Luyện thi đại học về hệ phương trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (210.92 KB, 16 trang )
Luyện thi đại học về hệ phương trình
3 2
3 2
1 2( )
1 2( )
x x x y
y y y x
+ = − +
+ = − +
Hệ tương đương với:
3 2
3 2
2 2 1 2 (1)
2 2 1 2 (2)
x x x y
y y y x
− + + =
− + + =
; hệ có dạng:
( ) 2
(*)
( ) 2
f x y
f y x
=
=
Với hàm số đặc trưng: f(t) =
3 2
2 2 1,t t t t R− + + ∈
Ta có:
2
'( ) 3 4 2 0 , ( ' 4 6 0 à 3 0)f t t t t R do v a= − + > ∀ ∈ ∆ = − < = >
Vậy f(t) đồng biến trên khoảng
( )
;−∞ +∞
.
+ Nếu
(*)
( ) ( ) 2 2x y f x f y y x y x> ⇔ > ¬ → > ⇔ >
: mâu thuẫn.
+ Nếu
(*)
( ) ( ) 2 2x y f x f y y x y x< ⇔ < ¬ → < ⇔ <
: mâu thuẫn.
+ Nếu
(*)
( ) ( ) 2 2x y f x f y y x y x= ⇔ = ¬ → = ⇔ =
: đúng.
Với x = y viết (1) theo x được:
3 2 3 2 2 2
2 2 1 2 2 1 0 ( 1)( 1) 0 1 0 1 0x x x x x x x x x x x x− + + = ⇔ − + = ⇔ − − − = ⇔ − = ∨ − − =
1 5 1 5
1, ,
2 2
x x x
+ −
⇔ = = =
và với x = y nên ta có nghiệm (x; y) của hệ đã cho là:
1 5 1 5 1 5 1 5
(1;1) , ; , ;
2 2 2 2
+ + − −
÷ ÷
!"#"
Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2) được:
3 3 2 2
2 2 2 2 2 2x y x y x y y x− − + + − = −
3 3 2 2 2 2
( ) 2( ) 4( ) 0 ( )( 2 2 4) 0x y x y x y x y x xy y x y⇔ − − − + − = ⇔ − + + − − + =
2 2
( )(2 2 2 4 4 8) 0x y x xy y x y⇔ − + + − − + =
2 2 2 2
( ) ( 2 ) ( 4 4) ( 4 4)x y x xy y x x y y
⇔ − + + + − + + − +
2 2 2
( ) ( ) ( 2) ( 2) 0x y x y x y
⇔ − + + − + − =
(3)
Ta có:
2 2 2
( ) ( 2) ( 2) 0x y x y+ + − + − ≥
, đẳng thức xảy ra khi:
0 2 2 0
2 0 2
2 0 2
x y
x
x x
y
y y
+ = + =
∈∅
− = ⇔ = ⇔
∈∅
− = =
2 2 2
( ) ( 2) ( 2) 0x y x y⇒ + + − + − >
Vậy (3)
0x y x y⇔ − = ⇔ =
Với x = y viết (1) theo x được:
3 2 3 2 2 2
2 2 1 2 2 1 0 ( 1)( 1) 0 1 0 1 0x x x x x x x x x x x x
− + + = ⇔ − + = ⇔ − − − = ⇔ − = ∨ − − =
1
Luyện thi đại học về hệ phương trình
1 5 1 5
1, ,
2 2
x x x
+ −
⇔ = = =
và với x = y nên ta có nghiệm (x; y) của hệ đã cho là:
1 5 1 5 1 5 1 5
(1;1) , ; , ;
2 2 2 2
+ + − −
÷ ÷
2 2 2 2
2
( )( 3) 3( ) 2 (1)
4 2 16 3 8 (2)
x y x xy y x y
x y x
− + + + = + +
+ + − = +
ĐK:
16
2,
3
x y≥ − ≤
3 3
(1) ( 1) ( 1) 2x y y x⇔ − = + ⇔ = −
Thay y = x - 2 vào (2) được:
2
4( 2) 3( 2)
4 2 22 3 8 ( 2)( 2)
2 2 22 3 4
x x
x x x x x
x x
− −
+ + − = + ⇔ = − + +
+ + − +
2
4 3
( 2) 0(*)
2 2 22 3 4
x
x
x x
=
⇔
−
+ + + =
+ + − +
Xét f(x)=VT(*) trên [-2;21/3],có f’(x)>0 nên hàm số đồng biến. suy ra x=-1 là nghiệm duy
nhất của (*)
KL: HPT có 2 nghiệm (2; 0), (-1; -3)
4 3 2 2
2
2
2
2 5 6 11 0
( , )
3 7 6
7
x x x y x
x y
y
x x
y
+ − + − − =
∈
− −
+ =
−
¡
.
