sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến vào một số bài toán biên phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
        
LÊ KHÁNH LUẬN
SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP
CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN
VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2013
Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh
        
Người hướng dẫn khoa học
1. TS. NGUYỄN THÀNH LONG
2. TS. TRẦN MINH THUYẾT
Phản biện 1: GS. TSKH. ĐỖ CÔNG KHANH
Phản biện 2: GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG
Phản biện 3: PGS. TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC
Phản biện độc lập 1: GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN
Phản biện độc lập 2: TS. NGUYỄN VĂN NHÂN
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp cơ sở đào tạo họp tại
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh
vào lúc giờ tháng năm 2013
Có thể tìm luận án trên tại các thư viện:
 Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh
 Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh
Mở đầu
Lý thuyết các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng có mối liên
hệ trực tiếp với các bài toán xuất phát từ thực tiễn. Vào giữa thế kỷ XVIII,

các công trình của những nhà toán học như L. Euler (1707-1783), D’Alembert
(1717-1783), Lagrange (1736-1813) và Laplace (1749 -1827) đã đặt nền móng
cho việc xây dựn g phương trình đạo hàm riêng như là một công cụ quan trọng
để mô tả các mô hình của vật lý và cơ học. Từ đó đến nay, lý thuyết phương
trình đạo hàm riêng đã phát triển không ngừng và đóng một vai trò quan
trọng trong lĩnh vực toán học lý thuyết cũng như trong lĩnh vực toán học ứng
dụng, đồng thời thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học ở nhiều lĩnh vực.
Sự phát triển của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có tác động qua
lại với sự phát triển của giải tích thực, giải tích hàm và các lĩnh vực nghiên
cứu hiện đại khác của toán học. Chính nhu cầu nghiên cứu một cách chặt chẽ
các phương trình đạo hàm riêng đã làm nảy sinh nhiều phương pháp hữu hiệu
như phương pháp Fourier, phương pháp Galerkin và các phương pháp khác
của giải tích phi tuyến.
Thực tế cho thấy rằng, có rất nhiều dạng bài toán biên cho phương trình
sóng nói riêng và phương trình đạo hàm riêng nói chung, và không tồn tại một
phương pháp chung nào để giải tất cả các bài toán đó. Còn nhiều dạng bài
toán vẫn là "bài toán mở" - cần tiếp tục khảo sát. Do các yếu tố phi tuyến
xuất hiện trong bài toán biên, bài toán sẽ trở nên phức tạp và đòi hỏi phải lựa
chọn các công cụ toán học thích hợp kèm theo một số kỹ thuật tính toán để
thu được các thông tin về nghiệm càng nhiều càng tốt, như sự tồn tại nghiệm,
tính duy nhất, tính trơn, tính ổn định hoặc khai triển tiệm cận nghiệm.
Chính vì vậy, chúng tôi có cơ sở để chọn đề tài nghiên cứu của luận án là
"Sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến vào một số bài
toán biên phi tuyến".
Các phương pháp của giải tích phi tuyến cùng các kiến thức cơ bản khác
hỗ trợ cho việc giải các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng có thể
được tìm thấy trong rất nhiều tài liệu, có thể kể đến các tài liệu như: Haim
Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations,
Springer New York Dordrecht Heidelberg London, 2010; J. L. Lions, Quelques
1

méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod; Gau-
thier – Villars, Paris, 1969; Lakshmikantham V, Leela S, Differential and In-
tegral Inequalities, Vol.1. Academic Press, NewYork, 1969; K. Deimling, Non-
linear Functional Analysis, Springer, NewYork, 1985.
Tiếp nối các công trình đã có cho ph ươn g trình sóng, luận án tập trung
khảo sát một số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến cụ thể thuộc
dạng
u
tt

@
@x
[ (x; t; u; u
x
) u
x
] = f(x; t; u; u
x
; u
t
); 0 < x < 1; 0 < t < T;
liên kết với điều kiện biên cụ thể và điều kiện đầu
u(x; 0) = ~u
0
(x); u
t
(x; 0) = ~u
1
(x);
trong đó ; f; ~u

0
; ~u
1
là các hàm số cho trước.
Để giải các bài toán biên cụ thể này, bên cạnh phương pháp xấp xỉ tuyến
tính với một sơ đồ lặp được xây dựng bằng phép quy nạp, luận án đã sử dụng
phương pháp Galerkin liên hệ với các định lý điểm bất động, các đánh giá tiên
nghiệm và các lý luận về tính compact. Trong đó, công cụ chính là phương
pháp Galerkin hay còn gọi là xấp xỉ Faedo - Galerkin. Ph ép giải xấp xỉ này
thường được sử dụng để tìm nghiệm u(x; t) của bài toán giá trị biên - ban đầu
cho các phương trình đạo hàm riêng. Ý tưởng cơ bản ở đây là chọn m ột cơ
sở phù hợp fe
i
g trong một không gian hàm nào đó và rồi đi tìm kiếm nghiệm
dạng u(x; t) =
P
1
i=1
c
i
(t)e
i
(x) của bài toán biên ban đầu. Từ đó, dẫn đến
bài toán giá trị biên ban đầu cho một hệ vô hạn các phương trình vi phân
thường với ẩn hàm là c
i
(t); bài toán sẽ được giải bằng việc tìm "nghiệm xấp
xỉ" u
n
(x; t) =

P
n
i=1
c
ni
(t)e
i
(x) thoả mãn hệ phương trình "cắt ngắn" tương
ứng. Cuối cùng, ta chỉ ra dãy nghiệm xấp xỉ fu
n
g hội tụ về nghiệm u: Quá
trình chứng minh tồn tại nghiệm theo phương pháp này rất cần đến các kỹ
thuật của giải tích phi tuyến, mà trước hết là vận d ụng các định lý điểm bất
động như Schauder hay định lý ánh xạ co để chứng minh sự tồn tại nghiệm
xấp xỉ; sử dụng các bất đẳng thức và đặc biệt là bổ đề Gronwall để thu được
các ước lượng sai số hay các đánh giá tiên nghiệm, ngoài ra bổ đề Gronwall
cũng đóng một vai trò quan trọng trong việc chứng minh sự tồn tại và d uy
nhất nghiệm. Cuối cùng là việc sử dụng các định lý nhúng compact để trích
ra được các dãy con hội tụ về nghiệm cần tìm của bài toán.
Nội dung chính của luận án gồm ba chương. Sau đây là phần giới thiệu về
các bài toán được nghiên cứu trong các chương.
2
Chương 1 đề cập đến việc sử dụng các phương pháp của giải tích p hi
tuyến cho bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến
8
>
<
>
:
u

tt

@
@x
((x; t; u)u
x
) = f(x; t; u; u
x
; u
t
); 0 < x < 1; 0 < t < T;
u
x
(0; t) = g
0
(t); u(1; t) = g
1
(t);
u(x; 0) = ~u
0
(x); u
t
(x; 0) = ~u
1
(x);
(1)
trong đó ~u
0
; ~u
1

; ; f; g
0
; g
1
là các hàm số cho trước. Đây là bài toán được
đã được đề cập nhiều trong các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả trong
những năm gần đây.
Trong các trường hợp đặc biệt, khi các hàm (x; t; u) độc lập với u như:
(x; t; u)  1; hoặc (x; t; u) = (x; t); và số hạng phi tuyến f có các dạng
đơn giản, bài toán (1), với các điều kiện biên- ban đầu khác nhau, đã được
nghiên cứu bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như, Ortiz, Định [SIAM J. Math.
Anal. 18(1987) 452 - 464], Long, Định [Nonlinear Anal. TMA. 19(7)(1992)
613 – 623; 24(8)(1995) 1261 – 1279]; Long, Diễm [Nonlinear Anal. TMA.
29(1997) 1217 –1230]; Long, Định, Diễm [J. Math. Anal. Appl. 267(1)(2002)
116 – 134; Demonstratio Math. 36(3)(2003) 683 - 695; Bound. Value Probl.
2005(3)(2005) 337 – 358]; Long, Trường [Nonlinear Anal. TMA. 67(3)(2007)
842 – 864; Electron. J. Diff. Eqns., Vol.2007(2007), No. 48, pp. 1 – 19]; Ngọc,
Hằng và Long [Nonlinear Anal. TMA. 70(11)(2009) 3943 – 3965] và các tài
liệu tham khảo trong đó.
Trong bài báo [Comm. Pure Appl. Math. 10(1957) 331-356] Ficken và
Fleishman đã thiết lập sự tồn tại duy nhất toàn cục và sự ổn định của nghiệm
cho phương trình
u
xx
 u
tt
 2u
t
 u = "u
3

+ ; " > 0: (2)
Trong [Comm. Pure. Appl. Math. 20(1967) 145 - 205] Rabinowitz đã chứng
minh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn cho
u
xx
 u
tt
 2u
t
= "f(x; t; u; u
x
; u
t
); (3)
trong đó " là một tham số bé và f là hàm tuần hoàn theo thời gian.
Trong một bài báo của Caughey và Ellison [J. Math. Anal. Appl. 51(1975)
1- 32] đã hợp nhất các xấp xỉ của các trường hợp trước đó để khảo sát sự tồn
tại, duy nhất và ổn định tiệm cận các nghiệm cổ điển cho một lớp các hệ động
lực phi tuyến liên tục.
Trong [Demonstratio Math. 36(3)(2003) 683 - 695] Long, Định, Diễm đã
nghiên cứu thuật giải qui nạp tuyến tính và khai triển tiệm cận cho phương
3
trình sóng phi tuyến
u
tt
 u
xx
= f(x; t; u; u
x
; u

t
) + "g(x; t; u; u
x
; u
t
); (4)
với các điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất
(
u
x
(0; t)  h
0
u(0; t) = g
0
(t);
u
x
(1; t) + h
1
u(1; t) = g
1
(t):
(5)
Ngoài ra, một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u
"
đến cấp N + 1 theo "
cũng được nghiên cứu ứng với g
0
; g
1

