chuong10Các định luật cơ bản và phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

Chương 10. CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC
10.1. Hình học khối lượng
10.1.1 Khối tâm của cơ hệ
- Khối lượng:
Khối lượng của hệ bằng tổng đại số
khối lượng của các chất điểm thuộc hệ
∑
=
=
n
k
k
mM
1
- Khối tâm:
M
rm
r
n
k
kk
C
∑
=
=
1
,
k C
r r
ur uur

là các bán kính véc tơ của chất điểm thứ k và của khối tâm C;
m
k
, M là khối lượng của chất điểm thứ k và khối lượng của cơ hệ
Chiếu xuống các trục tọa độ ta được:
z
O
y
C(x
c
,y
c
,z
c
)
M
k
(x
k
,y
k
,z
k
)
m
k
r
k
r
c

x
M
zm
z
kk
C
∑
=
M
xm
x
kk
C
∑
=
M
ym
y
kk
C
∑
=

10.1.2. Mô men quán tính của vật rắn:
10.1.2.1. Mô men quán tính của vật rắn đối với trục z:
là 1 đại lượng vô hướng bằng tổng các tích khối lượng của từng điểm
thuộc vật với bình phương khoảng cách từ nó đến trục ấy
∑
=
=

n
k
kkz
hmJ
1
2
( )
∑
=
+=
n
k
kkkx
zymJ
1
22
( )
∑
=
+=
n
k
kkky
zxmJ
1
22
( )
∑
=
+=

n
k
kkkz
yxmJ
1
22
h
k
là khoảng cách từ điểm m
k
tới trục z
Với 3 trục toạ độ Đềcác
z
O
y
h
k
x
m
k
y
k
x
k
z
k
10.1.2.2. Bán kính quán tính:
M
J
z

z
=
ρ
zz
JM =
2
ρ
Bán kính của vật rắn đối với trục Oz là đại lượng xác định theo công thức:
hay

10.1.2.3. Mô men quán tính một số vật đồng chất:
a. Thanh đồng chất:
2
3
z
Ml
J =
Trục z đi qua đầu A của thanh và vuông góc trục thanh,
AB = l, khối lượng của thanh là M
z
R
C
z
R
C
b. Vành tròn đồng chất:
bán kính R, khối lượng M và độ dày nhỏ,
trục z đi qua tâm và vuông góc với
mặt phẳng của đường tròn
2

z
J MR=
c. Đĩa tròn đồng chất, khối trụ đồng chất:
khối lượng M, bán kính R, trục z đi qua tâm C
và vuông góc với mặt phẳng của tấm :
2
2
z
MR
J =
A
x
B
l
z

10.1.2.4. Mô men quán tính của vật rắn đối với trục song song
Định lý Huyghen:
Mô men quán tính của vật rắn đối
với 1 trục nào đó bằng mômen
quán tính đối với trục đi qua khối
tâm của vật song song với trục đó
cộng với tích số giữa khối lượng
của vật với bình phương khoảng
cách giữa 2 trục.
2
'
MdJJ
ZCz
+=

M
C
z'
z
d

10.2. Định lý động lượng
10.2.1. Định nghĩa động lượng
.q m v=
r
r
- Động lượng của chất điểm là đại lượng véc tơ bằng tích của
khối lượng với véc tơ vận tốc của điểm đó.
Đơn vị
kgm
s
-
Động lượng của hệ là đại lượng véc tơ bằng tổng
hình học động lượng của các chất điểm thuộc hệ
∑∑
=+++==
kknnk
vmvmvmvmqQ
2211

M
v
q
.
C

Q M v⇒ =
ur uur
-
Nếu biết khối lượng của cả hệ là M
C
v
r
vận tốc của khối tâm của hệ là


10.2.2. Xung lượng của lực
d S Fdt=
ur ur
-
Xung lượng yếu tố của lực tác dụng vào chất điểm
trong thời gian vô cùng nhỏ dt bằng tích số của véc tơ
lực với vi phân thời gian dt
F
ur
F
ur
M
ds
F
M
0
M
1
1
0

t
t
S Fdt=
∫
ur ur
- Xung lượng của lực trong khoảng thời gian thời gian từ t
0
đến t
1
bằng tích phân xác định của xung lượng yếu tố với cận từ t0 đến t1
1 1 1
0 0 0
, ,
t t t
x y z
t t t
S Xdt S Ydt S Zdt= = =
∫ ∫ ∫
2 2 2
x y z
S S S S= + +
( )
1 0
.S F t t F t= − =
ur ur ur
Trị số:
F
ur
không đổi:
xuống các trục tọa độ là X, Y, Z

