Bài tập hình học nâng cao lớp 7

CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN TOÁN 7- LOẠI NÂNG CAO (Dành cho lớp chọn)
Tên c/ đề: CÁC TRƯỜNG HP BẰNG NHAU TAM GIÁC- MỘT SỐ
TÍNH CHẤT CƠ BẢN KHÁC &Ư/ DỤNG
Thời lượng: 10 tiết (Chia nhỏ BT đối với lớp thường )
GV: Nguyễn Tấn Ngọc ( THCS Nhơn Mỹ, An Nhơn)
Thời gian thực hiện: Tháng 01& 02-2008.
A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
I. Các trường hợp bằng nhau tam giác thường:
1.1
⇒





=
=
=
''
'
''
CAAC
AA
BAAB
''' CBAABC ∆=∆
(c-g-c)
1.2
'''
''
''
''

CBAABC
ACCA
CBBC
BAAB
∆=∆⇒





=
=
=
(c-c-c)
1.3
'''
'
''
'
CBAABC
BB
BAAB
AA
∆=∆⇒





=

=
=
(g-c-g).
II. Các trường hợp bằng nhau tam giác vuông: Cho △ABC; △A'B'C' lần
lượt vuông tại A và A' nếu :
1.4



∆=∆⇒
=
=
'''
'
''
CBAABC
BB
CBBC
(Cạnh huyền - góc nhọn).
1.5
'''
''
''
CBAABC
BAAB
CBBC
∆=∆⇒




=
=
(Cạnh huyền - cạnh góc vuông).
1.6
'''
''
''
CBAABC
CAAC
BAAB
∆=∆⇒



=
=
(Cạnh góc vuông - cạnh góc vuông).
1.7
'''
'
''
CBAABC
BB
BAAB
∆=∆⇒



=
=

(Cạnh góc vuông - góc nhọn).
1.8 △ABC vuông tại A  AB
2
+ AC
2
= BC
2
( Đònh lý Py-Ta-Go).
1.9 △ABC vuông tại A  AM =
2
BC
( trong đó M là trung điểm BC ).
1.10 △ABC cân tại A ; AH là đường cao ( H ∈ BC )





=
=
=
⇒
BA
CAHBAH
CHBH
( tính chất tam giác cân )
1.11 Nếu tam giác thõa đồng thời hai trong bốn đường: Đường cao, đường
trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực thì tam giác đó cân.
1.12 △ABC đều 






==
==
==
0
0
60;
60
AACAB
BA
CABCAB
( có thể thay ∠A bỡi ∠C )
1.13 △ABC vuông tại A và có
ABBC
C
B
.2
30
60
0
0
=⇒



=
=

(nửa tam giác đều).
1
1.14 △ABC vuông tại A và BC = 2. AB => B = 60
0
và C = 30
0
(nửat/gđều).
1.15 Bất kỳ tam giác nào cũng có:
- Ba đường cao đồng quy (tại trực tâm).
- Ba đường trung tuyến đồng quy (tại trọng tâm).
- Ba đường trung trực đồng quy ( tại tâm đường tròn đi qua ba đỉnh t/giác).
- Ba đường phân giác đồng quy (điểm đó cách đều ba cạnh tam giác).
1.16 Cho △ABC ta luôn có bất đẳng thức:

ACAB −
< BC < AB + AC .
1.17 Với ba diểm A , B , C tùy ý ta luôn có:
AB + BC ≥ AC ( Dấu"="  B ∈
[ ]
AC
) (Bất đẳng thức ba đểm ).
1.18 Với △ABC thì : A > B  BC > AC .
1.19 Cho A nằm bên ngoài đường thẳng a , AH ⊥ a tại H ; B ∈ a thì:
AH
≤
AB (Dấu "="  B ≡ H ).
1.20 Nếu ba đoạn thẳng AB ; BC ; CA tỉ lệ thuận với các số a ; b ; c thì:
AB : BC : CA = a : b : c 
c
CA

b
BC
a
AB
==
.
1.21 Nếu △ABC có M và N lần lượt là trung điểm AB và AC thì đoạn
thẳng MN gọi là đường trung bình của △ABC khi đó luôn có MN // BC và MN =
2
BC
.
1.22 Tam giác cân , góc ở đỉnh không đổi thì cạnh đáy nhỏ nhất ( lớn nhất )
khi chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất ( lớn nhất ).
B. CÁC BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH CÙNG HƯỚNG DẪN VẮN TẮT:
Bài 1: Cho △ABC có M là trung điểm BC và BC = 2. AB . Gọi D là trung
điểm của BM . CMR: AC = 2.AD . ( HD: Vẽ E sao cho D là trung điểm AE ; C/m:
△AME = △AMC (c-g-c).
Bài 2: Cho △ABC có ∠ ABC = 30
0
; ∠ BAC = 130
0
. Đường phân giác
ngoài ở đỉnh A cắt phân giác trong ở đỉnh B tại D. Hai đường thẳng CD và AB cắt
nhau tại E . CMR: CA = CE . ( HD: CD là phân giác ngoài ở đỉnh C của △ABC
=>
∠ ACD = 80
0
và ∠ CAE = 50
0
).

Bài 3: Cho △ABC có E là trung điểm BC sao cho ∠EAB = 15
0
; ∠EAC =
30
0
. Tính ∠ACB ? (HD: Vẽ F sao cho AE là trung trực của CF => △ACF đều; gọi
I là trung điểm FC => △BFC vuông tại F => △BFA cân tại F => △BFC vuông cân
tại F => ∠C = 105
0
).
Bài 4: Cho △ABC cân tại A và ∠A = 80
0
. Gọi M là điểm nằm trong tam
giác sao cho ∠MBC = 10
0
; ∠MCB = 30
0
. Tính ∠AMB ? ( HD: Vẽ △BCD đều, D
nằm trong △ABC => △ABD = △MBC (g-c-g) => △ABM cân có ∠ABM = 40
0
).
GV: Nguyễn Tấn Ngọc
2
Bài 5: Cho △ABC cân tại A và ∠A = 100
0
. Gọi M là điểm nằm trong tam
giác sao cho ∠MBC = 20
0
; ∠MCB = 30
0

. Tính ∠AMB ? (Giải tương tự BT4).
Bài 6: Cho △ABC có AB < AC ; gọi D là điểm tùy ý nằm giữa A và B. Gọi
E là điểm nằm giữa A và C sao cho CE = BD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm
BC và DE . Đường thẳng MN lần lượt cắt các đường thẳng AB và AC tại P và Q .
CMR: △APQ cân. (HD: Gọi I là trung điểm BE … )
Bài 7: Cho △ABC có ∠A = 15
0
và ∠B = 45
0
. Trên tia đối của tia CB lấy D
sao cho CD = 2.CB . Tính ∠ADC ? (HD: Kẽ DE ⊥ AC tại E => △DEC là nửa tam
giác đều => △BCE cân => △AEB cân và △AED vuông cân).
Bài 8: Cho △ABC có hiệu∠C - ∠B = 90
0
; AD và AE lần lượt là các đường
phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác ( D, E ∈ BC ). CMR: AD = AE .
(HD: Kẽ AH ⊥ BC tại H c/m: ∠DAH = ( ∠C - ∠B ): 2 => △DAE vuông
cân).
Bài 9: Cho △ABC có AH là đường cao. Về phía ngoài tam giác vẽ △ABD
vuông cân tại B, vẽ △ACE vuông cân tại C . CMR: AH ; BE ; CD đồng quy.
(HD: Trên tia đối của tia AH lấy điểm K sao cho AK = BC => △ABK = △
BDC (c-g-c) => CD ⊥ BK ).
Bài 10: Cho P nằm bên trong △ABC sao cho ∠PAC = ∠PBC . Gọi M , L lần
lượt là hình chiếu của P lên AC và BC . Gọi D là trung điểm AB . CMR: DL =
DM.
(HD: Gọi I , K lần lượt là trung điểm PA và PB => △DIM = △DKL (c-g-c)).
Bài 11: Cho △ABC vuông tại A và AC = 3.AB. Trên cạnh AC lấy điểm E
sao cho 3.AE = 2.AC . CMR: ∠AEB + ∠ACB = 45
0
. (HD: Gọi D là trung điểm AE

; vẽ hình vuông ADKH ( H không trùng B) => △BKC vuông cân => △BAE =
△KDC ).
Bài 12: Cho △ABC nhọn; AH là đường cao ( H ∈ BC ) . Vẽ M sao cho AB
là trung trực đoạn HM , vẽ N sao cho AC là trung trực đoạn HN. Đường thẳng MN
lần lượt cắt các cạnh AB ; AC tại E và F . CMR: AH ; BF ; CE đồng quy. (HD: HA
là phân giác góc ∠EHF ; c/m: HB và EB là các đường phân giác ngoài △HEF =>
FB là phân giác trong △HEF ).
Bài 13: Cho hình thang vuông ABEC ( ∠A = ∠C = 1v) và ∠ABC = 75
0
; CE
= 2.CA . Tính ∠BEC ? (HD: Bên trong △BEC vẽ △BMC đều ; H là hình chiếu
của M lên CE => △CME cân => △CME = △BME (c-g-c) => ∠BEC = 30
0
).
Bài 14: Cho △ABC cân tại A và ∠BAC = 20
0
. Trên cạnh AB lấy E sao cho
AE = BC . Tính ∠BEC ? (HD: Bên trong △ABC vẽ △BIC đều ).
3
Bài 15: Cho hình thang ABCD có ∠A = ∠D = 1v ; CD = 2.AB . Gọi H là
hình chiếu của D lên AC ; M là trung điểm của HC . Tính ∠BMD . (HD: Gọi I là
trung điểm HD ; c/m: I là trực tâm △… ).
Bài 16: Cho D nằm bên trong △ABC đều sao cho ∠DAB + ∠DCB = 60
0
và
DC = 2.DA . Tính ∠ADB và ∠CDB ? (HD: Vẽ △BDE đều sao cho E và D nằm
khác phía đối với AB => △ADE (?)).
Bài 17: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ); AC ⊥ BD . Qua I là trung điểm
BC kẽ đường thẳng song song AD cắt DC tại M . CMR: △BMD cân. (HD: Vẽ K
sao cho I là trung điểm AK ; gọi R là trung điểm AD ).

Bài 18: Cho △ABC cân tại C ; CM là đường trung tuyến ; AD là đường
phân giác trong sao cho AD = 2.CM . Tính ∠ACB ? (HD: Gọi I là trung điểm AD
=> CDMI là hình thang cân ).
Bài 19: Cho △ABC vuông cân ở B và M là điểm nằm bên trong tam giác
sao cho MA : MB : MC = 1 : 2 : 3 . Tính ∠AMB ? (HD: Vẽ △BME vuông cân tại
B ; E và M nằm khác phía dối với AB => AE = CM => △AME vuông tại M ).
Bài 20: Cho △ABC đều và M nằm bên trong tam giác sao cho MA:MB:MC
= 3 : 4 : 5 . Tính ∠AMB ? (HD: Giải tương tự BT19 ).
Bài 21: Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài đường chéo bằng 1 . Trên các
cạnh AB ; BC ; CD ; DA lần lượt lấy M ; N ; P ; Q . CMR: MN + NP + PQ + QM
≥2.(HD: Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm PQ ; PM ; MN- dùng đường gấp
khúc)
Bài 22: Cho △ABC cân tại A ; gọi M là điểm tùy ý nằm giữa B và C .
Đường thẳng qua M và vuông góc với AB cắt đường thẳng qua C và vuông góc
AC ở điểm K . Gọi I là trung điểm của MB . Tính ∠AIK ? (HD:Vẽ F sao cho I là
trung điểm KF ).
Bài 23: Cho hình thang ABCD ; trong đó ∠A = ∠D = 1v ; O là trung điểm
AD sao cho AC ⊥ BO . CMR: BD ⊥ CO. (HD: Vẽ E sao cho O là trung điểm BE )
Bài 24: Cho △ABC có AB = 3cm , AC = 5cm và trung tuyến AM = 2cm ( M
∈ BC ) . Tính số đo ∠BAM ? (HD: Vẽ D sao cho M là trung điểm AD - Dùng Py-
ta- go).
Bài 25: Cho △ABC cân tại A , M là điểm nằm trong tam giác sao cho
∠AMB > ∠AMC . So sánh độ dài hai đoạn thẳng MB và MC. (HD: Trên nửa mặt
phẳng không chứa B bờ AC vẽ tia AD sao cho ∠CAD = ∠MAB và AD = AM ;
Dùng t/g cân và quan hệ góc cạnh đối diện trong t/g ) .
Bài 26: Cho △ABC cân tại A ; M là điểm thay đổi luôn nằm giữa B và C .
Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M lên AB , AC . Đònh vò trí của M để độ dài
DE nhỏ nhất . (HD: Gọi I là trung điểm AM - Dùng t/g cân góc ở đỉnh không đổi,
GV: Nguyễn Tấn Ngọc
4

cạnh đáy nhỏ nhất  cạnh bên nhỏ nhất - Quan hệ đường vuông góc và đường
xiên )
Bài 27: Cho
∆
ABC cân tại A có
·
BAC 90
°
≥
. Lấy điểm M nằm giữa A và C ,
hạ AH và CK cùng vuông góc với BM ( H, K
∈
BM ) sao cho BH = HK + KC .
Tính độ lớn của
·
BAC
. (HD: Trên tia đối của tia KH xác đònh D sao cho DK =
KC )
Bài 28: Cho
·
·
0 0
ABC có ABC = 40 , ACB = 30∆
; trên nửa mặt phẳng không chứa
điểm B có bờ là đường thẳng AC xác đònh điểm D sao cho
DAC
∆
cân tại D và
·
0

ADC = 80
. CMR:
ABD∆
là tam giác cân . (HD: Kẽ AK ⊥ BC tại K ; DH ⊥ AC tại
H
AKH đều AKB = AHD (g-c-g)⇒ ∆ ⇒ ∆ ∆
)
B.G.H DUYỆT TỔ DUYỆT G.V BỘ MÔN
Nguyễn Tấn Ngọc

5
GV: Nguyeãn Taán Ngoïc
6
7