2 C
3
(R
+
); f 2 C
N+1
([0; 1]  R
+
 R
3
);
g 2 C
N
([0; 1]  R
+
 R
3
) và một số điều kiện khác.
Trong trường hợp (x; t; u) phụ thuộc vào u hay số hạng phi tuyến f có
dạng tổng quát, theo sự hiểu biết của chúng tôi chưa có nhiều công trình
nghiên cứu, vì thực tế các tính toán không dễ dàng. Để giải quyết khó khăn
này, phương pháp tuyến tính hóa các số hạng phi tuyến thường được sử dụng.
Kỹ thuật này như sau. Đầu tiên, với mỗi v = v(x; t) thuộc một không gian
hàm thích hợp X; ta có thể đưa ra một số giả thiết thích hợp để có được một
nghiệm duy nhất u 2 X của bài toán đối với  = (x; t; v(x; t)) = ~(x; t) và
f = f(x; t; v; v
x
; v
t
) =

~
f(x; t): Rõ ràng là u phụ thuộc vào v; vì vậy ta có thể
giả sử rằng u = A(v): Vì vậy, bài toán trên có thể được đưa về một bài toán
điểm bất động của toán tử A : X ! X: Dựa vào ý tưởng này, ta thiết lập
được một dãy lặp fu
m
g sao cho fu
m
g hội tụ về nghiệm của bài toán và ta thu
được kết quả tồn tại n ghiệm ; thông thường là xây dựng theo thuật giải lặp
u
m
= A(u
m1
); m = 1; 2; :::; với số hạng đầu u
0
được chọn trước.
Trong chương n ày, trước hết sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương
của bài toán (1) được chứng minh. Vì (x; t; u) phụ thuộc vào u và f có dạng
tổng quát, nên như đã nói ở trên, chúng tôi chọn phương pháp xấp xỉ tuyến
tính và sử dụng kết hợp với phương pháp Galerkin, phương pháp compact và
đánh giá tiên nghiệm. Tiếp theo, khi các hàm ; f có nhiễu, thay cho ; f
là  + "
1

1
và f + "
2
f
1

; ta có bài toán nhiễu sau
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
u
tt

@
@x
[((x; t; u) + "
1

1
(x; t; u)) u
x
]
= f(x; t; u; u
x
; u
t
) + "
2

f
1
(x; t; u; u
x
; u
t
); 0 < x < 1; 0 < t < T;
u
x
(0; t) = g
0
(t); u(1; t) = g
1
(t);
u(x; 0) = ~u
0
(x); u
t
(x; 0) = ~u
1
(x):
(6)
Với tính trơn thích hợp của các hàm ; 
1
; f; f
1
, chương 1 chỉ ra một khai
triển tiệm cận của nghiệm bài toán (6) theo hai tham số bé "
1
; "

2
: Toàn bộ
kết quả thu đư ợc cho bài toán (6) đã tổng quát hóa kết quả trong [L1], chứa
4
trường hợp  = (u); 
1
= 
1
(u); g
1
(t) = 0 như là một trường hợp riêng.
Ngoài ra, kết quả của Chương 1 cũng đúng cho bài toán (1)
1;3
liên kết với
điều kiện biên u(0; t) = u(1; t) = 0; và đã được công bố trong [L3], trong đó
khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm đồng thời thiết lập một khai trển tiệm
cận của nghiệm theo p tham số bé "
1
; :::"
p
, ứng với các hàm ; f có nhiễu dưới
dạng  +
P
p
i=1
"
i

i
và f +

P
p
i=1
"
i
f
i
:
Chương 2 tiếp tục sử dụng các phương pháp và công cụ của giải tích phi
tuyến để xét bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến có dạng
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
u
tt

@
@x

((x; t)u
x
) + Kjuj
p2
u + ju
t
j
q2
u
t
= F(x; t); 0 < x < 1; 0 < t < T;
(0; t)u
x
(0; t) = P (t);
(1; t)u
x
(1; t) = 
1
ju
t
(1; t)j
2
u
t
(1; t);
u(x; 0) = ~u
0
(x); u
t
(x; 0) = ~u

1
(x);
(7)
với K; ; 
1
; ; p; q là các hằng số cho trước và ~u
0
; ~u
1
; ; F là các hàm số
cho trước thoả một số điều kiện nào đó mà sẽ được chỉ ra sau, ẩn hàm u(x; t)
và giá trị biên chưa biết P(t) thỏa một bài toán Cauchy cho phương trình vi
phân thường
(
P
00
(t) + 
1
P
0
(t) + 
2
P (t) = (t)u
tt
(0; t); 0 < t < T;
P (0) =
~
P
0
; P

0
(0) =
~
P
1
;
(8)
trong đó (t) là hàm số cho trước và 
1
; 
2
;
~
P
0
;
~
P
1
là các h ằng số cho trước,
với 
2
1
 4
2
< 0:
Đây là bài toán được khảo sát bởi nhiều tác giả, như là: An, Triều [J.
Mech. NCSR. Vietnam, 13(2)(1991) 1 –7]; Bergounioux, Long, Định [Nonlin-
ear Anal. TMA. 43(2001) 547–561]; Cavalcanti, cùng các cộng sự [Appl. Math.
Comput. 150(2)(2004) 439–465]; Định, Long [Demonstratio Math. 30(3)(1997)

557 - 572]; Long cùng các cộng sự [Nonlinear Anal. TMA. 19(7)(1992) 613
– 623; 24(8)(1995) 1261 – 1279; Bound. Value Probl. 2005(3)(2005) 337 –
358; Demonstratio Math. 36(4)(2003) 915 – 938; Electron. J. Diff. Eqns., Vol.
2007(2007), No. 48, pp. 1 – 19]; Ngọc cùng các cộng sự [Comm. on Pure and
Applied Anal. 12(5)(2013) 2001-2029; Nonlinear Anal. TMA. 70(11)(2009)
3943 – 3965; Nonlinear Anal. TMA. 72(3–4)(2010) 1865 – 1885; Acta Math.
Viet. 36(2)(2011) 345 – 374] và các tài liệu tham khảo trong đó.
Trong công trình của An, Trieu [J. Mech. NCSR. Vietnam, 13(2)(1991) 1
–7] đã xét bài toán (7)
1;2;4
, và (8) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần
5
nhất tại x = 1 :
u(1; t) = 0;
(9)
với (x; t)  1; F = ~u
0
= ~u
1
=
~
P
0
= 
1
= 0; (t) = ; và f(u; u
t
) = Ku+u
t
;

với ; K  0;   0 là các hằng số cho trước. Trong trường hợp này bài toán
(7)
1;2;4
, (8) và (9) là một mô hình toán học mô tả những va chạm của một vật
rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng. Cũng với
(x; t)  1; một trường hợp đặc biệt khác của bài toán (7)
1;2;4
, (8) liên kết với
một điều kiện biên tuyến tính tại x = 1 đã được khảo sát bởi Bergounioux,
Long, Định [Nonlinear Anal. TMA. 43(2001) 547–561].
Từ (8), biểu diễn P (t) theo 
1
; 
2
;
~
P
0
;
~
P
1
; (t); u
tt
(0; t) và sau đó lấy tích
phân từng phần, ta thu được
P (t) = g(t) + (t)u(0; t) +
R
t
0

k (t; s) u (0; s) ds;
(10)
g(t) =

~
P
0
 (0)~u
0
(0)

e
t
cos !t
+
h

~
P
0

1

~
P
1
+ (

0
(0)+(0)

!
)~u
0
(0) 
(0)
!
~u
1
(0)
i
e
t
sin !t;
(11)
k (t; s) = 2(


0
(s) + (s)

e
(ts)
cos(!(t  s))
+


00
(s) + 2
0
(s) + (

2
 !
2
)(s)

e
(ts)
sin(!( ts))
!
;
(12)
với  =
1
2

1
; ! =
1
2
p
4
2
 
2
1
: Khử P (t); ta thay điều kiện b iên (7)
2
bởi
(0; t)u
x

(0; t) = g(t) + (t)u(0; t) +
R
t
0
k (t; s) u (0; s) ds:
(13)
Khi đó, bài toán (7), (8) được dẫn về bài toán (7)
1;3;4
và (13), dạng bài toán
này cũng đã được nhiều tác giả quan tâm n ghiên cứu. Chẳng hạn như, Cav-
alcanti cùng các cộng sự [Appl. Math. Comput. 150(2)(2004) 439–465]; Long,
Định và Diễm [Bound. Value Probl. 2005(3)(2005) 337 – 358]; Ngọc, Hằng
và Long [Nonlinear Anal. TMA. 70(11)(2009) 3943 – 3965]; Tiehu Qin [Chi-
nese Ann. Math. Ser. B 14(3)(1993) 335–346; Arab. J. Sci. Eng. 19(2A)(1994)
195–202]; Rivera J. E. M unoz [Math. Meth. Appl. Sci. 23(2000) 41 – 61; Appl.
Math. Lett. 13(2)(2000) 115–121]; Santos [Electron. J. Qual. Theory Differ.
Equ. 2002(7)(2002) 17pp] và các tài liệu tham khảo trong đó. Các công trình
này đã có được nhiều kết quả đáng chú ý về sự tồn tại, duy nhất, tính trơn,
tính ổn định, khai triển tiệm cận của nghiệm hoặc tính tắt dần của nghiệm.
Kết quả thu được của chương 2 gồm 3 phần sau đây:
Phần 1 là kết quả về sự tồn tại toàn cục và duy nhất nghiệm yếu của bài
toán (7) dưới một số điều kiện cho trước. Trong phần 2, gọi u

