Đề cương bài giảng : Toán cơ sở dành cho sinh viên ngành giáo dục mầm non trình độ đại học

1
Trờng đại học s phạm
Khoa đo tạo giáo viên mầm non



Nguyễn Thị Tuyết Mai






Đề cơng bài giảng
Toán cơ sở
Dùng cho sinh viên chuyên ngành giáo dục mầm non
Trình độ đại học







Thái Nguyên - 2009

2
Mục lục

Lời nói đầu
Chơng 1. Cơ sở của lý thuyết tập hợp
1.1. Tập hợp 4
1.2. Các phép toán trên tập hợp 7
1.3. ánh xạ 10
1.4. Quan hệ 13
1.5. Giải tích tổ hợp 18
Bài tập chơng 1 20
Chơng 2. Cấu trúc đại số
2.1. Phép toán hai ngôi 24
2.2. Cấu trúc nhóm 28
2.3. Cấu trúc vành 32
2.4. Cấu trúc trờng 35
Bài tập chơng 2 37
Chơng 3. Định thức, ma trận, hệ phơng trình tuyến tính
3.1. Ma trận 40
3.2. Định thức 47
3.3. Hệ phơng trình tuyến tính 53
Bài tập chơng 3 59

Chơng 4. Số tự nhiên
4.1. Hệ thống số tự nhiên 64
4.2. Các phép toán trên tập các số tự nhiên 66
4.3. Hệ đếm và cách ghi số đếm 69
Bài tập chơng 4 78
Chơng 5. Đại số véc tơ và hình học giải tích
5.1. Véc tơ 80
5.2. Toạ độ trên đờng thẳng 84
5.3. Phơng pháp toạ độ trên mặt phẳng 85
5.4. Phơng pháp toạ độ trong không gian 87

Bài tập chơng 5 95
Tài liệu tham khảo 96




3
lời nói đầu

Một trong những nhiệm vụ của ngời giáo viên mầm non là hình thành cho
trẻ những biểu tợng toán học sơ đẳng. Vì vậy, ngời giáo viên mầm non cần
phải nắm vững những kiến thức toán học cơ bản, có kỹ năng giải toán và ứng
dụng những kiến thức đã học vào việc giáo dục trẻ.

Học phần Toán cơ sở nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức toán
học cơ bản, giúp cho sinh viên có vốn kiến thức cần thiết để có thể học học phần
phơng pháp hình thành biểu tợng toán học sơ đẳng cho trẻ mầm non. Đồng
thời giúp cho sinh viên có thể học tốt một số học phần: Toán thống kê, dinh d-
ỡng, phơng pháp nghiên cứu khoa học,

Giáo dục mầm non nói chung và sự nghiệp đào tạo giáo viên mầm non nói
riêng đang trên con đờng xây dựng và phát triển. Vì vậy tài liệu học tập còn rất
thiếu thốn. Để giúp cho sinh viên có đợc một tài liệu học tập, đợc sự phê duyệt
của Ban Giám hiệu trờng Đại học S phạm - Đại học Thái Nguyên tôi đã biên
soạn đề cơng bài giảng Toán cơ sở cho sinh viên chuyên ngành Mầm non, hệ
đại học. Đề cơng bài giảng tập hợp kiến thức trong các lĩnh vực khác nhau của
toán học nh số học, đại số, hình học và đợc tham khảo từ nhiều tài liệu. Nội
dung đề cơng bài giảng Toán cơ sở trình bày những kiến thức cơ bản về tập hợp,
quan hệ, ánh xạ, cấu trúc đại số, đại số tuyến tính, tập hợp số tự nhiên, hình học
giải tích và giải tích tổ hợp.

Tác giả mong nhận đợc những góp ý của các bạn đồng nghiệp và độc giả
về nội dung cũng nh việc trình bày để đề cơng bài giảng này đợc hoàn thiện
hơn.


4
Chơng 1: Cơ sở của lý thuyết tập hợp

1.1. Tập hợp
1.1.1. Khái niệm tập hợp
Tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học, nó không
đợc định nghĩa, dới đây là một hình ảnh trực quan của khái niệm tập hợp.
Những vật, những đối tợng toán học, đợc tụ tập do một tính chất
chung nào đó thành lập những tập hợp.
Ngời ta nói: Tập hợp các học sinh trong một lớp, tập hợp các lớp trong
một trờng, tập hợp

các số tự nhiên, tập hợp

các số nguyên, tập hợp

các
số hữu tỷ, tập hợp
các số thực, tập hợp các nghiệm của một phơng trình,
Các vật trong tập hợp X đợc gọi là các phần tử của tập hợp X. Kí hiệu
x
X
đọc là x là một phần tử của tập X hoặc x thuộc X. Nếu x không thuộc
tập X, kí hiệu

x
X
.

1.1.2. Phơng pháp biểu diễn một tập hợp
a) Phơng pháp liệt kê
Ta liệt kê đầy đủ (nếu có thể) tất cả các phần tử của tập hợp. Các phần tử
đợc viết trong dấu ngoặc { . }, phần tử nọ cách phần tử kia bởi dấu phẩy (hoặc
dấu ;).
Ví dụ: Tập hợp A có 4 phần tử a, b, c, d đợc viết dới dạng liệt kê là
{
}
,,,
A
abcd=
.
Phơng pháp liệt kê không chỉ áp dụng đối với những tập hợp có không
nhiều phần tử mà còn có thể áp dụng đối với các tập hợp có vô số phần tử. Trong
trờng hợp này ta lịêt kê một số phần tử đại diện vừa đủ để ta có thể nhận biết
đợc một đối tợng nào đó có thuộc tập hợp đó hay không.
Ví dụ: +) Tập hợp các số tự nhiên
{
}
0,1,2,3,
=

.
+) Tập hợp các số tự nhiên chẵn:
{
}

2 0,2,4,6,
=

.
+) Tập hợp cácc ớc của 20:
{
}
2 1,2,4,5,10,20
=

.

