Rèn luyện kĩ năng giải toán hình học cho học sinh trung học phổ thông (thông qua dạy học nội dung hình học không gian ở lớp 11)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN THỊ NHUNG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TỐN HÌNH HỌC
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
(THƠNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG HÌNH HỌC
KHƠNG GIAN Ở LỚP 11)

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN THỊ NHUNG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TỐN HÌNH HỌC
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
(THƠNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG HÌNH HỌC
KHƠNG GIAN Ở LỚP 11)
Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Bùi Thị Hạnh Lâm

THÁI NGUYÊN - 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả nghiên cứu là trung thực và chƣa đƣợc công bố trong bất kỳ cơng trình
nào khác.
Thái Ngun, tháng 10 năm 2012
Xác nhận
của ngƣời hƣớng dẫn khoa học

Tác giả luận văn

TS. Bùi Thị Hạnh Lâm

Nguyễn Thị Nhung

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




LỜI CẢM ƠN

Với tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cám ơn cô giáo Bùi Thị
Hạnh Lâm, ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt quá
trình thực hiện luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn phƣơng
pháp dạy học đã truyền thụ cho em những kiến thức q báu về phƣơng pháp
dạy học mơn Tốn.
Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô đặc biệt là các thầy
cô giảng dạy bộ môn Toán và các học sinh hai lớp Văn 11, Địa 11 trƣờng
THPT Chuyên Thái Nguyên đã tạo điều kiện giúp đỡ để em hồn thành q
trình thực nghiệm.
Em xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp, gia đình và bạn bè đã động
viên, giúp đỡ em trong thời gian học tập và nghiên cứu.
Thái Nguyên ngày 19 tháng 8 năm 2012
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Nhung

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




i

MỤC LỤC
Trang
Trang bìa phụ
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục ............................................................................................................... i

Danh mục các từ viết tắt.................................................................................... ii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................ 3
1.1. BÀI TOÁN, PHƢƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN ................ 3

1.1.1. Bài toán .............................................................................................3
1.1.2. Phân loại bài toán..............................................................................3
1.1.3. Phƣơng pháp chung để giải bài toán .................................................4
1.1.4. Chức năng của bài tập tốn ...............................................................7
1.2. KĨ NĂNG GIẢI TỐN .............................................................................. 8

1.2.1. Kĩ năng ..............................................................................................8
1.2.2. Đặc điểm của kĩ năng .......................................................................9
1.2.3. Kĩ năng giải tốn ...............................................................................9
1.2.4. Sự hình thành kĩ năng giải tốn ......................................................10
1.2.5. Một số kĩ năng cơ bản trong giải toán hình học khơng gian lớp 11 ..11
1.3. CÁC U CẦU RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC
SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG ................................................................ 24

1.3.1. Mục tiêu dạy học mơn Tốn ở trung học phổ thông ......................24
1.3.2. Yêu cầu nhiệm vụ của mơn Tốn cấp trung học phổ thơng ...........24
1.3.3. Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trung học
phổ thông ..................................................................................................25
1.3.4. Các bƣớc rèn luyện kĩ năng giải tốn .............................................26
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ii

1.4. NỘI DUNG CỦA CHƢƠNG TRÌNH VÀ YÊU CẦU CỦA DẠY
HỌC VỀ CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TRONG CHƢƠNG
TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG ......................................................................... 28

1.4.1. Nội dung của chủ đề hình học khơng gian trong chƣơng trình
tốn phổ thơng ..........................................................................................28
1.4.2. Mục đích, yêu cầu của việc dạy học về chủ đề hình học khơng
gian trong chƣơng trình tốn phổ thơng ...................................................29
1.5. THỰC TRẠNG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ......................................... 31

1.5.1. Thực trạng dạy học giải bài tập hình học khơng gian ở trƣờng
trung học phổ thông ..................................................................................31
1.5.2. Thực trạng kĩ năng giải bài tập hình học khơng gian của học
sinh ở trƣờng trung học phổ thông ...........................................................32
1.6. KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 ......................................................................... 35
Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TỐN
HÌNH HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG THƠNG
QUA DẠY HỌC NỘI DUNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Ở LỚP 11........ 36
2.1. MỘT SỐ NGUYÊN TẮC KHI XÂY DỰNG CÁC BIỆN PHÁP RÈN
LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN ..................................................................... 36

2.1.1. Nguyên tắc 1: Phù hợp với đối tƣợng học sinh ..............................36
2.1.2. Nguyên tắc 2: Phù hợp với yêu cầu của chƣơng trình....................36
2.1.3. Ngun tắc 3: Phù hợp với lí luận dạy học bộ môn .......................37
2.1.4. Nguyên tắc 4: Phù hợp với định hƣớng đổi mới phƣơng pháp
dạy học môn Tốn ở trƣờng trung học phổ thơng ....................................37
2.2. MỘT SỐ ĐỊNH HƢỚNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TỐN
HÌNH HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG
QUA DẠY HỌC NỘI DUNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN .......................... 38

