Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử toán lớp 8

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
1




A. Kiến thức cần nhớ :
1. hằng ñẳng thức: Với A, B là các biểu thức
1.
( )
2
2 2
2
A B A AB B
+ = + +
.
2.
( )
2
2 2
2
A B A AB B
− = − +
.
3.
(
)
(
)
2 2

A B A B A B
− = + −
.
4.
( )
3
3 2 2 3
3 3
A B A A B AB B
+ = + + +
.
5.
( )
3
3 2 2 3
3 3
A B A A B AB B
− = − + −
.
6.
(
)
(
)
3 3 2 2

A B A B A AB B
+ = + − + .
7.
(

)
(
)
3 3? 2
A B A B A AB B
− = − + + .
2. Các hằng ñẳng thức liên quan:
1.
( ) ( )
2 2
4
A B A B AB
+ = − + .
2.
( ) ( )
2 2
4
A B A B AB
− = + − .
3.
( ) ( )
3
3 3
3
A B A B AB A B
+ = + − +
.
4.
( ) ( )
3

3 3
3
A B A B AB A B
− = − + −
.
5.
( ) ( )
2
2 2 2
2
A B C A B C AB AC BC
+ − = + + + − − .
3. Các hằng ñẳng thức dạng tổng quát:

1.
( )
1 1
. . .
n
n n n n
A B A n A B n AB B
− −
+ = + + + +
.
2.
(
)
(
)
1 2 2 1

. . .
n n n n n n
A B A B A A B AB B
− − − −
− = − + + + + .
3.
( ) ( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 3 1
. . . . . . 2 . . .
n n n n
A A A A A A A A A A A A
−
+ + = + + + + + + + .


 Chú ý :
+

( ) ( )
2 2
A B A B
− − = + .
+
( ) ( )
2 2
A B B A
− = − .
+

( ) ( )
3 3
A B B A
− = − − .


Chuyên ñề 1:
Hằng ñẳng thức

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
2

B. Các dạng bài tập cơ bản :
Dạng 1: Thực hiện các phép tính và rút gọn.
1.Phương pháp:
- Xem biểu thức ñã cho có dạng hằng ñẳng thức nào.
- Biến ñổi biểu thức ñã cho ñể xuất hiện dạng hằng ñẳng thức.
- Thực hiện các hằng ñẳng thức hợp lý ta có kết quả (có thể kết quả không gọn).
2.Bài tập:
Bài 1:
Thực hiện phép tính
1.
( )
2
2
x y
+ .
2.

(
)
2
3 2
x y
−
.

3.

3
1
2
2
x −
 
 
 
.
4.

2 2
x x
y y
− +
  
  
  
.
5.

3
1
3
x +
 
 
 
.
6.

(
)
(
)
2
2 2 4
x x x
− + +
.

Bài 2:
Rút gọn
1.

(
)
(
)
(

)
2 5 2 2 -3 3 -1
m m m m+ + .
2.

( )( ) ( )
2
2 4 8 -3 - 4 1
x x x
+ +
.
3.

( ) ( )( )
2
7 - 2 - 7 1 7 -1
y y y
+
.
4.

( ) ( )
3 2
2 - -3
a a a
+
.
5.
( ) ( )( )
2

1 2 2
x x x
− − + −
.
6.

( )( ) ( )
2
2 4 8 3 4 1
x x x
+ − − +
.
7.

( ) ( )( ) ( )
2
1 2 2 1 2 -1 -1
x x x x
+ + + +
.
8.

( )( ) ( )
2
3 3 3
x x x
− + − −
.
9.

( ) ( ) ( )( )
2 2
1 3 ? 1 3
x x x x
+ + − + −
.
10.
( ) ( ) ( )
(
)
2
2
1 2 2 2 4
x x x x x
− + − − + +
.
11.
(
)
(
)
(
)
2
2 2 3
x x x
− − − +
.
12.

( ) ( )( ) ( )
2
1 2 2 1 2 1 1
x x x x
+ + + − + −
.
13.
( ) ( )( ) ( )
2 2
6 1 2 6 1 6 1 6 1
x x x x
+ − + − + −
.
14.

( ) ( )( ) ( )
2
2 3 2 2 3 2 2
x x x x
+ − + − + −
.
15.

( ) ( )( ) ( )
2
7 3 -5 2 -3 4 1 - 6 - 2
a a a a a
+ +
.
16.

( )( ) ( )
2
5 -3 5 3 - 5 - 4
y y y
+
.
17.

( ) ( )
3 3
3 1 - 1 2
x x
+
.

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
3

Bài 3:
Viết thành hằng ñẳng thức
1.
2
4 4 1
x x
− +
. 2.
(
)

(
)
3 2 2 3
x x
+ −
.
3.
(
)
(
)
2
3 3 9
x x x
− + +
. 4.
3 2
125 75 15 1
x x x
+ + +
.

Dạng 2: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức.
1. Phương pháp:
- Dựa vào hằng ñẳng thức thu gọn biểu thức.
- Thay giá trị của biến vào biểu thức thu gọn.
- Thực hiện phép tính các số ta có kết quả.
2.Bài tập:
Bài 1: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức
1.

(
)
(
)
2
10 80
x x x− − +
khi
0,98
x
=
.
2.
(
)
(
)
2
2 9 4 31
x x x+ − +
khi
-16, 2
x
=
.
3.
2
4 28 49
x x
− +

khi
4
x
=
.
4.
3 2
- 9 27 - 27
x x x+
khi
5
x
=
.
5.
2 2 2
2 4
x xy z y
− − +
khi
6, 4, 45
x y z
− = − =
.
6.
(
)
(
)
(

)
(
)
2
2 2 3 3 9
x x x x x x
− + − − + +
khi
1
4
x
=
.
7.