5
Chú ý: Một tập hợp đợc xác định không phụ thuộc vào thứ tự liệt kê các phần tử
của nó.
b) Phơng pháp nêu tính chất đặc trng
Một tập hợp có thể xác định bằng cách nêu các tính chất chung (tính chất
đặc trng) của các phần tử trong tập hợp mà nhờ vào các tính chất chung ấy ta có
thể xác định đợc một phần tử bất kỳ có thuộc tập hợp đó hay không.
Nếu tất cả các phần tử của tập hợp X đều có tính chất P thì ta có thể biểu
diễn X nh sau:
{|Xx=
x có tính chất P} hoặc
{
}
|()XxPx
=
.
Ví dụ: +) Tập hợp các số tự nhiên chẵn:
{

}
2|2,xx nn
=
=


.
+) Tập hợp các ớc của 15:
{
}
|;15Xxx x
=


M .
+) Tập hợp các bội của 3:
{
}
|3,Xxxnn
=
=

.

1.1.3. Các tập hợp đặc biệt
a) Tập hợp rỗng
Một tập hợp không chứa phần tử nào đợc gọi là tập rỗng, ký hiệu:

Ví dụ: +) Tập các nghiệm thực của phơng trình
2

10
x
+
= là tập rỗng.
+) Tập các đờng thẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng là tập rỗng.
b) Tập hợp một, hai phần tử
Giả sử x là một vật hay một đối tợng nào đó, tập hợp kí hiệu là
{
}
x
chỉ
gồm một phần tử x đợc gọi là tập hợp một phần tử (tập đơn tử).
Giả sử x, y là hai vật hay hai đối tợng nào đó, tập hợp kí hiệu là
{
}
,
x
y

chỉ gồm 2 phần tử x, y đợc gọi là tập hợp hai phần tử.
Tơng tự nh trên ta có thể định nghĩa các tập hợp ba, bốn, phần tử, các
tập hợp đó cùng với tập hợp rỗng đợc gọi là các tập hữu hạn, còn các tập hợp
khác đợc gọi là các tập vô hạn.
Ví dụ: +) Tập các ớc của 15 là tập hữu hạn (vì nó chỉ có 5 phần tử).
+) Tập các bội của 3 là tập vô hạn.
+) tập các số tự nhiên là tập vô hạn.
+) Tập các trẻ trong một lớp là tập hữu hạn.

6
1.1.4. Hai tập hợp bằng nhau

a) Định nghĩa: Hai tập hợp A và B đợc gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B khi và
chỉ khi mọi phần tử thuộc tập hợp A đều thuộc tập hợp B và ngợc lại.
Nh vậy A = B khi và chỉ khi chúng chứa các phần tử nh nhau.
Hay
x
AxB
AB
x
BxA


=



.
b) Ví dụ: +)
{
}
{
}
|,6; |,2,3XxxxYxxxx XY= = =M M M
.
+) X là tập hợp các hình bình hành có một góc vuông, Y là tập các
hình chữ nhật thì X = Y.

1.1.5. Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp
a) Định nghĩa: Cho một tập hợp X. Một tập hợp A đợc gọi là tập con (hay bộ
phận) của tập hợp X nếu mọi phần tử thuộc tập hợp A đều thuộc tập hợp X. Kí
hiệu

A
X (hoặc XA ) và đọc là A chứa trong X, hoặc A là một bộ phận của
X, hoặc A là một tập con của X. Quan hệ
A
X
đợc gọi là quan hệ bao hàm.

b) Ví dụ: +)
2
N


+) Tập hợp các hình vuông là tập con của tập hợp các hình chữ nhật.
c) Tính chất
+)
,
A
A
+)
A
A

+) Nếu
,
A
BB C A C
+) Nếu
A
B
và

B
AAB=


1.1.6. Họ các tập con của một tập hợp
a) Định nghĩa: Giả sử X là một tập hợp, các tập con của X lập thành một tập
hợp, kí hiệu
P(X) và gọi là tập các tập con của tập hợp X. Tập hợp này bao gồm
ít nhất một phần tử chính là tập X.

7
b) Ví dụ: +) Nếu
X =
thì P(X) =
{
}

.
+) Nếu
{
}
Xa=
thì P(X) =
{
}
{
}
, a
.
+) Nếu

{
}
,Xab=
thì P(X) =
{
}
{
}
{
}
{
}
,,,,abab .
Chú ý: Ta có thể chứng minh đợc rằng nếu X là một tập hợp hữu hạn gồm n
phần tử thì
P(X) là một tập hợp hữu hạn gồm 2
n
phần tử.

1.2. Các phép toán trên tập hợp
1.2.1. Hợp của các tập hợp
a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất
một trong hai tập hợp X, Y đợc gọi là hợp của hai tập hợp X, Y, kí hiệu
XY .
Theo định nghĩa
{|XY xxX= hoặc }
x
Y

.

