skkn dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài tập đại số dạng khác

Trờng THCS Mễ Sở
A- Đặt vấn đề
I. Cơ sở khoa học
nm vng v vn dng c cỏc kin thc ó hc vo thc tin i
sng thỡ bt c mụn hc no cng ũi hi hc sinh phi cú s n lc c gng
trong hc tp, chu khú suy ngh tỡm tũi, cú tớnh kiờn trỡ, nhn li, khụng nn
lũng khi gp khú khn trong hc tp cng nh trong cuc sng sau ny. Cú nh
vy thỡ cỏc em mi lm ch c tri thc khoa hc v cụng ngh hin i, cú k
nng thc hnh gii v cú tỏc phong cụng nghip, vn dng c cỏc kin thc
ó hc vo thc t mt cỏch linh hot, sỏng to; l ngi cụng dõn tt sng cú
k lut, ngi lao ng cú k thut nhỡn nhn c õu l ỳng, õu l sai; cú
chõn lý rừ rng.
Trong trng ph thụng mụn toỏn chim mt v trớ khỏ quan trng vỡ nú
giỳp cỏc em tớnh toỏn nhanh, t duy gii, suy lun, lp lun hp lý lụgic, khụng
nhng th nú cũn h tr cho cỏc em hc tt cỏc mụn hc khỏc nh: vt lý, húa
hc, sinh vt, k thut, a lý Dự cỏc bn cú phc v ngnh no, trong cụng
tỏc no thỡ kin thc v phng phỏp toỏn hc cng cn cho cỏc bn (Phm
Vn ng)
Mụn toỏn l mụn hc giỳp cho hc sinh phỏt trin t duy do tớnh tru
tng nhng cht ch logic, ũi hi hc sinh phi bit phỏn oỏn, lp lun, suy
lun cht ch, l mụn hc th thao ca trớ tu. nm c kin thc v vn
dng c cỏc kin thc ó hc ũi hi cỏc em phi bit phõn tớch, tỡm tũi, phỏn
oỏn t ú nú ó rốn luyn cho cỏc em trớ thụng minh sỏng to.
Đổi mới phơng pháp dạy học Toán hiện nay là tích cực hoá hoạt động học
của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nâng cao năng lực phát
triển và giải quyết vấn đề, từ đó học sinh tự lực khám phá những điều mình cha
biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn. Trong tiết
lên lớp giáo viên là ngời tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến hành các hoạt động học
tập, củng cố kiến thức cũ, tìm tòi phát hiện kiến thức mới, luyện tập vận dụng
kiến thức vào các tình huống khác nhau.
Trong chơng trình học phổ thông môn Toán là môn đợc hầu hết các em

học sinh say mê và thích thú. Với môn Toán các kiến thức cơ bản liên quan ràng
buộc với nhau, kiến thức lớp trên đợc xây dựng từ cơ sở kiến thức lớp dới, kiến
thức mới đợc phát triển từ kiến thức cũ, bài tập này giải đợc nhờ vào kết quả của
bài tập khác. Vì vậy để học tốt bộ môn này đòi hỏi ngời học phải có khả năng t
duy tốt.
23
Trờng THCS Mễ Sở
Trong quá trình giảng dạy tôi đã luôn cố gắng làm thế nào để rèn và
phát triển t duy cho học sinh với mục đích giúp các em có khả năng tiếp thu bộ
môn Toán tốt hơn.
Đối với chơng trình Toán lớp 9, phần phơng trình bậc hai là một phần
khá dễ tiếp thu với học sinh, song việc sử dụng kiến thức về phơng trình bậc hai
để giải quyết một số bài tập nâng cao thì học sinh gặp khó khăn, mà những kiến
thức này còn tiếp tục phát triển ở các lớp học trên nhất là chơng trình toán ở phổ
thông trung học và rất cần thiết đối với ngời học toán.
Phần lớn học sinh khi học phần này đều thấy khó hiểu và luôn ngại làm
các bài tập dạng này, nhng khi đã hiểu thì lại rất say mê.
II. Mục đích nghiên cứu
Chính vì những lý do trên mà tôi đã tìm tòi suy nghĩ nghiên cứu và đã
áp dụng vào thực tế giảng dạy việc sử dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình
bậc hai để giải các bài tập đại số dạng khác đồng thời nhằm phát triển t duy cho
học sinh. Bên cạnh đó tôi đã hệ thống sắp xếp các bài tập từ dễ đến khó, bài tập
sau đợc phát triển từ bài tập trớc. Mục đích của tôi là rèn t duy cho học sinh
trong giải toán, hớng cho học sinh cách suy nghĩ, hớng làm khi đứng trớc một
bài tập toán. Bên cạnh còn giúp cho học sinh có khả năng chủ động tự ra đề toàn
mới tơng tự hoặc phát triển từ một bài toán đã biết đồng thời hớng cho học sinh
cách nghĩ, cách giải một bài toán từ những kiến thức không mấy liên quan trong
đề bài
Tôi đã áp dụng kinh nghiệm Dùng điều kiện có nghiệm của phơng
trình bậc hai để giải một số bài tập đại số dạng khác và đã thấy đợc những kết