(
)
(
)
3 2 2
126 5 25 10 5 , 3
y x y x y xy khi x y
+ − + + = − = −
.
8.
(
)
(
)
3 3 2 2

2
a b a ab b a b
+ − − + −
khi
4, 4
a b
= − =
.
Bài 2:
Tính giá trị của biểu thức
1.
Cho
3
x y
+ =
, tính giá trị
2 2
2 4 4 3
A x xy y x y
= + + − − +
.
2.
Cho
1
x y
+ =
, tính giá trị
3 3
3
B x y xy

= + + .
3.
Cho
1
x y
− =
, tính giá trị
3 3
3
C x y xy
= − − .

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
4

4.
Cho
x y m
+ =
và
.
x y n
=
. Tính giá trị các biểu thức sau theo
,
m n
.
a.

2 2
x y
+
.
b.

3 3
x y
+
.
c.

4 4
x y
+
.
5.
Cho
x y m
+ =
và
2 2
x y n
+ =
. Tính giá trị biểu thức
3 3
x y
+
theo
m

và
n
.
6.
Cho
0
a b c
+ + =
và
2 2 2
2
a b c
+ + =
. Tính giá trị của biểu thức:
4 4 4
a b c
+ +
.
7.
Cho
0
a b c
+ + =
và
2 2 2
1
a b c
+ + =
. Tính giá trị của biểu thức:
4 4 4

a b c
+ +
.
Bài 3:
Tính giá trị biểu thức sau bằng cách hợp lý.
a.
7 6 5 4 3 2
80 80 80 80 80 80 15
A x x x x x x x
= − + − + − + +
. Với
79
x
=
.
HD: Với x = 79 suy ra x+1 = 80.
b.
5 4 3 2
-100 100 -100 100 -9
B x x x x x
= + +
. Với
99
x
=
.
c.

7 6 5 4 3 2
26 27 47 77 50 24

C x x x x x x x
= − + − − + + −
. Với
25
x
=
.
HD: Thay
26 1 ;27 2; 47 2 -3; 77 3 2; 50 2
x x x x x
= + = + = = + =
.


Dạng 3: Tính nhanh.
1. Phương pháp:

- Xem biểu thức ñã cho có dạng hằng ñẳng thức nào.
- Biến ñổi hoặc thêm, bớt vào biểu thức ñã cho ñể xuất hiện dạng hằng ñẳng thức.
- Thực hiện hằng ñẳng thức và các phép tính ta có kết quả.
2.Bài tập:
Bài 1:
Tính
a.

(
)
(
)
4 4 2 2

3 . 5 15 1 15 1
− + −
.
b.

2 2 2
45 40 15 80.45
+ − +
.
c.

2 2 2 2 2 2
50 49 48 47 . . . 2 1
− + − + + −
.
d.

(
)
(
)
(
)
(
)
2 4 8 16
3 2 1 2 1 2 1 2 1
+ + + +
.
e.

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 4 8 16
3 -1 3 1 3 1 3 1 3 1
+ + + +
.
f.

2
2009 - 81
.
g.

2 2
26 52.24 24
+ +
.


Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang

5

Dạng 4: Chứng minh

1. Phương pháp:

1.1. Chia hết :
- Dựa vào hằng ñẳng thức.
- Phân tích ña thức ñã cho về dạng tích. Trong ñó có ít nhất một thừa số chia hết cho số
ñó.
- Phân tích ña thức ñã cho thành tổng. Trong ñó các số hạng phải chia hết cho số ñó.
1.2. Biểu thức không phụ thuộc vào biến:
- Dựa vào hằng ñẳng thức.
- Ta thực hiện các phép tính rút gọn kết quả không chứa biến.
1.3. Biểu thức dương hoặc âm:
- Dựa vào hằng ñẳng thức.
- Đưa biểu thức về dạng f(x) > 0 với
∀
x hoặc f(x,y) > 0 với
∀
x, y.
f(x) < 0 với
∀
x hoặc f(x,y) < 0 với
∀
x, y.
1.4. Chứng minh ñẳng thức:
- Chú ý ñiều kiện ñã cho phù hợp với hằng ñẳng thức nào.
- Biến ñổi biểu thức ñể sử dụng ñược ñiều kiện.
2.Bài tập:

Bài 1:
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y:
a.

(
)
(
)
(
)
xxxx 12325252
2
−−−+− .
b.
(
)
(
)
(
)
22632.212
23
−−−−− yyyyy .
c.
(
)
(
)
(
)

32
20933 xxxx +−+−+ .
Bài 2: Chứng minh biểu thức luôn dương:
a.
2
16 8 3
A x x
= + +
. b. 85
2
+−= yyB .
c. 222
2
+−= xxC . d. 4102569
22
+++−= yyxxD .

