Luyện thi đại học chuyên đề phương trình logarit

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
1




A. Chuyên ñề 1: phương trình Logarit.
1. Bài toán 1: Sử dụng phương pháp logarit hóa và ñưa về cùng cơ số.
1.1. Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi logarit ta có thể logarit hóa theo cùng một cơ số
cả 2 vế của phương trình, bất phương trình. Chúng ta lưu ý các phép biến ñổi cơ bản sau.
Dạng 1: Phương trình :
( ) ( )
( )
0 1
log 0
a
b
a
f x b f x
f x a

< ≠

= ⇔ >


=

.
Dạng 2:

( ) ( )
( ) ( )
0 1
log log
0
a a
a
f x g x
f x g x
< ≠


= ⇔

= >


.

Chú ý :
- Việc lựa chọn ñiều kiện
(
)
0
f x
>
hoặc
(
)
0

g x
>
tùy thuộc vào ñộ phức tạp của
(
)
f x
và
(
)
g x
.
- Khi cơ số a là một hằng số thỏa mãn
0 1
a
< ≠
thì không cần kiểm tra ñiều kiện mà biến ñổi
tương ñương luôn.
1.2. Bài tập áp dụng :
1. Bài toán 2: Đưa về cùng cơ số.
Bài 1 :
Giải các phương trình sau.
1.
( )
(
)
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1
x x x
= + −

.

2.
3 4 5
log log log
x x x
+ =
.

3.
(
)
(
)
3
5
5
2.log 3 1 1 log 2 1
x x
− + = +
.

4.
2 3 4 2 3 4
log log log log .log .log
x x x x x x
+ + =
.

5.

( )
2 8
1
log 5 2log 3 1
3
x x
− + − =
.

Chuyên ñề : Phương trình – Bất phương
Trình – Hệ phương trình logarit


Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
2

6.
( )
4 2
2 1
1 1
log 1 log 2
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
.

7.
( ) ( )
2
3
3
log 1 log 2 1 2
x x
− + − =
.

8.
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ = .

9.
( ) ( )
3
1 8
2
2
log 1 log 3 log 1 0
x x x
+ − − − − =
.

10.

2
2
3
27
16.log 3.log 0
x
x
x
− =
.

11.
( ) ( )
2 3
4 8
2
log 1 2 log 4 log 4
x x x
+ + = − + + .

12.
(
)
(
)
(
)
2 2
2 1 4 1
4 2

log log 2 1 log 4 4 log 1 0
x x x x x x
+ − + − − + − − =
.

13.
3 9 27
log log log 11
x x x
+ + =
.

14.
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log 3 log 1 log 4
2 4
x x x
+ + − = .

15.
(
)
(
)
2
5 25

log 4 13 5 log 3 1 0
x x x
− + − − + =
.

16.
( )
(
)
2
3
1
log 3 2 1
2
x
x x
+
− − + =
.

17.
(
)
3
log 4.16 12 2 1
x x
x
+ = +
.

18.
3
3 2 3 2
3 1
log .log log log
2
3
x
x x
x
− = + .

19.
( ) ( )
2 2
3
1
log 3 1 2 log 1
log 2
x
x x
+
− + = + +
.

20.
(
)
(
)

1
log cos sin log cos cos 2 0
x
x
x x x x
− + + =
.
2. Bài toán 2: Sử dụng phương pháp ñặt ẩn phụ (các phương pháp tương tự như phương
trình mũ).
Bài 1 :
Giải các phương trình sau.
1.
(
)
5
log 5 4 1
x
x
− = −
.

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
3

2.
(
)
( )
2

2
2 1 1
log 2 1 log 2 1 4
x x
x x x
− +
+ − + − =
.

3.
( ) ( )
1
2 2 1
2
1
log 4 4 .log 4 1 log
8
x x+
+ + =
.

4.
(
)
(
)
1
3 3
log 3 1 .log 3 3 6
x x

+
− − =
.

5.
( )
2 4 2
1
2 log 1 log log
4
x x+ + .

6.
3 3
3. log log 3 1 0
x x
− − =
.

7.
1 1
3 3
log 3. log 2 0
x x
− + =
.

8.
( ) ( )
2

3 3
2 log 5log 9 3 0
x x
− + =
.

