jju
x
+ ψ jj
2
), D
γ
µ[u] =
D
γ
µ(x, t, u,
k
u

x
+ ψ
k
2
).
Gọi u
0
là nghiệm yếu của (
˜
P
0
).
Với γ 2 Z
p
+
, 1 
j
γ
j
 N , ta gọi u
γ
là nghiệm yếu của BT
(
˜
P
γ
)
8
>
>

>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
u
00
γ

∂
∂x
(
µ[u
0
]u
γx
)
= F
γ
, 0 < x < 1, 0 < t < T,
u
γ
(0, t) = u
γ
(1, t) = 0,

u
γ
(x, 0) = u
0
γ
(x, 0) = 0,
u
γ
2 W
1
(M, T),
trong đó F
γ
, γ 2 Z
p
+
, 1 
j
γ
j
 N , xác định bởi công thức sau
F
γ
=
8
>
>
>
>
<

>
>
>
>
:
f [ u
0
],
j
γ
j
= 0,
π
γ
[ f ] +
∑
p
i=1
π
(i)
γ
[ f
i
]
+
∑
1
j
ν
j


j
γ
j
, νγ
∂
∂x
h
ρ
ν
[µ] +
∑
p
i=1
ρ
(i)
ν
[µ
i
]

ru
γν
i
, 1 
j
γ
j
 N ,
với ρ

ν
[µ] = ρ
ν
[µ; fu
γ
g
γν
], ρ
(i)
ν
[µ] = ρ
(i)
ν
[µ; fu
γ
g
γν
], π
ν
[ f ] = π
ν
[ f ; fu
γ
g
γν
],
10
π
(i)
ν

[ f ] = π
(i)
ν
[ f ; fu
γ
g
γν
],
j
ν
j
 N , được xác định bởi các công thức sau đây
(i) Xác định ρ
ν
[µ]
ρ
ν
[µ] =
8
>
>
>
<
>
>
>
:
µ[u
0
],

j
ν
j
= 0,
∑
j
γ
j

j
ν
j
D
γ
µ[u
0
]
γ!
∑
γ
1

j
α
j
γ
1
N,
γ
2


j
να
j
2γ
2
N
T
(γ
1
)
N
[
~
u]
α
T
(γ
2
)
2N
[
~
σ]
να
, 1 
j
ν
j
 N ,

trong đó
~
u = fu
α
: α 2 Z
p
+
, 1 
j
α
j
 Ng và thêm nữa họ
~
σ = fσ
α
: α 2 Z
p
+
,
1 
j
α
j
 2Ng , được xác định bởi
σ
α
=
8
>
>

>
>
<
>
>
>
>
:
2hru
0
+ ψ, ru
α
i,
j
α
j
= 1,
2hru
0
+ ψ, ru
α
i+
∑
βα
hru
β
, ru
αβ
i, 2 
j

α
j
 N ,
∑
βα
hru
β
, ru
αβ
i, N + 1 
j
α
j
 2N.
(ii) Xác định ρ
(i)
ν
[µ]
ρ
(i)
ν
[µ] =
(
ρ
ν
1
, ,ν
i1
,ν
i

1,ν
i+1
, ,ν
p
[µ], ν 2 Z
p
+
, ν
i
 1,
ρ
ν
1
, ,ν
i1
,1,ν
i+1
, ,ν
p
[µ] = 0, ν 2 Z
p
+
, ν
i
= 0.
(iii) Xác định π
ν
[ f ]
π
ν

[ f ] =
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
f [ u
0
],
j
ν
j
= 0,
∑
m2Z
4
+
1
j
m
j


j
ν
j
∑
(α,β,γ,δ)2A(m,N)
α+β+γ+δ=ν
D
m
f [ u
0
]
m!
T
(m
1
)
N
[
~
u]
α
T
(m
2
)
N
[r
~
u]
β

T
(m
3
)
N
[
~
u
0
]
γ
T
(
m
4
)
2N
[
~
σ
]
δ
, 1 
j
ν
j
 N ,
trong đó r
~
u = fru

α
: α 2 Z
p
+
, 1 
j
α
j
 Ng và
~
u
0
= fu
0
α
: α 2 Z
p
+
, 1 
j
α
j
 Ng với m = (m
1
, , m
4
) 2 Z
4
+
,

j
m
j
= m
1
+ + m
4
, m! = m
1
! m
4
!, D
m
f =
D
m
1
3
D
m
2
4
D
m
3
5
D
m
4
6

f , A(m, N) = f(α, β, γ, δ) 2

Z
p
+

4
: m
1

j
α
j
 m
1
N, m
2

j
β
j

m
2
N, m
3

j
γ
j

 m
3
N, m
4

j
δ
j
 2m
4
Ng.
(iv) Xác định π
(i)
ν
[ f ]
π
(i)
ν
[ f ] =
(
π
ν
1
, ,ν
i1
,ν
i
1,ν
i+1
, ,ν

p
[ f ], ν 2 Z
p
+
, ν
i
 1,
π
ν
1
, ,ν
i1
,1,ν
i+1
, ,ν
p
[ f ] = 0, ν 2 Z
p
+
, ν
i
= 0.
Định lý 1.2.1. Cho các hàm
˜
u
0
,
˜
u
1

, ψ, µ và f thỏa các giả thiết (H
1
), (H
2
), (H
7
), và
(H
8
). Khi đó, tồn tại các hằng số M > 0 và T > 0 sao cho với mọi ε 2 R
p
+
, với
k
ε
k
< 1, BT
(P
ε
) có duy nhất nghiệm yếu u
ε
2 W
1
(M, T) có một KTTC đến cấp N + 1 và được đánh
giá như sau



u
ε


∑
j
γ
j
N
u
γ
ε
γ



W
1
(
T
)
 C
T
k
ε
k
N+1
, trong đó các hàm u
γ
, 1 
j
γ
j

 N
lần lượt là nghiệm yếu của các BT (
˜
P
γ
),
j
γ
j
 N, và C
T
là một hằng số chỉ phụ thuộc vào
N, T, f , f
i
, µ, µ
i
, u
γ
, 1 
j
γ
j
 N , 1  i  p.
11
Kết luận chương 1. Bằng cách thực hiện một phép đổi ẩn hàm và sử dụng
các công cụ thích hợp của giải tích phi tuyến, ch ương 1 đã chứng minh sự tồn
tại duy nhất nghiệm yếu của BT biên cho PT sóng phi tuyến kiểu Kirchhoff:
u
tt


∂
∂x

µ(x, t, u,
k
u
x
(t) + ψ(t)
k
2
)u
x

= f (x, t, u, u
x
, u
t
,
k
u
x
(t) + ψ(t)
k
2
), kết hợp
với các ĐKB Dirichlet không thuần nhất và các điều kiện đầu. Một KTTC đến cấp
N + 1 của nghiệm yếu cũng được thiết lập cho BT nhiễu với các số hạng nhiễu xuất
hiện ở cả hai vế của PT, ở trong thành phần của các số hạng phi tuyến µ, f và phụ
thuộc theo p tham s ố bé ε
1

