Ôn tập thi tốt nghiệp Đại học Toán rời rạc và Phân tích thiết kế hệ thống

1
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


Bài 1: Cho A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} . Hỏi có thể lập được bao nhiêu con số hàng trăm trong
các trường hợp sau đây:
1) Các chữ số tạo thành 1 dãy tăng; tạo thành 1 dãy giảm?
2) Các chữ số không lặp; các chữ số có thể lặp?
Giải:
1) Mỗi con số hàng trăm có các chữ số tạo thành 1 dãy tăng tương ứng với 1 tổ hợp
chập 3 của 9 chữ số nguyên dương (không lấy số 0). Vậy ta có:



=
!
!
(

)
!
=
!
!!
=
..
..
=



=84 con số
Mỗi con số hàng trăm tạo thành 1 dãy giảm tương ứng với 1 tổ hợp chập 3 của 10 phần tử.
Vậy ta có:



=
!
!
(

)
!
=
!
!!
=
..
..
=


=120 con số
2) Số các con số hàng trăm có các chữ số không lặp là:
S
1
=


-



=10.9.8-9.8=720-72=648 con số
Số các con số hàng trăm có các chữ số có thể lặp là :
S
2
=


-


=10

-10

=1000-100=900 con số
Bài 2: Có bao nhiêu cách chia bộ bài 52 quân cho 4 người:
a) Mọi người đều có số quân bằng nhau?
b) Một người 10 quân, một người 12 quân , một người 14 quân và một người 16 quân?
Giải:
a) Chia bộ bài 52 quân thành 4 phần, mỗi phần 13 quân, ta có:
C
52
(13,13,13,13)=
!
!(!)

= cách
Sau đó chia 4 phần cho 4 người, ta có:

S
1
=C
52
(13,13,13,13). 4!=
!
(!)

=cách
b) Chia bộ bài thành 4 phần tương ứng với các số quân 10, 12, 14, 16
C
52
(10,12,14,16)=
!
!!!!
cách
Sau đó chia 4 phần cho 4 người có:
S
2
=C
52
(10,12,14,16). 4!=
!!
!!!!
=cách
Bài 3: 1) Có bao nhiêu cách chia 7 quyển vở như nhau cho 5 em bé sao cho em nào cũng
được nhận vở?
2) Có bao nhiêu cách gọi 5 sinh viên để trả lời 7 câu hỏi thi khác nhau sao cho sinh
viên nào cũng được gọi để trả lời câu hỏi?
Giải:

1) Chia cho mỗi em bé 1 quyển vở, còn lại 2 quyển chia tùy ý. Số cách chia là:
S
1
=


=


= 


=
.
.
=15 cách
2) Chia 7 câu hỏi thi thành 5 nhóm, mỗi nhóm có ít nhất 1 câu hỏi, số cách chia là :
S
1
=C
7
(1,1,1,1,3)+C
7
(1,1,1,2,2)=
!
!!
+
!
!!!!
=

..
..
+
..
..!
= 35 + 105=140 cách

2
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


Sau đó giao cho mỗi sinh viên trả lời 1 nhóm câu hỏi, ta có:
S
2
= 140*5!=140*120=16.800 cách
Bài 4. Phương trình x
1
+x
2
+x
3
+x
4
= 8 có bao nhiêu nghiệm nếu :
1) x
i
≥ 0 và nguyên, ( i=1, 2 , 3 ,4)
2) x
i
nguyên và x

1
≥1, x
2
≥1, x
3
≥1, x
4
≥2
Giải:
1) Số nghiệm nguyên không âm là : 


= 


=
..
..
=165
2) Đặt x
i
= t
i
+1 với i= 1, 2 ,3 và x
4
= t
4
+2 thì sẽ có phương trình :
t
1

+ t
2
+t
3
+ t
4
=3 ; t
i
≥0 và nguyên , (i=1, 2, 3, 4) suy ra số nghiệm là :



=


=
..
..
=20
Bài 5 . Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 gia đình, mỗi gia đình có 3 người sao cho những
người trong mỗi gia đình thì ngồi gần nhau trong các trường hợp dưới đây:
a) Các ghế có ghi số và xếp thành một dãy ngang?
b) Các ghế có ghi số và xếp quanh một bàn tròn?
Giải:
a) Chia 12 ghế thành 4 lô, mỗi lô 3 ghế, sau đó chia cho mỗi gia đình 1 lô.
Vậy số cách xếp chỗ là: S
1
=4!.(3!)
4
= 31104 cách

b)Xếp chỗ cho 1 gia đình nào đó, có 12 cách xếp (vì có 12 ghế) . Còn lại 9 ghế coi
như một dãy thẳng xếp chỗ cho 3 gia đình còn lại. Vậy số cách xếp chỗ là:

S
2
=12.3!(3!)
4
=93312 cách
Bài 6: Nhóm A có 7 sinh viên, nhóm B có 6 SV, nhóm C có 5 SV
1) Có bao nhiêu cách chọn ra 4 SV thuộc 2 nhóm A và B; B và C ; C và A?
2) Có bao nhiêu cách chọn ra 4 SV thuộc cả 3 nhóm?
Giải:
1) Ký hiệu S(A, B) là số cách chọn ra 4 SV từ 2 nhóm A và B ta có:
S(A, B) = 


- (


+ 


) = 715 - (35+15) =665
S(B, C) = 


- (


+ 



) = 330 - (15 +5) = 310
S(C, A) = 


- (


+


) = 495 - (5+35) = 455
2) S(A,B,C)= 


-[S(A,B)+ S(B,C) + S(C,A)] - (


+


+ 


)
= 3060 - (665 + 310 + 455) - (35 + 15 +5) = 1575
Bài 7: Có bao nhiêu cách xếp 10 nam và 10 nữ nếu:
1) Xếp thành 2 hàng dọc, mỗi hàng 10 người và trên mỗi hàng ngang đều có 1 nam và
1 nữ?

2) Xếp thành 4 hàng dọc mỗi hàng có 5 người, trên mỗi hàng ngang đều có 2 nam và 2
nữ?
Giải:
1) Xếp thành 2 hàng dọc, một hàng 10 nam, một hàng 10 nữ. Hoán vị dọc mỗi hàng, sau
đó hoán vị ngang mỗi hàng thì sẽ có:

3
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem



S
1
= (10!)
2
.(2!)
10
cách
2) Xếp thành 4 hàng dọc, 2 hàng 5 nam, 2 hàng 5 nữ, sau đó hoán vị dọc và hoán vị
ngang thì sẽ có: S
2
=(5!)
4
.(4!)
5
cách
Bài 8: Có 5 bộ quần áo TDTT đánh số từ 1 đến 5. Huấn luyện viên phát cho 5 cầu thủ
mỗi người 1 quần và 1 áo. Hỏi có bao nhiêu cách phát khác nhau trong các trường hợp sau:
1) Cả 5 cầu thủ đều nhận được quần và áo có số khác nhau?
2) Có đúng 2 cầu thủ nhận được quần và áo có số như nhau?

