Luyện thi đại học chuyên đề khảo sát hàm số

Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 1

CHUyªn ®Ò kh¶o s¸t hµm sè
A. Mét sè d¹ng to¸n th−êng gÆp


Phương pháp :
TXð : D = R.
Ta có:
, 2
y ax bx c
= + +
. ðể hàm số ñồng biến trên R thì
,
0
0,
0
a
y x R
>

≥ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

.


Phương pháp :

TXð : D = R.
Ta có:
, 2
y ax bx c
= + +
. ðể hàm số nghịch biến trên R thì
,
0
0,
0
a
y x R
<

≤ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

.


Phương pháp :
Ta có:
, 2
y ax bx c
= + +
. ðể hàm số ñồng biến trên
(
)
,

m
α β
∀
. Ta xét hai trường hợp.
TH1: Hàm số ñồng biến trên R
m
∀
thì
,
0
0,
0
a
y x R
>

≥ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

.
TH2: Hàm số ñồng biến trên
(
)
,
m
α β
∀

thì

,
0
y
=
ph
ả
i có hai nghi
ệ
m th
ỏ
a mãn
+ N
ế
u
0
a
<
thì
,
0
y
=
ph
ả
i có hai nghi
ệ
m th
ỏ
a mãn :

(
)
( )
'
1 2
'
. 0

. 0
a f
x x
a f
α
α β
β

<

< < < ⇔

<



+ Nếu
0
a
>
thì
,

0
y
=
phải có hai nghiệm thỏa mãn :
Dạng 1: Cho hàm số
(
)
y f x
= có chứa tham số m. ðịnh m ñể hàm số ñồng biến trên R.
Dạng 2: Cho hàm số
(
)
y f x
= có chứa tham số m. ðịnh m ñể hàm số nghịch biến trên R.
Dạng 3: Cho hàm số
(
)
y f x
= có chứa tham số m. ðịnh m ñể hàm số ñồng biến trên
(
)
,
m
α β
∀
.
Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 2

( )
( )
( )
( )
'
'
1 2
1 2
'
'
0
. 0
. 0
2
0
. 0
. 0
2
a f
a f
S
x x
x x
a f
a f
S
α
β
β

α β
α β
α
β
α
 ∆ >



>





>




>


< < <



⇔



< < <
∆ >




>





>




<







Ph
ương
pháp
:
Ta có:

, 2
y ax bx c
= + +
. ðể hàm số nghịch biến trên
(
)
,
m
α β
∀
. Ta xét hai trường hợp.
TH1: Hàm số nghịch biến trên R
m
∀
thì
,
0
0,
0
a
y x R
<

≤ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

.
TH2: Hàm số nghịch biến trên
(

)
,
m
α β
∀
thì
,
0
y
=
phải có hai nghiệm thỏa mãn
+ Nếu
0
a
<
thì
,
0
y
=
phải có hai nghiệm thỏa mãn :


( )
( )
( )
( )
'
'
1 2

1 2
'
'
0
. 0
. 0
2
0
. 0
. 0
2
a f
a f
S
x x
x x
a f
a f
S
α
β
β
α β
α β
α
β
α
 ∆ >




>





>




>


< < <



⇔


< < <
∆ >




>






>




<





+ Nếu
0
a
>
thì
,
0
y
=
phải có hai nghiệm thỏa mãn :

(
)
( )
'

1 2
'
. 0

. 0
a f
x x
a f
α
α β
β

<

< < < ⇔

<



Phương pháp :
+ Ta có:
, 2
y ax bx c
= + +
.
+ Tìm
ñiều kiện ñể hàm số có khoảng ñồng biến và nghịch biến.
Dạng 4: Cho hàm số
(

)
y f x
= có chứa tham số m. ðịnh m ñể hàm số nghịch biến trên
(
)
,
m
α β
∀
.
Dạng 5:
Cho hàm s
ố

(
)
y f x
=
có ch
ứ
a tham s
ố
m.
ðịnh m ñể hàm số nghịch biến (ñồng biến)
trên trên khoảng có ñộ dài bằng d.
Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 3

0
0
a
≠


∆ >


+ Biến ñổi
1 2
x x d
− =
thành
( ) ( )
2
2
1 2 1 2
4
x x x x d
+ − = ∗
.
+ Áp dụng ñịnh lí viet ñể chuyển
(
)
∗
về phương trình theo m.

Phương pháp :
TXð : D = R.
Ta có:
, 2
y ax bx c
= + +
. ðồ thị hàm số có cực trị khi phương trình
,
0
y
=
có 2 nghiệm phân biệt và
,
y

ñổi dấu khi ñi qua 2 nghiệm ñó
0
0
a
≠

⇔

∆ >

.
Phương pháp :
TXð : D = R.

Ta có:
, 2
y ax bx c
= + +
.
Xét phương trình
,
0
y
=
, ta có:

0,
m
∆ = > ∀
.
Vậ
y v
ớ
i m
ọ
i m,
ñồ
th
ị
hàm s
ố

ñ
ã cho luôn luôn có c

ự
c tr
ị
.

Ph
ươ

TX
ð
: D = R

Ta có
Hàm s
ố
không có c
ự
c tr
ị
khi
,
y
không
ñổ
i d
ấ
u trên toàn t
ậ
p xác
ñị

nh
0
0
a
≠

⇔

∆ ≤

.

Ph
ươ
ng pháp :

TX
ð
: D = R.
Dạng 6:
Cho hàm s
ố

(
)
y f x
= có ch
ứ
a tham s
ố

m.
ðịnh m ñể ñồ thị hàm số có cực trị
.

Dạng 7:
Cho hàm s
ố

(
)
y f x
=
có ch
ứ
a tham s
ố
m.
Chứng minh rằng với mọi m ñồ thị hàm số
luôn luôn có cực trị.
Dạng 8:
Cho hàm s
ố

(
)
y f x
=
có ch
ứ
a tham s

ố
m.
ðịnh m ñể ñồ thị hàm số không có cực trị.
Dạng 9:
Cho hàm s
ố

(
)
y f x
=
có ch
ứ
a tham s
ố
m.
ðịnh m ñể ñồ thị hàm số ñạt cực ñại tại
0
x
.
Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 4

Ta có:
, 2
y ax bx c
= + +
.
ðể hàm số ñạt cực ñại tại

0
x
thì
(
)
( )
'
0
''
0
0
0
f x
f x

=


<


.