2.2.1. Định hƣớng 1: Trang bị kiến thức cơ bản về hình học khơng gian .....38
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




iii
2.2.2. Định hƣớng 2: Rèn luyện tri thức phƣơng pháp .............................38
2.3. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TỐN HÌNH
HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG THƠNG QUA
DẠY HỌC NỘI DUNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN .................................... 39

2.3.1. Biện pháp 1: Rèn luyện kĩ năng xác định hình ...............................39
2.3.2. Biện pháp 2: Rèn luyện kĩ năng chứng minh .................................54
2.3.3. Biện pháp 3: Rèn luyện kĩ năng tìm tịi lời giải theo 4 bƣơc giai
́
̉
toán của G.Polya .......................................................................................74
2.3.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ năng thông qua việc khai thác và đề
xuất bài tập ................................................................................................84
2.4. KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 ......................................................................... 86
Chƣơng 3. THỬ NGHIỆM SƢ PHẠM ............................................................ 88
3.1. MỤC ĐÍCH THỬ NGHIỆM .................................................................... 88
3.2. ĐỐI TƢỢNG THỬ NGHIỆM .................................................................. 88
3.3. NỘI DUNG THỬ NGHIỆM..................................................................... 88
3.4. TỔ CHỨC VÀ ĐÁNH GIÁ THỬ NGHIỆM ........................................... 88

3.4.1. Phƣơng pháp và tiến trình thử nghiệm ...........................................88
3.4.2. Đánh giá kết quả thử nghiệm sƣ phạm ...........................................89

3.5. MINH HOẠ GIÁO ÁN THỬ NGHIỆM .................................................. 93
3.6. KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 ....................................................................... 107
KẾT LUẬN ....................................................................................................... 108
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 109

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ii

DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
GV

Giáo viên

HS

Học sinh

HHK

Hình học không gian

KN

Kĩ năng

mp

Mặt phẳng

RLK

Rèn luyện kĩ năng

SGK

Sách giáo khoa

THP

Trung học phổ thơng

VD

Ví dụ

G

N

T

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Mục tiêu của giáo dục là chuẩn bị cho con ngƣời có đƣợc một hệ thống
năng lực và giá trị, đặc biệt là năng lực thích ứng và hành động. Hiện nay vấn
đề đổi mới phƣơng pháp dạy học, đổi mới chƣơng trình, SGK là một trong
những nhiệm vụ quan trọng nhất của giáo dục. Hoạt động dạy và học phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS và RLKN vận dụng
kiến thức.
Mơn Tốn có khả năng to lớn giúp HS phát triển các năng lực và phẩm
chất trí tuệ, rèn luyện cho HS tƣ duy trừu tƣợng, tƣ duy biện chứng, tƣ duy
lôgic, phƣơng pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong học tập.
Giải bài tập toán là hoạt động toán học chủ yếu của HS ở trƣờng phổ
thơng. Bài tập tốn có vai trị quan trọng và là một phƣơng tiện rất hiệu quả
giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành KN, kĩ xảo, ứng
dụng toán học vào thực tiễn...
Trong nội dung chƣơng trình hình học THPT, HHKG giữ vai trị chủ
đạo, chiếm một khối lƣợng lớn kiến thức lớn của chƣơng trình và có tầm quan
trọng trong các đề thi tốt nghiệp phổ thông trung học cũng nhƣ thi tuyển sinh
vào cao đẳng, đại học.
Thực tế dạy và học toán ở trƣờng phổ thơng cho thấy nhiều GV cịn ngại
dạy nội dung HHKG, chỉ chú ý nhiều đến việc giải những bài toán cụ thể,
chƣa chú trọng đến việc rèn luyện KN giải tốn HHKG cho HS. Nhiều HS
thƣờng khơng thích học hoặc sợ học nội dung này, KN giải tốn HHKG của
nhiều HS cịn chƣa tốt hoặc chƣa có KN.
Xuất phát từ những lí do trên đề tài đƣợc lựa chọn là: “Rèn luyện kĩ năng
giải tốn hình học cho học sinh THPT (thông qua dạy học nội dung hình học
khơng gian ở lớp 11)”
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2

2. Mục đích nghiên cứu
Xác định các KN cơ bản và đề xuất một số biện pháp sƣ phạm để RLKN giải
tốn hình học cho học sinh THPT thơng qua dạy học nội dung HHKG ở lớp 11.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tổng thuật một số vấn đề về lí luận (KN, KN giải toán,...)
- Xác định các KN cơ bản giải tốn HHKG ở lớp 11.
- Tìm hiểu thực trạng RLKN giải toán HHKG ở trƣờng thpt.
- Đề xuất một số biện pháp sƣ phạm nhằm RLKN giải toán hình học cho
học sinh.
- Thiết kế một số bài giảng theo hƣớng RLKN giải toán cho HS.
- Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của
các biện pháp đã đề xuất.
4. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học mơn Tốn ở trƣờng THPT.
- Đối tƣợng nghiên cứu: KN giải toán HHKG ở lớp 11 THPT.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu xác định đƣợc các KN cơ bản, đề xuất và thực hiện tốt đƣợc một
số biện pháp sƣ phạm đã đề xuất thì có thể RLKN giải tốn hình học cho HS,
góp phần nâng cao năng lực học tập mơn Tốn cho HS THPT.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận
- Phƣơng pháp quan sát điều tra
- Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

