Tải bản đầy đủ (.pdf) (51 trang)

Bài giảng độ đo và tích phân Nguyễn Thành Long

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (524.92 KB, 51 trang )

1
Nguyễn Thành Long
Chương 1. ĐỘ ĐODƯƠNG-HÀM SỐĐO ĐƯỢC
1. TẬP ĐO ĐƯỢC
A. Ta nhắclạimộtsố phép toán về họ tậphợp. Cho X là tập khác trống và I là tập
các chỉ số.Nếu ứng vớimột chỉ số i ∈ I, ta có duy nhấtmộttậpconA
i
⊂ X, ta nói
rằng ta có một họ tậphợp ký hiệulàA
i

i∈I
, hay A
i

i∈I
, hay A
i
,i ∈ I, hay A
i
,i ∈ I.
Ta định nghĩa phầngiaocủahọ tậphợp A
i

i∈I
,làtậpconcủa X đượckýhiệulà
i∈I
∩ A
i
và đượcxácđịnh bởi
i∈I


∩ A
i
 x ∈ X : x ∈ A
i
vớimọi i ∈ I.
Nói khác đi,
x ∈
i∈I
∩ A
i
 x ∈ A
i
vớimọi i ∈ I.
Ta định nghĩa phầnhộicủahọ tậphợp A
i

i∈I
,làtậpconcủa X đượckýhiệulà
i∈I
 A
i
và đượcxácđịnh bởi
i∈I
 A
i
 x ∈ X : x ∈ A
i
vớiítnhấtmột i ∈ I.
Nói khác đi,
x ∈

i∈I
 A
i
 ∃i ∈ I : x ∈ A
i
.
Trường hợp riêng với
i) I  1,2, ,n : ta viết
i∈I
∩ A
i

i1
n
∩ A
i
 A
1
∩ A
2
∩ ∩A
n
,
i∈I
 A
i

i1
n
 A

i
 A
1
 A
2
 A
n
.
ii) I  ℕ : ta viết
i∈I
∩ A
i

i1

∩ A
i
 A
1
∩ A
2
∩ ,
i∈I
 A
i

i1

 A
i

 A
1
 A
2

Chú ý:
X 
i∈I
∩ A
i

i∈I
 X  A
i
, X 
i∈I
 A
i

i∈I
∩ X  A
i
.
2
Nếu không sợ nhầmlẫntacònkýhiệu
A
c
 X  A.
Do đó:
i∈I

∩ A
i
c

i∈I
 A
i
c
,
i∈I
 A
i
c

i∈I
∩ A
i
c
.
Ví dụ.(Xemnhư bài tập). Xác định
i∈I
∩ A
i

i∈I
 A
i
,với A
i
 

−1
i
,
3
2i1
.
B. Ta qui ướcmộtsố ký hiệu và các phép tính
−,    −   
 ,
−,    ,
−,    −,
a      a   nếu 0 ≤ a ≤,
và a.  .a 
,nếu 0  a ≤,
0, nếu a  0.
Các qui tắcvề dấu(âm,dương) tương tự như phép nhân thông thường),
chẳng hạn
a.  .a 
− nếu − ≤ a  0,
0nếu a  0.
C. Giớihạntrênlimsup và giớihạndưới liminf.
C1. Giớihạntrênlimsup. Ta cho dãy số a
n
 ⊂ ,tađặt
i
Nếu a
n
 không bị chận trên, ta đặt
n→
lim sup a

n
 .
ii
Nếu a
n
 bị chận trên, ta đặt
b
k
 supa
k
,a
k1
,a
k2
,  
n≥k
sup a
n
, k  1,2,3,
Khi đó, b
1
≥ b
2
≥ b
3

ii
1
Nếu b
k

 không bị chậndưới, ta đặt
n→
lim sup a
n
 −.
ii
2
Nếu b
k
 bị chậndưới, thì b
k
 ↘
k≥1
inf b
k
.Tađặt
n→
lim sup a
n

k→
lim b
k

k→
lim
n≥k
sup a
n


k≥1
inf
n≥k
sup a
n
.
C2. Giớihạndưới liminf. Xét dãy số a
n
 ⊂ ,tađặt
i
Nếu a
n
 không bị chậndưới, ta đặt
n→
lim inf a
n
 −.
ii
Nếu a
n
 bị chậndưới, ta đặt
c
k
 infa
k
,a
k1
,a
k2
,  

n≥k
inf a
n
, k  1,2,3,
3
Khi đó, c
1
≤ c
2
≤ c
3

ii
1
Nếu c
k
 không bị chận trên, ta đặt
n→
lim inf a
n
 .
ii
2
Nếu c
k
 bị chận trên, thì c
k
 ↗
k≥1
sup c

k
.Tađặt
n→
lim inf a
n

k→
lim c
k

k→
lim
n≥k
inf a
n

k≥1
sup
n≥k
inf a
n
.
Chú ý 1: Đôi khi ngườitacũng dùng các ký hiệu
n→
lim a
n

n→
lim a
n

,lầnlượt thay
cho
n→
lim sup a
n

n→
lim inf a
n
.
Chú ý 2:Tacũng định nghĩa
n→
lim sup a
n
,
n→
lim inf a
n
cho dãy a
n
 ⊂  ,như sau
n→
lim sup a
n

k≥1
inf
n≥k
sup a
n

,
n→
lim inf a
n

k≥1
sup
n≥k
inf a
n
.
Chú ý 3:
n→
lim sup −a
n
  −
n→
lim inf a
n
.
Chú ý 4:
n→
lim inf a
n

n→
lim sup a
n
.
Chú ý 5:Nếu a

n
 hộitụ thì
n→
lim sup a
n

n→
lim inf a
n

n→
lim a
n
.
Chú ý 6: Ta cho dãy số a
n
 ⊂  ,tađặt
A 
a ∈  : a 
k→
lim a
n
k
,với a
n
k
 là dãy con của a
n
 .
Khi đótồntại a

max
, a
min
∈ A sao cho a
min
≤ a ≤ a
max
, ∀a ∈ A.Khiđótacó
n→
lim sup a
n
 a
max

n→
lim inf a
n
 a
min
.
Ví dụ.(Xemnhư bài tập). Cho dãy số thực a
n
, sao cho
n→
lim sup a
n
≤ 0 ≤ a
n
với
mọi n ∈ ℕ.Chứng minh rằng a

n
→ 0.
C3. Cho dãy hàm f
n
, f
n
: X →  .Khiđó
n
sup f
n
,
n
inf f
n
,
n→
lim sup f
n

n→
lim inf f
n

các hàm đượcxácđịnh trên X bởi
4
n
sup f
n
x 
n

sup f
n
x,
n
inf f
n
x 
n
inf f
n
x,
n→
lim sup f
n
x 
n→
lim sup f
n
x 
k≥1
inf
n≥k
sup f
n
x ,
n→
lim inf f
n
x 
n→

lim inf f
n
x 
k≥1
sup
n≥k
inf f
n
x ,
n→
lim f
n
x 
n→
lim f
n
x.
Nếu fx 
n→
lim f
n
x,tồntại ở mọi x ∈ X,khiđótagọi f là giớihạntừng điểm
của dãy f
n
.
Định nghĩa1.1.1.ChoX là tập khác trống. Mộthọ M các tậpconcủa X đượcgọi
là một  − đạisố trong X nếucácđiềukiệnsauđây thỏa:
i X ∈ M,
ii Nếu A ∈ M,thì X  A ∈ M,
iii

Nếu A
j
∈ M, j  1,2, thì 
j1

A
j
∈ M.
Chú ý:Tasuytừ i − iii,rằng
4i  ∈ M,vì  X  X ∈ M.
5i
Nếulấy A
n1
 A
n2
   trong (iii), ta thấyrằng

j1
n
A
j
∈ M,nếu A
j
∈ M với j  1,2, ,n.
6i
Nếu A
j
∈ M, j  1,2, thì ∩
j1


A
j
∈ M,
vì ∩
j1

A
j
 
j1

X  A
j
 ∈ M.
7i
Nếu A, B ∈ M,thìA ∩ B  X  A  B ∈ M
và A  B  A ∩ X  B ∈ M.
Định nghĩa1.1.2.Nếu X có một  − đạisố M trong X thì ta gọicặp X,M (hoặc
vắntắt X)làmột không gian đo được (measurable space), và phầntử củ
a M được
gọilàtập đo được trong X.
Ví dụ 1.1.1.(Xemnhư bài tập). Cho X là tập khác trống và M , X. Nghiệmlại
rằng M là một  − đạisố trong X.Câuhỏitương tự với M  PX là họ tấtcả các tập
con của X.
Ví dụ 1.1.2.(Xemnhư bài tập). Cho
X  0,1 và M  PX.Tập 
1
2
,1 có đo
được không?