quả khả quan, có đạt đợc những mục đích mong muốn.
III. Đối tợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Trong kinh nghiệm của mình tôi xin trình bày kỹ năng sử dụng điều
kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai vào giải toán và cách làm xuất hiện ph-
ơng trình bậc hai trong bài toán tởng chừng không mấy liên quan
Trong mỗi một bài tập minh họa tôi đều có hớng dẫn gợi ý để học
sinh tự phát hiện ra cách làm. Sau mỗi dạng, mỗi loại tôi thờng chốt lại phơng
pháp làm và có đa ra bài tập tơng tự tự luyện
Trong kinh ngiệm này bài tập chủ yếu tôi đề cập đến trong chơng
trình lớp 9 hệ thống bài tập từ dễ đến khó tuỳ theo khả năng tiếp thu của học sinh
23
Trờng THCS Mễ Sở
đến đâu thì ta áp dụng đến đó. Kinh nghiệm này có thể áp dụng dạy chuyên đề,
có thể dạy ở các tiết luyện tập, ôn tập cuối năm cho học sinh.
IV. Kế hoạch nghiên cứu:
Kết hợp giữa kiến thức cơ bản và kiến thức mở rộng nâng cao, tôi đã tìm
tòi nghiên cứu trong chơng phơng trình bậc hai của lớp 9. Sau khi chọn đợc bài
toán điển hình, tôi bắt đầu đi xây dựng các bài tập áp dụng và sắp xép các bài tập
đó theo một trình tự hợp lý. Sau khi học sinh đã đợc hết các kiến thức có liên
quan ở trên lớp tôi bắt đầu áp dụng kinh nghiệm này trong giảng dạy. Tôi chọn
hai lớp học sinh cơ bản có trình độ đồng đều, một lớp tôi sẽ áp dụng kinh
nghiệm đã nghiên cứu, lớp còn lại làm đối chứng
V. Phơng pháp nghiên cứu
Trên cơ sở rút kinh nghiệm từ quá trình dạy học trên lớp, kinh nghiệm bồi
dỡng học sinh giỏi khi thực hiện nghiên cứu và áp dụng kinh nghiệm này trong
thực tế giảng dạy tôi đã vận dụng các phơng pháp nghiên cứu sau: - Phơng
pháp suy luận
- Phơng pháp phân tích tổng hợp
- Phơng pháp đặc biệt hóa- khái quát hóa
- Phơng pháp gợi mở

- Phơng pháp đại số
VI. Thời gian hoàn thành:
Tôi đã nghiên cứu và áp dụng vào thực tế giảng dạy thấy có hiệu quả tốt.
Tôi hoàn thành kinh nghiệm này vào ngày 25 tháng 3 năm 2012.
23
Trêng THCS MÔ Së
B- gi¶i quyÕt vÊn ®Ò
I. Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí
1. Phương trình bậc hai một ẩn
a. Định nghĩa
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương
trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0
Trong đó x là ẩn, a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a
0
≠
b. Công thức nghiệm
Phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
0
≠
) có
b
∆ =
2
-

4ac.

+ Nếu
∆
> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
2
b
x
a
− + ∆
=
; x
2
=
a
b
2
∆−−
+ Nếu
0
∆ =
thì phương trình có nghiệm kép:

1 2
2
b
x x
a
= = −
+ Nếu

0
∆ <
thì phương trình vô nghiệm
c. Công thức nghiệm thu gọn
Phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
0
≠
) và b = 2b’

' '2
b ac∆ = −
+ Nếu
'
0∆ >
thì phương trình bậc hai có nghiệm phân biệt

' '
1
b
x
a
− + ∆
=
;
' '
2
b
x

a
− − ∆
=
+ Nếu
'
0∆ =
thì phương trình có nghiệm kép:

'
1 2
b
x x
a
= = −
+ Nếu
∆
’
< 0

thì phương trình vô nghiệm
d. Hệ thức viét
Nếu
1 2
,x x
là hai nghiệm của phương trình ax
2
+ bx +c = 0 (a
0≠
) thì:
1 2 1 2

; .
b c
x x x x
a a
+ = − =
e. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của
phương trình
2
0x Sx P− + =
điều kiện để có hai số đó là
2
4 0S P− ≥

23
Trêng THCS MÔ Së
2. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai
a. Phương trình trùng phương
b. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
c. Phương trình tích
d. Phương trình bậc cao
e. Phương trình vô tỉ
3. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
a. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax
2
+ bx +c = 0 (a
0
≠
) có hai
nghiệm: x