, , ε
p
.
Kết quả của Chương 1 đã nới rộng các kết quả trong [T2] ứng với trường hợp
riêng ψ = 0 và f = f (x, t, u, u
x
, u
t
), f
i
= f
i
(x, t, u, u
x
, u
t
). Đặc biệt, kết quả này
cũng chính là sự phát triển các kết quả trong [T5] về tồn tại duy nhất nghiệm và
KTTC nghiệm theo nhiều tham số bé, với việc vận dụng các kỹ thuật tính toán trong
[T5] ứng với ψ = 0, µ = µ(u,
k
u
x
k
2
) và ĐKB Dirichlet thay bởi ĐKB Neumann -
Dirichlet u
x
(0, t) = g
0

(t), u(1, t) = g
1
(t).
Thực chất, dạng BT được nghiên cứu ở đây không chỉ xuất phát từ các công trình
đáng chú ý về PT sóng Kirchhoff, mà còn xuất phát từ ý tưởng tìm kiếm cách giải
cho BT biên trong [T2], [T5] với ĐKB không thuần nhất.
Về KTTC của nghiệm theo một tham số bé có thể tìm thấy trong các công trình
của nhiều tác giả, tuy nhiên, theo sự hiểu biết của chúng tôi, vẫn còn ít kết quả về
KTTC theo nhiều tham số bé, mà chỉ dừng lại với hai hoặc ba tham số bé. Dĩ nhiên,
các kỹ thuật sử dụng trong KTTC cho nhiều tham số sẽ tương tự cho trường hợp ít
tham số nhưng sẽ phức tạp hơn rất nhiều.
Chương 2
PT sóng kiểu Kirchhoff-Carr ier liên kết với ĐKB Robin
Trong chương này, chúng tôi xét BT giá trị biên và ban đầu cho PT sóng phi
tuyến kiểu Kirchhoff-Carrier liên kết với ĐKB Robin không thuần nhất dưới đây
8
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>

>
>
>
:
u
tt

∂
∂x
h
µ

x, t, u,
k
u(t) + Φ(t)
k
2
,
k
u
x
(t) + ψ(t)
k
2

u
x
i
= f


x, t, u, u
x
, u
t
,
k
u(t) + Φ(t)
k
2
,
k
u
x
(t) + ψ(t)
k
2

,
0 < x < 1, 0 < t < T,
u
x
(
0, t
)
 h
0
u
(
0, t
)

= g
0
(
t
)
, u
x
(
1, t
)
+ h
1
u
(
1, t
)
= g
1
(
t
)
,
u
(
x, 0
)
=
˜
u
0

(
x
)
, u
t
(
x, 0
)
=
˜
u
1
(
x
)
,
(2.0.1)
trong đó các hàm
˜
u
0
2 H
2
,
˜
u
1
2 H
1
, Φ 2 C

1
([
0, 1
]
R
+
)
, ψ 2 C
1
([
0, 1
]
R
+
)
,
f 2 C
1
([0, 1]  R
+
 R
3
 R
2
+
), g
0
, g
1
2 C

3
(R
+
), µ 2 C
2
([0, 1]  R
+
 R  R
2
+
)
12
là các hàm cho trước với µ(x, t, y
1
, y
2
, y
3
)  µ
0
> 0, 8(x, t, y
1
, y
2
, y
3
) 2 [0, 1] 
R
+
 R  R

2
+
, và
k
u(t) + Φ(t)
k
2
=
R
1
0
j
u
(
x, t
)
+ Φ(x, t)
j
2
dx,
k
u
x
(t) + ψ(t)
k
2
=
R
1
0

j
u
x
(
x, t
)
+ ψ(x, t)
j
2
dx. Cũng như chương 1, có một phép đ ổi biến để dẫn về BT
(2.0.1) về BT có ĐKB Robin thuần nhất. Khi đó với các ĐK thích hợp, tính giải
được của BT và một KTTC của nghiệm theo các tham số bé xuất hiện trong PT
được chứng minh.
2.1 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu
Bằng một phép đổi ẩn hàm u 7! v = u  ϕ, với
ϕ
(
x, t
)
=
h
1
g
0
(
t
)
+ h
0
g

1
(
t
)
h
0
+ h
1
+ h
0
h
1
x +
g
1
(
t
)
(1 + h
1
)g
0
(
t
)
h
0
+ h
1
+ h

0
h
1
, (2.1.1)
BT (2.0.1) được đưa về BT có ĐKB thuần nhất với số hạng phi tuyến có cùng dạng
với nó như sau
8
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
v
tt

∂
∂x
h
¯

µ(x, t, v,
k
v(t) +
¯
Φ(t)
k
2
,
k
v
x
(t) +
¯
ψ(t)
k
2
)v
x
i
=
¯
f (x, t, v, v
x
, v
t
,
k
v(t) +
¯
Φ(t)

k
2
,
k
v
x
(t) +
¯
ψ(t)
k
2
),
0 < x < 1, 0 < t < T,
v
x
(0, t) h
0
v(0, t) = v
x
(1, t) + h
1
v(1, t) = 0,
v
(
x, 0
)
=
˜
v
0

(
x
)
, v
t
(
x, 0
)
=
˜
v
1
(
x
)
,
(2.1.2)
trong đó
8
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>

>
>
>
>
:
¯
Φ(t) = ϕ(t) + Φ(t),
¯
ψ(t) = ϕ
x
(t) + ψ(t),
¯
µ
(
x, t, v, y, z
)
= µ
(
x, t, v + ϕ, y, z
)
,
¯
f
(
x, t, v, v
x
, v
t
, y, z
)

= f
(
x, t, v + ϕ, v
x
+ ϕ
x
, v
t
+ ϕ
t
, y, z
)
+ϕ
x
∂
∂x
[
µ
(
x, t, v + ϕ, y, z
)]
 ϕ
tt
,
˜
v
0
(
x
)

=
˜
u
0
(
x
)
 ϕ
(
x, 0
)
,
˜
v
1
(
x
)
=
˜
u
1
(
x
)
 ϕ
t
(
x, 0
)

,
(2.1.3)
và g
0
, g
1
,
˜
u
0
, h
0
, h
1
thỏa điều kiện tương thích
˜
u
0x
(
0
)
h
0
˜
u(0)  g
0
(
0
)
=

˜
u
0x
(
1
)
+
h
1
˜
u
0
(
1
)
+ g
1
(
0
)
= 0. Như vậy không làm mất tính tổng quát, ta chỉ cần giải (2.0.1)
tương ứng với g
0
= g
1
 0 như sau
8
>
>
>