Chƣơng 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. BÀI TỐN, PHƢƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TỐN
1.1.1. Bài tốn
Trong tiếng Việt, thuật ngữ “Bài tốn” có nhiều nghĩa khác nhau. Trong
các tài liệu về lí luận dạy học mơn Tốn, ngƣời ta hầu nhƣ không định nghĩa
khái niệm này và do đó có nhiều cách hiểu khác nhau:
Theo G.Polya: “Bài tốn đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý
thức phƣơng tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trơng thấy rõ ràng nhƣng
khơng thể đạt đƣợc ngay” [4].
- Bách khoa tri thức phổ thông định nghĩa: “Khái niệm bài tốn hiểu là
một cơng việc hồn thành đƣợc nhờ những phƣơng thức đã biết trong những
điều kiện cho trƣớc” [1].
- Bài toán là yêu cầu cần có để đạt đƣợc mục đích nào đó.
Nhƣ vậy bài toán đồng nghĩa với đề toán, vấn đề, nhiệm vụ,... Mục đích
nêu trong bài tốn có thể là một tập hợp bất kì (của các số, các hình, các biểu
thức,...) hoặc sự đúng đắn của một hoặc nhiều kết luận.
- Bài toán gắn liền với hành động của chủ thể: hành động phân tích bài
tốn, phát hiện hƣớng giải, xây dựng chƣơng trình giải,...
1.1.2. Phân loại bài tốn
Bài tốn đƣợc phân loại theo nhiều cách khác nhau để đạt đƣợc những
mục đích nhất định, thƣờng là để sử dụng các bài tốn đó đƣợc thuận tiện.
Theo G.Polya [5] "một sự phân loại tốt phải chia bài toán thành những

loại (kiểu, dạng) sao cho mỗi loại bài toán xác định trƣớc một phƣơng pháp
giải". Dựa vào mục đích của bài tốn, ông chia bài toán thành hai loại: các bài
toán về tìm tịi và các bài tốn về chứng minh. Trong đó cần lƣu ý đến các
phần chính của từng loại và tìm mối quan hệ giữa chúng để giải tốn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

- Bài tốn tìm tịi: bao gồm tốn tính tốn, tốn dựng hình, tốn tập hợp
điểm, tốn giải phƣơng trình hoặc bất phƣơng trình,... Trong đó u cầu của
bài tốn thƣờng thể hiện bằng các từ: tính, tìm, giải, xác định, dựng,... Các
phần chính của bài tốn bao gồm: cái phải tìm (cịn gọi là ẩn), cái đã cho (cịn
gọi là dữ kiện và điều kiện ràng buộc ẩn với dữ kiện). Giải bài tốn loại này là
tìm ra một hoặc một số ẩn thoả mãn các điều kiện ràng buộc ẩn với các dữ
kiện của bài tốn đó.
- Bài toán chứng minh: là bài toán mà yêu cầu của nó thƣờng thể hiện
bằng các cụm từ: chứng minh rằng, chỉ ra rằng, tại sao,... Các phần chính của
bài tốn bao gồm: cái đã cho (còn gọi là giả thiết) và cái cần chứng minh. Giải
bài toán loại này là khám phá ra mối liên hệ lôgic giữa cái đã cho và cái cần
chứng minh.
Tuy nhiên trong thực tế dạy học bài tập toán cho HS, thƣờng vẫn gặp bài
toán mà trong đó có phần là bài tốn tìm tịi, có phần là bài tốn chứng minh
và cả bài tốn có nội dung thực tiễn. Những bài tốn nhƣ vậy thƣờng đƣợc gọi
là bài tốn tổng hợp.
Ngồi ra, dựa vào nội dung, bài tốn cịn đƣợc phân chia thành các loại:
bài toán số học, bài toán đại số, bài toán hình học.
Riêng bài tốn hình học cịn có thể phân thành các loại: bài tốn tính tốn,

bài tốn chứng minh, bài tốn tìm tập hợp điểm (quỹ tích), bài tốn dựng hình.
Dựa vào sự phân loại này, HS có thể tìm mối quan hệ giữa các phần
chính để suy nghĩ hƣớng giải bài toán.
1.1.3. Phƣơng pháp chung để giải bài toán
Theo [10, tr. 415]: dựa trên những tƣ tƣởng tổng quát cùng với những
gợi ý chi tiết của G.Polya về cách thức giải bài toán đã đƣợc kiểm nghiệm
trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phƣơng pháp chung để giải bài tốn
nhƣ sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

- Bƣớc 1: tìm hiểu nội dung đề bài (hay hiểu bài toán):
+ Phát biểu đề bài với những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung
bài toán.
+ Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
+ Có thể dùng cơng thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
- Bƣớc 2: tìm cách giải (hay xây dựng chƣơng trình giải).
Tìm tịi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đốn:
biến đổi cái đã cho, cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc
cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài
toán cũ tƣơng tự, một trƣờng hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một
bài tốn nào đó có liên quan, sử dụng những phƣơng pháp đặc thù với từng
dạng toán nhƣ chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình,
tốn quỹ tích,... Chẳng hạn với bài tốn chứng minh, ta có thể hƣớng dẫn, gợi
ý HS tìm lời giải bằng phân tích suy ngƣợc lùi hoặc tổng hợp suy xi,...
- Bƣớc 3: trình bày lời giải (hay thực hiện chƣơng trình giải).