Đk
7y >
. Khi đó hệ đã cho tương đương với:
2 2 2
2 2
( 3) 7 13
( 3) 7 6
x x y
x x y
+ − + − =
+ − − = −
Đặt:
2 2
3; 7, 0u x x v y v= + − = − >
. Khi đó hệ phương trình trở thành:
2 2
13
6
u v
uv
+ =
= −
2 2
1 2 3
( ) 2 13 ( ) 1
6 3 2
6 6
u v u u
u v uv u v
uv v v
uv uv
+ = ± = − = −
+ − = + =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∨
= − = =
= − = −
Giải các hệ phương trình:
2 2
2 2
3 2 3 3
,
7 3 7 2
x x x x
y y
+ − = − + − = −
− = − =
Nghiệm của hệ đã cho là:
( ) ( )
1 5 1 5
0; 11 , 1; 11 , ; 4 , ; 4
2 2
− ± − ±
± − ± −
÷ ÷
÷ ÷
2
Luyện thi đại học về hệ phương trình
$
2
5 3
x y x y y
x y
+ + − =
+ =
(x, y∈ R)
ĐK: x + y ≥ 0 , x - y ≥ 0, y ≥ 0
PT(1) ⇔
2 2 2 2
2 2 4 2x x y y x y y x+ − = ⇔ − = −
2
2 0 (3)
5 4 (4)
y x
y xy
− ≥
⇔
=
Từ PT(4) ⇔ y = 0 v 5y = 4x
Với y = 0 thế vào PT(2) ta có x = 9 (Không thỏa mãn đk (3))
Với 5y = 4x thế vào PT(2) ta có
2 3 1x x x+ = ⇔ =
KL: HPT có 1 nghiệm
4
( ; ) 1;
5
x y
=
÷
%
2
2 2
1
2 2
2 2
x x
y
y y x y
+ − =
− − = −
ĐK :
0y ≠
hệ
2
2
1
2 2 0
2 1
2 0
x x
y
x
y y
+ − − =
⇔
+ − − =
Đặt
1
v
y
=
. Hệ phương trình trở thành:
2
2
2 2 0
2 2 0
x x v
v v x
+ − − =
+ − − =
2
1
2 2 0
x v
x v
v v x
=
= − −
⇔
+ − − =
Từ đó ta có nghiệm của hệ:
(-1 ;-1),(1 ;1), (
3 7 2
;
2
7 1
−
−
), (
3 7 2
;
2
7 1
+
+
)
&
1 1 4
6 4 6
x y
x y
+ + − =
+ + + =
Điều kiện: x
≥
-1, y
≥
1
Công vế theo vế rồi trừ vế theo vế ta có hệ:
1 6 1 4 10
6 1 4 1 2
x x y y
x x y y
+ + + + − + + =
+ − + + + − − =
Đặt u=
1 6x x
+ + +
, v =
1 4y y
− + +
. Ta có hệ:
5
5 5
2
u v
u v
+ =
+ =
⇒
{
5
5
u
v
=
=
⇒
{
3
5
x
y
=
=
là nghiệm của hệ
3
Luyện thi đại học về hệ phương trình
'
2 2 4 2
2 (4 3 ) ( 3) (1)
2012 ( 2 2 5 1) 4024 (2)
x
y y x x x
y x x
+ = +
− + − + =
Nếu x = 0, từ (1) suy ra y = 0. Khi đó không thỏa mãn (2). Vậy
0x ≠
Chia cả 2 vế của (1) cho
3
x
, ta được:
3 3
2 2
( ) 3. 3
y y
x x
x x
+ = +
(3)
Xét hàm số
3
( ) 3 ,f t t t t R= + ∈
. Dễ thấy f(t) là hàm số đồng biến trên R
Do đó từ (3) ta được
2y
x
x
=
, hay
2
2y x=
.
Thế vào (2) ta có:
1 2
2012 ( 1) 4 ( 1) 2
x
x x
−
− + − − =
Đặt u = x – 1, ta được phương trình :
2
2012 ( 4 ) 2
u
u u+ − =
(4)
Lại xét hàm số
2
( ) 2012 ( 4 ) 2
u
g u u u= + − =
trên R.
Có
2
2
'( ) 2012 ln 2012( 4 ) 2012 ( 1)
4
u u
u
g u u u
u
= + − + −
+
2
2
1
2012 ( 4 )(ln 2012 )
4
u
u u
u
= + − −
+
Vì
2
4 0u u+ − >
và
2
1
1 ln 2012
4u
< <
+
nên g’(u)>0 với mọi
u R∈
nên hàm số g(u) đồng biến trên R. Mặt khác g(0)=2 nên u = 0 là nghiệm duy nhất của
phương trình (4).