Ta có thể mở rộng định nghĩa cho trờng hợp n tập hợp:
Định nghĩa: Cho n tập hợp
12
, , ,
n
A
AA
. Một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít
nhất một trong n tập hợp
12
, , ,
n
A
AA
đợc gọi là hợp của các tập hợp
12
, , ,
n
A
AA
, kí hiệu
12

n
A
AA
.
b) Ví dụ: +)
{
}

{
}
{
}
,,, , ,, ,,,,, .X abcd Y def X Y abcdef===

+) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết
cho 6 thì
XY
là tập các số tự nhiên chia hết cho 2.
c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có:
+)
A
AA=
,
A
A=

+) Nếu
B
A
thì
A
BA=

+)
A
BB A=

+)

()
(
)
A
BCABC=


1.2.2. Giao của các tập hợp
a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai

8
tập hợp (phần tử chung của) X, Y đợc gọi là giao của hai tập hợp X, Y, kí hiệu
XY
.
Theo định nghĩa
{|XY xxX= và }
x
Y

.
Ta có thể mở rộng định nghĩa cho trờng hợp n tập hợp:
Định nghĩa: Cho n tập hợp
12
, , ,
n
A
AA
. Một tập hợp gồm các phần tử thuộc tất
cả n tập hợp
12

, , ,
n
A
AAđợc gọi là giao của các tập hợp
12
, , ,
n
A
AA, kí hiệu
12

n
A
AA.
b) Ví dụ: +)
{
}
{
}
{
}
,,, , ,, .XabcdYdef XYd===

+) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết
cho 6 thì
XY
là tập các số tự nhiên chia hết cho 6.
c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có:
+)
A

AA=,
A
=
+) Nếu
B
A
thì
A
BB

=

+)
A
BB A=
+)
()
(
)
A
BCABC=

1.2.3. Hiệu của hai tập hợp
a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc
tập hợp X nhng không thuộc tập hợp Y đợc gọi là hiệu của tập hợp X và tập
hợp Y, kí hiệu
\XY
.
Theo định nghĩa
\{|XY xx X=

và
}
x
Y

.
b) Ví dụ: +)
{
}
{
}
{
}
{
}
,,, , ,, \ ,, , \ , .X abcd Y de f X Y abc Y X e f=== =

+) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết
cho 6 thì
\XY
là tập các số tự nhiên chia hết cho 2 nhng không chia hết cho 3,
\YX=
.
c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có:
+)
\,\
A
AA A= =
.
+) Nếu

B
A
thì
\;\
B
AAB
=

đợc gọi là phần bù của B trong A và
kí hiệu
\
A
A
BCB= .

9
+)
\( \ )
B
BA A= .
+) Nếu
B
A thì
\\CA CB
.

1.2.4. Tích Đề Các của hai tập hợp.
a) Định nghĩa: +) Một dãy gồm 2 phần tử a, b sắp thứ tự đợc gọi là một cặp
sắp thứ tự, kí hiệu (a, b).
+) Cho hai tập hợp X, Y khác rỗng. Một tập hợp gồm tất cả các cặp sắp thứ

tự (x,y), trong đó x thuộc tập hợp X, y thuộc tập hợp Y đợc gọi là tích Đề Các
của tập hợp X và tập hợp Y, kí hiệu
XY
ì
.
Theo định nghĩa
{( , )| , }XY xyxXyyì=
.
Khái niệm tích Đề các có thể mở rộng cho trờng hợp nhiều tập hợp:
Định nghĩa: Cho các tập hợp
12
, , ,
n
A
AA
. Ta định nghĩa
123 12 3
(),
A
AA AA Aìì= ì ì

1234 123 4
( ) , ,AAAA AAA A
ì
ìì= ìì ì

12 12 1
( )
nnn
A

AAAAAA

ììì= ìì ì
.
Tích Đề Các
XX Xììì
của n tập hợp X kí hiệu
n
X
. Tích Đề Các
2
XXXì= còn đợc gọi là bình phơng Đề Các của tập hợp X.
b) Ví dụ:
{
}
{
}
{
}
, , , 1,2 ( ,1),( ,2),( ,1),( ,2),( ,1),( ,2) ;XabcY XYaabbcc==ì=

{
}
(1, ), (1, ), (1, ), (2, ), (2, ), (2, )YX a b c a b c
ì
=
.
c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có:
A
ì

=

+) Nếu X, Y là hai tập hợp hữu hạn thì số phần tử của tập tích Đề Các
XYì
bằng tích của số phần tử của tập X và số phần tử của tập Y.
*) Chú ý: Tích Đề Các của 2 tập hợp không có tính chất giao hoán nhng có tính
chất kết hợp.

1.2.5. Mối quan hệ giữa các phép toán trên tập hợp
a) Định lý: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có:
+)
()()()
A
BC AB AC=

+)
()()()
A
BC AB AC=

Hệ quả: Với các tập A, B bất kỳ ta có:

10
+)
()
A
AB A=
+)
()
A

BBB=

b) Định lý: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có:
+)
\( ) ( \ ) ( \ )
A
BC AB AC=
+)
\( ) ( \ ) ( \ )
A
BC AB AC=


1.3. ánh xạ
1.3.1. Khái niệm ánh xạ
a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một quy tắc cho tơng ứng mỗi phần tử x
thuộc tập hợp X với một và chỉ một phần tử kí hiệu f(x) thuộc tập hợp Y đợc
gọi là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y, kí hiệu
:
f
XY hoặc
f
XY



()
x
fxa ()
x

fxa
Tập hợp X đợc gọi là tập nguồn hay miền xác định, tập hợp Y đợc gọi là tập
đích hay miền giá trị của ánh xạ f.
b) Ví dụ: +)
{
}
{
}
,,, , ,,XabcdYdef== tơng ứng:
ad
bd
ce
df
a
a
a
a

là một ánh xạ từ tập X đến tập Y.
+)
{
}
{
}
,, 1,2,3XabY==
tơng ứng:
1
2
a
b

a
a

là một ánh xạ từ tập X đến tập Y.
+) Xét tập hợp

các số tự nhiên, tơng ứng:
2nna
là một ánh xạ từ


đến

.
+) Xét tập hợp

các số thực, tơng ứng:
2
32
x
xx

+a
là một ánh xạ
từ
đến .