Ví dụ 1.1.3.(Xemnhư bài tập). Cho X  0,1 và M  , X, 0,
1
2
,
1
2
,1.Tập

2
3
,1 có đo được không?
5
Chú thích 1.1.1.Choℱ ⊂ PX.Khiđótồntạimột  − đạisố nhỏ nhất M

trong X
sao cho ℱ ⊂ M

.Tacòngọi M

là  − đạisố sinh bởi ℱ.
Thậtvậy, ta gọi  là họ tấtcả các  − đạisố M trong X chứa ℱ.VìPX cũng là
một  − đạisố (Ví dụ 1.1.1), nên  ≠ .Gọi M


M∈
∩ M.Dễ thấyrằng ℱ ⊂ M

,bởi
vì ℱ ⊂ M vớimọi M ∈ .Tachỉ cầnchứng minh rằng M


là một  − đạisố.
Giả sử rằng A
j
∈ M

,với j  1,2, ,vànếu M ∈ ,thìA
j
∈ M,như vậy

j1

A
j
∈ M,bởivìM là một  − đạisố.Vì
j1

A
j
∈ M,vớimọi M ∈ ,takếtluận
rằng 
j1

A
j
∈ M

. Hai tính chấtcònlại trong định nghĩa X ∈ M

,vàX  A ∈ M


với
mọi A ∈ M

đượcchứng minh tương tự.
Định nghĩa1.1.3.(Độ đodương)ChoX là một không gian đo đượcvớimột  −
đạisố M và cho hàm  : M → 0,. Ta nói  là một độ đodương trên M nếu  thoả
mãncáctínhchất sau:
i Tính chấtcộng đếm được (countably additive): 


j1

A
j



j1



A
j

,nếu
A
j
∈ M, j  1,2, và A
i
∩ A

j
 , ∀i ≠ j.
ii ∃A ∈ M : 

A

 .
Định nghĩa1.1.4.(Độ đophức)ChoX là một không gian đo đượcvớimột  − đại
số M và cho hàm  : M → ℂ. Ta nói  là một độ đophức trên M nếu  thoả mãn tính
chất sau:



j1

A
j



j1



A
j

,nếu A
j
∈ M, j  1,2, và A

i
∩ A
j
 , ∀i ≠ j.
Định nghĩa1.1.5.ChoX là một không gian đo đượcvớimột  − đạisố M và cho
hàm  là một độ đo(dương hoặcphức) trên M. Ta nói X,M, là một không gian đo
(measure space).
Chú thích 1.1.2.
i Với độ đophức, chuỗi

j1



A
j

hộitụ vớimọi dãy A
j
 rời nhau như trên, là
hộitụ tuyệt đối.
ii Nếu  là một độ đodương và nếu A, B ∈ M,vàA ⊂ B thì 

A

≤ 

B

.(XemVí

dụ 1.1.6).
iii Cũng vậy, nếu A
j
∈ M, j  1,2, và A
1
⊂ A
2
⊂ A
3
⊂ ,thì


j1

A
j


n→
lim A
n
.(XemVídụ 1.1.7).
iv Tương tự,nếu A
j
∈ M, j  1,2, và A
1
⊃ A
2
⊃ A
3

⊃ ,và

A
1

 ,thì



j1

A
j


n→
lim A
n
.(XemVídụ 1.1.8).
vi Nếu  là một độ đodương và nếu A
j
∈ M, j  1,2, ,thì



j1

A
j




j1



A
j

.(XemVídụ 1.1.9).
Ví dụ 1.1.4.(Xemnhư bài tập). Cho X,M, là một không gian đovới  là một độ
đodương trên M Chứng minh rằng μ  0.
6
Hướng dẫn:Lấy A
1
 A, A
2
 , , A
n1
 , , ta có A  
j1

A
j
và 

A

 .
Từ tính chấtcộng đếm được,   


A

 


j1

A
j



j1



A
j

.Dochuỗi

j1



A
j

hộitụ nên

j→
lim 

A
j

 0,màA
j
  vớimọi j ≥ 2, nên 




j→
lim 

A
j

 0.
Ta cũng chú ý rằng, với độ đodương , điềukiện ii ∃A ∈ M : 

A

  trong
định nghĩa 1.1.3 có nghĩalà ≠mà có thể thay bằng điềukiệntương đương





 0.Vídụ 1.1.4. chỉ ra rằng  ≠ 



 0. Đảolại, thì hiển nhiên, vì ta lấy
A  .
Ví dụ 1.1
.5.(Xemnhư bài tập). Cho X,M, là một không gian đovới  là một độ
đodương trên M.Chứng minh rằng (tính chấtcộng hữuhạn): 


j1
n
A
j



j1
n


A
j

,
nếu A
j
∈ M, j  1,2, ,n,và A
i

∩ A
j
 , ∀i ≠ j.
Hướng dẫn:Lấy A
n1
 A
n2
  ,tacó
j1
n
A
j
 
j1

A
j
.Vậy



j1
n
A
j

 


j1


A
j



j1



A
j



j1
n


A
j



jn1



A
j




j1
n


A
j

.
Ví dụ 1.1.6.(Xemnhư bài tập). Cho X,M, là một không gian đovới  là một độ
đodương trên M Chứng minh rằng nếu A, B ∈ M,vàA ⊂ B thì 

A

≤ 

B

.
Ta có B  A  B  A và A ∩ B  A  .Tasuytừ Ví dụ 1.1.5 rằng
B  A
 B  A ≥ A.
Ví dụ 1.1.7.(Xemnhư bài tập). Cho X,M, là một không gian đovới  là một độ
đodương trên M.Chứng minh rằng, nếu A
j
∈ M, j  1,2, và A
1
⊂ A

2
⊂ ,thì



j1

A
j


n→
lim A
n
.
Hướng dẫn: Đặt B
1
 A
1
, B
2
 A
2
 A
1
, ,B
j
 A
j
 A

j−1
với j  2,3,4, Khiđó
B
j
∈ M,và B
i
∩ B
j
 , ∀i ≠ j, A
n
 
j1
n
A
j
 
j1
n
B
j
và 
j1

A
j
 
j1

B
j

.Dođó
A
n
 

j1
n


B
j



j1

A
j
 

j1



B
j


n→
lim


j1
n


B
j


n→
lim A
n
.
Ví dụ 1.1.8.(Xemnhư bài tập). Cho X,M, là một không gian đovới  là một độ
đodương trên M.Chứng minh rằng, nếu A
j
∈ M, j  1,2, và A
1
⊃ A
2
⊃ A
3
⊃ ,
và 

A
1

 ,thì



j1

A
j


n→
lim A
n
.Chomộtphảnthídụđểthấy điềukiện
”

A
1

 ” không thể bỏ qua được.
Hướng dẫn: Đặt C
j
 A
1
 A
j
.Khiđó C
j
∈ M,vàC
1
⊂ C
2
⊂ C

3
⊂ ,
C
j
  A
1
 − A
j
,

j1

C
j
 
j1

A
1
 A
j
  A
1
 ∩
j1

A
j
.
Ta suy từ Ví dụ 1.1.7 rằng

A
1
 − ∩
j1

A
j
  A
1
 ∩
j1

A
j
  
j1

C
j


n→
lim C
n
  A
1
 −
n→
lim A
n

.
Vậy 


j1

A
j


n→
lim A
n
.
Phảnthídụ:Talấy X  ℕ,và là độ đo đếm trên X,(Xemvídụ 1.1.10). Giả sử
7
A
n
 n,n  1,n  2, .Khiđó A
1
⊃ A
2
⊃ A
3
⊃ , ∩
n1