Phương pháp :
TXð : D = R.
Ta có:

, 2
y ax bx c
= + +
.
ðể hàm số ñạt cực ñại tại
0
x
thì
(
)
( )
'
0
''
0
0
0
f x
f x

=


>


.
Phương pháp :
TXð : D = R.
Ta có:

, 2
y ax bx c
= + +
.
ðể hàm số ñạt cực trị bằng h tại
0
x
thì
(
)
( )
'
0
0
0
f x
f x h

=


=


.
Phương pháp :
TXð : D = R.
Ta có:
, 2
y ax bx c

= + +
.
ðể hàm số ñi qua ñiểm cực trị
(
)
0 0
,
M x y
thì
(
)
( )
'
0
0 0
0
f x
f x y

=


=


.
Dạng 10: Cho hàm số
(
)
y f x

= có chứa tham số m. ðịnh m ñể ñồ thị hàm số ñạt cực tiểu tại
0
x
.
Dạng 11: Cho hàm số
(
)
y f x
= có chứa tham số m. ðịnh m ñể ñồ thị hàm số ñạt cực trị bằng h
tại
0
x
.
Dạng 12: Cho hàm số
(
)
y f x
= có chứa tham số m. ðịnh m ñể ñồ thị hàm số ñi qua ñiểm cực
trị
(
)
0 0
,
M x y

Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 5

Phương pháp :

TXð: D = R.
Ta có:
(
)
(
)
, ' '
0

y f x f x
= ⇒ .
G
ọ
i k là h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a PTTT t
ạ
i M. Suy ra k =
(
)
'
0

f x
.
V

ậ
y PTTT t
ạ
i M là:
(
)
(
)
'
0 0 0
y f x x x y
= − +
.

Các dạng thường gặp khác :
1.
Vi
ế
t PTTT v
ớ
i
ñồ
th
ị

(
)
C
t
ạ

i
ñ
i
ể
m có hoành
ñộ

0
x
.
Ta tìm :

(
)
( ) ( )
0 0
' '
0


y f x
f x f x
+ =
+ ⇒

Suy ra ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy

ế
n c
ầ
n tìm là :

(
)
(
)
'
0 0 0
y f x x x y
= − +
.
2.
Vi
ế
t PTTT v
ớ
i
ñồ
th
ị

(
)
C
t
ạ
i

ñ
i
ể
m th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình
(
)
''
0
0
f x
=
.
Ta tìm :
+
(
)
(
)
' ''
,
f x f x
.
+ Giải phương trình
(
)
''

0
0
f x x
=
⇒
.
+
0
y
và
(
)
'
0

f x
. Suy ra PTTT.

Phương pháp
a.
Tính
Vì
PTTT
Ta có :
(
)
'
f x a
=
(Nghiệm của phương trình này chính là hoành ñộ tiếp ñiểm).

Tính
0
y
tương ứng với mỗi
0
x
tìm ñược.
Suy ra tiếp tuyến cần tìm là :
(
)
0 0
y a x x y
= − +
.
b. Tính
(
)
, '
y f x
= .
Dạng 13: Cho hàm số
(
)
y f x
= có ñồ thị
(
)
C
và
(

)
(
)
0 0
,
M x y C
∈ . Viết PTTT tại ñiểm
(
)
0 0
,
M x y

Dạng 14: Cho hàm số
(
)
y f x
= có ñồ thị
(
)
C
. Viết PTTT
(
)
d
của
(
)
C
, biết tiếp tuyến

a. Song song với ñường thẳng
y ax b
= +
.
b. Vuông góc với ñường thẳng
y ax b
= +
.
Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 6

Vì PTTT
(
)
d
vuông góc với ñường thẳng
y ax b
= +
nên
(
)
d
có hệ số góc bằng
1
a
−
.
Ta có :
( )

'
1
f x
a
= −
(Nghiệm của phương trình này chính là hoành ñộ tiếp ñiểm).
Tính
0
y
tương ứng với mỗi
0
x
tìm ñược.
Suy ra tiếp tuyến cần tìm là :
( )
0 0
1
y x x y
a
= − − +
.
Chú ý:
- ðường phân giác của góc phần tư thứ nhất là
y x
=
.
- ðường phân giác của góc phần tư thứ hai là
y x
= −
.

Phương pháp :
Tính
(
)
, '
y f x
=
.
Giải phương trình
(
)
'
0
f x
=
, ta ñược các ñiểm cực trị :
[
]
1 2
, , ,
x x a b
∈ .
Tính:
(
)
(
)
(
)
(

)
1 2
, , ,
f a f b f x f x
Từ ñó suy ra
[ ]
,

a b
Max y =
,
[ ]
,

a b
Min y =

Ph
ươ
ng pháp :

Ta có :
(
)
,
y f m x
=

(
)

0, 1
Am B m⇔ + = ∀ .
Ho
ặ
c
(
)
2
0, 2
Am Bm C m+ + = ∀ .

ðồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
1
luôn
ñ
i qua
ñ
i
ể
m
(
)
,

M x y
khi
(
)
,
x y
là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình:


( )
0

0
A
a
B
=


=

(

ðố
i v
ớ
i
(
)
1
) .
Ho
ặ
c
( )
0
0
0
A
B b
C
=


=


=

(
ðố
i v
ớ

i
(
)
2
) .
Dạng 15:
Cho hàm s
ố

(
)
y f x
=
có
ñồ
th
ị

(
)
C
.
Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên
[
]
,
a b
.
Dạng 16:
Cho h

ọ

ñườ
ng cong
(
)
,
y f m x
=
v
ớ
i m là tham s
ố
. Tìm
ñiểm cố ñịnh
mà h
ọ

ñườ
ng cong
trên
ñ
i qua v
ớ
i m
ọ
i m.

Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 7

Giải
(
)
a
hoặc
(
)
b
tìm
x
rồi suy ra
y
tương ứng.
Từ ñó kết luận các ñiểm cố ñịnh cần tìm.
Phương pháp :
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của
(
)
y f x
= và
(
)
y g x
= là :
(
)
(
)

f x g x
=

(
)
(
)
(
)
0
f x g x
⇔ − = ∗


Số giao ñiểm của hai ñồ thị
(
)
1
C
và
(
)
2
C
chính là số nghiệm của phương trình
(
)
∗
.

