skkn một số vấn đề về GIÁ TRỊ TUYỆT đối TRONG TRƯỜNG THCS

Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN – TIN
====***===
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG
TRƯỜNG THCS

Giảng viên hướng dẫn: GS.TS.Tống Trần Hoàn.
Người thực hiện: Vũ Thị Hoa
Hải Dương năm 2006
MỤC LỤC
A. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Trang
3
I: Các định nghĩa
II: Các tính chất
B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG
3
6
9
2
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
CHƯƠNG TRÌNH THCS
Chủ đề I: Giải phương trình, hệ phương trình chứa dấu giá
trị tuyệt đối
I. Kiến thức cần lưu ý
II. Bài tập điển hình
Chủ đề II: Giải bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. Kiến thức cần lưu ý

II. Bài tập điển hình
Chủ đề III: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. Đồ thị hàm số y = f(
x
)
II. Đồ thị
y
= f(x)
III. Đồ thị y =
)(xf
IV. Đồ thị y =
( )
xf
V. Đồ thị
y
=
)(xf
Chủ đề IV: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa
dấu giá trị tuyệt đối
I. Kiến thức cần lu ý
II. Bài tập điển hình
C. ĐÁP ÁN
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
E.KẾT LUẬN
F. GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM
9

9
10
14

14
14
17
17
18
19
20
20
24
24
24
26
30
31
32
PHẦN I: LỜI NÓI ĐẦU
Giá trị tuyệt đối là một khái niệm được phổ biến rộng rãi trong các ngành
khoa học Toán - Lí, Kỹ thuật, Trong chương trình Toán ở bậc THCS, khái
niệm giá trị tuyệt đối của một số được gặp nhiều lần, xuyên suốt từ lớp 6 đến
lớp 9. ở lớp 6, học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm " Giá trị tuyệt đối" qua
bài 2: " Thứ tự trong Z", học sinh nắm được cách tìm giá trị tuyệt đối của một
số nguyên và bước đầu hiểu ý nghĩa hình học của nó. Nhờ đó sách giáo khoa
dần dần đưa vào các quy tắc tính về số nguyên rồi đến số hữu tỷ. ở lớp 8, tuy
không có trong chương trình giảng dạy song bài: " Giải phương trình có chứa
3
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
dấu giá trị tuyệt đối" được rất nhiều giáo viên quan tâm và trang bị đầy đủ cho
học sinh nhất là các học sinh khá giỏi. Đến lớp 9, khi xét các tính chất của căn
thức bậc hai, khái niệm giá trị tuyệt đối lại có thêm ứng dụng mới( đưa một
thừa số ra ngoài căn, đưa một thừa số vào trong căn, khử mẫu của biểu thức

lấy căn, )
Giá trị tuyệt đối là một khái niệm trừu tượng và quan trọng vì nó được sử
dụng nhiều trong quá trình dạy Toán ở THCS cũng như THPT và Đại
Học, Việc nắm vững khái niệm này ở bậc THCS sẽ là nền tảng cơ bản cần
thiết để các em có thể tiếp thu những kiến thức cao hơn ở các bậc học sau.
Trước nhu cầu nâng cao kiến thức của bản thân cũng như nâng cao kiến
thức cho người dạy cũng như người học về khái niệm " Giá trị tuyệt đối",
chúng tôi quyết định chọn đề tài: " Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS".
Tôi mong rằng đề tài này của tôi sẽ giúp cho giáo viên cũng như học sinh
trong quá trình giảng dạy và học tập của mình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn GS. TS Tống Trần Hoàn đã hướng dẫn và giúp đỡ
tôi hoàn thành tốt đề tài này !
Vì hoàn thành trong một thời gian ngắn nên đề tài còn nhiều hạn chế, thiếu
sót. Tôi rất mong nhận được sự quan tâm, đóng góp ý kiến của thầy cô giáo và
các bạn đồng nghiệp.
A. NHỨNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. CÁC ĐỊNH NGHĨA
1. 1. Định nghĩa 1
Giá trị tuyệt đối thực chất là một ánh xạ
f: R R
+
a a
với mỗi giá trị a
∈
R có một và chỉ một giá trị f(a) = a
∈
R
+
1.2. Định nghĩa 2
Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu

a
là:
a nếu a
≥
0

a
=
-a nếu a < 0
Ví dụ1:
1515
=

3232
=−

00 =

11 =−

1717 =−
4
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
*Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức A(x), kí
hiệu
)(xA
là:
A(x) nếu A(x)
≥
0

)(xA
=
-A(x) nếu A(x) < 0
Ví dụ 2:
2x - 1 nếu 2x- 1
≥
0 2x - 1 nếu
2
1
≥x
12
−
x
= =
-(2x - 1) nếu 2x - 1 < 0 1 - 2x nếu x <
2
1
1.3. Định nghĩa 3:
Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là
a
, là số đo( theo đơn vị dài
được dùng để lập trục số) của khoảng cách từ điểm a đến điểm gốc 0 trên trục
số ( hình 1).
Hình 1
Ví dụ 1:

a
= 3
⇒




−
=
3
3
a
Do đó đẳng thức đã cho được nghiệm đúng bởi hai số tương ứng với hai
điểm trên trục số ( hình 2)
Hình 2
Tổng quát:



−
=⇒



>
=
b
b
a
b
ba
0
;




−
=⇒=
b
b
aba
Ví dụ 2:
a
≤
3 nếu a
≥
0 0
≤
a
≤
3

a
≤
3
⇒

⇔

⇔
-3
≤
a

≤
3
-a
≤
3 nếu a < 0 -3
≤
a < 0
5
-a
0 a
-a a
-3
0 3
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
Do bất đẳng thức đã được nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn
[ ]
3;3
−

và trên trục sôd thì được nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn
[ ]
3;3
−

( hình 3)
Hình 3
Ví dụ 3:
a
≥
3 nếu a

≥
0 a
≥
3 nếu a
≥
0
a
≤
3
⇒

⇔

⇔
3
≤
a hoặc a
≤
3
-a
≥
3 nếu a < 0 a
≤
-3 v nếu a < 0
Do bất đẳng thức đã đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của hai nửa đoạn (-
∞
; 3] và [3; +
∞
) và trên trục số thì đợc nghiệm đúng bởi hai nửa đoạn tương
ứng với các khoảng số đó. (hình 4)

Hình 4
Tổng quát:



−≤
≥
⇔≥
ba
ba
ba
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a =
a
b) a <
a
c) a >
a
d)
a
= -a
e)
a

≥
a
f)
a
+ a = 0

g)
bba
=+
Bài 2:Tìm các ví dụ chứng tỏ các khẳng định sau đây không đúng:
a)
∀
a
∈
Z
⇒

a
> 0
b)
∀
a
∈
Q
⇒

a
> a
c)
∀
a, b
∈
Z,
a
=
b

⇒
a = b
d)
∀
a, b
∈
Q,
a
>
b
⇒
a > b
Bài 3: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng
6
-3
0 3
-3
0 3
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
a)
a
=
b
⇒
a = b
b) a > b
⇒

a
>

b
Bài 4: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau, sau đó biểu
diễn các số tìm được lên trục số:
a)
a

≤
1
b)
a

≥
3
c)
a
- 6 = 5
d) 1 <
a

≤
3
Bài 5:
a) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho
x
< 50
b) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho
x
+
y
= 5

( Các cặp số nguyên (1, 2) và (2,1)là hai cặp khác nhau)
c) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho
x
+
y
< 4
II - MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
2.1. Tính chất 1:
a

≥
0
∀
a
2.2. Tính chất 2:
a
= 0
⇔
a = 0
2.3. Tính chất 3: -
a

≤
a
≤

a
2.4 Tính chất 4:
a
=

a
−

Dựa trên định nghĩa giá trị tuyệt đối người ta rễ thấy được các tính chất 1,
2, 3, 4.
2.5. Tính chất 5:
baba
+≤+
Thật vậy: -
a

≤
a
≤

a
; -
b
≤
a
≤

b
⇒
-(
a
+
b
)
≤

a + b
≤

a
+
b
2.6. Tính chất 6:
a
-
b
≤

baba
+≤−
Thật vậy:
a
=
bababbabba
−≤−⇒+−≤+−
(1)
7
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
babababababa
+≤−⇒+=−+≤−+=−
)(
(2)
Từ (1) và (2)
⇒
đpcm.
2.7. Tính chất 7:

baba ≤−
Thật vậy:
baba −≤−
(1)

bababaababab −≤−−⇒−=−−=−≤− )()(
(2)





−−
−
=−
)( ba
ba
ba
(3)
Từ (1), (2) và (3)
⇒
baba
−≤−
(4)

babababababa
+≤−⇒+≤−−≤−−≤−
)(
(5)

Từ (4) và (5)
⇒
đpcm.
2.8. Tính chất 8:

baba =
Thật vậy: a = 0, b = 0 hoặc a = 0, b
≠
0 hay a
≠
0, b= 0
⇒
baba =
(1)
a > 0 và b > 0
⇒

a
= a,
b
= b và a.b > 0
⇒
bababababa
=⇒==
(2)
a < 0 và b < 0
⇒

a
= -a,

b
= -b và a.b > 0
⇒
babababababa ))((
=⇒=−−==
(3)
a > 0 và b < 0
⇒

a
= a,
b
= -b và a.b < 0
⇒
babababababa ).(
=⇒=−=−=
(4)
Từ (1), (2), (3) và (4)
⇒
đpcm.
2.9. Tính chất 9:

)0( ≠= b
b
a
b
a
Thật vậy: a = 0
⇒
00 ≡=⇒=

b
a
b
a
b
a
(1)
a > 0 và b > 0
⇒

a
= a,
b
= b và
b
a
b
a
b
a
b
a
==⇒> 0
(2)
a < 0 và b < 0
⇒

a
= -a,
b

= -b và
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
=
−
−
==⇒>
0
(3)
a > 0 và b < 0
⇒

a
= a,
b
= -b và
b
a
b
a
b
a

b
a
b
a
=
−
=−=⇒<
0
(4)
Từ (1), (2), (3) và (4)
⇒
đpcm.
8
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 6:
Điền vào chỗ trống các dấu
≤≥,
, = để khẳng đinh sau đúng
∀
a, b
a)
ba
+

a
+
b
b)
ba

−

a
-
b
với
a

≥

b
c)
baba
d)
b
a
b
a
=
Bài 7:
Tìm các số a, b thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a + b =
a
+
b
b) a + b =
a
-
b
Bài 8:

Cho
3<− ca
,
2<− cb
Chứng minh rằng
5<− ba
Bài 9:
Rút gọn biểu thức:
a)
a
+a
b)
a
- a
c)
a
.a
d)
a
: a
9
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
e)
32)1(3 +−− xx
f)
)14(32 −−− xx
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG CHƯƠNG
TRÌNH THCS
CHỦ ĐỀ I: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA
DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

I. CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
1.1 A(x) nếu A(x)
≥
0
)(xA
= ( A(x) là biểu thức đại số)
-A(x) nếu A(x) < 0
1.2. Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b (a
≠
0)
Nhị thức bậc nhất ax + b (a
≠
0) sẽ:
+ Cùng dấu với a với các giá trị của nhị thức lớn hơn nghiệm của nhị thức.
+ Trái dấu với a với các giá trị của nhị thức nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.
Giả sử x
0
là nghiệm của nhị thức ax + b khi đó:
+ Nhị thức cùng dấu với a
∀
x > x
0
+ Nhị thức trái dấu với a
∀
x < x
0
1.3. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Xét tam thức bậc hai: f(x) = ax
2
+ bx + c (a

≠
0)
- Nếu
∆
< 0, thì f(x) cùng dấu với a
∀
x
- Nếu
∆

≥
0 thì:
+ f(x) cùng dấu với a
∀
x nằm ngoài khoảng hai nghiệm
+ f(x) trái dấu với a
∀
x nằm trong khoảng hai nghiệm
Hay
- Nếu
∆
< 0
⇒
a.f(x) > 0
∀
x
- Nếu
∆

≥

0
⇒
f(x) có hai nghiệm x
1

≥
x
2
nếu x
1
< x < x
2

⇒
a.f(x) < 0
nếu x
≤
x
1
hoặc x
≥
x
2

⇒
a.f(x) > 0
Nhận xét: Giả trị tuyệt đối của một biểu thức banừg chính nó( nếu biểu thức
không âm) hoặc bằng biểu thức đối của nó( nếu biểu thức âm). Vì thế khi khử
dấu giá tị tuyệt đối của một biểu thức, cần xét giá trị tuyệt đối của biến làm
cho biểu thức dương hay âm( dựa vào định lí về dấu của nhị thức bậc nhất

10
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
hoặc định lí về dấu của tam thức bậc hai). Dấu của biểu thức thường được
viết trong bảng xét dấu.
II. CÁC BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
2.1 Rút gọn biểu thức A = 2(3x - 1) -
3−x
Thật vậy:
+ Với ( x - 3)
≥
0 hay x
≥
3 thì
3−x
= x - 3
+ Với ( x- 3) < 0 hay x < 3 thì
3−x
= -(x - 3) = 3 - x
ta xét hai trường hợp ứng với hai khoảng của biến x
+ Nếu x
≥
3 thì A = 2(3x - 1) -
3−x
= 2(3x - 1) - (x - 3)
= 6x - 2 - x + 3
= 5x + 1
+ Nếu x < 3 thì A = 2(3x - 1) -
3−x
= 2(3x - 1) - (3 - x)
= 6x - 2 - 3 + x

= 7x - 5
2.2 Rút gọn biểu thức B =
1
−
x
-
5
−
x
Thật vậy
Với x-1
≥
0 hay x
≥
1thì
1
−
x
=x-1
Với x-1<0 hay x<1thì
1
−
x
= -(x-1)=1-x
Với x-5
≥
0 hay x
≥
5 thì
5

−
x
= x+5
Với x-5<0 hay x<5 thì
5
−
x
=-(x-5) =5-x
áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc bậc nhất ta có bảng xét dấu sau:
X 1 5
x-1 - 0 + +
x-5 - - 0 +
Từ bảng xét dấu ta xét ba trường hợp ứng với ba khoảng của biến x
Nếu x<1 thì B =
1
−
x
-
5
−
x

=1-x-( 5-x)
=1-x-5+x
= - 4
Nếu 1
≤
x<5 thì B =
1
−

x
-
5
−
x
=(x-1)-(5-x)
=x-1-5+x
=2x-6
Nếu x
≥
5 thì B =
1
−
x
-
5
−
x
=(x-1)-(x-5)
=x-1-x+5 = 4
2.2 Rút gọn biểu thức B = /x
2
- 4x + 3/-5
11
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
Thật vậy: Xét tam thức bậc hai: f(x) = x
2
– 4x + 3
⇒
f(x) có

∆
' = 4 -3 = 1 > 0
⇒
x
1
= 1; x
2
= 3
Với 1 < x < 3
⇒
1.f(x) < 0
⇒
f(x) < 0
Với x
≤
1 hoặc x
≥
3
⇒
4f(x) > 0
⇒
f(x) > 0
Vậy ta xét hai trường hợp ứng với ba khoảng của biến
Với 1 < x < 3 thì B = -(x
2
- 4x + 3) - 5
= - x
2
+ 4x - 3 - 5
= - x

2
+ 4x - 8
Với x
≤
1 hoặc x
≥
3 thì B = ( x
2
- 4x + 3) - 5
= x
2
- 4x + 3 - 5
= x
2
- 4x - 2
2.3. Giải phương trình
1321 +=−+− xxx
Thật vậy:
áp dụng định lí về dấu nhị thức bậc nhất và lập bảng, ta xét 3 trường hợp
ứng với 3 khoảng.
+ Nếu x < 1 ta được phương trình: 1 - x + 2 - x = 3x + 1
⇔
3 - 2x = 3x + 1
⇔
5x = 2
⇔
x = 2/5 < 1 ( là nghiệm)
+ Nếu 1
≤
x < 2 ta được phương trình: x -1 + ( 2 - x) = 3x + 1

⇔
x = 0
∉
[1, 2] ( không là nghiệm)
+ Nếu x
≥
2 ta đựoc phương trình: x - 1 + x - 2 = 3x + 1
⇔
x = - 4 < 2 ( không là nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2/5
2.4. Giải phương trình
512 =−−x
Thật vậy:
áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
512
=−−
x
⇔




−=−−
=−−
)2(512
)1(512
x
x
Giải 1:





−=−
=−
⇔=−⇒=−−
)'2(62
)'1(62
62512
x
x
xx
Giải 1':
8862 ±=⇒=⇒=− xxx
( là nghiệm)
Giải 2':
⇒−=⇒−=− 462 xx
x không có giá trị
Giải 2:
42512 −=−⇒−=−− xx
( không có nghĩa)
Vậy phương trình có hai ngiệm: x = 8 hoặc x = -8
2.5 Giải hệ phương trình





=−+−
=−

32
1
yyx
yx
Thật vậy:
Phương trình thứ nhất đưa đến tập hợp hai phương trình:
12
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS



−=−
=−
1
1
yx
yx
hay



+=
−=
)2(1
)1(1
xy
xy
Việc phân tích phương trình thứ hai đưa đến tập hợp 4 phương trình theo các
khoảng xác định.
Theo dạng của phương trình thứ 2 ta thấy dễ dàng là

1
−
x
≤
3 và
32 ≤−y
, từ
đó - 2
≤
x
≤
4 và -1
≤
y
≤
5
Với - 2
≤
x
≤
1 ta có:
Với -1
≤
y
≤
2, 1 - x + 2 - y = 3 hay là x + y = 0 (I)
Với 2
≤
y
≤

5, 1 - x + y - 2 = 3 hay là y - x = 4 (II)
Với 1
≤
x
≤
4 ta có :
Với -1
≤
y
≤
2, x -1 + 2 - y = 3 hay là x - y = 2 (III)
Với 2
≤
y
≤
5, x -1 + y - 2 = 3 hay là x + y = 6 (IV)
Giải 8 hệ phương trình bậc nhất:
Hệ (1; I)
2
1
;
2
1
0
1
−==⇒



=+

=−
yx
yx
yx
, đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định.
Hệ (1; II)



=−
=−
4
1
xy
yx
không có nghiệm
Hệ (1; III)



=−
=−
2
1
yx
yx
không có nghiệm
Hệ (1; IV)
2
5

;
2
7
6
1
−==⇒



=+
=−
yx
yx
yx
đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác
định.
Hệ (2; I)
2
1
;
2
1
0
1
=−=⇒



=+
−=−

yx
yx
yx
đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định.
Hệ (2; II)



=−
−=−
4
1
xy
yx
không có nghiệm
Hệ (2; III)



=−
−=−
2
1
yx
yx
không có nghiệm
Hệ (2; IV)
2
7
;

2
5
6
1
==⇒



=+
−=−
yx
yx
yx
, đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác
định.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
x
1
= 1/2; y
1
= -1/2 x
2
= 7/2; y
2
= 5/2
x
3
= -1/2; y
3
= 1/2 x

4
= 5/2; y
4
= 7/2
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 10: Tìm x trong các biểu thức
a)
532 =−x
b)
735 =−− xx
c)
131 =+− xx
e)
3212 +=− xx
f)
0121 =−−−+ xxx
g)
133 −=−+− xxx
13
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
d)
121 =−+− xx
h)
321 =−−+ xx
Bài 11: Tìm x trong các biểu thức
a)
211 =−−x
b)
2
)3(3 −=− xx

c)
211 =−+= xx
d)
422 =−+++ xxx
e)
132 =−+x
f)
2323
22
−−=+− xxxx
g)
2
1 xx =−
h)
023214 =−+−−− xxx
Bài 12: với giá trị nào của a, b ta có đẳng thức:
)2()2( baba −=−
Bài 13: Tìm các số a, b sao cho:
baba −=+
Bài 14: Giải các hệ phương trình sau
a)





