Luyện thi đại học chuyên đề phương trình hàm số mũ

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
1




A. Chuyên ñề 1: Phương trình mũ
I. Kiến thức cơ bản về hàm số mũ :
1. Định nghĩa :
.
n
a a a a
=
(tích của n số a) với a là cơ số, n là số mũ
- Quy ước :
+
1
a a
=
(với mọi a).
+
0
1
a
=
(với a khác 0).
- Lũy thừa mũ âm :
1
n
n

a
a
−
=
( với a khác 0;
*
n N
∈
)
- Lũy thừa mũ hữu tỷ : với
0
a
>
và
, *
m n N
∈

+
( )
m
m
m
n
n
n
a a a
= =
.
+

1 1
m
n
m
m
n
n
a
a
a
−
= =
.
+
1
n
n
a a
=
.
2. Các tính chất :
+ ( )
n n n
ab a b
=
.
+
n
n
n

a a
b b
 
=
 
 
.
+
m n m n
a a a
+
=
.
+
m
m n
n
a
a
a
−
=
.
+
(
)
(
)
.
n m

m n m n
a a a
= =
.

Chuyên ñề : Phương trình – Bất phương


Trình

–
H
ệ

phương trình mũ

1
a
>

x
y a
=

y
x
1
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
2

3. Hàm số mũ :
Dạng :


(
)
0, 1
x
y a a a
= > ≠
.
TXĐ :
D
=
ℝ
.
TGT :
T
+
=
ℝ
.
Tính ñơn ñiệu :
+ 1:
x
a y a
> =
ñồng biến trên
ℝ

.
+ 0 1:
x
a y a
< < =
nghịch biến trên
ℝ
.

Đồ thị hàm số : hình vẽ bên

Chú ý :

+ Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.
+ khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.

II. Các dạng toán thường gặp :
1. Bài toán 1: Sử dụng phương pháp biến ñổi tương ñương
1.1.Phương pháp: Ta sử dụng phương pháp biến ñổi tương ñương sau.
1.2.

Dạng 1: Phương trình dạng
(
)
(
)
f x g x
a a=

TH1:

Khi a là một hằng số thỏa mãn
0 1
a
< ≠
thì
(
)
(
)
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
= ⇔ =
.
TH2:
Khi a là một hàm của
x
thì :

( ) ( )
( ) ( )
1
0 1
f x g x
a
a
a a
f x g x
=



< ≠
= ⇔ 




=



hoặc
( ) ( ) ( )
0
1 0
a
a f x g x
>



− − =
 

 


1.3. Dạng 2: Phương trình dạng
( )
( )

0 1, 0

log
f x
a
a b
a b
f x b
< ≠ >


= ⇔

=


.
Đặc biệt :
-
Khi
0
b
=
hoặc
0
b
<
thì kết luận ngay phương trình vô nghiệm.
-
Khi

1
b
=
ta viết
(
)
( )
0 0
0
f x
b a a a f x
= ⇔ = ⇔ =

0 1
a
< <

x
y a
=

y
x
1
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
3

-
Khi

1
b
≠
mà b có thể biểu diễn thành
(
)
( )

f x
c c
b a a a f x c
= ⇔ = ⇔ =
.
Chú ý : Trước khi biến ñổi tương ñương thì
(
)
f x
và
(
)
g x
phải có nghĩa.
1.4. Bài tập áp dụng :
Loại 1: Khi cơ số là một hằng số.
Dạng 1: Cùng mũ, cùng cơ số.
Giải các phương trình sau :
1.

3 2cos 1 cos
4 7.4 2 0

x x
+ +
− − =
.
2.

2 2
1 3
16 64 4 3 0
x x− −
− ⋅ + =
.
3.

9 9 3
log log log 27
4 6 2 2 0
x x
− ⋅ + =
.
4.

2 2
2 2 1
9 7 3 2
x x x x x x− − − − −
− ⋅ =
.
5.

2 2
sin cos
9 9 10
x x
+ =
.
6.

1 3
3
64 2 12 0
x x
+
− + =
.
7.

2
cos2 cos
4 4 3
x x
+ =
.
8.

2 2
4 6.2 8 0
x x
− + =
.

9.

2 2
1 2
9 10.3 1 0
x x x x+ − + −
− + =
.
10.

1
2 2 1
x x−
− =
.
Dạng 2: Cùng mũ, khác cơ số.
Giải các phương trình sau :
1.

2 2 2
15.25 34.15 15.9 0
x x x
− + =
.
2.

1 1 1
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =

.
3.

3 1
125 50 2
x x x
+
+ =
.
4.

6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =
.
5.

2
4.3 9.2 5.6
x
x x
− =
.
6.

3 3 3
25 9 15 0
x x x
− + =
.

7.
xxx
6242.33.8 +=+ .
8.
20515.33.12
1
=−+
+xxx
.
9.
xxx
543 =+ .
10.
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
.
Dạng 3: Cùng cơ số , khác mũ.
Giải các phương trình sau :
1.
xxx
9133.4
13
−=−
+
.
2.
2 2
2 1 2 2

2 9.2 2 0
x x x x+ + +
− + =
.
3.
1
4 4 3.2
x x x x
+ +
− = .
4.
1 1
5 6.5 3.5 52
x x x
+ −
+ − =
.
5.
( )
1
5 7
2
1,5
3
x
x
+
−
 
=

 
 
. 6.
( ) ( )
7 1 2
0,5 . 0,5 2
x x+ −
=
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
4

7.
2
2 3
1
1
7
7
x x
x
− −
+
 
=
 
 
.
8.

