CÁC CHUYÊN đề KHẢO sát hàm số 2010 (LUYỆN THI đại học)

Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 1

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ


A. ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Phương pháp chung:
Để vẽ đồ thị của hàm số có mang dấu GTTĐ ta có thể thực hiện các bước sau:
Bước 1: Phá dấu GTTĐ
+ Xét dấu biểu thức chứa bên trong dấu GTTĐ.
+ Sử dụng đ/n khử dấu GTTĐ (viết hàm số cho bởi nhiều biểu thức)
Bước 2: Vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại (vẽ chung trên cùng một hệ trục toạ độ

2. Các kiến thức sử dụng:
• Đ/n GTTĐ:
A 0
A A < 0
A
A
≥

=


neáu
neáu

• Một số tính chất của đồ thị:
1. Đồ thị hàm số y = f(x) và y= - f(x) đối xứng nhau qua trục hoành Ox.

2. Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung Oy.
3. Đồ thị hàm số y = f(x) và y = - f(-x) đối xứng nhau qua gốc toạ độ O.

3. Bài toán tổng quát:
Từ đồ thị (C): y = f(x), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:
( )
( )
( )
( )
1
2
3
: ( )
:
: ( )
C y f x
C y f x
C y f x

=


=


=



• Dạng 1: Từ đồ thị

( )
: ( )C y f x=
suy ra đồ thị
( ) ( )
1
:C y f x=
B1: Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
f f 0 (1)
:
-f f < 0 (2)
x x
C y f x
x x

≥

= =



neáu
neáu

B2: T
ừ

đồ
th
ị
(C) có th
ể
suy ra
đồ
th
ị
(C
1
) nh
ư
sau:
- Gi
ữ
nguyên ph
ầ
n
đồ
th
ị
(C) n
ằ
m phía trên Ox (do 1)
- L
ấ
y
đố
i x

ứ
ng qua Ox ph
ầ
n
đồ
th
ị
(C) n
ằ
m phía d
ướ
i tr
ụ
c Ox (do 2)
- B
ỏ
ph
ầ
n
đồ
th
ị
(C) n
ằ
m phía d
ướ
i tr
ụ
c Ox.
Minh hoạ

• Dạng 2: Từ đồ thị
( )
: ( )C y f x=
suy ra đồ thị
( )
( )
2
:C y f x=
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 2
B1: Ta có
( )
( )
( )
( )
2
f x 0 (1)
:
f x < 0 (2)
x
C y f x
x

≥

= =


−


neáu
neáu

B2: Từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C
2
) như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía phải trục Oy (do 1)
- Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục tung (do 2)
- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có).

Minh hoạ




• Dạng 3: Từ đồ thị
( )
: ( )C y f x=
suy ra đồ thị
( ) ( )
3
:C y f x=

B1: Ta có
( ) ( )
( )
2

f 0
:
( ) (1)
( ) (2)
x
C y f x
f x
f x

≥

= =




−



B2: Từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C
3
) như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên Ox (do 1)
- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (do 2)
- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox (nếu có).

Minh hoạ

3. Ví dụ:
VD1: Cho hàm số
3
3y x x= − + (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Từ đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:
a)
3
3y x x= − + b)
3
3y x x= − + c)
3
3y x x= − +

Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 3
VD2:
Cho hàm s
ố

1
1
x
y
x
+
=
−

(1)
3.

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
(1)
4.

T
ừ

đồ
th
ị
(C), hãy suy ra
đồ

th
ị
các hàm s
ố
sau:
a)
1
1
x
y
x
+
=
−
b)
1
1
x
y
x
+
=
−
c)
1
1
x
y
x
+

=
−
d)
1
1
x
y
x
+
=
−
e)
1
1
x
y
x
+
=
−

4. Bài tập:

Bài tập 1:
Cho hàm s
ố

3 2
2 9 12 3y x x x= − + − có
đồ

th
ị
(C)
a)

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C)
b)

Tìm m
để
ph
ươ
ng trình
3 2
2 9 12 1x x x m− + + = có 6 nghi
ệ
m phân bi
ệ

t
c)

Tìm m
để
ph
ươ
ng trình
3 2
2 9 12 3x x x m− + + = có nhi
ề
u h
ơ
n 2 nghi
ệ
m
Đ
áp s
ố
: b)
5 6m< < c) 4 5m≤ ≤

