Luyện thi đại học chuyên đề tích phân

Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
1





1. khái niệm nguyên hàm :
- Cho hàm số
(
)
f x
xác ñịnh trên
K
. Hàm số
(
)
F x
ñgl nguyên hàm của hàm của
(
)
f x
trên

K
nếu :
(
)
(
)

' ,
F x f x x K
= ∀ ∈
.
- Nếu
(
)
F x
là một nguyên hàm của
(
)
f x
trên
K
thì họ nguyên hàm của
(
)
f x
trên
K
là :


- Mọi hàm số
(
)
f x
liên tục trên
K
ñều có nguyên hàm trên

K
.
2. Tính chất:
-
(
)
(
)
'
f x dx f x C
= +
∫
.
-
(
)
(
)
(
)
(
)
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
 
 
∫ ∫ ∫
.
-
(

)
(
)
(
)
0
kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
.
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:



0
dx C
=
∫
.



dx x C
= +
∫
.



( )

1
, 1
1
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
.



1
ln
dx x C
x
= +
∫
.




x x
e dx e C

= +
∫
.



( )
0 1
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫
.




cos sin
xdx x C
= +
∫
.



sin -cos

xdx x C
= +
∫
.




2
1
tan
cos
dx x C
x
= +
∫
.



2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +
∫
.




( )
1
0
ax b ax b
e dx e C a
a
+ +
= + ≠
∫
.



1 1
ln
dx ax b C
ax b a
= + +
+
∫
.

Chuyên ñề 1 : Nguyên Hàm.

(
)

(
)
, f x dx F x C C
= + ∈
∫
ℝ

Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
2




( )
2 2
1
arctan 0
dx x
C a
a x a a
= + ≠
+
∫
.



2 2
1

ln
2
dx x a
C
a x a x a
+
= +
− −
∫
.



2 2
2 2
1
ln
2
xdx
a x C
a x
= ± ± +
±
∫
.



2 2
arcsin

dx x
C
a
a x
= +
−
∫
.



( )
2 2
2 2
ln 0
dx
x x a C a
x a
= + ± + >
±
∫
.



2 2
2 2
xdx
x a C
x a

= ± ± +
±
∫
.



( )
2
2 2 2 2
arcsin 0
2 2
x a x
a x dx a x C a
a
− = − + + >
∫
.



2
2 2 2 2 2 2
ln
2 2
x a
x a dx x a x x a C
± = ± ± + ± +
∫
.




( ) ( ) ( )
1
cos sin 0
ax b dx ax b C a
a
+ = + + ≠
∫
.



( ) ( ) ( )
1
sin cos 0
ax b dx ax b C a
a
+ = − + + ≠
∫
.
4. Phương pháp tính nguyên hàm:
a. Phương pháp ñổi biến số.
N
ế
u
(
)
(

)
f u du F u C
= +
∫
và
(
)
u u x
=
có
ñạ
o hàm liên t
ụ
c thì :



b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
N
ế
u
,
u v
là hai hàm s
ố
có
ñạ
o hàm liên t
ụ
c trên

K
thì :



B. Các vấn ñề thường gặp :
I. Vấn ñề 1: Xác ñịnh nguyên hàm bằng ñịnh nghĩa.
1. Dạng 1: Chứng minh rằng
(
)
F x
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
f x
trên
(
)
,
a b
.

1.1. Phương pháp:
Ta th
ự
c hi
ệ
n theo các b
ướ
c sau.

+
Bước 1:
Xác
ñị
nh
(
)
'
F x

trên
(
)
,
a b
.
(
)
(
)
(
)
. '
f u x u x dx F u x C
= +
   
   
∫

udv uv vdu

= −
∫ ∫

Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
3

+ Bước 2: Chứng tỏ
(
)
(
)
(
)
' ,
F x f x x a b
= ∀ ∈
.
Chú ý: Nếu thay
(
)
,
a b
bằng
[
]
,
a b
thì phải thực hien như sau.
+ Bước 1: Xác ñịnh

(
)
'
F x
trên
(
)
,
a b
.
- Xác ñịnh
(
)
'
F a
+

- Xác
ñị
nh
(
)
'
F b
−

+
Bước 2:
Ch
ứ

ng t
ỏ

( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
' , ,
'
'
F x f x x a b
F a f a
F b f b
+
−

= ∀ ∈


=


=




1.2. Bài Tập:
Bài 1:

CMR hàm s
ố

( )
(
)
2
ln
F x x x a
= + +
v
ớ
i
0
a
>
là m
ộ
t nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố


( )
2
1
f x
x a
=

+
trên
ℝ
.
Bài 2:
CMR hàm s
ố

( )
2
0
1 0
x
e Khi x
F x
x x Khi x

≥

=

+ + <


là m
ộ
t nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố

( )
0
2 1 0
x
e Khi x
f x
x Khi x

≥
=

+ <

trên
ℝ
.
HD: Xét 2 trường hợp
0
x
≠
và
0
x
=
. Với trường hợp
0
x
=

thì dùng ñịnh nghĩa ñể tính ñạo
hàm bên trái và bên phải của 0.
Bài 3:
CMR hàm s
ố

( )
(
)
2
ln 1
0
0 0
x
Khi x
F x
x
Khi x

+

≠
=


=

là m
ộ
t nguyên hàm c

ủ
a hàm s
ố


( )
(
)
2
2
ln 1
2
0
1
1
0
x
Khi x
f x
x x
Khi x

+

− ≠
=

+

=


.