Từ cách giải đã phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chƣơng
trình gồm các bƣớc theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bƣớc đó.
- Bƣớc 4: nghiên cứu sâu lời giải.
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt
hố kết quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên
quan,...
- Tìm tịi những cách giải khác, so sánh chúng để có cách giải hợp lý nhất.
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng của kết quả lời giải.
- Nghiên cứu giải bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề.
VD1: Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bên trong tam giác ABC, N là
điểm bên trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của hai mp (AMN) và (BCD).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

Hƣớng dẫn giải
Bước 1: Tìm hiều nội dung bài tốn
GV: yêu cầu HS vẽ hình, xác định giả thiết, kết luận của bài tốn.
GV: điều kiện đã cho có đủ để xác định giao tuyến của hai mp không?
HS: điều kiện là đủ vì biết ba điểm xác định đƣợc mp (AMN) thì khi đó
sẽ xác định đƣợc giao tuyến của (AMN) và (BCD).
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài tốn
GV: giao tuyến của hai mp (nếu có) có dạng gì?
HS: là một đƣờng thẳng
GV: để xác định giao tuyến của hai mp ta phải làm gì?
HS: tìm hai điểm chung của hai mp.

GV: một điểm thƣờng đƣợc xác định nhờ đâu?
HS: giao điểm của hai đƣờng thẳng.
GV: vậy để tìm điểm chung của hai mp (AMN) và (BCD) mà dựa vào
giao điểm của hai đƣờng thẳng thì ta phải làm gì?
HS: tìm hai đƣờng thẳng cắt nhau thuộc hai mp (AMN) và (BCD).
GV: dựa vào hình vẽ hãy xác định các cặp đƣờng thẳng nhƣ vậy?
HS: trong mp (ABC) có AM cắt BC, trong mp (ACD) có AN cắt CD.
GV: từ đó hãy xác định giao tuyến cần tìm.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải bài tốn
Tóm tắt lời giải:

A

Ta có: AM, AN  (AMN). BC, CD  (BCD).
Trong mp (ABC) gọi E = AM  BC
Trong mp (ACD) gọi F = AN  CD.
Vậy EF chính là giao tuyến của hai mp (AMN)
và (BCD).

M
N
B

C

E
F

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
D

Hình 1.1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




7

GV yêu cầu HS kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải và từ cách giải bài
tốn này, có thể rút ra phƣơng pháp tìm điểm chung của hai mp nhƣ sau:
- Xác định hai đƣờng thẳng thuộc hai mp đã cho và cùng thuộc mp thứ ba.
- Xác định giao điểm của hai đƣờng thẳng đó.
1.1.4. Chức năng của bài tập toán
Mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của q trình dạy học đều
chứa đựng một cách tƣờng minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau.
Các chức năng đó là:
- Chức năng dạy học.
- Chức năng giáo dục.
- Chức năng phát triển.
- Chức năng kiểm tra.
Các chức năng này đều hƣớng tới việc thực hiện mục đích dạy học.
- Chức năng dạy học: Bài tập tốn nhằm hình thành, củng cố cho HS
những tri thức, KN, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
- Chức năng giáo dục: bài tập tốn nhằm hình thành cho HS thế giới
quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm
chất đạo đức của ngƣời lao động mới.
- Chức năng phát triển: bài tập toán nhằm phát triển năng lực tƣ duy cho
HS, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất
của tƣ duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: bài tập toán nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy

học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến
thức và trình độ phát triển của HS.
Hiệu quả của việc dạy toán ở trƣờng phổ thông phần lớn phụ thuộc vào
sự khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của bài tập
bằng năng lực sƣ phạm của mình.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