>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
u
tt

∂
∂x
h
µ(x, t, u,
k
u(t) + Φ(t)
k
2
,
k
u
x
(t) + ψ(t)
k

2
)u
x
i
= f (x, t, u, u
x
, u
t
,
k
u(t) + Φ(t)
k
2
,
k
u
x
(t) + ψ(t)
k
2
),
0 < x < 1, 0 < t < T,
u
x
(0, t) h
0
u(0, t) = u
x
(1, t) + h
1

u(1, t) = 0,
u
(
x, 0
)
=
˜
u
0
(
x
)
, u
t
(
x, 0
)
=
˜
u
1
(
x
)
,
(2.1.4)
Sau khi giải được (2.1.4), nghiệm của (2.0.1) cho bởi u = v + ϕ, trong đó ϕ xác
định như ở (2.1.1) và v là nghiệm của (2.1.4) tương ứng với ( f , µ, Φ, ψ ,
˜
u

0
,
˜
u
1
) =
(
¯
f ,
¯
µ,
¯
Φ,
¯
ψ,
˜
v
0
,
˜
v
1
) được cho bởi (2.1.3).
13
2.1.1 Định nghĩa nghiệm yếu và các giả thiết
Nghiệm yếu (2.1.4) là một hàm u 2 L
∞

0, T; H
2


, sao cho u
t
2 L
∞

0, T; H
1

và u
tt
2 L
∞
(0, T; L
2
), đồng thời u thỏa mãn BT biến phân
(
h
u
tt
(
t
)
, w
i
+
¯
a
(
t; u

(
t
)
, w
)
=
h
f [ u], w
i
, 8w 2 H
1
,
u
(
0
)
=
˜
u
0
, u
t
(
0
)
=
˜
u
1
,

trong đó
8
>
<
>
:
¯
a
(
t; u, w
)
=
h
¯
µ
(
t
)
u
x
, w
x
i
+ h
0
¯
µ
(
0, t
)

u
(
0
)
w
(
0
)
+ h
1
¯
µ
(
1, t
)
u
(
1
)
w
(
1
)
,
¯
µ
(
x, t
)
= µ(x, t, u

(
x, t
)
,
k
u(t) + Φ(t)
k
2
,
k
u
x
(t) + ψ(t)
k
2
),
f [ u] = f (, t, u, u
x
, u
t
,
k
u(t) + Φ(t)
k
2
,
k
u
x
(t) + ψ(t)

k
2
).
Ta thành lập các giả thiết
(
H
0
)
h
0
> 0 và h
1
 0;
(
H
1
)
˜
u
0
2 H
2
,
˜
u
1
2 H
1
;
(

H
2
)
Φ, ψ 2 C
1
([
0, 1
]
R
+
)
;
(
H
3
)
µ 2 C
2
([0, 1]  R
+
 R  R
2
+
), µ(x, t, y
1
, y
2
, y
3
)  µ

0
> 0, 8(x, t, y
1
, y
2
, y
3
) 2
[0, 1] R
+
R R
2
+
;
(
H
4
)
f 2 C
1
(
[
0, 1
]
R
+
R
3
R
2

+
).
Chú thích 2.1.1. Giả thiết (H
0
) có thể thay bởi h
0
 0, h
1
 0 và h
0
+ h
1
> 0.
Tuy nhiên, không làm mất tính tổng quát ta chỉ cần giả thiết (H
0
).
Với M > 0 và T > 0, ta đặt
8
>
>
>
<
>
>
>
:
W(M , T) = fu 2 L
∞
(0, T; H
2

) : u
0
2 L
∞
(0, T; H
1
) và u
00
2 L
2
(Q
T
),
với
k
u
k
L
∞
(0,T;H
2
)
 M,
k
u
0
k
L
∞
(0,T;H

1
)

M
p
2
,
k
u
00
k
L
2
( Q
T
)
 Mg,
W
1
(M, T) = fu 2 W(M, T) : u
00
2 L
∞
(0, T; L
2
)g.
2.1.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính
Đầu tiên, ta chọn số hạng ban đầu u
0


˜
u
0
, giả sử rằng u
m1
2 W
1
(M, T), ta
tìm u
m
2 W
1
(M, T) (m  1) thỏa BT biến phân tuyến tính
(
hu
00
m
(t), wi+ a
m
(t; u
m
(t), w) =
h
F
m
(t), w
i
, 8w 2 H
1
,

u
m
(0) =
˜
u
0
, u
0
m
(0) =
˜
u
1
,
(2.1.5)
trong đó
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>

:
a
m
(t; u, w ) = hµ
m
(t)u
x
, w
x
i+ h
0
µ
m
(0, t)u(0)w(0)
+ h
1
µ
m
(1, t)u(1)w(1), 8u, w 2 H
1
,
µ
m
(x, t) = µ(x, t, u
m1
(x, t), y
m
(t), z
m
(t)),

F
m
(t) = f (, t, u
m1
(t), ru
m1
(t), u
0
m1
(t), y
m
(t), z
m
(t)),
y
m
(t) =
k
u
m1
(t) + Φ(t)
k
2
, z
m
(t) =
k
ru
m1
(t) + ψ(t)

k
2
.
(2.1.6)
Khi đó, sự tồn tại của dãy fu
m
g cho bởi định lý
14
Định lý 2.1.1. Cho các hàm
˜
u
0
,
˜
u
1
, Φ, ψ, µ và f thỏa các giả thiết
(
H
0
)

(
H
4
)
.
Khi đó, tồn tại hai hằng số dương M, T sao cho với u
0


˜
u
0
, tồn tại một dãy quy nạp
fu
m
g  W
1
(M, T) xác định bởi (2.1.5), (2.1.6).
2.1.3 Sự hội tụ của lược đồ xấp xỉ tuyến tính
Định lý 2.1.2. Cho các hàm
˜
u
0
,
˜
u
1
, Φ, ψ, µ và f thỏa các giả thiết
(
H
0
)

(
H
4
)
. Khi đó
tồn tại hai hằng số dương M, T sao cho

(i) BT (2.1.4) có duy nhất nghiệm yếu u 2 W
1
(M, T).
(ii) Dãy fu
m
g xác định bởi (2.1.5), (2.1.6) hội tụ mạnh về u trong không gian W
1
(T) =
fw 2 L
∞
(0, T; H
1
) : w
0
2 L
∞
(0, T; L
2
)g và có đánh giá
k
u
m
u
k
L
∞
(0,T;H
1
)
+

k
u
0
m
u
0
k
L
∞
(0,T;L
2
)

Ck
m
T
, 8m 2 N, ở đây 0 < k
T
< 1 và C là hằng số chỉ phụ thuộc T, g
0
, g
1
,
˜
u
0
,
˜
u
1

.
2.2 KTTC của nghiệm theo p tham số bé
Ở phần này, ngoài các giả thiết (H
1
) (H
4
), ta bổ sung các giả thiết sau
(
H
5
)
µ
i
2 C
2
([0, 1] R
+
R R
2
+
), µ
i
(x, t, y
1
, y
2
, y
3
)  0,
8(x, t, y

