Hình học 11 chuyên đề phép biến hình

Chuyên ñề Phép biến hình – Hình lớp 11 Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
1





I. Tóm tắt lý thuyết :
1. Phép dời hình :
a. ðịnh nghĩa : Phép dời hình là phép biến hình không làm thay ñổi khoảng cách giữa 2 ñiểm bất kì.
b. Tính chất :
- Biến 3 ñiểm thẳng hàng thành 3 ñiểm thẳng hàng.
- Biến ñường thẳng thành ñường thẳng.
- Biến tia thành tia.
- Biến ñoạn thẳng thành ñoạn thẳng bằng nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
- Biến ñường tròn thành ñường tròn có cùng bán kính.
- Biến góc thành góc bằng nó.
c. Bài toán thường gặp :
Chứng minh
f
là một phép biến hình
Phương pháp :
Lấy 2 ñiểm
,
M N
bất kì. Giả sử

( )

(
)
( )
( )
, ,
, ,
: , ' ,
: , ' ,
M M M M
N N N N
f M x y M x y
f N x y N x y

→


→


Ta chứng minh
' '
MN M N
=
.

A. PHÉP DỜI HÌNH :
(là phép bi
ế
n hình b
ả

o toàn kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
ñ
i
ể
m b
ấ
t k
ỳ
)


1.
Phép tịnh tiến

( ) '
'
v
T M M
MM v
=
⇔ =

 

- G
ọ

i
'( ' ; ')
M x y
là
ả
nh c
ủ
a
( ; )
M x y
qua
phép t
ị
nh ti
ế
n theo
( ; )
v a b


Khi
ñó:
'
'
x x a
y y b
= +


= +



2. Phép ñối xứng trục Ox

( ) '
Ox
ð M M
=

Nghĩa là M’ ñối xứng với M qua trục tọa ñộ Ox
Gọi
'( ' ; ')
M x y
là ảnh của
( ; )
M x y
qua phép ñối
xứng trục Ox
Khi ñó:
'
'
x x
y y
=


= −


3. Phép ñối xứng trục Oy
( ) '
Oy
ð M M
=
Nghĩa là M’ ñối xứng với M qua trục tọa ñộ Oy

Gọi
'( ' ; ')
M x y
là ảnh của
( ; )
M x y
qua phép
ñối xứng trục Oy. Khi ñó:
'
'
x x
y y
= −


=



4. Phép
ñối xứng trục
: 0
d ax by c

+ + =
bất kỳ
B1: Viết phương trình ñường thẳng
∆
ñi qua ñiểm M
và vuông góc với ñường thẳng d:
0 0
0 0
: ( ) ( ) 0
0
b x x a y y
bx ay bx ay
∆ − − + − =
⇔ − + + − =

B2: Giải hệ phương trình sau ñể tìm giao ñiểm

( ; )
k k
K x y
của
d
và
∆
:
Chuyên ñề : Phép Biến Hình

Chuyên ñề Phép biến hình – Hình lớp 11 Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang

2


( )
( )
0 0
0 0
0
0
ax by c
bx ay bx ay
ax by c
bx ay bx ay
+ + =



− + + − =


+ = −


⇔

− + = − −



B3: Gọi

'( ' ; ')
M x y
là ảnh của
( ; )
M x y
qua phép ñối
xứng trục d.
Khi ñó:
' 2
' 2
k
k
x x x
y y y
= −


= −

Thay tọa ñộ vào tìm
ñược M’
5. Phép ñối xứng tâm O
( ) '
O
ð M M
=
Nghĩa là M’ ñối xứng với M qua gốc tọa ñộ O
Gọi
'( ' ; ')
M x y

là ảnh của
( ; )
M x y
qua phép
ñối xứng tâm O
Khi ñó:
'
'
x x
y y
= −


= −


6. Phép ñối xứng tâm
( ; )
H H
H x y
bất kỳ
( ) '
H
ð M M
=
Nghĩa là M’ ñối xứng với M qua tâm H

Gọi
'( ' ; ')
M x y

là ảnh của
( ; )
M x y
qua phép ñối
xứng tâm H
Khi ñó:
' 2
' 2
H
H
x x x
y y y
= −


= −


7. Phép quay tâm O, góc
α

( , )
( ) '
'
( ' ; )
O
Q M M
OM OM
OM OM
α

α
=
=

⇔

=


Xây dựng biểu thức tọa ñộ như sau :
+ ðặt
OM r
=
. Góc lượng giác

(
)
,Ox OM
α
=


và

(
)
, 'Ox OM
α ϕ
= +
.