(
)
2 3
2 1 2 1
x−
− = +
.
9.
(
)
3
5 9.5 27.125 5 64
x x x x− −
+ + + =
.
10.
( )
1
2
2
4
2
22
11
+
=
+
+−+ xxxx
.
Dạng 4: Tích cơ số bằng 1.

Giải các phương trình sau :
1.
(
)
(
)
2 3 2 3 14
x x
− + + =
.
2.

(
)
(
)
4 15 4 15 8
x x
− + + =
.

3.

(
)
(
)
cos cos
5
7 4 3 7 4 3

2
x x
+ + − =
.
4.

(
)
(
)
7 3 5 7 3 5 14.2
x x
x
+ + − = .

5.

(
)
(
)
2 3 2 3 2
x x
x
+ + − =
.
6.
(
)
(

)
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
.

7.
(
)
(
)
sin sin
5 2 6 5 2 6 2
x x
+ + − =
.
8.
(
)
(
)
3
3 5 16 3 5 2
x x
x
+
+ + − = .
9.

(

)
(
)
(
)
(
)
32.432.34732 +=−+++
xx
.
10.
(
)
( )
(
)
32
4
3232
121
2
2
−
=−++
−−− xxx
.
Loại 2: Khi cơ số là một hàm của x.
Giải các phương trình sau :
1.
( ) ( )

sin 2 3cos
2 2
2 2
x x
x x x x
−
+ − = + − .
2.
( )
( )
2
2
4
3 5 2
2
3 6 9
x x
x x
x x x
+ −
− +
− = − + .
3.
(
)
2
2
1
x
x x

−
− =
.
4.
( )
2
1
2
1 1
x
x x
−
− + =
.
5.
( )
2
4
2
2 2 1
x
x x
−
− + =
.
6.
(
)
2
2

1
x
x x
−
− =
.
7.
2
2
1
x x
x
−
=
.
8.
( )
2
2
2
3 3
x x
x x
−
− = − .
9.
( ) ( )
3
1 1
3

1 1
x x
x x
− −
− = − .



Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
5

2. Bài toán 2: Sử dụng phương pháp logarit hóa và ñưa về cùng cơ số.
2.1. Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi số mũ lũy thừa ta có thể logarit theo cùng một cơ số
cả 2 vế của phương trình, ta có các dạng :
2.2.

Dạng 1: Phương trình dạng :


( )
( )
0 1, 0

log
f x
a
a b
a b
f x b

< ≠ >


= ⇔

=


.
2.3.

Dạng 2: Phương trình dạng cơ số khác nhau và số mũ khác nhau.


(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
log log .log
f x g x f x g x
a a a
a b a b f x g x b
= ⇔ = ⇔ =
.

Hoặc
(
)
(
)
( ) ( )
log log .log
f x g x
b b b
a b f x a g x
= ⇔ = .
Đặc biệt

: Cơ số khác nhau nhưng số mũ bằng nhau
Khi
( ) ( )
( ) ( )
(
)
( )
0
1 0
f x
f x f x
a a
f x g x a b f x
b b
   
= ⇔ = ⇔ = = ⇔ =
   

   
.
Chú ý :
- Phương pháp áp dụng khi có dạng tích – thương của các hàm số mũ.
- Một số phương trình cần rút gọn trước khi logarit hóa.
2.4. Bài tập áp dụng :
Giải các phương trình sau :
1.
1
5 .8 500
x
x
x
−
= .
2.
2
2 3
2
3 .4 18
x
x
x
−
−
=
.

3.
2

4 2
2 .5 1
x x− −
=
.
4.
2
2
3
2
2
x x−
=
.

5.
4
2
8 4.3
x
x
x
−
+
= .
6.
1 1
2 1
2 2
4 3 3 2

x x
x x
− +
−
− = − .

7.
(
)
2
0,5
log sin 5sin .cos 2
1
4
9
x x x+ +
=
.
8.
1 2 3 1
5 5 5 3 3 3
x x x x x x
+ + + +
+ + = + + .

9.
2 2
3 2 6 2 5
2 3 3 2
x x x x x x

+ + − + −
− = −
.
10.
(
)
2
log 4
32
x
x
+
=
.

11.
2
3 .2 1
x x
=
.
12.
1
4
3 .9
27
x x
x
−
= .

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
6

13.
2
1
1
8 .5
8
x x −
=
.
14.
1
5 . 8 100
x
x x
+
=
.

15.
5
3 log
5 25
x
x
−

= .
16.
2
2
8 36.3
x
x
x
−
+
= .

17.
7 5
5 7
x x
= .
18.
9
log
2
9.
x
x x
=
.

19.
log 5
4 3

.5 5
x
x
= .
20.
2
4 2
2.2 3
x x
− −
= .

3. Bài toán 3: Sử dụng phương pháp ñặt ẩn phụ - dạng 1.
3.1.Phương pháp: Dùng ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng 1 ẩn phụ ñể chuyển phương trình
ban ñầu thành một phương trình với một ẩn phụ.
Ta lưu ý các phép ñặt ẩn phụ thường gặp sau ñây.
3.2.

Dạng 1: Phương trình dạng
(
)
1
1 1 0
0
k x
kx x
k k
a a a
α α α α
−

−
+ + + + =
.
Khi ñó ta ñặt
x
t a
=
, ñiều kiện
0
t
>
, ta ñược
(
)
1
1 1 0
0
k
k
k k
t t t
α α α α
−
−
+ + + + =
.