Từ đó x = 1 và
1
2
y =
.
Vậy hệ PT có 1 nghiệm duy nhất
1
( ; ) (1; )
2
x y =
.
(
2
2 3 ( 2013)(5 )
( , )
( 2) 3 3
− = + − +
∈
− + = +
¡
x y y y
x y
y y x x
.
Điều kiện :
1
, 0
2
≥ ≥x y
.
Hệ đã cho trở thành
2
2
2 3 ( 2013)(5 ) (1)
(2 ) 3 3 0 (2)
− = + − +
+ − − − =
x y y y
y x y x
Từ (2) ta có:
2
( 4)x∆ = +
(2) có hai nghiệm
1
2
2 4
3
2
2 4
1
2
− − −
= = −
− + +
= = +
x x
y
x x
y x
( do
0y ≥
)
⇔
1y x= +
Thế vào (1) ta có
2
2 3 1 ( 1) 2013 (4 )
− − + = + + −
x x x x
4
Luyện thi đại học về hệ phương trình
⇔
2
4
( 1) 2013 ( 4)
2 3 1
−
= − + + −
− + +
x
x x
x x
2
4
( 4) ( 1) 2013 0
2 3 1
−
⇔ − + + + =
÷
− + +
x
x x
x x
4 5⇔ = ⇒ =x y
2
1 1
( 1) 2013 0, , 0
2
2 3 1
+ + + > ∀ ≥ ≥
÷
− + +
Do x x y
x x
.
Vậy nghiệm của hệ là:
( , ) (4,5)x y =
.
)
3 3 2
2 2 2
12 6 16 0
( , ).
4 2 4 5 4 6 0
x x y y
x y
x x y y
− − + − =
∈
+ − − − + =
¡
Điều kiện:
2 2; 0 4x y− ≤ ≤ ≤ ≤
Hệ phương trình tương đương với
( ) ( ) ( )
( )
3
3
2 2 2
12 2 12 2 1
4 2 4 5 4 6 0 2
x x y y
x x y y
− = − − −
+ − − − + =
Xét hàm số
( )
3
12f t t t= −
trên [-2;2]
( )
[ ]
2
' 3 12 0, 2;2f t t t= − ≤ ∀ ∈ −
( )
f t⇒
nghịch biến trên [-2;2], kết hợp với (1) suy ra
2 2x y y x= − ⇔ = +
Thế y=x+2 vào (2) được
2 2
4 6 3 4x x+ = −
. Giải được
0 2x y= ⇒ =
Vậy hệ có nghiệm (0; 2)
*
2 0 (1)
1 4 1 2 (2)
x y xy
x y
− − =
− + − =
+,
Điều kiện:
1
1
4
x
y
≥
≥
Từ (1)
2 0
x x
y y
⇒ − − =
⇒
x = 4y
Nghiệm của hệ (2;
1
2
)
2
2 2
( ) 4 1
( ) 2 7 2
x x y y x
x x y y x
+ + = −
+ − = +
Với x = 0 không nghiệm đúng phương trình
5
Luyện thi đại học về hệ phương trình
Với
0x
≠
, ta có:
2
2 2
2 2
2
2
1
4
1 4
( ) 2 2 7
1
( ) 2 7
y
x y
x y xy x
x
x x y y x
y
x y
x
+
+ + =
+ + + =
⇔
+ − − =
+
+ − =
Đặt
2
1
,
y
u v x y
x
+
= = +
ta có hệ:
2 2
4 4 3, 1
2 7 2 15 0 5, 9
u v u v v u
v u v v v u
+ = = − = =
⇔ ⇔
− = + − = = − =
+) Với
3, 1v u= =
ta có hệ:
2 2 2
1, 2
1 1 2 0
2, 5
3 3 3
y x
y x y x y y
y x
x y x y x y
= =
+ = + = + − =
⇔ ⇔ ⇔
= − =
+ = = − = −
.
+) Với
5, 9v u= − =
ta có hệ:
2
1 9
5
y x
x y
+ =
+ = −
, hệ này vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
( ; ) (2;1), ( ; ) (5; 2).x y x y= = −
=+++
=−++
637
422
yx
yx
ĐK:
23,27
≤≤−−≤≤−
yx
Ta có
=−−+++−+
=−++++++
⇔
=+++
=−++
22327
102327
637
422
yyxx
yyxx
yx
yx
Đặt
27
+++=
xxu
và
23
−++=
yyv
(u > 0 và v > 0)
Ta được
=+
=+
2
55
10
vu
vu
=
=
⇔
=
=+
⇔
5
5
25
10
v
u
uv
vu
Khi đó
=
=
⇔
=−++
=+++
6
2
523
527
y
x
yy
xx
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x;y) = (2;6).