1
, y
2
, y
3
) 2 [0, 1] R
+
R R
2
+
, (i = 1, , p),
(
H
6
)
f
i
2 C
1
([0, 1] R
+
R
3
R
2
+
), i = 1, , p.
Ta xét BT nhiễu theo p tham số bé ε
1
, , ε

p
thỏa ε = (ε
1
, , ε
p
) 2 R
p
+
,
k
ε
k
< 1 :
(P
ε
)
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<

>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
u
tt

∂
∂x
(
µ
ε
[u]u
x
)
= F
ε
[u], 0 < x < 1, 0 < t < T,
u
x
(0, t) h

0
u(0, t) = u
x
(1, t) + h
1
u(1, t) = 0,
u(x, 0) =
˜
u
0
(x), u
t
(x, 0) =
˜
u
1
(x),
µ
ε
[u] = µ(x, t, u,
k
u + Φ
k
2
,
k
u
x
+ ψ
k

2
)
+
∑
p
i=1
ε
i
µ
i
(x, t, u,
k
u + Φ
k
2
,
k
u
x
+ ψ
k
2
),
F
ε
[u] = f (x, t, u, u
x
, u
t
,

k
u + Φ
k
2
,
k
u
x
+ ψ
k
2
)
+
∑
p
i=1
ε
i
f
i
(x, t, u, u
x
, u
t
,
k
u + Φ
k
2
,

k
u
x
+ ψ
k
2
).
Do Định lý 2.1.2, (P
ε
) có duy nhất nghiệm yếu u = u
ε
= u

ε
1
, , ε
p

phụ thuộc
vào ε = (ε
1
, , ε
p
). Ta n ghiên cứu KTTC nghiệm yếu của (P
ε
) theo p tham số bé
ε
1
, , ε
p

. Gọi u
0
là nghiệm yếu của (
˜
P
0
)  (P
0
) tương ứng với ε = (0, , 0).
Trước hết, ta bổ sung thêm các giả thiết sau
(
H
7
)
µ 2 C
N+2
([0, 1] R
+
R R
2
+
), µ
i
2 C
N+1
([0, 1] R
+
R R
2
+

),
µ(x, t, y
1
, y
2
, y
3
)  µ
0
> 0, µ
i
(x, t, y
1
, y
2
, y
3
)  0,
8(x, t, y
1
, y
2
, y
3
) 2 [0, 1] R
+
R R
2
+
, (i = 1, , p),

(
H
8
)
f 2 C
N+1
([0, 1] R
+
R
3
R
2
+
), f
i
2 C
N
([0, 1] R
+
R
3
R
2
+
), i = 1, , p.
Ta vẫn sử dụng các ký hiệu sau f [u] = f (x, t, u, u
x
, u
t
,

k
u + Φ
k
2
,
k
u
x
+ ψ
k
2
),
µ[u] = µ(x, t, u,
k
u + Φ
k
2
,
k
u
x
+ ψ
k
2
).
15
Ta xét dãy hữu hạn các nghiệm yếu u
γ
2 W
1

(M, T), γ 2 Z
p
+
, 1 
j
γ
j
 N, của
các BT sau
(
˜
P
γ
)
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
u
00
γ


∂
∂x
(
µ[u
0
]u
γx
)
= F
γ
, 0 < x < 1, 0 < t < T,
u
γx
(0, t) h
0
u
γ
(0, t) = u
γx
(1, t) + h
1
u
γ
(1, t) = 0,
u
γ
(x, 0) = u
0
γ

(x, 0) = 0,
u
γ
2 W
1
(M, T),
trong đó F
γ
, γ 2 Z
p
+
, 1 
j
γ
j
 N , xác định bởi công thức sau
F
γ
=
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:

f [ u
0
],
j
γ
j
= 0,
π
γ
[ f ] +
∑
p
i=1
π
(i)
γ
[ f
i
]
+
∑
1
j
ν
j

j
γ
j
, νγ

∂
∂x
h
ρ
ν
[µ] +
∑
p
i=1
ρ
(i)
ν
[µ
i
]

ru
γν
i
, 1 
j
γ
j
 N ,
với ρ
ν
[µ] = ρ
ν
[µ; fu
γ

g
γν
], ρ
(i)
ν
[µ] = ρ
(i)
ν
[µ; fu
γ
g
γν
], π
ν
[ f ] = π
ν
[ f ; fu
γ
g
γν
],
π
(i)
ν
[ f ] = π
(i)
ν
[ f ; fu
γ
g

γν
],
j
ν
j
 N , xác định bởi các công thức sau
(i) Xác định ρ
ν
[µ]
ρ
ν
[µ] =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
µ[u
0
],
j
ν
j
= 0,

∑
j
γ
j

j
ν
j
1
γ!
D
γ
µ[u
0
]
∑
(α,µ,δ)2
e
A(N,γ,ν)
T
(γ
1
)
N
[
~
u]
α
T
(γ

2
)
2N
[
~
σ
(1)
]
µ
T
(γ
3
)
2N
[
~
σ
(2)
]
δ
, 1 
j
ν
j
 N ,
với γ = (γ
1
, γ
2
, γ

3
) 2 Z
3
+
,
e
A(N, γ, ν) = f(α, µ, δ) 2

Z
p
+

3
: γ
1

j
α
j
 γ
1
N,
γ
2

j
µ
j
 2γ
2

N, γ
3

j
δ
j
 2γ
3
N, α + µ + δ = νg,
~
u = fu
α
: α 2 Z
p
+
, 1 
j
α
j
 Ng
và thêm nữa họ
~
σ
(i)
= fσ
(i)
α
: α 2 Z
p
+

, 1 
j
α
j
 2Ng , i = 1, 2 xác định bởi
σ
(1)
α
=
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
2hu
0
+ Φ, u
α
i,
j
α
j
= 1,
2hu

0
+ Φ, u
α
i+
∑
βα
hu
β
, u
αβ
i, 2 
j
α
j
 N ,
∑
βα
hu
β
, u
αβ
i, N + 1 
j
α
j
 2N,
σ
(2)
α
=

8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
2hru
0
+ ψ, ru
α
i,
j
α
j
= 1,
2hru
0
+ ψ, ru
α
i+
∑
βα
hru
β
, ru

αβ
i, 2 
j
α
j
 N ,
∑
βα
hru
β
, ru
αβ
i, N + 1 
j
α
j
 2N;
(ii) Xác định ρ
(i)
ν
[µ]
ρ
(i)
ν
[µ] =
(
ρ
ν
1
, ,ν

i1
,ν
i
1,ν
i+1
, ,ν
p
[µ], ν 2 Z
p
+
, ν
i
 1,
ρ
ν
1
, ,ν
i1
,1,ν
i+1
, ,ν
p
[µ] = 0, ν 2 Z
p
+
, ν
i
= 0;
(iii) Xác định π
ν