=+
=+
3
2

yx
yx
b)





=+
=−
4
2
yx
yx
c)





=−−
=++
072
0953
yx
yx
d)






=−+−
=+++
531
413
yx
yx
Bài 15: Giải phương tình sau:
321
22
=−−++− xxxx
Bài 16: Tìm x
aaxax 322 =−−+
( a là hằng số)
CHỦ ĐỀ II: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT
ĐỐI
I. CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
1.1. Các phép biến đổi bất đẳng thức
a
≥
b
⇔
a + c
≥
b + c
a
≥
b
⇔

a.c
≥
b.c ( c > 0 )
a
≥
b
⇔
a.c
≤
b.c ( c < 0 )
1.2 Các dạng cơ bản của bất phương trình
+Dạng 1:
axf ≤)(

⇔
-a
≤
f(x)
≤
a a: số thực không âm
f(x): hàm số một đối số
14
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
+Dạng 2:
)(xf

≥
a
⇔
f(x)

≥
a hoặc f(x)
≤
-a a: số thực không âm
f(x):hàm số một đối số
+Dạng 3:
)(xf

≥
g(x)
⇔



−≤
≥
)()(
)()(
xgxf
xgxf
f(x), g(x): hàm số một đối số
+Dạng 4:
)(xf

≤
g(x)
⇔
-g(x)
≤
f(x)

≤
g(x)
f(x), g(x): hàm số một đối số
+Dạng 5:
)(xf

≥

)(xg

⇔
[f(x)]
2
= [g(x)]
2

f(x), g(x): hàm số một đối số
II. BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
2.1 Giải bất phương trình:
752 ≤−x
Thật vậy:

752 ≤−x

⇔
-7
≤
2x - 5
≤
7

⇔
-2
≤
2x
≤
12
⇔
-1
≤
x
≤
6
2.2 Giải bất phương trình:
1053 ≥−x
Thật vậy:

1053 ≥−x

⇔




−≤
≥
⇔



−≤

≥
⇔



−≤−
≥−
3
5
5
53
153
1053
1053
x
x
x
x
x
x
Vậy x
≥
5 hoặc x
≤
-
3
5
2.3 Giải bất phương trình:
122
2

≤−− xx
Thật vậy:
122
2
≤−−
xx

⇔

⇔≤−−≤−
1221
2
xx
x
2
-2x-2
≤
1 và x
2
-2x-2
≥
-1
Từ
032122
22
≤−−⇔≤−−
xxxx
Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai
⇔
-1

≤
x
≤
3
Từ
012122
22
≥−−⇔−≥−−
xxxx
Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai
⇔




+≥
−≤
21
21
x
x
Kết hợp lại ta được các nghiệm của hệ là:

211 −≤≤− x

;
321 ≤≤+ x
2.4 Giải bất phương trình:
1
2

−
+
x
x
2≥
Thật vậy: TXĐ:
1≠∀x
15
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
Cách 1:
1
2
−
+
x
x
2≥






−≤
−
+
≥
−
+
⇔

2
1
2
2
1
2
x
x
x
x
+ Với
2
1
2
≥
−
+
x
x

⇔

410
1
4
02
1
2
≤≤⇔≥
−

−
⇔≥−
−
+
x
x
x
x
x
+ Với
2
1
2
−<
−
+
x
x

⇔

100
1
3
02
1
2
<<⇔<
−
⇔<+

−
+
x
x
x
x
x
Vậy bất phương trình có ngiệm: 1
≤
x
≤
4; 0 < x < 1
Cách 2:
Theo định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có:

0122
1222
1
2
2
1
2
>−−+⇔
−>+⇔>
−
+
⇔>
−
+
xx

xx
x
x
x
x
áp dụng định lí và dấu của nhị thức, ta xét 3 trường hợp:
+ Nếu x
≤
-2 thì - x- 2 -2(1 - x) > 0
⇔
x > 4 > -2 ( không là nghiệm)
+ Nếu -2
≤
x < 1 thì x + 2 - 2(1 - x) > 0
⇔
3x > 0
⇔
x > 0
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: 0 < x < 1
+ Nếu x > 1 thì x + 2 - 2(x - 1) > 0
⇔
x < 4
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: 1 < x < 4
Vậy bất phương trình có ngiệm: 1
≤
x
≤
4; 0 < x < 1
Cách 3 :
Theo định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có:

1222
1
2
2
1
2
−>+⇔>
−
+
⇔>
−
+
xx
x
x
x
x
⇔
(x + 2)
2
> 4(x - 1)
2
⇔
x
2
4x + 4 > 4(x
2
- 2x + 1)
⇔
3x

2
- 12x < 0
⇔
3x( x - 4) < 0
⇔
0 < x < 4
Kết hợp với TXĐ
⇔
1 < x < 4; 0 < x < 1
III BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 17: Tìm x trong các bất đẳng thức
a)
512 ≤−x
b)
9432 <−− xx
c)
732 ≥−x
d)
10523 >+− xx
Bài 18: Tìm x trong các bất đẳng thức
a)
423 <−x
b)
123 +<− xx
16
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
c)
513 >−x
d)
11

3
+≥+ xx
Bài 19: Tìm x trong các bất đẳng thức
a)
31 −>+ xx
b)
321 −+>− xx
c)
851 >−++ xx
d)
813 <++− xx
e)
02 ≥−− xx
f)
07352 ≤−−+ xx
Bài 20: Tìm x trong các bất đẳng thức
a)
1
2
1
2
<
+
−
x
x
b)
2
1
52

2
≥
−
−
x
x
c)
10313 <−+−++ xxx
d)
8741 <++−+− xxx
e)
8152
2
<+−+ xx
f)
3352
2
+<−− xxx
CHỦ ĐỀ III: ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f(|x|)
1.1. Kiến thức cần lưu ý:
Ta thấy f(
x
) = f(
x−
) .Do đó hàm số y = f(
x
)là hàm chẵn nên đồ thị của
hàm số đối xứng qua trục Oy
⇒

Cách dựng :
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x) đối với x > 0
- Dựng phần đò thị bên trái đối xứng với trục bên phải qua Oy
1.2 Ví dụ:
Dựng đồ thị hàm số y = 2|x| - 2
Thật vậy:
Đồ thị của hàm số y = 2x - 2
với x = 1
≥
⇒
y = 0
⇒
(1, 0) thuộc đồ thị
với x = 0
⇒
y = -2
⇒
( 0, -2) thuộc đồ thị
17
O
-1
1
-2
y
x
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
Hình 6
Phần đồ thị in đậm( Hình 6) là đồ thị hàm số y = 2|x| - 2
II. ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = |f(x)|
2.1 Kiến thức càn lưu ý

Nhận xét

f(x) với f(x)
≥
0
y =
-f(x) với f(x) < 0

⇒
Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x)
- Phần đồ thị nằm ở dưới mặt phẳng Ox nghĩa là ở đấy f(x) < 0
⇒
ta dựng
phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đó qua Ox.
* Chú ý: Đồ thị hàm số y = |f(x)| + k được xem như đồ thị hàm số
y = |f(x)|tịnh tiến theo đường thẳng đứng một đoạn bằn k ( k là số thực)
2.2 Ví dụ:
Dựng đồ thị hàm số y = |x - 2|
Đồ thị hàm số y = x - 2
x = 0
⇒
y = -2
⇒
( 0, -2) thuộc đồ thị hàm số
x = 1
⇒
y = -1
⇒
(1, -1) thuộc đồ thị hàm số

18
O
-1
-2
1
y
x
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS

Hình 7
Phần đồ thị in đậm ( hình 7) là đồ thị hàm số y = |x - 2|
III. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = |f(|x|)|
3.1 Kiến thức cần lưu ý
Ta có: f(|x|) với f(|x|)
≥
0
y = |f(|x|)|=
- f(|x|) với f(|x|) < 0
⇒
Cách dựng
a) Dựng đồ thị hàm số y = |f(|x|)|
+ Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với x > 0
+ Dựng phần đồ thị bên trái đối xứng với phần bên phải qua Oy
b) Phần đồ thị nằm ở mặt phẳng dưới Ox nghiã là ở đấy f(|x|) < 0
⇒
ta dựng
phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đó qua trục Ox.
( Hay biến đổi các phần của đồ thị nằm trong nửa mặt phẳng dưới nên nửa
mặt phẳng trên đối xứng qua trục Ox)
3.2 Ví dụ: Dựng đồ thị hàm số y = |1 - |x||

Thật vậy:
Đồ thị hàm số y = 1- x
x = 1
⇒
y = 0
⇒
( 1, 0 ) thuộc đồ thị hàm số
x = 0
⇒
y = 1
⇒
( 0, 1) thuộc đò thị hàm số
Đồ thị hàm số
y = 1 - x với x
≥
0
Đồ thị hàm số
y = 1 - |x|
Đồ thịi hàm số
y = |1 - |x||
19
1
1
O
y
x
-1
1
O
y

x
-1
1
O
y
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
a) b)
Hình 8
c)
Phần đồ thị in đậm trong phần b ( hình 8) là đồ thị hàm số
y = |1 - |x||
IV. ĐỒ THỊ CỦA |y| = f(x) với f(x)
≥
0
4.1 Kiến thức cần lưu ý
Ta có: y =
±
f(x) với f(x)
≥
0
⇒
Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với f(x)
≥
0
( Phần đồ thị của hàm số y = f(x) phía trên trục hoành )
- Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đẫ thu được qua trục Ox.
4. 2 Ví dụ
Dựng đồ thị hàm số |y| =
1