9.
3 3
log 1 log 2
2 2
x x
x
+ −
+ =
.
10.
(
)
(
)
2 2
log 2 4 log 2 12 3
x x
x
+ − = + −
.
Bài 2: Giải các phương trình sau.
1.
(
)

2
2 2
lg lg .log 4 2log 0
x x x x
− + =
.
2.
(
)
2
3 3
log 12 log 11 0
x x x x
+ − + − =
.
3.
2 2
log log 6
2
6.9 6 13.
x
x x+ = .
4.
(
)
2
2 2
.log 2 1 .log 4 0
x x x x
− + + =

.
5.
(
)
2
2 2
log 1 log 6 2
x x x x
+ − = −
.
6.
(
)
2
2
log 2 log 2
x
x
x x
−
+ + =
.
7.
3 3
4. log 1 log 4
x x
− − =
.
8.
(

)
(
)
2 2
2 2 2
log 3 2 log 7 12 3 log 3
x x x x+ + + + + = + .
Bài 3: Giải các phương trình sau.
1.
(
)
7 3
log log 2
x x
= +
.
2.
(
)
(
)
3 5
log 1 log 2 1 2
x x
+ + + =
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
4

3.
(
)
7
log 3
4
x
x
+
=
.
4.
2 2 2
log 9 log log 3
2
.3
x
x x x= − .
5.
(
)
(
)
2 2
3 7 2 3
log 9 12 4 log 6 23 21 4
x x
x x x x
+ +
+ + + + + =

.
6.
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 3 6
log 1 .log 1 log 1
x x x x x x
− − + − = − −
.
7.
(
)
(
)
2 3
log 3 log 2 2
x x
− + − =
.
8.
(
)
6
log
2 6

log 3 log
x
x x
+ = .
9.
(
)
2 3
log 1 log
x x
+ = .
3. Bài toán 3: Sử dụng tính ñơn ñiệu (phương pháp tương tự như phương trình mũ).
Bài 1 : Giải các phương trình sau.
1.
(
)
6
6 1 2 3log 5 1
x
x x
= + + +
.
2.
(
)
5
log 3 3
x x
+ = −
.

3.
(
)
(
)
2
2 2
log 6 log 2 4
x x x x
− − + = + +
.
4.
2 2
log log
2
3 5
x x
x + = .
5.
(
)
2
log 3
x x
− =
.
6.
2
log
2.3 3

x
x
+ =
.
7.
(
)
3
3 2
3log 1 2log
x x x
+ = .
8.
(
)
3
2 7
log 1 log
x x
+ = .
9.
(
)
2 3
log log 1 3
x x
+ − =
.
10.
2

2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
 
+ +
= + +
 
+ +
 
.
4. Bài toán 4: sử dụng phương pháp ñánh giá
Bài 1 : Giải các phương trình sau.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
5

1.
(
)
3 2
log 4 5 1
x x
− + + =
.

2.
(
)
2 2
2 2
log 2 4 2 log 1 4 2
x x x x x
+ + − = + − .
3.
( )
2 1 3 2
2
3
8
2 2
log 4 4 4
x x
x x
+ −
+ =
− +
.
4.
(
)
(
)
(
)
2 2 2

2 3 6
log 1 .log 1 log 1
x x x x x x
− − + − = − −
.
5.
( )
3
log 1 lg
2
x
x
 
+ =
 
 
.
5. Bài toán 5: Phương trình chứa tham số.
Bài 1 : Tìm m ñể các phương trình sau :
1.
(
)
(
)
2
3 3
log 4 log 2 2 1
x mx x m
+ = − −
có nghiệm duy nhất.

2.
(
)
2
log 4 1
x
m x
− = +
có hai nghiệm phân biệt.
3.
(
)
2
3 3
log 2 .log 3 1 0
x m x m
− + + − =
có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
. 27
x x
=
.
4.
(
)

(
)
2 2 2 2
4 2
2log 2 2 4 log 2
x x m m x mx m
− + − = + − có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
2 2
1 2
1
x x
+ >
.
5.
2 2
3 3
log log 1 2 1 0
x x m
+ + − − =
có ít nhất một nghiệm thuộc ñoạn
3
1,3
 
 
.
6.