[ f ]
16
π
ν
[ f ] =
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
f [ u
0
],
j
ν
j
= 0,
∑
1
j
m
j


j
ν
j
∑
(α,β,γ,δ,µ)2A(m,N)
α+β+γ+δ+µ=ν
D
m
f [ u
0
]
m!
T
(m
1
)
N
[
~
u]
α
T
(m
2
)
N
[r
~
u]

β
 T
(m
3
)
N
[
~
u
0
]
γ
T
(
m
4
)
2N
[
~
σ
(
1
)
]
δ
T
(
m
5

)
2N
[
~
σ
(
2
)
]
µ
, 1 
j
ν
j
 N ,
trong đó r
~
u = fru
α
: α 2 Z
p
+
, 1 
j
α
j
 Ng và
~
u
0

= fu
0
α
: α 2 Z
p
+
, 1 
j
α
j
 Ng với m = (m
1
, , m
5
) 2 Z
5
+
,
j
m
j
= m
1
+ + m
5
, m! = m
1
! m
5
!, D

m
f =
D
m
1
3
D
m
2
4
D
m
3
5
D
m
4
6
D
m
5
7
f , A(m, N) = f(α, β, γ, δ, µ ) 2

Z
p
+

3
: m

1

j
α
j
 m
1
N,
m
2

j
β
j
 m
2
N, m
3

j
γ
j
 m
3
N, m
4

j
δ
j

 2m
4
N, m
5

j
µ
j
 2m
5
Ng;
(iv) Xác định π
(i)
ν
[ f ]
π
(i)
ν
[ f ] =
(
π
ν
1
, ,ν
i1
,ν
i
1,ν
i+1
, ,ν

p
[ f ], ν 2 Z
p
+
, ν
i
 1,
π
ν
1
, ,ν
i1
,1,ν
i+1
, ,ν
p
[ f ] = 0, ν 2 Z
p
+
, ν
i
= 0.
Định lý 2.2.1. Cho các hàm
˜
u
0
,
˜
u
1

, Φ, ψ, µ và f thỏa các giả thiết (H
1
) (H
2
), (H
7
),
và (H
8
). Khi đó, tồn tại các hằng số M > 0 và T > 0 sao cho với mọi ε 2 R
p
+
, với
k
ε
k
< 1,
BT (P
ε
) tồn tại duy nhất nghiệm yếu u
ε
2 W
1
(M, T) có một KTTC đến cấp N + 1 và được
đánh giá



u
0

ε

∑
j
γ
j
N
u
0
γ
ε
γ



L
∞
(0,T;L
2
)
+



u
ε

∑
j
γ

j
N
u
γ
ε
γ



L
∞
(0,T;H
1
)
 C
T
k
ε
k
N+1
,
trong đó các hàm u
γ
,
j
γ
j
 N lần lượt là nghiệm yếu của các BT (
˜
P

γ
),
j
γ
j
 N , và C
T
là
một hằng số chỉ phụ thuộc vào N, T, f , f
i
, µ, µ
i
, u
γ
,
j
γ
j
 N , 1  i  p.
Kết luận chương 2. Chương 2 đã kế thừa các ý tưởng và PP nghiên cứu của
chương 1. Tuy nhiên, với sự xuất hiện của thành phần phi tuyến kiểu Kirchhoff - Car-
rier và dạng ĐKB Robin, việc đánh giá các số hạng phi tuyến trong PT phức tạp hơn
và cần nhiều kỹ thuật tinh tế để giải quyết. Kết quả là chương 2 đã chứng minh được
sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của BT: u
tt

∂
∂x
h
µ(x, t, u,

k
u + Φ
k
2
,
k
u
x
+ ψ
k
2
)u
x
i
=
f (x, t, u, u
x
, u
t
,
k
u + Φ
k
2
,
k
u
x
+ ψ
k

2
), 0 < x < 1, 0 < t < T, kết hợp với các ĐKB
Robin không thuần nhất và các ĐK đầu.
Trên cơ sở đó, một KTTC đến cấp N + 1 của nghiệm yếu cho BT nhiễu theo p
tham số bé ε
1
, , ε
p
với các số hạng nhiễu ở trong thành phần của các số hạng phi
tuyến µ, f được thiết lập. Ở nội dung này, cũng tương tự chương 1, kỹ thuật khai
triển Taylor với số hạng dư có dạng tích phân và công thức lũy thừa của đa thức
nhiều biến được vận dụng.
Như vậy, chương 2 đã nới rộng được các kết quả công bố trong [T3] ứng với
trường hợp riêng Φ = 0, ψ = 0 và f = f (x, t, u, u
x
, u
t
), f
i
= f
i
(x, t, u, u
x
, u
t
). Ngoài
ra, trong [T4], chúng tôi nghiên cứu BT sau
17
8
>

>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
u
tt

∂
∂x
h
µ(x, t, u,
k
u
k
2
,
k
u
x
k
2
)u
x

i
= f (x, t, u, u
x
, u
t
,
k
u
k
2
,
k
u
x
k
2
), 0 < x < 1, 0 < t < T,
u
x
(
0, t
)
 h
0
u
(
0, t
)
= g
0

(
t
)
, u
(
1, t
)
= g
1
(
t
)
,
u
(
x, 0
)
=
˜
u
0
(
x
)
, u
t
(
x, 0
)
=

˜
u
1
(
x
)
.
Khi đó, chúng tôi đã thu được kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu. Hơn
nữa, BT nhiễu khi thay µ, f bởi
(
µ
ε
= µ(x, t, u,
k
u
k
2
,
k
u
x
k
2
) +
∑
p
i=1
ε
i
µ

i
(x, t, u,
k
u
k
2
,
k
u
x
k
2
),
f
ε
= f (x, t, u, u
x
, u
t
,
k
u
k
2
,
k
u
x
k
2

) +
∑
p
i=1
ε
i
f
i
(x, t, u, u
x
, u
t
,
k
u
k
2
,
k
u
x
k
2
)
cũng thu được KTTC của nghiệm theo p tham số bé ε
1
, , ε
p
đến cấp N + 1.
Với cùng PP sử dụng ở chương này, chúng tôi sẽ tiếp tục nới rộng kết quả nói

trên của [T4] cho PT sóng kiểu Kirchhoff-Carrier thuộc dạng
u
tt

∂
∂x
h
µ(x, t, u,
k
u + Φ
k
2
,
k
u
x
+ ψ
k
2
)u
x
i
= f (x, t, u, u
x
, u
t
,
k
u + Φ
k

2
,
k
u
x
+ ψ
k
2
), 0 < x < 1,
0 < t < T, với ĐKB hỗn hợp Robin-Dirichlet không thuần nhất.
Chương 3
PT sóng phi tuyến liên kết với ĐKB phi tuyến
Trong chương này, ta xét BT sau:
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>