1
2
x +
Thật vậy:
Đồ thị hàm số y =
1
1
2
x +
x = 0
⇒
y = 1
⇒
( 0; 1) thuộc đồ thị
x = -2
⇒
y = 0
⇒
( -2; 0) thuộc đồ thị
Hình 9
Phần đồ thị in đậm ( hình 9 ) là đồ thị hàm số |y| =
1
1
2
x +
V. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ |y| = |f(x)|
5.1 Kiến thức cần lưu ý:
Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối, ta có: y =
±
|f(x)|

⇒
Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y =|f(x)|( hoàn toàn nằm ở nửa mặt phẳng trên)
- Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị thu được ở trên qua trục Ox.
5.2 Ví dụ:
1. Dựng đồ thị hàm số |y| = |x - 3|
Thật vậy:
Đồ thị hàm số y = x - 3
x = 0
⇒
y = -3
⇒
( 0; -3) thuộc đồ thị
x = 3
⇒
y = 0
⇒
( 3; 0) thuộc đồ thị
20
x
O
-1
-2
-1
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
Đồ thị hàm số
y = 1- x với
≥
0
a)

Đồ thị hàm số
y = 1- |x|
b)
Hình 10
Đồ thị hàm số
y = |1- |x||
c)
Phần đồ thị in đậm trong phần c) (hình 10) là đồ thị hàm số
|y| = |x - 3|
VI. MỞ RỘNG
Đối với mỗi dạng đồ thị hàm số giá trị tuyệt đối đều có một cách dựng riêng
tương ứng với nó. Tuy nhiên trong thực tế có thể có các hàm số giá trị tuyệt
đối không chỉ ở một dạng nêu trên mà nó là sự kết hợp của nhiều dạng khác
nhau. Đối với trường hợp này chúng ta có thể dựng hàm số đó bằng cách kết
hợp nhiều cách dựng nêu trên, ngoài ra ta còn có thể dựng hàm số đó bằn cách
dựng chung. Cách dựng này có thể áp dụng cho tất cả các dạng đồ thị hàm số
giá trị tuyệt đối.
Cách dựng chung
- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét theo từng khoảng của biến ( xem chủ
đề 1)
- Mỗi khoảng ta đều thu được một hàm tương ứng
⇒
Dựng đồ thị theo từng
khoảng đang xét.
Ví dụ 1: Dựng đồ thị hàm số y = |x - 1| + |x - 3|
Thật vậy:
Xét theo từng khoảng của biến x ta thu được:

4 - 2x nếu x
≤

1
y = 2 nếu 1
≤
x
≤
3
2x - 4 nếu x
≥
3
Đồ thị hàm số
y = 4- 2x với x
≤
1
Đồ thị hàm số
y = 2 với 1
≤
x
≤
3
Đồ thị hàm số
y = 2x - 4 với x
≥
3
21
O
x
y
3
O
x

y
3
O
x
y
3
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
a) b) c)
Hình 11
Phần đồ thị in đậm trong phần c) (hình 11) là đồ thị hàm số
y = |x - 1| + |x - 3|
Ví dụ 2. Dựng đồ thị hàm số y = ||x| - 2|
Thật vậy: -2 - x nếu x
≤
-2
Với x
≤
0, y = |-2 - x| =
x + 2 nếu x
≥
-2
-2 - x nếu x
≤
-2
⇒
y =
x + 2 nếu 0
≥
x
≥

-2
x - 2 nếu x
≥
2
Với x
≥
0, y = |x - 2| =
2 - x nếu x
≤
2
x - 2 nếu x
≥
2
⇒
y =
2 - x nếu 0
≤
x
≤
2
Việc dựng đồ thị được thực hiện trong 4 khoảng
-2 - x nếu x
≤
-2
x + 2 nếu -2 < x
≤
0
y =
2 - x nếu 0 < x
≤

2
x - 2 nếu x > 2
ĐTHS y= -2 -x
x
≤
-2
ĐTHS y= x + 2
-2 < x
≤
0
ĐTHS y = 2 - x
0 < x
≤
2
ĐTHS y = x - 2
x > 2
22
O 1
2
4
y
x
x
O 1
2
4
y
3
x
O 1

2
4
y
3
O
-2
y
x
O
-2
y
x
O
-2
y
x
2 O
-2
y
x
2
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
a) b)
c) d)
Hình 12
Phần đồ thị in đậm trong phần d) (hình 12) là đồ thị hàm số:
y = ||x| - 2|
VIII.BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 21. Dựng đồ thị của các hàm số
a) y =