1
là nghiệm
6
yếu của bài toán (7) ứng với mỗi 
1
> 0; ta thu được dáng điệu tiệm cận của
nghiệm u


1
khi 
1
! 0
+
: Phần còn lại chỉ ra được một cách khai triển tiệm
cận của nghiệm u

1
theo tham số bé 
1
; đến cấp N; theo nghĩa là có các hàm
u
0
; u
1
; :::; u
N
độc lập với 
1
sao cho ta có một đánh giá dạng



u

1

P

N
i=0

i
1
u
i



L
1
(0;T ;H
1
)
+



u
0

1

P
N
i=0

i
1

u
0
i



L
1
(0;T ;L
2
)
 C
T

(N+1)1
2(1)
1
;
với C
T
là hằng số độc lập với 
1
: Kết quả chương này đã được công bố trong
[L2].
Cuối cùng, Chương 3 tập trung sử dụng các công cụ của giải tích phi
tuyến để xem xét bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến
8
>
>
>

>
<
>
>
>
>
:
u
tt

@
@x
( (x; t) u
x
) + f(u; u
t
) = F (x; t) ; 0 < x < 1; 0 < t < T;
 (0; t) u
x
(0; t) = g
0
(t) +
R
t
0
k
0
(t  s) u (0; s) ds;
 (1; t) u
x

(1; t) = g
1
(t) +
R
t
0
k
1
(t  s) u (1; s) ds;
u(x; 0) = ~u
0
(x); u
t
(x; 0) = ~u
1
(x);
(14)
trong đó f (u; u
t
) = (u) + ju
t
j
q2
u
t
; với  > 0; q > 2 là các hằng số cho
trước và F; ; ; g
0
; g
1

; k
0
; k
1
; ~u
0
; ~u
1
là các hàm số cho trước thoả một số
điều kiện phù hợp.
Bài toán thuộc dạng (14) cũng đã được nhiều tác giả nghiên cứu và đã
nhận được nhiều sự quan tâm rộng rãi, bài toán được nghiên cứu ở đây có
thể xem như là sự tiếp nối của một trong các công trình Cavalcanti, cùng
các cộng sự [Appl. Math. Comput. 150(2)(2004) 439–465]; Long, Định và
Diễm [Bound. Value Probl. 2005(3)(2005) 337 – 358]; Ngọc, Hằng và Long
[Nonlinear Anal. TMA. 70(11)(2009) 3943 – 3965]; Tiehu Qin [Chinese Ann.
Math. Ser. B 14 (3)(1993) 335–346; Arab. J. Sci. Eng. 19(2A)(1994) 195–
202]; Rivera J. E. Munoz [Math. Meth. Appl. Sci. 23(2000) 41 – 61; Appl.
Math. Lett. 13(2)(2000) 115–121]; Santos [Electron. J. Qual. Theory Differ.
Equ. 2002(7)(2002) 17pp].
Trong [J. Mech. NCSR. Vietnam, 13(2)(1991), 1 –7] An, Triều đã nghiên
cứu một trường hợp riêng của bài toán (14)
1;4
liên kết hợp với điều kiện biên
u
x
(0; t) = g
0
(t) + h
0

u (0; t) +
R
t
0
k
0
(t  s) u (0; s) ds; (15)
u (1; t) = 0; (16)
với   1; ~u
0
= ~u
1
 0; và f (u; u
t
) = Ku + u
t
với K > 0;  > 0 là các hằng
số cho trước, g
0
và k
0
là các hàm cho trước. Trong trường h ợp này, bài toán
(14)
1;4
; (15), (16) là một mô hình toán học mô tả va chạm của một vật rắn
và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng.
7
Trong [Nonlinear Anal. TMA. 43(2001) 547–561], Bergounioux, Long và
Định đã nghiên cứu bài toán (14)
1;4

; (15) với điều kiện biên (14)
3
được thay
bởi
u
x
(1; t) + K
1
u (1; t) + 
1
u
t
(1; t) = 0;
(17)
trong đó f (u; u
t
) = Ku + u
t
; với K > 0;  > 0; K
1
> 0; 
1
> 0 là các
hằng số cho trước và g
0
; k
0
là các hàm cho trước. Sau đó, Long, Định và Diễm
[Bound. Value Probl. 2005(3)(2005) 337 – 358] đã tổng quát hóa kết quả của
Bergounioux bằng việc khảo sát bài toán (14)

1;4
; (15) và (17) trong trường
hợp của f (u; u
t
) = Kjuj
p2
u + ju
t
j
q2
u
t
; trong đó K;  > 0; p; q > 2 và
(~u
0
; ~u
1
) 2 H
2
 H
1
:
Gần đây trong [Nonlinear Anal. TMA. 70(11)(2009) 3943 – 3965] Ngọc,
Hằng và Long cho kết quả về sự tồn tại duy nhất, ổn định và khai triển tiệm
cận của bài toán (14) ứng với trường hợp f (u; u
t
) =  (u)+u
t
; ở đây  là một
hằng số cho trước và hàm  2 C

1
(R) thỏa điều kiện
R
z
0
 (s) ds  C
1
z
2
C
0
1
8z 2 R; C
1
; C
0
1
> 0 là các hằng số cho trước.
Nội dung của chương 3 gồm 3 phần: Trong phần 1 chứng minh sự tồn tại
toàn cục và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (14). Phần 2 chứng minh tính
ổn định của nghiệm đối với (; g
0
; g
1
; k
0
; k
1
; ; F ): Phần 3 thiết lập khai triển
tiệm cận của nghiệm bài toán (14) theo 2 tham số bé K; ; tương ứng với

f(u; u
t
) = Kjuj
p2
u + ju
t
j
q2
u
t
:
Một phần kết quả của Chương 3 đã được gửi đăng trong [L4].
Toàn bộ nội dung chính của luận án là nới rộng các kết quả đã được công
bố trong các bài báo ([L1] – [L3]) và gửi đăng trong [L4], một phần các kết
quả trên đã được báo cáo trong các hội nghị:
- Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 7, tại Qui Nhơn 04 – 08 /08/2008.
- Hội nghị Ứng dụng Toán học lần thứ 2 (23-25/12/2005); lần thứ 3 (23-
25/12/2010), tại Hà Nội.
- Hội nghị Khoa học lần 5 (30/11/2006), lần 7 (26/11/2010), lần 8 (9/11/2012),
ĐH. Khoa học Tự nhiên Tp. HCM, tiểu ban Toán-Tin học.
- Hội nghị Khoa học Công nghệ lần thứ 10 (26/10/2007), lần thứ 11 (21–
23/10/2009), Trường ĐH. Bách khoa Tp. HCM, 26/10/2007, Phân ban Toán
Cơ Kỹ thuật.
- Hội nghị Khoa học về một số hướng nghiên cứu mới trong toán học
hiện đại và ứng dụng, trường ĐH. Hồng Đức -Thanh Hóa, 25-28/5/2011; 24-
8
27/5/2012.
Để tiện cho việc theo dõi, sau đây là một số ký hiệu và các không gian hàm
cần thiết để sử dụ ng trong suốt luận án, các khái niệm và tính chất cơ bản
khác đặc trưng cho các dạng bài toán sẽ được nêu rõ trong mỗi chương.