+ Ta có
(
)
( )
' cos cos .cos sin .sin
' sin sin .cos cos .sin
x r r r
y r r r
α ϕ α ϕ α ϕ
α ϕ α ϕ α ϕ
= + = −



= + = +




⇔

' cos .sin
' sin cos
x x y
y x y
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= −



= +





8. Phép quay tâm I, góc
α




+
( )
,
'' cos sin
''
'' sin cos
Q O
x x y
M M
y x y
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
−
= +

→


= − +





+
( )
( )
(
)
(
)
( ) ( )
0 0
,
,
0 0
' cos sin
'
' sin cos
o o
o
Q I
I x y
o
x x x x y y
M M
y x x x y y

ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− = − − −


→

− = − − −







+
( )
( )
(
)
(
)
( ) ( )
0 0
,
,
0 0
'' cos sin
''

'' sin cos
o o
o
Q I
I x y
o
x x x x y y
M M
y x x x y y
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
−
− = − + −


→

− =− − + −






Chuyên ñề Phép biến hình – Hình lớp 11 Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
3

B. PHÉP ðỒNG DẠNG :
9. Phép vị tự tâm O (tỉ số k)
( , )
( ) '
' .
O k
V M M
OM k OM
=
⇔ =
 

Gọi
'( ' ; ')
M x y
là ảnh của
( ; )
M x y
qua phép vị tự
tâm O
Khi ñó:
' .
' .
x k x
y k y
=


=


10. Phép vị tự tâm
( , )
H H
H x y
bất kỳ (tỉ số k)
( , )
( ) '
' .
H k
V M M
HM k HM
=
⇔ =
 

Gọi
'( ' ; ')
M x y
là ảnh của
( ; )
M x y
qua phép vị
tự tâm
( , )
H H
H x y

Khi ñó:

' .( )
' .( )
H H
H H
x k x x x
y k y y x
= − −


= − −



11. Phép ñồng dạng (tỉ số
0
k
>
)
- Phép d
ờ
i hình là phép
ñồ
ng d
ạ
ng t
ỉ
s
ố
1
- Phép v

ị
t
ự
t
ỉ
s
ố
k là phép
ñồ
ng d
ạ
ng t
ỉ
s
ố

k


* Chú ý:
-
Hai hình b
ằ
ng nhau khi có phép d
ờ
i hình bi
ế
n
hình này thành hình kia.
- Hai hình

ñồ
ng d
ạ
ng v
ớ
i nhau khi có phép
ñồ
ng
d
ạ
ng bi
ế
n hình này thành hình kia.

II. Bài Tập :
Bài 1:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng
tọ
a
ñộ
Oxy, cho
ñ
i
ể
m
( 2;1)

A
−
và ñườ
ng th
ẳ
ng d:
3 1 0
x y
+ − =

1. Hã
y
tì
m
ả
nh
củ
a A
và
d qua
phé
p
tị
nh ti
ế
n theo vect
ơ

(3; 2)
v

= −

.
2. Tìm ñiểm B sao cho A là ảnh của B qua phép tịnh tiến theo vectơ
( 5;7)
u = −

.
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn (C) có phương trình
2 2
( 3) ( 1) 8
x y
− + + =
. Hãy
viết phương trình ñường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O, tỉ số
1
2
−
.
Bài 3:
Cho tam giác ABC. D
ự
ng v
ề
phía bên ngoài tam giác
ñ
ó các hình vuông ABEF và ACIK. G
ọ
i
M là trung

ñ
i
ể
m c
ủ
a BC. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AM vuông góc v
ớ
i FK và
1
2
AM FK
= .
Bài 4:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy, cho phép t
ị
nh ti
ế
n T theo vect
ơ

(
)

3;1
u
−

và
ñ
i
ể
m M(1;1)
1.
Tìm
ả
nh c
ủ
a M qua phép t
ị
nh ti
ế
n T
2.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ả
nh c
ủ
a
ðườ

ng th
ẳ
ng ∆:
3 5 1 0
x y
− + =
qua phép t
ị
nh ti
ế
n T
3.
Tìm
ả
nh c
ủ
a M qua phép quay tâm O góc
α
= + 90
0,
và
ả
nh c
ủ
a
ñườ
ng

th
ẳ

ng
∆:
3 5 1 0
x y
− + =

Bài 5:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy

cho
ñườ
ng tròn tâm I(1;1), bán kính R = 1
1.
Tìm
ả
nh c
ủ
a I qua phép v
ị
t
ự
tâm O t
ỉ
s
ố
k=3

2.
Tìm
ả
nh
ñườ
ng tròn tâm I bán kính R = 1 qua phép v
ị
t
ự
tâm O t
ỉ
s
ố
k = 3

3.
Tìm
ả
nh c
ủ
a I qua phép
ñồ
ng d
ạ
ng là k
ế
t qu
ả
c
ủ

a phép v
ị
t
ự
tâm O t
ỉ
s
ố
k = 3 và phép t
ị
nh
Chuyên ñề Phép biến hình – Hình lớp 11 Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
4

tiến
(
)
−

0; 3
u

4. Tìm ảnh của ñường tròn tâm I bán kính R=1 qua phép ñồng dạng là kết quả của phép vị tự
tâm O tỉ số k = 3 và phép tịnh tiến
(
)
−