Mở rộng :
Nếu ñặt
(

)
f x
t a
=
, ñiều kiện hẹp
0
t
>
, khi ñó
(
)
(
)
(
)
2 3
2 3
, , ,
f x f x kf x
k
a t a t a t
= = =
và

( )
1
f x
a
t
−

=
.
3.3. Dạng 2: Phương trình có dạng
1 2 3
0
x x
a b
α α α
+ + =
với
. 1
a b
=
.
Khi ñó ta ñặt
x
t a
=
, ñiều kiện
0
t
>
, suy ra
1
x
b
t
=
, ta ñược

2
2
1 3 1 3 2
0 0
t t t
t
α
α α α α α
+ + = ⇔ + + =
.
Mở rộng : Với
. 1
a b
=
khi ta ñặt
(
)
f x
t a
=
, ñiều kiện hẹp
0
t
>
, suy ra
( )
1
f x
b
t

=
.
3.4. Dạng 3: Phương trình dạng
( )
2 2
1 2 3
0
x
x x
a ab b
α α α
+ + =
. Khi ñó chia 2 vế của phương
trình cho
2
0
x
b
>
(Hoặc
2
x
a
,
( )
x
ab
), ta ñược :
2
1 2 3

0
x x
a a
b b
α α α
   
+ + =
   
   
. Đặt
x
a
t
b
 
=
 
 
, ñiều
kiện
0
t
>
, ta ñược
2
1 2 3
0
t t
α α α
+ + =

.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
7

Mở rộng : Với phương trình mũ có chứa các nhân tử :
( ) ( )
( )
(
)
2 2
, ,
f x
f x f x
a b ab
, ta thực hiện theo
các bước sau
- Chia 2 vế phương trình cho
(
)
2
0
f x
b
>
(Hoặc
(
)
2
f x

a
,
( )
(
)
f x
ab
)
- Đặt
(
)
f x
a
t
b
 
=
 
 
, ñiều kiện hẹp
0
t
>
.
Chú ý : Ta sử dụng ngôn từ ñiều kiện hẹp
0
t
>
cho trường hợp ñặt
(

)
f x
t a
=
vì :

- Nếu ñặt
x
t a
=
thì
0
t
>
là ñiều kiện ñúng.
- Nếu ñặt
2
1
2
x
t
+
= thì
0
t
>
chỉ là ñiều kiện hẹp, bỡi thực chất ñiều kiện cho t phải là
2
t
≥

.
Điều kiện này ñặc biệt quan trọng cho lớp các bài toán có chứa tham số.
3.5. Bài tập áp dụng :
Giải các phương trình sau :
1.
2
2
1
cot
sin
4 2 3 0
x
x
+ − =
. 2.
2 2
sin cos
4 2 2 2
x x
+ = + .
3.
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0
x x x x
+ + +
− + =
. 4.
2 2 2
1 1 1

2.4 6 9
x x x
+ + +
+ = .
5.
( )
3
3 1
1 12
2 6.2 1
2
2
x x
x
x
−
− − + =
. 6.
2 1
1
1 1
3. 12
3 3
x x
+
   
+ =
   
   
.

7.
1
3 3 4 0
x x−
− + =
. 8.
1 4 2
4 2 2 16
x x x+ + +
+ = +
.
9.
2 2
1 2
9 10.3 1 0
x x x x+ − + −
− + =
. 10.
2 8 5
3 4.3 27 0
x x+ +
− + =
.
11.
2 2
3 3 24
x x+ −
− =
. 12.
(

)
2
2
2 1
1
7.2 20.2 12 0
x
x
+
+
− + =
.
13.
4 2 1
3 4.3 27 0
x x+
− + =
. 14.
64.9 84.2 27.6 0
x x x
− + =
.
15.
2 1
25 10 2
x x x
+
+ = . 16.
9 9 3
log log log 27

4 6.2 2 0
x x
− + =
.
17.
2 2
2
2 2 3
x x x x− + −
− =
. 18.
3 3 3
log log log 9
4 5.2 2 0
x x
− + =
.
19.
(
)
3
3
2 log 2
log 2
3 2 3
x
x
+
+
− =

. 20.
3 1 2
2 7.2 7.2 2 0
x x x+
− + − =
.
21.
2
2
9 10 4
2 4
x
x−
+
=
. 22.
27 27
8 9.2 64
8 2
x x
x x
+ + + =
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
8

23.
( )
2

3
2. 0,3 3
100
x
x
x
= +
. 24.
2
2 2 2
log 2 log 6 log 4
4 2.3
x x
x
− = .
25.
2 2
log log 6
2
6.9 6 13.
x
x x
+ = . 26.
2 2
2 2 1
3 28.3 9 0
x x x x+ + +
− + =
.
27.

2 2
5 1 5
4 12.2 8 0
x x x x
− − − − −
− + =
. 28.
1
12.3 3.15 5 20
x x x
+
+ − =
.
29.
(
)
(
)
(
)
(
)
2 3 7 4 3 2 3 4 2 3
x x
+ + + − = + .30.
( )
2 1
2 1 2
3 3 1 6.3 3
x

x x x
+
+ +
= + − + .

4. Bài toán 4: Sử dụng phương pháp ñặt ẩn phụ - dạng 2.
4.1. Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 2 là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển
phương trình ban ñầu thành một phương trình với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn chứa x.
Phương pháp này thường sử dụng ñối với những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho 1 biểu
thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn ñược triệt ñể qua ẩn phụ ñó hoặc nếu biểu diễn
ñược thì công thức biểu diễn quá phức tạp.
Khi ñó thường ta ñược 1 phương trình bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc theo ẩn x) có biệt số
∆
là một số
chính phương.
Ví dụ : Giải phương trình
(
)
2
3 2 9 .3 9.2 0
x x x x
− + + =

Giải : Đặt
3
x
t
=
, ñiều kiện
0

t
>
, khi ñó phương trình tương ñương với :

(
)
2
2 9 9.2 0
x x
t t
− + + =


( ) ( )
2 2
9
2 9 4.9.2 2 9
2
x x x
x
t
t
=

∆ = + − = + ⇒

=


Khi ñó

+ Với
9 3 9 2
x
t x
= ⇔ = ⇔ =
.
+ Với
3
2 3 2 1 0
2
x
x x x
t x
 
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
 
 

Vậy nghiệm của phương trình là
2
0
x
x
=


=

.