Không gian hàm thông dụng. Trong suốt luận án nầy chúng tôi ký
hiệu  = (0; 1) ; Q
T
=   (0; 1) ; T > 0: Chúng tôi không nhắc lại định
nghĩa mà chỉ ký hiệu lại các không gian hàm thông dụng: W
m;p
= W
m;p
() ;
L
p
= W
0;p
() ; H
m
= W
m;2
() ; 1  p  1; m = 0; 1; ::::Chi tiết về không
gian trên có thể xem trong các cuốn sách của Brézis và Lions đã nêu ở trên.
Chú ý thêm rằng, ta không viết  đi kèm theo các ký hiệu không gian hàm nếu
 = (0; 1) ; nhưng nếu cần phân biệt với miền khác với  = (0; 1) thì sẽ viết
rõ, chẳng hạn như W
m;p
(0; T ) ; L
p
(0; T ) ; H
m
(0; T ) ; W
m;p
(Q

T
) ; L
p
(Q
T
) ;
H
m
(Q
T
) ::::
Chuẩn trong L
2
được ký hiệu là kk: Ta ký hiệu h; i là tích vô hướng trong
L
2
hoặc tích đối ngẫu của các phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử
của không gian hàm.
Cho không gian Banach X với chuẩn kk
X
: Ta ký hiệu L
p
(0; T ; X) ; 1 
p  1; để chỉ không gian Banach của các hàm u : (0; T ) ! X đo được, sao
cho kuk
L
p
(0;T ;X)
< +1; trong đó
kuk

L
p
(0;T ;X)
=
8
>
<
>
:

R
T
0
ku (t)k
p
X
dt

1=p
; nếu 1  p < 1;
esssup
0<t<T
ku (t)k
X
; nếu p = 1:
Lũy thừa một đa thức. Trước hết, ta cần các ký hiệu về đa chỉ số và
đơn thức hai biến
8
>
<

>
:
 = (
1
; 
2
) 2 Z
2
+
; jj = 
1
+ 
2
; ! = 
1
!
2
!;
;  2 Z
2
+
;    () 
i
 
i
8i = 1; 2;
~" = ("
1
; "
2

) 2 R
2
; k~"k =
p
"
2
1
+ "
2
2
; ~"

= "

1
1
"

2
2
:
Kết quả sau đây cho công thức lũy thừa của một đa thức theo hai biến
"
1
; "
2
:
Bổ đề 01. Cho m; N 2 N và u

2 R;  2 Z

2
+
; 1  jj  N: Khi đó

P
1jjN
u

~"


m
=
P
mjjmN
T
(m)

[u]~"

;
trong đó các hệ số T
(m)

[u] phụ thuộc vào họ u = fu

: 1  jj  Ng được
xác định bởi
9
T

(m)

[u] =
8
<
:
u

; 1  jj  N; m = 1;
P
2A
(m)

(N)
u

T
(m1)

[u] ; m    mN; m  2;
trong đó A
(m)

(N) = f 2 Z
2
+
:   ; 1  j  j  N; m  1  jj 
(m  1) Ng:
Chứng minh của bổ đề nầy có thể tìm thấy trong Long, Trường [Nonlinear
Anal. TMA. 67 (3) (2007) 842–864].

Trong trường hợp lũy thừa của một đa thức theo một biến " ta có
Bổ đề 02. Giả sử m; N 2 N; u = (u
1
; :::; u
N
) 2 R
N
: Khi đó

N
P
i=1
u
i
"
i

m
=
mN
P
i=m
P
[m]
i
[u]"
i
;
trong đó hệ số P
[m]

i
[u]; m  i  mN là một đa thức theo N biến u =
(u
1
; :::; u
N
) được xác định bởi công thức
8
>
<
>
:
P
[m]
i
[u] =
X
2A
(m)
i
(N)
m!
!
u

1
1
:::u

N

N
; m  i  mN;
A
(m)
i
(N) = f 2 Z
N
+
: jj = m;
P
N
j=1
j
j
= ig:
Chương 1
Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính và khai
triển tiệm cận cho bài toán biên hỗn hợp không
thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến
1.1 Giới thiệu
Trong chương nầy, chúng tôi xét bài toán
8
>
>
>
>
<
>
>
>

>
:
u
tt

@
@x
( (x; t; u) u
x
) = f (x; t; u; u
x
; u
t
) ;
0 < x < 1; 0 < t < T;
u
x
(0; t) = g
0
(t) ; u (1; t ) = g
1
(t);
u (x; 0) = ~u
0
(x) ; u
t
(x; 0) = ~u
1
(x) ;
(1.1.1)

trong đó ~u
0
; ~u
1
; ; f; g
0
; g
1
là các hàm số cho trước. Chương nầy gồm hai
phần. Trong phần một, chúng tôi sẽ thiết lập một định lý tồn tại và duy nhất
nghiệm yếu địa phương của bài toán (1.1.1) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến
tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. Phần
hai sẽ xét bài toán khai triển tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số bé.
10
1.2 Các ký hiệu và giả thiết
Trong chương nầy, ta sử dụng không gian hàm V =

v 2 H
1
: v (1) = 0

:
Giả sử rằng ~u
0
2 H
2
; ~u
1
2 H
1

; g
0
; g
1
2 C
3
(R
+
) ; f 2 C
1

[0; 1]  R
+
 R
3

và  2 C
2
([0; 1]  R
+
 R) ; thỏa điều kiện  (x; t; z)  
0
> 0; 8(x; t; z) 2
[0; 1]R
+
R: Dùng phép đổi biến v = u' với ' (x; t) = (x  1) g
0
(t)+g
1
(t)

thì bài toán (1.1.1) trở thành bài toán
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
v
tt

@
@x
( (x; t; v + ') v
x
) =
~
f (x; t; v; v
x
; v
t
) ;
0 < x < 1; 0 < t < T;
v
x
(0; t) = v (1; t) = 0;

v (x; 0) = ~v
0
(x) ; v
t
(x; 0) = ~v
1
(x) ;
(1.2.1)
trong đó
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
~
f (x; t; v; v
x
; v
t
) = f (x; t; v + '; v

x
+ '
x
; v
t
+ '
t
)
 (x  1) g
00
0
(t)  g
00
1
(t) + g
0
(t) D
1
 (x; t; v + ')
+ g
0
(t) (v
x
+ g
0
(t)) D
3
 (x; t; v + ') ;
~v
0

(x) = ~u
0
(x)  (x  1) g
0
(0)  g
1
(0) ;
~v
1
(x) = ~u
1
(x)  (x  1) g
0
0
(0)  g
0
1
(0) ;
(1.2.2)
và g
0
; g
1
; ~u
0
; ~u
1
thỏa điều kiện tương thích g
0
(0) = u

x
(0; 0) = ~u
0
0
(0) ; ~u
0
(1) =
g
1
(0); ~u
0
1
(1) = g
0
1
(0):
Trước hết, ta gọi một hàm v 2 L
1

0; T ; V \H
2

với v
t
2 L
1
(0; T ; V ) ;
v
tt
2 L

1

0; T ; L
2

là nghiệm yếu của (1.2.1) nếu nó thỏa bài toán biến phân
(
hv
tt
(t) ; wi + h (x; t; v + ') v
x
; w
x
i = h
~
f (x; t; v; v
x
; v
t
) ; wi; 8w 2 V;
v (0) = ~v
0
; v
t
(0) = ~v
1
:
Ta thiết lập các giả thiết sau:
(H
1

) ~v
0
2 V \H
2
; ~v
1
2 V;
(H
2
)  2 C
2
([0; 1]  R
+
 R) ;  (x; t; z)  
0
> 0; 8(x; t; z) 2 [0; 1]  R
+
 R;
(H
3
)
~
f 2 C
1

[0; 1]  R
+
 R
3


:
Với mỗi T 2 (0; T

] và M > 0; ta đặt
8
>
<
>
:
W (M; T ) = fv 2 L
1

0; T ; V \H
2

: v
t
2 L
1
(0; T ; V ) và v
tt
2 L
2
(Q
T
) ;
với kvk
L
1
(0;T ;V \H

2
)
; kv
t
k
L
1
(0;T ;V )
; kv
tt
k
L
2
(Q
T
)
 Mg;
W
1
(M; T ) =

v 2 W (M; T ) : v
tt
2 L
1

0; T ; L
2

:

Ta trình bày phương pháp xấp xỉ tuyến tính cho bài toán (1.2.1) như sau:
Chọn số hạng đầu v
0
 ~v
0
. Giả sử v
m1
2 W
1
(M; T ) : Ta tìm v
m
2
11
W
1
(M; T ) thỏa bài toán biến phân
(
hv
00
m
(t) ; wi + h
m
(t) rv
m
(t) ; rwi = hF
m
(t) ; wi; 8w 2 V;
v
m
(0) = ~v

0
; v
0
m
(0) = ~v
1
; m  1;
(1.2.3)
trong đó
(

m
(t) =  (x; t; 
m
(x; t)) ; 
m
(x; t) = v
m1
(x; t) + ' (x; t) ;
F
m
(t) =
~
f

x; t; v
m1
(t) ; rv
m1
(t) ; v

0
m1
(t)

:
(1.2.4)
Sự tồn tại d ãy fv
m
g như thế sẽ được chứng minh trong Định lý 1.3.1 bằng
cách sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin, kết hợp với các đánh giá tiên
nghiệm và lý luận về tính compact. Trong Định lý 1.4.1, khẳng định rằng dãy
fv
m
g hội tụ về nghiệm yếu của (1.2.1) trong một không gian thích hợp.
1.3 Sự tồn tại dãy xấp xỉ tuyến tính
Định lý 1.3.1. Giả sử (H
1
) (H
3
) thỏa. Khi đó tồn tại các hằng số M > 0
và T > 0 sao cho, với v
0
= ~v
0
, tồn tại một dãy qui nạp fv
m
g  W
1
(M; T )
xác định bởi (1.2.3), (1.2.4).