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
4

2. Dạng 2: Xác ñịnh các giá trị của tham số ñể
(
)
F x
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
f x

trên
(
)
,
a b
.
2.1. Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau.
+ Bước 1: Xác ñịnh
(
)
'
F x
trên

(
)
,
a b
.
+ Bước 2: ðể
(
)
F x
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
f x
trên
(
)
,
a b
, ñiều kiện là.

(
)
(
)
(
)
' ,
F x f x x a b
= ∀ ∈
.

Dùng ñồng nhất của hàm ña thức ñể suy ra giá trị của tham số.
Chú ý: Nếu thay
(
)
,
a b
bằng
[
]
,
a b
thì phải thực hien như sau.
+ Bước 1: Xác ñịnh
(
)
'
F x
trên
(
)
,
a b
.
- Xác ñịnh
(
)
'
F a
+

- Xác
ñị
nh
(
)
'
F b
−

+
Bước 2:
Ch
ứ
ng t
ỏ

( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
' , ,
'
'
F x f x x a b
F a f a
F b f b
+
−


= ∀ ∈


=


=



⇒
giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
.
2.2. Bài Tập:
Bài 1:
Xác
ñị
nh
, ,
a b c

ñể hàm số
(
)
(

)
2 2
x
F x ax bx c e
−
= + +
là một nguyên hàm của hàm

(
)
(
)
2 2
2 8 7
x
f x x x e
−
= − − +
.
Bài 2: Xác ñịnh
,
a b
ñể hàm số
( )
2
1
1
x khi x
F x
ax b khi x


≥
=

+ >

là một nguyên hàm của hàm

( )
2 1
2 1
x khi x
f x
khi x
≤

=

>

trên
ℝ
.
HD: Xét 2 trường hợp
1
x
≠
và
1
x

=
. Vớ
i tr
ườ
ng h
ợ
p
1
x
=
thì dùng
ñị
nh ngh
ĩ
a
ñể
tính
ñạ
o hàm
bên trái và bên ph
ả
i c
ủ
a 0.
Bài 3:
Xác
ñị
nh các h
ệ
s

ố

, ,
a b c

ñể
hàm s
ố

(
)
(
)
2
2 3
F x ax bx c x
= + + −
là m
ộ
t nguyên hàm
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
5

của hàm
( )
2
20 30 7
2 3
x x

f x
x
− +
=
−
trên khoảng
3
,
2
 
+∞
 
 
.
3. Dạng 3: Tìm hằng số tích phân
3.1. Phương pháp:


+
Dùng công th
ứ
c
ñ
ã h
ọ
c, tìm nguyên hàm

(
)
(

)
(
)
1
F x G x C= +
.
+ D
ự
a vào
ñề
bài
ñ
a cho tìm h
ằ
ng s
ố
C.
+ Thay giá tr
ị
C vào
(
)
1
, ta có nguyên hàm c
ầ
n tìm.
3.2. Bài Tập:
Bài 1:
Tìm nguyên hàm
(

)
F x

c
ủ
a hàm

( )
( )
3 2
2
3 3 7
1
x x x
f x
x
+ + −
=
+
và bi
ế
t
(
)
0 8
F
=
.

Bài 2:

Tìm nguyên hàm
(
)
F x

c
ủ
a hàm

( )
2
sin
2
x
f x = và bi
ế
t
2 4
F
π π
 
=
 
 
.


II. Vấn ñề 2: Xác ñịnh nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm.
1. Phương pháp:

+
Bi
ế
n
ñổ
i bi
ể
u th
ứ
c hàm s
ố

ñể
s
ử
d
ụ
ng
ñượ
c b
ả
ng các nguyên hàm c
ơ
b
ả
n.
Chú ý: ðể
s
ử
d

ụ
ng ph
ươ
ng pháp này c
ầ
n ph
ả
i :
- N
ắ
m v
ữ
ng b
ả
ng các nguyên hàm.
- N
ắ
m v
ữ
ng phép tính vi phân.
2.

Bài Tập:
Bài 1:
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau.
1.

( )
2
1
3
f x x x
x
= − +
.
2.
( )
4
2
2 3
x
f x
x
+
= .
3.
( )
2
1
x
f x
x
−
= .
4.
( )
(

)
2
2
2
1
x
f x
x
−
= .
5.
(
)
3 4
f x x x x
= + + .
6.
( )
3
1 2
f x
x x
= − .
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
6

7.
(
)

2
tan
f x x
=
. 8.
(
)
2
cos
f x x
=
.
9.
( )
2 2
1
sin .cos
f x
x x
= .
10.
( )
2 2
cos2
sin .cos
x
f x
x x
= .
11.

(
)
2sin3 cos2
f x x x
=
.
12.
(
)
(
)
1
x x
f x e e
= −
.
13.
( )
2
2
cos
x
x
e
f x e
x
−
 
= +
 

 
.
14.
(
)
3 1
x
f x e
+
=
.
Bài 2:
Tìm nguyên hàm
(
)
F x

c
ủ
a hàm s
ố

(
)
f x
th
ỏ
a
ñ
i

ề
u ki
ệ
n cho tr
ướ
c.
1.
(
)
3
4 5
f x x x
= − +
bi
ế
t
(
)
1 3
F
=
.
2.
(
)
3 5cos
f x x
= −
bi
ế

t
(
)
2
F
π
=
.
3.
( )
2
3 5
x
f x
x
−
=
bi
ế
t
(
)
1
F e
=
.
4.
( )
2
1

x
f x
x
+
=
bi
ế
t
( )
3
1
2
F
=
.
5.
( )
1
f x x x
x
= +
bi
ế
t
(
)
1 2
F
= −
.