1.2. KĨ NĂNG GIẢI TỐN
1.2.1. Kĩ năng
Có nhiều quan niệm khác nhau về KN
"Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn" trong đó khả
năng đƣợc hiểu là "sức đã có về mặt nào đó để có thể làm tốt một việc gì"[2].
KN là năng là năng lực tự giác hoàn thành đƣợc một thao tác hay một
việc nhất định trên cơ sở hiểu đƣợc tri thức khoa học và vận dụng những tri
thức đó.
"Kĩ năng là khả năng thực hiện hành động một cách thành thạo, linh hoạt
sáng tạo, phù hợp với mục tiêu trong các điều kiện khác nhau"[15].
Theo từ điển trên mạng Wikipedia: KN là sự thành thạo, sự dễ dàng hoặc
khéo léo có đƣợc thơng qua đào tạo hoặc trải nghiệm. Có 3 thành tố cơ bản
của KN là kết quả (effectiviness), sự chắc chắn/ ổn định (consistency) và hiệu
quả (efficency).
Theo G.Polya [4, tr. 386], "Kĩ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận
dụng những hiểu biết có đƣợc ở bạn để đạt đƣợc mục đích của mình, kĩ năng
cịn có thể đặc trƣng nhƣ tồn bộ các thói quen nhất định; kĩ năng là khả năng

làm việc có phƣơng pháp" G.Polya khẳng định rằng "Trong toán học, kĩ năng
là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng nhƣ phân tích có
phê phán các lời giải và chứng minh nhận đƣợc"[5].
Từ những quan niệm trên có thể hiểu: KN là sự thực hiện thành thạo và
có kết quả một hành động nào đó bằng cách vận dụng những tri thức, những
kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với ngữ cảnh và điều kiện cụ thể.
Rèn luyện KN có vai trị đặc biệt quan trọng đối với sự phát triển trí tuệ,
"khó có thể phân biệt rạch ròi đâu là rèn luyện kĩ năng, đâu là phát triển trí tuệ".
Theo nhƣ đã trình bày, kiến thức là cơ sở của KN, do đó tuỳ theo nội
dung kiến thức truyền thụ cho HS mà GV có những yêu cầu rèn luyện KN
tƣơng ứng. Con đƣờng đi từ kiến thức đến KN là rất phong phú và nó phụ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




9

thuộc vào nhiều yếu tố nhƣ: kiến thức xác định KN, yêu cầu rèn luyện KN,
mức độ chủ động, tích cực của HS... Con đƣờng tốt nhất và bảo đảm tính sƣ
phạm là sự tham gia hoạt động và bằng hoạt động chủ động, tích cực, độc lập
của HS.
1.2.2. Đặc điểm của kĩ năng
Trong vận dụng, ta thƣờng chú ý tới các đặc điểm của KN:
- Bất cứ KN nào cũng phải dựa trên cơ sở lí thuyết, đó là kiến thức, bởi
vì cấu trúc của KN bao gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của KN khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc
tính bản chất của đối tƣợng, đƣợc thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong
ý thức với tƣ cách của hành động.
Vậy muốn có KN về một hành động nào đó thì cần phải:

- Có kiến thức: để hiểu đƣợc mục đích của hành động, biết đƣợc mục
đích của hành động, biết đƣợc điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực
hiện hành động.
- Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó.
- Đạt đƣợc kết quả phù hợp với mục đích đã đề ra.
- Có thể hành động hiệu quả trong những điều kiện khác nhau.
- Có thể qua bắt chƣớc, rèn luyện để hình thành KN nhƣng phải trải qua
thời gian đủ dài.
1.2.3. Kĩ năng giải toán
Trong Toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài tốn, thực hiện các chứng
minh cũng nhƣ phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận đƣợc.
Do tính trừu tƣợng trên nhiều bình diện của Tốn học nên trong dạy học
mơn Tốn ta cần quan tâm rèn luyện cho HS những KN trên những bình diện
khác nhau.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




10

- KN vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán.
- KN vận dụng tri thức toán học vào trong những mơn học khác.
- KN vận dụng tốn học vào đời sống.
KN trên bình diện thứ nhất là sự thể hiện ở mức độ thơng hiểu tri thức
tốn học. Khơng thể có một ngƣời thơng hiểu tri thức tốn học mà lại khơng
biết vận dụng vào làm tốn.
KN trên bình diện thứ hai thể hiện ở vai trị cơng cụ của tốn học đối
với các mơn học khác thƣờng là những mơn gắn bó với thực tiễn nhiều hơn
mơn Tốn.

KN trên bình diện thứ ba là mục tiêu quan trọng của mơn Tốn. Nó cho
thấy rõ mối liên hệ giữa Tốn học và đời sống.
Trong q trình dạy tốn ở chƣơng trình phổ thơng rèn luyện KN trên
bình diện thứ nhất là rất quan trọng. HS ngày càng có khả năng giải toán ban
đầu là những bài cơ bản, sau đó là những bài tốn khó hơn nói lên sự thành
cơng về mặt dạy học.
KN Tốn học đƣợc hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các
hoạt động Tốn học và các hoạt động học tập trong mơn Tốn.
KN có thể đƣợc rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong q trình hoạt động.
Dạy học tốn ở trƣờng phổ thơng có các tình huống điển hình là dạy học
khái niệm, dạy học định lý, dạy học bài tập toán học. Sau quá trình dạy định
lý cần cho HS làm các bài tập áp dụng từ dễ đến khó, qua đó HS dần hình
thành đƣợc KN cho riêng mình.
1.2.4. Sự hình thành kĩ năng giải tốn
Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành KN giải tốn
+ Nội dung của bài tập: nhiệm vụ đặt ra đƣợc trừu tƣợng hoá hay bị che
phủ bởi những yếu tố phụ làm chệch hƣớng tƣ duy có ảnh hƣởng tới sự hình
thành KN.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




11

+ Tâm thế và thói quen cũng ảnh hƣởng tới sự hình thành KN. Vì thế tạo
tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp HS trong việc hình thành KN.
+ KN khái qt nhìn đối tƣợng một cách tồn thể ở mức cao hay thấp.
+ Biết quy lạ về quen, đƣa các dạng bài tập về mơ hình các bài tập
quen thuộc.

+ Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá...
+ Tần số và số lần luyện tập.
Sự hình thành KN giải tốn
Thực chất việc hình thành KN là hình thành cho HS nắm vững một hệ
thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa
đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hoạt động cụ
thể. Muốn vậy khi hình thành KN (chủ yếu là KN giải tốn) cho HS cần:
+ Giúp HS biết cách tìm tịi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm
và mối quan hệ giữa chúng.
+ Giúp HS hình thành mơ hình khái quát để giải quyết các bài tập cùng
dạng, các đối tƣợng cùng loại.
+ Xác lập đƣợc mối quan hệ giữa bài tập mơ hình khái qt và các kiến
thức tƣơng ứng.
1.2.5. Một số kĩ năng cơ bản trong giải tốn hình học khơng gian lớp 11
1.2.5.1. Nhóm kĩ năng chung
Khi giải một bài tốn nói chung, chúng ta đều cần phải có các KN cơ bản sau:
KN1: KN tìm hiểu đề bài:
Khi tiếp cận với một bài tốn điều trƣớc tiên cần làm đó là phân tích bài
tốn, làm rõ các dữ kiện đặt ra, nếu bài toán có tính chất là một vấn đề thì cần
tìm một khâu nào còn chƣa biết, một quy tắc tổng quát hoặc một phƣơng pháp
có yếu tố thuật giải để giải bài tốn. Từ đó lắp ghép các kiếm thức có liên
quan để tiến hành khai thác đƣa ra lời giải. Đây là KN phát hiện và giải quyết
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




12

vấn đề, một trong những KN quan trọng nhất khi giải một bài tốn. Để giúp

HS có KN này, GV nên hƣớng cho HS cách tìm hiểu đề bài chứ khơng phải là
tìm hiểu hộ HS, có thể đƣa ra các câu hỏi đối với HS nhƣ: bài toán này cho
cái gì? Cần tìm cái gì? Giữa cái đã cho và cái cần tìm có mối liên hệ gì
khơng? Có bài nào tƣơng tự bài này chƣa? Sử dụng các kiến thức đã học nào
để giải bài toán này?...GV gợi mở dần dần để HS tìm ra đƣợc lời giải dựa trên
sự phân tích đầu bài ở trên.
KN2: KN xây dựng chương trình giải bài tốn
Dựa vào sự phân tích đầu bài, HS huy động các kiến thức, kinh nghiệm
của bản thân có liên quan đến bài tốn để xây dựng chƣơng trình giải bài tốn.
Có thể là HS tự nghĩ, tƣ duy tích cực (ý tƣởng mới) để tìm ra lời giải, cũng có
thể là “quy lạ về quen” thơng qua các dạng tốn đã biết.
KN3: KN trình bày lời giải
Sau khi đã tìm ra đƣợc lời giải, GV hƣớng dẫn HS trình bày lời giải theo
ý hiểu của mình, giúp HS học đƣợc cách suy luận, học đƣợc cách trình bày,
và luyện tập đƣợc cách diễn đạt. Từ đó, HS sẽ biết cách trình bày bài làm
trong khi kiểm tra, trong các kì thi,… Trong quá trình trình bày lời giải mà
HS bị vƣớng mắc tại một khâu nào đó thì GV lại tiếp tục gợi ý để HS có thể
vƣợt qua đƣợc khó khăn đang mắc phải, khi đó HS sẽ hiểu sâu và nhớ lâu hơn
tri thức và tri thức phƣơng pháp mà GV đã ngầm cung cấp thơng qua q
trình giúp ngƣời học thực hiện chƣơng trình giải.
KN này rèn luyện cho HS thao tác tƣ duy và phƣơng pháp suy luận logic
để thực hiện chƣơng trình giải. Chƣơng trình giải có thể có một hoặc nhiều
cách giải khác nhau. Khi đƣợc rèn luyện HS có thể lựa chọn phƣơng pháp
thích hợp cho từng loại bài tốn hoặc biết điều chỉnh hƣớng giải khi khơng
phù hợp.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13