Phương pháp :
Ta có
(
)
(
)
0
f x g x
+ =


(
)
(
)
f x g x
⇔ =

(
)
∗

Số nghiệm của
(
)
∗
chính là số giao ñiểm của ñồ thị
(

)
(
)
:
C y f x
=
và ñường thẳng
(
)
(
)
:
d y g x
=
.
Dựa vào ñồ thị ta có ……



Phương pháp :
Tịnh tiến hệ trục
Oxy
thành hệ trục
OXY
theo vectơ
(
)
0 0
,
OI x y

=

.
Công thức ñổi trục :
0
0
x X x
y Y y
= +


= +

.
Thế vào
(
)
y f x
= ta ñược
(
)
Y f X
= . Ta cần chứng minh
(
)
Y f X
= là hàm số lẻ, suy ra
(
)
0 0

,
I x y
là
tâm ñối xứng của
(
)
C
.
Dạng 17: Giả sử
(
)
1
C
là ñồ thị của hàm số
(
)
y f x
=
. Và
(
)
2
C
là ñồ thị của hàm số
(
)
y g x
=
. Biện
luận số giao ñiểm của hai ñồ thị

(
)
1
C
và
(
)
2
C
.
Dạng 18: Dựa vào ñồ thị hàm số
(
)
y f x
= biện luận theo m số nghiệm của phương
trình
(
)
(
)
0
f x g x
+ =

Dạng 19: Cho ñồ thị hàm số
(
)
y f x
= , có ñồ thị
(

)
C
. CMR ñiểm
(
)
0 0
,
I x y
là tâm ñối
xứng của
(
)
C
.
Dạng 20:
Cho
ñ
ò th
ị
hàm s
ố

(
)
y f x
=
, có
ñồ
th
ị

(
)
C
.
CMR ñường thẳng
0
x x
=
là trục ñối xứng
của
(
)
C
.
Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 8

Phương pháp :
ðổi trục bằng phép tịnh tiến theo vectơ
(
)
0
,0
OI x=

.
Công thức ñổi trục :
0

x X x
y Y
= +


=


Thế vào
(
)
y f x
=
ta ñược
(
)
Y f X
=
. Ta cần chứng minh
(
)
Y f X
=
là hàm số chẵn, suy ra ñường
thẳng
0
x x
=
là trục ñối xứng của
(

)
C
.



Phương pháp
:
Hai ñường cong có phương trình
(
)
y f x
=
và
(
)
y g x
=
tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương
trình
(
)
(
)
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x
=



=



Có nghiệm và nghiệm của phương trình trên là hoành ñộ tiếp ñiểm của hai ñường cong ñó.


Phương pháp :
+ Giả sử
(
)
0 0
,
A x y
.
+ Phươ
ng trình ñường thẳng ñi qua
(
)
0 0
,
A x y
có hệ số góc k có dạng :

(
)
(
)
0 0

:
d y k x x y
= − +
.
+ ðường thẳng
(
)
d
tiếp xúc với ñồ thị
(
)
C
khi hệ sau có nghiệm

(
)
(
)
(
)
( ) ( )
0 0
'
1

2
f x k x x y
f x k
= − +



=



Thay
(
)
2
vào
(
)
1
ta ñược :
(
)
(
)
(
)
(
)
'
0 0
3
f x f x x x y= − +
+ Khi ñó số nghiệm phân biệt của
(
)
3

là số tiếp tuyến kẽ từ A tới ñồ thị
(
)
C
.
+ Do ñó từ A kẽ ñược n tiếp tuyến tới ñồ thị
(
)
C

⇔
có n nghiệm phân biệt
⇒
ñiểm A (nếu có).
Phương pháp :
Ta có:
, 2
y ax bx c
= + +
.
Dạng 21: Sự tiếp xúc của hai ñường cong có phương trình
(
)
y f x
= và
(
)
y g x
= .
Dạng 22: Tìm ñiểm A, từ A kẽ ñược n tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số

(
)
y f x
= ,
(
)
C
.
Dạng 23: ðịnh ñiều kiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có Cð, CT nằm về hai phía ñường thẳng
(
)
d
.
Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 9

+ ðịnh ñiều kiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có các ñiểm cực trị
(
)
1 1 1
,
M x y
và
(
)
2 2 2
,
M x y
.

1
x
,
2
x
là
nghiệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
'
0
y
=

> 0
⇒ ∆
.
1.
N
ế
u
ñườ
ng th
ẳ
ng
(
)

d
là tr
ụ
c
Oy
thì yêu c
ầ
u bài toán
(
)
'
1 2
0 . 0 0
x x a y
⇔ < < ⇔ <
.
2. Nếu ñường thẳng
(
)
d
là trục
Ox
thì yêu cầu bài toán
(
)
(
)
1 2
. 0 . 0
Cð CT

y y f x f x
⇔ < ⇔ <
.
3. Nếu ñường thẳng
(
)
d
là ñường thẳng
x m
=
thì yêu cầu bài toán
(
)
'
1 2
. 0
x m x a y m
⇔ < < ⇔ <
.
4. Nếu ñường thẳng
(
)
d
là ñường thẳng
0
ax by c
+ + =
thì yêu cầu bài toán

(

)
(
)
1 1 2 2
0
ax by c ax by c
⇔ + + + + <
.

Phương pháp :
+ ðịnh ñiều kiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có các ñiểm cực trị
(
)
1 1 1
,
M x y
và
(
)
2 2 2
,
M x y
.
1
x
,
2
x
là
nghiệm của phương trình

'
0
y
=

> 0
⇒ ∆
.
1. Nếu ñường thẳng
(
)
d
là trục
Oy
thì yêu cầu bài toán
( )
( )
'
1 2
1 2
'
0
. 0 0
0
0
2

0
0
. 0 0

0
2
a f
S
x x
x x
a f
S




∆ >


>






<
< <



⇔ ⇔



< <




∆ >



>





>




2.
N
ế
u
ñườ
ng th
ẳ
ng
(
)

d
là tr
ụ
c
Ox
thì yêu c
ầ
u bài toán
(
)
(
)
1 2
. 0 . 0
Cð CT
y y f x f x
⇔ > ⇔ >
.

Dạng 24: ðịnh ñiều kiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có Cð, CT nằm về một phía ñường thẳng
(
)
d
.
Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 10

3. Nếu ñường thẳng
(

)
d
là ñường thẳng
x m
=
thì yêu cầu bài toán
( )
( )
'
1 2
1 2
'
0
. 0
2
0
. 0
2
a f m
S
m
x x m
m x x
a f m
S
m





∆ >


>






<
< <



⇔ ⇔


< <




∆ >



>






>



.
4. Nếu ñường thẳng
(
)
d
là ñường thẳng
0
ax by c
+ + =
thì yêu cầu bài toán

(
)
(
)
1 1 2 2
0
ax by c ax by c
⇔ + + + + >
.
Phương pháp
:

+
Xét
(
)
0 0
,
M x y
thu
ộc
(
)
C

(
)
(
)
0 0
,
M x f x
⇔ .
+ Tính khoảng cách từ
M
ñế
n ñường tiệm cận thứ nhất là
1
d
.
+ Tính khoảng cách từ
M

ñế
n ñường tiệm cận thứ nhất là
2
d
.
+ Vậy tổng khoảng cách từ
M
ñế
n hai ñường tiệm cận là
1 2
d d d
= +
.
+ Dùng bất ñẳng thức côsi
⇒
kết quả.