Nếu biết hình chiếu của
F
ur

10.2.3. Định lý biến thiên động lượng
- Định lý biến thiên động lượng dạng vi phân:
Vi phân động lượng của hệ trong thời gian vô cùng bé bằng tổng hình
học các xung lượng yếu tố của tất cả ngoại lực tác dụng lên hệ trong thời
gian đó
dtFQd
e
k
∑
=
e
k
dQ d S=
∑
uur
ur
hay
Chứng minh:
Xét phương trình vi phân chuyển động của chất điểm thứ k của cơ hệ:
W
e i
k k k k
m F F= +
uur uur
uuur
W

e i
k k k k
m F F= +
∑ ∑ ∑
uur uur
uuur
0
i
k
F =
∑
uur
Cộng hai vế của các phương trình:
W ( )
k
k k k k k
dv
d dQ
m m m v
dt dt dt
= = =
∑ ∑ ∑
uur
ur
uuur uur
e
k
dQ F dt⇒ =
∑
uur

ur
e
k
dQ d S=
∑
uur
ur
hay
trong đó

- Định lý biến thiên động lượng dạng hữu hạn:
Biến thiên động lượng của hệ chất điểm trong khoảng thời gian nào đó
bằng tổng hình học xung lượng của tất cả các ngoại lực tác dụng lên
hệ trong khoảng thời gian ấy
1
1
( )
o
t
e e
O k k
t
Q Q S F dt− = =
∑ ∑
∫
uur uur
uur uur
Chiếu xuống hệ tọa độ Oxyz
1
1

( );
o
t
e
x ox k
t
Q Q X dt− =
∑
∫
1
1
( );
o
t
e
y oy k
t
Q Q Y dt− =
∑
∫
1
1
( )
o
t
e
z oz k
t
Q Q Z dt− =
∑

∫
10.2.4. Các trường hợp bảo toàn động lượng của hệ:
Q const=
ur
0
e
k
F =
∑
uur
Nếu
Q
x
= const
0
e
k
X =
∑
Nếu

Ví dụ 1 :
Vật có trọng lượng P= 5 kN được kéo lên theo mặt phẳng nghiêng từ
trạng thái nghỉ bởi lực Q= 3kN. Tính trị số vận tốc của vật sau 10 giây
kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Biết hệ số ma sát động f’=0,5; α = 30
o
.cos ;N P
α
=
' '

. . .cosF f N f P
α
= =
1 0
x x i
x
mv mv S− =
∑
Chọn trục Ox như hình vẽ.
Áp dụng định lý biến thiên động lượng
dạng hình chiếu trên trục Ox:
Vật chuyển động từ trạng thái nghỉ nên vo = 0. Ta có
( )
sin sin
i
x
S Qt Pt Ft Q P F t
α α
= − − = − −
∑
( )
( ) ( )
' '
sin
sin cos sin cos
mv Q P F t
Q P f P t Q P f P gt
v
m P
α

α α α α
= − −
− − − −
→ = =
α
Q
P
N
F
x
y
Thay số được:
5,60
m
v
s
=

10.3. Định lý chuyển động khối tâm:
10.3.1. Định lý chuyển động khối tâm
Khối tâm của cơ hệ chuyển động như 1 chất điểm có khối lượng bằng
khối lượng của cả hệ khi chịu tác dụng của tất cả các ngoại lực tác dụng
lên hệ
Chứng minh:
C k K
M r m r=
∑
uur uur
k k
M r m r

•• ••
=
∑
r ur
Từ công thức định nghĩa khối tâm của hệ:
lấy đạo hàm hai lần theo thời gian ta được
C k K K
MW m W F= =
∑ ∑
uuur uuur uur
C K
MW F=
∑
uuur uur
Hay
( theo phương trình cơ bản động lực học)
C K
MW F=
∑
uuur uur

10.3.2. Phương trình vi phân chuyển động của khối tâm
∑
∑
∑
=
=
=
••
••

••
k
k
k
ZM
YM
XM
C
C
C
z
y
x
∑
∑
∑
=
=
=
••
kb
kn
C
kC
F
F
v
M
FsM
0

2
ρ
τ
Dạng tọa độ Đềcác
Chiếu (1) lên 3 trục
của hệ Oxyz
(nếu biết được quỹ đạo chuyển
động tuyệt đối của khối tâm)
Dạng tọa độ tự nhiên:
Chiếu (1) lên 3 trục của hệ Mτnb
C K
MW F=
∑
uuur uur
(1)