(
)
2
2 2
4 log log 0
x x m
+ + =
có nghiệm thuộc khoảng
(
)
0,1
.
6. Bài toán 6: Bài tập tổng hợp
Bài 1 : Giải các phương trình sau.
1.
3
2 3 3 2
log .log log log 3
x x x x
= + −
.
2.
(
)
(
)
2
lg 6 4 lg 2
x x x x
+ − − = + +

.
3.
(
)
(
)
2 3 2
log log log 1
x
=
.
4.
(
)
(
)
1
5 25
log 5 1 .log 5 5 1
x x+
− − =
.
5.
(
)
(
)
3 5
log 1 log 2 1 2
x x

+ + + =
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
6

6.
(
)
(
)
(
)
2
3 3
log 1 5 log 1 2 6 0
x x x x
+ + − + − + =
.
7.
2 3
4 16
2
log 40log 14log 0
x x x
x x x
+ − =
.
8.
(

)
(
)
2
5
5
log 4 6 log 2 2 2
x x
− − − =
.
9.
1
log 9 4.3 2 3 1
x x
x
x
+
 
− − = +
 
.
10.
( )
2
2
3 3
log 2 log 4 4 9
x x x
+ + + + =
.

11.
2 4 1
2
log 2 log 5 log 8 0
x x
− + + + =
.
12.
( )
3 9
3
4
2 log log 3 1
1 log
x
x
x
+ − =
−
.
13.
( ) ( )
2
3
3
log 1 log 2 1 2
x x
− + − =
.
14.

2
2 1
log 1 2
x
x
x
x
−
= + −
.
15.
(
)
(
)
2
2 2
2 3 2 3
log 1 log 1 6
x x x x
+ −
+ + + + − =
.
16.
(
)
2
2
2
log 2 log 2

x
x
x x
+
+
+ + =
.
17.
( )
(
)
( )
(
)
2 2
ln 2 3 ln 4 ln 2 3 ln 4
x x x x
− + − = − + − .
18.
(
)
(
)
1
log cos sin log cos os2 0
x
x
x x x c x
− + + =
.

19.
( )
2
2
9 3
3
1 1
log 5 6 log log 3
2 2
x
x x x
−
− + = + −
.
20.
(
)
8
4
6 4
2log log
x x x
+ = .

B. Chuyên ñề 2: Bất phương trình Logarit.
1. Phương pháp: Ta sử dụng các phép biến ñổi tương ñương sau.
Dạng 1
: với bất phương trình :
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang

7


( )
( )
( )
1
log
0 1
b
a
b
a
f x a
f x b
a
f x a
 >




>



> ⇔

< <






<




Dạng 2:
với bất phương trình :


( )
( )
( )
1
0
log
0 1
b
a
b
a
f x a
f x b
a
f x a
 >





< <



< ⇔

< <





>




Dạng 3:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
0 1
1
0

0
log log
0
0 1
0
1 0
a a
a
a
f x
f x g x
f x g x
g x
a
f x g x
a f x g x
< ≠

 >





>
> >



> ⇔ ⇔



>
< <







< <
− − >
 


 



Dạng 4:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
0 1
1
0

0
log log
0
0 1
0
1 0
a a
a
a
f x
f x g x
f x g x
g x
a
f x g x
a f x g x
< ≠

 >





>
< <



< ⇔ ⇔



>
< <







> >
− − <
 


 




Chú ý : Trong trường hợp cơ số chứa ẩn thì

+
(
)
(
)
(
)

(
)
log 0 1 1 0
a
f x a f x
> ⇔ − − >
.
+
(
)
( )
( ) ( )
log
0 1 1 0
log
a
a
f x
f x g x
g x
> ⇔ − − >
   
   
.
2. Bài tập áp dụng :
Bài 1 :
Giải các bất phương trình sau (ñưa về cùng cơ số)
1.
(
)

(
)
5
5
log 1 2 1 log 1
x x
− < + +
.
2.
(
)
2 9
log 1 2log 1
x
− <
.
3.
(
)
1 1
3 3
log 5 log 3
x x
− < −
.
4.
1 2
3
1 2
log log 0

1
x
x
+
 
>
 
+
 
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
8

5.
2
6 6
log log
6 12
x x
x
+ ≤
.
6.
(
)
(
)
2 2
log 3 1 log 1

x x
+ ≥ + −
.
7.
( ) ( )
8 1
8
2
2log 2 log 3
3
x x
− + − >
.
8.
(
)
(
)
2
1
1
log 1 log 1
x
x
x x
−
−
+ > +
.
9.