Phương pháp :
+ Xét
(
)
0 0
,
M x y
thuộc
(
)
C

(
)
(
)
0 0
,
M x f x
⇔ .
+ ðặt
(
)
(
)
0 0
, ,
P d M Ox d M Oy P x y
= +
⇒
= + .
+ Nháp : Cho
0 0 0 0
0 ; 0
x y A y x B
= ⇒ = = ⇒ =
.
+ Gọi
(
)
min ;

L A B
=
.
+ Ta xét 2 trường hợp
- TH1:
0
x L P L
>
⇒
>
.
- TH2
:
0
x L
≤
bằng phương pháp ñạo hàm suy ra ñược kết quả.
Dạng 25: Tìm ñiểm trên ñồ thị
(
)
C
sao cho : Tổng khoảng cách từ ñó ñến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
Dạng 26: Tìm ñiểm trên ñồ thị
(
)
C
sao cho : Tổng khoảng cách từ ñó ñến 2 trục tọa ñộ nhỏ
nh
ấ
t.

Dạng 27: Lập phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị của hàm số bậc 3
(
)
m
C
. Khi
không tìm ñược hai ñiểm cực trị.
Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 11

Phương pháp :
+ Chia
' '
y cx d
ax b
y y
+
= + +
. (
cx d
+
là phần dư của phép chia).

(
)
'
.
y ax b y cx d

⇒ = + + +
.
+ Gọi
(
)
1 1
,
A x y
,
(
)
2 2
,
B x y
là hai ñiểm cực trị của hàm số
(
)
m
C

(
)
(
)
' '
1 2
0
y x y x
⇒ = =
.

+ Do :

(
)
(
)
(
)
( )
'
1 1 1 1
1 1
.
1
m
A C y ax b y x cx d
y cx d
∈ ⇒ = + + +
= +



(
)
(
)
(
)
( )
'

1 2 2 2
1 2
.
2
m
B C y ax b y x cx d
y cx d
∈ ⇒ = + + +
= +

+ T
ừ

(
)
1
và
(
)
2
suy ra
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua hai
ñ
i
ể

m c
ự
c tr
ị
là
y cx d
= +
.






Ph
ươ
ng pháp :
+
ðặ
t
(
)
( )
u x
y
v x
=
.
+
(

)
(
)
(
)
(
)
( )
' '
'
2
u x v x v x u x
y
v x
−
=
 
 
.
+ G
ọ
i
(
)
1 1
,
A x y
,
(
)

2 2
,
B x y
là hai
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố

(
)
m
C

(
)
(
)
' '
1 2
0
y x y x
⇒ = =

.
+ Do :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
'
1 1
' ' '
1 1 1 1 1
'
1 1
0 0 1
u x u x
y x u x v x v x u x
v x v x
= ⇔ − = ⇔ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
)
( )
(
)
( )
( )

'
2 2
' ' '
2 2 2 2 2
'
2 2
0 0 2
u x u x
y x u x v x v x u x
v x v x
= ⇔ − = ⇔ =
+ Từ
(
)
1
và
(
)
2
suy ra ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị là
(
)
( )
'
'
u x
y
v x
=
.

D
ạ
ng
28
:

Lập phương trình
ñ
ư
ờ
ng th
ẳ
ng ñi qua hai ñi
ể
m c
ự
c tr
ị
của hàm số hữu
tỉ
( )
2
m
ax cx d
y C
ex f
+ +
=
+
. Khi không tìm ñược hai ñiểm cực trị.

Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 12



Phương pháp :
+ Tập hợp các cách ñều hai trục tọa ñộ là trong
Oxy
là những ñường thẳng
y x
=
và
y x
= −
. Do ñó:
+ Tọa ñộ của ñiểm thuộc
(
)
(
)
:
C y f x
=
ñồ
ng th
ờ
i cách
ñề
u hai tr

ụ
c t
ọ
a
ñộ
là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng
trình

(
)
( )
y f x
y x
y f x
y x

=




=




=





= −



suy ra k
ế
t qu
ả
.


Phương pháp
:
+
ðị
nh
ñ
i
ề
u ki
ệ

n
ñể
hàm s
ố
có C
ð
và CT
0
⇒ ∆ >
.
+ L
ậ
p ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng
(
)
d

ñ
i qua hai
ñ
i
ể
m c
ự

c tr
ị
.
+ G
ọ
i I là trung
ñ
i
ể
m
ñ
o
ạ
n n
ố
i hai
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
.
+ Yêu c
ầ
u bài toán
( )
0
y mx n d

I y mx n
∆ >


⇔ = + ⊥


∈ = +

.


Ph
ươ
ng pháp :
+ Gi
ả
s
ử

(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1
, : 1

M x y C y f x∈ = .
+ Gọi
(
)
2 2
,
N x y
là ñiểm ñối xứng với M qua I, suy ra tọa ñộ ñiểm N theo
1 1
,
x y
.
+ Do
(
)
(
)
(
)
2 2
: 2
N C y f x∈ =
+ Giải hệ
(
)
1
và
(
)
2

, tìm
1 1
,
x y
suy ra
2 2
,
x y
.

Dạng 29: Tìm trên ñồ thị hàm số
(
)
(
)
:
C y f x
= tất cả các ñiểm cách ñều hai trục tọa ñộ.
D
ạ
ng
30
:

ðịnh ñiều kiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có ñiểm
Cð và CT ñ
ố
i x
ứ
ng v

ớ
i nhau qua
ñường thẳng
(
)
0
y mx n m
= + ≠
.
Dạng 31: Tìm 2 ñiểm thuộc ñồ thị
(
)
(
)
:
C y f x
= ñối xứng nhau qua ñiểm
(
)
0 0
,
I x y
.
Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 13

b. Bµi tËp

Bài 1: Cho hàm số
( ) ( ) ( )
3 2
1
1 3 2
3
m
y m x mx m x C
= − + + −
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 2.
b. Tìm m ñể hàm số
(
)
m
C
ñồng biến trên tập xác ñịnh của nó.
Bài 2: Cho hàm số
(
)
3 2
3 4
m
y x x mx C
= + − − .

a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
khi m = 0.
b.
Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
c
ủ
a m
ñể
hàm s
ố

(
)
m
C

ñồ
ng bi
ế
n trên kho
ả
ng

(
)
,0
−∞
.
Bài 3: Cho hàm số
(
)
(
)
(
)
3 2
2 3 2 1 6 1 1
m
y x m x m m x C
= − + + + + .
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 0.
b. Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên khoảng
(
)
2,
+∞
.
Bài 4: Cho hàm số
( )
4

m
mx

y C
x m
+
=
+
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = -1.
b. Tìm m ñể hàm số nghịch biến trên khoảng
(
)
,1
−∞
.
Bài 5: Cho hàm số
(
)
4 2
2 3 1
m
y x mx m C
= − − + .
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 1.
b. Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên khoảng
(
)
1,2
.
Bài 6: Cho hàm số
(
)

3 2
3
m
y x x mx m C
= + + +
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = -1.
b. Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên một ñoạn có ñộ dài ñúng bằng 1.