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
9

4.2. Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau
1.
(
)
2 2
2 2
9 3 3 2 2 0
x x
x x
+ − − + =
. 2.
(
)
9 12 3 11 0
x x
x x
+ − + − =
.
3.
(
)
2 2
3.25 3 10 5 3
x x
x x
− −

+ − = −
. 4.
2 3 1 3
4 2 2 16 0
x x x
+ +
+ + − =
.
5.
(
)
9 2 2 3 2 5 0
x x
x x
+ − + − =
. 6.
2
3 3 5 5
x x
+ + =
.
7.
(
)
1 1
3.9 3 7 3 2 0
x x
x x
− −
+ − + − =

. 8.
3 2
4.3 6.3 6.3 2 0
x x x
− + − =
.

5. Bài toán 5: Sử dụng phương pháp ñặt ẩn phụ - dạng 3.
5.1. Phương pháp: Dùng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức mũ trong phương trình và khéo léo biến
ñổi phương trình thành phương trình tích.
Ví dụ : Giải phương trình
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x
− + + + + +
+ = +

Giải : Viết lại phương trình dưới dạng
2 2 2 2
3 2 6 5 3 2 6 5
4 4 4 .4 1
x x x x x x x x
− + + + − + + +
+ = +

Đặt
2
2
3 2

6 5
4
, 0
4
x x
x x
u
u v
v
− +
+ +

=

>

=


.
Khi ñó phương trình tương ñương với :

(
)
(
)
. 1 1 1 0
u v u v u v
+ = + ⇔ − − =
.

2
2
3 2 2
2
6 5
1
1 4 1 3 2 0 2
1 1
6 5 0
4 1
5
x x
x x
x
u x x x
v x
x x
x
− +
+ +
=




= = − + = =


⇔ ⇔ ⇔ ⇔





= = −
+ + =
 
=



= −

.
Vậy phương trình có 4 nghiệm.
5.2. Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau
1.
2 2
5 6 1 6 5
2 2 2.2 1
x x x x− + − −
+ = +
. 2.
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x+ −
− − + =
.
3.

2 3 3 1 4
2 5.2 2 0
x x x x+ − + + +
− + =
. 4.
( )
2
2
1
3 3 1
2 2 2 2
x
x x x
−
− + −
+ = +
.
5.
(
)
(
)
2 2
log log
2
3 1 . 3 1 1
x x
x x
+ + − = +
. 6.

2 2
5 6 1 6 5
2 2 2.2 1
x x x x− + − −
+ = +
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
10

7.
( )
2
2
2
3
2
2 1
2
9 3 3 1
x x
x
x
− +
− −
− = −
. 8.
8.3 3.2 24 6
x x x
+ = +

.
9.
( )
2
2 2
1
1
4 2 2 1
x
x x x
+
+ −
+ = −
. 10.
2 2 2
2 5 2 4 8 3 6 13 5
2 2 1 2
x x x x x x
− + − + − +
+ = +
.

6. Bài toán 6: Sử dụng phương pháp ñặt ẩn phụ - dạng 4.
6.1. Phương pháp: Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 4 là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương
trình ban ñầu thành một hệ phương trình với k ẩn phụ.
Trong hệ mới thì k – 1 phương trình nhận ñược từ các mối liên hệ giữa các ñại lượng tương ứng
Trong trường hợp ñặc biệt là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một
hệ phương trình với 1 ẩn phụ và một ẩn x, khi ñó ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1: Đặt ñiều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình.
Bước 2: Biến ñổi phương trình về dạng :

(
)
, 0
f x x
ϕ
=
 
 
.
Bước 3: Đặt
(
)
y x
ϕ
= ta biến ñổi phương trình thành hệ :
(
)
( )
, 0
y x
f x y
ϕ
=


=


.
Ví dụ : Giải phương trình

2
2 2 6 6
x x
− + =
.
Giải : Đặt
2
x
u
=
, ñiều kiện
0
u
>
. Khi ñó phương trình trở thành
2
6 6
u u
− − =
.
Đặt
6
v u
= +
, ñiều kiện
2
6 6
v v u
≥ ⇒ = +

Khi ñó phương trình ñược chuyển thành hệ :

( ) ( )( )
2
2 2
2
6
1 0
1 0
6
u v u v
u v u v u v u v
u v
v u

= + =


⇔ − = − − ⇔ − + + = ⇔


+ + =
= +




+ Với
u v
=

ta ñược :
( )
2
2
3
6 0 2 3 log 3
2

x
u
u u x
u l
=

− − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

= −


+ Với
1 0
u v
+ + =
ta ñược

( )
2
2
1 21
21 1 21 1

2
5 0 2 log
2 2
1 21

2
x
u
u u x
u l

− +
=

− −

+ − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

− −
=


.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
11

Vậy phương trình có 2 nghiệm là
2
log 3

x = và
2
21 1
log
2
x
−
= .
6.2. Bài tập áp dụng :
Giải các phương trình sau.
1.

1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x− − −
+ =
+ + + +
.
2.