1
= 1; x
2
=
c
a
b. Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
0
≠
) có hai nghiệm
phân biệt: x
1
= - 1; x
2
= -
c
a
4. Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm
a. Phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
0
≠
) có nghiệm khi
0∆ ≥
hoặc
ac < 0
b. Chú ý:

+ Nếu ac
0
≤
mà a
0
≠
thì phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm.
+ Nếu chỉ có ac
0
≤
thì chưa đủ để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm.
5. Định lý về dấu của đa thức bậc hai
Cho đa thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx +c = 0 (a
0
≠
)
a. Nếu
0
∆ <
thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị của x
b. Nếu
0∆ =
thì f(x) cùng dấu với a với
2

b
x
a
∀ ≠ −
c. Nếu
∆
> 0 thì:
+ f(x) trái dấu với a với mọi giá trị của x nằm trong khoảng hai nghiệm
+ f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị của x nằm ngoài khoảng hai nghiệm
Chứng minh
Ta có
( )
2
f x
b c
x x
a a a
= + +

2 2
2
2 2
b b 4ac b
x x
2a 4a 2a 4a
− ∆
   
= + − = + −
 ÷  ÷
   

a. Nếu
0∆ <
thì
( )
f x
0
a
>
do đó f(x) luôn cùng dấu với a với mọi x
23
Trêng THCS MÔ Së
b. Nếu
0∆ =
thì
2
f (x) b
(x ) 0
a a
= + ≥
do đó f(x) luôn cùng dấu với a với
b
x
a
∀ ≠ −
c. Nếu
0∆ >
thì
1 2
f (x)
(x x )(x x )

a
= − −
do đó (giả sử
1 2
x x<
):
+ f(x) trái dấu với a nếu
1 2
x x x< <
+ f(x) cùng dấu với a nếu
1
x x<
hoặc
2
x x>
23
Trêng THCS MÔ Së
II. Bµi tËp thÓ hiÖn
Dạng 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm
Bài 1: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:




=+
=−
)2(52
)1(734
22
myx

yx
Hướng dẫn: Vì đã biết cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế nên học
sinh đều biết rút x theo y từ phương trình (1) và thế vào phương trình (2) để xuất
hiện phương trình một ẩn
Từ (1) ta có x =
4
73 +y
thế vào (2) ta được
2.(
4
73 +y
)
2
+ 5y
2
= m
Thu gọn được 49y
2
+ 42y + (49 - 8m) = 0 (3)
Để hệ phương trình có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm

⇔
∆
≥
0
⇔
21
2
- 49.(49 - 8m)
≥

0

⇔
m
≥
5
Bài 2: Gọi x, y là nghiệm của hệ phương trình:

2 2 2
x y a 1 (4)
x y 2a 2 (5)
+ = +


+ = −

a. Tìm điều kiện của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
b. Tìm giá trị của a để tích xy có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn: Tương tự bài 1 hầu hết học sinh đều biết dùng phương pháp thế
đưa điều kiện có nghiệm của hệ về điều kiện có nghiệm của phương trình bậc
hai
a. Từ (4) suy ra y = a + 1 - x thế vào (5) ta có
x
2
+ (a + 1 - x)
2
= 2.a
2
- 2

⇔
2x
2
- 2(a + 1)x - a
2
+ 2a + 3 = 0 (6)
Hệ phương trình có nghiệm
⇔
Phương trình (6) có nghiệm

⇔
∆
≥
0

⇔
(a + 1)
2
- 2(- a
2
+ 2a + 3)
≥
0

⇔
3a
2
- 2a - 5
≥
0

⇔
(3a - 5).(a + 1)
≥
0

⇔
a
≤
-1 hoặc a
≥

3
5
(*)
b. Ta có 2xy = (x + y)
2
- (x
2
+ y
2
) = -a
2
+ 2a + 3
23
Trêng THCS MÔ Së
⇒
xy = -
2
1

a
2
+ a +
2
3
Đến đây thì học sinh hoàn toàn bị lúng túng vì khi tìm theo cực trị của
tam thức bậc hai thì không có a thỏa mãn điều kiện để tồn tại x, y mà
xy = -
2
1
(a - 1)
2
+ 2
≤
2 nhưng dấu “=” xảy ra khi a = 1 không thỏa mãn (*)
Vì thế 2 không phải là giá trị lớn nhất của xy
Tôi cho các em nhận dạng đồ thị của hàm số xy = f(a) = -
2
1
a
2
+ a +
2
3
Do đồ thị hàm số xy = f(a) = -
2
1
a
2
+ a +

2
3
là một parabol quay xuống dưới
Mặt khác f(-1) = 0, f(
3
5
) =1
9
7
Do vậy giá trị lớn nhất của xy là 1
9
7
khi x = y =
3
5
Khi đó a =
3
5
Như vậy học sinh đều thấy rằng để tìm điều kiện có nghiệm của hệ
phương trình ta đều phải biến đổi và đưa về tìm điều kiện có nghiệm của
phương trình một ẩn.
Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức
Bài 3: Cho x
2
= 3.(xy + y – y
2
)
Chứng minh rằng: 0
≤
y

≤
4
Hướng dẫn: Với bài này học sinh chưa biết sẽ bắt đầu từ đâu, tôi đã gợi ý các
em hãy viết về dạng phương trình bậc hai của một biến. Hầu hết các em đều
quen phương trình ẩn x nên đã đưa về phương trình bậc hai với ẩn x như sau:
Vì x
2
= 3.(xy + y – y
2
) suy ra x
2
– 3xy – 3y + 3y
2
= 0
Rõ ràng vì tồn tại x, y nên phương trình trên có nghiệm
Để phương trình bậc hai đối với ẩn x có nghiệm thì :

∆
= 9y
2
- 12y
2
+ 12y
≥
0

⇔
12y – 3y
2

≥
0

⇔
3y.(4 – y)
≥
0

⇔
y.(4 – y)
≥
0

⇔
0
≤
y
≤
4
Nếu y = 0 thì x = 0
Nếu y = 4 thì x = 6
23
Trêng THCS MÔ Së
Vậy 0
≤
y
≤
4. Dấu bằng xảy ra khi x = 0 hoặc x = 6

Bài4 : Cho a, b, c, thoả mãn hệ điều kiện:

a b c 5
ab bc ac 8
+ + =


+ + =

Chứng minh rằng: 1
≤
a
≤

3
7

Hướng dẫn: Ở bài này thì không thể biến đổi như bài 3 mà ra ngay phương trình
bậc hai được, học sinh cần chú ý tới hai số có tổng và tích
Vì a + b + c = 5 nên b + c = 5 - a
ab + bc + ac = 8
⇒
bc = 8 - a.(b + c) = 8 - a.(5 - a) = a
2
- 5a + 8
Suy ra b, c là nghiệm của phương trình
x
2
- (5 - a).x + (a
2
- 5a + 8) = 0
Do tồn tại b, c nên phương trình bậc hai ẩn x có nghiệm

⇔
∆
≥
0

⇔
(5 - a)
2
- 4.(a
2
- 5a + 8)
≥
0

⇔
a
2
- 10a + 25 - 4a
2
+ 20a - 32
≥
0

⇔
- 3a
2
+ 10a - 7
≥
0

⇔
-3a
2
+3a + 7a - 7
≥
0

⇔
-3a.(a - 1) + 7.(a - 1)
≥
0

⇔
(a - 1).( -3a + 7)
≥
0

⇔
1
≤
a
≤

3
7

Tương tự b và c cũng có tính chất như vậy.
Bài 5: Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện:
a + b + c = - 2 (1), a

2
+ b
2
+ c
2
= 2 (2)
Chứng minh rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn [-
3
4
; 0] khi biểu diễn trên
trục số
Hướng dẫn: Vì dạng của bài tập này giống bài 2 nên hầu hết học sinh đều biết
đưa về tổng và tích của hai số nào đó
Bình phương hai vế của (1)
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2.(ab + bc + ac) = 4
Do (2) nên ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1
Suy ra bc = 1 - a.(b + c) = 1 - a.(- 2 - a) = a
2
+ 2a + 1
Lại có b + c = -(a + 2)
Do đó b, c là nghiệm của phương trình
23
Trêng THCS MÔ Së
x

2
+ (a + 2).x + (a
2
+ 2a + 1) = 0
Để tồn tại X phải có
∆
≥
0

⇔
(a + 2)
2
- 4(a
2
+ 2a + 1)
≥
0

⇔
a.(3a + 4)
≤
0
⇔
-
3
4
≤
a
≤
0

Tương tự -
3
4
≤
b
≤
0, -
3
4
≤
c
≤
0
Dạng 3: Tìm cực trị của một biểu thức
Bài 6: Cho phương trình x
4
+ 2x
2
+ 2ax + (a + 1)
2
= 0 (1)
Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình:
a. Đạt giá trị nhỏ nhất
b. Đạt giá trị lớn nhất
Hướng dẫn: Khi tôi đưa ra bài tập này thì học sinh đều thắc mắc đây là phương
trình bậc 4 và tìm cách đổi biến đưa về phương trình bậc hai
Tôi đã gợi ý các em cần đọc kỹ yêu cầu, tôi nhấn mạnh ở đây cần lưu ý là có a
thì nghiệm cần điều kiện gì, lập tức có học sinh đã phát hiện ra ngay cần đưa về
phương trình ẩn a
Gọi m là nghiệm của phương trình (1) đã cho thì:

m
4
+ 2m
2
+ 2am + (a + 1)
2
= 0

⇔
m
4
+ 2m
2
+ 2am + a
2
+ 2a + 1 = 0

⇔
a
2
+ 2.(m + 1).a + (m
4
+ 2m
2
+ 1) = 0
Đây là một phương trình bậc hai đối với ẩn a, để tồn tại a phải có
∆
≥
0

⇔
(m + 1)
2
- m
4
- 2m
2
- 1
≥
0

⇔
- m
4
- m
2
+2m
≥
0

⇔
- m.( m
3
+ m - 2)
≥
0

⇔
m.(m - 1).(m
2

+ m + 2)
≥
0

⇔
m.(m - 1)
≥
0 Do m
2
+ m + 2 = (m +
2
1
)
2
+
4
7
> 0

⇔
0
≤
m
≤
1
a. Nghiệm của phương trình đạt giá trị nhỏ nhất là 0 với a = -1
b. Nghiệm của phương trình đạt giá trị lớn nhất là 1 khi a = -2
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:
A =
1

1
2
2
++
+−
xx
xx
23
Trêng THCS MÔ Së
Hướng dẫn: Tương tự bài tập trên học sinh đã biết để tìm cực trị của biểu thức A
thì cần đưa về phương trình bậc hai với ẩn là x song các em còn lúng túng chưa
biết biến đổi thế nào, tôi đã hướng dẫn các em nư sau:
Gọi a là một giá trị nào đó của biểu thức A rồi đưa về phương trình bậc
hai với ẩn x, đến đây học sinh đã biết cách làm như sau:
a =
1
1
2
2
++
+−
xx
xx
Do x
2
+ x + 1
≠
0 nên phương trình tương đương với

ax

2
+ ax + a = x
2
- x + 1

⇔
(a - 1)x
2
+ (a + 1)x + (a - 1) = 0 (2)
*. Nếu a = 1 thì Phương trình (2) có nghiệm x = 0
*. Nếu a
≠
1 để phương trình (2) có nghiệm thì
∆
≥
0

⇔
(a + 1)
2
- 4(a - 1)
2
≥
0

⇔
a
2
+ 2a + 1 - 4a
2

+8a - 4
≥
0

⇔
-3a
2
+ 10a - 3
≥
0

⇔
3a
2
-10a + 3
≤
0

⇔
3a
2
- a - 9a + 3
≤
0

⇔
(3a - 1).(a - 3)
≤
0

⇔

3
1
≤
a
≤
3 (a
≠
1)
Với a =
3
1
hoặc a = 3 thì nghiệm của phương trình (2) là x =
)1.(2
1
a
a
−
+
Với a =
3
1
thì x = 1, a = 3 thì x = -1
Vậy biểu thức A có giá trị nhỏ nhất bằng
3
1
khi x = 1
Biểu thức A có giá trị lớn nhất bằng 3 khi x = -1
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

B =
22
22
yxyx
yxyx
++
+−
Hướng dẫn: Bài tập này khác bài trên vì có hai ẩn x, y vì thế học sinh đã rất
lúng túng. Tôi hướng dẫn các em chia tử và mẫu cho y khác 0 xem sao.
Như vậy để chia được chúng ta cần xét 2 trường hợp:
Xét y = 0 thì B = 1 với x
≠
0
23
Trêng THCS MÔ Së
Xét y
≠
0 thì B =
1)(
1)(
2
2
++
+−
y
x
y
x
y
x

y
x
=
1
1
2
2
++
+−
aa
aa
Đặt
y
x
= a
Đến đây thì học sinh đã nhận ra giống như bài tập trên mà các em đã biết cách
làm.
Biểu thức B nhận giá trị m khi và chỉ khi phương trình ẩn a sau có nghiệm
m =
1
1
2
2
++
+−
aa
aa

⇔
ma

2
+ ma + m = a
2
- a + 1 Do a
2
+ a + 1 > 0

⇔
(m - 1).a
2
+ (m + 1).a + m - 1 = 0 (3)
*. Với m = 1 thì a = 0
*. Với m
≠
1 để phương trình (3) có nghiệm thì
∆
≥
0

⇔
(m + 1)
2
- 4(m - 1)
2

≥
0

⇔
m

2
+ 2m + 1 - 4m
2
+8m - 4
≥
0

⇔
-3m
2
+ 10m - 3
≥
0

⇔
( m - 3).(1 - 3m)
≥
0

⇔
3
3
1
≤≤ m
Khi đó A có giá trị nhỏ nhất là
3
1
với a = 1 nên x = y
A có giá trị lớn nhất là 3 với a = -1 nên x = - y
Bài 9: Tìm các số m, n để biểu thức

2
2
2x mx n
A
x 1
+ +
=
+
a. Nhận giá trị nhỏ nhất bằng 1
b. Nhận giá trị lớn nhất bằng 6
Hướng dẫn: Bài này thì ngược lại so với các bài tập trên, hầu hết các em đều gặp
khó khăn và lúng túng không biết bắt đầu từ đâu. Tôi hướng dẫn các em hãy cứ
tìm xem để có x thì biểu thức A có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất như thế nào. Do
đã được làm các bài tập trên nên học sinh biết cách tìm như sau:
Gọi a là giá trị tùy ý của A thì:
a =
1
2
2
2
+
++
x
nmxx
vì x
2
+ 1 > 0 suy ra
(a - 2)x
2
– mx+ (a - n) = 0 (4)

Ta thấy a = 2 không là giá trị lớn nhất, không là giá trị nhỏ nhất của A

⇒
Xét a
≠
2 tìm điều kiện để (4) có nghiệm

∆
= m
2
– 4(a - 2)(a - m)
≥
0
23
Trêng THCS MÔ Së

2 2
4a 4(n 2)a (8n m ) 0∆ = − + + − ≤
(5)
Đến đây tôi hướng dẫn các em tiếp tục khai thác những điều kiện bài cho.
Nghiệm của bất phương trình (5) là
1 2
a a a≤ ≤
trong đó a
1,
a
2
là các nghiệm
của phương trình
2 2

4a 4(n 2)a (8n m ) 0− + + − =
(6).
Theo bài ra ta có
1 a 6≤ ≤
. Như vậy cần tìm m, n để (6) có 2 nghiệm là
a
1
= 1, a
2
= 6.
Theo viét (Nếu (6) có nghiệm)








−
=
+
=+
4
8
4
)2(4
2
21
21

mn
aa
n
aa

⇔



−=
+=
2
824
27
mn
n
⇔



±=
=
4
5
m
n
Với n = 5; m =
±
4 thỏa mãn điều kiện có nghiệm của (6)
Vậy:

*. n = 5;m = 4 thì
2
2
2 4 5
1
x x
A
x
+ +
=
+
có GTNN là 1, có GTLN là 6
*. n = 5; m = - 4 thì
2
2
2 4 5
1
x x
A
x
− +
=
+
có GTNN là 1, có GTLN là 6
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của A=
2
1
x x
x
+ +

với x > 0
Hướng dẫn: Ban đầu các em thấy biểu thức này có dạng hoàn toàn khác các biểu
thức ở trên nên lúng túng chưa biết làm thế nào, tôi đã gợi ý các em vẫn biến đổi
hoàn toàn tượng tự như các bài trên và bình phương đưa về phương trình bậc hai
Biểu thức A nhận giá trị là m do đó phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:

2 2
1 1
m x x m x x
x x
= + + ⇔ − = +
(7)
Với m
≥
x > 0 (7)
⇔

2 2 2
1
m 2mx x x
x
− + = +

⇔

2 2
2mx m x 1 0− + =
(8)
Ở (8) do m
0

≠
nên (8) là phương trình bậc hai
Điều kiện để phương trình (8) có nghiệm là:

0∆ ≥

⇔

4
m 8m 0− ≥
Do m > 0
⇒
m
3

≥
8
⇒
m
2≥
*. m = 2
1
2
x⇔ =
thỏa mãn điều kiện 0 < x
≤
m
23
Trêng THCS MÔ Së
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 với x =

1
2
Bài 11: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
2
2
x 4 2x 3
x 1
+ +
+
Hướng dẫn: Đến bài tập này thì các em đã quen với cách làm nên đã biết biến
đổi để làm xuất hiện phương trình bậc hai
Với mỗi giá trị của x ta thấy biểu thức có một giá trị a tương ứng

a =

2
2
x 4 2x 3
x 1
+ +
+
Vì x
2
+ 1 > 0 nên biến đổi và thu gọn ta được phương trình sau:
(a - 1) x
2
- 4
2
x + a - 3 = 0 (9)
Với a = 1 thì x =

4
2−
Với a
≠
1 phương trình (9) có nghiệm
⇔

0∆ ≥

⇔
- a
2
+ 4a + 5
≥
0
⇔
(a + 1).( 5 - a)
≥
0

⇔
- 1
≤
a
≤
5
a có giá trị nhỏ nhất là -1
x 2⇔ = −
a có giá trị lớn nhất là 5
2

x
2
⇔ =
Bài 12: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
2 2
x 2y 1
x y 7
+ +
+ +
Hướng dẫn: Hoàn toàn tương tự các bài tập quen thuộc ở trên song phức tạp hơn
ở chỗ chúng ta có hai tham số.
Đưa về xét điều kiện có nghiệm của phương trình:
a =
2 2
x 2y 1
x y 7
+ +
+ +


2 2
ax x ay 2y 7a 1 0⇔ − + − + − =
(10)
Với x là ẩn, y là tham số tùy ý, a là tham số có điều kiện:
*. a =0
x 2y 1 0⇒ + = =
*. a
≠
0 phương trình có nghiệm x khi
2

1 4a(ay 2y 7a 1) 0− − + − ≥

2 2 2
4a y 8ay 28a 4a 1 0⇔ − + − + + ≥
(11)
(11) là bất phương trình ẩn y, bất phương trình này xảy ra
y∀
⇔

y
0
′
∆ ≥
2 4 3 2
16a 112a 16a 4a 0⇔ − + + ≥
23
Trêng THCS MÔ Së
4 3 2
112a 16a 20a 0⇔ − + + ≥
2
28a 4a 20 0 (a 0)⇔ − + + ≥ ≠
(2a 1)(14a 5) 0⇔ − − ≤
5 1
a
14 2
−
⇔ ≤ ≤

Giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2

2 1
7
x y
x y
+ +
+ +
là
1
2
khi y = 2, x = 1
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
2 1
7
x y
x y
+ +
+ +
là
5
14
−
khi x =
7
5
−
, y =
14
5
−

23
Trêng THCS MÔ Së
Bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của:
a,
2
x
A
x 1
=
+
b,
2
2
x 2x 2
B
x 2x 2
− +
=
+ +
Bài 2: Cho biểu thức
2
2
x mx n
A
x 2x 4
+ +
=
+ +

Tìm các giá trị của m, n để biểu thức A có giá trị nhỏ nhất bằng
1
3
, giá trị
lớn nhất bằng 3.
Bài 3: Gọi x
1,
x
2
là

nghiệm của các phương trình sau, tìm các giá trị của m để
2 2
1 2
x x+
có giá trị nhỏ nhất.
a) x
2
– (2m - 1)x + (m - 2) = 0
b) x
2
+ 2(m + 2)x - (2m - 7) = 0
Bài 4: Tìm GTNN của
5
1
x
C
x x
= +
−

với 0 < x < 1
Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức
x
2
+ 2y
2
- 2xy + 2x - 4y + 3 > 0
B i 6à : Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
A =
2
12
2
+
+
x
x
B i 7: Bà iết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phương trình




+−=+
=+
6
222
myx
myx
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P = xy + 2(x + y).
Bài 8: Biết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phương trình




−+=+
−=+
32
12
222
aayx
ayx
Xác định giá trị của tham số a để hệ thỏa mãn tích xy nhỏ nhất.
23
Trờng THCS Mễ Sở
III. Kết quả:
Sau khi áp dụng kinh ngiệm Dùng điều kiện có nghiệm của phơng trình
bậc hai để giải một số bài tập đại số dạng khác tôi thấy học sinh tích cực,
hăng say học tập môn toán hơn. Các em đã có khả năng biết xâu chuỗi bài toán
lại với nhau, khi gặp một bài toán mới đã có những phán đoán nh tơng tự, giống
bài toán nào đó đã gặp, đã làm đồng thời biết liên hệ, sử dụng kiến thức đã đợc
học vào giải quyết bài tập và cụ thể kĩ năng giải toán của học sinh tốt hơn rất
nhiều. Trên thực tế tôi đã cho học sinh làm một bài kiểm tra trên hai lớp 9A và
9B. Lóp 9A đợc dạy áp dụng kinh nghiệm trên, lớp 9B tôi chỉ dạy đơn thuần là
luyện tập và chữa bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập. Kết quả bài kiểm
tra cụ thể nh sau:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu
SL % SL % SL % SL %
9A 38 14 36,8 18 47,4 6 15,8 0 0
9B 33 3 9,1 10 30,3 16 48,5 4 12,1
Bảng kết quả đã thể hiện kinh nghiệm Dùng điều kiện có nghiệm của ph-
ơng trình bậc hai để giải một số bài tập đại số dạng khác mang lại hiệu quả

đáng kể trong giảng dạy. Không những kết quả bài kiểm tra lớp 9A cao hơn mà
ý thức học tập bộ môn của các em học sinh lớp 9A cũng tốt hơn, các em yêu
thích bộ môn hơn

23
Trờng THCS Mễ Sở
C- Kết luận và khuyến nghị

I. bài học kinh nghiệm.
Dạy học Toán đòi hỏi phải cuốn hút học sinh vào nhng hoạt động học tập
do giáo viên tổ chức, chỉ đạo thông qua đó học sinh tự khám phá điều mình cha
biết. Để đảm bảo tiết học có hiệu quả, có chất lợng đòi hỏi ngời thầy phải đầu t
thời gian và trí tuệ vào nội dung của từng tiết học biết cách vận dụng tốt các ph-
ơng pháp tổng quát hoá, đặc biệt hoá tơng tự để từ nhng kiến thức đã có giúp học
sinh mở rộng o sâu hệ thống hoá kiến thức giúp học sinh biết cách tìm lời
giải của một bài toán khó hoặc cao hơn bằng cách liên hệ với các kiến thức đã
biết, đã đợc học.
Muốn rèn và phát triển t duy học toán cho học sinh đòi hỏi ngời thầy
phải thờng xuyên học hỏi tìm tòi nghiên cứu luôn có ý thức tập hợp các bài toán
theo một hệ thống có logíc, có phát triển, mở rộng
II. phm vi áp dụng.
ỏp dng c kinh nghim ny mt cỏch cú hiu qu nht thỡ:
- i vi giỏo viờn: Phi nhit tỡnh cụng tỏc, tõm huyt v yờu ngh.
iu c bn nht l vn tri thc ca mi giỏo viờn, ng thi mi giỏo
viờn cn phi c v c nhiu ti liu tham kho t ú t mỡnh h thng kin
thc li theo tng dng, theo tng mc t d n khú, t n gin n phc
tp.
Khi ging dy giỏo viờn cn nm c kh nng, trỡnh ca mi hc
sinh, mi nhúm, mi lp a ra bi tp mc no phự hp trỏnh hin
tng quỏ ti.

- i vi hc sinh: Cỏc em cn t giỏc hc tp, nm c kin thc c bn. Mi
hc sinh cn to cho mỡnh s say mờ, ham thớch tỡm tũi khỏm phỏ cỏi mi.
To ra thúi quen suy lun lụgic mi vn , tớch cc ch ng ún nhn
v gii quyt nhng bi tp, nhng tỡnh hung theo yờu cu ca chng trỡnh
hay c b sung thờm.
- i vi nh trng:
To iu kin mi mt cho giỏo viờn, tớch cc tu b v b sung ti liu
tham kho cho c giỏo viờn v hc sinh cú th mn nghiờn cu v hc tp.
Sp xp b trớ thi gian, c s vt cht cho hc sinh c hc cỏc bui
ngoi khúa, hc theo chuyờn thng xuyờn, nờn phõn loi i tng hc sinh.
23
Trờng THCS Mễ Sở
Vi i tng hc sinh gii: nh trng cú k hoch cho giỏo viờn ging
dy ngay t u nm
Trong kinh ngiệm này bài tập chủ yếu tôi đề cập đến trong chơng trình lớp
9 hệ thống bài tập từ dễ đến khó tuỳ theo khả năng tiếp thu của học sinh đến đâu
thì ta áp dụng đến đó. Kinh nghiệm này có thể áp dụng dạy chuyên đề, có thể
dạy ở các tiết luyện tập, ôn tập cuối năm cho học sinh.
III. hạn chế:
Trong kinh nghiệm này bài tập thể hiện còn ít, cha nhiều dạng, loại, tôi
mới dừng lại ở 3 dạng toán: tìm điều kiện có nghiệm của hệ phơng trình, toán
chứng minh, toán tìm cực trị mà cha mở rộng sang nhiều dạng, loại khác.
IV. hớng tiếp tục nghiên cứu
Các loại toán này còn tiếp tục mở rộng và nâng cao lên các lớp trên và với
các dạng toán khác nhau. Vì thế tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu để áp dụng vào dạy
trong chơng trình 9 đối với học sinh đại trà và học sinh giỏi cũng nh sẽ nghiên
cứu áp dụng để giải sang nhiều loại toán khác cho phong phú.
Môn Toán là một môn học cơ bản mà hầu nh mọi học sinh đều mang tâm
lý thích song lại sợ. Vì thế việc tìm ra phơng pháp dạy nhằm giúp học sinh hệ
thống đợc kiến thức, bài tập, rèn kỹ năng và phát triển đợc t duy sáng tạo của học

sinh là rất cần thiết.
Trên đây tôi đã mạnh dạn trình bày kinh nghiệm Dùng điều kiện có
nghiệm của phơng trình bậc hai để giải một số bài tập đại số dạng khác. Kinh
nghiệm đã đợc tôi áp dụng vào thực tế giảng dạy song thiếu xót là điều không
tránh khỏi. Rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của bạn bè đồng nghiệp.
Tôi xin đợc chân thành cảm ơn!
Mễ Sở, ngày 29 tháng 3 năm 2012
Ngời viết
Chu Thị Hiên

23
Trờng THCS Mễ Sở
Mục lục
Đề mục Trang
A. Đặt vấn đề 2
I. Cơ sở khoa học 2
II. Mục đích nghiên cứu 3
III. Đối tợng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu 4
IV. Kế hoạch nghiên cứu 4
V. Phơng pháp nghiên cứu 4
VI. Thời gian hoàn thành 5
B. Giải quyết vấn đề 6
I. Một số kiến thức cần nhớ 5
II. Bài tập thể hiện 9
III. Kết quả 17
C. Kết luận và khuyến nghị 18

23
Trêng THCS MÔ Së
ý kiÕn ®¸nh gi¸ cña tæ chuyªn

m«n










ý kiÕn ®¸nh gi¸ cña Héi ®ång khoa häc trêng











23
Trờng THCS Mễ Sở
kiến đánh giá của Hội đồng khoa học Phòng GD và ĐT

Đánh giá Điểm Xếp loại
Văn Giang, ngày tháng năm 2012
23
Trêng THCS MÔ Së
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
23
Trêng THCS MÔ Së
………………………………………………………………………………………………………
……
23