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
6

Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau nhận những giá trị không âm.
a.
2 2
4 4 4 5
x y x y
+ − − +
. b.
2 2
4 4 17 8 1

x xy y y
+ + − +
.
Bài 4: Chứng minh các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến.
a.
2
1
x x
− +
. b.
2
2
x x
+ +
.
c.
2
2 5 13
x x
− +
.
Bài 5: CMR với mọi số nguyên a biểu thức sau:
a.
(
)
(
)
(
)
1 3 2

a a a a
− − + +
chia hết cho 6. b.
(
)
(
)
(
)
2 7 5
a a a a
+ − − −
chia hết cho 7.
c.
(
)
2
2
1 1
a a
+ + −
chia hết cho 24. d.
3 2
6 8
a a a
+ +
chia hết cho 48 (a chẵn).
Bài 6: CMR:
a b c
= =

nếu có 1 trong các ñiều kiện sau:
a.
2 2 2
a b c ab bc ca
+ + = + +
. b.
( )
(
)
2
2 2 2
3
a b c a b c
+ + = + +
.
c.
( ) ( )
2
3
a b c ab bc ca
+ + = + + .
Bài 7: Cho
0
a b c
+ + =
. CMR:
3 3 3
3
a b c abc
+ + = .

Bài 8: Chứng tỏ rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến.
a.
(
)
(
)
(
)
32
20933 xxxx +−+−+ . b.
(
)
(
)
(
)
22632.212
23
−−−−− yyyyy .
c.
(
)
(
)
(
)
xxxx 12325252
2
−−−+− . d.
( ) ( )

3
3
2 5 30 2 5 8
x x x x
+ − + − .
e.
( ) ( ) ( )
2 2
3 1 12 3 5 2 6 3
x x x x
+ + − + + +
. f.
( ) ( )
(
)
3
2
4 1 4 3 16 3
x x x
− − − +
.
g.
( )
3
3 2
1 3 3 1
x x x x
− − + − −
. h.
(

)
(
)
(
)
(
)
2 2
1 1 1 1
x x x x x x
+ − + − − + +
.
Bài 9: Chứng minh các ñẳng thức.
a.
( )
2
2 2
2
a b a b ab
+ = + − .
b.
(
)
2
4 4 2 2 2 2
2
a b a b a b
+ = + − .
c.
(

)
(
)
6 6 2 2 2 2 2 2
3
a b a b a b a b
 
+ = + + −
 
.
d.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2
a b c b c a c a b a c b a c b
− + − + − = − − −


Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang

7

Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của biểu thức
1. Phương pháp :
- Nhỏ nhất: Min
(
)
f x m
=

+ Dựa vào hằng ñẳng thức chứng minh:

(
)
f x m
≥
(m là hằng số),
(
)
0 0
:
x f x m
∃ =

- Lớn nhất: Max
(
)
f x M
=

+ Dựa vào hằng ñẳng thức chứng minh:

(
)
f x M
≤
(M là hằng số),
(
)
0 0
:
x f x M
∃ =

2.Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a.
2
20 101
A x x= − + . b.
2
4 4 2
B x x
= + +
.
c.
2 2
4 5 10 22 28
C x xy y x y
= − + + − +

. d.
2
2 6
D x x
= −
.
Bài 2: Tìm min hoặc max của biểu thức:
a. 156
2
+− xx . b. 4153
2
−− xx .
c.
2
27 xx − . d.
2
6 1
x x
+ −
.
e.
2
10 5 3
y y
− −
. f.
2
6 1
x x
− + +

.
g.
2
4 5
x x
− +
.
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau.
a.
2
4 6
x x
− +
. b.
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 6
x x x x
− + + +
.
c.
( ) ( )
2 2
1 3

x x− + − . d.
2
10 23
x x
− −
.
e.
2
4 2
x x
− +
. f.
2
2 2 5
x x
− −
.




Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
8





A. Các phương pháp cở bản .

I. Phương pháp ñặt nhân tử chung .
1. Phương pháp:
- Tìm nhân tử chung là những ñơn thức, có mặt trong tất cả các hạng tử.
- Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử.
- viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào
trong dấu ngoặc.
2. Bài tập.
Bài 1: Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
2 2 2
3 5
xy x y x y
− + − . b.
(
)
(
)
2 5
x y z y z y
− + −
.
c.
(
)
(
)
2 2
10 5 2 2
x x y x y y
+ − +

. d.
2
12 12 3
xy xy x
− +
.
e.
15 30 20
x y z
− +
. f.
( ) ( )
5
2012 3 2012
7
x y y y
− − −
.
g.
(
)
(
)
x x y y x
+ − +
. h.
(
)
5 2000 2000
x x x− − +

.
k.
2 2 2 2
14 21 28
x y xy x y
− + . l.
2 2 2 2
x y z xyz xy z
− + .

II. Phương pháp dùng hằng ñẳng thức.
1. Phương pháp:
Sử dụng các hằng ñẳng thức ñể biến ñổi ña thức thành tích các nhân tử hoặc lũy thừa của
một ña thức ñơn giản.


Chuyên ñề 2:
Phân tích ña thức thành

nhân tử

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
9

2. Bài tập.
Bài 1 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
2 2 4
6 9

x xy y
+ + . b.
4 4
x y
−
.
c.
( ) ( )
2 2
3 2 3
x x
− − − . d.
3 2
3 3 1
x x x
− + −
.
e.
3 3 3
3
x y z xyz
+ + − . f.
( )
3
3 3 3
x y z x y z
+ + − − −
.
g.
( ) ( )

2 2
15 1
x y
− − +
. h.
( ) ( )
2 2
9 5 7
x x+ − − .
k.
( ) ( )
2 2
49 4 9 2
y y− − + . l.
( )
2
16 1 1
x
+ −
.
Bài 2 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
3 3
8 27
x y
+ . b.
( )
2
25 3
x

− − .
c.
( ) ( )
2 2
7 4 2 1
x x
− − +
. d.
( ) ( )
3 3
1 2
x x+ + − .
e.
3 2 2 3
1 6 12 8
y xy x y x
− + − + . f.
2 2
9
4 6
4
x xy y
− + − .
g.
2 2
4 25
9 16
x y
− . h.
2 4

1 6 9
x x
+ + .
k.
3 3
27
y x
− +
. l.
4 2
49 81
x y
− + .

III. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
1. Phương pháp:
- Sử dụng tính chất giao hoán kết hợp ñể nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm.
- Áp dụng phương pháp phân tích ña thức khác ñể giải toán.
2. Bài tập.
Bài 1 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
2
3 3
x xy x y
− + −
. b.
2
7 7 4 4
x xy x y
− − +

.
c.
2 2
6 9
x x y
+ − +
. d.
2 2 2 2
9 2 6
x y z t xy zt
+ − − − + .
e.
2 2 2 2 2 2
2
x y xy x z xz y z yz xyz
+ + + + + + . f.
2 2 2 2 2 2
3
x y xy x z xz y z yz xyz
+ + + + + + .
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
10

g.
4 2
3 9 27
x x x
+ − −
. h.

3 2 3
3 3 1 8
x x x y
− + − − .
k.
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
x y z y z y z x y
− + − + − . l.
(
)
(
)
(
)
2
xy x y xz x z yz x y z
− − + − + −
.
Bài 2 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
( ) ( ) ( )
2 2 2
4
x y z y z x z x y xyz

+ + + + + − . b.
(
)
(
)
(
)
yz y z xz z x xy x y
+ + − − +
.
c.
2
x x ax a
+ − −
. d.
2
2 2
xy ax x ay
− + − .
e.
2 2
x y xy x y
+ − −
. f.
2 2
25 10 4
x y x
− − +
.
g.

3 2
6 9 36
x xy y
− + −
. h.
2 2
4 9 4 6
x y x y
− + −
.
k.
2 2
5 2 5
x x xy y y
− + + − −
. l.
2 2
4 25 6 15
x y x y
− − + .

IV. Phương pháp Phối hợp nhiều phương pháp.
1. Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các phương pháp cơ bản ñã biết và thương tiến hành theo
trình tự sau :
- Đặt nhân tử chung.
- Dùng hằng ñẳng thức.
- Nhóm nhiều hạng tử.
2. Bài tập.
Bài 1 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.

3
5 45
x x
− .
b.
3 2 3 2 2
3 6 3 6 3 3
x y x y xy axy a xy xy
− − − − + .
c.
2 2 2 2 2 2
2 4 4 2 4
x y xy x z xz y z yz xyz
+ − + − + − .
d.
(
)
(
)
(
)
3 3 3
8 2 2
x x z y z x z x y
+ − + − −
.
e.
(
)
(

)
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4x y a b abxy xy a b ab x y
   
+ + + − + + +
   
.
f.
2
3 12 12
xy xy x
− + .
g.
2
2 8 8
x x
− +
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
11

h.
3 2 2
5 10 5

x x y xy
+ + .
k.
2 2
4 2 4
x x xy y y
+ − − +
.
l.
3 2
4 4
x ax a x
+ − −
.
Bài 2 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
2
6 12 6
x x
+ +
. b.
4 2 3 3 2 4
3 6 3
x y x y x y
− + .
c.
2
4 16
x y y
− . d.

2 2 2
2
x xy y z
+ + −
.
e.
2 2
5 2 5
x x xy y y
− + − +
. f.
(
)
2
2 2
36 9
x x− + .
g.
2 2
2
xz yz x xy y
− − + −
. h.
2 2 2 2
2 2
x xy y z t zt
+ + − − − .
k.
3 2 3
3 3 1

x x x y
− + − −
. l.
2 2
3 3 3 3
x y xy x y
+ − −
.

V. Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.
1. Phương pháp: Ta phân tích một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp ñể xuất hiện
những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng
ñẳng thức, ñặt nhân tử chung. Và chú ý một số kiến thức sau.
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong ñó p là ước của hệ số tự do, q là
ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu
(
)
f x
có tổng các hệ số bằng 0 thì
(
)
f x
có một nhân tử là
1
x
−
.
+ Nếu
(

)
f x
có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các
hạng tử bậc lẻ thì
(
)
f x
có một nhân tử là
1
x
+
.
+ Nếu a là nghiệm nguyên của
(
)
f x
và
(
)
1
f
;
(
)
1
f
−
khác 0 thì
(
)

1
1
f
a
−
và
(
)
1
1
f
a
−
+
ñều
là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
Chú ý :
+
khi phân tích ña thức dạng
2
ax bx c
+ +
thành nhân tử
Cách 1 :
2 2
1 2
ax bx c ax b x b x c
+ + = + + +

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang
12

Với
1 2
b b b
= +
và
1 2
. .
b b a c
= .
Cách 2 : Tách
2 2 2
ax bx c X B
+ + = −
.
2. Bài tập.
Bài 1 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
2
6 8
x x
− +
. b.
2
7 10
x x
+ +
.

c.
2
3 7 6
x x
− −
. d.
2
10 29 10
x x
− +
.
e.
3 2
4 29 24
x x x
+ − +
. f.
2
7 10
x xy y
− + .
g.
2
4 3 1
x x
− −
. h.
2
3 8 4
x x

− +
.
k.
3 2
4
x x
− −
. l.
3 2
3 7 17 5
x x x
− + −
.
Bài 2 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
3 2
5 8 4
x x x
+ + +
. b.
4 3 2
2 2 2 1
x x x x
+ + + +
.
c.
2
5 14
x x
− −

. d.
2
15 7 2
x x
+ −
.
e.
2
3 13 10
x x
+ −
. f.
2
3 16 5
x x
− +
.
g.
4 2
4 12 1
x x
− +
. h.
3
7 6
x x
− +
.
k.
3 2

3 6 4
x x x
+ + +
. l.
2
12
x x
− −
.