11
+) Việc xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một ánh xạ từ
tập các trẻ trong lớp đến tập các chỗ ngồi của lớp đó (với điều kiện số ghế trong

lớp lớn hơn hoặc bằng số trẻ).
+) Tơng ứng từ tập các con ngời trên trái đất đến tập các con ngời trên
trái đát theo quy tắc mỗi ngời phụ nữ tơng ứng với con đẻ của mình không phải
là một ánh xạ vì một ngời phụ nữ có thể có nhiều hơn một con. Nhng nếu theo
quy tắc mỗi ngời với mẹ đẻ của mình thì là một ánh xạ vì mỗi ngời đều có một
và chỉ một mẹ đẻ.

Nhận xét: +) Khái niệm ánh xạ là khái niệm mở rộng của khái niệm hàm số mà
ta đã học trong chơng trình phổ thông. Hàm số là những ánh xạ mà tập nguồn
và tập đích là tập hợp số thực

hoặc bộ phận của nó và số f(x) tơng ứng với x
đợc xác định bởi một biểu thức đại số hoặc một biểu thức lợng giác, chẳng hạn
2
() 3 2 4fx x x=+
hay
() 2sin 4cos2
f
xx x
=
+
.
+) Trong định nghĩa ánh xạ, các tập nguồn, tập đích không nhất thiết là các
tập hợp số và phần tử f(x) tơng ứng với x cũng không chỉ xác định bởi biểu thức
đại số, không bắt buộc là số.

1.3.2. ảnh và tạo ảnh
a) Định nghĩa: Giả sử
:
f

XY
là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y. x
là một phần tử bất kỳ của X, A là một tập con bất kỳ của X, B là một tập con bất
kỳ của Y. Ta gọi:
+) f(x) là ảnh của x bởi f hay giá trị của f tại x.
+)
() { |
f
AyYxA=
sao cho
() }
f
xy
=
là ảnh của tập hợp A bởi f.
+)
1
() { | () }
f
BxXfxB

=
là tạo ảnh toàn phần của tập hợp B bởi f.
b) Ví dụ: Xét ánh xạ f từ tập hợp
{
}
,,,X abcd
=
đến tập hợp
{

}
,,Ydef=
xác
định bởi:
;;;adbdced faaaa

{
}
,, , {,}
A
abc X B e f Y==
. Ta có
() {,}
f
Ade
=
,
1
() {,}
f
Bcd

=
.

12
Nhận xét: +)
()
f
= với mọi ánh xạ f.

+)
1
(())
A
ffA

với mọi bộ phận A của X.
+)
1
(())
B
ff B


với mọi bộ phận B của Y.

1.3.3. Đơn ánh
a) Định nghĩa: ánh xạ
:
f
XY đợc gọi là một đơn ánh nếu với mọi ,'
x
x
thuộc X, nếu
() (')
f
xfx=
thì
'
x

x
=
hay với mọi y thuộc Y có nhiều nhất một x
thuộc X sao cho f(x) = y.
Hay định nghĩa tơng đơng: ánh xạ
:
f
XY
đợc gọi là một đơn ánh
nếu với mọi
,'
x
x
thuộc X, nếu '
x
x

thì () (')
f
xfx

.
Một đơn ánh còn đợc gọi là ánh xạ một đối một.
b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một đơn
ánh.
+) ánh xạ
3
:,
f
xxa

là một đơn ánh.
+) ánh xạ
2
:, 32fxxx+a
không là đơn ánh vì có
f(1) = f(2) = 0 mà rõ ràng
12

.
+) ánh xạ
,XXxx a
là một đơn ánh và gọi là ánh xạ đồng nhất của
X, kí hiệu
x
id
hoặc
1
x
.
+) Nếu
XY
thì ánh xạ
,XYxx a
là một đơn ánh và gọi là đơn ánh
chính tắc từ X đến Y hay ánh xạ nhúng chính tắc X vào Y.

1.3.4. Toàn ánh
a) Định nghĩa: ánh xạ
:
f

XY
đợc gọi là một toàn ánh nếu với mọi phần
tử y thuộc Y, có ít nhất một phần tử x thuộc X sao cho f(x) = y.
Hay nói cách khác f là toàn ánh nếu
()
f
XY
=
. Một toàn ánh còn đợc
gọi là một ánh xạ lên.
b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một toàn

13
ánh nếu số ghế vừa bằng số trẻ.
+) ánh xạ
,XXxx a là một toàn ánh.
+) ánh xạ
:2,2
f
nna
là một toàn ánh.
+) ánh xạ
2
:, 32fxxx+a
không là toàn ánh vì chẳng hạn có

2
mà không có phần tử x nào thuộc

sao cho f(x) = -2.

+) Nếu
XY
thì ánh xạ
,XYxx a
không là một toàn ánh.

1.3.5. Song ánh
a) Định nghĩa: ánh xạ
:
f
XY
đợc gọi là một song ánh (ánh xạ 1 1) nếu
nó vữa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Nói cách khác ánh xạ
:
f
XY
là một song
ánh nếu với mọi phần tử y thuộc tập Y có một và chỉ một phần tử x thuộc tập X
sao cho f(x) = y.
b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một
song ánh nếu số ghế vừa bằng số trẻ.
+) ánh xạ đồng nhất là một song ánh.
+) ánh xạ
:2,2
f
nna
là một song ánh.
+) ánh xạ
*
:,1

f
nn+a
là một song ánh.