6 2
3
1
log log 0
2
x
x
x
+
−
 
>
 
+ +
 
.
10.
(
)
(
)
2
4 12.2 32 .log 2 1 0
x x
x
− + − ≤
.
Bài 2 :
Giải các bất phương trình sau (ñặt ẩn phụ)
1.

2
log 2log 4 3 0
x
x
+ − ≤
.
2.
2
2
log 64 log 16 3
x
x
+ ≥
.
3.
2 2
log 2.log 2.log 4 1
x x
x
>
.
4.
2 2
1 1
2 4
log log 0
x x
+ <
.
5.

4 2
2
2 2 2
log log2
1 log 1 log 1 log
x x
x x x
+ >
− + −
.
6.
2 2
1 2
1
4 log 2 log
x x
+ ≤
+ −
.
7.
2
1 2
2
log 6log 8 0
x x
− + ≤
.
8.
2
3 3 3

log 4log 9 2log 3
x x x
− + ≥ −
.
9.
2
3
3
1 log
1
1 log
x
x
+
>
+
.
10.
2
16
1
log 2.log 2
log 6
x x
x
>
−
.
Bài 3 :
Giải các bất phương trình sau (Sử dụng tính ñơn ñiệu)

1.
( ) ( )
2 3
3 2
log 1 log 1
x x
>
+ +
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
9

2.
(
)
(
)
2 3
log 2 1 log 4 2 2
x x
+ + + ≤
.
3.
(
)
2 2
3log 2 9log 2
x x x
− > −

.
4.
5
lg
5
0
2 3 1
x x
x
x
+
−
<
− +
.
5.

(
)
(
)
2
1 1
2 2
1 log 2 5 log 6 0
x x x x
+ + + + ≥
.
Bài 3 :
Tìm m ñể

bất phương trình sau

1.
1 2
1
5 log 1 log
m m
x x
+ <
− +
có nghiệm.
2.
(
)
(
)
2 2
2 2
log 7 7 log 4
x mx x m
+ ≥ + + nghiệm ñúng với mọi x.
3.
(
)
2 2
2 2
log 2 4 log 2 5
x x m x x m
− + + − + ≤

nghiệm ñúng
[
]
0,2
x∀ ∈
.
4.
(
)
(
)
2
1
2
3 3 log
x m x m x m x
− + + ≤ − có duy nhất một nghiệm.

3. Bài tập tổng hợp :
Giải các phương trình sau.
1.
2
4 5 1
log
2 2
x
x
x
−
 

≤
 
−
 
.
2.
3
5
1
log
6 3
x
x
x
−
−
≥ .
3.
(
)
2
log 5 8 3 2
x
x x
− + >
.
4.
1 2
2
2 1

log log 0
3
x
x
x
+
−
 
<
 
+
 
.
5.
2
2
25
16
24 2
log 1
14
x
x x
−
− −
>
.
6.
2 2
9 3

2log log 1
4
x
≥ −
.
7.
(
)
2
3
log 5 18 16 2
x
x
− + >
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
10

8.
( )
9 3 1
3
1
log log 5 log 3
2
x x x
+ − > +
.
9.

(
)
(
)
1
2 1
2
log 2 1 log 2 2 2
x x+
− − > −
.
10.
( )
3
1
1
log 9 3 3
x
x
−
≤
− −
.

C. Chuyên ñề 3: Hệ phương trình Logarit.
1. Phương pháp:
Ta thực hiện theo các bước sau.
Bước 1:
Đặt ñiều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
Bước 2:

Sử dụng các phép thể ñể từ hệ 1 phương trình theo ẩn x hoặc ẩn y. Đôi khi có thể theo cả
2 ẩn x và y.
Bước 3:
Giải phương trình nhận ñược bằng các phương pháp ñã biết ñối với phương trình chứa
căn thức.
Bước 4:
Kết luận về nghiệm của hệ phương trình.
Bài 1 :
Giải các hệ phương trình sau
1.
3
3 4
1.3
log 1
y
x
x
x
y x

−
+ =



+ =


2.
( ) ( )