6.
( )
( )
3 3
2
3 3 7
1
x x x
f x
x
+ + −
=
+
bi
ế
t
(
)
0 8
F
=
.
7.
(
)
sin 2 cos
f x x x
=
bi
ế

t
' 0
3
F
π
 
=
 
 
.
8.
( )
4 3
2
3 2 5
x x
f x
x
− +
= bi
ế
t
(
)
1 2
F
=
.
9.
( )

2
sin
2
x
f x = bi
ế
t
2 4
F
π π
 
=
 
 
.
10.
( )
3
2
1
x
f x
x
−
= bi
ế
t
(
)
2 0

F
− =
.











Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
7

III. Vấn ñề 3: Xác ñịnh nguyên hàm bằng phương pháp ñổi biến số.
1. Dạng 1: Nếu
(
)
f x
có dạng :
(
)
(
)
(
)

. '
f x g u x u x
=
 
 
thì ta
ñặ
t
(
)
(
)
'
t u x dt u x dx
= ⇒ = khi

ñ
ó
(
)
(
)
f x dx g t dt
=
∫ ∫
trong
ñ
ó
(
)

g t dt
∫
d
ễ
dàng tìm
ñượ
c.
Chú ý

:
Sau khi tính
(
)
g t dt
∫
theo
t
, ta ph
ả
i thay l
ạ
i
(
)
t u x
= .
2. Dạng 2:
Th
ườ
ng g

ặ
p các tr
ườ
ng h
ợ
p sau.








3.

Bài Tập:
Bài 1:
Tìm các nguyên hàm sau
(ðổi biến dạng 1)
1.
(
)
5 1
x dx
−
∫
.
2.
( )

5
3 2
dx
x
−
∫
.
3. 5 2
xdx
−
∫
. 4.
(
)
7
2
2 1
x
+
∫
.
5.
(
)
4
3 2
5
x x dx
+
∫

. 6.
2
5
x
dx
x
+
∫
.
7.
2
1
x x dx
+
∫
.
8.
2
3
3
5 2
x
dx
x
+
∫
.
9.
( )
2

1
dx
x x
+
∫
.
10.
4
sin cos
x xdx
∫
.
11.
5
sin
cos
x
dx
x
∫
.
12.
2
tan
cos
x
dx
x
∫
.

(
)
f x
có chứa
Cách ñổi biến

2 2
a x
−


ðặ
t
sin
x a t
=
v
ớ
i
2 2
t
π π
− ≤ ≤

Ho
ặ
c
cos
x a t
=

v
ớ
i
0 t
π
≤ ≤


2 2
a x
+

ðặ
t
tan
x a t
=
v
ớ
i
2 2
t
π π
− < <

Ho
ặ
c
cos
x a t

=
v
ớ
i 0 t
π
< <

Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
8

13.
3
x
x
e dx
e
−
∫
. 14.
2
1
.
x
x e dx
+
∫
.
15.
x

e
dx
x
∫
. 16.
3
ln
x
dx
x
∫
.
17.
1
x
dx
e
+
∫
.
18.
tan
2
cos
x
e
dx
x
∫
.

Bài 2:
Tìm các nguyên hàm sau (
ðổ
i bi
ế
n d
ạ
ng 2)
1.
( )
3
2
1
dx
x
−
∫
.
2.
( )
3
2
1
dx
x
+
∫
.
3.
2

1
x dx
−
∫
.
4.
2
4
dx
x
−
∫
.
5.
2
1
dx
x x
+ +
∫
.
6.
2 2
1
x x dx
−
∫
.
7.
2

1
dx
x
+
∫
.
8.
3 2
1
x x dx
+
∫
.
9.
2
2
1
x
dx
x−
∫
.

IV. Vấn ñề 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

V
ớ
i
(
)

P x
là
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a
x
ta th
ườ
ng g
ặ
p các d
ạ
ng sau.

(
)
.
x
P x e dx
∫

(
)
.cos
P x xdx
∫

(
)
.sin
P x xdx
∫

(
)
.ln
P x xdx
∫

u

(
)
P x

(
)
P x

(
)
P x

ln
x

dv

x
e dx

cos
xdx
sin
xdx

(
)
P x


1.

Bài Tập:
Bài 1:
Tìm các nguyên hàm sau.
1.
sin
x xdx
∫
.
2.
cos
x xdx
∫
.

Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
9

3.
(
)
2
5 sin
x xdx
+
∫
.
4.
(
)
2
2 3 cos
x x xdx
+ +
∫
.

5.
sin 2
x xdx
∫
.
6.
cos2

x xdx
∫
.

7.
x
xe dx
∫
.
8.
2
3 x
x e dx
∫
.

9.
ln
xdx
∫
.
10.
ln
x xdx
∫
.

11.
2
ln

xdx
∫
.
12.
(
)
2
ln 1
x dx
+
∫
.

13.
2
tan
x xdx
∫
.
14.
2 2
cos
x xdx
∫
.

15.
2
cos2
x xdx

∫
.
16.
(
)
2
ln 1
x x dx
+
∫
.

17.
.2
x
x dx
∫
.
18.
lg
x xdx
∫
.

19.
x
e dx
∫
.
20.

ln
xdx
x
∫
.

21.
sin
xdx
∫
.
22.
cos
xdx
∫
.

23.
sin
x xdx
∫
.
24.
3
sin
xdx
∫
.

25.

(
)
ln ln
x
dx
x
∫
.
26.
(
)
sin ln
x dx
∫
.

27.
(
)
cos ln
x dx
∫
.
28.
cos
x
e xdx
∫
.