6
Luyện thi đại học về hệ phương trình
=−−
=−++−−
12
4)3()1(3
22
yxyx
xyyyxx
( )
x, y R∈
Từ pt:
2 2
3 ( 1) ( 3) 4x x y y y x− − + + − =
⇔
( ) ( )
2
3 4 0x y x y− + − − =
⇔
−=−
=−
4
1
yx
yx
Với x- y = 1, ta có
=−−
=−
12
1
yxyx
yx
⇔
x = 1; y = 0 và x= -1; y = -2
* Với x - y = -4 ta có
=−−
−=−
12
4
yxyx
yx
(Hệ PT vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x; y) = (1; 0) và (x; y) = (-1; -2)
$
2 2
2 2
6x 1 1
( , )
6 1 1
y y
x y
y x x
+ = − +
∈
+ = − +
¡
Ta có phương trình
2 2
2 2
6x 1 1 (1)
( , )
6 1 1 (2)
y y
x y
y x x
+ = − +
∈
+ = − +
¡
Điều kiện:
1
1
x
y
≥
≥
trừ vế với vế (1) cho (2) ta được
2 2 2 2
6x 1 6 1 1 1 (*)y y x y x+ − + = − − − + −
+ Nếu x=y=1 thay vào hệ không thoả mãn
+ Nếu(x;y)
≠
(1;1)
2 2
2 2
2 2
6x 6
(*)
1 1
6x 1 6 1
y y x
y x
y x
y
− −
⇔ = + −
− + −
+ + +
2 2
6x+6y 1
( ) 0 0
1 1
6x 1 6 1
x y x y x y y x
y x
y
÷
⇔ − + + + = ⇔ − = ⇔ =
÷
− + −
+ + +
Với y=x thay vào (1) ta có
2
2 2 2 2 2
2
6x 24 2
6x 1 1 6x 1 5 1 1 4 4
1 1
6x 1 5
x
x x x x x
x
− −
+ = − + ⇔ + − = − − + − ⇔ = + −
− +
+ +
2
6 1
( 2) ( 2)(1 ) 0 2 0 2 2
1 1
6x 1 5
x x x x y
x
⇔ − + − + = ⇔ − = ⇔ = ⇒ =
÷
− +
+ +
Vậy hệ có nghiệm x=y=2
7
Luyện thi đại học về hệ phương trình
%
2 2
4 2 2 2
( )
4 3
x y x y y
x x y x y
− + + =
− + = −
Hệ tương đương
2
2 2 2
(1 2 ) 0 (1)
( ) 3 (1 2 ) 0 (2)
x y x y
x y x y
+ + − =
+ + − =
Thay (1) vào (2) được
( )
2
2 2
0
1
(1 2 ) 3 (1 2 ) 0 2 (1 2 )(2 ) 0
2
2
x
x y x y x y y y
y
=
− + − = ⇔ − − = ⇔ =
=
Với x = 0 suy ra y = 0
Với 1-2y = 0 thay vào (1) suy ra
2
1
2
x y
−
= − =
(Vô lí)
Với y = 2 suy ra x = 1 hoặc x = 2
Hệ có 3 nghiệm (0,0), (1,2), (2,2)
&
2 2 2 2
2
1 3
x y x y
x y x y
+ − − =
+ + − − =
Điều kiện: x+y
≥
0, x-y
≥
0
Đặt:
u x y
v x y
= +
= −
ta có hệ:
2 2 2 2
2 ( ) 2 4
2 2
3 3
2 2
u v u v u v uv
u v u v
uv uv
− = > + = +
⇔
+ + + +
− = − =
2
2 4 (1)
( ) 2 2
3 (2)
2
u v uv
u v uv
uv
+ = +
⇔
+ − +
− =
. Thế (1) vào (2) ta có:
2
8 9 3 8 9 (3 ) 0uv uv uv uv uv uv uv+ + − = ⇔ + + = + ⇔ =
.
Kết hợp (1) ta có:
0
4, 0
4
uv
u v
u v
=
⇔ = =
+ =
(vì u>v). Từ đó ta có: x =2; y =2.(Thỏa đ/k)
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).
'
/
0
1
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
− − + = + −
+ − + =
(x, y ∈ R).