2 2
2 3
4 2
log 2 log 2 1
x y
x y x y

− =


+ − − =



3.
( )
( )
2 2
2 2
2 2
3 81
log 1 log
x y xy
x y xy
+ −

=


+ = +




4.
( )
2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y

− + − =


− =



5.
( )
1 4
4
2 2
1
log log
25
y x
y
x y


− −



+ =


6.
4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y
 − + =


− =



7.
(
)
( )
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x

y
x x x y
y y y x

+ − − =


+ − − =



8.
(
)
2
2
2
2log 2 log 0
4 2 0
x y
x x y
 − − =


− + + =



9.
(

)
2 8
2 2 2 2
log 3log 2
1 3
x y x y
x y x y

+ = − +



+ + − − =

10.
2 2
2 4
log 2log 3
16
x y
x y
+ =


+ =


Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
11

Bài 2 : Giải các hệ phương trình sau (phương pháp hàm số)
1.
(
)
( )
2
2
3 ln 2 1
3 ln 2 1
x x x y
y y y x

+ + + =


+ + + =


2.
2 3
2 3
log 3 1 log
log 3 1 log
x y
y x

+ = +



+ = +



3.
(
)
(
)
2 2
3 2
2
2
3log 2 6 2log 2 1
2013
2012
2013
y x
x y x y
x
y
−
 + + = + + +


+
=

+


4.
(
)
(
)
2 2
ln 1 ln 1
12 20 0
x y x y
x xy y
 + − + = −


− + =




D. Một số bài trong các ñề thi ñại học và cao ñẳng:
Bài 1: Cho phương trình :
2 2
3 3
log log 1 2 1 0
x x m
+ + − − =
(m là tham số)
a. Giải phương trình khi
2
m
=

.
b. Tìm m ñể phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc ñoạn
3
1,3
 
 
. (Khối A - 2002)
Bài 2: Giải bất phương trình :
(
)
(
)
3
log log 9 72 1
x
x
− ≤
. (Khối B - 2002)
Bài 3: Giải hệ phương trình :
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+


= −


+
=

 +
(Khối D- 2002)
Bài 4: Giải phương trình :
2 2
2
2 2 3
x x x x− + −
− =
. (Khối D- 2003)
Bài 5: Giải hệ phương trình :
( )
1 4
4
2 2
1
log log 1
25
y x
y
x y

− − =




+ =

(Khối A - 2004)
Bài 6: Giải hệ phương trình :
( )
2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y

− + − =


− =


(Khối B - 2005)
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi
0
a
>
, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất.

(
)
(

)
ln 1 ln 1
x y
e e x y
y x a

− = + − +


− =


(Khối D- 2006)
Bài 8: Giải phương trình :
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x+ −
− − + =
(Khối D- 2006)
Bài 9
: Giải bất phương trình :
(
)
(
)
3 1
3
2log 4 3 log 2 3 2
x x

− + + ≤
(Khối A - 2007)
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
12

Bài 10: Giải phương trình :
(
)
(
)
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
(Khối B - 2007)
Bài 11: Giải phương trình :
( )
2 2
1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
(Khối D- 2007)
Bài 12: Giải phương trình :
(
)
( )

2
2
2 1 1
log 2 1 log 2 1 4
x x
x x x
− +
− + − =
(Khối A - 2008)
Bài 13: Giải bất phương trình :
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
 
+
<
 
+
 
(Khối B - 2008)
Bài 14: Giải bất phương trình :
2
1
2
3 2
log 0
x x

x
− +
≥
(Khối D- 2008)
Bài 15: Giải hệ phương trình :
(
)
( )
( )
2 2
2 2
2 2
log 1 log
,
3 81
x xy y
x y xy
x y R
− +

+ = +

∈

=


(Khối A - 2009)
Bài 16: Giải hệ phương trình :
(

)
2
2
log 3 1
4 2 3
x x
y x
y
 − =


+ =


(Khối B - 2010)
Bài 17: Giải phương trình :
3 3
2 2 2 2 4 4
4 2 4 2
x x x x x x
+ + + + + −
+ = +
(Khối D- 2010)
Bài 18: Giải hệ phương trình :
( )
( )
2
2
2
4 2 0

,
2log 2 log 0
x x y
x y R
x y

− + + =

∈

− − =


(Khối D- 2010)
Bài 19 : Giải phương trình :
(
)
(
)
2
2 1
2
log 8 log 1 1 2 0
x x x
− + + + − − =
(Khối D- 2011)


============ HẾT============
Gạo đem vào giã bao đau đớn

Gạo giã xong rồi trắng tựa bông
Sống trên đời con người cũng vậy
Gian nan rèn luyện mới thành công. Hồ Chí Minh.