29.
(
)
2
1 tan tan
x
e x dx
+ +
∫
.
30.
sin 2
x
e xdx
∫
.

31.
(
)
2
ln cos
cos
x
dx
x
∫
.
32.
(

)
2
ln 1
x
dx
x
+
∫
.

33.
2
cos
x
x
x
∫
.
34.
(
)
2
2
ln 1
1
x x x
dx
x
+ +
+

∫
.
35.
3
2
1
x
dx
x
+
∫
.
36.
2
ln
dx
x
 
 
 
∫
.


Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
10

V. Vấn ñề 5: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ.
1. Phương pháp:

ðể xác ñịnh nguyên hàm của hàm số
(
)
f x
, ta cần tìm một hàm
(
)
g x
sao cho nguyên hàm của các
hàm
(
)
(
)
f x g x
±
dễ xác ñịnh hơn
(
)
f x
. Từ ñó suy ra nguyên hàm của hàm
(
)
f x
.
+ Bước 1: Tìm hàm
(
)
g x
.

+ Bước 2: Xác ñịnh nguyên hàm của các hàm
(
)
(
)
f x g x
±
, nghĩa là :

(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( )
1
2
1
F x G x A x C
F x G x B x C
+ = +


− = +


.
+ Bước 2: Từ hệ

(
)
1
, ta suy ra
( ) ( ) ( )
1
2
F x A x B x C
= + +
 
 
là nguyên hàm c
ủ
a hàm
(
)
f x
.
2.

Bài Tập:
Bài 1:
Tìm các nguyên hàm sau.
1.
sin
sin cos
x
dx
x x
−

∫
.
2.
cos
sin cos
x
dx
x x
−
∫
.
3.
sin
sin cos
x
dx
x x
+
∫
.
4.
cos
sin cos
x
dx
x x
+
∫
.

5.
4
4 4
sin
sin cos
x
dx
x x
+
∫
.
6.
2
2sin .sin 2
x xdx
∫
.

7.
2
2cos .sin 2
x xdx
∫
.
8.
x
x x
e
dx
e e

−
−
∫
.

9.
x
x x
e
dx
e e
−
−
−
∫
.






Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
11

VI. Vấn ñề 6: Tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp.
A. Dạng 1:
(
)

f x
là hàm hữu tỉ
1. Dạng
( )
(
)
( )
P x
f x
Q x
= .
Phương pháp:
+ Nếu bậc của
(
)
P x
≥
bậc của
(
)
Q x
thì ta thực hiện phép chia ña thức.
+ Nếu bậc của
(
)
P x
<
bậc của
(
)

Q x
và
(
)
Q x
có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích
(
)
f x

thành tổng của nhiều phân thức (Bằng phương pháp hệ số bất ñịnh)
Ví dụ :
1.1
( )( )
1
A B
x a x b x A x B
= +
− − − −

1.2
( )
( )
2
1
A Bx C
x m Ax bx c
x m ax bx c
+
= +

− + +
− + +
với
2
4 0
b ac
∆ = − <
.
1.3
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 A B C D
x a x b
x a x b x a x b
= + + +
− −
− − − −
.
2. Dạng
( )
2 2
1
f x
x a
=
+

Phương pháp:

ðặ

t
2
tan
os
a
x a t dx dt
c t
= ⇒ = .
V
ậ
y
( )
2
2 2 2 2
2 2
2
1 1 1 1 1 1
arctan
os os
a tan 1
os
a a x
dx dt dt dt t C C
a
x a c t c t a a a a
t
c t
= = = = + = +
+
+

∫ ∫ ∫ ∫


3. Dạng
( )
2
1
f x
ax bx c
=
+ +
.
Phương pháp:
a.
Tr
ườ
ng h
ợ
p 1
:
N
ế
u
2
ax bx c
+ +
có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ

t
1
x
và
2
x
thì ta vi
ế
t l
ạ
i
(
)
(
)
2
1 2
ax bx c a x x x x
+ + = − −
.
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
12

Suy ra
( )
( )( )
2
1 2
1 1

f x
ax bx c a x x x x
= =
+ + − −

Vậy
( )( )
2
2
1 2 2 1 1
1 1 1 1
ln
x x
C
ax bx c a x x x x a x x x x
−
= = +
+ + − − − −
∫ ∫
.
b. Trường hợp 2:
Nếu
2
ax bx c
+ +
có nghiệm kép
1 2
x x
α
= =

thì ta viết lại
( )
2
2
ax bx c a x
α
+ + = −
.
Suy ra
( )
( )
2
2
1 1
f x
ax bx c
a x
α
= =
+ +
−
.
Vậy
( )
2
2
1 1 1 1
.
C
ax bx c a x

a x
α
α
−
= = +
+ + −
−
∫ ∫
.
c. Trường hợp 3:
Nếu
2
ax bx c
+ +
vô nghiệm thì ta viết lại

2 2
2 2 2
2 2
2.
2 4 4
b c b b c b
ax bx c a x x a x x
a a a a a a
 
 
+ + = + + = + + + −
 
 
 

 


2 2
2
2 2
4
2 4 2 4
b b ac b
a x a x
a a a a
   
− ∆
   
= + − = + −
   
   
   
   
   

V
ậ
y
2
2
2
1 1 1 4
2
. arctan

4
2 4
b
x
a
C
ax bx c a
b
a x
a
a a
+
= = +
+ + −∆
 
−∆
∆
 
+ −
 
 
 
 
 
∫ ∫
.

4. Dạng
( )
2

mx n
f x
ax bx c
+
=
+ +
.