A
n
 ,nhưng A

n
   với
mọi n  1,2,3, ,tứclà


n1

A
n


n→
lim A
n
.
Ví dụ 1.1.9.(Xemnhư bài tập). Cho X,M, là một không gian đovới  là một độ
đodương trên M.Chứng minh rằng, nếu A
j
∈ M, j  1,2, ,thì


j1

A
j



j1




A
j

.
Hướng dẫn: Đặt B
1
 A
1
, B
2
 A
2
 A
1
, B
3
 A
3
 A
1
 A
2
, ,B
j
 A
j
 
n1

j−1
A
n

với j  2,3,4, Khiđó B
j
∈ M,và B
i
∩ B
j
 , ∀i ≠ j, 
j1

A
j
 
j1

B
j
và B
j
⊂ A
j
với
j ∈ ℕ.Dođó

j1

A

j
  
j1

B
j
 

j1
n


B
j



j1
n


A
j

.
Ví dụ 1.1.10.(Xemnhư bài tập). Cho X là tậpbấtkỳ,với E ⊂ X ,tađịnh nghĩa
X   nếu E là tậpvôhạnvàE là số phầntử trong E nếu E là tậphữuhạn. Khi
đó X,PX, là một không gian đovới độ đo  gọilàmột độ đo đếm
(counting
measure)trênX.

Ví dụ 1.1.11.(Xemnhư bài tập). Cho X là tậpbấtkỳ,vàchox
0
∈ X cốđịnh. Ta
định nghĩa
E 
1 x
0
∈ E,
0 x
0
∉ E,
với E ⊂ X.Khiđó,  là độ đotrênPX.Tagọi  là khốilượng đơnvị tập trung tại x
0
.
Ví dụ 1.1.12.(Xemnhư bài tập). Cho X,M, là một không gian đo, và f : X → Y
là một song ánh. Ta đặt N fE : E ∈ M,vàD  

f
−1
D

, ∀D ∈ N .Chứng
minh rằng, Cho Y,N, là một không gian đo.
Hướng dẫn:
(a) Y,N là một không gian đo được:
(i) Y ∈ N vì Y  fX, X ∈ M,
(ii)
Y  D ∈ N ∀D ∈ N vì, Y  D  fX  fE  fX  E, X  E ∈ M,
(iii)
Nếu D

j
∈ N, j  1,2, và 
j1

D
j
 
j1

fE
j
  f


j1

E
j

, 
j1

E
j
∈ M.
(b)  là một độ đodương trên Y,N.
i ∃D ∈ N : 

D


 .???. Theo giả thiếttacó∃E ∈ M : 

E

 .Chọn
D  fE,tacóD ∈ N và D  

f
−1
D

 

E

 .
ii Tính chấtcộng đếm được: Nếu D
j
 fE
j
 ∈ N, j  1,2, và D
i
∩ D
j
 ,
∀i ≠ j,tacóE
j
∈ N, j  1,2, và E
i
∩ E

j
 f
−1
D
i
 ∩ f
−1
D
j
  f
−1
D
i
∩ D
j
  , ∀i ≠ j .
Do tính chấtcộng đếm đượccủa ,tađược



j1

D
j

 

f
−1



j1

D
j

 


j1

f
−1
D
j


 


j1

E
j



j1




E
j



j1



f
−1
D
j




j1

D
j
.
Định nghĩa1.1.6.(Đầy đủ hóa một không gian đo) Cho X,M, là một không
8
gian đo. Đặt
M

 E ⊂ X : ∃A,B ∈ M sao cho A ⊂ E ⊂ B và B  A  0.
Ta đặt 


E  A.
Định lý 1.1.6. X,M

,

 là một không gian đo.
Định nghĩa1.1.7. X,M

,

 đượcgọilàđầy đủ hóa của X,M,.Nếu M

 M
thì ta gọi  là một độ đo đầy đủ.
Hướng dẫnchứng minh định lý 1.1.6:Trướchếttakiểmtralạirằng 

được
xác định tốtvớimọi E ∈ M

.Giả sử rằng A ⊂ E ⊂ B, A
1
⊂ E ⊂ B
1

B  A  B
1
 A
1
  0,với A, B, A

1
, B
1
∈ M.Chúýrằng
A  A
1
⊂ E  A
1
⊂ B
1
 A
1
,
do đótacóA  A
1
  0,dođó A  A ∩ A
1
  A  A
1
  A ∩ A
1
.Lýluận
tương tự, A
1
  A
1
∩ A.VậytacóA
1
  A.Tiếp theo, nghiệmlạirằng M


thoả 3 tính chấtcủamột  − đạisố.
(i) X ∈ M

,bởivìX ∈ M và M ⊂ M

.
(ii) Giả sử rằng A ⊂ E ⊂ B,khiđó X  B ⊂ X  E ⊂ X  A.Vậy E ∈ M

dẫn đến
X  E ∈ M

,bởivìX  A  X  B   X  A ∩ B  B  A,
X  A  X  B  B  A  0.
(iii) Giả sử rằng A
i
⊂ E
i
⊂ B
i
, E  
i1

E
i
, A  
i1

A
i
, B  

i1

B
i
,khiđó
A ⊂ E ⊂ B và
B  A  
i1

B
i
 A ⊂
i1

B
i
 A
i
.
Vì hội đếm đượccáctậpcóđộ đozerocũng là tậpcóđộ đo zero, do đó
0 ≤ B  A ≤ 
i1

B
i
 A
i
  0.Tasuyrarằng B  A  0,như vậy
E  
i1


E
i
∈ M

,nếu E
i
∈ M

với i  1,2,3,
Cuối cùng, nếucáctập E
i
∈ M

là rời nhau từng đôi mộtnhư trong bước (iii), thì
các tập A
i
cũng rời nhau từng đôi mộtgiống như vậy, và ta kếtluậnrằng


E  A 

i1

A
i
 

i1




E
i
.
Điềunầychứng tỏ rằng 

cộng đếm đượctrênM

.
2. HÀM ĐO ĐƯỢC
Định nghĩa1.2.1.ChoX,M là một không gian đo được, hàm s : X → ℂ có dạng
dưới đây đượcgọilàmột hàm đơngiản (simple function), vắntắtgọilàhàm đơn hay
hàm bậc thang
sx 

j1
m

j

A
j
x ∀x ∈ X,
với 
1
, ,
m
∈ ℂ, A
1

, ,A
m
∈ M, trong đó 
A
x 
1 x ∈ A,
0 x ∈ X  A.
Định nghĩa1.2.2.ChoX,M là một không gian đo được, và hàm f : X → −,.
Ta gọi f là một hàm thực đo được trên X,M nếu f
−1
a,  x ∈ X : fx  a ∈ M
9
vớimọi a ∈ .
Định nghĩa1.2.3.ChoX,M là một không gian đo được, và hai hàm u,v : X → .
Ta gọi f  u  iv là một hàm phức đo được trên X,M nếu u và v là các hàm đo được
trên X,M.
Ví dụ 1.2.1.(Xemnhư bài tập). Cho X,M là một không gian
đo được và hàm
f : X →
  −, hàm thực đo đượctrênX ,M.Chứng minh rằng các tập
f
−1
a,, f
−1
−,a, f
−1
−,a, f
−1
a,, f
−1

a,b, f
−1
a,b, f
−1
a,b và
f
−1
a là đo được.
Hướng dẫn:
(j) f
−1
a, ∈ M ∀a ∈ .(Dođịnh nghĩa).
(jj) f
−1
−,a ∈ M ∀a ∈ .? Chú ý rằng
−,a 