KN4: KN nghiên cứu kết quả bài toán
Nghiên cứu lời giải là giúp HS hiểu lại một lần nữa bài tốn địi hỏi gì,
để giải bài tốn đó HS đã sử dụng những kiến thức nào, liên hệ giữa các kiến
thức ra sao để tìm ra lời giải.… Qua đó GV giúp HS hình dung lại cách suy
nghĩ trƣớc một bài toán, giúp HS cách làm bài trong trƣờng hợp bài tốn
tƣơng tự. Nếu có thể, GV nêu những bài toán nâng cao để HS tiếp tục suy
nghĩ hoặc yêu cầu HS tìm cách giải khác nếu có để giúp họ học tập theo
hƣớng phát triển.
HS cần đƣợc rèn luyện thói quen xem lại lời giải của bài tốn với mục đích:
- Kiểm tra tiến trình giải tốn. Việc kiểm tra tiến trình giải tốn khơng
chỉ có ích cho chính bài toán đã giải mà quan trọng hơn là rút ra kết luận khái
quát về hƣớng giải một loại bài tập cùng với tri thức thu nhận đƣợc. Việc
kiểm tra thực hiện một nhiệm vụ kép: thứ nhất là kiểm tra các bƣớc trong tiến
trình giải tốn, thứ hai là kiểm tra kết quả của bài toán.
Kiểm tra kết quả bằng các cách định tính và định lƣợng; kiểm tra giá trị
chân lý của lời giải; kiểm tra cách suy luận và kỹ thuật tính tốn.
Phát hiện và xử lý các sai lầm (nếu có) về chiến lƣợc, chiến thuật giải tốn,
về hình thức, về logic hay khái niệm… để tiến trình giải tốn mang tính tối ƣu.
- HS có thể khái qt hóa, tƣơng tự hóa… biến bài tốn thành tri thức và
kinh nghiệm của bản thân.
- Có thể tìm ra đƣợc kết quả bằng một cách khác.
- Có thể suy nghĩ để vận dụng kết quả hoặc phƣơng pháp giải của bài
toán cho bài toán khác.
KN5: KN tự kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả bài toán tránh sai
lầm khi giải toán
Trong học tập giải toán, việc phát hiện và sửa chữa sai lầm là thành cơng
của ngƣời học. Tìm ra sai lầm của mình và tự sữa chữa, đó là phƣơng pháp

ghi nhớ rất hữu hiệu, qua đó cũng rèn luyện tính cẩn thận cho HS.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




14

1.2.5.2. Nhóm kĩ năng cơ bản của nội dung hình học không gian lớp 11
Kiến thức về HHKG là mới đối với HS, rất trừu tƣợng, có nhiều kiến
thức tổng hợp, HS thƣờng gặp khó khăn trong việc vẽ và nhìn hình khơng
gian, khả năng vận dụng kiến thức đã có để giải bài tập tốn cịn nhiều hạn
chế. Do đó, cần chú trọng rèn luyện các KN giúp HS làm quen với HHKG và
các bài tập về HHKG, đây là các KN nền tảng của chƣơng trình nhằm củng
cố, khắc sâu kiến thức. Với mỗi bài dạy, mỗi tiết dạy GV cần xác định trong
bài học đó, tiết học đó, có các KN nào cần rèn luyện. Trong phạm vi kiến thức
về HHKG lớp 11, có thể nêu một số KN cơ bản cần rèn luyện khi giải toán gồm:
KN6: KN vẽ hình biểu diễn của một hình khơng gian
Một trong các yếu tố cần thiết để học tốt hình học nói chung và HHKG
nói riêng là vẽ hình. Hình vẽ chính xác là một trong những yếu tố quyết định
giúp HS tìm ra hƣớng chứng minh, hƣớng giải bài tốn. Để vẽ đƣợc hình cho
một bài tập HHKG thì trƣớc hết HS cần vẽ đƣợc hình biểu diễn của một hình
khơng gian. Ngay từ những giờ học đầu tiên, GV cần rèn luyện cho HS biết
cách biểu diễn đƣờng thẳng, mp và vị trí tƣơng đối của chúng trong khơng
gian sau khi giới thiệu hình ảnh của chúng trong thực tế, sau đó là các hình
lập phƣơng, hình chóp tam giác (hình tứ diện), hình chóp tứ giác...
Chẳng hạn, GV có thể cho các em HS quan sát một mơ hình hình chóp
tam giác, hình chóp tứ giác theo các góc nhìn khác nhau và gọi HS lên bảng
vẽ hình biểu diễn theo góc nhìn đó. Để làm tốt nhiệm vụ này các em cần nắm
đƣợc những quy tắc sau:

- Hình biểu diễn của đƣờng thẳng là đƣờng thẳng, của đoạn thẳng là
đoạn thẳng.
- Hình biểu diễn của hai đƣờng thẳng song song là hai đƣờng thẳng song
song, của hai đƣờng thẳng cắt nhau là hai đƣờng thẳng cắt nhau.
- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đƣờng thẳng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




15

- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đƣờng nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu
diễn cho đƣờng bị che khuất.
KN7: KN xác định giao tuyến của hai mp
Sau khi giới thiệu tính chất: "Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm
chung thì chúng cịn có một điểm chung khác nữa", SKG đã đƣa ra khái niệm
giao tuyến của hai mp: "Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì
chúng sẽ có một đƣờng thẳng chung đi qua điểm chung ấy, đƣờng thẳng này
đƣợc gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó".
Để giúp HS hiểu rõ hơn, GV nên đƣa ra một vài VD, chẳng hạn:
VD2: Cho S là một điểm khơng thuộc mp hình bình hành ABCD. Tìm
giao tuyến của hai mp:
S

a) (SAB) và (ABCD)
b) (SAC) và (SBD)
Giải:
a) A và B là hai điểm chung của hai mp

A

(SAB) và (ABCD) nên giao tuyến của hai mp
này chính là đƣờng thẳng AB.
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có
S và O là hai điểm chung của hai mp (SAC) và
(SBD) nên SO chính là giao tuyến của hai mp này.