1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu
Định lý 1.4.1. Giả sử (H
1
)  (H
3
) thỏa. Khi đó
(i) Tồn tại các hằng số dương M và T sao cho bài toán (1.2.1) có duy nhất
nghiệm yếu v 2 W
1
(M; T ) :
(ii) Hơn nữa dãy quy nạp tuyến tính fv
m
g xác định bởi (1.2.3), (1.2.4)
hội tụ mạnh về nghiệm yếu v của bài toán (1.2.1) trong không gian W
1
(T ) =

w 2 L
1
(0; T ; V ) : w
0
2 L
1

0; T ; L
2

và ta có đánh giá
kv
m

 vk
L
1
(0;T ;V )
+ kv
0
m
 v
0
k
L
1
(0;T ;L
2
)
 Ck
m
T
; 8m 2 N;
trong đó 0 < k
T
< 1 và C là hằng số chỉ tùy thuộc T; g
0
; g
1
; ~v
0
; ~v
1
và k

T
:
Chú thích 1.4.1.
(i) Từ đây ta s uy ra nghiệm yếu của (1.1.1) được tính theo công thức
u = v + '; với ' = ' (x; t) = (x  1) g
0
(t) + g
1
(t) : Ta cũng kiểm tra không
khó khăn rằng nghiệm yếu của bài toán (1.1.1) là duy nhất.
(ii) Trường hợp   1; f = f (x; t; u; u
x
; u
t
) với f 2 C
1

[0; 1]  R
+
 R
3

;
và vài điều kiện biên khác thay cho (1.1.1)
2
; các kết quả đã thu được trong
các bài báo Long, Định, Diễm [Demonstratio Math. 36(3)(2003) 683 - 695];
Long, Diễm [Nonlinear Anal. TMA. 29(1997) 1217 –1230]; Long, Tâm, Trúc
[Demonstratio Math. 38(2)(2005) 365 - 386].
(iii) Kết quả phần nầy vẫn đúng với trường hợp  = (u); f = f (x; t; u; u

x
; u
t
)
với f 2 C
1

[0; 1]  R
+
 R
3

và đã được công bố trong [L1].
12
(iv) Kết quả phần nầy vẫn đúng với trường hợp  = (u); f = f (x; t; u; u
x
; u
t
)
với f 2 C
1

[0; 1]  R
+
 R
3

; và điều kiện biên (1.1.1)
2
được thay bởi điều

kiện biên Dirichlet thuần nhất và đã được công bố trong [L3].
1.5 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số bé.
Trong mục này, ta giả sử rằng ; 
1
2 C
2
([0; 1]  R
+
 R) ; (x; t; z) 

0
> 0; 
1
 0; f; f
1
2 C
1

[0; 1]  R
+
 R
3

: Ta xét bài toán nhiễu sau,
trong đó "
1
; "
2
là những tham số bé sao cho 0  "
1

 1; j"
2
j  1 :
(P
"
1
;"
2
)
8
>
<
>
:
u
tt

@
@x


"
1
[u] u
x

= F
"
2
[u] ; 0 < x < 1; 0 < t < T;

u
x
(0; t) = g
0
(t) ; u (1; t) = g
1
(t) ;
u (x; 0) = ~u
0
(x) ; u
t
(x; 0) = ~u
1
(x) ;
trong đó 
"
1
[u] =  (x; t; u ) + "
1

1
(x; t; u) ; F
"
2
[u] = F
"
2
(x; t; u; u
x
; u

t
) =
f (x; t; u; u
x
; u
t
) + "
2
f
1
(x; t; u; u
x
; u
t
) : Để cho gọn ta cũng ký hiệu f [u] =
f (x; t; u; u
x
; u
t
) và  [u] = (x; t; u): Ta cũng giả sử rằng:
(
~
H
1
) ~u
0
2 H
2
; ~u
1

2 H
1
; thỏa điều kiện tương thích g
0
(0) = u
x
(0; 0) =
~u
0
0
(0) ; ~u
0
(1) = g
1
(0); ~u
0
1
(1) = g
0
1
(0):
Do Định lý 1.4.1, bài toán (P
"
1
;"
2
)  (P
~"
) có duy nhất nghiệm yếu u = u
~"

tùy thuộc vào ~" = ("
1
; "
2
) : Khi ~" = (0; 0) ; (P
~"
) sẽ được ghi (P
0;0
)  (P
0
) và
nghiệm yếu của nó ký hiệu là u
0
: Ta sẽ xét khai triển tiệm cận của u
~"
theo hai
tham số bé ~" = ("
1
; "
2
); nghĩa là tìm cách xấp xỉ u
~"

P
jjN
u

~"

; trong đó

cần chỉ ra u

và đánh giá



u
~"

P
jjN
u

~"





theo một chuẩn kk

nào đó.
Bây giờ, ta giả sử rằng
(
~
H
2
)  2 C
N+2
(R) ; 

1
2 C
N+1
(R) ;   
0
> 0; 
1
 0;
(
~
H
3
) f 2 C
N+1

[0; 1]  R
+
 R
3

; f
1
2 C
N

[0; 1]  R
+
 R
3


:
Xét dãy hữu hạn các nghiệm yếu u

;  2 Z
2
+
; 1  jj  N; được xác định
bởi các bài toán sau:
(
~
P

)
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
u
00


@
@x

( [u
0
] u
x
) = F

; 0 < x < 1; 0 < t < T;
u
x
(0; t) = u

(1; t) = 0;
u

(x; 0) = u
0

(x; 0) = 0;
u

2 W
1
(M; T ) ;
trong đó F

;  2 Z
2
+
; 1  jj  N; được xác định bởi công thức sau
F


=
8
>
>
<
>
>
:
f [u
0
] ; jj = 0;


[f] + 
(2)

[f
1
]
+
P
1jjjj;  
@
@x
h


[] + 
(1)


[
1
]

ru

i
; 1  jj  N;
với
13
8
<
:


[] = 

h
; fu

g

i
; 
(1)

[] = 
(1)


h
; fu

g

i
;


[f] = 

h
f; fu

g

i
; 
(2)

[f] = 
(2)

h
f; fu

g

i
; jj  N;

được xác định bởi công thức như sau:
(i) Công thức 

[] ; 
(1)

[] :


[] =
8
>
<
>
:
 [u
0
] ; jj = 0;
jj
P
m=1
1
m!
D
m
3
 [u
0
] T
(m)


[u] ; 1  jj  N;

(1)

[] =
(


1
1;2
[] ; nếu 
1
 1;  = (
1
; 
2
) 2 Z
2
+
;

1;2
[] = 0; nếu 
1
= 0;  = (
1
; 
2
) 2 Z

2
+
;
(ii) Công thức 

[f] ; 
(2)

[f] :


[f] =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
f [u
0
] ; nếu jj = 0;
P
1jmjjj
P
(;;) 2A(m;N )

++=
1
m!
D
m
f [u
0
] T
(m
1
)

[u]
T
(m
2
)

[ru] T
(m
3
)

[u
0
] ; nếu 1  jj  N;
trong đó m = (m
1
; m
2

; m
3
) 2 Z
3
+
; jmj = m
1
+ m
2
+ m
3
; m! = m
1
!m
2
!m
3
!;
D
m
f = D
m
1
3
D
m
2
4
D
m

3
5
f; A (m; N) = f(; ; ) 2

Z
2
+

3
: m
1
 jj  m
1
N;
m
2
 jj  m
2
N; m
3
 jj  m
3
Ng; và

(2)

[f] =
(



1
;
2
1
[f] ; nếu 
2
 1;  = (
1
; 
2
) 2 Z
2
+
;


1
;1
[f] = 0; nếu 
2
= 0;  = (
1
; 
2
) 2 Z
2
+
:
Khi đó, ta có định lý sau.
Định lý 1.5.3. Giả sử (

~
H
1
) (
~
H
3
) thỏa. Khi đó tồn tại các hằng số M > 0
và T > 0 sao cho, với mọi ~", với 0  "
1
 1; j"
2
j  1; bài toán (P
~"
) có duy
nhất nghiệm yếu u = u
~"
thỏa đánh giá tiệm cận đến cấp N + 1 như sau



u
0

P
jjN
u
0

~"





L
1
(0;T ;L
2
)
+



u 
P
jjN
u

~"




L
1
(0;T ;V )
 C
T
k~"k
N+1

;
các hàm u

; jj  N là nghiệm yếu của các bài toán (
~
P

); jj  N; tương ứng.
Kết luận chương 1
Như vậy, bằng một phép đổi ẩn hàm, bài toán giá trị biên và ban đầu cho
phương trình sóng phi tuyến kết hợp với các điều kiện biên hỗn hợp không
thuần nhất được đưa về bài toán với điều kiện biên thuần nhất. Kết quả của
chương này nêu ra được điều kiện đủ của sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu địa
phương và khai triển tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham s ố bé "
1
; "
2
đến
một cấp phụ thuộc vào tính trơn của các số hạng phi tuyến. Các kết quả của
chương này đã tổng quát hoá các kết quả trong Long, Định, Diễm [J. Math.
Anal. Appl. 267(1)(2002) 116-134; Demonstratio Math. 36(3)(2003) 683-695];
14
Long, Diễm [Nonlinear Anal. TMA. 29(1997) 1217-1230]; Long, Tâm, Trúc
[Demonstratio Math. 38(2)(2005) 365-386] và đã được công bố trong [L1].
Bằng c ác kỹ thuật tương tự, kết quả thu được về khai triển tiệm cận theo
hai tham số bé nêu trên có thể mở rộng để thiết lập khai triển tiệm cận của
nghiệm theo nhiều tham số bé. Trong đó, cần lưu ý việc tính toán lũy thừa
của một đa thức theo hai biến (tổng quát được cho nhiều biến) và kỹ thuật
khai triển Taylor với các dạng phần dư , ở đây phần dư dạng tích phân là thích
hợp nhất do sự xuất hiện các biến trong thành phần của hai hàm ; f.