Bài tập 2
(Kh
ối B - 2009) Cho hàm số
4 2
2 4y x x= − có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Tìm m để phương trình
2 2

2x x m− = có
đ
úng 6 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
Đ
áp s
ố
:
0 1m< <
5. Bài tập tự luyện
Bài tập 1
(Kh
ố
i A - 2006) Cho hàm s
ố

3 2
2 9 12 4y x x x= − + − có
đồ
th
ị
(C)
a)

Kh
ả
o sát s

ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C)
b)

Tìm m
để
ph
ươ
ng trình
3 2
2 9 12 4x x x m− + − = có 6 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
Đ
áp s
ố
: 4 5m< <

Bài tập 2:
Cho hàm s

ố

4 2
8 10y x x= − + − có
đồ
th
ị
(C)
c)

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C)
d)

Tìm m
để
ph
ươ
ng trình

4 2
8 10x x m− + − = có 8 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
Đ
áp s
ố
: 0 6m< <

















Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 4

B. CỰC TRỊ

Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị
1. Hàm bậc ba: y=f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0)
y’ = f’(x) = 3ax
2
+ 2bx + c
Hàm số có cực trị ⇔ Hàm số có CĐ và CT ⇔ f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.

2. Hàm trùng phương: y=f(x) = ax
4
+ bx
2
+ c (a
≠
0)
y’ = f’(x) = 4ax
3
+ 2bx = 2x(2ax
2
+ b)
Hàm số có đúng cực trị
0
0

0
. 0
a
b
a
a b

≠



=


⇔

≠



>



; Hàm s
ố
có
đ
úng 3 c
ự

c tr
ị
0
. 0
a
a b
≠

⇔

<


Bài 1:
Tìm
m
để
hàm s
ố

( )
3 2
2 3 5y m x x mx= + + + −
có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti

ể
u
Đ
áp s
ố
:
2
3 1
m
m
≠ −


− < <


Bài 2 (ĐH Bách khoa HN-2000) Tìm
m
để hàm số
( )
3 2
3 1 1y mx mx m x= + − − −
không có cực trị.
Đáp số:
1
0
6
m≤ ≤
Bài 3
(

Đ
H c
ả
nh sát-2000) Tìm
m
để
hàm s
ố

4 2
1 3
4 2
y x mx= − + ch
ỉ
có c
ự
c ti
ể
u mà không có c
ự
c
đạ
i
Đ
áp s
ố
:
0m ≤
Bài 4
(

Đ
H ki
ế
n trúc-1999) Tìm
m
để
hàm s
ố

( ) ( )
4 2
1 1 2y mx m x m= − − + −
có
đ
úng m
ộ
t c
ự
c tr
ị
.
Đ
áp s
ố
:
1
0
4
m≤ ≤
Bài 5

(
Đ
H kh
ố
i A DB1 - 2001) Tìm
m
để
hàm s
ố

( )
3
3y x m x= − −
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
0x =
Đ
áp s
ố

: 1m = −
Bài 6
(
Đ
H kh
ố
i B - 2002) Tìm
m

để
hàm s
ố

( )
4 2 2
9 10y mx m x= − − + có ba c
ự
c tr
ị

Đ
áp s
ố
: 3m < ho
ặ
c 0 3m< <
Dạng 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1. Phương trình đường thẳng đi qua CĐ và CT
c
ủ

a hàm b
ậ
c ba
3 2
( ) axy f x bx cx d
= = + + +

* Chia f(x) cho f’(x) ta
đượ
c:
( ) ( ). '( ) Axf x Q x f x B= + +
* Khi
đ
ó, gi
ả
s
ử

( ) ( )
1 1 2 2
; , ;x y x y
là các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
thì:

( )
( )
1 1 1
2 2 2
Ax
Ax
y f x B
y f x B

= = +


= = +



2. Tìm nhanh cực trị hàm đa thức f(x) bậc ba, bậc bốn...
* Chia f(x) cho f’(x) ta được:
( ) ( ). '( ) Axf x Q x f x B= + +
* G/s x
0
là hoành
độ

đ
i
ể
m c
ự
c tr

ị
khi
đ
ó tung
độ

đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
là
( )
0 0 0
Axy f x B= = +