VI. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
1. Phương pháp:
Ta thêm bớt cùng một hạng tử vào ña thức ñã cho ñể làm xuất hiện n nhóm số hạng mà ta
có thể phân tích thành nhân tử chung bằng các phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng
hằng ñảng thức
Chú ý : Thường thơm bớt sao cho
- Xuất hiện hằng ñẳng thức
(
)
(
)
2 2
A B A B A B
− = + −
.
- Xuất hiện thừa số chung.

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
13

2. Bài tập.
Bài 1 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
3 2
5 3 9
x x x
+ + −
. b.
3 2
9 11 21
x x x
+ + −
.
c.
3
7 6
x x
− +
. d.
3 2
5 8 4
x x x
− + −
.
e.
3
3 2
x x
− +

. f.
3 2
8 17 10
x x x
+ + +
.
g.
3 2
3 6 4
x x x
+ + +
. h.
3
2 4
x x
− −
.
k.
3 2
4
x x
+ +
. l.
3
12 7 2
x x x
− + −
.
Bài 2: Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.

4
4
x
+
. b.
4
5 4
x x
− +
.
c.
2 2
3 4
x xy y
+ +
. d.
4 2
1
x x
+ +
.
e.
3 2
9 26 24
x x x
+ + +
. f.
3 2
3 14 4 3
x x x

− + +
.
g.
5 4
1
x x
+ +
. h.
8 7
1
x x
+ +
.
k.
8
1
x x
+ +
. l.
4 2 2 4
x x y y
+ +
.

VII. Phương pháp ñổi biến.
1. Phương pháp:
Một số bài toán phân tích ña thức thành nhân tử mà trong ñó có một biểu thức xuất hiện
nhiều lần. Ta ñặt biểu thức ñó là một biến mới. Từ ñó viết ña thức ñã cho thành ña thức
mới dễ phân tích thành nhân tử hơn.
Chú ý : Một số dạng ñặc biệt.

Dạng 1:
(
)
4 2
p x ax bx c
= + +
ñặt biến phụ
2
t x
=
.
Dạng 2:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
p x x a x b x c x d e
= + + + + +
với
a b c d
+ = +
ñặt
(
)

(
)
t x a x b
= + +
.
Dạng 3:
(
)
4 3 2
p x ax bx cx kbx a
= + + + +
với
1
k
=
hoặc
1
k
= −
ñặt
2
t x k
= +
.
Dạng 4:
(
)
4 3 2
p x x bx cx dx e
= + + + +

với
2
2
d
e
b
= ñặt
2
d
t x
b
= +
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
14

Dạng 5:
( ) ( ) ( )
4 4
p x x a x b c
= + + + +
ñặt
2
a b
t x
+
= + .
2. Bài tập.
Bài 1 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.

a.
4 2
6 11 3
x x
− +
. b.
(
)
(
)
2 2
3 1 3 3 5
x x x x
+ + + − −
.
c.
(
)
(
)
(
)
(
)
1 3 5 7 15
x x x x
+ + + + +
. d.
(
)

(
)
2
2 2
2 15
x x x x
+ − + −
.
e.
(
)
(
)
2 2
3 1 3 2 6
x x x x
+ + + + −
. f.
(
)
(
)
2
2 2 2
4 8 3 4 8 2
x x x x x x
+ + + + + + .
g.
(
)

(
)
(
)
(
)
1 2 3 4 24
x x x x
+ + + + −
. h.
(
)
(
)
(
)
(
)
4 1 12 1 3 2 1 4
x x x x
+ − + + −
.
k.
(
)
(
)
(
)
(

)
2
4 5 6 10 12 3
x x x x x
+ + + + +
. l.
2 2
4 4 2 4 35
x xy y x y
− + − + −
.

VIII. Phương pháp hệ số bất ñịnh.
1. Phương pháp: Sử dụng tính chất : Hai ña thức cùng bật bằng nhau thì hệ số tương ứng của
chúng phải bằng nhau.

1 2 1 2
1 2 1 0 1 2 1 0

n n n n
n n n n
a x a x a x a x a b x b x b x b x b
− −
− −
+ + + + + = + + + + +

Suy ra
, 1,
i i
a b i n

= ∀ =
.
Ví dụ : Phân tích ña thức thành sau nhân tử
3
11 30
A x x
= + +
.
Giải : Vì A là ña thức bậc 3 hệ số cao nhất là 1 nên, nếu A phân tích ñược thì A có dạng

(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
2 3 2
3 3 2
11 30
A x a x bx c x a b x ab c x ac
x x x a b x ab c x ac
= + + + = + + + + +
⇔ + + = + + + + +

Đồng nhất hệ số ta ñược

11

30
a b o
ab c
ac
+ =


+ =


=

.
Chọn
2 15, 2
a c b
= ⇒ = = −
.
Vậy
(
)
(
)
3 2
11 30 2 2 15
A x x x x x= + + = + − + .
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
15

2. Bài tập.
Bài 1 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
3 2
4 5 2
x x x
+ + +
. b.
4 3 2
2 3 7 6 8
x x x x
− − + +
.
c.
4 3 2
5 9 2 4 8
x x x x
+ − − −
. d.
4 3 2
6 12 14 3
x x x x
− + − +
.
e.
4 3 2
2 3 7 6 8
x x x x
− − + +

. f.
3
15 18
x x
− −
.
g.
3 2
4 5 2
x x x
+ + +
. h.
4 3 2
2 3 7 6 8
x x x x
− − + +
.
k.
4 3 2
6 7 6 1
x x x x
+ + + +
. l.
4 3 2
7 14 7 1
x x x x
− + − +
.