>
>
>
>
>
:
u
tt

∂
∂x
(
µ(x, t)u
x
)
+ KF
p
(
u
)
+ λF
q
(
u
t
)
= F(x, t),
0 < x < 1, 0 < t < T,
(1)
i

µ(i, t)u
x
(i, t) = P
i
(
t
)
, i = 0, 1,
u(x, 0) =
˜
u
0
(x), u
t
(x, 0) =
˜
u
1
(x),
P
i
(
t
)
= K
i
F
p
i
(

u
(
i, t
))
+ λ
i
F
q
i
(
u
t
(
i, t
))
+ g
i
(t)

R
t
0
k
i
(t  s)F
r
i
(
u
(

i, s
))
ds, i = 0, 1,
(3.0.1)
trong đó F
r
(
z
)
=
j
z
j
r2
z, r 2 fp, q, p
0
, q
0
, r
0
, p
1
, q
1
, r
1
g với K, λ  0, p, q > 1,
p
i
> 1, q

i
 r
i
> 1, K
i
 0, λ
i
> 0 là các hằng số cho trước và
˜
u
0
,
˜
u
1
, µ, F, g
i
, k
i
là
các hàm số cho trước. Với các giả thiết thích hợp, các kết quả về sự tồn tại nghiệm
và KTTC nghiệm được chứng minh. Đặc biệt, ngh iệm thu được ở đây là nghiệm toàn
cục và để tính trơn của nghiệm được nhiều hơn, chúng tôi đã tăng cường giả thiết
về tính trơn của ĐK đầu và một số ĐK phụ.
18
3.1 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu
Nghiệm yếu của (3.0.1) là một hàm u 2 L
∞

0, T; H

1

sao cho u
t
2 L
∞

0, T; L
2

và thỏa PT biến phân
8
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
d
dt

h
u
t
(
t
)
, v
i
+
h
µ
(
t
)
u
x
(
t
)
, v
x
i
+

KF
p
(
u
)
+ λF

q
(
u
t
)
, v

+
∑
1
i=0
P
i
(
t
)
v
(
i
)
=
h
F
(
t
)
, v
i
, 8v 2 H
1

,
u
(
0
)
=
˜
u
0
, u
t
(
0
)
=
˜
u
1
,
P
i
(
t
)
= g
i
(
t
)
+ K

i
F
p
i
(
u
(
i, t
))
+ λ
i
F
q
i
(
u
t
(
i, t
))

R
t
0
k
i
(
t s
)
F

r
i
(
u
(
i, s
))
ds, i = 0, 1.
Ta thành lập các giả thiết sau
(
H
1
)
˜
u
0
2 H
1
và
˜
u
1
2 L
2
;
(
H
2
)
F 2 L

1
(0, T; L
2
);
(
H
3
)
µ 2 C
0

Q
T

, µ(x, t)  µ
0
> 0, µ
t
2 L
1
(0, T; L
∞
), µ
t
(x, t)  0, a.e. (x, t) 2 Q
T
;
(
H
4

)
k
i
2 L
1
(0, T);
(
H
5
)
g
i
2 L
q
0
i
(
0, T
)
, q
0
i
=
q
i
q
i
1
;
(

H
6
)
K  0, λ > 0;
(
H
7
)
K
i
 0, λ
i
> 0;
(
H
8
)
p > 1, q > 1, p
i
> 1, q
i
 r
i
> 1.
Khi đó, ta có định lý sau
Định lý 3.1.1. Cho các hàm
˜
u
0
,

˜
u
1
, F, µ, k
i
, g
i
thỏa các giả thiết
(
H
1
)

(
H
5
)
và
các hằng số K, λ, K
i
, λ
i
, p, q, p
i
, q
i
, r
i
thỏa các giả thiết
(

H
6
)

(
H
8
)
. Khi đó, với
mỗi T > 0, BT (3.0.1) có nghiệm yếu u thỏa u 2 L
∞
(0, T; H
1
), u
t
2 L
∞
(0, T; L
2
),
u(i, ) 2 W
1,q
i
(
0, T
)
, i = 0, 1. Hơn nữa, nếu k
i
2 W
1,1

(0, T) trong (H
4
); r
i
 2 và
p
i
2 f2g[[3, +∞) thì nghiệm là duy nhất.
Chú thích 3.1.1.
(i) Định lý 3.1.1 chưa kết luận về tính duy nhất nghiệm khi p
i
2 (1, 2) [(2, 3) hoặc
1 < r
i
< 2.
(ii) Các kết quả tương ứng trong Bergounioux, Long và Định [Nonlinear Anal. TMA.
43(5)(2001) 547–561]; và Long, Định, Diễm [Bound. Value Probl. 2005(3)(2005) 337–
358] là các trường hợp riêng của Định lý 3.1.1 với µ(x , t)  1, p = q = p
0
= p
1
=
q
1
= r
0
= 2, λ
0
= 0, (
˜

u
0
,
˜
u
1
) 2 H
2
 H
1
.
(iii) Trường hợp riêng của Định lý 3.1.1 với p = q = 2, đã công bố trong [T1].
19
3.2 Tính trơn của nghiệm
Trong phần này, ta nghiên cứu tính trơn của nghiệm BT (3.0.1) tương ứng với
q
0
= q
1
= 2. Ta tăng cường giả thiết như sau

H
0
1

(
˜
u
0
,

˜
u
1
) 2 H
2
 H
1
;
(
H
0
2
)
F, F
t
2 L
1
(0, T; L
2
);
(
H
0
3
)
µ 2 C
1

Q
T


, µ
tt
2 L
1
(0, T; L
∞
), µ(x, t)  µ
0
> 0, 8(x, t) 2 Q
T
;
k
i
2 W
1,1
(0, T);
(
H
0
5
)
g
i
2 H
1
(0, T);
(
H
0

6
)
K  0, λ  0;
(
H
0
7
)
K
i
 0, λ
i
= 1;
(
H
0
8
)
p
i
 maxf2, 2r
i
2g, r
i
> 1, q
i
= 2;
(
H
0

9
) (
1
)
i
µ
(
i, 0
)
˜
u
0x
(
i
)
= g
i
(
0
)
+ K
i
j
˜
u
0
(i)
j
p
i

2
˜
u
0
(i) + λ
i
˜
u
1
(i), i = 0, 1.
Khi đó, ta có
Định lý 3.2.1. Cho các hàm
˜
u
0
,
˜
u
1
, F, µ, k
i
, g
i
thỏa các giả thiết

H
0
1



(
H
0
5
)
,
(
H
0
9
)
và các hằng số K, λ, K
i
, λ
i
, p, q, p
i
, q
i
, r
i
thỏa các giả thiết
(
H
0
6
)

(
H

0
8
)
. Khi đó, với
mỗi T > 0, BT (3.0.1) tồn tại nghiệm yếu u thỏa u 2 L
∞
(0, T; H
2
), u
t
2 L
∞
(0, T; H
1
),
u
tt
2 L
∞
(0, T; L
2
), u(i, ) 2 H
2
(
0, T
)
, i = 0, 1. Hơn nữa, với r
i
 2 thì nghiệm là duy
nhất.