1
8 1 2. 2 1
x x+
+ = −
.
3.
2
3 3 5 5

x x
+ + =
.
4.
3
1
27 2 3. 3 2
x x+
+ = −
.


7. Bài toán 7: Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số.
7.1. Phương pháp: Dựa vào tính ñơn ñiệu của hàm số ñể chứng minh nghiệm là duy nhất
Xét phương trình. Ta có 3 phương pháp ñể áp dụng.
Phương pháp 1

:
Thực hiện các bước sau :

Bước 1:
Chuyển phương trình về dạng :
(
)
f x k
=
.
Bước 2:
Xét hàm số
(

)
y f x
=
. Dùng lập luận khẳng ñịnh hàm số ñơn ñiệu (giả sử ñồng biến)
Bước 3:
Nhận xét :
+ Với
(
)
(
)
0 0
x x f x f x k
= ⇔ = =
do ñó
0
x x
=
là nghiệm.
+ Với
(
)
(
)
0 0
x x f x f x k
> ⇔ > =
do ñó phương trình vô nghiệm.
+ Với
(

)
(
)
0 0
x x f x f x k
< ⇔ < =
do ñó phương trình vô nghiệm.
Vậy
0
x x
=
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Phương pháp 2

:
Thực hiện các bước sau :
Bước 1:
Chuyển phương trình về dạng :
(
)
(
)
f x g x
=
.
Bước 2:
Xét hàm số
(
)
y f x

=
và
(
)
y g x
=
. Dùng lập luận ñể khẳng ñịnh hàm số
(
)
y f x
=
là
ñồng biến còn hàm số
(
)
y g x
=
là hàm hằng hoặc nghịch biến.
Xác ñịnh
0
x
sao cho
(
)
(
)
0 0
f x g x
=
.

Bước 3:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
0
x x
=
.

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
12

Phương pháp 3

:
Thực hiện các bước sau :
Bước 1:
Chuyển phương trình về dạng :
(
)
(
)
f u f v
=
.
Bước 2:
Xét hàm số
(
)
y f x
=

. Dùng lập luận ñể khẳng ñịnh hàm số ñơn ñiệu
Bước 3:
Khi ñó vì
(
)
(
)

f u f v u v
= ⇔ =

Ví dụ

:
Giải phương trình :

2
8 2
2 2 8 2
x x x
x x
− +
− = + −
.
Giải :
Đặt
2
2
8 2
8

u x x
v u x x
v x

= −
⇒ − = + −

= +

.
Phương trình trên tương ñương :

(
)
(
)
2 2 2 2
u v u v
v u u v f u f v
− = − ⇔ + = + ⇔ =
.
Xét hàm số :
(
)
(
)
(
)
'
2 , 2 .ln 2 0

t t
f t t f t t R f t
= + = > ∀ ∈ ⇒
ñồng biến.
Mà
(
)
(
)

f u f v
=
nên
2 2
4
8 2 8 0
2
x
u v x x x x x
x
=

= ⇔ − = + ⇔ − − = ⇔

= −

.
Vậy phương trình có hai nghiệm là
4
2

x
x
=


= −

.
7.2. Bài tập áp dụng :
1.
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
x
− + + =
.
2.
3 7
2
5 5
x
x
 
+ =
 
 
.

3.
2 3 5 10
x x x x
+ + = .
4.
2 5 2
x
x
= −
.

5.
( )
2
2
1
2 2 1
x x x
x
− −
− = −
.
6.
4 7 9 2
x x
x
+ = +
.

7.
6 2 5 3
x x x x
+ = +
.
8.
( )
3
2
log
2
3
3. log 1
x
x x x
+ − =
.

9.
1
2 4 1
x x
x
+
− = −
.
10.
2 2
3 2 2 2 3
2 9 6 4 3 5

x x x x x x
x x
− − − −
+ + + = + +
.

8. Bài toán 8: Sử dụng bất ñẳng thức.
8.1. Phương pháp: Sử dụng phương pháp bất ñẳng thức là ta ñi dánh giá vế trái của một
phương trình luôn bé hơn (hoặc lớn hơn ) vế phải của phương trình. Tìm ñiều kiện ñể dấu =
xảy ra từ ñó suy ra nghiệm của phương trình.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
13

Ví dụ

:
Giải phương trình :

2 2 2
2 3 2 2 2 1
3 4 5 14
x x x x x x+ + + + + +
+ + =
.

Giải :
Ta có :
( )
( )

( )
2
2
2
2 2 2 2
2
2
1 2
2 3 2
1 1
2 2 1 2 3 2 2 2 1
1
2 1 0
3 3 3 9
4 4 4 4 3 4 5 14
5 5 5 1
x
x x
x
x x x x x x x x
x
x x
+ +
+ +
+ +
+ + + + + + + +
+
+ +

= ≥ =



= ≥ = ⇒ + + ≥


= ≥ =



Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
1
x
= −
.
8.2. Bài tập áp dụng :
Giải các phương trình sau.
1.
1 1 2
3
2 2 3 2
x x+ −
+ =
.
2.
( )
2 1 3 2
2
3
8
2 2

log 4 4 4
x x
x x
+ −
+ =
− +
.
3.
3
2
1
3 8
3
x
x
x
+ = −
.
4.
3 1 3 3 2
x x
− + − =
.

5.
2
2 1 2 2 2
x x
x x
− + − = − +

.
6.
2 1
2 2 3 1
x
x x x
−
+ − + = +
.

7.
(
)
2
2
27 6 4 1 .9
x x
x x= − +
.
8.
2 2
sin cos
8 8 10 cos2
x x
y
+ = +
.