Phương pháp:
L
ấ
y
ñạ
o hàm c
ủ
a m
ẫ
u s
ố

ñặ
t lên t
ử
s
ố
và cân b
ằ
ng v
ớ
i t

ử
s
ố

(
)
mx n
+
c
ủ
a
(
)
f x
r
ồ
i tr
ừ

ñ
i h
ằ
ng s
ố

phát sinh.

( )
2
2 2

m mb
mx n ax b n
a a
+ = + + −
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
13

Suy ra
( )
( )
2 2
2
2 2
m mb
ax b n
mx n
a a
f x
ax bx c ax bx c
+ + −
+
= =
+ + + +


2 2
2 1
2 2
m ax b mb

n
a ax bx c a ax bx c
+
 
= + −
 
+ + + +
 

Do
ñ
ó ta có
( )
2 2
2
2 2
m ax b mb dx
f x dx dx n
a ax bx c a ax bx c
+
 
= + −
 
+ + + +
 
∫ ∫ ∫

Trong
ñ
ó

+
2
1
2
2
ln
ax b
dx ax bx c C
ax bx c
+
= + + +
+ +
∫

+
2
dx
ax bx c
+ +
∫

ñ
ã bi
ế
t cách tính.
5. Dạng
( )
( )
2
1

n
m
x
f x
x
=
+
.
Phương pháp:
a.
Tr
ườ
ng h
ợ
p 1
:
1
m
=
.
+
2
1
arctan
1
dx x C
x
= +
+
∫

.
+
( )
2
2
1
ln 1
1 2
x
dx x C
x
= + +
+
∫
.
+
2
2 2
1
1 arctan
1 1
x
dx dx x x C
x x
 
= − = − +
 
+ +
 
∫ ∫

.

+
( )
3 2
2
2 2
1
ln 1
1 1 2 2
x x x
x dx x C
x x
 
= − = − + +
 
+ +
 
∫ ∫
.
+
4 3
2
2 2
1
1 arctan
1 1 3
x x
x dx x x C
x x

 
= − + = − + +
 
+ +
 
∫ ∫
.
+
( )
5 4 2
3 2
2 2
1
ln 1
1 1 4 2 2
x x x x
x x dx x C
x x
 
= − + = − + + +
 
+ +
 
∫ ∫
.
+
6 5 3
4 2
6 2
1

1 arctan
1 1 5 3
x x x
dx x x dx x x C
x x
 
= − + − = − + − +
 
+ +
 
∫ ∫
.
b.
Tr
ườ
ng h
ợ
p 2
:
1
m
>
.
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
14

+ Nếu n lẻ thì dùng phương pháp ñổi biến số.
ðặt

2 2
1 1
1
2
2
t x x t
dt xdx xdx dt
= + ⇔ = −
= ⇒ =

+ Nếu n chẵn thì dùng phương pháp từng phần.
Giả sử 2 ,n k k
= ∈
ℤ
. Chọn
( )
2 1
2
,
1
k
m
xdx
u x dv
x
−
= =
+
.
Bài tập :

Bài 1:
Tìm các nguyên hàm sau.
1.
( )
1
dx
x x
+
∫
.
2.
( )( )
1 2 3
dx
x x
+ −
∫
.
3.
2
2
1
1
x
dx
x
+
−
∫
.

4.
2
7 10
dx
x x
− +
∫
.
5.
2
6 9
dx
x x
− +
∫
.
6.
2
4
dx
x
−
∫
.
7.
( )( )
1 2 1
x
dx
x x+ +

∫
.
8.
2
2 3 2
x
dx
x x
− −
∫
.
9.
3
2
3 2
x
dx
x x
− +
∫
.
10.
( )
2
1
dx
x x
+
∫
.

11.
3
1
dx
x
+
∫
. 12.
3
1
x
dx
x
−
∫
.



B. Dạng 2:
(
)
f x
là hàm vô tỉ.
1. Dạng
( )
,
m
ax b
f x R x

cx d
 
+
=
 
 
+
 

Phương pháp:
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
15

ðặt
m
ax b
t
cx d
+
=
+


m
ax b
t
cx d
+
⇒ =

+ +
, tính
x
theo
t


dx
⇒
r
ồ
i thay vào hàm s
ố

ñ
ã cho.
2. Dạng
( ) ( )
2
1
0
f x m
x m
= ≠
+
.
Phương pháp:

ðặ
t

2 2

x m x t t x x m
+ = − + ⇒ = + +


2
2 2 2
2
1
x x m x tdx
dt dx dx
x m x m x m
dx dt
t
x m
 
+ +
⇒ = + = =
 
+ + +
 
⇒ =
+

Do
ñ
ó ta có :
2
2

ln ln
dx dt
t C x x m C
t
x m
= = + = + + +
+
∫ ∫
.
3. Dạng
( )
2
1
f x
ax bx c
=
+ +
.
Phương pháp:
+ N
ế
u
0
a
>
.
Ta có :
2
2 2
.

2
p
ax bx c a x px q a x k
 
+ + = + + = + +
 
 

V
ớ
i
2
, ,
4
b c p
p q k q
a a
= = = −
. Do
ñ
ó ta có

2
2 2
1 1
ln
2
2
dx dx p
x x px q C

a a
ax bx c
p
x k
= = + + + + +
+ +
 
+ +
 
 
∫ ∫
.
+ N
ế
u
0
a
<
.
Ta có :
2
2 2 2
2
p
ax bx c a x px q a k x
 
+ + = − − + + = − − −
 
 
.