n1
 −,a −
1
n
 

n1
 a −
1
n
, ,

x ∈


n1
 −,a −
1
n
∃n ∈ ℕ : x ∈ −,a −
1
n
− ≤ x  a.
Vậy
f
−1
−,a  f
−1

n1
 a −
1
n
, 

n1
 f
−1
a −
1
n
,



n1
 f
−1
    f
−1

a −
1
n
,



n1


X  f
−1
a −
1
n
,

∈ M,
do định nghĩa 1.1.1.(i)-(iii), ( 6i).
(jjj) f
−1
−,a ∈ M ∀a ∈ .?Chúýrằng
−,a 


n1
 −n,a −
1
n
 

n1


−,a −
1
n
 ∩ −n,



n1
 a −
1
n
, ∩ −n, ,

x ∈

n1
 −n,a −
1
n
∃n ∈ ℕ : x ∈ −n,a −
1

n
−  x  a.
Vậy
10
f
−1
−,a  f
−1

n1
 a −
1
n
, ∩ −n,


n1
 f
−1
a −
1
n
, ∩ −n,


n1
 f
−1
a −
1

n
, ∩ f
−1
−n,


n1
 f
−1
    f
−1
a −
1
n
, ∩ f
−1
−n,


n1


X  f
−1
a −
1
n
,

∩ f

−1
−n,

∈ M,
do định nghĩa 1.1.1.(i)–(iii), (7i).
(4j) f
−1
a, ∈ M ∀a ∈ .?Chúýrằng
a, 

n1
 a 
1
n
,n 

n1


−,n ∩ a 
1
n
,



n1
 −,n ∩ −,a 
1
n

 ,

x ∈

n1
 a 
1
n
,n∃n ∈ ℕ : x ∈ a 
1
n
,na  x  .
Vậy
f
−1
a,  f
−1

n1
 −,n ∩ −,a 
1
n



n1
 f
−1
−,n ∩ −,a 
1

n



n1
 f
−1
−,n ∩ f
−1
−,a 
1
n



n1


f
−1
−,n ∩

X  f
−1
−,a 
1
n


∈ M,

do (jj) và định nghĩa 1.1.1.(i)–(iii), (7i).
(5j) f
−1
a,b ∈ M ∀a,b ∈ .?Chúýrằng
a,b  −,b ∩ a,  −,b ∩
−,a .
Vậy
f
−1
a,b  f
−1
−,b ∩ −,a
 f
−1
−,b ∩ f
−1
−,a
 f
−1
−,b ∩

X  f
−1

−,a

∈ M,
do (jj) và định nghĩa 1.1.1.(i)–(ii), (7i).
(6j) f
−1

a,b ∈ M ∀a,b ∈ .?Chúýrằng
11
a,b  −,b ∩ a, 
b, ∩ a,.
Vậy
f
−1
a,b  f
−1
b, ∩ a,
 f
−1
b, ∩ f
−1

a,



X  f
−1

b,

∩ f
−1

a,

∈ M,

do định nghĩa 1.1.1.(i)–(ii), (7i).
(7j) f
−1
a,b ∈ M ∀a,b ∈ .?Chúýrằng a,b  −,b ∩ a,.
Vậy
f
−1
a,b  f
−1
−,b ∩ a,
 f
−1
−,b ∩ f
−1
a, ∈ M,
do (jj) và định nghĩa 1.1.1. (7i).
(8j) f
−1
a ∈ M ∀a ∈ .? Chú ý rằng
a  −,a ∩ a, 
a, ∩ −,a .
Vậy
f
−1
a  f
−1
a, ∩ −,a
 f
−1
a, ∩ f

−1
−,a
 f
−1
    f
−1

a,

∩ f
−1
    f
−1

−,a



X  f
−1

a,



X  f
−1

−,a


∈ M,
do định nghĩa 1.1.1.(i) – (iii), (7i).
Ví dụ 1.2.2.(Xemnhư bài tập). Cho X,M là một không gian đo được và hàm
f : X →
 hàm thực đo đượctrênX,M.Giả sử f
−1
X ⊂  là tậphữuhạn. Chứng
minh rằng f là hàm đơn.
Hướng dẫn:Giả sử fX  
1
,
2
, ,
m
 ⊂ , 
i
≠ 
j
∀i ≠ j.Khiđó
A
i
 f
−1

i
 ∈ M,và f 

j1
m


j

A
j
.
Ví dụ 1.2.3.(Xemnhư bài tập). Cho X,M là một không gian đo được và hàm
hằng f  C là đo đượctrênX,M.
Hướng dẫn:Thậtvậy, nếu a ≥ C,thìf
−1
a,  x ∈ X : fx  a   ∈ M,còn
nếunhư nếu a  C,thìf
−1
a,  x ∈ X : fx  a  X ∈ M.
Ví dụ 1.2.4.(Xemnhư bài tập). Cho X,M là một không gian đo được và hàm
f : X →
 hàm thực đo đượctrênX,M,vàk ∈ .Chứng minh rằng kf là hàm đo
đượctrênX,M.
Hướng dẫn:Thậtvậy, nếu k  0,thìx ∈ X : kfx  a  x ∈ X : fx  
a
k
 ∈ M,
còn nếunhư nếu k ≤ 0, thì hiển nhiên.
Ví dụ 1.2.5.(Xemnhư bài tập). Cho X,M là một không gian đo đượcvàvàhàm
f, g : X →
 hai hàm thực đo đượctrênX,M.Chứng minh rằng f  g, f − g là hàm đo
12
đượctrênX,M.
Hướng dẫn:
a) f  g là hàm đo được.
fx  gx  a  fx  a − gx∃r

n
∈  : fx  r
n
 a − gx.
Vậythì
x ∈ X : fx  gx  a 

n1
 x ∈ X : fx  r
n
 a − gx


n1
 x ∈ X : fx  r
n
 ∩ x ∈ X : gx  a − r
n



n1
 f
−1
r
n
, ∩ g
−1
a − r
n

, ∈ M.
b) f − g là hàm đo được??: Ta có g là hàm đo được, suy ra −g là hàm đo được.
Vậy f − g  f  −g.cũng là hàm đo được.
Ví dụ 1.2.6.(Xemnhư bài tập). Cho X,M là một không gian đo được và hàm
f : X →
 hàm thực đo đượctrênX,M,và  0.Chứng minh rằng
|
fx
|

là hàm đo
đượctrênX,M.
Hướng dẫn:Tacó∀a  0,rằng
x ∈ X :
|
fx
|

 a  x ∈ X :
|
fx
|
 a
1/

 x ∈ X : fx  a
1/
  x ∈ X : fx  −a
1/
 ∈ M.

Còn nếunhư a ≤ 0,thìx ∈ X :
|
fx
|

 a  X ∈ M.
Ví dụ 1.2.7.(Xemnhư bài tập). Cho X,M là một không gian đo đượcvàvàhàm
f, g : X →  hai hàm thực đo đượctrênX,M.Chứng minh rằng f  g, fg, maxf,g,
minf,g là hàm đo đượctrênX,M.
Hướng dẫn:Dựa vào các đẳng thức
fg 
1
4

f  g
2
− f − g
2

,
maxf ,g 
1
2

f  g 
|
f − g
|

,

minf,g 
1
2

f  g −
|
f − g
|

.
Còn nếunhư a ≤ 0,thìx ∈ X :
|
fx
|

 a  X ∈ M.
Ví dụ 1.2.8.(Xemnhư bài tập). Cho X,M là một không gian đo được và hàm f,
g : X →  hai hàm thực đo đượctrênX,M.Chứng minh rằng, nếu g không triệttiêu
thì
f
g
là hàm đo đượctrênX,M.
Hướng dẫn: (i) Chú ý rằng,
1
g
2
là đo đượcvì,vớimọi a ∈ ,
13
Nếu a ≤ 0:
1

g
2
−1
a,  x ∈ X :
1
g
2
x
 a  X ∈ M.
Nếu a  0:
1
g
2
−1
a,  x ∈ X :
1
g
2
x
 a
 x ∈ X :
|
gx
|