Giải:
Ký hiệu D
n
là số sách bỏ n thư vào n phong bì sao cho không có thư nào đúng địa chỉ,
ta có phương trình truy hồi sau:
D
n
= (n-1)(D
n-1
+ D
n-2
) với D
1
=0 ; D
2
=1
Ta suy ra : D
3
= 2(1+0) = 2 ; D
4
=3(2+1) = 9; D
5
= 4(9+2)=44
Số này gọi là số mất thứ tự
1) Xếp 5 quần và 5 áo sao cho các số của quần và áo đều khác nhau, sau đó phát cho mỗi
cầu thủ 1 bộ. Số cách phát sẽ là:
S
1
= D
5*

5! =44*120= 5.280 cách
2) Chọn ra 2 bộ quần áo để xếp đúng bộ, còn lại 3 bộ xếp quần và áo có số
khác nhau; sau đó phát cho mỗi người một bộ. Số cách phát sẽ là:
S
2
= 


.D
3
.5!=10.2.120=2400 cách.
Bài 9: Cho 20 đường thẳng trên cùng một mặt phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng được tạo
thành trong các trường hợp sau đây:
1) Có 5 đường thẳng song song với nhau?
2) Có 5 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm?
Giải:
Nếu 20 đường thẳng có vị trí tổng quát thì số phần mặt phẳng do chúng tạo nên:
S
20
= 1+
()

=211 phần mặt phẳng
1) . 5 đường thẳng có vị trí tổng quát tạo ra : S
5
= 1+
()

= 16 phần mặt phẳng
Trong khi đó 5 đường thẳng song song chỉ tạo ra 6 phần mặt phẳng , nghĩa là số mặt phẳng

phải bớt đi là 16-6=10. Vậy số mặt phẳng cần tìm là :
S
1
=211-10=201 phần mặt phẳng
2) 5 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm chỉ tạo ra 10 phần mặt phẳng nên số phần mặt
phẳng phải bớt đi là 16-10=6
Vậy số mặt phẳng cần tìm: S
2
=211-6=205 phần mặt phẳng
Bài 10: Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 7 nam và 3 nữ thành một hàng ngang sao cho:
1) Cả 3 nữ ngồi gần nhau.
2) Có đúng 2 nữ ngồi gần nhau.
3) Cả 3 nữ không ngồi gần nhau.
Giải:

4
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


1) Xếp chỗ cho 7 nam, 3 nữ sao cho 3 nữ ngồi gần nhau. Coi 3 nữ như một đối tượng,
cùng với 7 nam vậy có 8! hoán vị. Sau đó 3 nữ hoán vị chỗ với nhau. Vậy số cách xếp chỗ
là:
S
1
=8!3!= 241.920 cách
2) Chọn ra 2 trong 3 nữ để xếp gần nhau , có 


= 3 cách. Xếp 2 nữ đã chọn với 7 nam
có: 3*8!*2!= 241.920 cách.

Ứng với mỗi cách xếp chỗ cho 7 nam , 2 nữ gần nhau (coi như 1 đối tượng) thì có 9 vị
trí có thể xếp 1 nữ còn lại, nhưng phải loại trừ 2 vị trí gần với 2 nữ đã xếp, nên ta có:
S
2
= 241.920 *(9-2)=1.693.440 cách
3) Hoán vị 7 nam có 7! = 5.040 cách. Có 8 chỗ có thể chọn để xếp chỗ cho 3 nữ:
Vậy ta có số cách sắp xếp chỗ là :
S
3
= 7!


=5040*(8.7.6)=1.693.440 cách
Bài 11: Có 4 đề thi khác nhau được phát cho 10 sinh viên dự thi, mỗi sinh viên một đề sao
cho 2 sinh viên ngồi gần nhau thì nhận được 2 đề khác nhau.
1) Có bao nhiêu cách phát đề nếu 10 sinh viên ngồi thành 1 dãy ngang?
2) Các sinh viên ngồi thành 2 dãy ngang cách biệt, mỗi dãy 5 người?
3) Giải bài toán trên nếu 10 sinh viên ngồi quanh 1 bàn tròn?
Gỉai:
1) Sinh viên đầu tiên có 4 cách phát đề thi, các sinh viên còn lại có 3 cách phát
Do đó ta có: S
1
= 4.3
9
= 78.732 cách
2) Mỗi dãy 5 sinh viên, có 2 dãy. Vậy số cách phát đề thi là:
S
2
=(4.3
4

)*(4.3
4
)=324*324=104.976 cách
3) Ký hiệu 


là số cách phát 4 đề thi cho n sinh viên ngồi quanh 1 bàn tròn, thỏa mãn
điều kiện của bài toán. Ta áp dụng công thức truy hồi sau:



=4.3
n-1
- 


với 


=4.3.2
Thay n=10, ta có:



=4.3
9
– 4.3
8
+ 4.3
7

– 4.3
6
+ 4.3
5
– 4.3
4
+ 4.3
3
– 4.3.2
Vì 4.3.2=4.3.(3-1) = 4.3
2
-4.3 nên ta có:



=4.3
9
– 4.3
8
+ 4.3
7
– 4.3
6
+ 4.3
5
– 4.3
4
+ 4.3
3
– 4.3

2
+ 4.3
= 4.3(1-3+3
2
-3
3
+3
4
-3
5
+3
6
-3
7
+3
8
)
=4.3.
()

()
= 4.3.




= 3
10
+3=59.049+3=59.052 cách
Bài 12: Có 5 câu hỏi thi khác nhau, mỗi câu hỏi thi được in thành 2 phiếu. Giáo viên phát cho

5 sinh viên dự thi mỗi sinh viên 2 phiếu. Hỏi có bao nhiêu trường hợp mà:

5
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


1) Tất cả 5 sinh viên đều được 2 câu hỏi khác nhau?
2) Có đúng 3 sinh viên nhận được 2 câu hỏi khác nhau?
Giải
Bài toán này liên quan đến số mất thứ tự. Nếu ký hiệu (i,j) (với i≠j) là số bức thư
i bỏ vào phòng bì j thì (i,j) và (j,i) là 2 đối tượng khác nhau. Còn trong bài này nếu
coi (i,j) là cặp phiếu thi đề i ghép với phiếu thi của đề j thì (i,j)≡ (j,i) nghĩa là 2
đối tượng này hoàn toàn giống nhau.
1) 5 sinh viên nhận được 2 phiếu thi khác nhau. Số mất thứ tự : D
5
=44 được chia
làm 2 loại như sau:
Loại 1: Có 2 cặp phiếu thi như nhau và 3 cặp phiếu thi khác nhau. Ví dụ (1,2) ,
(2,1) , (3,4) , (4,5) , (5,3) ((1,2)≡ (2,1))
Số cách ghép loại này là:



.1.1=10 cách
Số cách phát loại này cho 5 sinh viên là:
r
1
= 10.P(1,1,1,2)=10.
!
!