9.
9 3 10 2

x x
x
+ = +
.
10.
(
)
sin 1 sin
4 - 2 .cos 2 0
y
x x
xy
+
+ =
.

9. Bài toán 9: Sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
9.1. Phương pháp: Với phương trình có chứa tham số :
(
)
(
)
(
)
, 1
f x m g m=
. Chúng ta
thực hiện các bước sau.
Bước 1:
Lập luận số nghiệm của phương trình

(
)
1
là số giao ñiểm của ñồ thị hàm số
(
)
C
:
(
)
,
y f x m
=
và ñường thẳng
(
)
:
d y g m
=
.
Bước 1:
Xét hàm số
Bước 2:
Xét hàm số
(
)
,
y f x m
=

+ Tìm miền xác ñịnh của D.
+ Tính ñạo hàm
'
y
rồi giải phương trình
'
0
y
=
.
+ Lập bảng biến thiên của hàm số.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
14

Bước 3:
Kết luận
+ Phương trình có nghiệm
(
)
(
)
(
)
min , max ,
f x m g m f x m
⇔ ≤ ≤
.
+ Phương trình có k nghiệm phân biệt
(

)

d
⇔
cắt
(
)
C
tại k ñiểm phân biệt.
+ Phương trình vô nghiệm
(
)
(
)
d C
φ
⇔ =
∩
.

9.2. Bài tập áp dụng :

1.
Cho phương trình
(
)
2
2
2 2 2
2 2 2

3 2 2 2
x x
x x
x x m
− +
− +
+ + − = −
.
a.
Giải phương trình với
8
m
=
.
b.
Tìm m ñể phương trình có nghiệm.
2.
Tìm m ñể phương trình sau :

2
4 3
4 2
1
1
5
x x
m m
− +
 
= − +

 
 
có 4 nghiệm phân biệt.
3.
Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2 3 4 1
x x
m
+ = +
.
4.
Giải phương trình
3 5 2.4
x x x
+ = .
5.
CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất
( ) ( )
1
1 0
x
x
x x x
+
= + >
.
HD : Đặt
(
)
(

)
(
)
1 .ln ln 1
f x x x x x
= + − +
. Và chứng minh
(
)
0
0,
x e
∈
là nghiệm duy nhất.
6.
Giải phương trình

4 6 25 2
x x
x
+ = +
.

10. Bài toán 10: Đưa về phương trình tích.
10.1. Phương pháp :
Dạng tổng quát 1:
ab cd ac bd
+ = +

( ) ( )
( )( )
0
0
0
0
0
ab cd ac bd
a b c d b c
b c a d
b c
a d
⇔ + − − =
⇔ − − − =
⇔ − − =
− =

⇔

− =




Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
15

Dạng tổng quát 2: 1
u v uv

+ = +


(
)
(
)
1 1 0
1
1
u v
u
v
⇔ − − =
=

⇔

=


Với phương trình dạng :
(
)
(
)
(
)
f x g x h x
a b b a

+ = +
với
(
)
(
)
(
)
h x f x g x
= +
.
10.2. Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau.
1.
12 6 4.3 3.2
x x x
+ = + . 2.
15 3.5 3 3
x x x
− + =
.
3.
2 1 1
5 7 175 35 0
x x x+ +
+ − − =
. 4.
( )
2
2 2
1

1
4 2 2 1
x
x x x
+
+ −
+ = +
.
5.
2 1 1 1
5.3 7.3 1 6.3 9 0
x x x x− − +
− + − + =
. 6.
3 2 3 4
2 1 2 1
.2 2 .2 2
x x
x x
x x
− + − +
+ −
+ = +
.
7.
3
8 .2 2 0
x x
x x
−

− + − =
. 8.
(
)
(
)
(
)
1
2 1
.3 3 2 2 2 3
x
x x x x
x x
−
−
+ − = − .
9.
1
12.3 3.15 5 20
x x x+
+ − =
. 10.
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2

1 1
2 2 2 .2 1 0
x x x x
x x
+ +
− −
+ − − =
.

11. Bài toán 11: Lượng giác hóa
Ví dụ : Giải phương trình
3 1
4.3 3 1 9
x x x
+
− = −
.
Giải : Điều kiện :
(
)
1 9 0 0 9 1 0 *
x x
x− ≥ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤
.
Biến ñổi phương trình về dạng :

3 2
4.3 3.3 1 3
x x x
− = −

.
Với ñiều kiện
(
)
*
thì
0 3 1
x
< ≤
.
Đặt
cos 3
x
t
=
với
0,
2
t
π
 
∈


 
. Khi ñó phương trình có dạng :

3 2
4cos 3cos 1 cos
t t t

− = −
.

cos3 sin cos
2
t t t
π
 
⇔ = = −
 
 
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
16


( )
0
2
3 2
8 2
2

8
3 2
2
4 2
t
k

t
t t k
t
k
t t k t l
π
π π
π
π
π
π π π
π
≤ <


= +
= − +


⇔ ⇔ ⇔ =



= − + + = − +




.
Ta có :

2 2
2 2 2 2
s s 2. 2 s 1 s s
4 8 8 8 4 8 2
co co co co co
π π π π π
+ +
 
= = − ⇔ = ⇔ =
 
 
.
Do ñó :
3
2 2 2 2
3 s log
8 8 2 2
x
t co x
π π
+ +
= ⇔ = = ⇔ = .
11.1. Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau.
1.
2 2
1 1
1
2 2
x x
a a

a a
   
+ −
− =
   
   
với tham số
(
)
0,1
a∈
.
2.
(
)
2 2
1 1 2 1 2 1 2 .2
x x x
+ − = + − .