IX. Phương pháp xét giá trị riêng.

1. Phương pháp: Khi các biến có vai trò như nhau trong ña thức thì ta xét giá trị riêng.
Ví dụ : Phân tích ña thức thành sau nhân tử
( ) ( )
3
3 3 3
p x x y z x y z
= + + − − −
.
Giải : Khi ñó nếu
x y
= −
thì
(
)
(
)
(
)
0
p x p x x y
= ⇒ +
⋮
.
Vì vai trò x, y, z như nhau trong
(
)
p x
nên :

(

)
(
)
p x x z
+
⋮
,
(
)
(
)
p x y z
+
⋮
.

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
p x x y x z y z q x
⇒ = + + +
.

Mà
(
)
p x
là ña thức bậc 2 ñối với biến x, y, z nên
(
)
q x
là hằng số.
Với
0, 1
x y z
= = =
(chọn tùy ý) suy ra
(
)
3
q x
=
.
Vậy
(
)
(
)
(
)
(
)
3

p x x y x z y z
= + + +
.
2. Bài tập.
Bài 1 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
(
)
(
)
x y z xy yz xz xyz
+ + + + −
.
b.
( ) ( )
3 3
2 2
x x y y y x
+ − + .
c.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
2 2 2 2 2 2
x y x y y z y z z x z x
+ − + + − + + − .
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
16

d.
( ) ( ) ( )
3 3 3
x y z y z x z x y
− + − + − .
e.
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
x y x y y z y z x z z x
− + − + −
.
f.
(
)
(
)

(
)
4 4 4
x y z y z x z x y
− + − + −
.
g.
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 3 2 3 2
1
x z y y x z z y x xyz xyz
− + − + − + −
.
h.
(
)
(
)
(
)
2 2 2
x y z y z x z x y
− + − + −

.
k.
(
)
(
)
(
)
xy x y yz y z zx z x
− + − + −
.
l.
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
x y z x y z x y z x y z x y z y z x z x y
+ − + + − + + − + + − + − + −
.

X. Bài tập tổng hợp.
Bài 1 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
4 2
4 32 1
x x
− +
. b.
6
27
x
+

.
c.
3 2
27 27 18 4
x x x
− + −
. d.
2 2
2 12
x xy y x y
+ + − − −
.
e.
2
6 6 1
x x
− −
. f.
2
15 2 1
x x
− −
.
g.
(
)
2
2 4 9
x
− +

. h.
5 4
1
x x
+ +
.
k.
3 2
7 14 7
x x x
− +
.
l.
(
)
( ) ( )
2 2
2 2 2
x y z x y z xy yz zx
+ + + + + + +
.
Bài 2 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
2 3 3 4 3 3
5 25 10
x y x y x y
− + . b.
3 2 2
2 2
x xy x y y

− − + .
c.
3 2
10 25
x x y
+ − +
. d.
2 2 2
2 4 2 8
x xy y z
+ + − .
e. 3 3
x a yx ya
− + −
. f.
(
)
2
2 2 2 2
4
x y x y
+ − .
g.
2
2 5 2
x x
− +
. h.
5 4 3 2 2
6 15 20 15 15 6 1

x x x x x x
+ + + + + +
.
k.
37264345
122418 yxzyxzyx −+ . l.
(
)
(
)
(
)
yxzxyyyxx −+−−− 282114
.

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
17

Bài 3 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
(
)
(
)
aaaa −+− 31638
23
. b.
3223
6128 ymyymm +−+− .

c.
22
16249 xmxm ++ . d.
2222
22 yxbybaxa −+−−− .
e. 92
22
+−− yxxy . f.
33
bmbmaa +−− .
g.
(
)
2222
2423 xaxaxa −−−− . h. 4425
24
−−− xxb .
k.
( ) ( )
2
4
3
2
4
3
−−− anam . l.
4 2
2010 2009 2010
x x x+ + + .

XI. Bài tập áp dụng phân tích ña thức thành nhân tử.
Dang 1 : Rút gọn biểu thức.
1. Phương pháp:
+ Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung.
+ Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức ñại số. Chia cả mẫu thức và tử thức cho nhân
tử chung.
2. Bài tập.
Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau.
a.
3 2
3 2
3 7 5 1
2 4 3
x x x
A
x x x
− + −
=
− − +
.
b.
2
3 2 1 3
1 1
1
x x x
B
x x
x
+ − −

= − −
+ −
−
.
c.
2 2 2
2 2 3 2
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
C
ab ac b bc
− + − + −
=
− − +
.
d.
3 2
3 2
2 7 12 45
3 19 33 9
x x x
D
x x x
− − +
=
− + −
.
e.
3 3 3
2 2 2

3
( ) ( ) ( )
x y z xyz
E
x y y z z x
− + +
=
+ + + + −
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
18

f.
3 3 3
2 2 2
3
( ) ( ) ( )
x y z xyz
F
x y y z z x
+ + −
=
− + − + −
.
g.
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
G
x x y y x y x x y y y x

= + + +
+ + − −
.
h.
1 1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )
H
a a b a c b b a b c c c a c b
= + +
− − − − − −
.
k.
2
1 1 4
1 1 1
x x
K
x x x
+ −
= − −
− + −
.
l.
( )
2
2
4 2 2 3 3 1
1 1
1
x x x

