skkn dạy giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

MỞ ĐẦU
***
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở chương trình đại số
lớp 9 ở trường trung học cơ sở là một dạng toán tương đối khó đối với học sinh.
Do đặc trưng của loại toán này thường là loại toán có đề tài bằng lời văn và thường
được xen trộn nhiều dạng ngôn ngữ (Ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học,
vật lý ).
Hầu hết các bài toán có dữ kiện dàng buộc nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn, buộc
học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được sự liên quan giữa các đại lượng dẫn đến
việc lập phương trình hoặc hệ phương trình mà thực chất các vấn đề khoa học giải
toán là giải phương trình.
Trong phân phối chương trình toán ở trường trung học cơ sở thì toán lớp 8 học
sinh mới được học về khái niệm phương trình và các phương trình. Nhưng việc
giải phương trình đã có trong chương trình toán từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tùy
theo từng đối tượng học sinh.
Ở lớp 1, 2 phương trình được cho dưới dạng: Điền số thích hợp vào ô trống:
- 2 = 5
Ở lớp 3 được nâng dần dưới dạng: X + 3 – 2 = 10
Ở lớp 4, 5 cho dưới dạng phức tạp hơn, chẳng hạn:
X : 3 = 4 : 2
X x 3 +5 = 11, (X – 15 ) x 7 = 21
Ở lớp 7, 8, 9 ngoài những mối liên hệ như bài toán còn cho dưới dạng lời văn
có các dữ kiện kèm theo.
Vì vậy, muốn giải được loại toán này học sinh cần phải suy nghĩ để thiết lập
mối quan hệ dẫn đến việc lập phương trình ( hệ phương trình ).
Mối đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán là đều được gắn
liền với nội dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu
có liên quan đến thực tế đó. Do khi giải toán học sinh thường mắc sai lầm là thoát
li được thực tế, dẫn đến quên điều kiện của ẩn số. Học sinh không khai thác hết
mối quan hệ giàng buộc của thực tế… từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm

1
dạng toán này. Mặt khác, cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình
độ giáo viên mới chỉ dạy học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của Sách Giáo
Khoa mà chưa biết phân loại toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng
toán. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu trong quá trình đặt ẩn số,
mối liên hệ giữa các số liệu trong bài toán, dẫn đến lúng túng trong việc giải toán
này.
Vì thế, muốn giải toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình điều
quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ trong bài toán thành những quan
hệ toán học. Do vậy, nhiệm vụ của người thầy là phải dạy cho học sinh cách dẫn
giải bài tập . Do đó khi hướng yêu cầu về giải một bài toán này phải dựa trên một
số nguyên tắc chung: Yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải toán về cách lập
phương trình, phân loại dạng toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lượng
(tăng, giảm, thêm, bớt…) làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập
được phương trình dễ dàng. Đây là bước quan trọng và khó khăn đối với học sinh.
Với mong muốn được trao đổi với đồng nghiệp những kinh nghiệm trong quá
trình giảng dạy về dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ
phương trình”. Vì vậy tôi đã chọn đề tài “ Dạy giải toán bằng cách lập phương
trình và hệ phương trình.”
Trong thời gian giảng dạy ở trường THCS tôi đã được học hỏi rất nhiều kinh
nghiệm của các thầy cô giáo lớp trước và được đồng nghiệp trong nhóm giúp đỡ,
đặc biệt là sự hướng dân tận tình của thầy Tống Trần Hoàn đã giúp tôi hoàn thành
đề tài này.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
2
NỘI DUNG
***
CHƯƠNG I
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ YÊU CẦU GIẢI MỘT BÀI TOÁN
I. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

Dựa vào phân phối chương trình chung của Bộ giáo dục - Đào tạo ban hành
về chương trình toán THCS với nội dung: Phương trình và hệ phương trình.
Phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán trên là dựa vào nguyên tắc
chung: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Nội dung quy tắc gồm các bước:
Bước 1: Lập phương trình (gồm các công việc).
- Chọn ẩn số (Chú ý ghi rõ đơn vị và điều kiện cho ẩn).
- Biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn và các số liệu đã biết.
- Dựa vào mối quan hệ giữa các số liệu để lập phương trình (hệ phương trình).
Bước 2: Giải phương trình và hệ phương trình.
Tùy thuộc vào từng dạng phương trình và hệ phương trình mà chọn cách giải
cho thích hợp.
Bước 3: Nhận định kết quả và trả lời.
So sánh nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn xem có thích hợp không rồi trả
lời kết quả (có kèm đơn vị).
Mặc dù đã có quy tắc trên song người giáo viên trong quá trình hướng dẫn giải
bài toán này cần cho học sinh vận dụng theo sát các yêu cầu về giải bài toán nói
chung.
II. YÊU CẦU VỀ GIẢI MỘT BÀI TOÁN.
1. Yêu cầu 1:
Lời giải không phạm phải sai lầm, không có sai sót dù nhỏ. Muốn vậy giáo
viên phải làm cho học sinh hiểu đề bài, trong quá trình giải không có sai sót về
kiến thức cơ bản, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán, cách kí hiệu ẩn phải
chính xác, phải phù hợp với bài toán và trên thực tế.
3
0,6
Ví dụ 1:
Tỷ số tuổi anh và tuổi em bằng 0,5 ; sau 3 năm tỷ số tăng thêm 0,1. Hỏi tuổi
anh và tuổi em hiện nay?
- Phân tích đề bài:

Tỷ số tuổi anh và tuổi em bằng 0,5 ( = 1/2). Từ đó ta có tuổi anh gấp đôi tuổi
em. Sau 3 năm, tuổi anh và tuổi em đều tăng 3 đơn vị; khi đó, tỷ số tuổi của anh và
của em là: 0,5 + 0,1 = 0,6.
- Giải:
Gọi tuổi em hiện nay là: x ( x > 0; x Є N).
Thì tuổi anh hiện nay là: 2x.
Sau 3 năm nữa tuổi em là: x + 3.
Sau 3 năm nữa tuổi anh sẽ là: 2x + 3.
Theo đầu bài ra ta có phương trình :
x + 3
2x + 3
<=> x + 3 = 0,6 (2x + 3)
<=> x = 6 (T/m điều kiện).
Vậy tuổi em hin nay là: 6 (tuổi).
Tuổi anh hiện nay là : 6 x 2 = 12 (tuổi).
2. Yêu cầu 2:
Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác. Trong quá trình thực hiện
từng bước phải có lôgíc chặt chẽ với nhau có cơ sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải
chú ý đến việc thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Xác định ẩn phải khéo léo,
mối quanhệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho phải làm nổi bật được ý phải tìm. Nhờ
mối tương quan giữa các đại lượng trong bài toán thiết lập được phương trình (hệ
phương trình), từ đó tìm được các giá trị của ẩn. Muốn vậy giáo viên cần làm cho
học sinh xác định rõ ràng đâu là ẩn đâu là dữ kiện, đâu là điều kiện. Điều kiện có
đủ để xác định được ẩn không? Từ đó mà xác được hướng đi, xây dựng được lời
giải.
4
Ví dụ 2:
Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhay 4m. Tính chu vi của
khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1020 m
2

.
Giải:
Gọi chiều rộng của khu đát hình chữ nhật đó là: x (m) (x > 0).
=> Chiều dài của khu đất là: x + 4 (m).
Ta có phương trình:
x (x + 4) = 1020.
x
2
+ 4x - 1020 = 0.
x
1
= 30 (t/m)
x
2
= -34 (loại).
Vậy: Chiều rộng của khu đất là: 30m
Chiều dài của khu đất là: 30 + 4 = 34m.
Chu vi hình chữ nhật là: (30 + 34) x 2= 128 (m).
Chú ý: Ở đây giáo viên cần lưu ý học sinh từ điều kiện loại nghiệm: x = -34
chỉ lấy nghiệm: x =30.
3. Yêu cầu 3:
Lời giải thích phải đầy đủ và mang tính toàn diện. Hướng dẫn học sinh không
được bỏ sót khả năng chi tiết nào, không thừa nhưng không được thiếu. Rèn cho
học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đã đầy đủ chưa? Kết quả của bài toán đã là
đại diện phù hợp với mọi cách chung? Nếu thay đổi điều kiện của bài toán rơi vào
trường hợp đó thì kết quả vẫn luôn đúng?
Ví dụ 3:
Một cạnh tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạch đáy. Nếu chiều cao tăng thêm
3cm và cạch đáy giảm đi 5cm thì diện tích tam giác đó bằng 9/10 diện tích ban
đầu. Tính chiều cao và cạch đáy của tam giác lúc đầu?

- Phân tích:
Dù chiều cao và cạch đáy của tam giác có thay đổi thì diện tích (S) của tam
giác luôn được tính theo công thức: S = 1/2 . (cạch đáy . chiều cao).
- Giải:
5
Gọi cạnh đáy của tam giác lúc đầu là: x (cm) (x>5)
→
Chiều cao của tam giác là:
3
4
x
(cm).
Diện tích tam giác ban đầu là:
S
1
=
2 2
1 3 3
. ( )
2 4 8
x x x cm
=
.
Khi tăng chiều cao lên 3cm thì chiều cao mới là:
3
4
x + 3 (cm).
Khi giảm cạnh đáy đi 5cm thì cạnh đáy mới là: x - 5 (cm)
Diện tích tam giác khi đó là:
S

2
=
1 3
. ( 3) .( 5)
2 4
x x
+ −
Theo bài ra ta có:

2
1 3 9 3
.( 3).( 5) .
2 4 10 8
x x x
⇔ + − =
⇔

1
2
.
3
( 3)
4
x
+
.
2
9 3
( 5) .
10 8

x x
− =


2
1 (3 12).( 5) 9 3
. .
2 4 10 8
x x
x
+ −
⇔ =

2
9
( 4).( 5)
10
x
x x
⇔ + − =

2 2
2
10( 4 5 20) 9
10 200 0
x x x x
x x
⇔ + − − =
⇔ − − =
x

1
= 20 ( thỏa mãn điều kiện )
x
2
= - 10 ( loại )
Vậy cạnh đáy của tam giác lúc ban đầu là 20cm
Chiều cao của tam giác là:
3
4
.20 = 15 (cm).
4. Yêu cầu 4:
Lời giải bài toán phải đơn giản và phù hợp với kiến thức trình độ học sinh; đại
đa số học sinh có thể hiểu và áp dụng được.
Ví dụ 4:
6
Một xưởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy định. Để
hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 6 áo so với số
áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, 5 ngày trước khi hết thời hạn
xưởng đã may được 2650 áo. Hỏi theo kế hoạch xưởng phải may trong thời gian
bao lâu và mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu áo?
- Giải:
Gọi số áo phải may trong 1 ngày theo kế hoạch là x. (x Є N; x > 0)
Thời gian quy định may xong áo là
3000
x
(ngày).
Số áo thực tế may được trong 1 ngày là: x + 6 (áo).
Thời gian may xong 2650 áo là:
2650
6x

+
(ngày).
Vì xưởng may xong 2650 áo trước khi hết hạn 5 ngày nên ta có phương trình:
3000 2650
5
6x x
− =
+
x
2
- 64x – 3600 = 0
x
1
= 100 (thỏa mãn điều kiện)
x
2
= -36 (loại).
Vậy: Theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong 100 áo.
Thời gian quy định may xong 3000 áo là:
3000
100
= 30 (ngày).
5. Yêu cầu 5: Lời giải phải được trình bày khoa học, mối liên hệ giữa các bước giải
trong bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau, các bước sau được suy luận từ các
bước trước nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc đã biết trước.
Ví dụ 5: Chiều cao của một tam giác vuông là 9.6 m và chia cạnh huyền làm 2
đoạn hơn kém nhau 5,6 m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.
- Phân tích: Xét tam giác vuông ABC. Giả sử AC > AB
⇔
CH > BH.

Cần chú ý rằng: AH
2
= BH . CH


- Giải: Gọi dộ dài BH là x (m) (x>0).
⇔
Độ dài CH là x+ 5,6 (m).
7
A B
H
C
Theo công thức hệ thức lượng trong tam giác, ta có phương trình:
x.(x + 5,6) = 9,6
2
x
2
+ 5,6 x - 92,16 = 0
x
1
= 7,2 (thỏa mãn điều kiện).
x
2
= - 12,8(loại).
Vậy: BH = 7,2 m
CH = 7,2 + 5,6 = 12,8 m.
Độ dài cạnh huyền là : BC = BH + CH = 7,2 + 12,8 = 20 (m)
6. Yêu cầu 6 : Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ. Các bước cần lập luận không
chồng chéo, phủ định lẫn nhau. Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói quen sau
khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót

nghiệm nhất là đối với phương trình bậc hai, hệ phương trình.
Ví dụ 6: Độ dài cạnh huyền của một tam giác là 25, tổng độ dài hai cạnh góc
vuông là 35. Tìm độ dài mỗi cạnh của tam giác đó.
- Giải: Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác là x; y (x > 0; y > 0).
Ta có hệ phương trình:
x + y = 35
x
2
+y
2
= 25
2
= 625
x + y = 35 x + y = 35
(x + y)
2
– 2xy = 625 x . y = 300

⇔
x, y là nghiệm của phương trình: a
2
– 35 a + 300 = 0
a
1
= 20; a
2
= 15 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 20 và 15.
Nhận xét: Ở bài toán này, khi tìm ra 2 kết quả là 20 và 15, học sinh sẽ phân
vân: 1 hay 2 đáp số? (x = 15; y = 20) ; (x = 20; y = 15).

Trên thực tế 2 tam giác vuông này là một. Giáo viên cần xây dựng cho học
sinh có thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài, nếu đảm bảo thì các
nghiệm dều hợp lí. (Một bài toán không nhất thiết chỉ có duy nhất 1 kết quả).
8
CHƯƠNG II : PHÂN LOẠI BÀI TOÁN
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
VÀ CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI MỘT BÀI TOÁN
I – PHÂN LOẠI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
Trong bài tập ở lớp 9, giải bài tập bằng cách lập phương trình và hệ phương
trình có thể phân loại như sau:
1. Loại toán về chuyển động.
2. Loại toán liên quan đến số học.
3. Loại toán về năng suất lao động (tỷ số phần trăm).
4. Loại toán công việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị).
5. Loại toán về tỉ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỉ số của
chúng).
6. Loại toán có liên quan đến hình học.
7. Loại toán có nội dung vật lí, hóa học.
II. CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH
LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. Phần giai đoạn:
- Với bài toán bậc nhất một ẩn số: Là dạng bài toán sau khi xây dựng phương trình,
biến đổi tương đương về dạng
ax + b = 0 (a  0).
- Với bài toán: Giải bài toán bằng phương trình bậc 2 là dạng toán sau khi xây
dựng phương trình, biến đổi tương đương về dạng:
ax
2
+ bx + c = 0 (a,b  0)

- Với bài toán: Giải bài toán bằng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là dạng toán sau
khi biến đổi tương đương về dạng nguyên (như mẫu số) có dạng:
9
ax + by = c
a
,
x + b
,
y = c
,
( Trong đó a, b, a
,
, b
,
không đồng thời bằng 0 )
Để đảm bảo 6 yêu cầu về bài toán và 3 bước trong quy tắc giải bài toán bằng
cách lập phương trình (hệ phương trình) như phần I đã trình bày thì giải bài toán
này có thể chia làm 7 giai đoạn cụ thể hơn 3 bước quy tắc giải bài toán bằng lập
phương trình (hệ phương trình).
* Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết, kết luận của bài toán
giúp học sinh hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? Cần tìm gì? (Nêú được có thể
mô tả bằng hình vẽ).
* Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề có liên quan đến lập phương trình. Tức là
chọn ẩn số thế nào cho phù hợp, điều kiện cho thỏa mãn.
* Giai đoạn 3: Lập phương trình, dựa vào quan hệ giữa ẩn số và các đại
lượng đã biết, dựa vào công thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi
tương đương để đưa phương trình đã xây dựng về phương trình ở dạng đã biết, đã
giải được.
* Giai đoạn 4: Giải phương trình , vận dụng các kí thuật giải phương trình
đã biết để tìm nghiệm của phương trình.

* Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phương trình, để xác định lời giải
của bài toán tức là xét nghiệm của phương trình với điều kiện đặt ra của bài toán,
với hiện thực xem có phù hợp không?
* Giai đoạn 6: Trả lời bài toán kết luận xem có mấy nghiệm, sau khi thử lại.
* Giai đoạn 7: Phân tích, biện luận cách giải, phần này thường mở rộng cho
học sinh tương đối khá, giỏi. Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đối
bài toán thành bài toán khác, ta có thể:
- Giữ nguyên ẩn số, thay đổi các yếu tố khác (dữ kiện và giả thiết).
- Giữ nguyên dữ kiện, thay đổi các yếu tố khác (ẩn số hay giả thiết) nhằm
phát triển tư duy cho học sinh.
- Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất.

CHƯƠNG III: NHỮNG LOẠI BÀI TOÁN
VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI. PHÂN LOẠI BÀI TOÁN
10
I. DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG:
Bài toán 1: Nhà Nam và Lan cùng nằm trên đường quốc lộ và cách nhau 7 m.
Nếu Lan và Nam đi xe đạp cùng lúc và ngược chiều nhau thì sau 25 phút họ gặp
nhau.
Tính vận tốc của mỗi người? Biết rằng vận tốc của Lan bằng
3
4
vận tốc của
Nam.
- Phân tích: Đây là bài toán chuyển động ngược chiều khi hai người gặp nhau
thì tổng quãng đường mà hai người đã đi đúng bằng khoảng cách ban đầu giữa hai
người.
Có thể minh họa bằng bẳng sau:
Vận tốc Thời gian Quãng đường
Nam x

1
4
1
4
x
Lan
3
4
x
1
4
1 3
4 4
x
×
- Giải: Gọi vận tốc của Nam là x (km/h) (x>0).
⇔
Vận tốc của Lan là
3
.
4
x
(km/h).
Sau 25 phút =
1
4
h thì:
Quãng đường nam đi được là:
1
.

4
x
(km/h).
Quãng đường Lan đi được là:
1 3
.
4 4
x
(km).
Đến khi gặp nhau, tổng quãng đường 2 người đã đi bằng khoảng cách giữa
nhà Lan và nhà Nam. Ta có phương trình:
1 1 3
7
4 4 4
4 3 112
7 112
16( / )
x x
x x
x
x T m
+ × =
⇔ + =
⇔ =
⇔ =
Vậy vận tốc của Nam là 16 km/ h.
Vận tốc của Lan là:
3
16 12( / )
4

km h× =
11
Bài toán 2 : Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120 km trong
một thời gian quy định. Sau khi đi được 1 giờ, ô tô bị chắn bởi xe hỏa mất 10 phút.
Do đó để đến B kịp giờ xe đã phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc ô tô lúc
đầu.
Phân tích : + Thời gian trên thực tế ô tô đã đi cố thể chia làm 3 giai đoạn :
- Giai đoạn 1 : Ô tô đi với vận tốc dự định
- Giai đoạn 2 : Ô tô dừng lại.
- Giai đoạn 3 : Ô tô đi với vận tốc mới.
+ Do ô tô đến B kịp giờ nên thời gian theo dự định = thời gian trên thực
tế
ô tô đã đi.
- Giải : Gọi vận tốc theo dự định của ô tô là x ( km/h ) ( x> 0 )

⇒
Thời gian ô tô đi theo dự định là :
120
( )h
x
Sau 1 giờ đầu ô tô đi được x ( km )
Quãng đường còn lại là : 120 – x ( km )
Vận tốc của ô tô khi trên đoạn đường còn lại đó là : x + 6 ( km/h )
⇒
Thời gian ô tô đi nốt đoạn còn lại là :
120
( )
6
x
h

x
−
+

⇒
thơi gian ôtô di nốt đoạn còn lại là :
1
( )
6
h

⇒
thời gian trên thực tế ô tô dã đi là :
1 120
1 ( )
6 6
x
h
x
−
+ +
+
ô tô đến B kịp thời nên ta có phương trình :
120 1 120 _
1
6 6
x
x x
= + +
+

⇔
x
2
+ 42x –4320 = 0
⇔
x
1
=48 ( t/m điều kiện )
x
2
= - 90 ( loại )
Vây vận tốc theo dư định của ô tô là 48 km/h
12
Bài toán 3 : Trên một sông , một ca nô xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km
mất 7 h . Một lần khác ca nô xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km cũng mất 7 h .
Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc riêng của ca nô.
- Phân tích : Trong chuyển động trên dòng nước cần lưu ý :
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước
Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực - vận tốc dòng nước
- Giải : Gọi vận tốc riêng của ca nô là x ( km/h )
Vận tốc dòng nước là y ( km/h ) ( x > y > 0 )
Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là : x + y ( km/h )
Vận tốc ca nô khi ngược dòng là : x – y ( km/h )
Lần đầu : Ca nô xuôi dòng 108 km mất :
108
( )h
x y
+
Ca nô ngược dòng 63 km mất :
63

( )h
x y
−
Ta có phương trình :
108 63
7
x y x y
+ =
+ −
(1)
Lần sau : Ca nô xuôi dòng 81 km mất :
81
( )h
x y
+
Ca nô ngược dòng 84 km mất :
84
( )h
x y
−
Ta có phương trình :
81 84
7
x y x y
+ =
+ −
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
108 63
7

x y x y
+ =
+ −

81 84
7
x y x y
+ =
+ −
Đặt
1 1
;a b
x y x y
= =
+ −
. Ta có:
(I) <=> 108a + 63b = 7 (II)
81a + 84b = 7
Giải hệ phương trình (II) ta được:
13
⇔
(t/m)
1 1 1
27 27
1 1 1
21 21
27 24
21 3
a
x y

b
x y
x y x
x y y
= =
+
= =
−
+ = =
− = =
Vậy vận tốc thực của ca nô là 24 km/h
Vận tốc dòng nước là 3 km/h.
Tóm lại: Với các bài toán minh họa trên giáo viên phần nào đã hình thành cho
học sinh làm quen với việc giải các bài toán chuyển động bằng cách lập phương
trình. Ở đây mới chỉ nêu cách giải đại diện cho các dạng phương trình bậc nhất,
phương trình bậc 2; hệ phương trình.
Trong các bài toán chuyển động học sinh cần nhớ và nắm chắc mối liên hệ
giữa các đại lượng: vận tốc, quãng đường, thời gian. Thông thường một trong ba
đại lượng đó sẽ được chọn là ẩn số (với điều kiện tương ứng); Một đại lượng đã
được xác định; ta phải biểu thị đại lượng còn lại theo ẩn và dựa vào mối liên hệ
trong bài toán để lập phương trình (hệ phương trình).
Cần lưu ý trong toán chuyển động cũng có thể chia làm nhiều dạng nhỏ.
Nếu 2 chuyển động ngược chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động
cùng nhau, ta có: S
1
+ S
2
= khoảng cách ban đầu.
Nếu 2 chuyển động cùng chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động cùng
nhau, ta có: S

1
- S
2
= khoảng cách ban đầu (S
1
> S
1
).
Nếu chuyển động cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại
lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
Nếu chuyển động trên đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B về A biết
tổng thời gian thực tế của chuyển động thì:
Tổng thời gian = thời gian đi + thời gian về.
Nếu là chuyển động trên dòng nước thì:
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng.
Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng.
Vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngược dòng = 2 vận tốc dòng.
14
⇔
Vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngược dòng = 2 vận tốc dòng.
Thời gian dự định đi ban đầu + thời gian đến chậm =
Thời gian của chuyển động sau khi tăng tốc độ + thời gian đi với vận tốc ban đầu
+ thời gian nghỉ (nếu có).
II. DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HỌC.
Bài toán 1: Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng bình phương của hai số đó là 157.
- Phân tích: Bài toán có thể giải bằng cách lập phương trình hoặc lập hệ
phương trình theo bảng sau:
Cách Quá trình Số thứ nhất Số thứ hai PT (hệ pt)
1 Chưa bình phương
Bình phương

x
x
2
17 – x
(17 – x)
2
x
2
+ (17 – x)
2
= 157
2 Chưa bình phương
Bình phương
x
x
2
y
y
2
x + y = 17
x
2
+ y
2
= 157
- Giải: Gọi số thứ nhất là x.
=> số thứ 2 là 17 – x.
Tổng bình phương của hai số là 157. Ta có phương trình:
x
2

+ (17 – x)
2
= 157.
 x
2
– 17x + 66 = 0
x
1
= 11
x
2
= 6
Số thứ nhất là 11 thì số thứ 2 là 17 – 11 = 6
Số thứ hai là 6 thì số thứ 2 là 17 – 6 = 11.
Vậy 2 số phải tìm là 6 và 11.
Bài toán 2 : Tìm một số có hai chữ số biết rằng tổng 2 chữ số của nó là 9 và
nếu viết thêm chữ số 9 vào giữa hai chữ số thì được số mới lớn hơn số ban đầu 360
đơn vị.
- Phân tích: Với số có hai chữ số:
10ab a b
= +
Với số có ba chữ số:
100 10abc a b c
= + +
15
t/m
Khi viết thêm một chữ số vào giữa hai chữ số của số có hai chữ số thì số đó
trở thành số có ba chữ số, chữ số hàng chục của số ban đầu là chữ số hàng trăm của
số mới, chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là chữ số hàng đơn vị của số mới.
- Giải: Gọi chữ số hàng chục của số ban đầu là x ( x  N, 0<x

≤
9).
=> Chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là 9 – x.
Số ban đầu là 10x + (9 – x) = 9x + 9.
Khi viết thêm chữ số 9 vào giữa hai chữ số thì số mới là:
100x + 90 + (9 – x) = 99x + 9
Số mới lớn hơn số ban đầu 360 đơn vị. Ta có phương trình:
(99x + 99) – (9x + 9) = 360
90x = 270.
x = 3 (t/m đk).
Chữ số hàng chục là 3
 Chữ số hàng đơn vị là 9 – 3 = 6
Vậy số cần tìm là 36.
Bài toán 3 : Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó biết rằng tổng hai chữ số của
nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích 2 chữ số đó sẽ được một chữ số viết
theo thứ tự ngược lại với số đã cho.
- Phân tích: Chú ý sử dụng
10ab a b
= +
Ngoài ra cần chú ý khi viết số đó theo thứ tự ngược lại thì vai trò của chữ số
hàng chục và hàng đơn vị sẽ được hoán đổi cho nhau:
- Giải: Gọi chữ số hàng chục của số ban đầu là x ( x  N, 0<x
≤
9).
Gọi chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là y ( y  N, 0<y
≤
9).
Theo đầu bài ra ta có:
6( )
25

x y xy
xy yx
+ =
+ =
6 6 10 4 5 (1)
25 10 25 10 (2)
x y x y x y
xy y x xy y x
+ = + =
+ = + + = +
Từ (1) =>
5
4
x y=
. Thế vào (2).
16
⇔
⇔
2
2
2
1
2
5 5
25 10
4 4
5 100 40 5
9 20 0
4
5

y y y
y y y
y y
y
y
+ = +
⇔ + = +
⇔ − + =
=
=
+ Với y = 4 =>
5
.4 5( / )
4
x t m
= =
+ Với y = 5 =>
5 25
.5
4 4
x = =
(loại).
Vậy số cần tìm là 54.
Tóm lại: Với dạng toán liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu mối quan hệ
giữa các số đặc biệt giữa các số giữa hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, biểu diễn
dưới dạng chính tắc của nó:

10ab a b
= +

100 10abc a b c
= + +
Khi đổi chỗ các vị trí các chữ số thay đổi thì giá trị của mỗi chữ số cũng có
sự thay đổi tương ứng với vị trí mới. Ngoài ra cần chú ý điều kiện cho ẩn số phải
phù hợp.
III . DẠNG TOÁN VỀ NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG
( Tỷ số phần trăm )
Bài toán 1 : Trong 2 tháng đầu hai tổ sản xuất được 400 chi tiết máy, trong tháng
sau tổ 1 đạt vượt mức 10%, tổ 2 đạt vượt mức 15% nên cả 2 tổ sản xuất được 448
chi tiết máy . Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết
máy.
- Phân tích :
+ Đã biết năng suất chung cả 2 tổ trong tháng đầu được 400 chi tiết máy. Nếu
biết 1 trong 2 tổ ta sẽ tính được tổ kia ( chọn ẩn )
+ Gỉa sử đã biết năng suất của tháng đầu có thể tính được tổng chi tiết máy
sản xuất trong tháng sau.
+ Tính năng suất của từng tổ tháng sau để xây dựng phương trình.
- Giải :
17
Cách 1: Gọi x là số chi tiết máy của tổ 1 sản xuất trong tháng đầu
(x  Z, 0 < x < 400 )
Như vậy tổ 2 sản xuất được 400 – x ( chi tiết máy )
Tháng sau tổ 1 đã làm vượt mức 10%x ( chi tiết máy )
tổ 2 đã làm vượt mức (400 – x ).15% ( chi tiết máy )
Do đó cả 2 tổ đã vượt được : 448 – 400 = 48 ( chi tiết máy )
Theo bài ra ta có phương trình : 10%.x + ( 400 – x ).15% = 48
<=> x = 240 ( t/m điều kiện )
Vậy : Tháng đầu tổ 1 sản xuất được 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất được
400 – 240 = 160 chi tiết máy
Cách 2 : Gọi số chi tiết máy của tổ 1 sản xuất được trong tháng đầu là x

số chi tiết máy của tổ 2 sản xuất được trong tháng đầu là y
(x ∈ Z , 0 < x < 400 , y ∈ Z , 0 < y < 400 )
Ta có : x + y = 400 (1)
Trong tháng sau tổ 1 làm vượt mức 10%.x chi tiết máy
tổ 2 làm vượt mức 15%.y chi tiết máy
Ta có phương trình : 10%.x + 15%.y = 48 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : x + y = 400 (1)
10%.x + 15%.y = 48 (2)
Giải hệ phương trình ta có x = 240 ; y = 160 ( t/m điều kiện )
 Kết luận .
Bài toán 2 : Một tỉnh có tỷ lệ tăng dân số trước kia là 2% với số dân đầu năm 2002
là 2 triệu dân. Do tỷ lệ tăng dân số ở đây đã giảm đi chỉ còn 1,8% ở vùng thành thị
và giảm đi 1000 người so với số đạt được với tỷ lệ 2% ở vùng nông thôn , nên số
dân đầu năm 2003 của tỉnh đó là 2038400 người. Tính số dân ở vùng thành thị của
tỉnh đó vào đầu năm 2003.
- Giải : Gọi số dân vùng thành thị ; vùng nông thôn của tỉnh đó đầu năm
2002 lần lượt là x ; y ( triệu dân ) ( x > 0 ; y > 0 )
Ta có : x + y = 2 (1)
Số dân tăng ở vùng thành thị là : 1,8%.x ( triệu dân )
18
Số dân tăng ở vùng nông thôn là : 2%.y – 0,001 ( triệu dân )
Số dân tăng của tỉnh là : 2,0384 – 2 = 0,0384 ( triệu dân )
Ta có phương trình : 1,8%.x + 2%.y – 0,001 = 0,0384 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : x + y = 2 (1)
1,8%.x + 2%.y – 0,001 = 0,0384 (2)
Giải hệ ta được x= 0,3 ; y = 1,7 ( t/m diều kiện )
Số dân đầu năm 2002 của tỉnh đó ở vùng thành thị là 300000 người
Số dân tăng là : 1,8%.300000 = 5400 ( người )
Vậy: số dân tỉnh đó ở vùng thành thị đầu năm 2003 là :
300000 +5400 = 305400(người)

Tóm lại : Với loại toán này học sinh phải xác định tỷ lệ tăng năng suất lao động
( tăng dân số , … )so với mốc ban đầu từ đố lập phương trình.
IV . DẠNG TOÁN VỀ CÔNG VIỆC LÀM CHUNG , LÀM RIÊNG
( Toán quy về đơn vị )
Bài toán 1 : Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không chứa nước thì sau
4
4
5
h
bể đầy. Mỗi giờ lượng nước vòi 1 chảy được bằng
3
2
lượng nước vòi 2 chảy được .
Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể.
- Phân tích : Trong loại toán này cần lưu ý thời gian để vòi chảy đầy bể và
phần bể mà vòi chảy trong 1 giờ là hai đại lượng nghịch đảo nhau.
- Giải :
Cách 1 : Gọi thời gian để vòi 2 chảy một mình đầy bể là x (h) ( x >
4
4
5
)
Trong một giờ vòi 2 chảy được
1
x
( bể )
Trong 1 giờ vòi 2 chảy được
3 1 3
.
2 2x x

=
(bể )
Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được
1 3
2x x
+
( bể ) .
Do cả hai vòi cùng chảy thì sau
4
4
5
h bể đầy ; ta có phương trình :
4 1 3
4 .( ) 1
5 2x x
+ =
19
24 5
. 1
5 2x
⇔ =
<=> x = 12 (t/m điều kiện )
Vậy : Vòi 2 chảy một mình thì sau 12 h đầy bể.
Một giờ vòi 1 chảy được :
3 1
2.12 8
=
( bể )
 Vòi 1 chảy 1 mình thì sau 8 h sẽ đầy bể.
Cách 2 : Gọi thời gian để vòi 1 chảy 1 mình đầy bể là x (h)

Gọi thời gian để vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là y (h) ( x;y >
4
4
5
)
Một giờ vòi 1 chảy được
1
x
( bể )
Một giờ vòi 2 chảy được
1
y
( bể )
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
1 3 1
.
2x y
=

4 1 1
4 .( ) 1
5 x y
+ =
Giải hệ trên ta được x = 8 ; y = 12 ( t/m điều kiện )
=> Kết luận.
Bài toán 2 : Hai đội công nhân cùng làm một công việc trong 16 ngày thì xong.
Nếu đội thứ nhất làm 3 ngày và đội thứ 2 làm 6 ngày thì được 25% công việc. Hỏi
nếu mỗi đội làm một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
- Giải : Gọi thời gian để đội 1 làm một mình xong công việc là x ( ngày )
Gọi thời gian để đội 2 làm một mình xong công việc là y ( ngày )

( x > 16 ; y > 16 )
Một ngày đội 1 làm được
1
x
( công việc )
Một ngày đội 2 làm được
1
y
( công việc )
Do 2 đội cùng làm trong 16 ngày xong công việc nên ta có phương trình :
(
1
x
+
1
y
).16 = 1 (1)
20
Đội 1 làm 1 mình trong 3 ngày được :
3
x
( công việc )
Đội 2 làm 1 mình trong 6 ngày được :
6
y
( công việc )
Khi đó 2 đội làm được 25% ( =
1
4
) công việc ; ta có phương trình :

3 6 1
4x y
+ =

(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : (
1
x
+
1
y
).16 = 1 (1)

3 6 1
4x y
+ =
(2)
Giải hệ phương trình ta có x = 24 ; y = 48 ( t/m điều kiện )
Vậy đội 1 làm một mình thì sau 24 ngày sẽ hoàn thành công việc
Vậy đội 2 làm một mình thì sau 48 ngày sẽ hoàn thành công việc.
Tóm lại : Với loại toán này cần làm cho học sinh thấy rõ được quan hệ giữa thời
gian và năng suất làm việc : Nếu công việc làm mất x ngày ( giờ ) thì trong 1 ngày
( giờ ) làm được
1
x
công việc .
V . DẠNG TOÁN VỀ TỶ LỆ CHIA PHẦN
( Thêm , bớt , tăng , giảm , tổng , hiệu , tỷ số của chúng )
Bài toán : Một đội xe cần phải chuyển 12 tấn hàng. Khi làm việc do 2 xe cần điều
đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn hàng. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu

xe.
- Phân tích : Có thể minh họa bài toán bằng bảng sau :
Số xe Số hàng ( tấn ) Số hàng 1 xe chở ( tấn )
Dự định x 12
Thực tế x – 2 12
12
2x
−
- Giải : Gọi số xe của đội lúc đầu là x (xe ) ( x ∈ N ; x > 2 )
Theo dự định mỗi xe phải chở :
120
x
( tấn hàng )
Số xe trên thực tế là : x – 2 ( xe )
21
12
x
Khi đó mỗi xe phải chở :
120
2x
−
( tấn hàng )
Theo bài ra ta có phương trình :
120
2x
−
-
120
x
=16

<=> x
2
– 2x – 15 = 0 <=> x
1
= - 3 ( loại )
x
2
= 5 ( t/m điều kiện )
Vậy đội xe lúc đầu có 5 xe.
VI . DẠNG TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC
Bài toán 1 : Cho một tam giác vuông , nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm ; 3
cm ; thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 50 cm
2
. Nếu giảm mỗi cạnh góc vuông
đi 2cm
thì diện tích tam giác giảm 32 cm
2
. Tính các cạnh góc vuông của tam giác vuông
đó.
- Phân tích : Cần lưu ý rằng dù các cạnh thay đổi thì diện tích của tam giác
vuông luôn bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.
- Giải : Gọi 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là x ; y (cm) ( x > 2 ; y >
2 )
Diện tích của tam giác lúc đầu là
1
.
2
xy
( cm
2

)
Khi tăng các cạnh góc vuông của tam giác vuông lên 2 cm; 3cm thì diện tích
tam giác là
1
( 2).( 3)
2
x y+ +
(cm
2
)
Ta có phương trình :
1
( 2).( 3)
2
x y+ +
-
1
.
2
xy
=50 (1)
Khi giảm các cạnh góc vuông của tam giác vuông đi 2 cm thì diện tích tam
giác là
1
( 2).( 2)
2
x y
− −
(cm
2

)
Ta có phương trình :
1
.
2
xy
-
1
( 2).( 2)
2
x y
− −
= 32 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

1
( 2).( 3)
2
x y+ +
-
1
.
2
xy
=50 (1)
22
A N C

1
.

2
xy
-
1
( 2).( 2)
2
x y
− −
= 32 (2)
<=> 3x + 2y = 94
x + y = 34
Giải hệ ta được x = 26 ; y = 8 ( t/m điều kiện )
Vậy : các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là 26 cm và 8 cm.
Bài toán 2 : Cho tam giác vuông ABC (
∠
A = 90
0
)có các cạnh AB = 8 cm ; AC =
6 cm. M là một điểm trên AB . Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC , BC
chúng lần lượt cắt BC , AC ở P và Q . Hãy xác định vị trí điểm M để diện tích
hình bình hành MNCD bằng
3
8
diện tích tam giác ABC.
- Phân tích : B
Chú ý : S
ABC
=
1
2

AB.AC M P
S
MNCP
= AM.NC
- Giải :
Gọi độ dài AM là x (cm) ( 0 < x < 8 )
áp dụng định lý Ta lét trong tam giác ABC với MN // BC ta có :

3
( )
8 6 4
AM AN X AN x
AN cm
AB AC
= ⇒ = ⇒ =
 NC = AC – AN = 6 -
3
4
x
(cm)
S
MNCP
=AM.NC = x.(6 -
3
4
x
) (cm
2
)
S

ABC
=
1
2
AB.AC =
1
2
.6.8 = 24 (cm
2
)
Theo bài ra ta có phương trình : x.(6 -
3
4
x
) =
3
8
.24 <=> x
2
– 8x + 12 = 0
x
1
= 2 ; x
2
= 6 ( t/m điều kiện )
Vậy : Điểm M cách A là 2 cm hoặc 6 cm.
Tóm lại : ở loại toán liên quan đến hình học cần làm cho học sinh liên hệ được
các tính chất của các hình vào bài toán. Nếu có thể tốt nhất nên cho học sinh vẽ
hình minh họa rồi dựa trên hình vẽ để phân tích các dữ kiện mà đầu bài cho.
23

VII . DẠNG TOÁN CÓ NỘI DUNG VẬT LÍ ; HÓA HỌC
Bài toán 1 : Dùng 2 nhiệt lượng , mỗi nhiệt lượng bằng 168 KJ để đun nóng 2
khối nước kém nhau 1 kg , thì khối nước nhỏ có nhiệt độ lớn hơn khối nước lớn
2
0
C. Tính xem khối nước nhỏ được đun nóng thêm mấy độ.
- Phân tích : Cần cho học sinh hiểu kĩ về kiến thức vật lí đã học. Ở đây cần sử
dụng công thức tính nhiệt lượng Q = C
m
.( t
2
– t
1
) ; trong đó t
2
– t
1
là

nhiệt độ được
tăng thêm.
=> m =
2 1
( )
Q
C t t
−
Cần nhớ : nhiệt dung riêng của nước là C = 4,2 KJ / kg.độ
- Giải : Gỉa sử khối nước nhỏ được đun nóng thêm x độ ( x > 0 )
Như vậy khối lượng của khối nước nhỏ là : m =

2 1
( )
Q
C t t
−
=
168
4,2
kg
x
Vì khối nước lớn được đun nóng kém hơn khối nước nhỏ là 2
0
C nên khối lượng
của khối nước lớn là :
168
4,2( 2)
kg
x
−
Vì hai khối nước kém nhau 1 kg nên ta có phương trình :
168
4,2x
+ 1 =
168
4,2( 2)x
−
Giải phương trình ta được x
1
= 10 ( t/m điều kiện )
x

2
= - 8 ( loại )
Vậy :khối nước nhỏ được đun nóng thêm 10
0
C.
Bài toán 2 :Có 2 loại dung dịch cùng chứa một loại a xít : loại 1 chứa 30%
a xít, loại 2 chứa 5% a xít . Muốn có 50 g dung dịch a xít 10% cần pha trộn lẫn bao
nhiêu g mỗi loại.
- Phân tích : Cần chú ý công thức C% =
tan
.100%
chat
dungdich
m
m
- Giải : Gọi lượng dung dịch axit 30% cần đổ là x (g)
lượng dung dịch axit 5% cần đổ là y(g) ( 0 < x < 50 ; 0 < y < 50 )
Ta có phương trình : x + y = 50 (1)
Số g a xít nguyên chất có trong x g dung dịch a xít 30% là x.30% (g)
Số g a xít nguyên chất có trong y g dung dịch a xít 5% là y.5% (g)
24
Số g a xít nguyên chất có trong50 g dung dịch a xít 10% là 50.10% (g)
Ta có phương trình : x.30% + y.5% = 50.10%
<=> 30x +5y = 500 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : x + y = 50 (1)
30x +5y = 500 (2)
Giải hệ phương trình ta được x = 10 ; y = 40 ( t/m điều kiện )
Vậy : cần đổ 10 g dung dịch a xít 30% và 40 g dung dịch a xít 5%.
Tóm lại : Trong loại toán có nội dung liên quan đến vật lí ; hóa học học sinh cần
nắm vững các kiến thức vật lí ; hóa học có liên quan từ đó áp dụng để thiết lập các

phương trình theo yêu cầu của bài.
VII . DẠNG TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ
Bài toán 1 : Một hình tròn có diện tích S = 3,14 R
2
với R là bán kính.
a, Khi R tăng 2 lần thì S tăng hay giảm bao nhiêu lần.
Khi R giảm 3 lần thì S tăng hay giảm bao nhiêu lần.
b, Khi S tăng 4 lần thì R tăng hay giảm bao nhiêu lần.
Khi S giảm 16 lần thì R tăng hay giảm bao nhiêu lần.
- Phân tích : Trong bài toán học sinh phải xác định được mối tương quan tỷ lệ
giữa độ dài bán kính và đường kính. Độ tăng của diện tích bằng bình phương độ
tăng của bán kính và ngược lại.
- Giải : Gọi R = a thì S = 3,14. a
2
a, Nếu R tăng 2 lần thì R
1
= 2R = 2a
=> S
1
= 3,14. (2a)
2
= 4.3,14.a
2
= 4.S => Diện tích tăng 4 lần
Tương tự : nếu R giảm 3 lần thì diện tích giảm 9 lần.
b, Nếu S giảm 16 lần thì S
1
=
1
16

S => 3,14.R
1
2
=
1
16
.3.14.R
2
=>R
1
2
=
1
16
.R
2
=> R
1
=
1
4
.R
Vậy bán kính giảm 4 lần.
Tương tự : nếu S tăng 4 lần thì R tăng 2 lần.
25