8
Luyện thi đại học về hệ phương trình
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
− − + = + −
+ − + =
Đặt t = -x
Hệ trở thành
3 3 2 2
2 2
3 3 9( ) 22
1
2
t y t y t y
t y t y
+ + + − + =
+ + + =
. Đặt S = y + t; P = y.t
Hệ trở thành
3 2 3 2
2 2
3 3( 2 ) 9 22 3 3( 2 ) 9 22
1 1 1
2 ( )
2 2 2
S PS S P S S PS S P S
S P S P S S
− + − − = − + − − =
⇔
− + = = + −
3 2
2
3
2 6 45 82 0
4
1 1
( )
2
2 2
S S S
P
P S S
S
+ + + =
=
⇔ ⇔
= + −
= −
. Vậy nghiệm của hệ là
3 1 1 3
; ; ;
2 2 2 2
−
−
÷ ÷
(
2 2
2
2
1
( , )
xy
x y
x y
x y
x y x y
+ + =
+
∈
+ = −
¡
Điều kiện: x + y > 0
Đặt u = x + y, u > 0 và v = xy. Pt (1) trở thành:
2 3
2
2 1 2 2 0
v
u v u u uv v
u
− + = ⇔ − − + =
2
1
( 1)[ ( 1) 2 ] 0
2 0
u
u u u v
u u v
=
⇔ − + − = ⇔
+ − =
TH1: Với u = 1 hay x + y = 1 (thỏa đk), thay vào 2 được:
2 2
1
1 (1 ) 2 0
2
x
x x x x
x
=
= − − ⇔ + − = ⇔
= −
1 0; 2 3x y x y= ⇒ = = − ⇒ =
TH2: Với
2
2 0u u v+ − =
hay
2 2 2
( ) 2 0 0x y x y xy x y x y+ + + − = ⇔ + + + = ⇒
vô nghiệm do
đk
Vậy hệ pt có 2 nghiệm (1; 0); (−2; 3).
)
2 2
2 2
1 4
( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y
+ + + =
+ = + +
.
Dễ thấy
0y ≠
, ta có:
2
2 2
2 2
2
2
1
4
1 4
.
( ) 2 7 2
1
( ) 2 7
x
x y
y
x y xy y
y x y x y
x
x y
y
+
+ + =
+ + + =
⇔
+ = + +
+
+ − =
Đặt
2
1
,
x
u v x y
y
+
= = +
ta có hệ:
2 2
4 4 3, 1
2 7 2 15 0 5, 9
u v u v v u
v u v v v u
+ = = − = =
⇔ ⇔
− = + − = = − =
+) Với
3, 1v u= =
ta có hệ:
2 2 2
1, 2
1 1 2 0
2, 5
3 3 3
x y
x y x y x x
x y
x y y x y x
= =
+ = + = + − =
⇔ ⇔ ⇔
= − =
+ = = − = −
.
9
Luyện thi đại học về hệ phương trình
+) Với
5, 9v u= − =
ta có hệ:
2 2 2
1 9 1 9 9 46 0
5 5 5
x y x y x x
x y y x y x
+ = + = + + =
⇔ ⇔
+ = − = − − = − −
, hệ vô nghiệm.
KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.x y = −
*
( )
( ) ( )
3 1 4 2 1 1 3
2 4 6 3
x x y y
x y x y x y
− + + = − +
+ − + = − −
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 1 4 2 1 1 3 1
2 4 6 3 2
x x y y
x y x y x y
− + + = − +
+ − + = − −
Điều kiện:
1
; 1
3
x y≥ ≥
( ) ( )
2
2 2
(2) 3 2 6 4 0; 3 5y x y x x x
⇔ − + + + + + = ∆ = +
Vậy ta có:
1 0
2 4 0
y x
x y
+ + =
− + =
-Với
1 0y x
+ + =
vô nghiệm vì
1
; 1
3
x y
≥ ≥
- Với
2 4 0 2 4x y y x
− + = ⇔ = +
, thay vào (1) ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 1 4 2 1 2 3 3 2 4 2 3 1 3 1 2 2 3 2 3 *x x x x x x x x− + + = + + + ⇔ − + − = + + +
( )
* 3 1 2 3 4 12x x x y
⇔ − = + ⇔ = ⇒ =
Kết luận:
( ) ( )
, 4;12x y =
2 2
1 3 (1)
2 (2)
xy x y
x y x y
+ − =
− =
Nhận thấy
0y =
không phải là nghiệm của hệ nên chia cả hai vế của phương trình (1) cho y và
phương trình (2) cho
2
y
ta được:
2
2
1
1
3 (3)
3
1
2 (4)
2
x
x
x
x
y y
y y
x
x x
x
y y
y y
− + =
+ − =
⇔
− =
− =
÷
1
(3) 3
x
x
y y
⇔ − = −
thay vào (4) ta có:
2
1
3 2 0
2
x
y
x x
x
y y
y
=
− + = ⇔
÷ ÷
=
+
1
x
x y
y
= ⇔ =
thay vào (2) ta được:
3 2
2 0 1 2 1 2y y y y y− − = ⇔ = + ∨ = −
+
2 2
x
x y
y
= ⇔ =
thay vào (2) ta được:
3 2
1
4 2 2 0 1
2
y y y y y− − = ⇔ = ∨ = −
Vậy hệ có 4 nghiệm:
1
(1 2;1 2), (2,1), ( 1; )
2
± ± − −
10
Luyện thi đại học về hệ phương trình
2 2
2 1 2 4( 1)
4 2 7
x y x y
x y xy
+ + − = −
+ + =
Điều kiện: x+2y
1 0
+ ≥
Đặt t =
2 1 (t 0)x y+ + ≥
Phương trình (1) trở thành : 2t
2
– t – 6 = 0
( )
( )
2 /
3
t/m
2
t t m
t k
=
⇔
= −
+ Hệ
2 2
2 3
4 2 7
x y
x y xy
+ =
⇔
+ + =
2
1
1
1
2
x
x
y
y
=
=
⇔ ∪
=
=
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
+ + − =
− =
Điều kiện:
| | | |x y≥
Đặt
2 2
; 0u x y u
v x y
= − ≥
= +
;
x y= −
không thỏa hệ nên xét
x y
≠ −
ta có
2
1
2
u
y v
v
= −
÷
.