L
x x
x
− − −
= − +
− +
−
.
Dang 2 : Giải phương trình bậc cao.
1. Phương pháp: Áp dụng phương pháp phân tích ña thức thành nhân tử ñể biến ñổi về dạng
phương trình tích
0
. 0
0
A
A B
B
=

= ⇔

=

.
2. Bài tập.
Bài 1 : Giải các phương trình sau.
a.
3 2
7 15 25 0
x x x

− + − =
. b.
(
)
(
)
2
2 2
2 3 1 5 2 3 3 4 0
x x x x
+ − − + + + =
.
c.
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 4 5 40
x x x x
+ + + + =
. d.
4 3 2
3 4 3 1 0
x x x x
+ + + + =
.

e.
5 4 3 2
3 3 1 0
x x x x x
− + + − + =
. f.
3 2
2 3 6 5 0
x x x
+ + + =
.
g.
4 3 2
4 19 106 120 0
x x x x
− − + − =
. h.
(
)
(
)
2
2 2
6 9 15 6 10 1
x x x x
− + − − + =
.
k.
4 3 2
2 4 3 2 0

x x x x
− + − + =
. l.
(
)
2
2 2
5 2 10 24
x x x x
+ − − =
.






Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
19




A. Các phương pháp cở bản .
I. Chia ñơn thức cho ñơn thức .
1. Phương pháp: Muốn chia ñơn thức A cho ñơn thức B ta thực hiện như sau :
- Chia hệ số của ñơn thức A cho hệ số của ñơn thức B.
- Chia mỗi lũy thừa trong A cho lũy thừa của cùng một biến trong B.
- Nhân các kết quả tìm ñược với nhau.

Ví dụ : Thực hiện phép chia
a.
(
)
3 2 2
10 : 4
x y z xy z
− . b.
(
)
(
)
8 3
2 2
1 : 1
x x x x
+ + + +
.
Giải :
a. Ta có :
( )
3 2
3 2 2 2
2
10 5
10 : 4 . . .
4 2
x y z
x y z xy z x
x y z

− = = −
−
.
b.
(
)
(
)
(
)
(
)
8 3 8 3 5
2 2 2 2
1 : 1 1 1
x x x x x x x x
−
+ + + + = + + = + +
.
2. Bài tập.
Bài 1 : Thực hiện phép chia.
a.
2 4 3 2
3 1
:
2 4
x y z y z
. b.
(
)

3 2 2
5 : 2
x y z xy z
− .
c.
( ) ( )
3
2 4 : 2 2
x y y x
− −
. d.
(
)
2 3 2
15 : 3
xy z xyz
− .
e.
( ) ( )
5 3
:
x y y x
− − . f.
( ) ( )
6 4
3 : 3
x y y x
− − .
g.
(

)
(
)
3
125 8 : 5 2
x x
− −
. h.
(
)
(
)
2 2
4 4 : 2
x xy y x y
+ + + .




Chuyên ñề 3:
Chia ña thức

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
20

II. Chia ña thức cho ñơn thức .
1. Phương pháp: Muốn chia ña thức A cho ñơn thức B ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng
các kết quả lại với nhau.

Ví dụ : Thực hiện phép chia
( )
3 2 2
1
4 3 5 :
3
x x y xy x
− + .
Giải :
( )
3 2 2
3 2 2 2 2
1 4 3 5
4 3 5 : 12 9 15
1 1 1
3
3 3 3
x x y xy
x x y xy x x xy y
x x x
− + = − + = − + .
2. Bài tập.
Bài 1 : Thực hiện phép chia.
a.
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
2 2 :
y x y x y x y x
 
− − − − − −

 
.
b.
3 2 2
1 3
5 6 :
2 4
x y xy x y xy xy
 
− + −
 
 
.
c.
( )
4 3
1
0,4 4,2 0,25 :
2
x y xy x x
− − +
.

d.
5 3 3 2 7 2
1 2
2 0,25 :
3 3
xy x y x y xy
   

− − −
   
   
.
e.
(
)
5 2 3 2
2 3 4 : 2
x x x x
− + −
.

f.
(
)
4 3 2 2
8 4 : 2
x x x x
− +
.

g.
(
)
(
)
3 5 2 2 3
18 12 6 : 6
x y x y xy xy

− + −
.

h.
( )
4 3 2 2
1
2 3 :
3
x x x x
 
− + −
 
 
.

k.
3 6 4 3 3
3 6 3
:
4 5 5
x y x y x y
   
+ −
   
   
.

l.
(

)
(
)
5 2 4 3 3 4 3 2
6 9 15 : 3
x y x y x y x y
− +
.




Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
21

III. Chia ña thức 1 biến ñã sắp xếp .
1. Phương pháp:
Muốn chia ña thức A cho ña thức B ta thực hiện như sau :
Bước 1:
Đặt phép chia.
Bước 2:
Chia hạng tử bậc cao nhất của ña thức bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của ña thức
chia, giả sử nhận ñược thương là
1
C
.
Bước 3:
Lấy
1

C
nhân với ña thức chia, kết quả nhận ñược viết dưới ña thức bị chia. Thực hiện
phép trừ hai ña thức này ñể nhận ñược số dư.
Bước 4:
Đặt vai trò số dư là số bị chia, ta quay trở lại bước 2 cho tới khi nhận ñược số dư có bậc
nhỏ hơn số chia.
Chú ý

:
Người ta chứng minh ñược rằng, ñối với hai ña thức cùng một biến tùy ý A và B,
0
B
≠
,
tồn tại duy nhất Q và R sao cho :
A BQ R
= +
, Với
0
R
=
hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc
của B.
- Với
0
R
=
, ta nói A chia hết cho B.
- Với
0

R
≠
, ta nói A không chia hết cho B hay phép chia có dư.
Ví dụ

:
Thực hiện phép chia
(
)
(
)
3 2
4 6 4 : 2
x x x x
+ + + +
.
Giải :






Vậy
(
)
(
)
3 2 2
4 6 4 : 2 2 2

x x x x x x
+ + + + = + +
.
2. Bài tập.