10.3.3. Các trường hợp bảo toàn chuyển động của khối tâm
0
C
W =
uuur
ons
C
v c t=
uur
0
C
x
••
=

C
x const
•
=
- Trường hợp 1:
Nếu tổng hình học các ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0
thì khối tâm của hệ sẽ đứng yên hay chuyển động thẳng
đều (chuyển động theo quán tính)
Nếu tổng hình chiếu của các ngoại lực tác dụng lên hệ
xuống 1 trục nào đó bằng không thì hình chiếu của vận tốc
khối tâm của cơ hệ xuống trục đó có giá trị không thay đổi”.
∑
=0
k
F
Nếu
- Trường hợp 2:
0
k
X =
∑
Nếu
C K
MW F=
∑
uuur uur
C
x
k
M X

••
=
∑

Ví dụ:
Bánh xe đồng chất có trọng lượng P lăn không trượt trên đường thẳng
nằm ngang dưới tác dụng của lực ngang G = const tại tâm bánh xe. Hệ
số ma sát trượt giữa bánh xe và mặt đường là f. Tại thời điểm ban đầu
bánh xe đứng im. Tìm chuyển động của khối tâm C của bánh xe.
Bài giải:
max
, , , ,
ms
P G N F M
ur ur uur ur
max
FNGPWM
C
+++=
Xét chuyển động của bánh xe lăn không trượt
Các lực tác dụng:
Áp dụng định lý chuyển động khối tâm
Fmax = f.N
.
C
M x G f P
••
= −
( . )
C

g
x G f P const
P
••
= − =
Chiếu xuống các trục tọa độ:

t = 0, x
c
(0) = 0,
•
x
c
(0) = 0
phương trình chuyển động
của khối tâm C
( )
2
C
x G – f.P
2
g t
P
=
điều kiện đầu
P
G
N
F
max

M
ms
x
y
C
O

10.4. Định lý biến thiên mô men động lượng
10.4.1. Định nghĩa mô men động lượng
a. Với chất điểm:
- Mô men động lượng của chất điểm
với 1 tâm O nào đó là 1 véc tơ
vmrvmml
OO
∧== )(
hmVqml
zz
')( ±==
vm
'vm
- Mô men động lượng của chất điểm
với 1 trục z là 1 đại lượng đại số
mv' là hình chiếu của
h là khoảng cách từ giao điểm mặt phẳng (P) và trục z đến đường
M(x,y,z)
v
O
q
x
y

z
r
z
mv
O
π
mv'
h
lên mặt phẳng vuông góc z

kk
n
k
k
n
k
kk
O
n
k
OkO
vmrvmmlL ∧===
∑∑∑
=== 111
)(
∑∑
==
==
n
k

kkz
n
k
zkz
vmmLL
11
)(
b. Với cơ hệ:
- Mô men động lượng của hệ với tâm O là 1 véc tơ bằng tổng hình học các
véc tơ mô men động lượng của các chất điểm thuộc cơ hệ đối với tâm đó
- Mô men động lượng của hệ với trục z là 1 lượng đại số và bằng tổng đại
số mô men động lượng của tất cả các chất điểm thuộc hệ đối với trục ấy.
- Mô men động lượng của vật rắn quay quanh
trục cố định:
Lz = Jz.
ω
Jz là mô men quán tính của vật với trục quay z
ω là vận tốc góc của vật
y
z
x
O
M
k
h
ω
m
k
v
k

10.4.2. Định lý mô men động lượng
∑
=
=
n
k
kO
O
Fm
dt
Ld
1
)(
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
n
k
kz
z
n
k
ky

y
n
k
kx
x
Fm
dt
dL
Fm
dt
dL
Fm
dt
dL
1
1
1
)(
)(
)(
“Đạo hàm bậc nhất theo thời gian của mô men động lượng của hệ đối với
1 tâm hay 1 trục nào đó bằng tổng mô men của các ngoại lực tác dụng
lên hệ đối với tâm hay trục đó”.
- Công thức:
hoặc