V
ớ
i
2
2
, , , 0
4
b c p
p q k q k
a a
− −
= = = + >
.

Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
16

Do ñó ta có
2 2
2
1 1
2
arcsin
ax
2
p
x
dx dx
C

k
a a
bx c
p
k x
−
= = +
− −
+ +
 
− −
 
 
∫ ∫

4. Dạng
( )
2
mx n
f x
ax bx c
+
=
+ +
.
Phương pháp:
+ Lấy ñạo hàm của biểu thức trong dấu căn thức ở mẫu số.

(
)

2
' 2
ax bx c ax b
+ + = +
và
ñặ
t lên trên t
ử
.
+ Cân b
ằ
ng h
ệ
s
ố
c
ủ
a x và h
ằ
ng s
ố

ñộ
c l
ậ
p c
ủ
a t
ử
s

ố
c
ủ
a
(
)
f x
.

( )
2
2 2
m mb
mx n ax b n
a a
+ = + + − .
Do
ñ
ó ta có

( )
2 2 2 2
2
2
2 2
2
2
m mb
a b n
mx n m ax b mb dx

a a
dx dx dx n
a a
ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c
+ + −
+ +
 
= = + −
 
 
+ + + + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
.
+ Hàm s
ố

2
2
2
ax b
ax bx c
+
+ +
có nguyên hàm là
2
ax bx c
+ +
.
+ Hàm s
ố

2
1
ax bx c
+ +
có nguyên hàm là m
ộ
t hàm s
ố
logarit d
ạ
ng

( )
2
1
ln
2
p
F x x x px q
a
= + + + +
n
ế
u
0
a
>
và ,
b c

p q
a a
= =
.
Và có nguyên hàm là hàm s
ố
d
ạ
ng arcsin d
ạ
ng.

( )
1
2
arcsin
p
x
F x
k
a
−
=
−
n
ế
u
0
a
<

.
5. Dạng
( )
( )
2
1
f x
mx n ax bx c
=
+ + +
.
Phương pháp:
ðặt
1 1
t mx n
mx n t
=
⇒
+ =
+
từ ñó tính x và
dx
.
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
17

6. Dạng
( )
( )

2
1
n
f x
x ax bx c
α
=
− + +
.
Phương pháp:
ðặt
1
t
x
α
=
−
.
7. Dạng
( )
2
f x ax bx c
= + +
.
Phương pháp:
Bi
ế
n
ñổ
i v

ề
m
ộ
t trong hai d
ạ
ng sau.
+
( )
2
f x u m
= +
n
ế
u
0
a
>
.
+
( )
2 2
g x k u
= −
n
ế
u
0
a
<
.

a. Cách tính nguyên hàm của hàm
( )
2
, 0
f x x m m
= + ≠
.
Ta có th
ể
vi
ế
t l
ạ
i
( )
2 2
2
2 2 2
x m x m
f x x m
x m x m x m
+
= + = = +
+ + +
.
Ta có :
2
1
2
ln

m
dx m x x m C
x m
= + + +
+
∫
.
Ta tính nguyên hàm
2
2
x
I dx
x m
=
+
∫
b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp nguyên hàm t
ừ
ng ph
ầ
n nh
ư
sau.
Ch
ọ
n

2 2
2
2

u x
du dx
I x x m x mdx
xdx
dv
v x m
x m
=

=

 
⇒ ⇒
= + − +
 
=
= +



+

∫
.
Do
ñ

ó ta có
2 2 2 2
1
ln
x mdx x x m x m m x x m C
+ = + − + + + + +
∫ ∫


2 2 2
ln
2 2
x m
x mdx x m x x m C
⇔ + = + + + + +
∫
.
V
ậ
y h
ọ
nguyên hàm c
ủ
a
( )
2
, 0
f x x m m
= + ≠
là

( )
2 2
ln
2 2
x m
F x x m x x m C
= + + + + +
.
b. Cách tính nguyên hàm của hàm
( )
2 2
g x k x
= −
.
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
18

Ta có thể viết lại
( )
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
k x k x
g x k x
k x k x k x
−
= − = = −
− − −

.
Ta có :
2
2
1
2 2
arcsin
k x
dx k C
k
k x
= +
−
∫
.
Ta tính nguyên hàm
2
2 2
x
I dx
k x
=
−
∫
bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.
Chọn
2 2 2 2
2 2
2 2

u x
du dx
I x k x k x dx
xdx
dv
v k x
k x
=

=

 
⇒ ⇒ = − − + −
 
=
= − −



−

∫
.
Do ñó ta có
2 2 2 2 2 2 2
1
arcsin
x
k x dx k x k x k x dx C
k

− = + − − − +
∫ ∫
.

2
2 2 2 2
arcsin
2 2
k x x
k x dx k x C
k
⇔ − = + − +
∫
.
V
ậ
y h
ọ
nguyên hàm c
ủ
a
( )
2 2
g x k x
= −
là

( )
2
2 2

arcsin
2 2
k x x
F x k x C
k
= + − +
.
Chú ý :
Ta có th
ể
tính nguyên hàm d
ạ
ng
( )
2
f x ax bx c
= + +
b
ằ
ng cách sau.
Phương pháp 1:
+ N
ế
u
0
a
>


ðặ

t
2
ax bx c ax t
+ + = ± +


2 2 2
2
ax bx c ax axt t
⇒
+ + = + +
(Gi
ả
s
ử
ta l
ấ
y d
ấ
u +)

( )
2
2
2
2
a
2
t c
x

b at
a t c
x bx c ax t t
b at
−
⇒ =
−
−
⇒ + + = + = +
−

Phương pháp 2:
+ Gi
ả
s
ử
tam th
ứ
c
2
ax bx c
+ +
có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t là
,
α β
.