Bài 7: Cho hàm số
(
)
3 2
3 2
m
y x x mx m C
= + + + −
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 3.
b. Tìm m ñể hàm số
(
)
m
C
có các ñiểm Cð và CT nằm về hai phía của trục hoành.
Dạng 1: Tính ñơn ñiệu của hàm số.
Dạng 2: Cực trị của hàm số.
Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 14

Bài 8: Cho hàm số
(
)
(
)
(
)
3 2 2
2 1 3 2 4
m
y x m x m m x C
= − + + − − + −

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 1.
b. Tìm m ñể hàm số
(
)
m
C
có các ñiểm Cð và CT nằm về hai phía của trục tung.
Bài 9: Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
2 1 3
3
m
y x mx m x C

= − + − −
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 2.
b. Tìm m ñể hàm số
(
)
m
C
có các ñiểm Cð và CT nằm về cùng một phía của trục tung.
Bài 10: Cho hàm số
(
)
3 2
3 2
m
y x x mx C
= − − +

a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
khi m = 1.
b.
Tìm m

ñể
hàm s
ố

(
)
m
C
có các
ñ
i
ể
m C
ð
và CT cách
ñề
u
ñườ
ng th
ẳ
ng
1
y x
= −
.
Bài 11:
Cho hàm s
ố
(
)

3 2
3 3 1
m
y x mx m C
= − + − −
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 1.
b. Tìm m ñể hàm số
(
)
m
C
có các ñiểm Cð và CT ñối xứng qua ñường thẳng
(
)
: 8 74 0
d x y
+ − =
.
Bài 12: Cho hàm số
(
)
(
)
(
)
3 2
1 2 2 2
m
y x m x m x m C
= + − + − + +

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 1.
b. Tìm m ñể hàm số
(
)
m
C
ñạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
1
3
x x
− >
.
Bài 13: Cho hàm số
(
)
3 2
4 3
m
y x mx x C
= + −
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 0.
b. Tìm m ñể hàm số
(
)
m

C
ñạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
4
x x
= −
.
Bài 14: Cho hàm số
(
)
(
)
3 2
2 3 5
m
y m x x mx C
= + + + −
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 0.
b. Tìm m ñể các ñiểm cực ñại, cực tiểu của hàm số
(
)
m
C
có hoành ñộ là các số dương.
Bài 15: Cho hàm số
(

)
3 2
3 2
y x x C
= − +
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị .
b. Tìm ñiểm M thuộc ñường thẳng
(
)
: 3 2
d y x
= −
sao cho tổng khoảng cách từ M tới hai ñiểm
cực trị ñạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 16: Cho hàm số
(
)
(
)
(
)
3 2
1 2 2 2
m
y x m x m x m C
= + − + − + +
Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 15

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 2.
b. Tìm m ñể hàm số
(
)
m
C
có các ñiểm cực ñại, cực tiểu ñồng thời hoành ñộ của ñiểm cực tiểu nhỏ
hơn 1.
Bài 17: Cho hàm số
(
)
(
)
3 2 2 3
3 3 1 + m
m
y x mx m x m C
= − + − −

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 1.
b. Tìm m ñể hàm số
(
)
m
C
có cực trị ñồng thời khoảng cách từ ñiểm cực ñại ñến gốc tọa ñộ O bằng

2
lần khoảng cách từ cực tiểu ñến gốc tọa ñộ O.
Bài 18: Cho hàm số

(
)
3 2
3 2
m
y x x mx C
= − − +
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 1.
b. Tìm m ñể hàm số
(
)
m
C
có cực ñại và cực tiểu, ñồng thời ñường thẳng ñi qua các ñiểm cực trị
tạo với ñường thẳng
4 5 0
x y
+ − =
m
ộ
t góc
0
45
.
Bài 19:
Cho hàm s
ố
(
)
(

)
4 2 2
2 2 5m + 5
m
y x m x m C
= + − + −

a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
khi m = 1.
b.
Tìm m
ñể
hàm s
ố

(
)
m
C
có c
ự
c

ñạ
i và c
ự
c ti
ể
u t
ạ
o thành m
ộ
t tam giác vuông cân.
Bài 20:
Cho hàm s
ố
(
)
4 2 2
2
m
y x mx m m C
= + + +

a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị

khi m = - 2.
b.
Tìm m
ñể
hàm s
ố

(
)
m
C
có c
ự
c
ñạ
i và c
ự
c ti
ể
u t
ạ
o thành m
ộ
t tam giác có m
ộ
t góc b
ằ
ng
0
120

.
Bài 21:
Cho hàm s
ố
(
)
4 2 4
2 2
m
y x mx m m C
= − + +

a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
khi m = 1.
b.
Tìm m
ñể
hàm s
ố

(
)

m
C
có c
ự
c
ñạ
i và c
ự
c ti
ể
u t
ạ
o thành m
ộ
t tam giác có di
ệ
n tích b
ằ
ng 4.
Bài 22:
Cho hàm s
ố

(
)
4 2
2 2 4
m
y x mx m C
= − + + .

a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
khi m = 1.
b.
Tìm m
ñể
hàm s
ố

(
)
m
C
có c
ự
c
ñạ
i, c
ự
c ti
ể
u l
ậ

p thành tam giác
ñề
u.


Bài 23:
Cho hàm s
ố
(
)
3 2
3 1
m
y x x mx C
= + + +

a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
khi m = 3.
D
ạ
ng
3

:
S
ự
tương giao.

Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 16

b. Tìm m ñể ñường thẳng
(
)
: 1
d y
=
cắ
t
ñồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
m
C
t
ạ
i ba

ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t
(
)
0,1 ; ;
A B C

sao cho các ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
m
C
t
ạ

i
B
và
C
vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 24:
Cho hàm s
ố
(
)
3 2
3 4
y x x C
= − +

a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
.
b.
G
ọ

i
(
)
d
là
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua
(
)
2,0
A có hệ số góc k. Tìm k ñể
(
)
d
cắt
(
)
C
tại ba ñiểm phân
biệt
; ;
A B C
sao cho các tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
(
)
m

C
tại
B
và
C
vuông góc với nhau.
Bài 25: Cho hàm số
(
)
(
)
(
)
3 2 2 2
3 3 1 1
m
y x mx m x m C
= − + − − −
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 0.
b. Tìm các giá trị của m ñể ñồ thị hàm số
(
)
m
C
cắt trục hoành tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ
dương.
Bài 26: Cho hàm số
( )
3 2
1 2

3 3
m
y x mx x m C
= − − + +

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = - 1.
b. Tìm các giá trị của m ñể ñồ thị hàm số
(
)
m
C
cắt trục hoành tại 3 ñiểm phân biệt có tổng bình
phương các hoành ñộ lớn hơn 15.
Bài 27: Cho hàm số
(
)
3 2
3 4
y x x C
= − +
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Cho ñiểm
(
)
1,0
I
−
. Xác ñịnh giá trị m ñể ñường thẳng