= 600 cách
Loại 2: là số cách ghép còn lại của D
5
, đó là:
44- 


.D
2
.D
3
= 44-10.1.2= 24 cách ghép
Nhưng do (i,j) ≡(j,i) nên thực chất chỉ có 24/2= 12 cách ghép khác nhau:
Số cách phát loại này cho sinh viên là:
r
2
= 12.P
5
= 12*5!= 1440 cách
Suy ra : S
1
=r
1
+r
2
= 600+1440 = 2040 cách
2) 3 sinh viên nhận được 2 phiếu thi khác nhau
Chọn 3 đề trong 5 đề có: 



=10 cách chọn
6 phiếu thi từ 3 đề này chỉ tạo ra 1 bộ 3 cặp đề thi khác nhau. Thí dụ: (3,4) (4,5)
(5,3);
2 sinh viên còn lại nhận 2 phiếu thi giống nhau
Vậy cách phát phiếu cần tìm là: S
2
= 10*5! = 1200 cách
Bài 13: Cho hình cầu tâm O bán kính R. Vẽ n đường tròn lớn (có tâm O và bán kính R như
hình cầu) ; trong đó không có 3 đường tròn nào cùng đi qua 1 điểm. Ký hiệu T
n
là số phần
mặt cầu tạo nên bởi n đường tròn đó.
1. Lập và giải phương trình truy hồi để tìm công thức T
n
. Tính T
10
?

6
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


2. Tính T
10
trong trường hợp có 3 đường tròn cùng đi qua 1 điểm?
3. Tính T
10
trong trường hợp có 4 đường tròn cùng đi qua 1 điểm?
Giải:
1. T

n+1
= T
n
+2n T
1
=2 giải được T
n
=2+n(n-1)
Nếu không có 3 đường tròn đi qua 1 điểm thì T
10
= 2+10.9=92
2. Vì 3 đường tròn đi qua 1 điểm chỉ tạo ra 6 phần mặt cầu, trong khi đó :
T
3
= 2+3.2=8 nghĩa là bớt đi 2 phần mặt cầu
S
2
= 92-2=90 phần mặt cầu
3. 4 đường tròn đi qua 1 điểm tạo ra 8 phần mặt cầu, trong khi đó:
T
4
= 2+4.3= 14 phần mặt cầu
Nghĩa là bớt đi 14-8=6 phần mặt cầu
Vậy S
3
= 92-6=86 phần mặt cầu
Bài 14: Cho n đường tròn trên cùng một mặt phẳng sao cho mọi cặp 2 đường tròn đều
cắt nhau và không có 3 đường tròn nào cắt nhau tại 1 điểm. Ký hiệu T
n
là số phần mặt

phẳng được tạo thành bởi n đường tròn đó.
1) Lập và giải phương trình truy hồi để tìm công thức của T
n
?
2) Tìm T
10
trong đó có 1 bộ 3 đường tròn cắt nhau tại 1 điểm?
Giải:
1) Vẽ thêm đường tròn thứ nhất (n+1), nó cắt đường tròn đã có tại 2n giao điểm . Các
giao điểm này chia đường tròn vẽ thêm thành 2n cung, mỗi cung nằm trong một phần
mặt phẳng đã có và tạo thêm được một phần mặt phẳng, do đó ta có:
T
n+1
=T
n
+2n

với T
1
= 2;
Giải được : T
n
= 2+ n(n-1)
Thay n=10 ta có: T
n
= 2+10.9= 92 phần mặt cầu
2) Ba đường tròn đi qua 1 điểm tạo ra 7 phần mặt phẳng trong khi đó
T
3
= 2+3.2=8 nên số phần mặt phẳng phải bớt đi là 1 đơn vị. Vậy S

2
= 92-1=91 phần
mặt phẳng
Bài 15: Một người vượt cầu thang có n bậc bằng cách lúc thì bước mỗi bước 1 bậc, lúc thì
bước mỗi bước 2 bậc. Ký hiệu T
n
là số cách vượt n bậc cầu thang như thế
1) Lập và gỉai phương trình truy hồi để tìm công thức T
n
?
2) Bằng phương pháp quy nạp chứng minh công thức :
T
1
2
+ T
2
2
+ + T
n
2
= T
n
.T
(n+1)
-1 (*)
Giải:
1) T
n
=T
n-1

+ T
n-2
; T
1
=1, T
2
=2
Giải phương trình đặc trưng:
r
2
-r-1 = 0 => r=
±√


Nghiệm tổng quát: T
n
= C
1

√



+C
2

√




T
1
=1 => C
1

√



+C
2

√



=1

7
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


T
2
=2 => C
1

√




+C
2

√



=2
Giải được: C
1
=

√

√

 C
2
=

√

√


Suy ra: T
n
=


√

√



-

√

√




2) Từ (*) Cho n=1, ta có:
vế trái T
1
2
= 1;
vế phải là : T
1
.T
2
-1 =1.2-1=1
Vậy VT=VP; nghĩa là công thức đã đúng với n=1
Ta còn phải CMR:
T
1

2
+T
2
2
+ +T
n
2
+ T
n
+1
2
= T
n+1
.T
n+2
-1
Theo giả thiết quy nạp . Ta có:
VT= T
n
.T
n+1
-1+T
n+1
2

= T
n+1
(T
n
+T

n+1
)-1
=T
n+1
.T
n+2
-1 = VP (ĐPCM)
Bài 16: Một người phải trả một món tiền n nghìn đồng bằng cách trả lần lượt từng tờ một
trong 2 loại giấy bạc có mệnh giá 1 nghìn đồng và 2 nghìn đồng. Ký hiệu T
n
là số cách trả
tiền như thế:
1) Lập và giải phương trình truy hồi đối với T
n
?
2) Bằng phương pháp quy nạp CMR:
T
1
.T
2
+T
2
.T
3
+ + T
2n-1
.T
2n
= (T
2n

)
2
-2 (*)
Giải
T
n
=T
n-1
+ T
n-2
; T
1
=1, T
2
=2
Giải phương trình đặc trưng:
r
2
-r-1 = 0 => r=
±√


Nghiệm tổng quát: T
n
= C
1

√




+C
2

√




T
1
=1 => C
1

√



+C
2

√



=1
T
2
=2 => C
1


√



+C
2

√



=2
Giải được: C
1
=

√

√

 C
2
=

√

√



Suy ra: T
n
=

√

√



-

√

√




1) Cho n=1: VT=T
1
.T
2
=1.2=2.
VP= (T
2
)
2
-2=2
2

-2=2

8
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


 VT=VP Vậy công thức đúng với n=1
2) Giả sử đã có (*), ta chứng minh:
T
1
.T
2
+T
2
.T
3
+ + T
2n-1
.T
2n
+ T
2n
.T
2n+1
+ T
2n+1
.T
2n+2
= (T
2n+2

)
2
-2
VT=(T
2n
)
2
-2+ T
2n
.T
2n+1
+ T
2n+1
.T
2n+2

= T
2n
.( T
2n
.T
2n+1
)+ T
2n+1
.T
2n+2
-2
= T
2n
.T

2n+2
+ T
2n+1
.T
2n+2
-2
= T
2n+2
.( T
2n
.T
2n+1
)-2=(T
2n+2
)
2
-2 = VP (ĐPCM)
Bài 17: Cho G(x,v) là đồ thị vô hướng , đủ và có 9 đỉnh
1) Có bao nhiêu đồ thị con và đồ thị bộ phận?
2) Có bao nhiêu đồ thị con là đồ thị Euler?
Giải
1) Số đồ thị con S
1
= 