Ngoài ra, kết quả của Chương 1 vẫn đúng cho bài toán (1)
1;3
liên kết với
điều kiện biên Dirichlet: u(0; t) = u(1; t) = 0 và đã được công bố trong [L3],
trong đó khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm đồng thời thiết lập một khai
triển tiệm cận củ a nghiệm theo p tham số bé "
1
; :::"
p
, ứng với các hàm ; f
có nhiễu dưới dạng  +
P
p
i=1
"
i

i
và f +
P
p
i=1
"
i
f
i
:
Chương 2
Sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp phương
pháp compact và khai triển tiệm cận cho phương

trình sóng phi tuyến liên kết với bài toán Cauchy
cho phương trình vi phân thường
2.1 Giới thiệu
Trong chương nầy, chúng tôi xét bài toán
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
u
tt

@
@x
((x; t)u
x
) + f (u; u
t
) = F (x; t); 0 < x < 1; 0 < t < T;
(0; t)u
x
(0; t) = g (t) +  (t) u (0; t) +
R
t

0
k (t; s) u (0; s) ds;
(1; t)u
x
(1; t) = 
1
ju
t
(1; t)j
2
u
t
(1; t);
u(x; 0) = ~u
0
(x); u
t
(0; t) = ~u
1
(x);
(2.1.1)
trong đó f (u; u
t
) = K juj
p2
u +  ju
t
j
q2
u

t
, với K; ; 
1
; ; p; q là những
hằng số cho trước và ~u
0
; ~u
1
; ; F là những hàm số cho trước. Chương nầy
gồm ba phần. Ở phần 1, chúng tôi sẽ thiết lập một định lý tồn tại và duy nhất
nghiệm yếu toàn cục của bài toán (2.1.1) bằng phương pháp Galerkin, kết hợp
với đánh giá tiên nghiệm và lý luận về tính compact. Trong phần 2, gọi u

1
là
nghiệm yếu của (2.1.1) ứng với mỗi 
1
> 0; ta thu được dáng đ iệu tiệm cận
của u

1
khi 
1
! 0
+
: Phần 3 thiết lập một khai triển tiệm cận của u

1
theo
15

tham số bé 
1
đến cấp N: Kết quả chương này đã được công bố trong [L2].
2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Ta thiết lập các giả thiết sau:
(H
1
) (~u
0
; ~u
1
) 2 H
2
 H
1
;
(H
2
) F; F
0
2 L
1

0; T ; L
2

;
(H
3
)  2 C

1

Q
T

;  (x; t)  
0
> 0; 
tt
2 L
1
(0; T ; L
1
) ;
(H
4
) k 2 C
1


T

\ W
2;1
(
T
) ; 
T
= f(s; t) : 0 < s < t < T g;
(H

5
) g 2 W
2;1
(0; T ) ;
(H
6
)  2 W
2;1
(0; T ) ;  (t)  0;
(H
7
) p; q;   2; K  0; ; 
1
> 0;
(H
8
)
(
 (0; 0) ~u
0x
(0) = g (0) +  (0) ~u
0
(0) ;
 (1; 0) ~u
0x
(1) = 
1
j~u
1
(1)j

2
~u
1
(1) :
Nghiệm yếu của (2.1.1) là một hàm u 2 L
1

0; T ; H
2

; với u
t
2 L
1

0; T ; H
1

;
u
tt
2 L
1

0; T ; L
2

; ju
t
j

q
2
1
u
t
2 H
1
(Q
T
) ; ju
t
(1; )j

2
1
u
t
(1; ) 2 H
1
(0; T ) ;
và thỏa bài toán biến phân
8
>
>
>
>
<
>
>
>

>
:
hu
00
(t) ; vi + h (t) u
x
(t) ; v
x
i + P (t) v (0) + 
1


(u
0
(1; t)) v (1)
+ hK
p
(u (t)) + 
q
(u
0
(t)) ; vi = hF (t) ; vi; 8v 2 H
1
;
u (0) = ~u
0
; u
0
(0) = ~u
1

;
P (t) = g (t) +  (t) u (0; t) +
R
t
0
k (t; s) u (0; s) ds:
Khi đó ta có định lý sau.
Định lý 2.2.2. Cho T > 0; giả sử (H
1
)  (H
8
) thỏa. Khi đó, tồn tại duy
nhất một nghiệm yếu u của bài toán (2.1.1) sao cho u 2 L
1

0; T ; H
2

; u
t
2
L
1

0; T ; H
1

; u
tt
2 L

1

0; T ; L
2

; ju
t
j
q
2
1
u
t
2 H
1
(Q
T
) ; ju
t
(1; )j

2
1
u
t
(1; ) 2
H
1
(0; T ) :
Chú thích 2.2.2.

(i) Để ý rằng từ Định lý 2.2.2, ta suy ra u 2 H
2
(Q
T
) \ C
0

0; T ; H
1

\
C
1

0; T ; L
2

\L
1

0; T ; H
2

; u
t
2 L
1

0; T ; H
1


; u
tt
2 L
1

0; T ; L
2

; ju
t
j
q
2
1
u
t
2
H
1
(Q
T
) ; ju
t
(1; )j

2
1
u
t

(1; ) 2 H
1
(0; T ) :
(ii) Mặt khác, ta thấy rằng u 2 H
2
(Q
T
) nếu (~u
0
; ~u
1
) 2 H
2
 H
1
: Do đó
nghiệm thu được ở đây khá giống với nghiệm cổ điển mà điều kiện đầu (~u
0
; ~u
1
)
không nhất thiết phải thuộc C
2
()  C
1
():
2.3 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi 
1
! 0
+

Trong phần này, ta xem (2.1.1) như bài toán nhiễu theo một tham số bé

1
; 0 < 
1
 1, và ký hiệu bài toán nầy là (
~
P

1
): Ta giả sử rằng p; q;   2;
16
 > 0; K  0; và (~u
0
; ~u
1
; F; ; g; ) thỏa các giả thiết (H
1
)  (H
6
) và (H
8
) :
Ngoài ra ta còn thêm giả thiết ~u
0x
(1) = ~u
1
(1) = 0:
Với 
1

> 0; do Định lý 2.2.2, (
~
P

1
) có duy nhất một nghiệm yếu u = u

1
phụ thuộc 
1
: Khi đó, dáng điệu của u

1
khi 
1
! 0
+
cho bởi định lý sau
Định lý 2.3.1: Với T > 0. Giả sử (H
1
)  (H
8
) thỏa. Khi đó:
(i) Bài toán (
~
P
0
) tương ứng với 
1
= 0 có duy nhất nghiệm yếu u

0
thỏa
u
0
2 H
2
(Q
T
) \ C
0

0; T ; H
1

\ C
1

0; T ; L
2

\ L
1

0; T ; H
2

;
u
0
0

2 L
1

0; T ; H
1

; u
00
0
2 L
1

0; T ; L
2

; ju
0
0
j
q
2
1
u
0
0
2 H
1
(Q
T
) :

(ii) u

1
hội tụ mạnh về u
0
trong W
1
(T ) = fv 2 L
1

0; T ; H
1

: v
0
2
L
1

0; T ; L
2

g; khi 
1
! 0
+
: Hơn nữa, ta có đánh giá


u

0

1
 u
0
0


L
1
(0;T ;L
2
)
+ ku

1
 u
0
k
L
1
(0;T ;H
1
)
+


u
0


1
 u
0
0


q =2
L
q
(Q
T
)
+
p

1


u
0

1
(1; )  u
0
0
(1; )


=2
L


(0;T )
 C
T
p

1
;
C
T
là một hằng số dương chỉ phụ thuộc T:
2.4 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu
Kết quả tiếp theo cho một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u

1
đến cấp
N theo 
1
với sai số 
(N+1)1
2(1)
1
, với 
1
là một số đủ nhỏ.
Ta thêm các giả thiết sau:
(H
9
) p; q  N + 2;   N + 1; N  1;  > 0; K  0:
Gọi u

i
, i = 1; 2; :::; N là các nghiệm yếu u
i
, i = 1; 2; :::; N , của các bài toán
sau
(Q
i
)
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
u

00
i

@
@x
( (x; t) u
ix
) = F
i
; 0 < x < 1; 0 < t < T;
 (0; t) u
ix
(0; t)   (t) u
i
(0; t) 
R
t
0
k (t; s) u
i
(0; s) ds = 0;
 (1; t) u
ix
(1; t) = G
i
;
u
i
(x; 0) = u
0

i
(x; 0) = 0;
u
i
2 H
2
(Q
T
) \ C
0

0; T ; H
1

\ C
1

0; T ; L
2

\ L
1

0; T ; H
2

;
u
0
i

2 L
1

0; T ; H
1

; u
00
i
2 L
1

0; T ; L
2

; ju
0
i
j
q
2
1
u
0
i
2 H
1
(Q
T
) ;

trong đó
F
i
= 
i
P
k=1
1
k!
h
K
(k)
p
(u
0
) P
[k]
i
[u] + 
(k)
q
(u
0
0
) P
[k]
i
[u
0
]

i
; 1  i  N;
G
i
=
8
>
<
>
:


(u
0
0
) ; i = 1;

i1
P
k=1
1
k!
K
(k)