1
( ) 0
n
O k

k
m F
=
= ⇒
∑
uuur uur
1
( ) 0
n
z
k
k
m F
=
= ⇒
∑
uur
10.4.3. Các trường hợp bảo toàn mô men động lượng của hệ
•
Trường hợp 1:
Nếu tổng hình học các véc tơ mô men của tất cả các ngoại lực tác dụng
lên hệ đối với tâm O bất kỳ bằng 0 thì mô men động lượng của hệ đối
với tâm đó là véc tơ không đổi.
•
Trường hợp 2:
Nếu tổng đại số các mô men của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ đối
với 1 trục nào đó bằng 0 thì mô men động lượng của hệ đối với trục đó
không đổi
0
O

d L
dt
= ⇒
uur
O
L const=
uur
∑
=
=
n
k
kO
O
Fm
dt
Ld
1
)(
Nếu
0
z
dL
dt
=
z
hay L const=
1
1
1

( )
( )
( )
n
x
x
k
k
n
y
y
k
k
n
z
z
k
k
dL
m F
dt
dL
m F
dt
dL
m F
dt
=
=
=

=
=
=
∑
∑
∑
uur
uur
uur

Ví dụ 1:
Đĩa tròn A đồng chất có trọng lượng P và bán kính r có thể quay quanh
trục thẳng đứng vuông góc và đi qua tâm của đĩa. Tại thời điểm ban
đầu, tâm của đĩa có viên bi M trọng lượng Q và đĩa A có vận tốc ω
o
. sau
đó viên bi bắt đầu chuyển động dọc theo đường bán kính của đĩa với
vận tốc tương ứng v
r
= u = const.
Tìm vận tốc góc của đĩa tại thời điểm bất kỳ sau khi viên bi rời khỏi tâm
của nó và tại thời điểm khi viên bi chạy đến mép của đĩa. Bỏ qua ma sát
tại ổ quay.
z
M
r
A
ω
ο

, ,P Q R
ur ur ur
1
( ) 0
n
z
k
k
m F
=
=
∑
uur
constL
z
=⇒
Xét cơ hệ gồm đĩa A và viên bi M.
Các ngoại lực tác dụng:
t = 0, L
zo
= J
z
.ω
o
=
oo
g
mr
ωω
2

Pr
2
22
=
Thời điểm t, đĩa A có vận tốc góc ω
z1 z
L J . + ( . ) ( . )
z z
Q r Q e
m m v m m v
ω
= +
uur ur
( . ) 0
z
Q r
m m v =
uur
; V
e
= OM.ω = ut.ω
2
z1
Pr
L .
2
e
Q
v OM
g g

ω
⇒ = +
2
2
Pr
( )
2
Q
ut
g g
ω ω
= +

⇔ L
zo
= L
z1

z
L const=
2 2
2
Pr Pr
( )
2 2
o
Q
ut
g g g
ω ω ω

⇔ = +
2
2 2 2
Pr
Pr 2
o
Qu t
ω
ω
⇒ =
+
u
r
QP
P
o
2+
=
ω
ω
Tại t
1
=
viên bi chạy đến mép đĩa ⇒
z
O
ω
A
M
R

Q
P
vr
ve

Ví dụ 2:
Người ta cuốn đầu một sợi dây không giãn không trọng lượng vào một ròng
rọc cố định có trọng lượng Q, bán kính r. Đầu kia của dây buộc vào vật A trọng
lượng P. Tìm gia tốc góc của ròng rọc khi vật A chuyển động thẳng đứng
xuống dưới. Coi ròng rọc là vành tròn đồng chất.
Xét hệ gồm ròng rọc và vật A
Áp dụng định lý mô men động lượng đối với trục Oz
1
( )
n
z
z
k
k
dL
m F
dt
=
=
∑
uur
êh A B
z z z
L L L= +
2

P Q
r r r
g g
ω ω
+
2 2 2
r
P Q P Q
r r
g g g
ω ω ω
+
= + =
= r.(mv) + J
z
.ω =
1
( ) P.r
n
z
k
k
m F
=
=
∑
uur
1
( )
n

z
z
k
k
dL
m F
dt
=
=
∑
uur
2
( ) P.r
d P Q
r
dt g
ω
+
⇔ =
2
P.r
P Q
r
g
ω
•
+
⇔ =
( ).
Pg

P Q r
ε
⇒ =
+


Thay vào định lý ta được:
r
Q
P
z
B
O
A
RO

10.5. Định lý động năng
10.5.1. Định nghĩa động năng
Động năng của chất điểm là đại lượng vô hướng bằng nửa tích số giữa khối lượng
của chất điểm với bình phương vận tốc của nó
2
2
mv
T =
2
2
kgm
s
2
2