Hệ phương trình đã cho có dạng:
2
12
12
2
u v
u u
v
v
+ =
− =
÷
4
8
u
v
=
⇔
=
hoặc
3
9
u
v
=
=
+
2 2
4
4
8
8
u
x y
v
x y
=
− =
⇔
=
+ =
(I)
+
2 2
3
3
9
9
u
x y
v
x y
=
− =
⇔
=
+ =
(II)
Giải hệ (I), (II).
Sau đó hợp các kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ phương trình ban đầu là
( ) ( )
{ }
5;3 , 5;4S =
$
x x y xy y
x y x y
3 2 2 3
6 9 4 0
2
− + − =
− + + =
x x y xy y
x y x y
3 2 2 3
6 9 4 0 (1)
2 (2)
− + − =
− + + =
11
Luyện thi đại học về hệ phương trình
Ta có: (1) ⇔
x y x y
2
( ) ( 4 ) 0− − =
⇔
x y
x y4
=
=
Với x = y: Thay vào (2) ta được x = y = 2
Với x = 4y: Thay vào (2) ta được
x y32 8 15; 8 2 15= − = −
%
( ) ( )
3 1 2 7 2
( , )
2 4 5
x x y y x
x y
x y x y
+ = − + +
∈
+ + + =
¡
.
Hệ phương trình
( ) ( )
3 1 2 7 2 (1)
2 4 5 (2)
x x y y x
x y x y
+ = − + +
+ + + =
Điều kiện:
2 0
4 0
x y
x y
+ ≥
+ ≥
Với điều kiện trên thì (1) ⇔ 3x
2
−7xy + 2y
2
+ x −2y = 0
⇔ (3x−y)(x−2y) +(x−2y) = 0 ⇔ (x−2y)(3x−y +1) = 0 ⇔
2 0
3 1 0
x y
x y
− =
− + =
+ x−2y = 0 ⇔ x = 2y
(2):
4 9 5y y+ =
⇔ y = 1
y = 1
⇒
x = 2 (tmđk)
+ 3x − y + 1= 0 ⇔ y = 3x+1
(2) trở thành:
7 1 7 2 5x x+ + + =
⇔
2
1
7
49 21 2 11 7
x
x x x
≥ −
+ + = −
⇔
1 11
17
7 7
17
25
25
x
x
x
− ≤ ≤
⇔ =
=
.
17 76
25 25
x y= ⇒ =
(tmđk).
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (2;1) và (x;y) =
17 76
;
25 25
÷
.
&
3
2 1 0
(3 ) 2 2 2 1 0
x y
x x y y
− + =
− − − − =
3
2 1 0 (1)
(3 ) 2 2 2 1 0 (2)
x y
x x y y
− + =
− − − − =
Điều kiện
1
2
2
x va y≤ ≥
(2)
( ) ( )
1 2 2 1 2 1 2 1x x y y⇔ + − − = + − −
Xét hàm số f(t) = (1 + t
2
)t = t
3
+ t
f’(t)= 3t
2
+ 1 > 0
∀
t
∈
R. Vậy hàm số tăng trên R
(2)
( ) ( )
2 2 1 2 2 1f x f y x y⇔ − = − ⇔ − = −
⇔ 2 – x = 2y – 1 ⇔ 2y = 3 – x
12
Luyện thi đại học về hệ phương trình
Thay vào (1): x
3
+ x – 2 = 0 ⇔ x = 1. Nghiệm của hệ (1;1)
'
/
2
3
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy
− + =
− + = −
+,
+ Biến đổi hệ tương đương với:
2 2 3
3 2
( ) 1
( ) 1
x xy x y
x y x xy
− = −
− − = −
+ Đặt ẩn phụ
2
3
u x xy
v x y
= −
=
, ta được hệ:
2
1
1
u v
v u
= −
− = −
+ Giải hệ trên được nghiệm (u; v) là (1; 0) và (-2; -3)
+ Từ đó giải được nghiệm (x; y) là (1; 0) và (-1; 0)
(
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2
2 2 5 2 0 1
1 2 2 1 2
x y x y y
y x y xy x x xy y y
− − + − =
+ + − = − + − + + +
Từ phương trình (2) ta có đ/k:
, 0x y y≥ ≥
( ) ( )
2 2
2 2
1 1y y y x y x y x y+ − − = − + − − − −
.