ðặt
( )
2
ax bx c x t
α
+ + = −
.
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
19


( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
2
2 2
a x x x t a x x t
a
t a
x x
t a t a
α β α β α
α β
α β
α
⇒ − − = − ⇒ − = −
−

−
⇒ = ⇒ − =
− −


( )
(
)
2
2
a t
ax bx c x t
t a
α β
α
−
⇒ + + = − =
−
.
8. Dạng
( )
( )( )
1
f x R
x a x b
 
 
=
 
+ +

 


ñặ
t
t x a x b
= + + +
.
9. Dạng
( )
a x
f x
a x
+
=
−
ho
ặ
c
( )
a x
f x
a x
−
=
+
.
Phương pháp :
Cách 1:
ðặ

t
.cos 2
x a t
=
v
ớ
i
0;
2
t
π
 
∈
 
 
.
Cách 2:
2 2
a x a x a x
a x
a x
a x
+ + −
= =
−
−
−
v
ớ
i

0
a x
+ >
và
0
a x
− >
.
Cách 3:
ðặ
t
a x
t
a x
+
=
−
.
10. Dạng
2 2
b
a
dx
I
x a
=
−
∫
.
Phương pháp :

2 2
t x x a
= + −
.
11. Dạng
2 2
b
a
J x a dx
= −
∫
.
Phương pháp :

ðặ
t
2 2
2 2

x
du dx
u x a
x a
dv dx
v x

=


 
= −
⇒
−
 
=



=

.
11. Dạng
2
1
t
t
ax b
cx d
dx
+
+
∫
.
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
20

Phương pháp :
Cách 1: ðặt

t cx d
= +
hoặc
ax b
t
cx d
+
=
+
.
Cách 2:
( )( )
2 2 2
1 1 1
2
t t t
t t t
ax b ax b ax b
cx d
cx d ax b
Ax Bx C
dx dx dx
+ + +
= =
+
+ +
+ +
∫ ∫ ∫

2 2
1 1
2 2
2 1
t t
t t
Ax B
M N
Ax Bx C Ax Bx C
dx dx
+
= +
+ + + +
∫ ∫

12. Dạng
( )( )
2
1
1
t
t
dx
x a x b
∫
+ +
.
Phương pháp :
ðặt
t x a x b

= + + +
với
0
0
x a
x b
+ >


+ >

.
13. Dạng
dx
ax b cx d
+ + +
∫
.
Phương pháp :
ðặt
t cx d
= +
ñưa về dạng
(
)
( )
P x
dx
Q x
∫

.
14. Dạng
( )
dx
ax b cx d
+ +
∫
.
Phương pháp :
ðặt
1
t
ax b
=
+

ñư
a v
ề
d
ạ
ng
(
)
( )
P x
dx
Q x
∫
.

Bài tập

:

Bài 1:
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau.
1.
1
1 1
dx
x+ +
∫
.
2.
1
2
x
dx
x x
+
−
∫
.

3.
3

1
1 1
dx
x+ +
∫
.
4.
4
1
dx
x x
+
∫
.

Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
21

5.
3
x
dx
x x
−
∫
. 6.
( )
1
x

dx
x x +
∫
.
7.
3
4
2
dx
x x x
+ +
∫
. 8.
1 1
1
x
dx
x x
−
+
∫
.
9.
3
1 1
1
x
dx
x x
−

+
∫
.
10.
( )
2
3
2 1 2 1
dx
x x
+ − +
∫
.
11.
2
5 6
dx
x x
− +
∫
.
12.
2
6 8
dx
x x
+ +
∫
.

C. Dạng 3:
(
)
f x
là hàm l
ượ
ng giác.
Ta s
ử
d
ụ
ng các phép bi
ế
n
ñổ
i l
ượ
ng giác thích h
ợ
p
ñể

ñư
a v
ề
các nguyên hàm c
ơ
b
ả

n. Ch
ẳ
ng h
ạ
n.
+
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
sin
1 1
.
sin .sin sin sin .sin
x a x b
x a x b a b x a x b
+ − +
 
 
=
+ + − + +

(
)
( )
 
=
 

 
 
sin -
1
sin -
a b
Sö dông
a b
.

+
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
sin
1 1
.
cos .cos sin cos .cos
x a x b
x a x b a b x a x b
+ − +
 
 
=
+ + − + +

(

)
( )
 
=
 
 
 
sin -
1
sin -
a b
Sö dông
a b
.
+
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
cos
1 1
.
sin .cos cos sin .cos
x a x b
x a x b a b x a x b
+ − +
 
 

=
+ + − + +

(
)
( )
 
=
 
 
 
cos -
1
cos -
a b
Sö dông
a b
.
+ N
ế
u
(
)
(
)
sin ,cos sin ,cos
R x x R x x
− = −
thì
ñặ

t
cos
t x
=
.
+ N
ế
u
(
)
(
)
sin , cos sin ,cos
R x x R x x
− = −
thì
ñặ
t
sin
t x
=
.
+ N
ế
u
(
)
(
)
sin , cos sin ,cos

R x x R x x
− − = −
thì
ñặ
t
tan
t x
=
(Ho
ặ
c
cot
t x
=
).
1. Dạng
(
)
sin .cos
f x ax bx
= ho
ặ
c
(
)
cos .cos
f x ax bx
= ho
ặ
c

(
)
sin .sin
f x ax bx
= …
Phương pháp :
Dùng công th
ứ
c
ñổ
i tích s
ố
thành t
ổ
ng s
ố
.
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
22

+
( ) ( )
1
sin .cos sin sin
2
ax bx a b x a b x
= + + −
 
 

.
+
( ) ( )
1
cos .cos cos cos
2
ax bx a b x a b x
= + + −
 
 
.
+
( ) ( )
1
sin .sin cos cos
2
ax bx a b x a b x
= − + − −
 
 
.
2. Dạng
(
)
2
sin
n
f x ax
=
.