Bài 7:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua hai

đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố

3 2
3 6 8
y x x x
= − − +
Đ
áp s
ố
: 6 6
y x
= − +

Bài 8 (ĐH khối A-2002) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
( )
3 2 2 3 2

3 3 1y x mx m x m m= − + + − + −
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 5
Đ
áp s
ố
:
2
2y x m m
= − +

Bài 9:
Tìm m
để
hàm s
ố

( ) ( )
3 2
2 3 1 6 2 1y x m x m x= + − + − −
có
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua hai
đ
i

ể
m c
ự
c tr
ị
song
song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
4 1y x= − +

Bài 10:
Tìm m
để
hàm s
ố

( ) ( )
3 2
2 3 1 6 1 2y x m x m m x= + − + −
có các
đ
i
ể
m c
ự

c tr
ị
n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng
4y x= −
Bài 11:
Tìm m
để
hàm s
ố

3 2 2
3y x x m x m= − + + có các
đ
i
ể
m c
ự
c c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti

ể
u
đố
i x
ứ
ng nhau qua
đườ
ng th
ẳ
ng
1 5
2 2
y x= −
Đ
áp s
ố
:
0m =

Dạng : Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị thỏa mãn một điều kiện nào đó

Bài 12: Tìm
m
để hàm số
( ) ( )
( )
3 2 3
2 3 2 6 5 1 4 1y x m x m x m= − + + + − + có hai
đ
i

ể
m c
ự
c tr
ị
nh
ỏ
h
ơ
n 2.
Đ
áp s
ố
:
1
0
3
m− < <
Bài 13 (ĐH khối B DB2 - 2006)
Tìm
m

để
hàm s
ố

( ) ( )
3 2
1 2 2 2y x m x m x m= + − + − + +
có hai

đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u
đồ
ng th
ờ
i hoành
độ
c
ủ
a
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u nh
ỏ
h

ơ
n 1.
Đ
áp s
ố
:
5 7
1;
4 5
m m
< − < <
Bài 14

(CĐ - 2009)
Tìm m
để
hàm s
ố

( ) ( )
3 2
2 1 2 2y x m x m x= − − + − +
có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể

u
đồ
ng th
ờ
i
các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
có hoành
độ
d
ươ
ng.
Đ
áp s
ố
:
1
1, 0
3
m m

− < < ≠
Bài 15

(HV quan hệ quốc tế 1996)
Tìm
m

để
hàm s
ố

4 2 4
2 2
y x mx m m= − + +
có các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
l
ậ
p
thành m
ộ
t tam giác
đề
u.

Đ
áp s
ố
:
3
3
m =

Bài 16
Tìm
m

để

đồ
th
ị
hàm s
ố

4 2
2 1
y x mx m= − + −
có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr

ị
t
ạ
o thành m
ộ
t tam giác
đề
u.
Đ
áp s
ố
:
3
3
m =

Bài 17 (ĐH khối A BD1 - 2004)
Tìm
m

để
hàm s
ố

4 2 2
2 1
y x m x= − +
có ba
đ
i

ể
m c
ự
c tr
ị
là ba
đỉ
nh c
ủ
a
m
ộ
t tam giác vuông cân.
Bài 18
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố

( ) ( )
3 2
3 1 3 2 1y x m x m m x= − + + + +
luôn có c
ự
c
đạ
i, c
ự

c ti
ể
u. Xác
đị
nh
m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i các
đ
i
ể
m có hoành
độ
d
ươ
ng .
Đ
áp s

ố
:
0m >

Bài 19
(Kh
ố
i B - 2007) Tìm m
để
hàm s
ố

( )
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m= − + + − − − có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u và
các
đ
i
ể
m c
ự
c tr

ị
c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
cách
đề
u g
ố
c t
ọ
a
độ
O
Đ
áp s
ố
:
1
2
m = ±
Bài 20:
Tìm m
để
hàm s
ố

4 2 2
2( 2) 5 5y x m x m m= + − + − + có các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
o thành 1 tam
giác vuông cân.
Đ
áp s
ố
: m = 1
Bài 21:
Tìm m
để
hàm s
ố

( )
( ) ( )

3 2 2 2
2 1 4 1 2 1y x m x m m x m= + − + − + − +
đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i x
1
, x
2
th
ỏ
a mãn
( )
1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = +
Đ
áp s
ố
:
1; 5m m= =