1.4. Quan hệ
1.4.1. Quan hệ hai ngôi
a) Định nghĩa: Cho X, Y là hai tập tùy ý, khác rỗng. Mỗi tập con S của tập tích
Đề Các
XYì
đợc gọi là một quan hệ hai ngôi trên
XY
ì
.
Nếu
(,)
x
yS
ta nói x có quan hệ S với y và viết
x
Sy
.
Nếu
(,)
x
yS
ta nói x không có quan hệ S với y và viết
$
x
y
.

Một quan hệ hai ngôi trên
XX
ì
đợc gọi đơn giản là quan hệ hai ngôi trên tâp
X. b) Ví dụ: +) Tập con
{
}
(,) |Sxy xy
=
ì =
xác định quan hệ bằng nhau
trên
.

14
+) Tập con
{
}
(,) |Sxy xy=ì
xác định quan hệ nhỏ hơn hoặc
bằng n trên
.
c) Một số tính chất của quan hệ hai ngôi
Giả sử S là một quan hệ hai ngôi trên tập X.
+) S đợc gọi là có tính chất phản xạ nếu với mọi
x
X

, x có quan hệ S
với chính nó.

+) S đợc gọi là có tính chất đối xứng nếu với mọi
,
x
yX mà x có quan
hệ S với y thì y có quan hệ S với x.
+) S đợc gọi là có tính chất phản đối xứng nếu với mọi ,
x
yX mà x có
quan hệ S với y và y có quan hệ S với x thì x = y.
+) S đợc gọi là có tính chất bắc cầu nếu với mọi ,,
x
yz X mà x có quan
hệ S với y và y có quan hệ S với z thì x có quan hệ S với z.
Hay ta có thể phát biểu ngắn gọn hơn:
+) S đợc gọi là có tính chất phản xạ nếu
,
x
XxSx


.
+) S đợc gọi là có tính chất đối xứng nếu
,,
x
yXxSy ySx


.
+) S đợc gọi là có tính chất phản đối xứng nếu
,,,

x
yXxSyySx xy =
.
+) S đợc gọi là có tính chất bắc cầu nếu
,, , ,
x
yz XxSyySz xSz


.
Ví dụ: +) Quan hệ cùng họ, quan hệ cùng tên của các cháu trong lớp Mầm non
có các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
+) Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số có các tính chất phản xạ, đối
xứng, bắc cầu.
+) Quan hệ chia hết cho trên tập
*

các số tự nhiên khác 0 có các tính
chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu.

1.4.2. Quan hệ tơng đơng
a) Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X đợc gọi là quan hệ tơng
đơng trên X nếu nó có đồng thời ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu.

15
Quan hệ tơng đơng trên tập X thờng ký hiệu

, nếu ,
x
yX , x

tơng đơng với y thì ta viết
xy

.
Ví dụ: +) Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số là một quan hệ tơng đơng.
+) Quan hệ cùng họ, quan hệ cùng tên là những quan hệ tơng đơng.
+) Quan hệ có cùng số d trong phép chia cho 3 trên tập số tự nhiên là một
quan hệ tơng đơng.
b) Lớp tơng đơng
*) Định nghĩa: Giả sử trên tập X xác định một quan hệ tơng đơng

. a là một
phần tử thuộc X. Tập hợp tất cả các phần tử thuộc X mà tơng đơng với a đợc
gọi là lớp tơng đơng của phần tử a trên quan hệ tơng đơng

, kí hiệu
[
]
a .
Theo định nghĩa
[
]
{
}
|axXxa=

, nh vậy lớp tơng đơng của phần tử a
thuộc X là tập hợp tất cả các phần tử thuộc X mà tơng đơng với a.
*) Ví dụ: +) Xét quan hệ tơng đơng trên các tập hợp số là quan hệ bằng nhau.
Lớp tơng đơng của phần tử a là [a] = {a}

+) Xét quan hệ tơng đơng trên tập các học viên của lớp mầm non là
quan hệ cùng họ thì lớp tơng đơng của phần tử Nguyễn Thị Lan là tập hợp tất
cả các học viên có họ Nguyễn.
+) Xét quan hệ tơng đơng trên tập số tự nhiên là quan hệ có cùng số d
trong phép chia cho 3.
+) Lớp tơng đơng của phần tử 0 là [0] = {0, 3, 6, 9, }.
+) Lớp tơng đơng của phần tử 1 là [1] = {1, 4, 7, 10, }.
+) Lớp tơng đơng của phần tử 2 là [2] = {2, 5, 8, 11, 14, }.
*) Tính chất: Giả sử trên tập X xác định một quan hệ tơng đơng

, a, b, x, y
là các phần tử thuộc X. Ta có:
+)
[
]
aa
.
+)
[
]
a
.
+) Nếu
[
]
,
x
ya xy

.

+) Nếu
[
]
,[]
x
ay x y a
.