D
O
C

B
Hình 1.2

Nhận xét: Qua VD GV giúp HS nhận ra rằng để tìm giao tuyến của hai
mp (P) và (Q) ta tìm hai điểm chung A và B của chúng. Khi ấy, đƣờng thẳng
AB chính là giao tuyến cần tìm. Tuy nhiên, đây không phải là cách duy nhất
để xác định giao tuyến của hai mp, HS có thể sử dụng các định lí về quan hệ
song song khi học những bài tiếp theo.
KN8: KN xác định giao điểm của đường thẳng và mp
Thơng thƣờng, trong nhiều trƣờng hợp, việc nhìn và xác định giao điểm
của đƣờng thẳng và mp là không dễ dàng, nhất là khi các em mới bƣớc đầu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




16

làm quen với HHKG, GV phân tích cho HS thấy để tìm giao điểm của một
đƣờng thẳng và một mp ta có thể đƣa về việc tìm giao điểm của đƣờng thẳng
đó với một đƣờng thẳng nằm trong mp đã cho.
VD3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm lần lƣợt nằm trên các cạnh
1
3
AB, AD với AI = IB, AJ = JD. Tìm giao điểm của:
2
2
a) Đƣờng thẳng AI với mp (BCD).
b) Đƣờng thẳng IJ với mp (BCD).

A

Giải:
a) Ta có: AI  BD = B và BD 

I
J

(BCD) nên B chính là giao điểm của AI
và mp (BCD).

B

1

 AI  2 IB
b) Do 


 AJ  3 JD

2


D
C
Hình 1.3

nên trong mp (ABD): IJ kéo dài sẽ
cắt BD, gọi giao điểm này là K. Ta có K = IJ  (BCD).
Nhận xét: Qua VD GV giúp HS nhận thấy khi tìm giao điểm của đƣờng
thẳng d và mp (Q) nếu trong (Q) có sẵn đƣờng thẳng d' cắt d tại I thì d  (P) = I,
cịn trong trƣờng hợp (P) khơng có sẵn d' cắt d thì HS cần chọn mp phụ (Q)
chứa d và (Q) cắt (P) theo giao tuyến d', khi ấy giao điểm của hai đƣờng thẳng
d và d' cũng chính là giao điểm cần tìm.
KN9: KN xác định thiết diện
KN xác định thiết diện có ý nghĩa quan trọng trong việc phân chia các
hình đa diện, có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Để thực hiện tốt KN này trƣớc hết HS cần thành thạo KN tìm giao tuyến
của hai mp và KN tìm giao điểm của đƣờng thẳng và mp; nhận thức chính xác
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



K


17

khái niệm "thiết diện"; nắm vững các tiên đề của HHKG, nguyên tắc vận
dụng các định lí vào việc giải tốn, các suy luận lơgic.
VD4: Cho hình chóp ABCD. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của các
cạnh AB, CD. P là một điểm tuỳ ý nằm trên AD khác với trung điểm của cạnh
AD. Hãy tìm thiết diện của hình chóp ABCD khi cắt bởi (MNP).
Phân tích bài toán:

A

Ta cần xác định các đoạn giao
M

tuyến của mp(MNP) với các mặt của

P

hình chóp A.BCD.
Ta đã có hai giao tuyến gốc: MP, NP
Việc xác định các giao tuyến còn
lại đƣợc quy về việc tìm R  BC.

B

D

Q

N

R

C

Hình 1.4

Ta có: MP = (MNP) ∩ (ABD)
NP = (MNP) ∩ (ACD)
Ta cần tìm giao điểm R của cạnh BC với mp(MNP). Điểm R nằm trên
giao tuyến của mp(MNP) với mp(BCD). Hai mp này đã có điểm thứ nhất là
N, điểm chung thứ hai là giao điểm Q của MP và BD (MP chắc chắn cắt BD
vì P khơng trùng với trung điểm của AD). Vậy R là giao điểm của BC và QN.
Giải:
Vì P không là trung điểm của AD nên MP cắt BD tại Q. Đƣờng thẳng
QN cắt BC tại R. Vì Q  MP nên Q  mp(MNP), do đó R  mp(MNP). Vậy
mp(MNP) cắt các mặt của hình chóp A.BCD theo các đoạn giao tuyến MR,
RN, NP, PM. Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MRNP.
KN10: KN chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian
Để rèn luyện đƣợc KN này, sau khi học xong các định nghĩa, tính chất,
định lí về quan hệ song song trong khơng gian HS cần biết tổng hợp các kiến

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên