Luyện thi đại học chuyên đề hình tọa độ không gian

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN


1


PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
 Hệ trục tọa độ : z
- Nếu :
kzjyixOM ++=
;
thì tọa độ điểm M là : M ( x;y;z)
- Trục ox là trục hoành ; trên đó có véc tơ
)0;0;1(=i

- Tr
ụ
c oy là tr
ụ
c tung ; trên
đ
ó có véc t
ơ

)0;01;0(=j

x y
- Tr
ụ
c oz là tr
ụ

c cao ; trên
đ
ó có véc t
ơ

)1;0;0(=k

-
Đ
i
ể
m O là g
ố
c t
ọ
a
độ
; O ( 0;0;0)

o Điểm nằm trên các trục tọa độ
-
Nếu điểm M nằm trên trục hoành ox ; thì tọa độ M(x; 0;0)
-Nếu điểm M nằm trên trục tung oy ; thì tọa độ M(0; y;0)
-Nếu điểm M nằm trên trục cao oz ; thì tọa độ M(0; 0;z)
o Điểm nằm trên các mặt phẳng tọa độ
-Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oxy) ; thì tọa độ M(x; y;0)
-Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oyz) ; thì tọa độ M(0; y;z)
-Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oxz) ; thì tọa độ M(x; 0;z)









 !"
 !" !"
 !"


•
Cho hai
đ
i
ể
m
);;(
111
zyxA
và
);;(
222
zyxB
; khi
đ
ó ta có công th
ứ
c tính t
ọ

a
độ
c
ủ
a vecto
AB

là :
(
)
121212
;; zzyyxxAB −−−=


•
Cho hai vecto:
(
)
321
;; aaaa =
và
(
)
321
;; bbbb =
; khi dó ta có các công th
ứ
c tính nh
ư
sau :

Ct1
:
Tọa độ vecto tổng và vecto hiệu của các vecto
(
)
332211
;; babababa +++=+
và
(
)
332211
;; babababa −−−=−

Ct2
:
Tọa độ vecto tích một số thực với một vecto

(
)
321
;; kakakaka =
(v
ớ
i k là m
ộ
t s
ố
th
ự
c b

ấ
t k
ỳ
)
Ct3
:
Tích vô hướng hai vecto

332211
babababa ++=

Ct4
:
Hai vecto cùng phương

3
3
2
2
1
1
//
b
a
b
a
b
a
bkaba ==⇔=⇔

Ct5
:
Hai vecto vuông góc

0 0
332211
=++⇔=⇔⊥ bababababa

Chú ý : Vận dụng hai vecto vuông góc để chứng minh :
-Tam giác vuông
-Hai đường thẳng vuông góc
Ct6
:
Hai vecto bằng nhau






=
=
=
⇔=
33
22
11
ba
ba
ba

ba
( Hai vecto b
ằ
ng nhau )

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN


2

Chú ý : Vận dụng hai vecto bằng nhau để :
-Tìm tọa độ điểm ; khi biết tứ giác đó là một hình bình hành

Ct7
:
Tính góc của hai vecto
(
)
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1

332211


.
;cos
bbbaaa
bababa
ba
ba
ba
++++
++
==



3.Tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng ; trong tâm của tam giác và của tứ diện
*T
ọ
a
độ
trung
đ
i
ể
m M c
ủ
a
đ
o

ạ
n th
ẳ
ng AB ; v
ớ
i
);;(
111
zyxA
và
);;(
222
zyxB

Thì t
ọ
a
độ
trung
đ
i
ể
m M là :






+++

2
;
2
;
2
212121
zzyyxx
M

* T
ọ
a
độ
tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a tam giác ABC ; v
ớ
i
);;(
111
zyxA
;
);;(
222
zyxB
;
);;(
333

zyxC
. Thì t
ọ
a
độ
tr
ọ
ng tâm G






++++++
3
;
3
;
3
321321321
zzzyyyxxx
G

* T
ọ
a
độ
tr
ọ

ng tâm G c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n ABCD ; v
ớ
i
);;(
111
zyxA
;
);;(
222
zyxB
;
);;(
333
zyxC
;
);;(
444
zyxD
Thì t
ọ
a
độ
trung
đ

i
ể
m G là :






+++++++++
4
;
4
;
4
432143214321
zzzzyyyyxxxx
G

o

Công thức tính độ dài của một đoạn thẳng

Cho hai
đ
i
ể
m :
);;(
111

zyxA
và
);;(
222
zyxB
thì ta có :
( ) ( ) ( )
2
12
2
12
2
12
zzyyxxAB −+−+−=

Chú ý : dùng công thức tính độ dài đoạn thẳng để tính chu vi của một tam giác ; tứ giác ;
khoảng cách từ một điểm đến một điểm


4. Tích có hướng của hai véc tơ trong không gian và ứng dụng:
o Khái niệm:
Trong không gian Oxyz, tích có h
ướ
ng c
ủ
a hai véct
ơ

a
và

b
là m
ộ
t véct
ơ
vuông góc v
ớ
i c
ả

a
và
b
.
Kí hi
ệ
u : [
ba;
]
Cho :
(
)
321
;; aaaa
=


(
)
321

;; bbbb =


(
)
2
2
1
1
1
1
3
3
3
3
2
2
;;];[
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b

ba =⇒

Nh
ớ :
b
ỏ
c
ộ
t 1 ; b
ỏ
c
ộ
t 2
đổ
i chi
ề
u ; b
ỏ
c
ộ
t 3



#$%&
#$%&#$%&
#$%&'()*+,-!.*#*#/*0 !"1
'()*+,-!.*#*#/*0 !"1'()*+,-!.*#*#/*0 !"1
'()*+,-!.*#*#/*0 !"1


2 3#4
2 3#42 3#4
2 3#45*+67#45*+8
5*+67#45*+85*+67#45*+8
5*+67#45*+8

·
Tích có hướng
:

1. chọn MODE 8 (Vector),
2. chọn 1 cho vector A, hoặc chọn 2 cho vector B,hoặc chọn 3 cho chọn vector C
3. hiện ra VctA(m) khi chọn vector A, VctB(m) khi chọn vector B, tương tự vector C, chọn 1
cho tọa độ không gian Oxyz, và chọn 2 cho trục tọa độ Oxy
4. khi chọn vector nào điền tọa độ vào
5. sau đó, nhấn AC tiếp theo chọn shift 5 (VECTOR) các thuật ngữ



Mẫu chọn Yêu cầu

(
)
0
90;0. >⇔< baba


(
)
0

90;0. =⇔= baba


(
)
0
90
;
0
.
<
⇔
>
b
a
b
a

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN


3

1 Dim Gọi VctA, VctB, VctC để ấn định chiều (mặt phẳng hay
không gian) cho các vector này
2 Data Gọi VctA, VctB, VctC để hiện tọa độ và chỉnh sữa tọa độ
3 VctA Nhập "VctA"
4 VctB Nhập "VctB"
5 VctC Nhập "VctC"
6 VctAns Nhập "VctAns"

7 Dot Nhập dấu . (để lấy tích vô hướng 2 vector)

6
. chọn Dim rồi chọn VctB hay VctC cũng tương tự VctA chọn 1hay 2 rồi nhập tọa độ vector thứ 2 hay
thứ 3.
7. rồi nhấn AC, gọi lai nhân shift 5 chọn 3 gọi vector A, chọn 4 gọi vector B và C tương tụ.
8. Nếu muốn nhân 2 vector hữu hướng thì chọn dấu nhân (X) giữa 2 vector. VD nhân vector A và Vector
B nếu có hướng thì chọn shift 5 ( Vector ) 3 rồi chọn dấu nhân(x) rồi chọn shift 5 chọn 4.
9. cuối cùng nhấn dấu bằng (=) hiện ra kq.

o Ứng dụng:





];[
2
1
ACABS
ABC
=
∆





/
.

].;[
////
AAADABV
DCBAABCD
=





ADACABV
ABCD
].;[
6
1
=







cbacba ,,0].;[ ⇒=
đồng phẳng.





baba ,0];[ ⇒=
cùng phương.

9
99
9:
::
:



;<
;<;<
;<






=
>

?
@

ABC
ADA

E


1 Chứng minh 3 điểm A;B;C thẳng hàng hay
không thẳng hàng
Lập 2 véc tơ
;
AB AC
uuur uuur

.Nếu hai vecto trên cùng phương thì 3
điểm thẳng hàng
.Nếu hai vecto trên không cùng phương
thì 3 điểm trên không thẳng hàng hay
lập thành 1 tam giác
2 Tìm D để tứ giác ABCD là hình bình hành Vẽ hình, kí hiệu chính xác
Gọi D(x; y; z)
ABCD là hbh 


AD BC
=
uuur uuur






=
=
=

⇔=
33
22
11
ba
ba
ba
ba

3 Tìm các điểm còn lại của một hình hộp Vẽ hình kí hiệu điểm chính xác
Dùng vecto bằng nhau để tìm





=
=
=
⇔=
33
22
11
ba
ba
ba
ba


4 Tìm

C Ox
∈
để ABC là tam giác cân tại C Gọi
( ;0;0)
C x Ox
∈

ABC
∆
cân tại C 

 CA= CB
Hai vecto bằng nhau
LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN


4

o





=
=
=
⇔=
33
22

11
ba
ba
ba
ba

5
Tìm
C Oxy
∈
để
ABC
∆
đều
Gọi
( ; ;0)
C x y Oxy
∈

ABC
∆



CA CB
CA AB
=


=








=
=
=
⇔=
33
22
11
ba
ba
ba
ba

6 Tìm
C Ox
∈
để ABC là tam giác vuông tại C Gọi
( ;0;0)
C x Ox
∈

ABC
∆
vuông tại C 



. 0
CACB
=
uuur uuur

7 Tìm chân đường cao A’ hạ từ A của
ABC
∆
Gọi A’(x;y;z)
Giải hệ:
'
' / /
AA BC
BA BC

⊥




uuur uuur
uuur uuur

8
Tìm trực tâm H của
ABC
∆

Viết ptmp (ABC)
Gọi H(x;y;z)
Giải hệ
( )
H ABC
AH BC
BH AC
∈


⊥


⊥

uuur uuur
uuur uuur

9 Tìm M trên trục Ox cách đều A và B
Tìm M trên trục Oy cách đều A và B
Tìm M trên trục Oz cách đều A và B
Gọi M(x,0,0) giải MA=MB
Gọi M(0,y,0) giải MA=MB
Gọi M(0,0,z) giải MA=MB
10 Tìm M trên mpOxy cách đều 3 điểm A, B, C
Tìm M trên mpOxz cách đều 3 điểm A, B, C
Tìm M trên mpOyz cách đều 3 điểm A, B, C
Gọi
( ; ;0)
C x y Oxy

∈

Giải hệ MA=MB=MC
Gọi
( ;0; )
C x z Oxz
∈

Giải hệ MA=MB=MC
Gọi
(0; ; )
C y z Oyz
∈

Giải hệ MA=MB=MC
11 Tìm M trên mp(P) cách đều 3 điểm A; B; C Gọi M(x;y;z)
Giải hệ
( )
M P
MA MB
MA MC
∈


=


=







=
=
=
⇔=
33
22
11
ba
ba
ba
ba


• TỌA ĐỘ ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN

VÍ DỤ 1:
Cho tam giác ABC với A(1;2;3),B(2;−2;1),C(−1;−2;−3)
a) Tìm tọa độ điểm M sao cho AM + 2BA=3CM
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
c) Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD
VÍ D 2: Cho góc tam diện vuông Oxyz, trên Ox, Oy, Oz lấy các điêm A, B, C
LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN


5

sao cho OA=a;OB=b;OC=c,a≤b≤c. Một (d) đi qua O. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể nhận được của
tổng khoảng cách từ các từ các điểm A, B, B đến (d)
VÍ DỤ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình bình hành ABCD ,
biết A(
−
3;
−
2;0);B(3;
−
3;1);C(5;0;2)
1. Tìm tọa độ điểm D
2. Tính góc giữa hai vectơ AC và BD

BÀI TẬP TỰ RẰNG
Bài 1:
Trong hệ tọa độ Oxy cho
(1; 2;1)
a
= −
r
,
( 2;1;1)
b = −
r
,
3 2
c i j k
= + −
r

r r
r
. Tìm tọa độ các véctơ sau:

a)
3 2
u a b
= −
r
r r
b)
3
v c b
= − −
r r r
c)
w 2
a b c
= − +
uur r r r
d)
3
2
2
x a b c
= − +
r r r r


Bài 2:

Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho
(1; 1;0)
a
= −
r
,
( 1;1;2)
b = −
r
,
2
c i j k
= − −
r
r r
r
,
d
i
=
r r

a) xác
đị

nh k
để
véct
ơ

(2;2 1;0)
u k
= −
r
cùng ph
ươ
ng v
ớ
i
a
r

b) xác
đị
nh các s
ố
th
ự
c m, n, p
để

d
ma nb pc
= − +
r r r r

c) Tính
, , 2
a b a b
+
r r r r


Bài 3:
Cho
(
)
(
)
(
)
2; 5;3 , 3;7; 4 , ; ; 6
A B C x y

a) Tìm x, y
để
ba
đ
i
ể
m A, B, C th
ẳ
ng hàng
b) Tìm giao
đ

i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng AB v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng yOz. Tính
độ
dài
đ
o
ạ
n AB
c) Xác
đị
nh t
ọ
a
độ

đ
i

ể
m M trên mp Oxy sao cho
MA MB
+
nh
ỏ
nh
ấ
t.

Bài 4
: Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho
1
(1; 2; )
4
a
= −
r
,
( 2;1;1)
b
= −
r
,

3 2 4
c i j k
= + +
r
r r
r

a) Tính các tích vô h
ướ
ng
.
ab
r r
,
.
c b
r r
. Trong ba véct
ơ
trên có các c
ặ
p véct
ơ
nào vuông góc
b) Tính
os(a,b)
C
r r
,
os(a,i)

C
r r


Bài 5:
Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1; 1;1 , 2; 3;2 , 4; 2;2 , 3;0;1 , 1;2;3
A B C D E
− − −

a) Ch
ứ
ng t
ỏ

r
ằ
ng ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t. Tính di
ệ
n tích c
ủ
a nó.
b) Tính cos các góc c
ủ
a tam giác ABC
c) Tìm trên
đườ
ng th
ẳ
ng Oy
đ
i
ể
m cách
đề
u hai
đ
i
ể
m AB
d) Tìm t

ọ
a
độ

đ
i
ể
m M th
ỏ
a
2 0
MA MB MC
+ − =
uuur uuur uuuur r


Bài 6: Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho:
(
)
(
)
(
)
1; 1;1 , 2; 3;2 , 4; 2;2 .

A B C
− − −

a) Tìm t
ọ
a
độ
trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
đ
o
ạ
n AB
b) Tìm t
ọ
a
độ
trong tâm tam giác ABC

• TÍCH CÓ HƯỚNG HAI VÉCTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG
Bài 1: Trong không gian
Oxyz
, tính tích có hướng
,
u v

 
 
r r
biết rằng:
a)
(1; 2;1)
u
= −
r
,
( 2;1;1)
v
= −
r
b)
( 1;3;1)
u
= −
r
,
(0;1;1)
v
=
r
c)
4
u i j
= +
r r r
,

2
v i j k
= − −
r r r
r



Bài 2: Trong không gian
Oxyz
, tính tích
, .w
u v
 
 
r r uur
biết rằng:
a)
(1; 2;1)
u
= −
r
,
(0;1;0)
v
=
r
,
w (1;2; 1)
= −

uur

b)
( 1; 1;1)
u
= − −
r
,
(0;0;2)
v
=
r
,
w (1; 2; 1)
= − −
uur

c)
4
u i j
= +
r r r
,
2
v i j k
= − −
r r r
r
,
w (5;1; 1)

= −
uur



LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN


6

Bài 3:
Trong không gian
Oxyz
, Cho
(
)
(
)
(
)
(
)
1; 1;1 , 2; 3;2 , 4; 2;2 , 1;2;3
A B C D
− − −

a) Ch
ứ
ng t
ỏ

r
ằ
ng A,B,C không th
ẳ
ng hàng
b) Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng b
ố
n
đ
i
ể
m A,B,C,D không
đồ
ng ph
ẳ
ng
c) Tính di
ệ
n tích tam giác ABC
d) Tính th
ể
tích t
ứ
di

ệ
n ABCD.Bi
ế
t r
ằ
ng

Bài 4
: Trong không gian
Oxyz
, cho hình chóp S.ABCD có:
(
)
(
)
(
)
(
)
2; 1;1 , 2; 3;2 , 4; 2;2 , 1;2; 1 ,
A B C D
− − − −

(
)
0;0;7
S

a) Tính di
ệ

n tích tam giác SAB
b) Tính di
ệ
n tích t
ứ
giác ABCD
c) Tính th
ể
tích hình chóp S.ABCD. T
ừ

đ
ó suy ra kho
ả
ng cách t
ừ
S
đế
n mp(ABCD)

d) Tính kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n mp(SCD)


Bài 5:

Trong không gian
Oxyz
, cho hình h
ộ
p ABCD.A’B’C’D’. Bi
ế
t r
ằ
ng:
(
)
(
)
(
)
(
)
1;2; 1 , 1;1;3 , 1; 1;2 ’ 2; 2; 3
A B C và D
− − − − − −

a) Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh còn l
ạ
i

b) Tính th
ể
tích hình h
ộ
p
c) Tính th
ể
tích t
ứ
di
ệ
n A.A’BC. Tính t
ỉ
s
ố

. ' ' ' '
. ' ' '
ABCD A B C D
A A B C
V
V

d) Tính th
ể
tích kh
ố
i
đ
a di

ệ
n ABCDD’



9
99
9:ABCF
:ABCF:ABCF
:ABCF<
<<
<GH
GHGH
GH






DẠNG 1: (x-A)
2
+ (y-B)
2
+ (z-C)
2
=R
2
(1) Tâm I(A;B;C) , bán kính R
Yêu cầu: - Có pt đọc được tâm I và bán kính R

- Có tâm I(A; B; C), bán kính R viết được phương trình mặt cầu
DẠNG 2: x
2
+y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D =0 (2)
Yêu cầu: - Đọc được các số A=hệ số x/2; B=hệ số y/2; C=hệ số z/2; D tự do
- Lập được điều kiện để pt (2) là pt mặt cầu A
2
+B
2
+C
2
-D>0
- Đọc được tâm I(-A; -B; -C); bán kính
2 2 2
A B C D
R
= + + −

D=
D=D=
D=>IDBJGA
>IDBJGA>IDBJGA
>IDBJGA



=
>

?
@

ABC
ADA
E

1 Viết ptmc (S) có tâm I(A; B; C) bk R Thay vào (1)
2 Viết ptmc (S) có tâm I(A; B; C) và đi qua
đi
ểm A

Bán kính R= IA
Thay vào (1)

3 Viết ptmc (S) đường kính AB biết 2 điểm
A và B
Tâm I là trung điểm AB
Bk R=AB/2
Thay vào CT (1)
4 Viết ptmc (S) có tâm I và tiếp xúc mp (P) Bán kính R= d( I; (P))
Thay vào (1)

5 Viết ptmc (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD
hay đi qua 4 điểm A;B;C;D không đồng
phẳng
Gọi tâm I(A; B; C)

Giải hệ 3 pt:
2 2
2 2
2 2
IA IB
IA IB
IA IC IA IC
IA ID
IA ID

=
=



= ⇔ =
 
 
=
=



Suy ra tâm I. Bán kính: R=IA
LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN


7

6 Viết ptmc (S) qua 2 điểm A, B và có tâm I

nằm trên trục hay 1 đường thẳng
Lấy tọa độ tâm I theo trục hay theo
đường thẳng
Giải pt IA = IB
Suy ra tâm I, bk R=IA
7 Viết ptmc (S) qua 3 điểm A, B,C và có tâm
I nằm trên mặt phẳng (P)
Gọi tâm I(x;y;z)
Giải hệ
1 ( )
IA IB
IA IC
ptmp P
=


=




Suy ra tâm I, bk R=IA
8 Chứng minh điểm A nằm trong, nằm trên
hay nằm ngoài mặt cầu (S)
Xác định tâm I, bán kính R
Tính IA:
Nếu IA<R thì A nằm trong
Nếu IA=R thì A nằm trên
Nếu IA>R thì A nằm ngoài
9 Chứng minh đoạn AB cắt mặt cầu (S)

Chứng minh đoạn AB không cắt (S)
Ta c/m 1 điểm nằm trong và 1 điểm
nằm ngoài mặt cầu
Ta c/m A, B cùng nằm trong hoặc ngoài
mặt cầu
10 Chứng minh mp(P) cắt hoặc tiếp xúc hoặc
không cắt mặt cầu (S)
Xác định tâm I, bán kính R của (S)
Tính d(I; (P))
Nếu d(I; (P))<R thì (P) cắt (S)
Nếu d(I; (P))=R thì (P) tiếp xúc (S)
Nếu d(I; (P))>R thì (P) không cắt S



KE
KEKE
KELACKM9ABCF
LACKM9ABCFLACKM9ABCF
LACKM9ABCF<
<<
<GH
GHGH
GH


Bài 1:
Trong không gian
Oxyz

, tìm tâm và bán kính m
ặ
t c
ầ
u
a)
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 9
x y z
− + + + − =
b)
2 2 2
25
4 5 3 0
4
x y z x y z
+ + − + + + =


Bài 2:
Trong không gian
Oxyz
, cho
(
)
(
)
1;3; 7 , 5; 1;1
A B
− −

.
a) L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u tâm A bán kính AB
b) L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u
đườ
ng kính AB
c) L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u tâm B ti

ế
p xúc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
Oxy


Bài 3:
Trong không gian
Oxyz
, cho
(
)
(
)
(
)
(
)
1;1;1 , 1;2;1 , 1;1;2 , 2;2;1
A B C D

a) Vi
ế
t ph
ươ

ng trình m
ặ
t c
ầ
u
đ
i qua b
ố
n
đ
i
ể
m A, B, C, D
b) Tìm hình chi
ế
u c
ủ
a tâm m
ặ
t c
ầ
u
ở
câu a) lên các mp
,
Oxy Oyz


Bài 4:
Trong không gian

Oxyz
, hãy l
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u
đ
i qua 3
đ
i
ể
m:
(
)
1;2; 4 ,
A
−

(
)
(
)
1; 3;1 , 2;2;3
B C
−
và có tâm n

ằ
m trên mp Oxy

Bài 5:
Trong không gian
Oxyz
, cho
(
)
(
)
(
)
(
)
2; 1;6 , 3; 1; 4 , 5; 1;0 , 1;2;1
A B C D
− − − − −

a) Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng ABCD là m
ộ
t t
ứ
di

ệ
n
b) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
di
ệ
n ABCD
c) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u c
ắ
t mp(ABC) theo thi

ế
t di
ệ
n là m
ộ
t
đườ
ng tròn có bán kính l
ớ
n nh
ấ
t.

Bài 6:
Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng ph
ươ
ng trình:
2 2 2 2
4 2 4 4 0
x y z mx my z m m
+ + + − + + + =
luôn luôn là ph
ươ
ng trình

c
ủ
a m
ộ
t m
ặ
t c
ầ
u. Tìm m
để
bán kính m
ặ
t c
ầ
u là nh
ỏ
nh
ấ
t.

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN


8

Bài 7:
Ch
ứ
ng t
ỏ

r
ằ
ng ph
ươ
ng trình:
2 2 2 2
2 os . 2sin . 4 4 4sin 0
x y z c x y z
α α α
+ + + − + − − =
luôn là ph
ươ
ng
trình c
ủ
a m
ộ
t m
ặ
t c
ầ
u. Tìm m
để
bán kính m
ặ
t c
ầ
u là l
ớ
n nh

ấ
t.





NOAKEIDABCF
NOAKEIDABCFNOAKEIDABCF
NOAKEIDABCF<
<<
<GH
GHGH
GH
(
Tác giả: Trần Sĩ Tùng
)
Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính

1.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho
đ

i
ể
m
I
(1; 2;3)
−
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u tâm I và ti
ế
p xúc v
ớ
i
tr
ụ
c Oy.
• G
ọ
i M là hình chi
ế
u c
ủ
a
I

(1; 2;3)
−
lên Oy, ta có:
M
(0; 2;0)
−
.

IM R IM
( 1;0; 3) 10
= − − ⇒ = =
uuur
là bán kính m
ặ
t c
ầ
u c
ầ
n tìm.
K
ế
t lu
ậ
n: PT m
ặ
t c
ầ
u c
ầ
n tìm là

x y z
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 10
− + + + − =
.


2.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng: (d
1
) :
{
x t y t z
2 ; ; 4
= = =
và (d
2
) :

{
3 ; ; 0
= − = =
x t y t z
. Ch
ứ
ng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có
đườ
ng kính là
đ
o
ạ
n vuông góc chung c
ủ
a (d
1
) và (d
2

).
• G
ọ
i MN là
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a (d
1
) và (d
2
)
⇒

M N
(2; 1; 4); (2; 1; 0)


⇒
Ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S):
x y z
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 4.
− + − + − =

Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
:
a)
x y z
d
1
2 1
:
1 1 2
− −
= =
−
,
x t
d y
z t
2
2 2
: 3

′
= −

=



′
=

.
Đ
S: S x y z
2 2 2
11 13 1 5
( ):
6 6 3 6
     
− + − + + =
     
     

b)
x y z x y z
d d
1 2
2 1 2 4 2
( ): ,( ):
1 2 2 1 6 2
− − − + −
= = = =
−

ĐS:
S x y z

2
2 2
5 9
( ) :( 2) ( 3)
2 4
 
− + − + − =
 
 


3.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng:
x y z
d
1
4 1 5
:

3 1 2
− − +
= =
− −
và
2
2
: 3 3
= +


= − +


=

x t
d y t
z t
.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u có bán kính nh
ỏ

nh
ấ
t ti
ế
p xúc v
ớ
i c
ả
hai
đườ
ng th
ẳ
ng
d
1
và
d
2
.
• M
ặ
t c
ầ
u nh
ậ
n
đ
o
ạ
n vuông góc chung c

ủ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng là
đườ
ng kính.
Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
:
a)
x t
d y t
z
1
2
:
4

=

=


=


,
x t
d y t
z
2
3
:
0

= −

=


=

.
Đ
S:
S x y z
2 2 2
( ):( 2) ( 1) ( 2) 4
− + − + − =


4.
Trong không gian v
ớ
i h

ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho
đườ
ng th
ẳ
ng
1
( )
∆
có ph
ươ
ng trình
{
x t y t z
2 ; ; 4
= = =
;
2
( )
∆
là
giao tuy
ế
n c
ủ
a 2 m

ặ
t ph
ẳ
ng
x y
( ): 3 0
α
+ − =
và
x y z
( ): 4 4 3 12 0
β
+ + − =
. Ch
ứ
ng t
ỏ
hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
,
∆ ∆
chéo nhau và vi
ế
t ph
ươ
ng trình m

ặ
t c
ầ
u nh
ậ
n
đ
o
ạ
n vuông góc chung c
ủ
a
1 2
,
∆ ∆
làm
đườ
ng kính.
• G
ọ
i AB là
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a
1
∆
,
2
∆

:
A t t
1
(2 ; ;4)
∆
∈
,
B s s
2
(3 ; ;0)
∆
+ − ∈

AB ⊥ ∆
1
, AB ⊥ ∆
2
⇒
A B
(2;1;4), (2;1;0)

⇒ Ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u là:
x y z
2 2 2

( 2) ( 1) ( 2) 4
− + − + − =



LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN


9

5.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho hình h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t ABCD.A’B’C’D’ có A
≡
O, B(3;0;0), D(0;2;0),
A’(0;0;1). Vi
ế

t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u tâm C ti
ế
p xúc v
ớ
i AB’.
• K
ẻ
CH
⊥
AB’, CK
⊥
DC’ ⇒ CK
⊥
(ADC’B’) nên ∆CKH vuông t
ạ
i K.

CH CK HK
2 2 2
49
10
⇒
= + =
. V

ậ
y ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u:
x y z
2 2 2
49
( 3) ( 2)
10
− + − + =


6.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c to
ạ

độ
Oxyz, cho 4
đ
i

ể
m A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; –1; 2) và
m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có ph
ươ
ng trình:
x y z
2 0
+ + − =
. G
ọ
i A’ là hình chi
ế
u c
ủ
a A lên m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy. G
ọ
i (S) là
m
ặ
t c
ầ
u

đ
i qua 4
đ
i
ể
m A′, B, C, D. Xác
đị
nh to
ạ

độ
tâm và bán kính c
ủ
a
đườ
ng tròn (C) là giao c
ủ
a (P) và
(S).

• D
ễ
th
ấ
y A′( 1; –1; 0). Ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ

u ( S):
01225
222
=+−−−++ zyxzyx

⇒ (S) có tâm
I
5
;1;1
2
 
 
 
, bán kính
R
29
2
=

+) G
ọ
i H là hình chi
ế
u c
ủ
a I lên (P). H là tâm c
ủ
a
đườ
ng tròn ( C)

+) PT
đườ
ng th
ẳ
ng (d)
đ
i qua I và vuông góc v
ớ
i (P): d:
x t
y t
z t
5/ 2
1
1

= +

= +


= +

H
5 1 1
; ;
3 6 6
 
⇒
 

 


IH
75 5 3
36 6
= = , (C) có bán kính
r R IH
2 2
29 75 31 186
4 36 6 6
= − = − = =


7.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho
đ
i
ể
m A(1; –2; 3) và
đườ
ng th

ẳ
ng d có ph
ươ
ng trình
x y z
1 2 3
2 1 1
+ − +
= =
−
. Tính kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m A
đế
n
đườ
ng th
ẳ
ng d. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ

t c
ầ
u tâm A,
ti
ế
p xúc v
ớ
i d.
• d(A, (d)) =
BA a
a
, 4 196 100
5 2
4 1 1
 
+ +
 
= =
+ +
uur r
r

PT m
ặ
t c
ầ
u tâm A (1; –2; 3), bán kính R =
5 2
:
x y z

2 2 2
( –1) ( 2) ( –3) 50
+ + + =


8.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho
đườ
ng th
ẳ
ng
x y z
d
5 7
:
2 2 1
+ −
= =
−
và
đ
i

ể
m
M
(4;1;6)
.
Đườ
ng
th
ẳ
ng d c
ắ
t m
ặ
t c
ầ
u (S), có tâm M, t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A, B sao cho
AB
6
=
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình c

ủ
a m
ặ
t c
ầ
u (S).
•
d

đ
i qua
N
( 5;7;0)
−
và có VTCP
u
(2; 1;1)
= −
r
;
MN
( 9;6; 6)
= − −
uuuur
.
G
ọ
i H là chân
đườ
ng vuông góc v

ẽ
t
ừ
M
đ
ên
đườ
ng th
ẳ
ng d ⇒ MH =
d M d
( , ) 3
=
.
Bán kính m
ặ
t c
ầ
u (S):
AB
R MH
2
2 2
18
2
 
= + =
 
 
.

⇒ PT m
ặ
t c
ầ
u (S):
x y z
2 2 2
( 4) ( 1) ( 6) 18
− + − + − =
.

9.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
x y z
: 2 2 3 0
α

− + − =
và m
ặ
t c
ầ
u
( )
S x y z x y z
2 2 2
: 2 4 8 4 0
+ + − + − − =
. Xét v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u (S) và m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)

α
. Vi
ế
t ph
ươ
ng
trình m
ặ
t c
ầ
u (S′)
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i m
ặ
t c
ầ
u (S) qua m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
α
.
•

( )
( )
( )
S x y z
22
2
( ) : 1 2 4 25
− + + + − =
có tâm
(
)
I
1; 2;4
−
và R = 5.
Kho
ả
ng cách t
ừ
I
đế
n (α) là:
(
)
d I R
,( ) 3
α
= <
⇒ (α) và m
ặ

t c
ầ
u (S) c
ắ
t nhau.
G
ọ
i J là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a I qua (α). Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng IJ :
x t
y t
z t
1 2
2
4 2


= +

= − −


= +


LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN


10

To
ạ

độ
giao
đ
i
ể
m H c
ủ
a IJ và (α) tho
ả

( )
x t t
y t x

H
z t y
x y z z
1 2 1
2 1
1; 1;2
4 2 1
2 2 3 0 2
 
= + = −
 
 
= − − = −
⇔ ⇒ − −
 
= + = −
 
− + − = =
 
 

Vì H là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a IJ nên
(
)

J
3;0;0
−
. M
ặ
t c
ầ
u (S
′
) có tâm J bán kính R
′
= R = 5 nên có ph
ươ
ng trình:
( )
S x y z
2
2 2
( ): 3 25
′
+ + + =
.

10.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, l
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) bi
ế
t r
ằ
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy và m
ặ
t ph
ẳ
ng
(P):
2
z
=
l
ầ
n l

ượ
t c
ắ
t (S) theo hai
đườ
ng tròn có bán kính b
ằ
ng 2 và 8.

•
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t ta có vô s
ố
m
ặ
t c
ầ
u (S) tho
ả
YCBT. G
ọ
i (S
0
) là m
ặ

t c
ầ
u có tâm
I m
0
(0;0; )
thu
ộ
c tr
ụ
c Oz. Khi
đ
ó mp(Oxy) và mp(P) c
ắ
t (S
0
) theo 2
đườ
ng tròn tâm
O O
1
(0;0;0)
≡
, bán kính
R
1
2
=
và tâm
O

2
(0;0;2)
,
bán kính
R
2
8
=
.
G
ọ
i R là bán kính m
ặ
t c
ầ
u thì
R m
m m m
R m
2
2 2
2 2
2
2 2
2
4 64 ( 2) 16
8 2


= +

⇒ + = + − ⇒ =

= + −




⇒
R
2 65
= và I
0
(0;0;16)
. Suy ra m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm
I a b
( ; ;16)
(a, b
∈
R), bán kính R
2 65
= .
V
ậ
y ph
ươ
ng trình m

ặ
t c
ầ
u (S):
x a y b z
2 2 2
( ) ( ) ( 16) 260
− + − + − =
(a, b
∈
R).

11.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho m
ặ
t ph
ẳ
ng (P):
x y z
2 2 2 0
− − − =
và

đườ
ng th
ẳ
ng d:
x y z
1 2
1 2 1
+ −
= =
−
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm I thu
ộ
c d, I cách (P) m
ộ
t kho
ả
ng b
ằ
ng 2 và (P) c
ắ
t
(S) theo m

ộ
t
đườ
ng tròn (C) có bán kính b
ằ
ng 3.

•
Gi
ả
s
ử

I t t t d
( ;2 1; 2)
− − + ∈
, R là bán kính c
ủ
a (S), r là bán kính c
ủ
a (C).
Ta có:
d I P t
( ,( )) 2 6 5 6
= ⇔ − − =

⇔

t
t

1
6
11
6

=



= −

.
( )
R d I P r
2
2 2
( ,( ) 13
= + =

+ V
ớ
i
t
1
6
=

⇒

I

1 2 13
; ;
6 3 6
 
− −
 
 

⇒
(S):
x y z
2 2 2
1 2 13
13
6 3 6
     
+ + + + − =
     
     

+ V
ớ
i
t
11
6
= −

⇒

I
11 14 1
; ;
6 3 6
 
−
 
 

⇒
(S):
x y z
2 2 2
11 14 1
13
6 3 6
     
− + + + − =
     
     


12.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho 2
đ
i
ể
m A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P):
x y z
2 5 0
+ − + =
. L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S)
đ
i qua O, A, B và có kho
ả
ng cách t
ừ
tâm I c
ủ
a m

ặ
t c
ầ
u
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
b
ằ
ng
5
6
.

•
Gi
ả
s
ử
(S):
x y z ax by cz d
2 2 2
2 2 2 0
+ + − − − + =
.
+ T
ừ

O, A, B
∈
(S) suy ra:
a
c
d
1
2
0

=

=


=


⇒

I b
(1; ;2)
.
+
d I P
5
( ,( ))
6
=

⇔

b
5 5
6 6
+
=

⇔

b
b
0
10

=

= −


V
ậ
y (S):
x y z x z
2 2 2
2 4 0
+ + − − =
ho
ặ
c (S):

x y z x y z
2 2 2
2 20 4 0
+ + − + − =


13.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho các
đ
i
ể
m
A B C
(1;3;4), (1;2; 3), (6; 1;1)
− −
và m
ặ
t ph
ẳ
ng
LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

11

x y z
( ): 2 2 1 0
α
+ + − =
. L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm n
ằ
m trên m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
α
và
đ
i qua ba
đ
i
ể

m
A B C
, ,
. Tính di
ệ
n tích hình chi
ế
u c
ủ
a tam giác
ABC
trên m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
α
.

•
Goi
I a b c
( ; ; )
là tâm m
ậ
t c
ầ
u ta có :

a b c a b c
IA IB
IA IC a b c a b c
I a b c
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
(1 ) (3 ) (4 ) (1 ) (2 ) ( 3 )
(1 ) (3 ) (4 ) (6 ) ( 1 ) (1 )
( 2 2 1 0

− + − + − = − + − + − −

=



= ⇔ − + − + − = − + − − + −



∈ + + − =


a)


b c a
a b c b I
a b c c
7 6 1

5 4 3 6 1 (1; 1;1)
2 2 1 0 1
 
+ = =
 
⇔ − − = ⇔ = − ⇒ −
 
 
+ + − = =
 

⇒

R IA
2 2
25
= =


⇒
Ph
ươ
ng trình
S x y z
2 2 2
( ) :( 1) ( 1) ( 1) 25
− + + + − =

Tam giác
ABC

đề
u c
ạ
nh b
ằ
ng
5 2
nên
ABC
S
25 3
2
=


AB AC p AB AC
(0; 1; 7), (5; 4; 3) , ( 25; 35;5)
 
= − − = − − ⇒ = = − −
 
uuur uuur uuur uuur
r


( )
ABC n p
17
cos(( ),( )) cos ,
15 3

α
= =
r r
a

G
ọ
i
S
'
là di
ệ
n tích hình chi
ế
u c
ủ
a tam giác
ABC
lên m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
α

Ta có
ABC
S S ABC
50 3 17 85

' .cos(( ),( ))
4 6
15 3
α
= = =
(
đ
vdt)

14.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho
đườ
ng th
ẳ
ng d:
x y z
1 1
3 1 1
− +
= =
và m
ặ

t ph
ẳ
ng (P):
x y z
2 2 2 0
+ − + =
. L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng d có bán kính nh
ỏ
nh
ấ
t ti
ế
p
xúc v
ớ
i (P) và

đ
i qua
đ
i
ể
m A(1; –1; 1).

•
G
ọ
i I là tâm c
ủ
a (S). I
∈
d
⇒

I t t t
(1 3 ; 1 ; )
+ − +
. Bán kính R = IA =
t t
2
11 2 1
− +
.
M
ặ
t ph
ẳ

ng (P) ti
ế
p xúc v
ớ
i (S) nên:
t
d I P R
5 3
( ,( ))
3
+
= =


⇔

t t
2
37 24 0
− =

⇔

t R
t R
0 1
24 77
37 37

= ⇒ =


= ⇒ =


.
Vì (S) có bán kính nh
ỏ
nh
ấ
t nên ch
ọ
n t = 0, R = 1. Suy ra I(1; –1; 0).
V
ậ
y ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S):
x y z
2 2 2
( 1) ( 1) 1
− + + + =
.

15.
Trong không gian Oxyz, cho
đườ

ng th
ẳ
ng d:
x y z
1 2
1 1 1
− +
= =
và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P):
x y z
2 –2 2 0
+ + =
. L
ậ
p
ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm n
ằ
m trên d, ti
ế
p xúc v

ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và
đ
i qua
đ
i
ể
m A(2; –1; 0).

•
G
ọ
i I là tâm c
ủ
a (S)
⇒

(
)
I t t t
1 ; –2;
+
. Ta có d(I, (P)) = AI
⇔

t t

7
1;
13
= =
.
V
ậ
y:
S x y z
2 2 2
( ) : ( –2) ( 1) ( –1) 1
+ + + =

ho
ặ
c
S x y z
2 2 2
20 19 7 121
( ): – –
13 13 13 169
     
+ + + =
     
     
.

16.
Trong không gian v
ớ

i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho
đ
i
ể
m
I
(1;2; 2)
−
,
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
:
x y z
2 2 3
− = + =
và m
ặ
t ph
ẳ
ng
(P):

x y z
2 2 5 0
+ + + =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm I sao cho m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) c
ắ
t kh
ố
i c
ầ
u theo thi
ế
t
di
ệ
n là hình tròn có chu vi b
ằ
ng
8

π
. T
ừ

đ
ó l
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q) ch
ứ
a
∆
và ti
ế
p xúc v
ớ
i (S).

•
Ta có:
d d I P
( ,( )) 3
= =
. G
ọ

i r là bán kính hình tròn thi
ế
t di
ệ
n. Ta có:
r r
2 8 4
π π
=
⇒
=

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN


12

Suy ra bán kính m
ặ
t c
ầ
u:
R r d
2 2 2
25
= + =

⇒

S x y z

2 2 2
( ):( 1) ( 2) ( 2) 25
− + − + + =

Nh
ậ
n th
ấ
y m
ặ
t c
ầ
u (S) ti
ế
p xúc v
ớ
i
( )
∆
t
ạ
i
đ
i
ể
m
M
5 5 4
; ;
3 3 3

 
−
 
 
.
Do
đ
ó: (Q) ch
ứ
a
( )
∆
và ti
ế
p xúc v
ớ
i (S)
đ
i qua
M
5 5 4
; ;
3 3 3
 
−
 
 
và có VTPT
MI
2 11 10

; ;
3 3 3
 
−
 
 
uuur

⇒
PT m
ặ
t
ph
ẳ
ng (Q):
x y z
6 33 30 105 0
− + − =
.

17.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho

đườ
ng th
ẳ
ng
{
d x t y z t
: ; 1;
= = − = −
và 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng (P):
x y z
2 2 3 0
+ + + =
và (Q):
x y z
2 2 7 0
+ + + =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm I thu
ộ

c
đườ
ng th
ẳ
ng
(d) và ti
ế
p xúc v
ớ
i hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và (Q).

•
Gi
ả
s
ử
:
I t t d
( ; 1; )
− − ∈
. Vì (S) ti
ế
p xúc v
ớ
i (P) và (Q) nên
d I P d I Q R

( ,( )) ( ,( ))
= =


⇔

t t
1 5
3 3
− −
=

⇔

t
3
=
. Suy ra:
R I
2
, (3; 1; 3)
3
= − −
.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình m
ặ

t c
ầ
u (S):
( ) ( ) ( )
x y z
2 2 2
4
3 1 3
9
− + + + + =
.
Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
:
a)
{
d x t y t z t
: 2 ; 1 2 ; 1
= + = + = −
,
P x y z
( ): 2 2 5 0
+ − + =
,
Q x y z
( ) : 2 2 13 0

+ − − =
.

Đ
S:
S x y z
2 2 2
16 11 5
( ) : 9
7 7 7
     
− + − + − =
     
     


18.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho m
ặ
t ph
ẳ
ng (P):

x y z
2 2 10 0
− − + =
, hai
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
1
):
x y z
2 1
1 1 1
− −
= =
−
, (
∆
2
):
x y z
2 3
1 1 4
− +
= =
. Vi
ế
t ph
ươ

ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm thu
ộ
c (
∆
1
), ti
ế
p xúc v
ớ
i
(
∆
2
) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P).

•

x t
y t
z t
1
2

:
1
∆

= +

=


= −

;
2
∆

đ
i qua
đ
i
ể
m
A
(2;0; 3)
−
và có VTCP
u
2
(1;1;4)
=
r

.
Gi
ả
s
ử

I t t t
1
(2 ; ;1 )
∆
+ − ∈
là tâm và R là bán kính c
ủ
a m
ặ
t c
ẩ
u (S).
Ta có:
AI t t t
( ; ;4 )
= −
uur

⇒

AI u t t
2
, (5 4;4 5 ;0)
 

= − −
 
uur
r

⇒

AI u
t
d I
u
2
2
2
,
5 4
( , )
3
∆
 
−
 
= =
uur
r
r


t t t t
d I P

2 2 2(1 ) 10 10
( ,( ))
3
1 4 4
+ − − − + +
= =
+ +

(S) ti
ế
p xúc v
ớ
i
2
∆
và (P)
⇔

d I d I P
2
( , ) ( ,( ))
∆
=

⇔

t t
5 4 10
− = +

⇔

t
t
7
2
1

=


= −

.

•
V
ớ
i
t
7
2
=

⇒

I
11 7 5
; ;
2 2 2

 
−
 
 
,
R
9
2
=

⇒

PT m
ặ
t c
ầ
u (S):
x y z
2 2 2
11 7 5 81
2 2 2 4
     
− + − + + =
     
     
.


•
••

•
Với
t
1
= −

⇒
⇒⇒
⇒

I R
(1; 1;2), 3
− =

⇒
⇒⇒
⇒
PT mặt cầu (S):
x y z
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 9
− + + + − =
.




LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

13

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định các hệ số của phương trình

19.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho 3
đ
i
ể
m A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1). L
ậ
p ph
ươ
ng trình c
ủ
a m
ặ
t
c
ầ
u (S)
đ

i qua A, B, C và có tâm n
ằ
m trên m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): x + y – 2z + 4 = 0.

•
PT m
ặ
t c
ầ
u (S) có d
ạ
ng: x
2
+ y
2
+ z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0
(S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0
(S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = 0
(S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0
Tâm I
∈
(P): a + b – 2c + 4 = 0
Gi
ả

i ra ta
đượ
c: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3. V
ậ
y (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 2y – 4z – 3 = 0

20.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho hình l
ă
ng tr
ụ

đứ
ng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông t
ạ
i A,

đỉ
nh A trùng v
ớ
i g
ố
c t
ọ
a
độ
O, B(1; 2; 0) và tam giác ABC có di
ệ
n tích b
ằ
ng 5. G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
CC’. Bi
ế
t r
ằ
ng
đ
i
ể

m A
′
(0; 0; 2) và
đ
i
ể
m C có tung
độ
d
ươ
ng. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
di
ệ
n
AB
′
C

′
M.

•
Ta có: AB
5
= và
ABC
S
5
∆
=
nên AC
2 5
= .
Vì AA’
⊥
(ABC) và A, B
∈
(Oxy) nên C
∈
(Oxy).
G
ọ
i
C x y
( ; ;0)
.
AB AC x y
(1;2;0), ( ; ;0)

= =
uuur uuur
.
Ta có:
x yAB AC
x x
y y
AC
x y
2 2
2 0
4 4
2 2
2 5
20

+ =⊥
 
= − =
⇔ ⇔ ∨
   
= = −
=
+ =
 
 
. Vì
C
y
0

>
nên C(–4; 2; 0) .
Do
CC AA
' '
=
uuur uuur

⇒
C
′
(–4; 2; 2),
BB AA
' '
=
uuur uuur

⇒
B
′
(1; 2; 2) và M là trung
đ
i
ể
m CC
′

nên M(–4; 2; 1).
PT m
ặ

t c
ầ
u (S)
đ
i qua A, B’, C’ và M có d
ạ
ng:
S x y z x by cz d
2 2 2
( ) : 2 2 2 0
+ + + + + + =


A S
B S
a b c d
C S
M S
(0;0;0) ( )
3 3 3
'(1;2;2) ( )
; ; ; 0
'( 4;2;2) ( )
2 2 2
( 4;2;1) ( )

∈


∈

⇔ = = − = − =

− ∈

− ∈


(tho
ả

a b c d
2 2 2
0
+ + − >
)
V
ậ
y ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) là:
S x y z x y z
2 2 2
( ): 3 3 3 0
+ + + − − =
.

21.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho t
ứ
di
ệ
n ABCD v
ớ
i A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), C(2;–1; 3), D(1;–1; 0).
Tìm t
ọ
a
độ
tâm và bán kính c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế

p t
ứ
di
ệ
n ABCD.

•
Ta tính
đượ
c
AB CD AC BD AD BC
10, 13, 5
= = = = = =
. V
ậ
y t
ứ
di
ệ
n ABCD có các c
ặ
p c
ạ
nh
đố
i
đ
ôi m
ộ
t b

ằ
ng nhau. T
ừ

đ
ó ABCD là m
ộ
t t
ứ
di
ệ
n g
ầ
n
đề
u. Do
đ
ó tâm c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p c
ủ
a t

ứ
di
ệ
n là
tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n này.
V
ậ
y m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
di
ệ
n ABCD có tâm là
G
3 3

;0;
2 2
 
 
 
, bán kính là
R GA
14
2
= =
.
Cách khác: Ta có th
ể
xác
đị
nh to
ạ

độ
tâm I c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u tho
ả

đ
i

ề
u ki
ệ
n: IA = IB = IC = ID
.
22.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c to
ạ

độ
Oxyz, cho m
ặ
t ph
ẳ
ng (P):
x y z
2 2 6 0
+ + − =
, g
ọ
i A, B, C l
ầ
n l
ượ

t là
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (P) v
ớ
i các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Ox, Oy, Oz. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
di

ệ
n OABC,
tìm t
ọ
a
độ
tâm và bán kính c
ủ
a
đườ
ng tròn (C) là giao tuy
ế
n c
ủ
a (P) và (S).

•
Ta có: A(6;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3).
PT m
ặ
t c
ầ
u (S) có d
ạ
ng:
x y z Ax By Cz D
2 2 2
2 2 2 0
+ + + + + + =

A B C D
2 2 2
( 0)
+ + − >
.
A, B, C, O
∈
(S)
⇔

D
A
A B C D
B
C
0
3 3
36 12 0
3; ; ; 0
9 6 0
2 2
9 6 0

=



+ =
⇔ = − = − = − =
 

+ =


+ =


.
LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN


14

V
ậ
y (S):
x y z x y z
2 2 2
6 3 3 0
+ + − − − =
có tâm
I
3 3
3; ;
2 2
 
 
 
, bán kính
R
3 6

2
=
.
G
ọ
i H là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a I trên (P)
⇒
H là tâm c
ủ
a (C). Tìm
đượ
c
H
8 5 5
; ;
3 6 6
 
 
 
.

⇒
⇒⇒
⇒
Bán kính của (C):
r R IH

2 2
27 5 2
1
2 2
= − = − =
.

23.
Cho hình l
ậ
p ph
ươ
ng ABCD.A’B’C’D’

có c
ạ
nh b
ằ
ng 2. G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
đ
o
ạ

n AD, N là tâm hình
vuông CC’D’D. Tính bán kính m
ặ
t c
ầ
u
đ
i qua các
đ
i
ể
m B, C’, M, N.

•
Ch
ọ
n h
ệ
tr
ụ
c to
ạ

độ
Oxyz sao cho: D
≡
O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), D
′
(0; 2; 0), C(0; 0; 2).
Suy ra: M(1; 0; 0), N(0; 1; 1), B(2; 0; 2), C

′
(0; 2; 2).
PT m
ặ
t c
ầ
u (S)
đ
i qua 4
đ
i
ể
m M, N, B, C
′
có d
ạ
ng:
x y z Ax By Cz D
2 2 2
2 2 2 0
+ + + + + + =
.
M, N, B, C
′

∈
(S)
⇔

A D

B C D
A B C D
A C D
B C D
1 2 0
5 5 1
2 2 2 0
; ; ; 4
8 4 4 0
2 2 2
8 4 4 0

+ + =



+ + + =
⇔ = − = − = − =
 
+ + + =


+ + + =



V
ậ
y bán kính R =
A B C D

2 2 2
15
+ + − =
.

Dạng 3: Các bài toán liên quan đến mặt cầu

24.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và m
ặ
t c
ầ
u (S): x
2
+ y
2
+ z
2

–
2x – 4y – 6z – 11 = 0. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) c
ắ
t m
ặ
t c
ầ
u (S) theo m
ộ
t
đườ
ng tròn. Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
tâm và tính bán kính c
ủ
a
đườ
ng tròn

đ
ó.

•
I (1; 2; 3); R =
1 4 9 11 5
+ + + =
; d (I; (P)) =
2(1) 2(2) 3 4
3
4 4 1
− − −
=
+ +
< R = 5.
V
ậ
y (P) c
ắ
t (S) theo
đườ
ng tròn (C)
Ph
ươ
ng trình d qua I, vuông góc v
ớ
i (P) :
x t
y t
z t

1 2
2 2
3

= +

= −


= −


G
ọ
i J là tâm, r là bán kính
đườ
ng tròn (C). J
∈
d
⇒
J (1 + 2t; 2 – 2t; 3 – t)
J
∈
(P)
⇒
2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – 3 + t – 4 = 0
⇒
t = 1
V
ậ

y tâm
đườ
ng tròn là J (3; 0; 2) , bán kính r =
R IJ
2 2
4
− =































LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN


15

9
99
9:P
:P:P
:P ABCF<GAQ
R<STUV
o Phương trình tổng quát của mp (P): Ax +By +Cz + D=0 với VTPT
( ; ; )
n A B C
=
r

o Để viết ptmp cần xác định 2 yếu tố
:
đ
i
ể
m M

0
thu
ộ
c (P) và VT vuông góc v
ớ
i (P)
Thay vào CT : A(x-x
0
) +B(y-y
0
) + C(z-z
0
) =0 (1) cho ptmp
N
ế
u ch
ư
a có VTPT
( ; ; )
n A B C
=
r

c
ầ
n xác
đị
nh c
ặ
p VTCP

;
a b
r r
.
Khi
đ
ó VTPT
;
n a b
 
=
 
r r r
.
 QUAN TRỌNG
tích có h
ướ
ng

Thay vào CT : A(x-x
0
) +B(y-y
0
) + C(z-z
0
) =0 cho ptmp
3/ M
ộ
t s
ố

chú ý quan tr
ọ
ng:
o mpOxy qua gốc O(0.0.0)
VTPT
(0;0;1)
k =
r
, ph
ươ
ng trình z=0
o mpOxz qua gốc O(0.0.0)
VTPT
(0;1;0)
j =
r
, ph
ươ
ng trình y=0
o mpOyz qua gốc O(0.0.0)
VTPT
(1;0;0)
i =
r
, ph
ươ
ng trình x=0
o mp(Q) có pt: Ax + By + Cz + D=0
+ Khi (P) // (Q) thì VTPT
( ; ; )

P Q
n n A B C
= =
r r
hay mp (P) có d
ạ
ng Ax + By + Cz + D’=0 v
ớ
i D’
khác D
+ Khi (P)
┴
(Q) thì VTPT c
ủ
a mp này là 1 VTCP c
ủ
a mp kia,
đ
i
ề
u ng
ượ
c l
ạ
i không
đ
úng ho
ặ
c
. 0

P Q P Q
n n n n
⊥ ⇔ =
r r r r

e/
( ;0;0)
M Ox M x
∈ ⇒
;
(0; ;0)
M Oy M y
∈ ⇒
;
(0;0; )
M Oz M z
∈ ⇒

f/
( ; ;0)
M Oxy M x y
∈ ⇒
( ;0; )
M Oxz M x z
∈ ⇒
(0; ; )
M Oyz M y z
∈ ⇒

g/

( )
M mp P
∈ ⇒
mp (P) là 1 ph
ươ
ng trình c
ầ
n tìm
h/
M
∈
đườ
ng th
ẳ
ng (d)
0
0 0 0 0
0
( ; ; )
x x at
y y bt M x at y bt z ct
z z ct
= +


= + => + + +


= +


o Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
 Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0
•
••
•
(P) cắt (Q)
⇔
⇔⇔
⇔
A : B : C ≠ A’: B’: C’
•
••
•
(P) // (Q)
⇔
⇔⇔
⇔
A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
•
••
•
(P)
≡ (Q)
⇔
⇔⇔
⇔
A : B : C : D = A’: B’: C’: D’

 Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0 .

Phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi (P) và (Q) là:
m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (trong đó m
2
+ n
2
≠ 0)

o Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức :

0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
d(M , )
A B C
+ + +
α =
+ +

o Góc gữa hai mặt phẳng
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0.

u
→
,
u v
→ →
 
 
 
v
→
LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN


16

Ta có :
P Q
P Q
2 2 2 2 2 2
P Q
n .n
A.A' B.B' C.C'
cos cos(n ,n )
n . n
A B C . A' B' C'
+ +
ϕ = = =
+ + + +
uur uur
uur uur

uur uur
(0
0
≤φ≤90
0
)
•

0
P Q
90 n n
ϕ = ⇔ ⊥
uur uur

⇔
⇔⇔
⇔
hai mặt phẳng vuông góc nhau.
•
Trong phương trình mặt phẳng không có biến x thì mặt phẳng song song Ox, không có biến y thì song
song Oy, không có biến z thì song song Oz.

D=
D=D=
D=
>9VABCF
>9VABCF>9VABCF
>9VABCF
<
<<

<
GAQ
GAQGAQ
GAQ



Dạng 1.Mp qua điểm A(x
o
, y
o
, z
o
) có VTPT
n
r
(A,B,C) .
- Pt: A(x-x
o
)

+B(y-y
o
)

+ C(z – z
o
) = 0
Ho
ặ

c Ax +By +Cz +D =0 ,
thay to
ạ

độ
A vào tho
ả
, gi
ả
i tìm D.
Dạng 2.Mp(
α
) qua A(x
o
, y
o
, z
o
) , vuông góc với đgth d
- T
ừ
PTTS ho
ặ
c PTCT ho
ặ
ct
ừ
2
đ
i

ể
m c
ủ
a d , tìmVTCP
u
r
.
- Mp(
α
) có VTPT là
u
r
.
- Gi
ả
i ti
ế
p nh
ư
bài toán 1.


Dạng 3. Mp(
α
) qua A(x
o
, y
o
, z
o

), và song song với mp(P)
- Tìm VTPT c
ủ
a (P) là
n
r
.
- VTPT c
ủ
a (
α
) c
ũ
ng là
n
r
.
- Gi
ả
i ti
ế
p nh
ư
bài toán 1.

Dạng 4.

Mp(
α
) qua A,B,C cho trước.

-
VTPT c
ủ
a (
α
) là
n
r
=
,
AB AC
 
 
uuur uuur
. B. .C
- (
α
) qua A cho tr
ướ
c. A.
- Gi
ả
i ti
ế
p nh
ư
bài toán 1.

Dạng 5. Mp(

α
) chứa 2 đgth cắt nhau a,b.
- Tìm VTCP c
ủ
a a,b l
ầ
n l
ượ
t là
u
r
,
v
r
.
- VTPT c
ủ
a (
α
) là
n
r
=
,
u v
 
 
r r
.
- L

ấ
y
đ
i
ể
m A trên a, thì Athu
ộ
c(
α
).
- Gi
ả
i ti
ế
p nh
ư
bài toán 1.

Dạng 6. Mp(
α
) chứa điểm A và song song với 2 đgth a, b chéo nhau.
- Tìm VTCP c
ủ
a a,b l
ầ
n l
ượ
t là
u
r

,
v
r
.
- VTPT c
ủ
a (
α
) là
n
r
=
,
u v
 
 
r r
.
- Gi
ả
i ti
ế
p nh
ư
bài toán 1.
< Bài toán: Vi
ế
t pt mp (
α
) ch

ứ
a a
và song song b ( chéo a), gi
ả
i t
ươ
ng
t
ự
. Khi
đ
ó
đ
i
ể
m cho tr
ướ
c A
∈
(
α
),
đượ
c l
ấ
y b
ấ
t k
ỳ
trên a

Dạng 7. Mp (P) qua A và vuông góc với 2 mp (
α
),(
β
) cắt nhau.
LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN


17

- Tìm VTPT c
ủ
a (
α
),(
β
)
là
1
n
uur
,
2
n
uur
.
- VTPT c
ủ
a (P) là

n
r
=
1 2
,
n n
 
 
uur uur
.
- Gi
ả
i ti
ế
p nh
ư
bài 1.
< Bài toán này có th
ể

đư
a v
ề

d
ạ
ng bài B5, và A2: Vi
ế
t ph
trình mp (P) vuông góc v

ớ
i
giao tuy
ế
n c
ủ
a (
α
),(
β
) >


Dạng 8. Mp(
α
) chứa d và vuông góc với mp(
β
) cho trước.
- Tìm VTCP c
ủ
a d là
u
r
.
- Tìm VTPT c
ủ
a (
β
) là
1

n
uur
.
- VTPT c
ủ
a (
α
) là
n
r

=
1
,
u n
 
 
r uur
.
- Tìm
đ
i
ể
m A
∈
d thì A
∈
(
α
).

- Gi
ả
i ti
ế
p nh
ư
bài toán 1.


Dạng 9. Viết ptmp (P) trung trực của AB.
-
Tình trung
đ
i
ể
m I c
ủ
a ABvà
AB
uuur

- Mp (P)
đ
i qua I và nh
ậ
n
AB
uuur
làm VTPT.

Dạng 10. Viết ptmp (P) đi qua A,B và (Q)
-
Tính
AB
uuur
, vtpt
n
r
Q
và tính [
AB
uuur
,
n
r
Q
]
- Vì A, B
∈
(P) ; (Q)
⊥
(P) nên ch
ọ
n
n
r
P
=[
AB
uuur

,
n
r
Q
]
- Vi
ế
t ptmp (P
)
Dạng 11. Viết ptmp (P) đi qua A ; (Q) và // với dt (d)
- Tính VTPT
n
r
Q
c
ủ
a mp (Q); VTCP
u
r
d
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (d).

- Tính [
u

r
d
,
n
r
Q
]
- Vì (P)
⊥
(Q) và // (d) nên VTPT
n
r
P
= [
u
r
d
,
n
r
Q
]
- T
ừ

đ
ó vi
ế
t
đượ

c PT mp (p
)
Dạng 12. Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A
- Tính VTCP
u
r
d
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (d) và tìm
đ
i
ể
m M
∈
(d)
- Tính
AM
uuuur
và [
u
r
d
,
AM
uuuur

]
- Ptmp (P)
đ
i qua A và có VTPT
n
r
P
=[
u
r
d
,

AM
uuuur
].
Dạng 13 Viết pt mp (P) chứa (d) và // (
∆
)
- T
ừ
(d)
⇒
VTCP
u
r
d
và
đ
i

ể
m M
∈
(d)
- T
ừ
(
∆
)
⇒
VTCP
u
∆
r
và tính [
u
r
d
,
u
r
∆
]
- PT mp (P)
đ
i qua M và có VTPT
n
r
= [
u

r
d
,
u
r
∆
].
Dạng 14. Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h
-
Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có d
ạ
ng Ax + By +Cz + D=0
( theo pt c
ủ
a mp (Q) , trong
đ
ó D
≠
D
Q
)
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm
đượ
c D
- Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) c
ầ
n tìm.
LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

18

Dạng 15. Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h
-
G
ọ
i VTPT c
ủ
a mp (P) là
n
r
P
= (A,B,C) v
ớ
i
đ
k là A
2
+ B
2
+ C
2
>0
- T
ừ
(d)
⇒
VTCP
u
r

d
và
đ
i
ể
m M
∈
(d)
- Vì (d) n
ằ
m trong (P)
⇒
u
r
d.

n
r
P
=0 (1)
- PT mp (p)
đ
i qua M: A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
) = 0
- d(A,(P)) = h (2)

- Gi
ả
i (1);(2) ta tìm
đượ
c A,B theo C t
ừ

đ
ó ch
ọ
n A,B,C
đ
úng t
ỉ
l
ệ
, ta vi
ế
t
đượ
c PT mp(P).
Dạng 16. Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc 90
0

- G
ọ
i VTPT c
ủ
a mp (P) là
n

r
P
= (A,B,C) v
ớ
i
đ
k là A
2
+ B
2
+ C
2
>0
- T
ừ
(d)
⇒
VTCP
u
r
d
và
đ
i
ể
m M
∈
(d)
- Vì d
⊂

(P)
⇒
u
r
d.

n
r
P
=0 (1)
- Tính cos ((P),(Q)) (2)
- T
ừ
(1) và (2) ta tìm
đượ
c A,B theo C t
ừ

đ
ó ch
ọ
n A,B,C
đ
úng t
ỉ
l
ệ
, ta vi
ế
t

đượ
c PT mp(P).
Dạng 17. Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt( )một góc 90
0

- G
ọ
i VTPT c
ủ
a mp (P) là
n
r
P
= (A;B;C) v
ớ
i
đ
k là A
2
+ B
2
+ C
2
>0
- T
ừ
(d)
⇒
VTCP
u

r
d
và
đ
i
ể
m M
∈
(d)
- Vì d
⊂
(P)
⇒
u
r
d.

n
r
P
=0 (1)
- Tính sin ((P),(
∆
)) (2)
- H
ệ
(1) và (2) tìm
đượ
c A,B theo C t
ừ

đ
ó ch
ọ
n A,B,C
đ
úng t
ỉ
l
ệ
, ta vi
ế
t
đượ
c PT mp(P).

Dạng 18. Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất

- G
ọ
i H là hình chi
ế
u
⊥
c
ủ
a A lên (d)
- Ta có : d(A,(P)) = AK
≤
AH

(tính ch
ấ
t
đườ
ng vuông góc và
đườ
ng xiên)
Do
đ
ó d(A(P)) max
⇔
AK = AH
⇔
K
≡
H
- Vi
ế
t PT mp (P)
đ
i qua H và nh
ậ
n AH làm VTPT
Dạng 19. Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

- Xác
đị
nh tâm I, bán kính R c
ủ
a m

ặ
t c
ầ
u (S)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có d
ạ
ng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt c
ủ
a mp (Q) , trong
đ
ó D'
≠
D
Q
).
- Mà (P) ti
ế
p xúc v
ớ
i (S) nên d(I,(P))= R
⇒
tìm
đượ
c D'
- T
ừ

đ
ó ta có Pt (P) c

ầ
n tìm

Dạng 20: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có
bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước).

- Xác
đị
nh tâm I, bán kính R c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u (S)
- Adct : Chu vi
đườ
ng tròn C =
2
r
π
và di
ệ
n tích S =
2
r
π
tính r.
- d(I,(P)) =
2 2

R r
−
(1)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có d
ạ
ng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt c
ủ
a mp (Q) , trong
đ
ó D'
≠
D
Q
)
- Suy ra d (I,(P)) (2)
⇒
Gi
ả
i h
ệ
(1), (2) tìm
đượ
c D'
⇒
vi
ế
t
đượ
c pt (P).

Dạng 21: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

- Xác
đị
nh tâm I, bán kính R c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u (S)
- G
ọ
i VTPT c
ủ
a mp (P) là
n
r
P
= (A;B;C) v
ớ
i
đ
k là A
2
+ B
2
+ C
2

>0
LUYN THI H C CHUYấN HèNH HC TA KHễNG GIAN


19

- T

(d)

VTCP
u
r
d
v

i

m M

(d)
- d

(P)

u
r
d.

n

r
P
=0 (1)
- M (P) ti

p xỳc v

i (S) nờn d(A,(P))= R (2)
- Gi

i h

(1) v (2) tỡm

c A,B theo C

PT mp(P).

Dng 22: Vit Pt mp (P) cha (d) v ct mt cu (S) theo giao tuyn l ng trũn (C)
cú bỏn kớnh r ( hoc din tớch , chu vi cho trc)

-
Xỏc

nh tõm I, bỏn kớnh R c

a m

t c

u (S)
- Adct : Chu vi

ng trũn C =
2
r

v di

n tớch S =
2
r

tớnh r.
- Vỡ d

(P)

u
r
d.

n
r
P
=0 (1)
- G

i VTPT c

a mp (P) l
n
r
P
= (A,B,C) v

i

k l A
2
+ B
2
+ C
2
>0,
ch

n M trờn

ng th

ng d.
=>PT mp (P)

i qua M: A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0

) = 0
- Vỡ (P) c

t (S) theo

ng trũn bỏn kớnh r nờn d(I,(P)= r (2)
- Gi

i h

(1) v (2) tỡm

c A,B theo C

PT mp(P).

Dng 23: Vit PT mp (P) cha (d) v ct mt cu (S) theo giao tuyn l ng trũn (C)
cú bỏn kớnh nh nht .(ỏp dng trng hp d ct (S) ti 2 im).

- Xỏc

nh tõm I, bỏn kớnh R c

a m

t c

u (S)
- Bỏn kớnh r =
2 2

( ,( ))
R d I p



r min

d(I,(P)) max
- G

i H l hỡnh chi

u

c

a I lờn (d) ; K l hỡnh chi

u

c

a I lờn (P)
- Ta cú: d(I,(P))= IK

Ih ( tớnh ch

t

ng vuụng gúc v

ng xiờn)
- Do

ú: d(I,(P)) max

AK = AH

K

H
- PT mp(P)

i qua H v nh

n
IH
uuur
lm VTPT
BI TP MU:
Vớ d 1
:
Lập mặt phẳng (P):
a) Đi qua điểm
(
)
1, 2,4
M

và song song với mặt phẳng : 2x+3y +5z-10=0

b) Đi qua điểm M( 0,2,-1 ) và vuông góc với đờng thẳng d:
1 2 1
1 3 2
x y z
+ +
= =


c) Đi qua M(1,0,-4 ) và vuông góc với giao tuyến của chai mặt phẳng (
(
)
): 1 0 : 2 3 7 0
x y z x y z

+ + = + + =

Gii:
a) P đi qua M(1,-2,4) // với (Q) :2x+3y+5z-10=0 thì (P) có véc tơ pháp tuýen
(
)
2,3,5
n =
r
.Vậy (P) có phơng
trình là : 2(x-1)+3(y+2) +5(z-4)=0

2x+3y+5z-16=0
b) (P) vuông góc d,thì P nhận
(
)

1,3,2
u

r
làm véc tơ pháp tuyến .Do đó
P có phơng trình là :
(
)
(
)
(
)
1 0 3 2 2 1 0
3 2 4 0
x y z
x y z
+ + + =
+ + =

c) Ta có
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
1,1,1 , 2, 1,3 , , , 4, 1, 3
1 3 3 2 2 1
n n n n



= = = =

uur uur uur uur

Do vậy P có véc tơ pháp tuyến là
(
)
(
)
(
)
(
)
4, 1, 3 :4 1 0 3 4 0
4 3 8 0
n P x y z
x y z
+ =
+ =
r

LUYN THI H C CHUYấN HèNH HC TA KHễNG GIAN


20

Vớ d 2:
(Bài 1-c tr80,HHKGCB )
Lập mặt phẳng P đi qua 3 điểm A(5,1,3),B(1,6,2),C(5,0,4)

Ta có :
( ) ( ) ( )
5 1 1 4 4 5
4,5, 1 , 0, 1,1 , , , 4,4, 1
1 1 1 0 0 1
AB AC AB AC




= =

= =




uuur uuur uuur uuur

Do đó P đi qua A(5,1,3) có véc tơ pháp tuyến
(
)
(
)
(
)
(
)
4,4, 1 : 4 5 4 1 3 0
4 4 21 0

n P x y z
x y z
= + =
+ =
r

Vớ d 3:(Bài 31-tr103-HH12 NC)
Cho 2 đờng thẳng
1 2
8
3 1 1
: 5 2 , :
7 2 3
8
x t
x y z
d y t d
z t
= +



= + = =


=


a) Chứng tỏ hai đờng thẳng đó chéo nhau
b) Viét phơng trình mặt phẳng P đi qua gốc toạ đọ O,// cả

1 2
,
d d

Bi gii:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
2 1 1 1 1 2
1, 2, 1 , 7, 2, 3 , , , 8, 10, 12 // 4, 5, 6
2 3 3 7 7 2
: 4 0 5 0 6 0 0
4 5 6 0
u u u u n
P x y z
x y z



= = = = =






=
=
ur uur ur uur r

Vớ d 4: (ĐHKA-2002)
Cho

là giao tuyến của 2 mặt phẳng :x-2y+z-4=0 và x+2y-2z+4=0 ,

' :
1
2
1 2
x t
y t t R
z t
= +


= +


= +


a) Lập mặt phẳng P ,chứa

và //

'
b) Tìm điểm H thuộc

sao cho MH đạt GTNN ,với M(2,1,4)
Bài giải :
Ta có :
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
2 1 1 1 1 2
1, 2,1 , 1,2, 2 , , , 2,3,4
2 2 2 1 1 2
n n u n n





= =

= = =




ur uur uur ur uur

Tìm toạ độ điểm M(x,y,z) thuộc

, là ngiệm của hệ
2 4 0
2 2 4 0
x y z
x y z

+ =


+ + =


Cho z=0 thì tìm đợc x=0,y=-2 ,M(0-2,0)
Tìm
( )
'
3 4 4 2 2 3
, , , 2,0, 1
1 2 2 1 1 1
n u u



= = =



r uur uur

Vậy : P qua M(0,-2,0) có véc tơ pháp tuyến
(
)
2,0, 1
n
=
r

,có phơng trình là: 2(x-0)-(z-0)=0 ,2x- z =0
b) Ta có

:
2
2 3
4
x t
y t t R
z t
=


= +


=

Nếu H thuộc

thì H(2t,-2+3t,4t)
LUYN THI H C CHUYấN HèNH HC TA KHễNG GIAN


21

(
)
( ) ( ) ( )
2 2 2

2
2
2 2,3 6,4 4
( ) 2 2 3 6 4 4
( ) 29 72 56
72 36
'( ) 58 72 0
58 29
MH t t t
MH f t t t t
f t t t
f t t t
=
= = + +
= +
= = = =
uuuur

Mìn(t) = ? đạt đợc khi t=36/29 ,M(72/29, )

Vớ d 5: (Tốt nghiệp PTTH năm 2007 )
Trong mặt phẳng Oxyz , cho đờng thẳng d có phơng trình :
2 1 1
1 2 3
x y z
+
= =
và mặt phẳng P có phơng
trình : x- y +3z +2 =0
1. Tìm toạ độ giao điểm M của d và P

2. Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng d và vuông góc với mặt phẳng P
Giải :
1. M(x,y,z) có toạ độ là ngiệm của hệ :
( ) ( ) ( )
( )
2
1 2
2 2 1 3 1 3 2 0
1 3
3 2 0
8 8 1 1, 3, 2
x t
y t
t t t
z t
x y z
t t M
= +


= +

+ + + + =

= +


+ + =

= =

2. Ta có

là mặt phẳng chứa d , nếu

vuông góc với P thì

// với
(
)
1, 1, 3
n =
r
do vậy
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3 3 1 1 2
, , , 9, 0, 3 // 3,0, 1
1 3 3 1 1 1
: 3 1 2 0 3 5 0
d p
n u n n
x z x z




= = = =

+ = =
uur uur suu r

Vớ d 6:
.(ĐHKD-2005)
TRong Oxyz cho hai đờng thẳng
1 2
1 2 1
: :
3 1 2
x y z
d d
+ +
= =

là giao tuyến của hai mặt phẳng :x+y-z-
2=0,và x+3y-12=0
a) Chứng minh d1,d2 // nhau .Viết phơng trình P chứa hai đờng thẳng d1,d2
b) Mặt phẳng Oxz cắt d1,d2 lần lợt tại A,B.Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ )
Giải :
a) Ta có
( ) ( ) ( )
1 2 2
1 1 1 1 1 1
1,1, 1 , 1,3,0 , , 3, 1, 2
3 0 0 1 1 3
n n u

= = = =


ur uur uur

Tìm toạ độ M (x,y,z) thuộc d1, toạ độ của nó là ngiệm của hệ
( )
3
2 0
5 3, 5, 0
3 1 2 0
0
x
x y z
y M
x y
z
=

+ =


=

+ =


=

Qua trên ta thấy
(
)
1 2
3, 1,2
u u u= = =
ur uur r
nên d1//d2
Mặt phẳng P Qua M(-3,5,0) có
(
)
1 2
3, 1,2
u u u= = =
ur uur r
nên mặt phẳng P có phơng trình :
3(x+3) -(y-5)+2z
=0

3x-y+2z +14 =0
b) Oxz cắt d1 tại A(-5,0,-5) ,Oxz cắt d2 tại B(2,0,10)
Diện tích tam giác OAB là S,thì
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1
. 5 5 2 10 50.104 20 13 10 13
2 2 2 2
S OAOB= = + + = = =

LUYN THI H C CHUYấN HèNH HC TA KHễNG GIAN

22

Vớ d 7:
1
(Bài 4.tr110-HH12NC)
Cho điểm A(2,3,1) và hai đờng thẳng :
1 2
2
5 2
: 2 :
3 1 1
2
x t
x y z
d y t t R d
z t
=

+

= + = =



=


a) Viết phơng trình mặt phẳng P đi qua A và d1

b) Viết phơng trình mặt phẳng Q đi qua A và d2
Giải :
a) Đờng thẳng d1,đi qua điểm B(-2,2,0) ,có véc tơ chỉ phơng
( ) ( ) ( )
3 1 1 2 2 3
1,1, 2 , , , 2, 2,10 // ' 1,1, 5
2 0 0 2 2 2
u AB u n


= = = =




r uuur r ur

Do vậy P: 1
.(x-2) +1(y-3)-5(z-1)=0 x+y- 5z =0
b) Tơng tự ,mặt phẳng Q đi qua B (-5,2,0) có véc tơ chỉ phơng
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3, 1,1 , 7, 1, 1 , 2, 4, 10 // 1, 2, 5
: 1 2 2 3 5 1 0
: 2 5 9 0
u AB AB u n
Q x y z
Q x y z

= = = =

=
=
r uuur uuur r r




Ví dụ 8: (Bài 87-tr137-BTHH12NC )
Trong Oxyz cho mặt cầu S có phơng trình :
2 2 2
10 2 26 113 0
x y z x y z
+ + + + =

Và hai đờng thẳng d
7 3
5 1 13
': 1 2
2 3 2
8
x t
x y z
d y t t R
z
= +

+ +

= = =

=


a) Viết phơng trình mặt phẳng P tiếp xúc S và vuông góc với d
b) Viết phơng trình mặt phẳng Q tiếp xúc S và // với cả d và d'
Giải :
Cầu S có phơng trình
:(x-5)
2
+(y+1)
2
+(z+13)
2
=308
a) Ta có véc tơ chỉ phơng của d là
(
)
2, 3,2
u
=
r
.Mặt phẳng P,vuông góc với d,do đó có dạng : 2x-3y +2z +D
=0
Mặt cầu S có tâm I(5,-1,-13) và bán kính R=
308
.Vì vậy P tiếp xúc với cầu S khi và chỉ khi d(I,P)=
308

10 3 26
308 13 17.308
4 9 4
13 5236
D
D
D
+ +
= =
+ +
=

Tóm lại ,có hai mặt phẳng P thoả mãn yêu cầu của bài toán :
P1/2 : 2x-3y+2z +13

308
.=0
b) Véc tơ chỉ phơng của d là
(
)
2, 3,2
u
=
r
,của d' :
( ) ( )
' 3, 2,0 , ' 4,6,5
u u u

= =

ur r ur

Q có dạng : 4x+6y+5z+D=0
Để Q tiếp xúc với cầu S thì d(I,Q)=
308

LUYN THI H C CHUYấN HèNH HC TA KHễNG GIAN


23

20 6 65
308
16 36 25
103
51 23716 154
205
D
D
D
D
+
=
+ +
=
= =
=

Vậy có hai mặt phẳng Q cần tìm :

4x+6y+5z-103=0 và 4x+6y+5z+205=0
Ví dụ 9. (Bài 9-tr111-HH12NC )
Cho mặt cầu S có phơng trình :
2 2 2
2 4 6 0
x y z x y z
+ + =

1.Tìm toạ độ tâm ,bán kính mặt cầu
2.Tuỳ theo giá trị k ,xét vị trí tơng đối của cầu S và mặt phẳng P : x+y-z+k=0
3. Mặt cầu S cắt 3 trục Ox,Oy,Oz lần lợt tại A,B,C khác với gốc O.Viết phơng trình mặt phẳng ABC
4. Viết phơng trình mặt phẳng tiếp xúc với cầu S tại B
5. Viết phơng trình mặt phẳng tiếp xúc với cầu S và // với mặt phẳng Q có phơng trình : 4x+3y-12z-1=0
Giải
1 . Cầu S có tâm I(1,2,3) và R=
14

2. Khoảng cách d(I,P) =
1 2 3
14 3.14 42
1 1 1
42 : 0
42 :
42 :
k
k
k P catS
k PkhongcatS
k PtipucS
+ +

= = =
+ +






=


p
f

3.S cắt Ox,Oy,Oz là A(2,0,0),B(0,4,0),C(0,0,6) . Do vây mặt phẳng ABC có phơng trình là :
2 4 6
x y z
= =

4. Mặt phẳng tiếp xúc với cầu S tại B ,có véc tơ pháp tuyến là
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

1,2,3 : 0 2 4 3 0 0
2 3 8 0
IB x y z
x y z

= + + =
+ + =
uur

5. Mặt phẳng P // mạt phăng Q có dạng : 4x+3y-12z+m =0
Nếu P tiếp xúc với cầu S thì d(I,P)=R,nghiã là :
4.1 3.2 12.3
14 26 14.169 13 14
16 9 144
26 13 14
: 4 3 12 26 14 0
26 13 14
m
m
m
P x y z
m
+ +
= = =
+ +
=
+ + =
= +

BI TP T RNG:

Bi 1:
Trong khụng gian
Oxyz
, cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a) Vi

t ph

ng trỡnh mp

i qua A v nh

n vect


(1; 1;5)
n
r
lm vect

phỏp tuy

n
b) Vi

t ph

ng trỡnh mp

i qua A bi

t r

ng hai vộct

cú giỏ song song ho

t n

m trong mp


ú l
(1;2; 1), (2; 1;3)
a b
r
r

c) Vi

t ph

ng trỡnh mp qua C v vuụng gúc v

i

ng th

ng AB
d) Vi

t ph

ng trỡnh mp trung tr

c c

a

o

n AC
e) Vi

t ph

ng trỡnh mp (ABC)

Bi 2
: Trong khụng gian
Oxyz
, cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)
a) Vi

t ph

ng trỡnh mp

i qua I(2;1;1) v song song v

i mp (ABC)
b) Vi

t ph

ng trỡnh mp qua A v song song v

i mp
(
)
:2 3 2 0
P x y z
=

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN


24

c) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
i qua hai

đ
i
ể
m A, B và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
: 2 2 2 0
Q x y z
− + − =

d) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
i qua A, song song v
ớ
i tr
ụ

c Oy và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
:3 3 1 0
R x y z
− − − =

e) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình mp qua C song song v
ớ
i mp Oyz.

Bài 3:
Trong không gian
Oxyz
, vi
ế
t ph
ươ
ng trình mp
đ

i qua M(2;1;4) và c
ắ
t các tr
ụ
c Ox, Oy, Oz t
ạ
i
các
đ
i
ể
m A, B, C sao cho: OA = OB = OC.

Bài 4:
Trong không gian
Oxyz
, vi
ế
t ph
ươ
ng trình mp
đ
i qua M(2;2;2) c
ắ
t các tia Ox, Oy, Oz t
ạ
i các
đ
i
ể

m A, B, C sao cho th
ể
tích t
ứ
di
ệ
n OABC nh
ỏ
nh
ấ
t.

Bài 5
: Trong không gian
Oxyz
, vi
ế
t ph
ươ
ng trình mp
đ
i qua M(1;1;1) c
ắ
t các tia Ox, Oy, Oz l
ầ
n l
ượ
c
t
ạ

i các
đ
i
ể
m A, B, C sao cho tam giác ABC cân t
ạ
i A,
đồ
ng th
ờ
i M là tr
ọ
ng tâm tam giác ABC.

Bài 6:
Trong không gian
Oxyz
, cho t
ứ
di
ệ
n ABCD, bi
ế
t r
ằ
ng:
(
)
(
)

2; 1;6 , 3; 1; 4 ,
A B
− − − −

(
)
(
)
5; 1;0 , 1;2;1 .
C D
−

a) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình mp ch
ứ
a A và song song v
ớ
i mp (ABC)
b) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình mp cách
đề
u b
ố
n

đỉ
nh c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n
đ
ó.

Bài 7
: Trong không gian
Oxyz
, cho mp(P):
2 2 2 0
x y z
− + − =
và hai
đ
i
ể
m
(
)
2; 1;6 ,
A
−

(

)
3; 1; 4 .
B
− − −


a) Tính kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n mp (P)
b) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình mp ch
ứ
a hai
đ
i
ể
m A,B và t
ạ
o v
ớ
i mp (P ) m
ộ
t góc có s

ố

đ
o l
ớ
n nh
ấ
t.
c) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u tâm B ti
ế
p xúc v
ớ
i mp (P)

Bài 8:
Trong không gian
Oxyz
, cho ba m
ặ
t ph
ẳ
ng:

(
)
(
)
(
)
:2 2 1 0; : 2 1 0; : 2 2 3 0
x y z x y z x y z
− − − = − + − = − + + − =
α β γ

a) Trong ba m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
ó mp nào song song v
ớ
i mp nào?
b) Tìm qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m cách
đề
u
(

)
α
và
(
)
γ

c) Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai mp
(
)
α
và
(
)
γ

d) Tìm qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m cách
(
)
β

m
ộ
t kho
ả
ng b
ằ
ng 1
e) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u có tâm thu
ộ
c tr
ụ
c Ox và ti
ế
p xúc v
ớ
i 2 mp
(
)
α
và
(
)

γ


Bài 9:
Trong kh.gian
Oxyz
, cho 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
(
)
:2 2 1 0; : 2 1 0
x y z x y z
− − − = − + − =
α β

a) Tính cosin góc gi
ữ
a hai mp
đ
ó
b) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m

ặ
t c
ầ
u có tâm thu
ộ
c Oy ti
ế
p xúc v
ớ
i c
ả
hai mp
đ
ó.
c) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình mp
đ
i qua giao tuy
ế
n c
ủ
a hai mp
đ
ó và song song v
ớ
i tr
ụ

c Ox

Bài 10:
Trong không gian
Oxyz
, cho m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
:2 2 3 0
P x y z
− + − =
và m
ặ
t c
ầ
u (C ):
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 25
x y z
− + + + − =

a) Ch
ứ
ng t
ỏ
r

ằ
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và m
ặ
t c
ầ
u (C ) c
ắ
t nhau. Tìm bán kính c
ủ
a
đườ
ng tròn giao
tuy
ế
n
b) L
ậ
p ph
ươ
ng trình các ti
ế
p di
ệ
n c
ủ
a m

ặ
t c
ầ
u song song v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)

Bài 11:
Trong không gian
Oxyz
, cho hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
:2 2 5 0
x y z
α
− + − =
và m
ặ
t c
ầ
u (C)

2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 25
x y z
− + + + − =

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN


25

a) L
ậ
p ph
ươ
ng trình ti
ế
p di
ệ
n c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u song song v
ớ
i Ox và vuông góc v
ớ
i m
ặ

t ph
ẳ
ng
(
)
α

b) Tính góc gi
ư
a mp
(
)
α
v
ớ
i Ox
c) L
ậ
p ph
ươ
ng trình mp
đ
i qua hai A(1;0;1)
đ
i
ể
m B(1;-2;2) và h
ợ
p v
ớ

i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
α
m
ộ
t góc
60
0


Bài 13
: Trong không gian
Oxyz
, cho b
ố
n
đ
i
ể
m
(
)
(
)
(

)
(
)
1;1;2 , 1;2;1 , 2;1;1 , 1;1; 1
A B C D
−

a) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng ABC.
b) Tính góc cosin gi
ữ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC) và (ABD)

Bài 14
: Trong không gian
Oxyz
, vi
ế
t ph

ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
i qua
đ
i
ể
m M(2;1;-1) và qua giao tuy
ế
n
c
ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
4 0 3 1 0
x y z và x y z
− + − = − + − =


Bài 15
: Trong không gian
Oxyz
, vi

ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
i qua giao tuy
ế
n c
ủ
a hai mp
2 4 0 3 0
x z và x y z
+ − = + − + =

đồ
ng th
ờ
i song song v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
0
x y z

+ + =


Bài 16:
Trong không gian
Oxyz
, vi
ế
t ph
ươ
ng trình mp
đ
i qua giao tuy
ế
n c
ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
3 2 0 4 5 0
x y z và x y
− + − = + − =

đồ
ng th
ờ
i vuông góc v
ớ

i mp
2 7 0
x y
− + =


Bài 17:
Trong không gian
Oxyz
, cho hình l
ậ
p ph
ươ
ng ABCD.A’B’C’D’ có c
ạ
nh b
ằ
ng 2. G
ọ
i I, J, K
l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m các c
ạ

nh BB’, C’D’và D’A’.
a) Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (IJK) vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (CC’K)
b) Tính góc gi
ữ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (JAC) và (IAC’)
c) Tính kho
ả
ng cách t
ừ
I

đế
n mp(AJK)

Bài 18:
Trong không gian
Oxyz
, cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t
2 ;
AB SA a AD a
= = =
.
Đặ
t h
ệ
tr
ụ
c
Oxyz
sao cho các tia Ox, Oy, Oz l
ầ
n l
ượ
t trùng v
ớ

i các tia AB,
AD, AS.
a) T
ừ

đ
i
ể
m C v
ẽ
tia CE cùng h
ướ
ng v
ớ
i tia AS. Tìm t
ọ
a
độ
c
ủ
a E.
b) Tính kho
ả
ng cách t
ừ
C
đế
n m
ặ
t ph

ẳ
ng (SBD).
c) Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAB) vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBC)
d) Tính cosin góc gi
ữ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBC) và (SDC)
e) Tính th
ể
tích hình chóp S.ABCD

Bài 19:
Trong không gian
Oxyz
, cho tam giác
đề
u ABC c
ạ
nh a; I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC. D là
đ
i
ể
m
đố
i
x
ứ
ng v
ớ
i
đ
i
ể
m A qua
đ

i
ể
m I. D
ự
ng
đ
o
ạ
n SD =
6
2
a
vuông góc v
ớ
i mp (ABC). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a)
( ) ( )
mp SAB mp SAC
⊥

b)
( ) ( )
mp SBC mp SAD
⊥

c) Tính th

ể
tích hình chóp S.ABC



N
NN
N

O
OO
OAABCF
AABCFAABCF
AABCF<
<<
<G
GG
GA
AA
AQ
QQ
Q


(Tác giả Trần Sĩ Tùng)

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến

25.
Trong không gian v

ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho hai
đ
i
ể
m A(2;4;1), B(–1;1;3) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P):
x y z
–3 2 –5 0
+ =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q)
đ
i qua hai

đ
i
ể
m A, B và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P).

•
(Q)
đ
i qua A, B và vuông góc v
ớ
i (P)
⇒
(Q) có VTPT
P
n n AB
, (0; 8; 12) 0
 
= = − − ≠
 
uuur r
r r


⇒

Q y z
( ) :2 3 11 0
+ − =
.