1 1
kgm
Jun
s
=
-
Đơn vị chính để đo động năng là Jun (J) hay
-
Động năng của cơ hệ n chất điểm là đại lượng vô hướng bằng tổng
động năng của tất cả các chất điểm thuộc hệ
2
2
i i
m v
T =
∑


- Động năng của 1 số vật rắn chuyển động:
•
Vật rắn chuyển động tịnh tiến:
2
tt
T ( )
2
i c
m v
=
∑
2

1
( )
2
i C
m v=
∑
2
2
C
Mv
T =
M là khối lượng của vật, v
C
là vận tốc khối tâm
hay
•
Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định:
2 2
q
1
T
2
i i
m r
ω
=
∑
2 2
1
( )

2
i i
m r
ω
=
∑
2
z
2
J
T
ω
⇒ =


vi
y
z
x
O
Mi
ri
ω
•
Vật chuyển động song phẳng:
ω
vc
C
P
2

2
ω
P
J
T =
thay vào công thức trên ta được
22
22
CC
MvJ
T +=
ω
J
C
là mô men quán tính của vật đối với khối tâm C
J
P
= J
C
+ M.(PC)
2


Ví dụ 1:
Một vật có trọng lượng Q được buộc vào đầu một sợi dây không giãn, không
trọng lượng vắt qua một ròng rọc cố định B. Đầu kia của dây buộc vào trục con
lăn E. Con lăn E lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang cố định. Ròng rọc B
và con lăn E có cùng trọng lượng P, bán kính R và được coi là đĩa tròn đồng
chất. Tính động năng của hệ khi vật A rơi xuống với vận tốc V
A

. Lúc đầu hệ
đứng yên.
B
O
C
E
A
Q
T
hệ
= T
A
+ T
B
+ T
E
2 2
1 1
2 2
A A A A
Q
T m v v
g
= =
2
1
2
B o B
T J
ω

=
2 2
1 1
2 2
o B
P
J m R R
g
= =
2
2
2
1 1
2 2
A
B
v
P
T R
g R
⇒ =
2 2
1 1
2 2
E C E C
T J Mv
ω
= +
A
E

v
R
ω
=
2
2 2 2
2
1 1 1 3
2 2 2 4
A
E A A
vP P P
T R v v
g R g g
⇒ = + =
Vì dây không giãn nên v
A
= v
C
và
2 2 2
1 1 3
2 4 4
A A A
Q P P
v v v
g g g
= + +
2
( 2 )

2
A
Q P
T v
g
+
=
T
hệ
= T
A
+ T
B
+ T
E
;
A
B
v
R
ω
=

Ví dụ 2:
Con lăn hình trụ tròn A đồng chất có khối lượng m
1
lăn không trượt trên mặt phẳng
ngang, được quấn dây vắt qua ròng rọc B bán kính r và mô men quán tính đối với
trục quay là J
O

. đầu kia của dây buộc vật D có khối lượng m
2
. Biết vật D chuyển
động với vận tốc v
D
.Tìm động năng của cơ hệ đó. Bỏ qua khối lượng của dây
C
v
D
R
P
A
r
B
O
K
ω
Β
ω
Α
vc
D
v
K
)
2
1
2
1
(

22
1 ACC
Jvm
ω
+
2
1
)
2
O B
J
ω
+
2
2
1
2
D
m v+
T = T
A
+ T
B
+ T
D
=
B
ω
=
;

A
ω
=
c
; v =
2
C 1
1
;J
2
m R=
2
2
21
)
8
3
(
2
1
D
O
v
r
J
mm ++

Thay vào ta được động năng của hệ là: T =
D
v

r
2 2
K D
v v
R R
=
A
R.
2
D
v
ω
=

10.5.2. Công của lực
a. Công thức tổng quát tìm công của lực:
Công của lực biểu thị năng lượng mà lực đó đã cung cấp thêm hoặc đã làm hao
tổn cho cơ hệ trong quá trình chuyển động
.dA F dr=
ur r
Trong hệ tọa độ cố định Oxyz: dA = Xdx + Ydy + Zdz
- Công nguyên tố:
τ
r
Mo
O1
s
+
-
y

z
x
O
M(x,y,z)
F(X,Y,Z)
M1
ϕ
1
1 1
0 0
0
(MoM1)
A . ( )
M
M M
M M
M
F ds F d r Xdx Ydy Zdz
τ
= = = + +
∫ ∫ ∫
ur r
- Công hữu hạn
Đơn vị: Nm (hay Jun)