1
a

 x ∈ X : gx  −
1

a
 ∩ x ∈ X : −gx  −
1
a
 ∈ M.
(ii) Ta có
f
g

1
g
2

fg

là đo được.
Ví dụ 1.2.9.(Xemnhư bài tập). Cho X,M là một không gian đo được và cho dãy
hàm sốđo đượcf
n
, f
n
: X → .Chứng minh rằng,
n
sup f
n
,
n
inf f
n
,

n→
lim sup f
n

n→
lim inf f
n
là các hàm đo được. Nếutồntại
n→
lim f
n
thì nó cũng là hàm đo được.
Hướng dẫn:
(i) Vớimọi a ∈ ,tacó
x ∈ X :
n
sup f
n
x  a  X  x ∈ X :
n
sup f
n
x ≤ a
 X 

n1
∩ x ∈ X : f
n
x ≤ a



n1
 X  x ∈ X : f
n
x ≤ a


n1
 x ∈ X : f
n
x  a ∈ M.
(ii)
n
inf f
n
là hàm đo được, vì
n
inf f
n
 −
n
sup −f
n
.
(iii)
n→
lim sup f
n
là hàm đo được, vì
n→

lim sup f
n
x 
k≥1
inf
n≥k
sup f
n
x .
(iv)
n→
lim inf f
n
là hàm đo được, vì
n→
lim inf f
n
x 
k≥1
sup
n≥k
inf f
n
x .
(iv) Nếutồntại
n→
lim f
n
thì
n→

lim f
n

n→
lim sup f
n
cũng là hàm đo được.
Ví dụ 1.2.10.(Xemnhư bài tập). Cho X,M là một không gian đo được. Chứng
minh rằng

A
là các hàm đo được  A ∈ M.
Hướng dẫn:
(i)

A
là các hàm đo được  A ∈ M.
Thậtvậy A  x ∈ X : 
A
x  1  
A
−1
1 ∈ M.
(ii)
A ∈ M  
A
là các hàm đo được.
Thậtvậy, vớimọi a ∈ ,tacó
14
(j) a ≥ 1:x ∈ X : 

A
x  a   ∈ M,
(jj) a  0:x ∈ X : 
A
x  a  X ∈ M,
(jjj) 0 ≤ a  1:x ∈ X : 
A
x  a  A ∈ M.
Ví dụ 1.2.11.(Xemnhư bài tập). Cho X,M là một không gian đo được. Chứng
minh rằng hàm đơn s 

j1
m

j

A
j
,với 
1
, ,
m
∈ , A
1
, ,A
m
∈ M, là hàm đo được.
Hướng dẫn:(Xemnhư bài tập).
Định lý 1.2.1.ChoX,M là một không gian đo được, và hàm f : X → −, là
một hàm đo đượctrênX,M.Khiđótồntạimột dãy các hàm đơn s

n
 sao cho
fx 
n→
lim s
n
x, ∀x ∈ X.
Nếu fx ≥ 0, ∀x ∈ X,thìcóthể chọn dãy s
n
 sao cho
0 ≤ s
n
x ≤ s
n1
x ≤ ≤ fx, ∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ X,
fx 
n→
lim s
n
x, ∀x ∈ X.
Chứng minh.
(i) Giả sử fx ≥ 0, ∀x ∈ X,thìxétmột dãy các hàm đơn s
n
 như sau
s
n
x 
n,nếu fx ≥ n,
i−1
2

n
,nếu
i−1
2
n
≤ fx 
i
2
n
, 1 ≤ i ≤ n2
n
.
Dễ thấy s
n
là hàm đơn, vì s
n

i1
n2
n

i−1
2
n

E
n,i
 n
F
n

,với E
n,i
 f
−1


i−1
2
n
,
i
2
n


,
F
n
 f
−1

n,

.
Hơnnữa s
n1
x ≥ s
n
x ≥ 0, ∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ X. Ta nghiệmlạirằng f x 
n→

lim s
n
x,
∀x ∈ X.
Cũng chú ý rằng
f
−1

0,n


n2
n
i1
 f
−1


i−1
2
n
,
i
2
n



n2
n

i1
 E
n,i
,
X  f
−1

0,

 f
−1

0,n

 f
−1

n,


n2
n
i1
 f
−1


i−1
2
n

,
i
2
n


 f
−1

n,

.
 Nếu fx  ,thìtồntại n  fx.Dođó, có i :
i−1
2
n
≤ fx 
i
2
n
,dovậy s
n
x 
i−1
2
n
.
Suy ra
|
s

n
x − fx
|

1
2
n
→ 0,khin → .
 Nếu fx  ,thìfx ≥ n vớimọi n.Dođó, s
n
x  n → .
Vậy fx 
n→
lim s
n
x, ∀x ∈ X.
(ii) Xét f tùy ý. Ta viết fx  f

x − f

x,với f

x 
1
2

|
fx
|
 fx


,
f

x 
1
2

|
fx
|
− fx

là các hàm đo được, không âm. Theo như trên thì có hai dãy
hàm đơn s
n

, s
n

 lầnlượthộitụ từng điểm đến các hàm f

, f

.Dođó s
n
 s
n

− s

n


hàm đơnvàs
n
 s
n

− s
n

→ f

− f

 f.
15
Chương 2. TÍCH PHÂN VỚI ĐỘ ĐODƯƠNG TỔNG QUÁT
1. TÍCH PHÂN HÀM DƯƠNG ĐO ĐƯỢC
Định nghĩa2.1.1.ChoX,M là một không gian đo được và cho hàm  là một độ
đotrênM.ChoE ∈ M và một hàm đơn không âm s 

j1
m

j

A
j
.Tađặt


E
sd 

j1
m

j
E ∩ A
j
,
và ta gọi

E
sd là tích phân của s trên E.
Chú thích 2.1.1.Quiước 0.   0 được dùng ởđây; có thể xảyrarằng 
j
 0 và
E ∩ A
j
   vớimột j nào đó.
Định nghĩa2.1.2.ChoX,M, là một không gian đo, cho E ∈ M và một hàm
f : X → 0, đo đượctrênX,M.Tađặt

E
fd  sup

E
sd : s là hàm đơntrênX sao cho 0 ≤ s ≤ f ,
và ta gọi


E
fd là tích phân Lebesgue của f trên E đốivới độ đo .Chúýlàcóthề

E
fd  .
Chú thích 2.1.2.Một hàm số có thể có nhiều tích phân tùy vào cách chọn độ
đo.
Định lý 2.1.1.ChoX,M, là một không gian đo, cho A, B, E ∈ M, 0 ≤ c   và
hai hàm f, g : X → 0, đo đượctrênX,M.Khiđótacó
(i)

E
fd 

X

E
fd,
(ii)

E
fd ≤

E
gd nếu f ≤ g,
(iii)

A
fd ≤


B
fd nếu A ⊂ B ,
(iv)

E
cfd  c

E
fd.
16
(v)

E
fd  0,nếu fx   0 ∀x ∈ E, cho dù E  ,
(vi)

E
fd  0,nếu E   0, cho dù fx  ∀x ∈ E.
Hướng dẫnchứng minh Định lý 2.1.1:
(i)

E
fd 

X

E
fd.
Để cho gọn, ta ký hiệu ℱf  tập các hàm đơn s trên X sao cho 0 ≤ s ≤ f.

Ta viết Định nghĩa 2.1.2. về tích phân Lebesgue của f trên E đốivới độ đo  như
sau.

E
fd  sup

E
sd : s ∈ ℱf ,
Trướchết ta nghiệmlạirằng (i) đúng với f  
A
, A ∈ M,vàvới f là hàm đơn.
*(i)đúng với f  
A
, A ∈ M:Bởivì

E
fd 

E

A
d  E ∩ A 

X

E∩A
d 

X


E

A
fd 

X

E
fd.
** (i) đúng với f 

j1
m

j

A
j
, A
j
∈ M.Bởivì

X

E
fd 

X

E


j1
m

j

A
j
d 

X

j1
m

j

E∩A
j
d 

j1
m

j
E ∩ A
j
 

E

fd
***∀s ∈ ℱfs
E
∈ ℱf
E
 :

E
sd 

X
s
E
d ≤ sup

X
s
E
d 

E
sd : s ∈ ℱf
E
 

X

E
fd.
Vậy


E
fd ≤

X

E
fd
1∗
***∀s ∈ ℱf
E
s ∈ ℱf :

E
sd ≤ sup

E
sd : s ∈ ℱf 

E
fd.
Vậy

X

E
fd ≤

E
fd

2∗
Từ
1∗

2∗
, ta suy ra (i) đúng.
(ii)

E
fd ≤

E
gd nếu f ≤ g.
Điềunầydễ thấyvìℱf ⊂ ℱg.
(iii)

A
fd ≤

B
fd nếu A ⊂ B ,
Chú ý rằng nếu A ⊂ B,thì
A
f ≤ 
B
f,dođó

A
fd 


X

A
fd ≤

X

B
fd 

B
fd.
(iv)

E
cfd  c

E
fd.
Nếu c  0 thì hiển nhiên. Giả sử c  0.
17

E
cfd  sup

E
sd : s ∈ ℱcf  sup

E
sd :

s
c
∈ ℱf
 sup c

E
rd : r 
s
c
∈ ℱf  csup

E
rd : r ∈ ℱf  c

E
fd.
(v)

E
fd  0,nếu fx   0 ∀x ∈ E, cho dù E  .
Dùng (iv).
(vi)

E
fd  0,nếu E   0, cho dù fx  ∀x ∈ E.
Từđịnh nghĩa.
Định lý 2.1.2 (Định lý hộitụđơn điệu Lebesgue). Cho X,M, là một không
gian đo, và f
m
 là dãy hàm đo đượctừ X và 0,,vàgiả sử rằng

(i) 0 ≤ f
1
x ≤ f
2
x ≤ ≤ f
m
x ≤ ≤ ∀x ∈ X,
(ii)
m→
lim f
m
x  fx ∀x ∈ X.
Khi đótacóf đo đượcvà
m→
lim

X
f
m
d 

X
fd.
Hướng dẫnchứng minh Định lý 2.1.2:


X
f
m
d ≤


X
f
m1
d,tồntại  ∈ 0,, sao cho
(1)
m→
lim

X
f
m
d  .
Theo ví dụ 1.2.9, thì f 
n→
lim f
n
là hàm đo được. Vì f
m
x ≤ fx, nên ta có

X
f
m
d ≤

X
fd vớimọi m,dođó theo (1), ta có
(2)
 ≤


X
fd.
Để chứng minh  ≥

E
fd,tachỉ cầnchứng minh rằng
(3)
c

X
sd ≤ , ∀s ∈ ℱf, ∀c ∈ 0,1.
Cho s 

j1
m

j

A
j
∈ ℱf, c ∈ 0,1.
Ta đặt
(4)
E
n
 x ∈ X : f
n
x ≥ csx, n ∈ ℕ.
Chú ý rằng mỗi E

n
đo được, E
1
⊂ E
2
⊂ E
3
,vàX 
n1

 E
n
.
Để thấy đẳng thứcnầy, ta xét x ∈ X.
Nếu fx  0,thìx ∈ E
1
.
Nếu fx  0,thìcsx  fx,vì0  c  1.Dođó x ∈ E
n
vớimột n nào đó. Vậy
(5)

X
f
n
d ≥

E
n
f

n
d ≥ c

E
n
sd  c

j1
m

j
E
n
∩ A
j

Sử dụng ví dụ 1.17, áp dụng cho dãy E
n
∩ A
j
 :
18
E
1
∩ A
j
⊂ E
2
∩ A
j

⊂ E
3
∩ A
j
,vàX ∩ A
j

n1

 E
n
∩ A
j
 A
j
,
ta có
(6)


A
j

 

X ∩ A
j

 



n1


E
n
∩ A
j


n→
lim E
n
∩ A
j
.
Vậy
(7)

j1
m

j
E
n
∩ A
j
 →

j1

m

j
A
j
 

X
sd.
Vậy, cho n → , ta suy từ (1), (5), (7) rằng
(8)
 ≥ c

X
sd.
Cho c → 1

,tacó ≥

X
sd.
Sau đólấy Sup trên s ∈ ℱf,tacó
(9)

E
fd  sup

E
sd : s ∈ ℱf ≤ .
(2) – (9)

 

X
fd.
Định lý 2.1.3 (BổđềFatou). Cho X,M, là một không gian đo, E ∈ M và f
m

là dãy hàm đo đượctừ X và 0,.Khiđótacó

E
m→
lim inf f
m
d ≤
m→
lim inf

E
f
m
d.
Hướng dẫnchứng minh Định lý 2.1.3 (BổđềFatou).
Đặt
(1)
g
k
x 
m≥k
inf f
m

x, k  1,2,3, ,x ∈ X
Khi đó, g
k
x ≤ f
k
x,dođó
(2)

E
g
k
d ≤

E
f
k
d, k  1,2,3, 
Mặt khác, 0 ≤ g
1
x ≤ g
2
x ≤ , mỗi g
k
là đo được, và g
k
x →
m→
lim inf f
m
x,khi

k → . Dùng định lý hộitụđơn điệu 2.12, ta có
(3)
k→
lim

E
g
k
d 

E
m→
lim inf f
m
xd.
Từ (2), ta có
(4)
k→
lim

E
g
k
d 
k→
lim inf

E
g
k

d 
m
sup
k≥m
inf

E
g
k
d ≤
m
sup
k≥m
inf

E
f
k
d 
k→
lim inf

E
f
k
d.
Từ (3), (4) dẫn đến

E
m→

lim inf f
m
d ≤
m→
lim inf

E
f
m
d.
19
2. HÀM KHẢ TÍCH LEBESGUE
Định nghĩa2.2.1.ChoX,M, là một không gian đo, ởđây  là một độ đodương
trên X.Takýhiệu ℒX, là tậptấtcả các hàm đo được f : X → ℂ sao cho

X
|
f
|
d  .
Một hàm f ∈ ℒX, gọilàhàm khả tích Lebesgue trên X theo độ đo .Chúýrằng
tính đo đượccủa f dẫn đến tính đo đượccủa
|
f
|
(môđun của f), do đó

X
|
f

|
d được
xác định.
Nếuchỉ xét một độ đo , không sợ nhầmlẫn, ta có thể ký hiệuchogọnlại
ℒX,  ℒX.Nếu f  u  iv, trong đó u, v là các hàm thực đo đượctrênX,vànếu
f ∈ ℒX,tađịnh nghĩa

E
fd 

E
u

d −

E
u

d  i

E
v

d − i

E
v

d,
∗

vớimỗitập E ∈ M.
Ởđây u

và u

lầnlượt là các phầndương và phầnâmcủa u  u

− u

. Công thức
tường minh có thể viết u

 max0,u 
1
2

|
u
|
 u,vàu

 min0,u 
1
2

|
u
|
− u.Một
cách tương tự v


và v

cũng thu đượctừ v.Cũng chú ý rằng 4 tích phân trong (*) tồn
tạinhư trong định nghĩa 2.1.2. Hơnnữa, ta có u


|
u
|

|
f
|
, Như vậycả 4 tích phân
trong (*) là hữuhạn. Vậy(*)xácđịnh và tích phân

E
fd ∈ ℂ.
Trong trường hợp hàm f : X → −, đo đượctrênX,choE ∈ M.Tađịnh nghĩa

E
fd 

E
f

d −

E

f

d nếuítnhấtmột trong 2 tích phân

E
f

d,

E
f

d là hữuhạn.
Như vậy tích phân

E
fd ∈ −,.
Định lý 2.2.1.ChoX,M, là một không gian đo, cho f và g ∈ ℒX, và  ∈ ℂ.
Khi đó f  g, f ∈ ℒX, và ta có

X
f  gd 

X
fd 

X
gd,

X

fd  

X
fd.
Hướng dẫnchứng minh Định lý 2.2.1.
a/ Xét f và g đo được không âm.
Chọn hai dãy tăng các hàm đơn s
m
1
, s
m
2
, sao cho s
m
1
↑ f và s
m
2
↑ g.Khiđó
s
m
1
 s
m
2
↑ f  g.
Từđẳng thức
(1)

X

s
m
1
 s
m
2
d 

X
s
m
1
d 

X
s
m
2
d,
20
ta sử dụng định lý hộitụđơn điệu 2.12, ta có
(2)
k→
lim

X
s
m
1
d 


X
fd.
k→
lim

X
s
m
2
d 

X
gd.