1
2
3
x −
b) y = 3 - 1.5|x| c) y = 1 - |x|
Bài 22. Dựng đồ thị của các hàm số sau:
a) y = 2|x - 3| b) y = |x + 2| + 1 c) Y = -|X - 1|
Bài 23. Dựng đồ thị của các hàm số sau:
a) y = |2|x| - 3| b) y =
1
1
x
−
Bài 24. Dựng đồ thị của các hàm số sau:
a) |y| = 1 - x b) |y - 1| = x c) |y| = x
2
+ 1
Bài 25. Dựng đồ thị của các hàm số sau:
a) |y| = |x| b) |y - 2| = |x| c) |y - 1| = |x - 2|
CHỦ ĐỀ IV: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA CÁC BIỂU
THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý:
Cho A, B là các biểu thức đại số.
1.1 |A|
≥
0 ( Đẳng thức xẩy ra khi A = 0 )
1.2 |A + B|
≤
|A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B
≥

0 )
1.3 |A - B|
≥
|A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B
≤
0 )
1.4 |A - B|
≥
|A| - |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B
≥
0 )
1.5 ||A| - |B||
≤
|A + B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B
≤
0 )
1.5 ||A| - |B||
≤
|A - B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B
≥
0 )
II. CÁC BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
2.1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2|3x - 1| - 4
23
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
Thật vậy:
Ta có: |3x - 1|
≥
0
∀

x
⇒
2|3x - 1|- 4
≥
-4
∀
x
⇒
GTNN của B = -4
⇔
3x - 1 = 0
⇔
x = 1/3
2.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =
6
3x −
với x
∈
Z
Thật vậy:
Xét |x| > 3
⇒
C > 0
∀
|x| > 3
Xét |x| < 3 thì do x
∈
Z
⇒
|x| = { 0; 1; 2}

Nếu |x| = 0
⇒
C = -2
Nếu |x| = 1
⇒
C = -3
Nếu |x| = 2
⇒
C = -6
⇒
GTNN của C = -6
⇔
|x| = 2
⇔
x =
±
2
2.3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = |x - 2| + |x - 3|
Thật vậy:
Cách 1: áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và lập bảng ( chủ đề
I), ta có:
* Xét x < 2 thì D = 2 - x + 3 - x = 5 - 2x
Do x < 2 nên -2x > -4
⇒
D > 1 (1)
* Xét 2
≤
x
≤
3 thì D = x - 2 + 3 - x = 1 (2)

* Xét x > 3 thì D = x - 2 + x - 3 = 2x - 5
Do x > 3 nên 2x > 6
⇒
D > 1 (3)
So sánh (1), (2), (3) ta được minD = 1
⇔
2
≤
x
≤
3
Cách 2:
Ta có: D = |x - 2| + |x - 3|= |x - 2| + |3 - x|
≥
|x - 2 + 3 - x| = 1
Do đó minD = 1
⇔
(x - 2)(3 - x)
≥
0
⇔
2
≤
x
≤
3
Cách 3:
Ta có: D = |x - 2| + |x - 3|
≥
| (x - 2) - (x - 3)|

≥
|x - 2 + 3 - x| = 1
Do đó minD = 1
⇔
(x - 2)(3 - x)
≥
0
⇔
2
≤
x
≤
3
2.4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: E = ||x - 1|- |x - 5||
Thật vậy:
Cách 1:
Ta có: E = ||x - 1|- |x - 5||
≤
|(x - 1)- (x - 5)|= |x -1 +5 - x| = 4
Do đó max E = 4
⇔
(x - 1)(x + 5)
≥
0
⇔
5
≤
x hoặc x
≤
1

Cách 2:
Ta có:
E = ||x - 1|- |x - 5|| = ||x - 1| + | 5 - x||
≤
|x -1 +5 - x| = 4
Do đó max E = 4 khi (x - 1)(5 - x)
≤
0
⇔
5
≤
x hoặc x
≤
1
III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
24
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
a) A = 5 - |2x - 1|
b) B =
1
2 3x − +
c) C =
2x
x
+
với x
∈
Z
Bài 27: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

a) A = 2|3x - 2| - 1
b) B = x
2
+ 3|x - 2| - 1
c) C = |x + 2|+ |x + 3|
d) D = |2x - 1|+ | 2x + 4|
e) E = |x
2
- x - 1|+ |x
2
- x - 2|
f) F = (0,5x
2
+ x)
2
- 3|0,5x
2
+ x|
Bài 28: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H = ||x - 2|- |x + 3||
C. ĐÁP ÁN
Bài 1:
a) a > 0; b) không tồn tại; c) d) a < 0; e) a > 0; f) a < 0; g) a = -5;
h) a = 0
Bài 2:
a) a = 0; b) a = 2; c) a = 1, b = -1; d) a = - 5, b = -2
Bài 3:
a) a, b cùng dấu hoặc cùng bằng 0
b) b = 0 hoặc a, b cùng dương
Bài 4:
a) -1

≤
a
≤
1; b) a
≥
3 hoặc a
≤
-3; c) a =
±
11; d) -3
≤
a < -1; 1 < a
≤
3
Bài 5:
a) 99 số; b) 20 cặp số
Bài 6:
a)
≤
; b)
≥
; c) =; d) =
Bài 7:
a) Cách 1:
Xét hai trờng hợp:
Nếu b
≥
0 thì a + b = |a| + b
⇔
a = |a|

⇔
a
≥
0
25