(
)
:
d y mx m
= +
cắt ñồ thị
(
)
C
tại 3
ñiểm phân biệt
, ,
I A B
sao cho
2 2
AB <
.
Bài 28: Cho hàm số
( )

2
m
m x
y C
x
−
=
+
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 1.

b. Tìm m ñể ñường thẳng
(
)
: 2 2 1 0
d x y
+ − =
cắt
(
)
m
C
tại hai ñiểm phân biệt
,
A B
sao cho tam
giác
OAB
có diệ
n tích b
ằ
ng
3
8
.
Bài 29:
Cho hàm s
ố
( )
2

1
x
y C
x
+
=
−
.
a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
.
b.
Cho
ñ
i
ể
m
(
)
0,
A a
tìm a
ñể

t
ừ

A
k
ẽ

ñượ
c 2 ti
ế
p tuy
ế
n t
ớ
i
ñồ
th
ị

(
)
C
sao cho 2 ti
ế
p
ñ
i
ể
m t
ươ

ng
Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 17

ứng nằm về 2 phía của trục hoành.
Bài 30: Cho hàm số
(
)
3
3 2
y x x C
= − + .
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Tìm ñiểm
(
)
M C
∈ sao cho tiếp tuyến tại
M
cắt
(
)
C
ở
N
mà
2 6
MN =
.

Bài 31: Cho hàm số
( )

1
m
x m
y C
x
+
=
−
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 1.
b. Tìm m ñể
(
)
m
C
cắt ñường thẳng
(
)
: 2 1
d y x
= +
tại hai ñiểm phân biệt sao cho tiếp tuyến tại ñó
song song với nhau.
Bài 32: Cho hàm số
( )
2 3

m
mx
y C
x m
+
=
−
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 1.
b. Tìm m ñể tiếp tuyến bất kỳ của
(
)
m
C
cắt hai ñường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích
bằng 8.
Bài 33: Cho hàm số
( ) ( ) ( )
3 2
1
1 4 3 1
3
m
y mx m x m x C
= + − + − +
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 1.
b. Tìm m sao cho trên ñồ thị
(
)

m
C
tồn tại một ñiểm duy nhất có hoành ñộ âm mà tiếp tuyến tại ñó
vuông góc với ñường thẳng
(
)
: 2 3 0
d x y
+ − =
.
Bài 34: Cho hàm số
( )
2

1
x
y C
x
+
=
+
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Gọi
I
là giao ñiểm của hai tiệm cận,
∆
là một tiếp tuyến bất kỳ của ñồ thị
(
)

C
.
d
là khoảng
cách từ
I
dến
∆
. Tìm giá trị lớn nhất của
d
.
Bài 35: Cho hàm số
23
23
++−=
xxy

(
)
C
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số
(
)
C
.
b. Tìm trên trục hoành những ñiểm mà từ ñó kẻ ñược ba tiếp tuyến tới ñồ thị của hàm số
(
)
C

.
Bài 36: Cho hàm số
( )
2

1
x
y C
x
+
=
−
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 18

b. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của ñồ thị
(
)
C
ñều lập với hai tiệm cận một tam giác có diện
tích không ñổi.
Bài 37: Cho hàm số:
(
)
3 2
1
m

y x mx m C
= + − − .
a. Khảo sát hàm số khi m = 3.
b. Gọi ñồ thị hàm số vừa vẽ là
(
)
3
C
. Hãy xác ñịnh các giá trị của a ñể các ñiểm cực ñại và cực tiểu
của
(
)
3
C
ở về hai phía khác nhau của ñường tròn (Phía trong và phía ngoài)

01542
222
=−+−−+ aayxyx

c. Viết phương trình tiếp tuyến tại các ñiểm cố ñịnh mà hàm số ñi qua với mọi m.
d. Tìm quỹ tích giao ñiểm các tiếp tuyến ñó khi m thay ñổi.
Bài 38: Cho hàm số
3 2
3 9 7
y x mx x
= − + −

(
)

m
C
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số khi m = 0.
b. Tìm m ñể
(
)
m
C
cắt trục hoành tại ba ñiểm phân biệt có hoành ñộ lập thành cấp số cộng.
Bài 39: Cho hàm số
3 2
3
y x mx mx
= − −
(
)
m
C
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số khi m = 1.
b. Tìm m ñể
(
)
m
C
cắt ñường thẳng
(
)
: 2

d y x
= +
t
ạ
i ba
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t có hoành
ñộ
l
ậ
p thành c
ấ
p
s
ố
nhân.

Bài 40:
Cho hàm s
ố

(
)
4 2
2 1 2 1
y x m x m

= − + + +

(
)
m
C
.
a.
Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

ñồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
khi m = 0.
b.
Tìm m
ñể

(

)
m
C
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i b
ố
n
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t có hoành
ñộ
l
ậ
p thành c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng.
Bài 41:
Cho hàm s

ố

(
)
4 2
3 2 3
y x m x m
= − + +
(
)
m
C
.
a.
Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

ñồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố

khi m = 0.
b.
Tìm m
ñể

ñườ
ng th
ẳ
ng
1
y
= −
c
ắ
t
ñồ
th
ị

(
)
m
C
t
ạ
i b
ố
n
ñ
i

ể
m phân bi
ệ
t
ñề
u có hoành
ñộ
nh
ỏ
h
ơ
n
2.
Bài 42:
Cho hàm s
ố

(
)
4 2
2 1 2 1
y x m x m
= − + + +

(
)
m
C
.
a.

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

ñồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
khi m = 0.
b.
Tìm m
ñể

(
)
m
C
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t

ạ
i ba
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t
ñề
u có hoành
ñộ
nh
ỏ
h
ơ
n 3.
Bài 43:
Cho hàm s
ố
( )
3

1
x
y C
x
−
=
+
.

Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 19

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Viết phương trình ñường thẳng
(
)
d
ñi qua ñiểm
(
)
1,1
I − và cát ñồ thị
(
)
C
tại hai ñiểm
,
M N

sao cho
I
là trung ñiểm của
MN
.
Bài 44: Cho hàm số
( )
2 4

1
x
y C
x
+
=
−
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Gọi
(
)
d
là ñường thẳng ñi qua
(
)
1,1
A và có hệ số góc k. Tìm k ñể
(
)
d
cắt
(
)
C
tại hai ñiểm

,
M N
sao cho

3 10
MN = .
Bài 45: Cho hàm số
( )
2 1

1
x
y C
x
−
=
−
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Tìm m ñể ñường thẳng
(
)
:
d y x m
= +
c
ắ
t
(
)
C
t
ạ
i hai

ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t
,
A B
sao cho
OAB
∆

vuông t
ạ
i
O
.