X
f  gd 
k→
lim

X
s
m
1
 s
m
2
d 
k→
lim


X
s
m
1
d 
k→
lim

X
s
m
2
d


X
fd 

X
gd.
b/ Xét f và g là các hàm thực đo được. Đặt h  f  g,tacó
(3)
h

− h

 f

− f


 g

− g

.
Do đó
(4)
h

 f

 g

 h

 f

 g

Áp dụng tích phân cho tổng các hàm không âm
(5)

X
h

d 

X
f


d 

X
g

d 

X
h

d 

X
f

d 

X
g

d
hay
(6)

X
hd

X
h


d −

X
h

d 

X
fd

X
f

d −

X
f

d 

X
gd

X
g

d −

X

g

d
c/ Xét f và g là các hàm phức đo được. f  u  iv, g  w  iz. Đặt h  f  g,tacó
(7)
h  Reh  iImh  u  w  iv  z
(8)

X
hd 

X
Rehd  i

X
Imhd 

X
u  wd  i

X
v  zd


X
ud 

X
wd  i


X
vd 

X
zd


X
fd

X
ud  i

X
vd 

X
gd

X
wd  i

X
zd
Định lý 2.2.2.ChoX,M, là một không gian đo, cho f ∈ ℒX,.Khiđó

X
fd ≤

X

|
f
|
d.
Hướng dẫnchứng minh Định lý 2.2.2
Đặt Z 

X
fd Do Z ∈ ℂ, nên tồntại  ∈ ℂ,
|

|
 1 sao cho Z 
|
Z
|
. Đặt
u  Ref.Khiđó u ≤
|
f
|

|
f
|
.Dođó

X
fd 
|

Z
|
 Z  

X
fd 

X
fd 

X
ud ≤

X
|
f
|
d.
Chú ý rằng

X
fd là số thực.
21
Định lý 2.2.3 (Định lý hộitụ bị chận Lebesgue). Cho X,M, là một không
gian đo, và f
m
 là dãy hàm phức đo đượctừ X sao cho
(i)
fx 
m→

lim f
m
x tồntại ∀x ∈ X.
Nếutồntại g ∈ ℒX, sao cho
(ii)
|
f
m
x
|
≤ gx ∀m  1,2, ; ∀x ∈ X.
Khi đó
f ∈ ℒX,,
m→
lim

X
|
f
m
− f
|
d  0 và
m→
lim

X
f
m
d 


X
fd.
Hướng dẫnchứng minh Định lý 2.2.3
Do
|
fx
|
≤ gx và f đo được, f ∈ ℒX,.Vì
|
f
m
x − fx
|
≤ 2gx,taápdụng Bổđề
Fatou (Định lý 2.1.3) cho hàm 2gx −
|
f
m
x − fx
|
và dẫn đến
(1)

X
2gd ≤ lim inf

X

2g −

|
f
m
− f
|

d


X
2gd
m→
 lim inf −

X
|
f
m
− f
|
d


X
2gd
m→
− lim sup

X
|

f
m
− f
|
d.


X
2gd hữuhạn nên,
m→
lim sup

X
|
f
m
− f
|
d ≤ 0. Điềunầydẫn đếntồntại
m→
lim

X
|
f
m
− f
|
d và  0.Mà điềunầydẫn đến
m→

lim

X
f
m
d 

X
fd,bởivì

X
f
m
d −

X
fd 

X
f
m
− fd ≤

X
|
f
m
− f
|
d → 0.

Định nghĩa2.2.2.ChoX,M, là một không gian đo, với  là một độ đodương
trên X và E ∈ M.Taxétmộthọ tính chất P  Px  : x ∈ E. Ta nói P đúng hầuhết
trên E (theo độ đo )nếutồntạimộttập N ∈ M sao cho N ⊂ E, N  0,vàPx
đ
úng ∀x ∈ E  N.Tacònviết"P đúng h.h. trên E ", hay " P đúng a.e. trên E "(almost
everywhere). Khái niệm hầuhết phụ thuộcvàođộ đochotrướcvàđể chorõtasẽ viết
" P đúng h.h. trên E ", hay " P đúng a.e.  trên E ".
Ví dụ như,nếu hai hàm f và g đo đượctrênX và nếu x ∈ X : fx ≠ gx  0,
thì ta nói rằng
f  g h.h.  trên X.
Cho X,M, là một không gian đo, với  là một độ đodương trên X.Khiđó
ℒX, là một không gian vectơ trên  đốivới phép cộng và nhân thông thường. Cho f
và g ∈ ℒX ,,takýhiệu f  g nếu f  g h.h.  trên X.Cóthể kiểmtrađượcrằng 
là một quan hệ tươ
ng đương trên ℒX,.
Ta cũng chú ý rằng nếu f  g,khiđóvớimọi E ∈ M,tacó

E
fd 

E
gd.
22
Để thấy điềunầy, ta phân tích E  E  N  E ∩ N thành hộicủa hai tậprời nhau
E  N và E ∩ N,với N  x ∈ E : fx ≠ gx; f  g,trênE  N và E ∩ N  0.
Định nghĩa2.2.3.Takýhiệu L
1
X,  ℒX,╱  là tậpthương (tứctậpcáclớp
tương đương trên ℒX, đốivới quan hệ tương đương ). Khi đó L
1

X, cũng là
một không gian vectơ trên  đốivới phép cộng và nhân như sau:

f 

g 
f  g và 

f  f, ∀f, g ∈ ℒX,, ∀ ∈ .
Nếu không sợ nhầmlẫn, ta có thể ký hiệuchogọnlại L
1
X,  L
1
X.TrênL
1
X
ta xác định mộtchuẩn

f



X
|
f
|
d ∀f ∈ L
1
X.
Định lý 2.2.4.


L
1
X,,




là một không gian Banach.
Chứng minh Định lý 2.2.4như bài tập

Ví dụ 2.2.1.(Xemnhư bài tập). Cho f : X → 0, và f ∈ ℒX,.Chứng minh rằng


x ∈ X : fx  

 0.
Hướng dẫn:(Xemnhư bài tập).
Đặt A
n
 x ∈ X : fx  n.
Khi đó A
n
∈ M, A
1
⊃ A
2
⊃ ⊃ A
n
⊃ và x ∈ X : fx    ∩

n1

A
n
.
Mặt khác
A
n
 
1
n

X
n
A
n
d ≤
1
n

X

A
n
fd ≤
1
n

X
fd → 0.

Khi đó, áp dụng ví dụ 1.1.8, ta có


x ∈ X : fx  

 ∩
n1

A
n
 
n→
lim A
n
  0.
Ví dụ 2.2.2.(Xemnhư bài tập). Cho f : X → −, và f ∈ ℒX,.Chứng minh
rằng 

x ∈ X :
|
fx
|
 

 0.
Hướng dẫn: Dùng bài tậptrênvới f thay bởi
|
f
|
.

Ví dụ 2.2.3.(Xemnhư bài tập). Cho X,M, là một không gian đ
ovới độ đo
dương .
(a) Giả sử f : X → 0, đo được, E ∈ M và