(u
0
0
(1; t)) P
[k]

i1
[u
0
(1; t)] ; 2  i  N;
ở đây các ký hiệu P
[k]
i
[u] ; P
[k]
i
[u
0
] lần lượt phụ thuộc vào u = (u
1
; :::; u
N
) ;
u
0
= (u
0
1
; :::; u
0
N
) như trong bổ đề 02.
17
Khi đó, ta có định lý sau.
Định lý 2.4.1. Giả sử (H
1

)  (H
6
) ; (H
8
) ; (H
9
) thỏa. Khi đó, với mọi 
1
;
với 0 < 
1
 

; bài toán (
~
P

1
) có duy nhất nghiệm y ếu u

1
thỏa đánh giá
tiệm cận đến cấp N như sau:



u
0

1


P
N
i=0
u
0
i

i
1



L
1
(0;T ;L
2
)
+



u

1

P
N
i=0
u

i

i
1



L
1
(0;T ;H
1
)
+



u
0

1

P
N
i=0
u
0
i

i
1




q=2
L
q
(Q
T
)
+
p

1



u
0

1
(1; ) 
P
N
i=0
u
0
i
(1; ) 
i
1




=2
L

(0;T )
 C
T

(N+1)1
2(1)
1
;
trong đó C
T
là một hằng số chỉ phụ thuộc T , các hàm u
i
; i = 0; 1; :::; N; là
các nghiệm yếu của các bài toán (
~
P
0
); (Q
i
) ; i = 1; :::; N; tương ứng.
Kết luận chương 2
Như vậy, bằng các phương pháp và kỹ thuật của giải tích phi tuyến, chương
2 đã khảo sát một bài toán biên liên kết với bài toán Cauchy cho phương
trình vi phân thường cho một phương trình sóng cụ thể - một trường hợp

riêng của phương trình sóng được xét trong chương 1, với  = (x; t) và
f = F (x; t)K juj
p2
u  ju
t
j
q2
u
t
: Do hàm  không phụ thuộc u và do các
tính chất khá tốt của số hạng phi tuyến cụ thể dạng K juj
p2
u +  ju
t
j
q2
u
t
,
đặc biệt là tính trơn và tính đơn điệu, mà ở đây ta không cần thiết phải sử
dụng phép xấp xỉ tuyến tính để chỉ ra tính giải được của bài toán. Trong các
chứng minh, phương pháp xấp xỉ Galerkin liên hệ với các định lý điểm bất
động, các đánh giá tiên nghiệm kết hợp với các lý luận về tính compact và
tính đơn điệu được áp dụng. Trên cơ sở tồn tại nghiệm, với dạng điều kiện
biên tại đầu x = 1 là (1; t)u
x
(1; t) = 
1
ju
t

(1; t)j
2
u
t
(1; t); với sự xuất
hiện của tham số 
1
; hoàn toàn tự nhiên khi ta xem xét sự phụ thuộc liên tục
của nghiệm yếu theo một nghĩa nào đó đối với 
1
; cũng như tìm kiếm một
khai triển tiệm cận của nghiệm yếu theo tham số bé 
1
đến một cấp nào đó.
18
Kết quả chương này đã được công bố trong [L2].
Chương 3
Sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp phương
pháp compact và khai triển tiệm cận cho phương
trình sóng phi tuyến với điều kiện biên không
thuần nhất dạng chứa tích chập
3.1 Giới thiệu
Trong chương này, chúng tôi xét bài toán biên và ban đầu cho phương trình
sóng phi tuyến
8
>
>
>
>
<

>
>
>
>
:
u
tt

@
@x
((x; t)u
x
) + f (u; u
t
) = F (x; t); 0 < x < 1; 0 < t < T;
(0; t)u
x
(0; t) = g
0
(t) +
R
t
0
k
0
(t  s) u (0; s) ds;
(1; t)u
x
(1; t) = g
1

(t) +
R
t
0
k
1
(t  s) u (1; s) ds;
u(x; 0) = ~u
0
(x); u
t
(x; 0) = ~u
1
(x);
(3.1.1)
trong đó f (u; u
t
) =  (u) +  ju
t
j
q2
u
t
, với  > 0; q  2 và F; ; ; g
0
; g
1
; k
0
;

k
1
; ~u
0
; ~u
1
là những hàm số cho trước. Chương nầy gồm ba phần. Trong phần
1, với f (u; u
t
) =  (u) +  ju
t
j
q2
u
t
, với  > 0; q  2; cùng với một số điều
kiện phụ, một định lý sự tồn tại toàn cục và duy nhất ngh iệm yếu bài toán
(3.1.1) được thiết lập bằng ph ương pháp Galerkin và phương pháp compact
yếu. Trong phần 2 chúng tôi chứng minh nghiệm yếu thu được sẽ ổn định đối
với (; g
0
; g
1
; k
0
; k
1
; ; F ): Trong phần 3, với f(u; u
t
) = Kjuj

p2
u +  ju
t
j
q2
u
t
;
chúng tôi chứng minh rằng nghiệm yếu của bài toán (3.1.1) thu được có một
khai triển tiệm cận đến cấp N theo 2 tham số bé K; : Các kết quả của chương
này tổng quát hoá các kết quả trong [Nonlinear Analysis, TMA. 70(11)(2009)
3943–3965] và gửi đăng trong [L4].
3.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu
Trước hết ta thiết lập các giả thiết sau:
(H
1
) (~u
0
; ~u
1
) 2 H
2
 H
1
;
(H
2
) g
0
; g

1
2 W
2;1
(0; T ) ;
(H
3
) k
0
; k
1
2 W
2;1
(0; T ) ;
(H
4
)  2 C
1

Q
T

; 
tt
2 L
1
(0; T ; L
1
) ;  (x; t)  
0
> 0;

(H
5
)   0; q  2;
19
(H
6
) F; F
t
2 L
2
(Q
T
) ;
(H
7
)  2 C
1
(R) và tồn tại C
1
; C
0
1
> 0; sao cho
R
z
0
 (s) ds  C
1
z
2

 C
0
1
; 8z 2 R;
(H
8
)  (0; 0) ~u
0x
(0) = g
0
(0) ;  (1; 0) ~u
0x
(1) = g
1
(0) :
Chú thích 3.2.1. Dưới đây là hai ví dụ về hàm  thỏa (H
7
).
Ví dụ 1. Xét hàm  thỏa điều kiện sau
(
~
H
7
)  2 C
1
(R) ;  (0) = 0 và s (s) > 0; 8s 6= 0:
Khi đó
R
z
0

 (s) ds  0; 8z 2 R: Do đó (H
7
) đúng.
Ví dụ 2. Xét hàm  (s) = jsj
p2
s  s  ; trong đó p; ;  là các hằng số
p  2;  > 0;  > 0: Rõ ràng là  2 C
1
(R) và
R
z
0
 (s) ds =
1
p
jzj
p


2
z
2
z 

+1
2
z
2

1

2

2
; 8z 2 R:
Vậy thì,  thỏa (H
7
) : Để ý rằng hàm  cho ở đây không thỏa (
~
H
7
):
Nghiệm yếu của bài toán (3.1.1) là một hàm u 2 L
1

0; T ; H
2

; với u
t
2
L
1

0; T ; H
1

; u
tt
2 L
1


0; T ; L
2

; và thỏa bài toán biến phân
8
>
<
>
:
hu
00
(t) ; vi + h (t) u
x
(t) ; v
x
i + [g
0
(t) +
R
t
0
k
0
(t  s) u (0; s) ds]v (0)
+[g
1
(t) +
R
t

0
k
1
(t  s) u (1; s) ds]v (1) + hf (u; u
0
) ; vi = hF (t) ; vi; 8v 2 H
1
;
u (0) = ~u
0
; u
0
(0) = ~u
1
:
Khi đó ta có định lý sau.
Định lý 3.2.1. Cho (H
1
)  (H
8
) đúng. Khi đó, với mọi T > 0; tồn tại
duy nhất một nghiệm yếu u của bài toán (3.1.1) sao cho u 2 L
1

0; T ; H
2

;
u
0

2 L
1

0; T ; H
1

; u
00
2 L
1

0; T ; L
2

:
Chú thích 3.2.2. Giống như chú thích 2.2.1, với (~u
0
; ~u
1
) 2 H
2
H
1
; nghiệm
yếu u của (3.1.1) thỏa u 2 H
2
(Q
T
)\C
0


0; T ; H
1

\C
1

0; T ; L
2

\L
1

0; T ; H
2

;
u
0
2 L
1

0; T ; H
1

; u
00
2 L
1


0; T ; L
2

:
3.3 Sự ổn định của nghiệm
Trong phần này, ta giả sử rằng ~u
0
; ~u
1
;  thỏa (H
1
) ; (H
7
) và (H
8
) : Ta đặt
=(
0
) = f(g
0
; g
1
; k
0
; k
1
; ; F ) : (g
0
; g
1

; k
0
; k
1
; ; F )
thỏa các giả thiết (H
2
)  (H
4
) ; (H
6
) ; (H
8
)g;
trong đó 
0
> 0 là hằng số cố định cho trước.
Cho q  2 và (; g
0
; g
1
; k
0
; k
1
; ; F ) 2 R
+
 =(
0
) : Do Định lý 3.2.1, Bài

toán (3.1.1) có duy nhất nghiệm yếu u = u (; g
0
; g
1
; k
0
; k
1
; ; F ) phụ thuộc
(; g
0
; g
1
; k
0
; k
1
; ; F ): Khi đó ta có định lý sau.
Định lý 3.3.1. Cho T > 0 và (H
1
) ; (H
7
) ; (H
8
) thỏa. Khi đó nghiệm của bài
toán (3.1.1) là ổn định đối với (; g
0
; g
1
; k