+ 


+ +



=2
9
-(


+


)=512-2=510
Số cạnh của đồ thị: m= 


=36, số đồ thị bộ phận là:
S
1
= 


+


+ + 


= 2
36
-



=2
36
-1
2) Số đồ thị con là đồ thị Euler, đó là các đồ thị con có số đỉnh là lẻ:
S
2
=


+ 


+


= 2
8
-(


+ 


)= 256-10=246
Bài 18: Cho G(x,v) là đồ thị vô hướng, đủ và có 7 đỉnh
1) Có bao nhiêu cây bao trùm đi qua 2 đỉnh cố định cho trước?
2) Có bao nhiêu cây bao trùm có 1 đỉnh bậc 4 và 1 đỉnh bậc 3?
Giải
1) Số cây bao trùm chứa cạnh [a,b] cho trước chia thành các trường hợp sau:

- Có 5 đỉnh liên thuộc a; không có đỉnh nào liên thuộc b; tạo ra T
6
=6
4
=1296 cây
- Có 4 đỉnh liên thuộc a; và có 1 đỉnh liên thuộc b; tạo ra :



.T
5
= 5.5
3
= 625 cây
- Có 3 đỉnh liên thuộc a; có 2 liên thuộc b; tạo ra:



.T
4
.T
3
= 10.4
2
.3= 480 cây
- Có 2 đỉnh liên thuộc a; có 3 liên thuộc b; tạo ra:



.T

3
.T
4
= 10.3.4
2
= 480 cây
- Có 1đỉnh liên thuộc a; có 4 liên thuộc b; tạo ra:



.T
5
= 625 cây
- Không có đỉnh liên thuộc a; có 5 liên thuộc b; tạo ra:
T
6
=6
4
= 1296 cây .Vậy số cây cần tìm là: S
1
= 2(1296+625+480)=4802
2) Chọn 1 đỉnh trong 9 đỉnh để làm đỉnh bậc 6: 


=7 cách
Chọn 4 đỉnh trong 6 đỉnh còn lại để nối với đỉnh bậc 4: 


= 15 cách
Bây giờ chỉ còn lại 2 đỉnh. Muốn có 1 đỉnh bậc 3 theo yêu cầu của đề bài thì đỉnh

bậc 3 đó phải là 1 trong 4 đỉnh ở bước 2, và cả 2 đỉnh còn lại này đều phải được nối với
đỉnh bậc 3 đó. Do đó có: 


=4 cách
Vậy số cây bao trùm có 1 đỉnh bậc 4 và 1 đỉnh bậc 3:

9
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


S
2
=7*15*4=420 cây
Bài 1 : (Phần Bài toán tồn tại) Cho một hình tam giác đều có cạnh bằng 1, lấy 5 điểm bất kỳ
trong tam giác đó . Chứng minh rằng có ít nhất 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn
1/2?
Giải:
Nối trung điểm của các cạnh ta được 4 tam giác đều , cạnh = 1/2 .
Lấy 5 điểm trong tam giác lớn.Mỗi điểm phải phụ thuộc vào 1 tam
giác con nào đó. Áp dụng định lý Đirichlet giản đơn (nhốt 5 con chim
vào 4 chiếc lồng) sẽ có ít nhất 2 điểm thuộc vào một tam giác con nào đó, khi đó khoảng cách
giữa chúng < ½ (ĐPCM)
Bài 2: Cho 5 điểm có tọa độ nguyên trên một mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng
hàng.
1) CMR từ các điểm trên có thể tìm được ít nhất 2 điểm mà trung điểm của chúng cũng
là điểm có tọa độ nguyên?
2) CMR có ít nhất 3 tam giác có các đỉnh là các điểm trên có diện tích một số nguyên?
Giải:
Ký hiệu (x,y) là tọa độ của 1 điểm nào đó trên mặt phẳng. Một điểm có tọa độ nguyên

có nghĩa là (x
nguyên
, y
nguyên
) Số nguyên có thể là lẻ hoặc là chẵn.Vậy chúng có thể chia
làm 4 nhóm như sau:
Nhóm 1 (x
lẻ
, y
lẻ
) , Nhóm 2 (x
chẵn
, y
chẵn
), Nhóm 3 (x
lẻ
, y
chẵn
), Nhóm 4 (x
chẵn
, y
lẻ
)
1) Lấy 5 điểm từ 4 nhóm, áp dụng Định lý Đirichlet giản đơn (với n=4) sẽ có ít nhất 2
điểm thuộc vào cùng 1 nhóm. Giả sử 5 điểm đó là A, B, C, D, E và có 2 điểm A và B
thuộc 3 nhóm. Khi đó x
A
lẻ , x
B
lẻ, y

A
chẵn, y
B
chẵn
Gọi M là trung điểm của AB thì ta có:
x
M
=


(x
A
+ x
B
) là một số nguyên
y
M
=


(y
A
+ y
B
) là một số nguyên
(Đó là điều phải chứng minh)
2) Ta chứng mính các tam giác ABC, ABD, ABE là các tam gíac có diện tích là số
nguyên. Ta cần chứng minh S(ABC) là số nguyên , các tam giác khác chứng minh
tương tự

10
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem



Từ hình vẽ trên ta có: S(ABC)= S(AMBC)= S(AMB)
Trong đó S(AMB)=


MA.MB =


(y
A
- y
B
)( x
B
– x
A
) là số nguyên vì (y
A
- y
B),
)( x
B
– x
A
)
là các số chẵn.

Ta lại có S(AMBC) = S(MBC) + S(AMC) mà
S(MBC) =


MB.h=


(x
B
- x
A
)(y
C
- y
B
) là số nguyên vì ( x
B
– x
A
) là số chẵn, (y
C
- y
B
) là
số nguyên
S(AMC) =


MA.h’=



(y
A
- y
B
)(x
C
- x
A
) là số nguyên vì ( y
A
– y
B
) là số chẵn, (x
C
- x
A
) là
số nguyên
Vậy S(AMBC) là số nguyên.(ĐPCM)
Bài 3: Lấy một cách tùy ý 7 điểm trong một hình lục giác đều có cạnh bằng 1.
CMR có ít nhất 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1.
Giải:

Nối các đỉnh của hình lục giác với tâm ta được 6 tam gíac đều có cạnh bằng 1. Theo định lý
Đirichlet giản đơn: n=6. Lấy 7 điểm từ 6 tam giác thì có ít nhất 2 điểm thuộc 1 tam giác suy
ra khoảng cách giữa chúng < 1 (ĐPCM).
Bài 4: lấy 6 số bất kỳ trong các số nguyên dương nhỏ hơn 121
CMR trong các số đó luôn tìm được ít nhất 2 số x và y thỏa mãn điều kiện
0<|

√
 −√| <2
Giải:
Chia các số nguyên dương <121 thành 5 nhóm:
Nhóm 1 gồm các số {1, 2, , 8}
Nhóm 2 gồm các số {9, 10, , 24}
Nhóm 3 gồm các số {25, 26, , 48}
Nhóm 4 gồm các số {49, 50, , 80}
Nhóm 5 gồm các số {81, 82, , 120}
Hai số bất kỳ thuộc 1 nhóm nào đó đều thỏa mãn điều kiện |
√
 −√| <2
Lấy 6 số từ 5 nhóm, theo định lý Đirichlet giản đơn (n=5) thì có ít nhất 2 số thuộc 1 nhóm
(ĐPCM)

11
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


Bài 5: Lấy 30 số nguyên dương nhỏ hơn 60. CMR:
1) Có ít nhất 8 cặp số mà hiệu của chúng bằng nhau?
2) Có ít nhất 4 cặp số mà tổng của chúng bằng nhau?
Giải:
1) Cứ 2 số tạo ra 1 hiệu số, lấy 30 số nguyên dương sẽ tạo ra : 


=
.

=435 hiệu số.

Các hiệu này lấy giá trị nhỏ nhất là 1 và lớn nhất là 58
Vậy theo Định lý Đirichlet tổng quát (n=435, k=58) có ít nhất 


=8 hiệu lấy giá trị bằng
nhau.(ĐPCM)
2) Tương tự, cứ 2 số tạo ra 1 tổng ta có 


=
.

=435 các tổng lấy giá trị nhỏ nhất là:
1+2= 3 và lớn nhất là: 58+59= 117 tức là lấy 115 giá trị khác nhau. Theo định lý Đirichlet
(n=435, k=115) thì có ít nhất 


 = 4 tổng có giá trị bằng nhau.(ĐPCM)
Bài 6: Cho tập A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
1) Có bao nhiêu tập con gồm 4 phần tử của A ?
2) CMR có ít nhất 8 tập con mà tổng các chữ số của chúng bằng nhau?
Giải:
1) Số tập con có 4 phần tử là:



=
...
...
= 126 tập

2) Tập con có tổng các chữ số lấy giá trị nhỏ nhất là: S
min
=1+2+3+4=10 và lớn nhất S
max
=
6+7+8+9= 30.Như vậy các tập con lấy giá trị từ 10 đến 30; tức là có 21 giá trị khác nhau.
Nếu áp dụng định lý Dirichlet thì ta chỉ có: 


 =6 tập con có tổng các chữ số bằng nhau,
không đạt yêu cầu của bài toán. (là có 8 tập con có tổng các chữ số bằng nhau) Ta loại trừ 4
tập con có tổng các chữ số là 10,11,29,30 thì còn lại 126 – 4 =122 tập con lấy giá trị từ 12
đến 28 nghĩa là lấy 17 giá trị khác nhau.
Áp dụng định lý Dirichlet sẽ có ít nhất 


 =8 tập thỏa mãn điều kiện đề bài đặt ra (ĐPCM)
Bài 7: Có 11 sinh viên nữ và 9 sinh viên nam xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. CMR có
ít nhất 2 nữ SV mà giữa họ có 4 người khác đứng xen vào
Giải:
Xếp 20 SV thành 1 dãy ngang và đánh số từ 1 đến 20 (từ trái sang phải) .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Ta chia các SV thành 5 nhóm như sau:
Nhóm 1 gồm các số {1,6,11,16}
Nhóm 2 gồm các số {2,7,12,17}
Nhóm 3 gồm các số {3,8,13,18}
Nhóm 4 gồm các số {4,9,14,19}
Nhóm 5 gồm các số {5,10,15,20}
Chú ý rằng 2 số trong cùng nhóm là có 4 người khác đứng xen vào giữa. Thí dụ như số 1 và
số 6; giữa họ có 4 người mang số 2, 3, 4, 5 đứng xen vào giữa. Có 11 nữ SV mỗi người thuộc

12
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


1 nhóm nào đó. Áp dụng định lý Dirichlet (n=11, k=5) có ít nhất 


=3 nữ thuộc một nhóm

nào đó.Giả sử đó là nhóm 1 có đúng 3 nữ SV.
Nếu số 1 không phải là nữ thì có (6, 11) và (11, 16) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Nếu số 6 không phải là nữ thì có 1 cặp (11, 16) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Nếu số 11 không phải là nữ thì cặp (1, 6) thỏa mãn điều kiện bài toán
Nếu số 16 không phải là nữ thì có 2 cặp (1, 6) và (6, 11) thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy luôn có ít nhất 2 nữ thỏa mãn yêu cầu đề toán đặt ra (ĐPCM)
Bài 8: Xếp 12 quân cờ một cách tùy ý lên một bàn cờ vua có 8x8=64 ô vuông. CMR luôn tìm
được 4 hàng và 4 cột chứa tất cả 12 quân cờ nói trên.
Giải:
Chọn 4 hàng có nhiều quân nhất, số quân trên hàng này ≥ 8 . Thật vậy, nếu không thì số quân
trên 4 hàng này ≥5 . Do đó có ít nhất 1 hàng có ít nhất 2 quân mà ta không chọn. Trong khi
đó số quân trong 4 hàng đã chọn ≤7, do đó có ít nhất 1 hàng có số quân ≤1. Điều này mâu
thuẫn với cách chọn ban đầu của ta.
Khi số quân còn lại chỉ là ≤ 4 thì chỉ cần 4 cột là đủ chứa chúng (ĐPCM)
Bài 9: Cho A={1,2,3, ,21}. Hỏi có thể chia A thành các nhóm rời nhau và trong mỗi nhóm
số lớn nhất bằng tổng các số còn lại của nhóm được hay không?
Giải:
Câu trả lời là không vì:
- Tổng các số trong mỗi nhóm là 1 số chẵn. Thí dụ: nhóm {1,3,5,9} có số lớn nhất : 1+3+5=9
và tổng các số trong nhóm là 1+3+5+9=18 là 1 số chẵn. Khi đó tổng các số trong tất cả các
nhóm gọi là S cũng là một số chẵn.
Trong khi đó: S= 1+2+ +21 = 21(1+21) /2=231 là một số lẻ, mâu thuẫn.
Bài 10: Có 11 cầu thủ đeo số áo từ 1 đến 16 đứng ngẫu nhiên thành một vòng tròn. CMR
luôn tìm được một nhóm gồm 4 người đứng gần nhau có tổng các số ghi trên áo > 34
Giải:
Dùng phương pháp phản chứng . Nếu điều này không xảy ra thì tổng các số ghi trên áo của
mỗi nhóm bất kỳ gồm 4 người đứng gần nhau phải ≤ 34. Có tất cả 16 nhóm. Vậy tổng các số
ghi trên áo của tất cả 16 nhóm là: S≤ 34*16=544
Mỗi người thuộc vào 4 nhóm khác nhau nên ta có:
S= 4(1+2+…+16)=4*

()

=544
Nghĩa là tổng các số ghi trên áo của bất kỳ nhóm nào cũng bằng 34. Đó là mâu thuẫn
(ĐPCM)

13
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


Bài 1: (Phần Đồ thị và ứng dụng) Áp dụng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ S
đến Z trên đồ thị sau:

Giải:

Bước 1: L
1
={S} ; (S)=0;
Bước 2: L
2
={1,2} ; (1)=9;(2)=6;
Bước 3: L
3
={3} ; (3)=min{9+7, 0+17, 6+9}=15;
Bước 4: L
4
={4, 5} ; (4)= min{9+18, 15+9}=24;
; (5)= min{15+10, 6+16}=22;
Bước 5: L
5