12. Bài tập tổng hợp :
Bài 1 : Giải các phương trình sau.
a.
3 1
8 2
9 3
x
x
−
−

= . b.
2 2 2 2
1 2 1
2 2 3 3
x x x x
− + −
+ = + .
c.
2
4
5 25
x x
− +
=
. d.
1 1
5 6.5 3.5 52
x x x
+ −
+ − =
.
e.
16 17.4 16 0
x x
− + =
. f.
4 8 2 5
3 4.3 27 0
x x
+ +

− + =
.
g.
2 2
2 2 1
3 28.3 9 0
x x x x
+ + +
− + =
. h.
2 2
2
2 2 3
x x x x
− + −
− =
.
k.
( ) ( )
1
1
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ = − . l.

(
)
25 2. 3 .5 2 7 0
x x
x x
− − + − =
.
Bài 2 : Giải các phương tình sau.
a.
(
)
2 2
2 2
4 7 .2 12 4 0
x x
x x
+ − + − =
. b.
2 2
6.3 13.6 6.2 0
x x x
− + =
.
c.
1 1 1
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =
. d.
(

)
(
)
3 3
3 8 3 8 6
x x
+ + − =
.
e.
(
)
(
)
9 2 .3 2 4 0
x x
x x
− −
− + − + =
. f.
2 1 2
4 3 3 2.3 . 2 6
x x x
x x x
+
+ + = + +
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
17

g.
(
)
(
)
(
)
(
)
7 5 2 2 5 3 2 2 3 1 2 1 2
x x x
+ + − + + + + − .
h.
( )
( )
( )
2
2
1 2 1
4
2 3 2 3
2 3
x x x− − −
+ + − =
−
.
k.
(
)
(

)
3
3 5 16 3 5 2
x x
x
+
+ + − = .
l.
1
2 4 1
x x
x
+
− = −
.
Bài 3 : Giải các phương tình sau.
a.
2
6 10 2
3 6 6
x x
x x
− +
= − + −
. b.
2
2
2
1
2

x x
x
x
−
+
= .
c.
3
2 -
-
2.cos 3 3
2
x x
x x
 
= +
 
 
. d.
2 3 3
8 2 12 0
x
x x
+
− + =
.
e.
( )
3
1 1

x
x
−
+ =
. f.
2 1 2 2 1 1 2
2 3 5 2 3 5
x x x x x x
− + + +
+ + = + + .
g.
1 2
2 .3 .5 12
x x x− −
=
. h.
222
21212
15.34925
xxxxxx −+−+−
=+ .
k.
(
)
(
)
2
1
4 1 2 4 1 8.4
x x x x

+
− + − = . l.
xx1xx
2.344
++
=− .
Bài 4 : Giải các phương tình sau.
a. 62.54
2x1x2xx
22
=−
−+−−+
. b. 368.3
1x
x
x
=
+
.
c.
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x+ + +
− − =
. d.
3
3( 1)
1 12
2 6.2 1
2 2

x x
x x−
− − + =
.
e.
3
2
3 3 8
x x
x
−
+ = −
. f.
2 2
5 6 1 6 5
2 2 2.2 1
x x x x− + − −
+ = +
.
g.
osx osx
(7 4 3) ( (7 4 3)) 4
c c
+ + − =
. h.
2 4 2 2
3 45.6 9.2 0
x x x+ +
+ − =
.

k.
(
)
(
)
tan tan
5 2 6 5 2 6 10
x x
+ + − =
. l.
2
lg 1 lg lg 2
4 6 2.3 0
x x x+ +
− − =
.
Bài 5: Tìm m ñể các phương trình sau có nghiệm.
a.
9 3 1 0
x x
m
+ − =
. b.
(
)
2
3 2.3 3 .2 0
x x x
m
+ − + =

.
c.
(
)
2
16 1 .2 1 0
x x
m m
− − + − =
. d.
2 2
4 2 2
3 2.3 2 3 0
x x
m
− −
− + − =
.
e.
2 2
1 1
9 8.3 4
x x x x
m
+ − + −
− + =
. f.
1 3 1 3
4 14.2 8
x x x x

m
+ + − + + −
− + =
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
18

g.
(
)
2 1 .2 0
x x
m m
−
+ + + =
. h.
25 .5 1 2 0
x x
m m
+ + − =
.
k.
1
4 2
x x
m
+
− =
. l.

2 2
sin cos
81 81
x x
m
+ =
.
Bài 6: Tìm m ñể các phương trình sau có duy nhất một nghiệm.
a.
.2 2 5 0
x x
m
−
+ − =
. b.
.16 2.81 5.36
x x x
m + = .
c.
(
)
(
)
5 1 5 1 2
x x
x
m
+ + − =
. d.
3

4 2 3
x x
m
+
− + =
.
e.
7 3 5 7 3 5
8
2 2
x x
m
   
+ −
+ =
   
   
   
. f.
9 .3 1 0
x x
m
+ + =
.
Bài 7: Tìm m ñể các phương trình sau :
a.
.16 2.81 5.36
x x x
m + = có 2 nghiệm dương phân biệt.
b.

(
)
16 .8 2 1 .4 .2
x x x x
m m m
− + − = có 3 nghiệm phân biệt.
c.
2 2
2
4 2 6
x x
m
+
− + =
có 3 nghiệm phân biệt.
d.
2 2
9 4.3 8
x x
m
− + =
có 3 nghiệm phân biệt.





Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
19

B. Chuyên ñề 2: Bất phương trình mũ
1.Phương pháp:
+ Khi giải bất phương trình mũ ta cần chú ý ñến tính ñơn ñiệu của hàm số mũ.