0; 3
u
.
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình
(
)
(
)
f :M x, y M' x 3;y 1
→ + +
. Chứng minh rằng f
là một phép dời hình ?
Bài 7: Cho hình vuông ABCD, I là trung ñiểm của AB, O là giao ñiểm của AC và BD. Hãy tìm ảnh
của tam giác OAI
1. Qua phép tịnh tiến theo véc tơ
1
2
v BC
=
 

2.
Qua phép quay tâm O góc 90
0

3.
Qua phép v
ị
t
ự

tâm A t
ỉ
s
ố
k = 2
Bài 8:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
ñộ
Oxy. Cho
ñ
i
ể
m M(-1;-2),
ñườ
ng th
ẳ
ng d: 2x – 3y – 4 = 0 và
ñườ
ng
tròn (C’):
2 2
( 2) ( 1) 9
x y
− + + =

1.
Tìm t
ọ
a
ñộ

ñ
i
ể
m M’ là
ả
nh c
ủ
a M qua phép t
ị
nh ti
ế
n theo véc t
ơ

(3;4)
v


2. Viết phương trình ñường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo véc tơ
(3;4)
v


3. Viết phương trình ñường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = - 2
Bài 9: Trong mặt phẳng tọa ñộ, cho ñường thẳng
(
)
∆ + − =
: x 2y 5 0
. Tìm ñường thẳng
(
)
d
, biết rằng
qua phép tịnh tiến theo vectơ
(
)
−

u 3; 1
thì
(
)
d
biến thành
(
)
∆
.
Bài 10: Trong mặt phẳng tọa ñộ, cho ñường thẳng
(
)
d

có phương trình
− − =
3x 2y 1 0
. Tìm ảnh của
ñường thẳng
(
)
d
qua phép ñối xứng tâm
(
)
−
I 1;2
.
Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho ñiểm I(1,2) và ñường tròn tâm I, bán kính 2. Viết phương trình
ñường tròn là ảnh của ñường tròn trên qua phép ñồng dạng có ñược bằng cách thực hiện liên
tiếp :
1. Phép quay tâm O, góc
0
45
và phép vị tự tâm O, tỉ số 2.
2. Phép ñối xứng trục Oy và phép vị tự tâm O. tỉ số
2
.
3. Phép ñối xứng tâm O và phép vị tự tâm O. tỉ số -2
Bài 12: Trong mp Oxy cho phép biến hình F biến
( ; )
M x y
thành
' ' '

( ; )
M x y
thỏa
'
'
2 3
2 5
x x y
y x y

= − +


= + +


.
1.
Tìm
ả
nh c
ủ
a
(2; 3)
A
−
qua F.
2.
Tìm I sao cho F(I) = I. Ch
ứ

ng minh F không ph
ả
i là phép d
ờ
i hình.
3.
Tìm
ả
nh c
ủ
a
∆ −
( ) : x + 3y 2 = 0
qua phép bi
ế
n hình F.
Chuyên ñề Phép biến hình – Hình lớp 11 Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
5

Bài 13: Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn
2 2
( ): 4 2 11 0
C x y x y
+ + − − =

1. Viết phương trình ảnh của
( )
C

qua phép vị tự
( )
, 2
O
V
−
.
2. Cho
( ) ( )
2 2
( '): 1 3 4
C x y
− + + =
. Xác
ñị
nh tâm v
ị
t
ự
ngoài c
ủ
a phép v
ị
t
ự
bi
ế
n
( )
C

thành

( ')
C
.
Bài 14:
Cho hai
ñườ
ng tròn (O) và (O’) ti
ế
p xúc ngoài nhau t
ạ
i A, l
ầ
n l
ượ
t có bán kính là R = 2 và
R’ = 5. Xác
ñị
nh tâm và t
ỉ
s
ố
v
ị
t
ự
c
ủ
a các phép v

ị
t
ự
bi
ế
n (O) thành (O’).
Bài 15:
Trong mp v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c to
ạ

ñộ
Oxy cho
( )
2,3
v
→
= − và hai
ñ
i
ể
m A(4;-2), B( 1;3) và
ñ
i
ể

m D( 2;-1)
1.
Xác
ñị
nh to
ạ

ñộ
c
ủ
a A’ là
ả
nh c
ủ
a A qua phép quay tâm O, góc quay
0
60
=
α

2.
Xác
ñị
nh to
ạ

ñộ
c
ủ
a C sao cho B là

ả
nh c
ủ
a C qua phép t
ị
nh ti
ế
n theo
→
v .
3.
Xác
ñị
nh
ả
nh c
ủ
a
ñ
i
ể
m D qua phép d
ờ
i hình có
ñượ
c b
ằ
ng cách th
ự
c hi

ệ
n liên ti
ế
p phép quay
tâm O góc quay 60
0
. và phép t
ị
nh ti
ế
n theo
→
v .





================= H
Ế
T =================