={6} ; (6)= min{24+8, 15+20, 6+26, 22+9}=31;
Bước 6: L
6
={7, 8} ; (7)= min{24+17, 15+25, 31+10}=40;
; (8)= min{31+9, 22+19}=40;
Bước 7: L
7
={9} ; (9)= min{40+8, 31+18, 40+9}=48;
Bước 8: L
8
={Z} ; (Z)= min{40+20, 48+14, 20+21}=60;
Có 1 đường đi ngắn nhất T* = (S,2,3,7,Z) với độ dài là : l(T*)= 60
Bài 2: Áp dụng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ S đến Z trên đồ thị sau:

14
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem



Giải:

Bước 1: L
1
={S} ; (S)=0;
Bước 2: L
2
={1,2} ; (1)=7;(2)=9;
Bước 3: L
3
={3} ; (3)=min{7+8, 0+16, 9+8}=15;

Bước 4: L
4
={4, 5} ; (4)= min{7+17, 15+10}=24;
; (5)= min{15+9, 9+15}=24;
Bước 5: L
5
={6} ; (6)= min{24+10, 15+20, 24+10}=34;
Bước 6: L
6
={7, 8} ; (7)= min{24+15, 15+25, 34+16}=39;
; (8)= min{34+8, 24+16}=40;
Bước 7: L
7
={9} ; (9)= min{39+13, 34+17, 24+26, 40+12}=50;
Bước 8: L
8
={Z} ; (Z)= min{39+28, 50+15, 40+27}=65;
Có 2 đường đi ngắn nhất T
1
= (S,2,5,9,Z) ; T
2
=(S,1,3,5,9,Z)
l(T
1
)=l(T
2
)=65

15
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem

Bài 3 : Áp dụng thuật toán Ford-Fulkerson tìm luồng vận tải cực đại từ S đến Z trên đồ thị
cho dưới đây:

Giải:
Bước 1: T
1
={S,1,4,7,Z} ; f(T
1
)=30; cung bão hòa ={1,4}
T
2
={S,3,6,9,Z} ; f(T
2
)=40; cung bão hòa={3,6}
T
3
={S,2,5,8,Z} ; f(T
3
)=40; cung bão hòa ={2,5}
Tìm được đồ thị G
1
(X,U
1
) như sau:

Bước 2:
T
4

={S,1,3,4,6,7,Z} ; f(T
4
)=25; cung bão hòa ={(1,3),(4,6)}
T
5
={S,3,5,8,Z} ; f(T
5
)=30; cung bão hòa ={(S,3),(5,8)}
đồ thị G
2
(X,U
2
) như sau:


16
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


Bước 3:
T
6
={S,2,3,5,6,8,9,Z} ; f(T
6
)=15; cung bão hòa ={(2,3),(6,8)}
đồ thị G
3
(X,U
3
) như sau:

S và Z mất liên thông, thuật toán kết thúc
f(

)=
∑
(



) = 30+40+40+25+30+15=180
Bài 1: (Phần Đại số Logic) Cho hàm đại số logic F(x,y,z) =(x | y) →(y↓z)
a) Lập bảng giá trị của hàm F(x,y,z)
b) Tìm dạng tuyển chuẩn tắc và biến đổi nó về dạng chỉ có dấu tuyển và phủ định.
c) Thiết kế mạch logic thực hiện hàm F(x,y,z) với các cổng NOT, AND và OR
Giải:
a) Lập bảng giá trị của hàm:
x y z x | y y
↓
z F(x,y,z) H
0 0 0 1 1 1
H
1
=
˄˄

0 0 1 1 0 0
0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0 1 1 1

H
2
=x
˄˄

1 0 1 1 0 0
1 1 0 0 0 1 H
3
=x
˄˄

1 1 1 0 0 1 H
4
=x
˄˄

b) Dạng tuyển chuẩn tắc :
F(x,y,z) = H
1
˅ H
2
˅ H
3
˅ H
4


17
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem

= ( ˄˄ )˅ ( x ˄˄) ˅ (x ˄˄) ˅ ( x ˄˄)
Biến đổi về dạng chỉ có dấu tuyển và phủ định. Chú ý 
̿
=A và ˄˄=  ˅



˅

(Công thức De Morgan)
F(x,y,z) = (˄˄)

˅ (x˄˄)

˅ (x˄˄)

˅(x˄˄)


= ( x˅˅) ˅ (˅˅ ) ˅ (˅˅ ) ˅ (˅˅)
c) Vẽ mạch logic :

Bài 2: Cho hàm đại số logic F(x,y,z) =(x | y) → (y ⨁ z)
a) Lập bảng giá trị của hàm F(x,y,z)
b) Tìm dạng hội chuẩn tắc và biến đổi nó về dạng chỉ có dấu hội và phủ định.
c) Thiết kế mạch logic thực hiện hàm F(x,y,z) với các cổng NOT, AND và OR.
Giải:
a) Lập bảng giá trị hàm F(x,y,z)
x y z x | y

y
⨁
z
F(x,y,z) T
0 0 0 1 0 0 T
1
=
˅˅

0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1
0 1 1 1 0 0 T
2
=
˅˅

1 0 0 1 0 0 T
3
=
˅˅

1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1
1 1 1 0 0 1

18
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


b) Dạng hội chuẩn tắc :

F(x,y,z) = T
1
˄ T
2
˄ T
3

= (x ˅y ˅z) ˄ (˅˅) ˄ (˅˅)

Biến đổi về dạng chỉ có dấu hội và phủ định. Áp dụng định lý De Morgan và công
thức phủ định, ta có:
F(x,y,z) =(x˅y˅z)

˄ (˅˅))

˄ (˅˅)


= (x˄y˄z) ˄ (x˄y˄z) ˄ (x˄y˄z)
c) Vẽ mạch logic:

Bài 3: Cho hàm đại số logic F(x,y,z) lấy giá trị 1 khi và chỉ khi có ít nhất 2 biến lấy giá trị 1
a) Lập bảng giá trị của hàm F(x,y,z)
b) Tìm dạng hội chuẩn tắc và biến đổi nó về dạng chỉ có dấu hội và phủ định
c) Thiết kế mạch logic thực hiện hàm F(x,y,z) với các cổng NOT, AND và OR
Giải:
a) Lập bảng giá trị của hàm F(x,y,z) lấy giá trị 1 khi và chỉ khi có ít nhất 2 biến lấy giá
trị 1
x y z F(x,y,z) T
0 0 0 0

T
1
=
˅˅

0 0 1 0
T
2
=
˅˅

0 1 0 0
T
3
=
˅˅

0 1 1 1
1 0 0 0 T
4
=
˅˅


19
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


1 0 1 1
1 1 0 1

1 1 1 1
b) Dạng hội chuẩn tắc:
F(x,y,z) = T
1
˄ T
2
˄ T
3
˄ T
4

= (x ˅y ˅z) ˄ (x ˅y ˅z) ˄ (x ˅ y ˅z) ˄ (x ˅ y ˅z)
Biến đổi nó về dạng chỉ có dấu hội và phủ định. Áp dụng định lý De Morgan và công
thức phủ định, ta có:
= (˅˅)

˄ (˅˅)

˄ (˅˅)

˄ (˅˅)


= (x˄y˄z) ˄ (x˄y˄) ˄ (x˄y˄z) ˄ (x˄y˄z)

c) Thiết kế mạch logic:

Bài 4: Cho hàm đại số logic F(x,y,z) =(x ˄ z) ˅ (y ⨁ z)
1) Lập bảng giá trị của hàm F(x,y,z)
2) Tìm dạng tuyển chuẩn tắc và biến đổi nó về dạng chỉ có dấu tuyển và phủ định

3) Thiết kế mạch logic thực hiện hàm F(x,y,z) với các cổng NOT, AND và OR
Giải:
1) Lập bảng giá trị của hàm F(x,y,z) =(x ˄ z) ˅ (y ⨁ z)
x y z x
˄
y y
⨁
z F(x,y,z) H
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 H
1
=
˄˄

0 1 0 0 1 1
H
2
=
˄˄

0 1 1 0 0 0

20
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1
H
3

=x
˄˄

1 1 0 1 1 1 H
4
=x
˄˄

1 1 1 1 0 1
H
5
=x
˄˄

2) Dạng chuẩn tắc:
F(x,y,z) = H
1
˅H
2
˅H
3
˅ H
4
˅H
5

= (x ˄y ˄z) ˅ (x ˄y ˄z) ˅ (x ˄ y ˄z) ˅ (x ˄ y ˄z) ˅ (x ˄ y ˄z)
Biến đổi về dạng chỉ có dấu tuyển và phủ định. Áp dụng định lý De Morgan và công thức
phủ định, ta có:
F(x,y,z) = (x ˄y ˄z) ˅ (x ˄y ˄z) ˅ (x ˄ y ˄z) ˅ (x ˄ y ˄z) ˅ (x ˄ y ˄z)

= (˄˄)

˅ (x˄y˄z)

˅ (˄˄)

˅ (x˄y˄z)

˅ (˄˄)


= (x˅y˅z) ˅ (x˅y˅z) ˅ (x˅y˅z) ˅ (x˅y˅z) ˅ (x˅y˅z)
3) Thiết kế mạch logic:



21
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem



+ Chỉnh hợp không lặp: 


= n(n-1)(n-2)…(n-k+1)
+ Chỉnh hợp lặp: 


= n
k

+ Hoán vị không lặp: P
n
= n!
+ Hoán vị lặp: P
n
(n
1
, n
2
, …, n
k
) =
!


!

!…

!

+ Tổ hợp không lặp: 


=
!
!
(

)

!

+ Tổ hợp lặp: 


= 



+ phủ định của x: 
+ x tuyển y: x ˅ y = 0 khi x và y đều = 0
+ x hội y: x ˄ y =1 khi x và y đều = 1
+ x tuyển loại y: x ⨁ y = 0 khi x và y đều =0 hoặc x và y đều =1
+ x kéo theo y: x → y = 0 khi x =1 và y =0
+ phủ định của x hội y (hàm Sheffer x,y) x | y = ˄y =  ˅  = 0 khi cả x và y đều = 1
+ phủ định x tuyển y (hàm Vebb x,y) : x ↓ y= ˅y =  ˄  = 1 khi cả x và y đều =0
+ Định lý Đirichlet:
a) Dạng giản đơn: nhốt n+1 con chim vào n chiếc lồng (n nguyên dương) thì có ít nhất 1
lồng chứa ít nhất 2 con chim
b) Dạng tổng quát: nhốt n con chim vào k chiếc lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa ít 


 nhất
con chim (n và k nguyên dương)
Trong đó 


 là số nguyên nhỏ nhất trong các số nguyên ≥



Thí dụ: + Nếu n=21 và k =3 thì 


 =7=



+ Nếu n=22 và k =3 thì 


 =8 >


đó là số làm tròn lên
+ Đồ thị vô hướng đủ G(X,V) (có n đỉnh, m cạnh): mọi cặp đỉnh đều có cạnh nối. Khi đó có
công thức sau:
m= 


=
!
!
(

)
!
=
()


. Số đồ thị con (bớt 1 số đỉnh): s=


+ 


+ ⋯+ 


= 2
n
-2
Số đồ thị bộ phận (bớt 1 số cạnh): r= 


+ 


+ ⋯+ 


= 2
m
-1
Cây là đồ thị vô hướng liên thông và không chứa chu trình, khi đó m=n-1. Cây chứa mọi đỉnh
của đồ thị là cây bao trùm.
Định lý Kelly: Số cây bao trùm chứa trong 1 đồ thị vô hướng có n đỉnh là: T
n
= n
n-2

22
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


A. PHẦN LÝ THUYẾT (3đ)
Câu 1: Ý nghĩa của việc xây dựng sơ đồ luồng dữ liệu hệ thống. Bản chất khác biệt so với
sơ đồ luồng dữ liệu nghiệp vụ?
Câu 2: Ba phạm trù của hướng dẫn thiết kế giao diện (tương tác chung, hiển thị thông tin,
vào dữ liệu)
B. PHẦN BÀI TẬP
I. Mô tả hệ thống
Siêu thị thể thao SPORT Ba Đình kinh doanh nhiều loại hàng hóa, dụng cụ thể
dục thể thao cho nhiều bộ môn khác nhau như bơi lội, bóng bàn, cầu lông, tennis,
thể hình,… Bộ phận mua hàng dựa trên giấy báo của các Nhà cung cấp trong và
ngoài nước để lập đơn đặt mua hàng, gửi tới nhà cung cấp đó, sau đó theo dõi
hàng về. Nếu có hóa đơn giao hàng của nhà cung cấp thì viết phiếu nhập kho để
nhập hàng vào kho và viết sec chuyển khoản qua Ngân hàng trong nước và quốc
tế để thanh toán với nhà cung cấp. Bộ phận bán hàng nhận đơn đặt hàng của khách,
viết hóa đơn giao hàng cho khách và viết phiếu thu để thu tiền của khách hàng.
Khách hàng là các đơn vị có mối quan hệ thân thiết, mua số lượng lớn, có thể
được ghi nợ. Hóa đơn giao hàng cho khách hàng có dạng sau:
II. Hồ sơ dữ liệu
HÓA ĐƠN
Số Ngày
Tên khách Mã nhân viên bán hàng
Địa chỉ Tên nhân viên bán hàng
Điện thoại
STT Mã hàng Tên hàng Đơn vị

tính
Số lượng Đơn giá Thành tiền

Tổng tiền hàng:
Tỷ lệ khuyến mại:
Tổng phải trả:
Tiền khách nộp:
Tiền thừa:
Cuối tháng, siêu thị tổng hợp chứng từ và thống kê nợ của khách trên sổ tổng hợp.
Nếu quá hạn nợ cho phép, bộ phận chăm sóc khách hàng sẽ gửi giấy nhắc cho
khách.
Yêu cầu:
1. Xác định danh sách Hồ sơ dữ liệu (1đ)
2. Vẽ sơ đồ phân cấp chức năng cho hệ thống (2 đ)
3. Thiết kế CSDL logic dựa vào Hóa đơn (5 đ)
4. A.Vẽ mẫu giao diện nhập Hóa đơn và mô tả hoạt động của giao diện
B. Đặc tả tiến trình “lập đơn đặt mua hàng”dựa vào bảng KHO khi số lượng
tồn kho mặt hàng đó giảm xuống tới mức dự trữ (2 đ)