16
+)
[
]
[
]
ab ab=
.
+) Nếu a không tơng đơng với b thì
[
]
[
]
ab

=
.
c) Tập thơng
*) Định nghĩa: Giả sử trên tập X khác rỗng xác định một quan hệ tơng đơng

. Tập hợp tất cả các lớp tơng đơng của X trên qua hệ tơng đơng

đợc
gọi là tập thơng của X trên qua hệ tơng đơng

, kí hiệu
X

.
Theo định nghĩa:
[
]
{
}
|XaaX=

. Nh vậy mỗi phần tử của tập
thơng
X

là một lớp tơng đơng của một phần tử a của X, tức là một tập hợp
gồm tất cả các phần tử của X mà tơng đơng với a.
*) Ví dụ: +) Xét quan hệ tơng đơng trên tập số tự nhiên là quan hệ có cùng số
d trong phép chia cho 3.
[
]
[
]
[
]
{
}

0,1,2=


.
+) Xét quan hệ tơng đơng trên tập X các học viên của lớp mầm non là quan
hệ cùng họ thì tập thơng
X
=

{[Nguyễn], [Trần], [Lê], [Phạm], }.

1.4.3. Quan hệ thứ tự
a) Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X đợc gọi là quan hệ thứ tự
trên X nếu nó có đồng thời ba tính chất: phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.
Tập hợp X đợc gọi là tập sắp thứ tự nếu trên X có một quan hệ thứ tự.
Quan hệ thứ tự trên tập X thờng ký hiệu

, nếu
,
x
yX
, x có quan hệ
thứ tự

với y thì ta viết
x
y

.
*) Ví dụ:

+) Quan hệ nhỏ hơn hay bằng trên tập số tự nhiên là một quan hệ thứ tự.
+) Quan hệ chia hết cho trên tập
*

các số tự nhiên khác 0 là một quan hệ
thứ tự.
+) Quan hệ bao hàm giữa các tập con của một tập hợp là một quan hệ thứ
tự.
*) Chú ý: Trong một tập sắp thứ tự X có thể xảy ra 2 trờng hợp:

17
+) Tất cả mọi phần tử của X đều nằm trong quan hệ thứ tự đó, khi đó quan
hệ thứ tự trên X đợc gọi là quan hệ thứ tự toàn phần.
+) Có những phần tử của X không nằm trong quan hệ thứ tự đó, khi đó
quan hệ thứ tự trên X đợc gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.
*) Ví dụ: +) Quan hệ nhỏ hơn hay bằng trên tập số tự nhiên là một quan hệ thứ tự
toàn phần.
+) Quan hệ chia hết cho trên tập
*

các số tự nhiên khác 0 là một quan hệ
thứ tự bộ phận bởi vì chẳng hạn 2, 3 thuộc
*

nhng không nằm trong
quan hệ chia hết cho vì 2 không chia hết cho 3 và 3 cũng không chia
hết cho 2.
+) Quan hệ bao hàm giữa các tập con của một tập hợp là quan hệ thứ tự bộ
phận. Chẳng hạn
{

}
{
}
1,2,3 , 4,5,6,7XY
=
=


nhng

XY
và
YX
.
b) Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất
*) Định nghĩa: Giả sử X là một tập sắp thứ tự.
+) Một phần tử
aX
đợc gọi là phần tử lớn nhất của X nếu với mọi

,
x
X
ta có
x
a
.
+) Một phần tử
aX
đợc gọi là phần tử nhỏ nhất của X nếu với mọi

,
x
X
ta có
ax
.
*) Ví dụ: Xét quan hệ thứ tự trên tập hợp
*

các số tự nhiên khác 0 là quan hệ
chia hết cho.
+) Tập
*
chỉ có phần tử nhỏ nhất là 1, không có phần tử lớn nhất.
+) Tập
{
}
*
1, 2, 5, 7, 35, 70A =

có phần tử lớn nhất là 70 vì 70 chia
hết cho mọi phần tử của A, phần tử nhỏ nhất là 1 vì mọi phần tử của A
đều chia hết cho 1.
+) Tập
{
}
*
2,5,7,35,70B =

chỉ có phần tử lớn nhất là 70.
+) Tập
{
}
*
1,2,3,5,7,9,10,25C =

chỉ có phần tử nhỏ nhất là 1.

18
+) Tập
{
}
*
2,3,4,5,7,35D =

không có phần tử lớn nhất, phần tử
nhỏ nhất.
c) Phần tử tối đại, phần tử tối tiểu
*) Định nghĩa: Giả sử X là một tập sắp thứ tự.
+) Một phần tử
aX
đợc gọi là phần tử tối đại của X nếu với mỗi

,
x
X quan hệ
x
a kéo theo
x

a
=
.
+) Một phần tử
aX đợc gọi là phần tử tối tiểu của X nếu với mọi

,
x
X quan hệ
x
a

kéo theo
x
a
=
.
*) Ví dụ: Xét quan hệ thứ tự trên tập hợp
*

các số tự nhiên khác 0 là quan hệ
chia hết cho.
+) Tập
*

chỉ có phần tử tối tiểu là 1, không có phần tử tối đại.
+) Tập
{
}
*

1,2,5,7,35,70A =

có phần tử tối tiểu là 1, phần tử tối
đại là 70.
+) Tập
{
}
*
2,5,7,35,70B =

có các phần tử tối tiểu là 2,3,5,7, phần
tử tối đại là 70.
+) Tập
{
}
*
1,2,3,5,7,9,10,25C =

chỉ có phần tử tối tiểu là 1, các
phần tử tối đại là 7, 9, 10, 25.
*) Chú ý: +) Một tập hợp có nhiều nhất một phần tử lớn nhất và một phần tử nhỏ
nhất.
+) Một tập hợp có thể có nhiều phần tử tối đại và nhiều phần tử tối tiểu.


1.5. Giải tích tổ hợp
1.5.1. Chỉnh hợp
a) Định nghĩa: Mỗi tập hợp con sắp thứ tự gồm k phần tử khác nhau của một tập
hợp gồm n phần tử đợc gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh
hợp chập k của n phần tử kí hiệu là

k
n
A
.

19
b) Công thức
Mỗi chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập gồm k phần tử khác nhau
sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Nh vậy số các chỉnh hợp chập k của n phần
tử chính là số các cách chọn k phần tử sắp thứ tự. Vì
Chọn phần tử thứ nhất có n cách.
Chọn phần tử thứ hai có n - 1 cách.
Chọn phần tử thứ ba có n - 2 cách
Chọn phần tử thứ k -1 có n - k +2 cách.
Chọn phần tử thứ k có n k + 1 cách.
Do đó có tất cả n.(n-1).(n-2) (n-k+2)(n-k+1) cách chọn.
Vậy
n!
n.(n-1).(n-2) (n-k+2)(n-k+1)=
(n-k)!
k
n
A =
.

1.5.2. Hoán vị
a) Định nghĩa: Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử đợc gọi là một hoán vị của n
phần tử. Số các hoán vị của n phần tử kí hiệu là
n
P

.
b) Công thức
Vì mỗi hoán vị của n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử nên
số các hoán vị của n phần tử chính là số các chỉnh hợp chập n của n phần tử. Do
đó, số các hoán vị của n phần tử là:

n.(n-1).(n-2) (n-n+2)(n-n+1) = n.(n-1).(n-2) 2.1 = n!
n
P =


1.5.3. Tổ hợp
a) Định nghĩa: Một tập hợp con gồm k phần tử khác nhau (không phân biệt thứ
tự) của một tập hợp gồm n phần tử đợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu là
k
n
C
.
b) Công thức
Vì mỗi hoán vị của k phần tử trong một tổ hợp chập k của n phần tử chính là một
chỉnh hợp chập k của n phần tử nên mỗi tổ hợp chập k của n phần tử có k! chỉnh

20
hợp chập k của n phần tử . Do đó số các tổ hợp chập k của n phần tử bằng số các
chỉnh hợp chập k của n phần tử chia cho số các hoán vị của k phần tử
Vậy số các tổ hợp của n phần tử là:
!
()!!
k

n
n
C
nkk
=

.

1.5.4. Nhị thức Newton
a) Công thức nhị thức Newton
Với mọi số tự nhiên
1n ta có:
()
011222 11
.
n
nn n nnnn
nn n n n
ab Ca CabCab Cab Cb

+= + + ++ +

b) Ví dụ: +) Với n = 2, 3 ta có các hằng đẳng thức đáng nhớ:
(
)
(
)
23
22 3223
2; 33ab a abb ab a ab ab b+=+ + +=+ + +

+) Với n = 4:
()
4
04 141 2422 41 41 44
44 4 4 4
ab Ca CabCab Cab Cb

+= + + + +

43 22 34
46 4aabababb=+ + + +

+) Với n = 5:
(
)
4
54 32 23 45
510 10 5ab a ab ab ab ab b+=+++++
.

Bi tập chơng 1
1. Hãy trình bày các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp
a) Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị là 3.
b) Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng của hai chữ số bằng 15.
c) Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ
số hàng chục.
d) Tập hợp các số tự nhiên là ớc của 15.
e) Tập hợp các số tự nhiên là bội của 3.
f) Tập hợp các chữ số x sao cho

13 8
x
chia hết cho 3.
2. Hãy trình bày các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trng
a)
{
}
1,2,4,8,16,32A =


21
b)
{
}
1,4,9,16,25,36, B =

c)
{
}
1,4,7,10,13,16,19A =

3. Tìm tập hợp
P(X) các tập con của tập hợp X sau:
a)
{
}
1, 3, 5X =
b)
{
}

,,,Xabcd=

4. Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp A,B,
,,\,\,
A
BA BA BB AA B ì
trong các trờng hợp sau:
a) A là tập các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị gấp đôi
chữ số hàng chục, B là tập các số tự nhiên nhỏ hơn 50 và chia hết cho 8.
b)
{
}
{
}
| 6 7 9 ; |325 3
A
xx B x x==MM

c) A là tập các ớc của 18, B là tập các ớc của 24.
5. Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy: có 22 học sinh thích bóng đá, 18 học
sinh thích bơi, 25 học sinh thích cầu lông, 13 học sinh thích bóng đá và bơi, 13
học sinh thích bơi và cầu lông, 15 học sinh thíc bóng đá và cầu lông, 9 học sinh
thích cả 3 môn và 12 học sinh không thích môn nào. Hãy tính xem lớp đó có bao
nhiêu học sinh.
6. Giả sử X là tập tất cả con ngời trên trái đất, trên X ta xác định các quan hệ
sau:
a)
1
x
Sy

nếu ngời x không nhiều tuổi hơn ngời y.
b)
2
x
Sy
nếu ngời x cùng giới tính với ngời y.
c)
3
x
Sy
nếu ngời x là con của ngời y.
Hãy xét xem các quan hệ trên có những tính chất gì?
7. Chứng minh rằng các quan hệ sau là quan hệ tơng đơng, tìm tập thơng trên
các quan hệ tơng đơng đó.
a) Quan hệ S trên tập các số nguyên

nh sau:
,,
x
yxSy


nếu
x + y chia hết cho 2.