Phương pháp :
Dùng ph
ươ
ng pháp h
ạ
b
ậ
c, thay :

2 2
1 cos2 1 cos2
sin , cos
2 2
ax ax
ax ax
− +
= =

2
1 cos2
sin
2
n
n
ax
xdx dx
−
 
⇒ =
 

 
∫ ∫
.
3. Dạng
(
)
2
cos
n
f x ax
=
.
Phương pháp :
Như trên :
2
1 cos2
cos
2
n
n
x
xdx dx
+
 
=
 
 
∫ ∫
.
4. Dạng

(
)
2 2
sin cos
n m
f x ax ax
=
.
Phương pháp :
Thay
2 2
cos 1 sin
ax ax
= − chuyển về dạng 2 hoặc thay
2 2
sin 1 cos
ax ax
= − chuyển về dạng 3.
5. Dạng
( )
2
2
sin
cos
n
m
x a
f x
x b
+

=
+
.
Phương pháp :
ðặt
tan
t x
=
.
Bài tập:
Bài 1:
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau.
1.
sin 2 sin 5
x xdx
∫
.
2.
cos sin3
x xdx
∫
.
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
23

3.
(
)
2 4
tan tan
x x dx
+
∫
.
4.
cos2
1 sin cos
x
dx
x x
+
∫
.
5.
2sin 1
dx
x
+
∫
.
6.
cos
dx
x
∫

.
7.
sin
dx
x
∫
.
8.
1 sin
cos
x
dx
x
−
∫
.
9.
3
sin
cos
x
dx
x
∫
.
10.
cos cos
4
dx
x x

π
 
+
 
 
∫
.
11. cos cos2 cos3
x x xdx
∫
. 12.
3
cos
xdx
∫
.
13.
4
sin
xdx
∫
.





Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
24

1. Khái niệm tích phân :
- Cho hàm số
(
)
f x
liên tục trên
K
và ,
a b K
∈
. Nếu
(
)
F x
là một nguyên hàm trên
K
thì :

(
)
(
)
F b F a
−
ñược gọi là tích phân của hàm

(
)
f x
từ
a
ñến
b
và kí hiệu là
( )
b
a
f x dx
∫
.
Hay

- ðối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b b
a a a
f x dx f t dx f u dx F b F a
= = = = −
∫ ∫ ∫
.
- Ý nghĩa hình học : Nếu hàm số
(
)
y f x

=
liên tục và không âm trên ñoạn
[
]
,
a b
thì diện tích
S
của
hình thang cong giới hạn bỡi ñò thị
(
)
y f x
=
, trục
Ox
và 2 ñường thẳng ,
x a x b
= =
là :

( )
b
a
S f x dx
=
∫
.
2. Tính chất của tích phân :
1.

( )
0
0
0
f x dx
=
∫
.
2.
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
= −
∫ ∫
.
3.
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx
=
∫ ∫
(k là một hằng số).
4.
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ± 

 
∫ ∫ ∫
.
Chuyên ñề 2 : Tích phân.

( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a
= −
∫

Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội
Trang
25

5.
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
= +
∫ ∫ ∫
.
6. Nếu
(
)
0
f x
≥

trên
[
]
,
a b
thì
( )
0
b
a
f x dx
≥
∫
.
7. Nếu
(
)
(
)
f x g x
≥
trên
[
]
,
a b
thì
( ) ( )
b b
a a

f x dx g x dx
≥
∫ ∫
.
3. Phương pháp tính tích phân :
a. Phương pháp ñổi biến số.

( ) ( ) ( )
( )
(
)
'
u b
b
a u a
f u x u x dx f u du
= 
 
∫ ∫
.
Trong ñó :
(
)
u u x
=
có ñạo hàm liên tục trên
K
,
(
)

y f u
=
liên tục và hàm hợp
(
)
f u x
 
 
xác ñịnh
trên
K
và ,
a b K
∈
.
b. Phương pháp tích phân từng phần.
Nếu
,
u v
là hai hàm có ñạ
o hàm liên t
ụ
c trên
K
và ,
a b K
∈
thì :

b b

a a
b
udv uv vdu
a
= −
∫ ∫
.
Chú ý

:

- C
ầ
n xem l
ạ
i các ph
ươ
ng pháp tìm nguyên hàm.
- Trong ph
ươ
ng pháp tích phân t
ừ
ng ph
ầ
n, ta c
ầ
n ch
ọ
n sao cho
b

a
vdu
∫
d
ễ
tính h
ơ
n
b
a
udv
∫
.

I. Vấn ñề 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm.
Bi
ế
n
ñổ
i bi
ể
u th
ứ
c hàm s
ố

ñể
s
ử
d

ụ
ng
ñượ
c b
ả
ng các nguyên hàm c
ơ
b
ả
n. Tìm nguyên hàm
(
)
F x

c
ủ
a
(
)
f x
, R
ồ
i s
ử
d
ụ
ng tr
ự
c ti
ế

p
ñị
nh ngh
ĩ
a tích phân.

( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a
= −
∫

Chú ý

: ðể
s
ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp này c
ầ
n ph
ả
i :