Xét hàm số
( )
2 2
1f t t t t= + − −
liên tuc
[
)
0;+∞
có
( )
/
2
1
2
.2
1
t
f t t
t
t
= − −
+
2
1 1
2 0 0
2
1
t t
t
t
= − − < ∀ >
÷
+
Suy ra hàm số nghịch biến
( )
0;+∞
nên
( ) ( )
2f y f x y x y
= − ⇔ =
Thay vào (1) ta có
( )
( )
2
2 1 0 2y x x y− − + = ⇔ =
4x⇒ =
.
Vậy hệ có nghiệm (x ;y) = (4 ; 2)
)
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
x y x y 13
x, y .
x y x y 25
− + =
∈
+ − =
¡
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
x y x y 13 1
x y x y 25 2
− + =
+ − =
( )
( )
3 2 2 3
3 2 2 3
x xy x y y 13 1'
y xy x y x 25 2'
+ − − =
⇔
− + − =
Lấy (2’) - (1’) ta được: x
2
y– xy
2
= 6
( )
x y xy 6⇔ − =
(3)
Kết hợp với (1) ta có:
13
Luyện thi đại học về hệ phương trình
( )
( )
( )
( )
2 2
x y x y 13
I
x y xy 6
− + =
− =
. Đặt y = - z ta có :
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2 2
x z x z 13 x z x z 2xz 13
I
x z xz 6
x z xz 6
+ + = + + − =
⇔ ⇔
− + =
+ = −
đặt S = x +z và P = xz ta có :
( )
2
3
S S 2P 13
S 1
S 2SP 13
P 6
SP 6
SP 6
− =
=
− =
⇔ ⇔
= −
= −
= −
Ta có :
x z 1
x.z 6
+ =
= −
. Hệ này có nghiệm
x 3
z 2
=
= −
hoặc
x 2
z 3
= −
=
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là : ( 3 ; 2) và ( -2 ; -3 )
*
2
1 1 4( ) 3.
3
2
2
x y x y x y
x y
+ + + = + + +
− =
Đặt : t = x + y ; ĐK: t
Giải PT:
2 2
1 1 4 3. 1 3 4 1t t t t t t+ + = + ⇔ + − = −
1 2 1 1
(2 1)(2 1) (1 2 ) 2 1 0
2
1 3 1 3
t
t t t t t
t t t t
−
⇔ = − + ⇔ − + + = ⇔ =
÷
+ + + +
Hệ đã cho trở thành
2
1
3
2
3 1
2
2 6
x
x y
x y y
=
+ =
⇔
− = = −
Vậy hệ dã cho có một nghiệm
2
3
1
6
x
y
=
= −
2
2( 2) 6 6 (1)
( 2) 2 1. 4 5 (2)
x x y
x y y x x
− + = −
− + = + − +
ĐK:
1
6
y
x
≥ −
≥ −
. Do PT (2) ta có:
2x
≥
, khi đó (1) phải có:
6y ≤
.