22
b) Quan hệ S trên tập các số tự nhiên

nh sau:
,,

x
yxSy


nếu x,
y có cùng chữ số hàng đơn vị.
c) Quan hệ S trên tập các số thực

nh sau: ,,
x
yxSyxy

=
8. Xét quan hệ chia hết cho trên tập các số tự nhiên

. Tìm phần tử lớn nhất,
phần tử nhỏ nhất, phần tử tối đại, phần tử tối tiểu của các tập hợp sau:
a)
{
}
1, 2, 4, 8,16, 32A =
b)
{
}
3,6,12,24,36,48B =
c)
{
}
1,2,4,8,12,16,18,24,32C =

d)
{
}
2,3,4,8,12,16,18,24D =

9. Hãy xét xem cấc quy tắc sau có phải là ánh xạ không?
a) Quy tắc cho tơng ứng mỗi ngời với mẹ đẻ của mình.
b) Quy tắc cho tơng ứng mỗi ngời với anh cả của mình.
c) Quy tắc cho tơng ứng mỗi tam giác với đờng tròn ngoại tiếp nó.
d) Quy tắc cho tơng ứng mỗi đờng tròn với tam giác nội tiếp nó.
e) Quy tắc lấy một số tự nhiên nhân với 4 đợc bao nhiêu trừ đi 15.
10. Cho các ánh xạ:
a)
:,25
f
nn+a . Tìm
11
(1), (3), (15); (1), (20).fff f f


b)
2
:; 54
f
xx x+a .Tìm:
11
(0), (1), (5); (10), ( 3).ffff f

11. Cho ánh xạ:
*
:,31
f
nna
, và các tập
{
}
1,2,4,8 ,A
=

{
}
2,8,14,10,47B = . Hãy tìm:
1
(), ()
f
Af B

.
12. Trong các ánh xạ dới đây, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
a)
:,43
f
nn+a

b)
:;43
f
xx+a

c)
:;
f
Tx
+
a
diện tích tam giác x (T là tập các tam giác).
13. Có thể xếp đợc bao nhiêu số có 3 chữ số nếu có 5 thẻ đánh số 1; 2; 3; 4; 5?

23
14. Có bao nhiêu các chọn 5 trẻ trong nhóm trẻ gồm 30 trẻ để tổ chức cho trẻ
chơi trò chơi? (Giả thiết rằng cơ hội đợc chơi của các trẻ trong nhóm là ngang
nhau và việc chọn là vô t không thiên vị).
14. Tìm khai triển Newton của:
a)
6
1
(2 )
2
x
b)
10
(1)x c)
6
1
()xy
y

15. Tính :
a)
6
1, 9 b)
5
99
c)
7!9
9!2!
d)
10!5
8!4!


24
Chơng 2: Cấu trúc đại số

2.1. Phép toán hai ngôi
2.1.1. Định nghĩa
Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ T: X
ì
X

X đợc gọi là
một phép toán hai ngôi trên X.
Giá trị T(x, y) của T tại (x, y) đợc gọi là cái hợp thành của x và y, kí hiệu
xTy.
2.1.2. Ví dụ
+) Phép cộng, phép nhân thông thờng trên các tập số là các phép toán hai
ngôi.

+) Phép trừ trên tập số tự nhiên không là phép toán hai ngôi vì phép trừ
không là ánh xạ từ
ì tới

. Ví dụ:
(
)
3,5

ì


,
35 2

=
. Nhng
phép trừ trên tập số nguyên

, tập số hữu tỉ

, tập số thực

là phép toán hai
ngôi.
+) ánh xạ T:
()()ìììì
((a, b), (c, d))
a (a + c, b + d)
là phép toán hai ngôi trên

ì

.

2.1.3. Các tính chất
a) Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X.
+) T đợc gọi là có tính chất kết hợp nếu
, b, c Xa

ta có
(aT b)T c = aT(bTc).
+) T đợc gọi là có tính chất giao hoán nếu
, b Xa


ta có aT b = bTa.
Ví dụ: +) Phép cộng, nhân thông thờng trên các tập số có tính chất giao hoán,
kết hợp.
+) Phép trừ trên tập số nguyên

không có tính chất giao hoán, kết hợp.
b) Giả sử T và R là hai phép toán hai ngôi trên tập hợp X.
+) T đợc gọi là phân phối bên phải đối với R nếu
, b, c Xa


ta có

25
(aR b)T c = (aTc)R(bTc).

+) T đợc gọi là phân phối bên trái đối với R nếu
, b, c Xa

ta có
aT(bR c) = (aTb)R(aTc).
+) T đợc gọi là phân phối đối với R nếu nó vừa phân phối phải vừa phân
phối trái đối với R.
Ví dụ: Xét tập hợp số tự nhiên

, với hai phép toán cộng, nhân thông thờng.
+) Phép nhân phân phối đối với phép cộng:
,b, ca



ta có:

()abcacbc+=+
;
()ab c ab ac
+
=+

+) Phép cộng không phân phối đối với phép nhân:

()( )( )abc abac+++
.

2.1.4. Phần tử trung lập
a) Định nghĩa

Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X.
+) Một phần tử
X
t
e
đợc gọi là phần tử trung lập trái của T nếu và chỉ
nếu
X; T
t
x
ex x = .
+) Một phần tử
X
p
e đợc gọi là phần tử trung lập phải của T nếu và chỉ
nếu
X; T
p
x
xe x =
.
+) Nếu
Xe
vừa là phần tử trung lập trái vừa là phần tử trung lập phải
của T thì e đợc gọi là phần tử trung lập của T.
b) Ví dụ
Với phép cộng và phép nhân trên các tập số
,,,

số 0 là phần tử trung
lập của phép cộng (phần tử không). Số 1 là phần tử trung lập của phép nhân (phần
tử đơn vị).
c) Định lý
Nếu một phép toán hai ngôi trên tập hợp X có phần tử trung lập trái và
phần tử trung lập phải thì chúng bằng nhau.
Chứng minh: Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X và giả sử T
có các phần tử trung lập trái
t
e
, trung lập phải
p
e
. Theo định nghĩa