0
; k
1
; ; F ), theo nghĩa
20
Nếu (; g
0
; g
1
; k
0
; k
1
; ; F ); (
j
; g
j
0
; g
j
1
; k
j
0
; k
j
1
; 
j
; F

j
) 2 R
+
=(
0
) ; sao cho
8
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:



j
 



! 0;



j
 


C
1
(
Q
T
)
! 0;



g
j
0
 g
0



H
2
(0;T )
+




g
j
1
 g
1



H
2
(0;T )
! 0;



k
j
0
 k
0



W
2;1
(0;T )
+




k
j
1
 k
1



W
2;1
(0;T )
! 0;


F
j
 F


L
2
(Q
T
)
+




F
j
t
 F
t



L
2
(Q
T
)
! 0;
khi j ! +1; thì lim
j!+1
h
ku
j
 uk
L
1
(0;T ;H
1
)
+


u

0
j
 u
0


L
1
(0;T ;L
2
)
i
= 0;
trong đó u
j
= u(
j
; g
j
0
; g
j
1
; k
j
0
; k
j
1
; 

j
; F
j
):
3.4 Khai triển ti ệm cận của nghiệm yếu theo hai tham
số bé K, 
Trong phần này, ta xem (3.1.1) tương ứng với f (u; u
t
) = K juj
p2
u +
 ju
t
j
q2
u
t
, với K  0;  > 0; p; q  2 như bài toán nhiễu theo hai tham số
bé ~" = (K; ) là hai tham số bé, 0  K  K
0
; 0<   

: ta cũng ký hiệu
bài toán nầy là (P
~"
) : Giả sử rằng p; q  N + 2; N  2 và ~u
0
; ~u
1
; g

0
; g
1
; k
0
;
k
1
; F thỏa (H
1
)  (H
4
) ; (H
6
) ; (H
8
). Với ~" = (K ; ) 2 R
2
+
; theo định lý 3.2.1,
(P
~"
) có duy nhất một nghiệm yếu u = u
~"
phụ thuộc vào ~" = (K; ) : Phần
này nhằm xét khai triển tiệm cận nghiệm yếu u
~"
của (P
~"
) theo ~" = (K; ) :

Gọi u
0
= u
0;0
là nghiệm yếu của (P
0;0
)  (
~
P
0
) tương ứng với ~" = (0; 0) :
Ta xét dãy hữu hạn các nghiệm yếu u

;  2 Z
2
+
; 1  jj  N; được xác
định bởi các bài toán sau
(
~
P

)
8
>
>
>
>
>
>

>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
u
00


@
@x
( (x; t) u
x
) = F

; 0 < x < 1; 0 < t < T;
 (0; t) u
x
(0; t) =
R
t

0
k
0
(t  s) u

(0; s) ds;
(1; t)u
x
(1; t) =
R
t
0
k
1
(t  s) u

(1; s) ds;
u

(x; 0) = u
0

(x; 0) = 0;
u

2 H
2
(Q
T
) \ C

0

0; T ; H
1

\ C
1

0; T ; L
2

\ L
1

0; T ; H
2

;
u
0

2 L
1

0; T ; H
1

; u
00


2 L
1

0; T ; L
2

;
trong đó F

; jj  N; được xác định bởi các công thức
21
F

=
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>

>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
F; nếu jj = 0

p
(u
0
) ; nếu  = (1; 0) ;

q
(u

0
0
) ; nếu  = (0; 1) ;

jj1
P
m=1
1
m!

(m)
p
(u
0
) T
(m)
[u]

1
1;0
; nếu 
2
= 0; 2  
1
 N;

jj1
P
m=1
1

m!

(m)
q
(u
0
0
) T
(m)
[u
0
]
0;
2
1
; nếu 
1
= 0; 2  
2
 N;

jj1
P
m=1
1
m!
h

(m)
p

(u
0
) T
(m)
[u]

1
1;
2
+ 
(m)
q
(u
0
0
) T
(m)
[u
0
]

1
;
2
1
i
;
nếu 
1
 1; 

2
 1; 2  jj  N;
trong đó 
r
(z) = jzj
r2
z; r 2 fp; qg; các ký hiệu T
(m)
[u]

; T
(m)
[u
0
]

lần lượt
phụ thuộc vào các họ u = (u

) ; u
0
= (u
0

) ; 1  jj  N; như trong bổ đề 01.
Khi đó ta có định lý
Định lý 3.4.2. Giả sử rằng p; q  N + 2; N  2 và ~u
0
; ~u
1

; g
0
; g
1
; k
0
; k
1
;
F thỏa (H
1
)  (H
4
) ; (H
6
) ; (H
8
). Khi đó với ~" = (K; ) 2 R
2
+
; k~"k  1; bài
toán (P
~"
) có nghiệm yếu u duy nhất có khai triển tiệm cận theo hai tham số
bé ~" = (K; ) và thỏa đánh giá tiệm cận



u
0


P
jjN
u
0

~"




L
1
(0;T ;L
2
)
+



u 
P
jjN
u

~"





L
1
(0;T ;H
1
)
 C

T
k~"k
N+1
;
trong đó u

; jj  N được xác định bởi các bài toán (
~
P

); jj  N:
Kết luận chương 3
Tương tự chương 2, bằng việc sử dụng các phương pháp của giải tích phi
tuyến, chương 3 cũng khảo sát một bài toán biên cho một phương trình sóng cụ
thể - một trường hợp riêng của phương trình sóng được xét trong chương 1, với
 = (x; t) và f = F (x; t) (u) ju
t
j
q2
u
t
: Vì thế, để thu được các kết quả
về tồn tại duy nhất nghiệm, phương pháp và một số kỹ thuật được thực hiện

ở đây tương tự chương 2, chẳng hạn như chỉ sử dụng phương pháp Galerkin
mà không kết hợp với phương pháp xấp xỉ tuyến tính. Cũng chú ý thêm là, do
các điều kiện biên xuất h iện trong hai bài toán của chương 2 và 3 khá phức
tạp nên trong bước đánh giá tiên nghiệm đều phải thực hiện hai lần. Ngoài ra,
bởi tính chất khá tốt của số hạng phi tuyến cụ thể  (u) +  ju
t
j
q2
u
t
; trong
đó  (u) = Kjuj
p2
u hay  (u) tổng quát hơn nhưng có tính chất gần như
22
hàm Kjuj
p2
u, sự tồn tại thu được trong hai bài toán cụ thể này là toàn cục.
Kết luận
Trong luận án này chúng tôi sử dụng các phương pháp của giải tích hàm
phi tuyến để khảo sát một số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến
có liên quan đến các mô hình trong cơ học, vật lý cũng như một số ngành
khoa học khác. Nội dung chính của luận án tập trung vào ba dạng bài toán.
Trước hết là dạng bài toán b iên cho phương trình sóng với số hạng phi tuyến
khá tổng quát xuất hiện ở cả hai vế của phương trình. Tiếp theo là hai dạng
bài toán biên với điều kiện biên có chứa tích phân cho phương trình sóng cụ
thể, đây là các trường hợp riêng của phương trình sóng có dạng tổng quát đã
nêu. Những kết quả mới thu được trong luận án bao gồm:
(1) Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp các phương pháp khác
để chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu địa phương cho phương trình

sóng phi tuyến
8
>
<
>
:
u
tt

@
@x
((x; t; u)u
x
) = f(x; t; u; u
x
; u
t
); 0 < x < 1; 0 < t < T;
u
x
(0; t) = g
0
(t); u(1; t) = g
1
(t);
u (x; 0) = ~u
0
(x) ; u
t
(x; 0) = ~u

1
(x) ;
trong đó ~u
0
; ~u
1
; ; f; g
0
; g
1
là các hàm số cho trước. Trên cơ sở đó, luận án
chỉ ra một khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số bé "
1
; "
2
đến cấp
N + 1; cho bài toán với các số hạng phi tuyến (x; t; u); f(x; t; u; u
x
; u
t
) thay
bởi (x; t; u) + "
1

1
(x; t; u); f(x; t; u; u
x
; u
t
) + "

2
f(x; t; u; u
x
; u
t
):
(2) Sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp với phương pháp compact để
chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu toàn cục cho phương trình sóng
phi tuyến
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
u
tt

@
@x
((x; t)u

x
) + K juj
p2
u +  ju
t
j
q2
u
t
= F(x; t);
0 < x < 1; 0 < t < T;
(0; t)u
x
(0; t) = g (t) +  (t) u (0; t) +
R
t
0
k (t; s) u (0; s) ds;
(1; t)u
x
(1; t) = 
1
ju
t
(1; t)j
2
u
t
(1; t);
u (x; 0) = ~u

0
(x) ; u
t
(x; 0) = ~u
1
(x) ;
trong đó K; ; 
1
; ; p; q là những hằng số cho trước và ~u
0
; ~u
1
; ; F là những
hàm số cho trước. Cũng trên cơ sở tồn tại nghiệm, luận án thu được kết quả
về dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham số 
1
! 0
+
, cũng thiết lập được
một khai triển và đánh giá tiệm cận của nghiệm theo tham số bé 
1
đến cấp
23