Bài 46:
Cho hàm s
ố

(
)
(
)
1133
2223
−−−+−=

mxmmxxy
(
)
m
C
.
a.
Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên c
ủ
a hàm s
ố
khi m = 0.
b.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
(
)

0
C
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
i qua
2
; 1
3
M
 
−
 
 
.
Bài 47:
Cho hàm s
ố

3 2
3 1
y x x
= − +

(

)
C
.
a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
.
b.
Tìm hai
ñ
i
ể
m
,
A B
thu
ộ
c
ñồ
th
ị

(
)

C
sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
(
)
C
t
ạ
i
A
và
B
song song v
ớ
i
nhau và
ñộ
dài
ñ
o
ạ
n
4 2
AB =
.

Bài 48: Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
1 4 3 1
3
y mx m x m x
= + − + − +

(
)
m
C
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số khi m = 1.
b. Tìm các giá trị của m sao cho trên ñồ thị
(
)
m
C
tồn tại một ñiểm duy nhất có hoành ñộ âm và
tiếp tuyến tại ñó vuông góc với ñường thẳng
(
)
: 2 3 0
d x y
+ − =
.
Bài 49: Cho hàm số
( )

2

2 3
x
y C
x
+
=
+
.
D
ạ
ng
4
:
Ti
ế
p tuy
ế
n.

Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 20

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
(
)
C

, biết tiếp tuyến ñó cắt trục hoành, trục tung
tại hai ñiểm phân biệt
,
A B
sao cho tam giác
OAB
cân tại gốc tọa ñộ
O
.
Bài 50: Cho hàm số
( )
2 1

1
x
y C
x
−
=
−
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Lập phương trình tiếp tuyến của ñồ thị
(
)
C
sao cho tiếp tuyến này cắt trục
Ox
và
Oy

lần lượt tại
các ñiểm
A
và
B
thỏa mãn
4
OA OB
=
.
Bài 51: Cho hàm số
( )
2 1

1
x
y C
x
+
=
−
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Gọi
I
là giao ñiểm của hai ñường tiệm cận. Tìm ñiểm
M
thuộc
(
)

C
sao cho tiếp tuyến của

(
)
C
tại
M
cắt hai tiệm cận tại
,
A B
sao cho tam giác
IAB
ñạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 52: Cho hàm số
( )
2 1

1
x
y C
x
−
=
−
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)

C
, biết khoảng cách từ ñiểm
(
)
1,2
I ñến tiếp tuyến bằng

2
.
Bài 53: Cho hàm số
( )
2 1

1
x
y C
x
+
=
+
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
, biết rằng tiếp tuyến cách ñều hai ñiểm
(
)
2,4

A và

(
)
4, 2
B
− −
.
Bài 54: Cho hàm số
( )
2 3

2
x
y C
x
−
=
−
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Viết phương trình tiếp tuyến tại ñiểm
M
thuộc
(
)
C
, biết rằng tiếp tuyến ñó cắt tiệm cận ñứng
và tiệm cận ngang lần lượt tại
,

A B
sao cho

4
17
CosABI =
với
I
là giao ñiểm của hai tiệm cận.
Bài 55: Cho hàm số
( )
2 1

1
x
y C
x
+
=
+
.
Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 21

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của ñồ thị
(
)
C

ñều lập với hai tiệm cận một tam giác có diện
tích không ñổi.


Bài 56: Cho hàm số
( )
4
2
5
3
2 2
x
y x C
= − +
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Tìm m ñể phương trình sau có 8 nghiệm phân biệt :
4 2 2
6 5 2
x x m m
− + = − .
Bài 57: Cho hàm số
(
)
4 2
5 4
y x x C
= − +
.
a.

Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
.
b.
Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình
4 2
2
5 4 log
x x m
− + = có 6 nghi
ệ
m.
Bài 58:
Cho hàm s
ố
(
)
4 2
8 9 1
y x x C

= − +
.
a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
.
b.
D
ự
a vào
ñồ
th
ị

(
)
C
bi
ệ
n lu
ậ
n nghi
ệ
m c

ủ
a ph
ươ
ng trình :

4 2
8cos 9cos 0
x x m
− + =
v
ớ
i

[
]
0,
x
π
∈ .
Bài 59: Cho hàm số
( )
3 4

2
x
y C
x
−
=
−

.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Tìm các giá trị của m ñể phương trình sau có 2 nghiệm trên ñoạn
2
0,
3
π
 
 
 
:

(
)
6 6 4 4
sin cos sin cos
x x m x x
+ = +
.
Bài 60: Cho hàm số
( )
1

1
x
y C
x
+
=
−

.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Dựa vào ñồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
1
1
x
m
x
+
=
−
.
Bài 61: Cho hàm số:
(
)
3 2
3 1
y x x C
= + +

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
Dạng 5: Biện luận số nghiệm của phương trình.
Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 22

b. Tìm m ñể phương trình 01133
23
=−+−+− mtt có bốn nghiệm phân biệt.

Bài 62: Cho hàm số
( )
2 1

1
x
y C
x
+
=
+
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Tìm trên
(
)
C
những ñiểm có tổng khoảng cách từ ñó ñến hai tiệm cận nhỏ nhất.
Bài 63: Cho hàm số
( )
3 1

2
x
y C
x
−
=
−

.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Tìm trên
(
)
C
những ñiểm cách ñều hai ñường tiệm cận.
Bài 64: Cho hàm số
( )
2 4

1
x
y C
x
−
=
+
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Tìm trên
(
)
C
hai ñiểm ñối xứng với nhau qua ñường thẳng
MN
, biết
(
)
3,0

M − và
(
)
1, 1
N
− −
.
Bài 65: Cho hàm số
( )
2

1
x
y C
x
=
−
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị.
b. Tìm trên
(
)
C
hai ñiểm
B
và
C
thuộc hai nhánh sao cho tam giác
ABC
vuông cân tại ñỉnh

(
)
2,0
A .


Bài 66: Cho hàm số
(
)
(
)
3 2 2 3 2
3 3 1
m
y x mx m x m m C
= − + + − + −
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 1.
b. Tìm k ñể phương trình
3 2 3 2
3 3 0
x x k k
− + + − =
có ñúng 3 nghiệm.
c. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị. (Khối A – 2002)
Bài 67: Cho hàm số
(
)
4 2 2

9 10
y mx m x
= + − +
( m là tham số ).
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 1.
b. Tìm m ñể hàm số có 3 cực trị. (Khối B – 2002)
D
ạ
n
g
6
:
ði
ể
m ñ
ặ
c bi
ệ
t c
ủ
a ñ
ồ
th
ị
.