Chú thích 3.2.1.
(i) Do định lý 3.2.1, ta cũng có u 2 L
∞

0, T; H
2

\ C
0

0, T; H
1

\ C
1

0, T; L
2

,
u
t
2 L
∞

0, T; H
1

, u
tt

2 L
∞

0, T; L
2

, u(i , ) 2 H
2
(
0, T
)
, i = 0, 1.
(ii) Từ (i) ta cũng có u 2 H
2
(
Q
T
)
. Vậy nếu
(
˜
u
0
,
˜
u
1
)
2 H
2

 H
1
, thì nghiệm yếu u
của (3.0.1) thuộc H
2
(
Q
T
)
. Vì vậy, nghiệm nầy gần giống như cổ điển, bởi vì các ĐK
đầu (
˜
u
0
,
˜
u
1
) không nhất thiết phải thuộc C
2
(Ω)  C
1
(Ω).
(iii) Trong trường hợp K
0
< 0 hoặc K
1
< 0, vẫn chưa có kết luận về sự tồn tại toàn cục
nghiệm của BT (3.0.1). Tuy nhiên sử dụng kỹ thuật đánh giá bất đẳng thức tích phân
phi tuyến trong Lakshmikantham, Leela [Differential and Integral Inequalities, Vol.1.

Academic Press, NewYork, 1969] và cách làm trong các bài Ngọc, Long [Comm. on
Pure and Applied Anal. 12(5)(2013) 2001-2029]; Trường, Ngọc, Định, Long [Nonlinear
Anal. TMA. 74(18)(2011) 6933–6949] có thể chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương
của BT này.
20
3.3 KTTC của nghiệm theo hai tham số K, λ
Trong phần này, ta giả sử rằng q
i
= r
i
= 2; p, q  N + 1, p
0
, p
1
 N + 2,
N  2, λ
0
= λ
1
= 1, K
0
, K
1
 0 và (
˜
u
0
,
˜
u

1
, F, µ, k
0
k
1
, g
0
, g
1
) thỏa các giả thiết
(H
0
1
) (H
0
5
). Do Định lý 3.2.1, BT (3.0.1) có du y nhất một nghiệm yếu u = u
ε
phụ
thuộc vào ε = (K, λ) 2 R
2
+
. Ta ký hiệu lại (3.0.1) là (
˜
P
ε
) với ε = (K, λ) là cặp tham
số dương bé sao cho K
2
+ λ

2
 1.
Ta sẽ nghiên cứu KTTC c ủa nghiệm yếu u
ε
của (
˜
P
ε
) theo ε.
Gọi u
0
 u
0,0
là nghiệm yếu duy nhất của (
˜
P
0,0
)  (
˜
P
0
) ứng với ε = (0, 0).
Với γ 2 Z
2
+
, 1 
j
γ
j
 N , gọi u

γ
là nghiệm yếu của BT
(
˜
P
γ
)
8
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
u
00
γ

∂
∂x

(
µ(x, t)u
γx
)
= F
γ
, 0 < x < 1, 0 < t < T,
(1)
i
µ(i, t)u
γx
(i, t) u
0
γ
(
i, t
)
+
R
t
0
k
i
(t  s)u
γ
(
i, s
)
ds = G
(

i
)
γ
(t), i = 0, 1,
u
γ
(x, 0) = u
0
γ
(x, 0) = 0,
u
γ
2 L
∞

0, T; H
2

, u
0
γ
2 L
∞

0, T; H
1

, u
00
γ

2 L
∞

0, T; L
2

,
u
γ
(i, ) 2 H
2
(
0, T
)
, i = 0, 1.
trong đó F
γ
, G
(
i
)
γ
(t),
j
γ
j
 N , i = 0, 1 được xác định bởi các công thức sau:
F
γ
=

8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
F, nếu γ =
(
0, 0
)
,
F
p
(
u

0
)
, nếu γ =
(
1, 0
)
,
F
q
(
u
0
0
)
, nếu γ =
(
0, 1
)
,

j
γ
j
1
∑
m=1
1
m!
h
F

(
m
)
p
(
u
0
)
T
(
m
)
[
~
u
]
γ
1
1,γ
2
+F
(
m
)
q
(
u
0
0
)

T
(
m
)
[
~
u
0
]
γ
1
,γ
2
1
i
, nếu 2  γ  N,
G
(
i
)
γ
= K
i
∑
j
γ
j
m=1
1
m!

F
(m)
p
i
(
u
0
(i, t)
)
T
(m)
[
~
u(i, t)]
γ
, i = 0, 1,
trong đó, ký hiệu F
(
m
)
r
=
d
m
F
r
dz
m
là đạo h àm cấp m của F
r

và các hệ số T
(
m
)
[
~
u
0
]
γ
,
T
(m)
[
~
u(i, t)]
γ
lần lượt phụ thuộc vào các họ
~
u
0
= fu
0
α
: α 2 Z
2
+
, 1 
j
α

j
 Ng,
~
u(i, t) = fu
α
(
i, t
)
: α 2 Z
2
+
, 1 
j
α
j
 Ng. Các ký hiệu T
(
m
)
[
~
u
]
γ
, T
(
m
)
[
~

u
0
]
γ
và
T
(m)
[
~
u(i, t)]
γ
được xác định như trong Bổ đề 1 tương ứng với đa thức theo hai
biến đã được ký hiệu lại bằng cách bỏ bớt chỉ số N của T
(
m
)
N
[
~
u
]
γ
, T
(
m
)
N
[
~
u

0
]
γ
và
T
(m)
N
[
~
u(i, t)]
γ
, lần lượt, mà không bị nhầm lẫn.
Định lý 3.3.1. Cho các hằng số q
i
= r
i
= 2, λ
i
= 1, p
i
 N + 2, i = 0, 1; p, q 
N + 1, K
0
, K
1
 0, và các hàm
˜
u
0
,

˜
u
1
, F, µ, k
i
, g
i
thỏa các giả thiết

H
0
1


(
H
0
5
)
,
(
H
0
9
)
.
Khi đó, với mọi ε = (K, λ) 2 R
2
+
,

k
ε
k
 1, BT (
˜
P
ε
) có một nghiệm yếu duy nhất u có
KTTC đến cấp N + 1 và được đánh giá
21



u
0

∑
j
γ
j
N
u
0
γ
ε
γ



L

∞
(
0,T;L
2
)
+



u 
∑
j
γ
j
N
u
γ
ε
γ



L
∞
(
0,T;H
1
)
+
1

∑
i=0



u
0
(
i, 
)

∑
j
γ
j
N
u
0
γ
(
i, 
)
ε
γ



L
2
(

0,T
)