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1

0 1
f x g x
a
f x g x
a a
a
f x g x
 >




>


> ⇔

< <






<




+ Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như ñối với phương trình mũ :
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ.
-
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì :

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 0
f x g x
a a a f x g x
> ⇔ − − >
 
 

.
2.Bài tập áp dụng.
Bài 1: Giải các bất phương trình sau (Đưa về cùng cơ số).
a.
2
1
2
1
3
3
x x
x x
− −
−
 
≥
 
 
. b.
6 3
2 1 1
1 1
2 2
x x x
− + −
   
<
   
   
.

c.
2 3 4 1 2
2 2 2 5 5
x x x x x
+ + + + +
− − > − . d.
2 2
3 2 3 2
9 6 0
x x x x
− + − +
− <
.
e.
2 3 7 3 1
6 2 .3
x x x
+ + −
< . .
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
− +
+ < − .
g.
2 1 2

2 5 2 5
x x x x
+ + +
+ < + . h.
2
1
2
1
2
2
x
x x
−
−
≤ .
k.
1
1
2 1
3 1
2 2
x
x
−
+
≥
. l.
1 2
3 3 3 11
x x x

− −
+ − <
.
Bài 2: Giải các bất phương trình sau (Đặt ẩn phụ).
a.
2.14 3.49 4 0
x x x
+ − ≥
. b.
( )
( )
2
2
2 1
3
4 2 8 52
x
x
x
−
−
− + >
.
c.
1 1
1 2
4 2 3 0
x x
− −
− − ≤

. d.
25.2 10 5 25
x x x
− + >
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
20

e.
4 4
1
8.3 9 9
x x x x
+ +
+ > . f.
6 2.3 3.2 6 0
x x x
− − + ≥
.
g.
2 2 2
2 1 2 1 2
25 9 34.25
x x x x x x
− + − + −
+ ≥ . h.
1 2 1
2
3 2 12 0

x
x x
+ +
− − <
.
k.
(
)
2 1 2
2 9.2 4 . 2 3 0
x x
x x
+
− + + − ≥
. l.
1 1
1 2
2 2 9
x x
+ −
+ <
.
Bài 3: Giải các bất phương trình sau (Sử dụng tính ñơn ñiệu).
a.
2
2 3 1
x
x
< +
. b.

2
2.3 2
1
3 2
x x
x x
+
−
≤
−
.
c.
2
3 3 2
0
4 2
x
x
x
−
+ −
≥
−
. d.
1
2 2 1
0
2 1
x x
x

−
− +
≤
−
.
e.
4 2 4
3 2 13
x x
+ +
+ >
. f.
2
3 4
0
6
x
x
x x
+ −
>
− −
.
Bài 4: Tìm m ñể các bất phương trình sau
a.
4 .2 3 0
x x
m m
− + + ≤
có nghiệm.

b.
9 .3 3 0
x x
m m
− + + ≤
có nghiệm.
c. 2 7 2 2
x x
m
+ + − ≤
có nghiệm.
d.
(
)
(
)
3 1 .12 2 .6 3 0 0
x x x
m m x
+ + − + < ∀ >
.
e.
(
)
[
]
.9 2 1 .6 .4 0, 0,1
x x x
m m m x
− + + ≤ ∀ ∈ .

f.
(
)
4 2 0, 0,1
x x
m x
− − ≥ ∀ ∈ .
3. Bài tập tổng hợp : Giải các bất phương trình sau.
1.
2
9 3 3 9
x x x
+
− > −
. 2.
6 5
2 5
2 25
5 4
x
x
−
+
 
<
 
 
.
3.
( )

1
2
1
2 1 1
x
x
x x
−
+
− + ≤
. 4.
2x
6x5x
3
1
3
1
2
+
−+
> .
5.
2 2
.5 5 0
x x
x
+
− <
. 6.
4 2 4

2
1
x
x
x
+ −
≤
−
.
7.
2
3 2
8. 1
3 2 3
x
x
x x
−
 
> +
 
−
 
. 8.
2
2
1
9
3
x

x
+
−
 
>
 
 
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
21

9.
2
lg 3lg 1
1000
x x
x
− +
> . 10.
2 3
2 1
1
2 21. 2 0
2
x
x
+
+
 

− + ≥
 
 
.

C . Chuyên ñề 3: Hệ phương trình – bất phương trình mũ
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau.
1.
2 5
2 1
y
y
x
x

+ =


− =


2.
2
3 1
3 19
y
y
x
x


− =


+ =



3.
2 2 3
1
x y
x y

+ =

+ =

4.
2 .5 20
5 .2 50
x y
x y

=


=



5.
( )
2
7 10
1
8 0
y y
x
x y x
− +

=


+ = >


. 6.
2 4
4 32
x
x
y
y

=


=




7.
1
2 6
8
4
y
y
x
x
−
−

=


=


8.
( )
2 2
16
1
2 0
x y
x
x y x
− −


=


− = >



9.
4 3 7
4 .3 144
x y
x y

− =


=


10.
1
2 2.3 56
3.2 3 87
x x y
x x y
+
+ +

+ =



+ =



11.
1
1 1
3 2 4
3 2 1
x y
x y
+
+ +

− = −


− = −


12.
(
)
(
)
2 2
2 2 2
2

x y
y x xy
x y

− = − +


+ =



13.
3 2 11
3 2 11
x
y
x y
y x

+ = +


+ = +


14.
1
1
7 6 5
7 6 5

x
y
y
x
−
−

= −


= −



15.
2 2
2 2
3
x y
y x
x xy y

− = −


+ + =