M
ộ
t s
ố

ñ
ề
thi ñ
ạ
i h
ọ
c các năm

Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 23

Bài 68: Cho hàm số
(
)
2
2 1
1
m x m
y
x
− −
=
−

( m là tham s
ố
).
a.
Kh

ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
C
khi m = - 1.
b.
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ỡ
i
(
)
C
và hai tr

ụ
c t
ọ
a
ñộ
.

c.
Tìm m
ñể

ñồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
C
ti
ế
p xúc v
ớ
i
ñườ
ng th
ả
ng
y x

=
.
(Khối D – 2002)

Bài 69:
Cho hàm s
ố

2
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
( m là tham số ).
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
(
)
C
khi m = - 1.
b. Tìm m ñể ñồ thị hàm số
(
)
C
cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt và hai ñiểm ñó có hoành ñộ
dương. (Khối A – 2003).

Bài 70: Cho hàm số

(
)
3 2
3 1
y x x m
= − +

( m là tham s
ố
).

a.
Tìm m
ñể
hàm s
ố

(
)
1
có hai
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t
ñố
i x
ứ

ng v
ớ
i nhau qua g
ố
c t
ọ
a
ñộ
.
b.
Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
1
khi m = 2.
(Khối B – 2003).
Bài 71:
Cho hàm s
ố

( )
2
2 4
1
2
x x
y
x
− +
=
−
.
a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
1
.
b. Tìm m ñể ñường thẳng
: 2 2

m
d y mx m
= + −
cắt ñồ thị hàm số
(
)
1
tại hai ñiểm phân biệt.
(Khối D – 2003).
Bài 71: Cho hàm số
( )
( )
2
3 3
1
2 1
x x
y
x
− + −
=
−

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
(
)
1
.
b. Tìm m ñể ñường thẳng
y m

=
cắt ñồ thị hàm số
(
)
1
tại hai ñiểm phân biệt
,
A B
sao cho
1
AB
=
.
(Khối A – 2004).
Bài 72:
Cho hàm s
ố

( )
3 2
1
2 3 1
3
y x x x= − +

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
(
)
1
.

b. Viết phương trình tiếp tuyến
∆
của ñồ thị
(
)
1
tại ñiểm uốn và chứng
∆
là tiếp tuyến của ñồ thị
Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 24


(
)
1
có hệ
s
ố
góc nh
ỏ
nh
ấ
t.
(Khối B – 2004).

Bài 73:
Cho hàm s
ố

(
)
3 2
3 9 1 1
y x mx x= − + +

a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
1
khi m = 2.
b.
Tìm m
ñể

ñ
i
ể

m u
ố
n c
ủ
a
ñồ
th
ị

(
)
1
thu
ộ
c
ñườ
ng th
ẳ
ng
1
y x
= +
.
(Khối D – 2004).
Bài 74:
Cho hàm s
ố

( )
1

1
y mx
x
= +
( m là tham số ).
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
(
)
1
khi m =
1
4
.
b. Tìm m ñể ñồ thị hàm số
(
)
1
có cực trị và khoảng cách từ ñiểm cực tiểu của
(
)
1
ñến tiệm cận
xiên bằng
1
2
(Khối A – 2005).
Bài 75: Cho hàm số
(
)
( )

2
1 1
1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
( m là tham số ).
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
(
)
1
khi m = 1.
b. Chứng minh rằng với m bất kỳ, ñồ thị
(
)
1
luôn luôn có ñiểm cực ñại, cực tiểu và khoảng cách
giữa hai ñiểm ñó bằng
20
. (Khối B – 2005).
Bài 76: Cho hàm số
( )
3 2
1 1
1
3 2 3

m
y x x= − +
( m là tham số ).
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
(
)
1
khi m = 2.
b. Gọi
M
là ñiểm thuộc ñồ thị
(
)
1
có hoành ñộ bằng – 1. Tìm m ñể tiếp tuyến của
(
)
1
tại ñiểm

M
song song với ñường thẳng
5 0
x y
− =
. (Khối D – 2005).
Bài 77: Cho hàm số
(
)
3 2

2 9 12 4 1
y x x x= − + −
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
(
)
1
.
b. Tìm m ñể phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt :
3
2
2 9 12
x x x m
− + =
. (Khối A – 2006).
Bài 78: Cho hàm số
( )
2
1
1
2
x x
y
x
+ + −
=
+
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
(
)

1
.
b. Viết pttt của ñồ thị
(
)
1
, biết tiếp tuyến ñó vuông góc với tiệm cận xiên của
(
)
1
.
(Khối B – 2006).
Chuyên ñề khảo sát hàm số Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 25


Bài 79: Cho hàm số
(
)
3 2
3 2 1
y x x= − + .
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
(
)
1
.
b. Gọi
d

là ñường thẳng ñi qua ñiểm
(
)
3,20
A và có hệ số góc là m. Tìm m ñể ñường thẳng
d
cắt
ñồ thị
(
)
1
tại 3 ñiểm phân biệt. (Khối D – 2006).
Bài 80: Cho hàm số
(
)
( )
2 2
2 1 4
1
2
x m x m m
y
x
+ + + +
=
+
( m là tham số ).
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
(
)

1
khi m = - 1.
b. Tìm m ñể ñồ thị hàm số
(
)
1
có cực ñại và cực tiểu, ñồng thời các ñiểm cực trị của hàm số cùng
với gốc tọa ñộ
O
tạo thành một tam giác vuông tại
O
. (Khối A – 2007).
Bài 81: Cho hàm số
(
)
(
)
3 2 2 2
3 3 1 3 1 1
y x x m x m= − + + − − −
( m là tham số ).
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
(
)
1
khi m = 1.
b. Tìm m ñể ñồ thị hàm số
(
)
1

có cực ñại và cực tiểu, ñồng thời các ñiểm cực trị của hàm số cách
ñều gốc tọa ñộ
O
. (Khối B – 2007).
Bài 82: Cho hàm số
( )
2
1
1
x
y
x
=
+

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
(
)
1
.
b. Tìm tọa ñộ ñiểm
M
thuộc
(
)
1
, biết tiếp tuyến của
(
)
1

cắt trục
Ox
và
Oy
tại
,
A B
và tam giác

OAB
có diện tích bằng
1
4
. (Khối D – 2007).
Bài 83: Cho hàm số
(
)
( )
2 2
3 2 2
1
3
mx m x
y
x m
+ − −
=
+
( m là tham số ).
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số

(
)
1
khi m = 1.
b. Tìm các giá trị của m ñể góc giữa hai ñường tiệm cận của ñồ thị
(
)
1
bằng
0
45
. (Khối A – 2008).
Bài 84:
Cho hàm s
ố

(
)
3 2
4 6 1 1
y x x= − +
a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị

hàm s
ố

(
)
1
.
b.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
1
, bi
ế

t r
ằ
ng ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
ó
ñ
i qua
ñ
i
ể
m

(
)
1, 9
M
− −

(Khối B – 2008).