Bài 1 :
Thực hiện phép chia.
a.
(
)
(
)
3 2 2
3 3 : 1
x x x
− − −
.
b.
(
)
(
)
4 3 2 2
3 4 4 4 1 : 3 4 1
x x x x x x
− + − + − +
.

_
2 4

x
+

2 4
x
+

3 2
2
x x
+

2
x
+

2
2 2
x x
+ +

3 2
4 6 4
x x x
+ + +

_
2
2 6 4
x x

+ +

2
2 4
x x
+

0
_
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
22

c.
(
)
(
)
4 2 2
10 9 : 4 3
x x x x
− + + +
.
d.
(
)
(
)
3 2
2 5 2 3 : 3

x x x x
− − − −
.

e.
(
)
(
)
4 3 2 2
3 : 2 3
x x x x x x
− + + − +
.
f.
(
)
(
)
4 3 2
2 25 : 5
x x x x
+ + − +
.

g.
(
)
(
)

4
14 : 2
x x x
− − −
.
h.
(
)
(
)
3 2
2 21 67 60 : 5
x x x x
− + − −
.

k.
(
)
(
)
3 2
6 7 2 : 2 1
x x x x
− − + +
.
l.
(
)
(

)
3 2
3 3 : 3
x x x x
− + − −
.

Bài 2 :
Thực hiện phép chia.
a.
(
)
(
)
4 2 3 2
2 5 3 3 : 3
x x x x x
− + − − −
.

b.
(
)
(
)
4 3 2
2 2 1 : 1
x x x x
− + − −
.

c.
(
)
(
)
4 3 2 3
2 4 8 : 4
x x x x x
− + − +
.

d.
(
)
(
)
3 2
5 1 : 2 1
x x x x
− + − −
.

e.
(
)
(
)
3 2
3 5 9 15 : 3 5

x x x x
− + − + − +
.
f.
(
)
(
)
4 3 2
5 9 2 4 8 : 1
x x x x x
+ − − − −
.
g.
(
)
(
)
2 4 3 2
17 6 5 23 7 : 7 3 2
x x x x x x
− + − + − −
.
h.
(
)
(
)
4 3 2 2
3 11 5 19 10 : 3 2

x x x x x x
+ − − + + −
.
k.
(
)
(
)
3 2
5 14 12 8 : 2
x x x x
+ + + +
.
l.
(
)
(
)
4 2 3 2
2 4 3 7 5 : 1
x x x x x x
− + + − + −
.
Bài 3 :
Tìm giá trị của a ñể.
a.
3 2
2 3 10
x x x a
+ − +

chia hết cho
2
x
−
.
b.

3 2
3 5
x x x a
− + +
chia hết cho
2
x
−
.
c.
(
)
2
1 4
x a x
− + +
chia hết cho
1
x
−
.
d.

4 2
5
x x a
− +
chia hết cho
2
3 2
x x
− +
.
e.

2
2 1
x ax
+ +
chia cho
3
x
−
dư 4.
f.

4 2
5 4
x x x a
− + +
chia hết cho
2 1

x
+
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
23

g.

5 4
5 9
ax x
+ −
chia hết cho
1
x
−
.
h.

3 2
x x a x
+ + −
chia hết cho
( )
2
1
x
+
.

Bài 4 :
Tìm giá trị của a,b ñể.
a.

4
x ax b
+ +
chia hết cho
3
x
−
.
b.

3
x ax b
+ +
chia hết cho
2
2 2
x x
+ +
.
c.

3
x ax b
+ +
chia cho
1

x
+
dư 7 và chia cho
3
x
−
dư -5.
d.

3 2
2 3 2
x ax x b
− + +
chia hết cho
1
x
−
và
2
x
−
.
e.

3 2
5 8
x x x a
+ − +
chia hết cho
2

x x b
+ +
.
f.

4 3 2
6 7 3 2
x x ax x
− + + +
chia hết cho
2
x x b
− +
.
Bài 5 :
Tìm giá trị nguyên của x ñể.
a.

2
10 7 5
x x
− −
chia hết cho
2 3
x
−
.
b.

3 2

3 3 1
x x x
− − −
chia hết
2
1
x x
+ +
.
c.

3 2
4 5 1
x x x
− + −
chia hết cho
3
x
−
.
d.

3 2
4 11 5 5
x x x
+ + +
chia hết cho
2
x
+

.
e.

2
10 10
x x
+ −
chia hết cho
1
x
−
.
f.

3 2
2 7
x x x
− + +
chia hết cho
2
1
x
+
.

Bài 6 :
không thực hiện phép chia hãy tìm số dư trong các phép chia.
a.
3
4 5

x x
− +
cho

2
x
−
.
b.
3 2
9 6 10
x x x
− + +

cho
1
x
+
.
c.

3 2
3 4 5
x x x
− + −
cho
2
x
−
.

d.
2
4 6 3
x x
− +

cho
3
x
−
.