˜
C

T
k
ε
k
N+1
,
trong đó
˜
C

T
là một hằng số dương độc lập với ε, các hàm u
γ
là nghiệm yếu của các bài toán
˜
P
γ
,
j
γ
j
 N .
3.4 Một trường hợp tổng quát cho các số hạng phi tuyến
Với cùng PP đã thực hiện, nếu xem xét BT (3.0.1) với các số hạng phi tuyến

tổng quát gần giống với các số hạng F
r
, r 2 fp, q, p
0
, q
0
, r
0
, p
1
, q
1
, r
1
g, thì kết quả
vẫn còn đúng. Chúng tôi giới thiệu lớp hàm L
p
sau đây:
Với mỗi p mà 1 < p < ∞, gọi L
p
là tập các hàm f : R ! R liên tục, đơn điệu
tăng trên R thỏa các điều kiện sau đây:
(A) Tồn tại các hằng số dương C
1
, C
0
1
, C
2
, sao cho

(i) x f (x)  C
1
j
x
j
p
C
0
1
8x 2 R,
(ii)
j
f (x)
j
 C
2
(1 +
j
x
j
p1
) 8x 2 R;
(B) Nếu p  2, thì
(i) 8M > 0, 9K
M
> 0 :
j
f (x)  f (y)
j
 K

M
j
x  y
j
, 8x, y 2 [M, M],
(ii) 9C
p
> 0 : (x  y)
(
f (x)  f (y)
)
 C
p
j
x  y
j
p
, 8x, y 2 R;
(C) Nếu 1 < p < 2, thì tồn tại hằng số dương d
p
, sao cho
j
f (x)  f (y)
j
 d
p
j
x  y
j
p1

, 8x, y 2 R.
Chú ý rằng L
p
còn có các tính chất sau
(i) F
p
2 L
p
, 1 < p < ∞,
(ii) f + g, α f 2 L
p
, 8f , g 2 L
p
, 8α > 0, 1 < p < ∞,
(iii) λ f + (1 λ)g 2 L
p
, 8f , g 2 L
p
, 0  λ  1, 1 < p < ∞, (L
p
là tập lồi),
(iv) f + g 2 L
p
, 8f 2 L
p
, 8g 2 L
q
, 2  q  p < ∞.
Và có thể nghiệm lại rằng hàm f xác định bởi f (x) = A
j

x
j
p2
x + B
j
x
j
q2
x +
Cx + D, trong đó 2  q < p < ∞, A > 0, B > 0, C > 0, D 2 R là các hằng số, cũng
thuộc L
p
.
Ta ký hiệu [p  1] để chỉ phần nguyên của p  1, với 1 < p < ∞, ký hiệu
e
L
p
= L
p
\ C
[p1]
(R; R), với 1 < p < ∞. Khi đó
e
L
p
cũng chứa tất cả các h àm F
p
,
1 < p < ∞.
Xét BT (3.0.1) với các số hạng phi tuyến có dạng hàm lũy thừa đơn điệu F

r
,
r 2 fp, q, p
0
, q
0
, r
0
, p
1
, q
1
, r
1
g, lần lượt được thay bởi các hàm Ψ
r
2
e
L
r
, r 2 fp, q, p
0
,
q
0
, r
0
, p
1
, q

1
, r
1
g, với các hằng số p, q, p
0
, q
0
, r
0
, p
1
, q
1
, r
1
, K, λ, K
i
, λ
i
và các hàm
cho trước µ, F,
˜
u
0
,
˜
u
1
g
i

, k
i
thỏa các điều kiện như đã nêu cho BT(3.0.1), ta thu được
22
các kết quả tương tự .
Kết luận chương 3. BT (3.0.1) đã được xét trong [T1] với f (u, u
t
) là tuyến tính,
tức là f (u, u
t
) = Ku + λu
t
, với K  0, λ > 0 là các hằng số cho trước, trong đó,
chúng tôi đã thiết lập các kết quả về tồn tại toàn cục, về tính duy nhất, tính trơn
của nghiệm yếu và KTTC của nghiệm theo hai tham số λ, K. Trong các chứng minh,
PP Faedo-Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm, hội tụ yếu, PP đơn điệu
và tính compact đã được áp dụng. Vận dụng tất cả các PP và kỹ thuật nói trên với
sự cải tiến thích hợp, chương 3 đã mở rộng các kết quả trong [T1] cho trường hợp
f (u, u
t
) = Kjuj
p2
u + λju
t
j
q2
u
t
và góp phần làm phong phú thêm những kết quả
liên quan đến BT biên cho PT sóng phi tuyến dạng (3.0.1)

1
- dạng PP đã và đang
được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học do những ứng dụng của nó trong
nghiên cứu dao động của các vật liệu đ àn hồi nhớt.
Với lớp các hàm phi tuyến
e
L
p
, 1 < p < ∞, các kết quả cho (3.0.1) vẫn còn đúng
nếu các số hạng phi tuyến F
r
, r 2 fp, q, p
0
, q
0
, r
0
, p
1
, q
1
, r
1
g được thay bởi các hàm
Ψ
r
2
e
L
r

, r 2 fp, q, p
0
, q
0
, r
0
, p
1
, q
1
, r
1
g.
Kết luận
Như vậy, luận án đã nghiên cứu tính giải được và một số tính chất của nghiệm
của ba BT biên cho các PT sóng phi tuyến thuộc các dạng sau:
- PT sóng kiểu Kirchhoff liên kết với ĐK đầu và ĐKB không thuần nhất - ĐK
Dirichlet hoặc ĐK Neumann - Dirichlet.
- PT sóng kiểu Kirchhoff-Carrier liên kết với ĐK đầu và ĐKB không thuần nhất
- ĐK Robin hoặc ĐK Robin-Dirichlet.
- PT sóng phi tuyến liên kết với ĐK đầu và ĐKB phi tuyến có chứa tích phân.
Ứng với mỗi dạng nêu trên, luận án đã chứng minh các định lý về sự tồn tại
nghiệm - nghiệm địa phương hoặc nghiệm toàn cục, đã thiết lập các KTTC của
nghiệm theo nhiều tham số bé xuất hiện trong BT. Luận án cũng cho thấy tính trơn
của nghiệm phụ thuộc vào tính trơn của ĐK đầu. Trong trường hợp cần tăng cư ờng
tính trơn của nghiệm, cụ thể là để nghiệm của BT thứ ba có tính trơn tốt hơn, luận
án đã tăng cường tính trơn của ĐK đầu cùng với một số ĐK phụ.
Bằng các PP và kỹ thuật của giải tích hàm phi tuyến, trong đó các công cụ chính
là PP xấp xỉ tuyến tính, PP xấp xỉ Faedo-Galerkin kết hợp với PP điểm bất động
và PP compact, PP KTTC, luận án đạt được các kết quả mới sau đây:

1. Phát biểu và chứng minh một định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu địa
phương của BT biên cho PT sóng phi tuyến kiểu Kirchhoff:
23