E
fd  0.Chứng minh rằng f  0 a.e.
trên E.
(b) Giả sử f ∈ ℒX, và

E
fd  0 ∀E ∈ M.Chứng minh rằng f  0 a.e. trên X.
(c) Giả sử f ∈ ℒX, và

X
fd 

X
|
f
|
d.Chứng minh rằng tồntạimộthằng số
 sao cho f 
|
f
|
a.e. trên X.
Hướng dẫnchứng minh Ví dụ 2.2.3.
(a) Đặt A
n

 x ∈ E : fx 
1
n
.Khiđó x ∈ E : fx  0  
n1

A
n
.
23
1
n
A
n
 
1
n

X

A
n
d ≤

A
n

A
n
fd ≤


A
n
fd ≤

E
fd  0.
Vậy, ta có A
n
  0.Vìx ∈ E : fx  0  
n1

A
n
,tacó


x ∈ E : fx  0

 


n1

A
n



n1


A
n
  0.Vậy f  0 a.e. trên E.
(b) Đặt f  u  iv,vàE  x ∈ X : ux ≥ 0.Khiđó

E
fd  0  Re

E
fd 

E
ud  0 và Im

E
fd 

E
vd  0.
Đặcbiệt, Re

E
fd 

E
ud 

E
u


d  0.Dođótừ (a), ta có u

 0 a.e. trên E.
Do đó u

 0 a.e. trên X.(VìX  E  x ∈ X : ux  0  x ∈ X : u

x  0). Tương
tự ta cũng có
u

 v

 v

 0 a.e. trên X.
(c) (i) Nếu f 
|
f
|
a.e. trên X,  ∈ ℂ,thì
|

|
 1 và

X
|
f

|
d 

X
fd  Re

X
fd 

X
fd 
|

|

X
fd 

X
fd .
(ii) Đặt Z 

X
fd.ChúýlàZ ∈ ℂ, nên tồntại  ∈ ℂ,
|

|
 1 sao cho Z 
|
Z

|
.
Đặt U  Ref.Khiđó U ≤
|
f
|

|
f
|
.Dođó

X
fd 
|
Z
|
 Z  

X
fd 

X
fd
 Re

X
fd 

X

Ref d 

X
Ud ≤

X
|
f
|
d.
(Chú ý rằng

X
fd là số thực). Vậy

X
fd 

X
|
f
|
d 

X
Ud 

X
|
f

|
d 

X

|
f
|
− Ud  0.

|
f
|
− U ≥ 0, nên (a) chứng tỏ rằng
|
f
|
− U  0 a.e. trên X. Điềunầy nói rằng
Ref  U 
|
f
|

|
f
|
a.e. trên X.Dođó Imf  0 a.e. trên X.Vậy f 
|
f
|


|
f
|
a.e.
trên X.
Định lý 2.2.5.Cho
X,M, là một không gian đo, và f
m
 là dãy hàm phức đo
đượcxácđịnh a.e. trên X sao cho
(i)

m1


X
|
f
m
|
d  .
Khi đóchuỗi hàm
(ii)
fx 

m1

f
m

x hộitụ a.e. trên X, f ∈ ℒX,,và
(iii)

X
fd 

m1


X
f
m
d.
Hướng dẫnchứng minh Định lý 2.2.5. Đặt S
m
 x ∈ X : f
m
x xác định.Ta
có 

X  S
m

 0. Đặt x 

m1

|
f
m

x
|
,với x ∈ S  ∩
m1

S
m
.Khiđó


X  S

 

X  ∩
m1

S
m

 


m1

X  S
m


 0.Do(i),vàsử dụng định lý hộitụđơn

điệuvới

N
x 

m1
N
|
f
m
x
|
↗ x 

m1

|
f
m
x
|
với x ∈ S  ∩
m1

S
m
.
24
ta có
(1)


S
d 
N→
lim

S

N
d 
N→
lim

S

m1
N
|
f
m
x
|
d

N→
lim

m1
N


S
|
f
m
x
|
d 

m1


S
|
f
m
|
d 

m1


X
|
f
m
|
d  .
Nếu E  x ∈ S : X : x   ,tasuyrarằng (Xem Ví dụ 2.2.2), 

X  E


 0.
Chuỗi hàm (ii) hộitụ tuyệt đốitạimỗi x ∈ E,vànếu fx đượcxácđịnh bởi (ii) với
x ∈ E,thì
|
fx
|
≤ x trên E,do(1),tacóf ∈ ℒE
,.Nếu G
N
x 

m1
N
f
m
x,khiđó
|
G
N
|
≤ , G
N
x → f x vớimọi x ∈ E,vàdoĐịnh lý 2.2.3 (Định lý hộitụ bị chận
Lebesgue), ta có
(2)

E
fd 
N→

lim

E
G
N
d 
N→
lim

E

m1
N
f
m
xd 

m1


E
f
m
d.
(2) suy ra (iii), b ởivì

X  E

 0.
Bài tập (Định lý 2.2.6). Cho X,M, là một không gian đo. Cho f ∈ ℒX, và

f
m
 ⊂ ℒX, sao cho
m→
lim

X
|
f
m
− f
|
d  0.
Chứng minh rằng tồntạimột dãy con f
m
k
 của f
m
 và tồntại g ∈ ℒX, sao cho
là dãy hàm phức đo đượcxácđịnh a.e. trên X sao cho
(i)
|
f
m
k
x
|
≤ gx ∀x ∈ X, ∀k ∈ ℕ,
(ii)
fx 

k→
lim f
m
k
x a.e. trên X.
Hướng dẫnchứng minh Định lý 2.2.6.
Do
m→
lim

X
|
f
m
− f
|
d  0,tacómột dãy con f
m
k
 của f
m
 sao cho

X
|
f
m
k1
− f
m

k
|
d ≤
1
2
k
, ∀k ∈ ℕ.
Đặt F
1
 f
m
1
, F
k
 f
m
k
− f
m
k−1
, k ≥ 2 và g 

k1

|
F
k
|
.
Ta có

(i)

k1


X
|
F
k
|
d 

X
|
F
1
|
d 

k2


X
|
F
k
|
d



X
|
f
m
1
|
d 

k2


X
|
f
m
k
− f
m
k−1
|
d


X
|
f
m
1
|
d 


k2

1
2
k−1


X
|
f
m
1
|
d  1  .
Áp dụng định lý 2.25, ta có chuỗi hàm
(ii)

f x 

k1

F
k
x 
k→
lim f
m
k
x

hộitụ a.e. trên X,

f ∈ ℒX,.
Mặtkhác,và
25
|
f
m
k
x
|


j1
k
F
j
x ≤

j1
k
|
F
j
x
|


j1


|
F
j
x
|
 gx ∀x ∈ X, ∀k ∈ ℕ.
Áp dụng định lý hộitụ bị chận Lebesgue, ta có

f ∈ ℒX,,
k→
lim

X
f
m
k


f d  0.
Cũng do
m→
lim

X
|
f
m
− f
|
d  0,tasuyra


f  f a.e. trên X.
Bài tập (Định lý Egoroff). Cho X ,M, là một không gian đovớimột độ do
dương  sao cho X .Chof
m
 dãy các hàm đo đượctrênX và hộitụ hầuhết
về f trên X.Cho  0,tồntại A ∈ M,với X  A   sao cho f
m
 hộitụđềutrênA.
Ýtưởng Định lý Egoroff là sự hộitụ hầuhếttrêntậpcóđộ đohữuhạnsẽđiều
chỉnh thành hộitụđều sau khi bo qua mộttậpcóđộ đonhỏ tùy ý.
Hướng dẫnchứng minh Định lý Egoroff.Tagiả sử rằng dãy hàm f
m
 hội
tụ từng điểmvề f trên X.
Đặt
Sn,k  ∩
in

x ∈ X :
|
f
i
x − fx
|

1
k
.
Cho x ∈ X,vàk ∈ ℕ,dof

m
 hộitụ từng điểmvề f trên X,tacón ∈ ℕ, sao cho
x ∈ Sn,k.Dođóvớimọi k ∈ ℕ,tacó
X  
n1

Sn,k.
Chú ý rằng S1,k ⊂ S2,k ⊂ S3,k ⊂ Áp dụng Ví dụ 1.1.7, ta có
X 
n→
lim 

Sn,k

.Vậyvớimọi   0 và k ∈ ℕ,tacón
k
∈ ℕ sao cho


X  Sn,k

 

X

− 

Sn,k




2
k
.
Ta đặt
A  ∩
k1

Sn
k
,k.
Ta có X  A  
k1


X  Sn
k
,k

,dođó
X  A ≤

k1



X  Sn
k
,k




k1


2
k
 .
Dễ thấyrằng f
m
 hộitụđềuvề f trên A.Thậtvậy, vớimọi k ∈ ℕ :
Vớimọi x ∈ A  x ∈ Sn
k
,k
|
f
i
x − fx
|

1
k
, ∀i ≥ n
k
.

×