23
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


A. Lý thuyết:
Câu 1: Ý nghĩa của việc xây dựng sơ đồ luồng dữ liệu hệ thống là phân chia ra
ranh giới rõ ràng cái nào người làm cái nào máy làm, nên ta chỉ quan tâm cái
nào là do máy làm như Kho dữ liệu do máy làm thì ta sẽ đưa vào Cơ sở dữ liệu
và các chức năng do máy làm ta sẽ cho lên giao diện

Bản chất khác biệt so với sơ đồ luồng dữ liệu nghiệp vụ là sơ đồ luồng dữ liệu

nghiệp vụ chỉ dính dáng đến chuyên môn mà không dính dáng gì đến máy tính
còn sơ đồ luồng dữ liệu hệ thống là liên quan tới máy tính, xác định máy tính
làm cái gì và làm như thế nào.
Câu 2: Ba phạm trù của hướng dẫn thiết kế giao diện (tương tác chung, hiển
thị thông tin, vào dữ liệu)
1. Tương tác chung:
+ Nhất quán
+ Giải thích các quy tắc
+ Cho thông tin phản hồi có nghĩa
+ Yêu cầu kiểm chứng mọi hành động phá hủy
+ Cho phép dễ dàng lần ngược nhiều hành động
+ Giảm thiểu khối lượng thông tin phải ghi nhớ giữa các hành động
+ Hiệu quả trong đối thoại, vận động và ý nghĩ
+ Dùng các động từ đơn giản hay cụm động từ ngắn để đặt tên chỉ lệnh
+ Thao tác cho người dùng là tối thiểu
+ Hỗ trợ NSD theo nhiều mức thao tác khác nhau
2. Hiển thị thông tin:
+ Chỉ hiển thị thông tin liên quan tới hiện tại
+ Hiệu quả dạng trình bày dữ liệu
+ Dùng nhãn nhất quán, cách viết tắt chuẩn và màu sắc dự kiến trước được.
+ Cho phép người dùng duy trì ngữ cảnh trực quan
+ Hiện đầy đủ các thông báo lỗi và phải dễ hiểu
+ Dùng chữ hoa, chữ thường, thụt lề và gộp nhóm văn bản để trợ giúp cho
việc dễ hiểu
+ Sử dụng cửa sổ (nếu có sẵn) để đóng khung các kiểu thông tin khác nhau
+ Sử dụng màu và đồ họa thích hợp
+ Sử dụng font chữ
3. Vào dữ liệu:
+ Tối thiểu số hành động đưa vào mà người dùng thực hiện
+ Duy trì sự nhất quán giữa hiển thị thông tin và dữ liệu vào

+ Cho phép người dùng làm phù hợp dữ liệu vào
+ Cho phép người dùng kiểm soát luồng tương tác
+ Cung cấp trợ giúp cho mọi hành động nhập liệu đảm bảo tính toàn vẹn
dữ liệu
+ Hỗ trợ người dùng tối đa.

24
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem


B. Bài tập:
1. Xác định danh sách Hồ sơ dữ liệu
Danh sách hồ sơ dữ liệu gồm có:
1) Giấy báo giá
2) Đơn đặt mua hàng
3) Hóa đơn giao hàng
4) Phiếu nhập kho
5) Séc
6) Phiếu thu
7) Đơn đặt hàng của khách
8) Sổ nợ
9) Sổ tổng hợp
10) Giấy nhắc nợ
11) Danh sách nhân viên
12) Danh sách khách hàng

2. Vẽ sơ đồ phân cấp chức năng cho hệ thống

QUẢN LÝ SIÊU THỊ
1. Quản lý hàng
mua về
2. Quản lý hàng
bán ra
3. Quản lý nợ
4. Thống kê,

báo cáo
1.1 Nhận giấy
báo giá
1.2 Lập đơn
mua hàng
1.3 Viết phiếu
nhập kho
1.4 Viết séc
chuyển khoản
2.1 Nhận đơn
đặt hàng
2.2 Viết hóa
đơn giao hàng
2.3 Viết
phiếu thu
3.1 Ghi nợ
3.2 Gửi
giấy nhắc
4.1 Tổng hợp
chứng từ
4.2 Thống kê
tài chính
4.3 Báo cáo

25
Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem

3. Thiết kế CSDL logic dựa vào Hóa đơn
Bước 1: Chính xác hóa dữ liệu
Số, Tên khách, Mã khách (thêm), Địa chỉ, Điện thoại, Ngày, Mã nhân viên bán
hàng, Tên nhân viên bán hàng, Mã hàng*, Tên hàng*, Đơn vị tính*, Số
lượng*, Đơn giá*, Thành tiền* ,Tổng tiền hàng, Tỷ lệ khuyến mại, Tổng phải
trả, Tiền khách nộp, Tiền thừa
Bước 2: Chuyển sang lược đồ:
Từ danh sách thuộc tính trên ta có được 1 lược đồ HOADON như sau:
HÓA ĐƠN(Số, Tên khách, Mã khách, Địa chỉ, Điện thoại, Ngày, Mã nhân
viên bán hàng, Tên nhân viên bán hàng,Mã hàng*, Tên hàng*, Đơn vị
tính*, Số lượng*, Đơn giá*, Thành tiền*, Tổng tiền hàng, Tỷ lệ khuyến mại,
Tổng phải trả, Tiền khách nộp, Tiền thừa)

+ Xác định được phụ thuộc hàm:
Số → Mã khách, Ngày, Mã nhân viên bán hàng, Tổng tiền hàng, Tỷ lệ
khuyến mại, Tổng phải trả, Tiền khách nộp, Tiền thừa
Mã khách -> Tên khách, Địa chỉ, Điện thoại
Mã nhân viên bán hàng -> Tên nhân viên bán hàng
Mã hàng → Tên hàng, Đơn vị tính
Số, Mã hàng → Số lượng, Đơn giá, Thành tiền
+ Xác định khóa:
Từ phụ thuộc hàm trên ta thu được khóa tối thiểu: K={Số, Mã hàng}
Vậy ta có lược đồ HÓA ĐƠN sau khi tìm được khóa như sau:
HÓA ĐƠN(Số, Tên khách, Mã khách, Địa chỉ, Điện thoại, Ngày, Mã nhân
viên bán hàng, Tên nhân viên bán hàng,Mã hàng*, Tên hàng*, Đơn vị
tính*, Số lượng*, Đơn giá*, Thành tiền*, Tổng tiền hàng, Tỷ lệ khuyến mại,
Tổng phải trả, Tiền khách nộp, Tiền thừa )
Bước 3: Chuẩn hóa
Ta nhận thấy quan hệ HÓA ĐƠN chưa đạt chuẩn 1 (1NF) vì chứa thuộc
tính lặp nên tiến hành tách quan hệ trên thành lược đồ sau đạt chuẩn 1

(1NF)
HD1(Số, Mã hàng, Tên hàng, Đơn vị tính, Số lượng, Đơn giá, Thành tiền)