Vậy điều kiện là:
1 6
2
y
x
− ≤ ≤
≥
(*)
(2)
2
2
2
1
2 ( 2) 1
( 2) 1 ( 1) 1
2
( 2) 1
y
x x y
x y
y
x
+
− − +
⇔ = ⇔ =
− + + +
+
− +
(3)
14
Luyện thi đại học về hệ phương trình
PT (3) có dạng:
( )
2
2 ( 1)f x f y
− = +
, với
( )
( ) , 0 (*)
1
t
f t t do
t
= ∀ ≥
+
Ta có:
2
1 1
'( ) . 0 , 0
( 1)
2
t
f t t
t
t
+
= > ∀ >
+
. Tại t = 0 thì f(t) = 0 nên f’(t) = 0
Vậy
'( ) 0 , 0 ( )f t t f t≥ ∀ ≥ ⇒
đồng biến trên
[
)
0;+∞
Do đó
( )
2
2 2
2 ( 1) ( 2) 1 ( 2) 1f x f y x y y x
− = + ⇔ − = + ⇔ = − −
thay vào (1) được:
2
2( 2) 6 7 ( 2)x x x− + = − −
(4) . Đặt
2 0t x= − ≥
thì PT (4) cho:
2
2
2 2 4
4 3 2
7 0 7
2 8 7
4 ( 8) 49 14
4 46 49 0
t t
t t t
t t t t
t t t
− ≥ ≤
+ = − ⇔ ⇔
+ = − +
− − + =
3 2
1
0 7
0 7
( 1)( 3 49 49) 0
0
t
t
t
t t t t
=
≤ ≤
⇔ ⇔
≤ ≤
− − − − =
=
Xét
3 2
( ) 3 49 49g t t t t= − − −
, với
0 7t≤ ≤
:
Ta có:
2
'( ) 3 6 49 0 , 0; 7 ( )g t t t t g t
= − − < ∀ ∈ ⇒
nghịch biến trên đoạn
0; 7
Do đó với
0 ( ) (0) 49 0t g t g≥ ⇒ ≤ = − <
nên phương trình g(t) = 0 vô nghiệm trên
0; 7
Vậy phương trình theo t có nghiệm duy nhất t = 1. Từ đó ta có: x = 3 và y = 0
Nghiệm của hệ đã cho là: (x; y) = (3; 0)
−=+
=
+
++
)2(yxyx
)1(16
yx
xy8
yx
2
22
Điều kiện:
0x y+ >
(1) ⇔ (x
2
+ y
2
)(x + y) + 8xy = 16(x + y) ⇔ [(x + y)
2
– 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy = 0
⇔ (x + y)
3
– 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = 0 ⇔ (x + y)[(x + y)
2
– 16] – 2xy(x + y – 4)
= 0
⇔ (x + y – 4)[(x + y)(x + y + 4) – 2xy] = 0 ⇔
2 2
x y 4 0 (3)
x y 4(x y) 0 (4)
+ − =
+ + + =
Từ (3) ⇒ x + y = 4, thế vào (2) ta được: x
2
+ x – 4 = 2 ⇔ x
2
+ x – 6 = 0 ⇔
x 3 y 7
x 2 y 2
= − ⇒ =
= ⇒ =
.
(4) vô nghiệm vì: x
2
+ y
2
≥ 0 và x + y > 0.
Vậy hệ có hai nghiệm là (–3; 7); (2; 2)
15
Luyện thi đại học về hệ phương trình
3 3 1
( , )
5 3 5 3 4
x y xy
x y
x y
+ − =
∈
+ + + =
¡
Đk: Từ hệ suy ra đk
0
0
x
y
≥
≥
Hệ đã cho tương đương với:
6 6 2 2
4 5 3 4 5 3 16
x y xy
x y
+ − =
+ + + =
6 6 2 2
5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 2 0
x y xy
x x y y x xy y
+ − =
⇔
+ − + + + + − + + + − + =
( ) ( ) ( )
2 2 2
6 6 2 2
5 3 2 5 3 2 0
x y xy
x x x y
+ − =
⇔
+ − + + − + − =
6 6 2 2
5 3 2
1
5
5 3 2
x y xy
x
x y
y
x y
+ − =
+ =
⇔ ⇔ = =
+ =
=
.
Vậy hệ phương trình có một nghiệm
1 1
;
5 5
÷
Hệ đã cho tương đương với
3(5 5 ) 5 5 3(5 5 ) 5 5
5 5 2 (5 3)(5 3) 6 16 5 5 2 3(5 5 ) 25 9 10
x y xy x y xy
x y x y x y x y xy
+ − = + − =
⇔
+ + + + + = + + + + + =
Đặt
5 5 , 5u x y v xy= + =
. ĐK:
0, 0u v≥ ≥
. Hệ trở thành:
2
2 2
3 5
3 5 3 5
2 3 (3 5) 9 10
2 3 9 10 2 9 27 34 10 (*)
v u
u v v u
u u u
u u v u u u
= −
− = = −
⇔ ⇔
+ + − + =
+ + + = − + = −
Do ĐK của u, v nên
2 2 2
5 5
10 10
(*) 2
3 3
49( 27 34) (10 ) 35 88 36 0
u u
u
u u u u u
≤ ≤ ≤ ≤
⇔ ⇔ ⇔ =
− + = − − + =
Với u = 2 ⇒ v = 1, ta được hệ:
5 5 2
5 5 2
1
1
5
5 1
25
x y
x y
x y
xy
xy
+ =
+ =
⇔ ⇔ = =
=
=
.Vậy hệ phương
trình có một nghiệm
1 1
;
5 5
÷
16
